Кратное отображение Абеля-Якоби для вещественных гиперэллиптических римановых поверхностей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Данилова, Ольга Викторовна

• Данилова, Ольга Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Данилова, Ольга Викторовна

Введение

Глава 1.

Комплексное отображение Абеля-Якоби

1.1. Компактные римановы поверхности.

1.2. Симметрические произведения.

1.3. Дивизоры и линейные расслоения на римановой поверхности.

1.4. Отображение Абеля-Якоби и его степени.

1.5. Слои кратного отображения Абеля-Якоби для гиперэллиптических поверхностей.

Глава 2.

Вещественное отображение Абеля-Якобй

2.1. Вещественная структура на комплекЬных геометрических объектах

2.2. Вещественные римановы повё|5$Ьюсти.

2.3. Симметрические произведения пространств с инволюцией.

2.4. Кратное отображение Абеля-Якоби для гиперэллиптических поверхностей.

2.5. Гиперэллиптические поверхности рода 2 и

§

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Кратное отображение Абеля-Якоби для вещественных гиперэллиптических римановых поверхностей»

Диссертация посвящена геометрии вещественных алгебраических кривых. Исторически вначале рассматривались именно такие кривые. Однако незамкнутость поля вещественных чисел порождает некоторые трудности в разработке этой темы. С другой стороны, комплексные алгебраические кривые, благодаря замкнутости поля комплексных чисел, были изучены более подробно. Одним из методов изучения комплексных алгебраических кривых является отображение Абеля-Якоби. Это отображение возникло вначале в рамках анализа в связи с изучением эллиптических и абелевых функций, которые, в свою очередь, возникли из эллиптических и абелевых интегралов. В дальнейшем природа возникновения отображения Абеля-Якоби была фактически забыта, хотя классическое его определение по-прежнему дается через интегралы. Чтобы связать тему диссертации с предыдущими исследованиями, мы вернемся к истокам возникновения отображения Абеля-Якоби из интегралов от алгебраических функций.

Рассмотрим интегралы вида где Q(x) — многочлен с вещественными коэффициентами без кратных корней степени 2d ^ 6, а Р(х) — многочлен с вещественными коэффициентами степени ^ d — 2. Ограничение, накладываемое на степень многочлена Р(ж), обусловлено методами, применяемыми для изучения этих интегралов. Если интеграл (1) комплексифицировать, т.е. считать, что переменная х комплексная, то задача изучения этого интеграла упрощается благодаря рассмотрению римановой поверхности S, заданной уравнением у2 = Q(x). Тогда мы можем заменить неопределенный интеграл (1) на криволинейный интеграл с переменным верхним пределом по кривой Т(р) на римановой поверхности 5, соединяющей фиксированную точку ро £ 5 с переменной точкой р Е 5

1)

2) г(р) см. рис. 1.) Если добавить к римановой поверхности 5 С С2 на бесконечности две точки, то она будет представлять собой с точки зрения топологии сферу с д = d — 1 ручками (см. рис. 2).

Рис. 1. Рис. 2.

Эта поверхность, с индуцированной на ней комплексно аналитической структурой, называется компактной гиперэллиптической поверхностью рода д, мы будем обозначать ее также через S. Комплексные интегралы вида (2) на римановой поверхности S изучались в XIX веке. Рассмотрим теперь базисные интегралы вида (2)

- dx, [ — dx,., f -— dx. (3)

У J У J У

Г(р) Г(р) Г (р)

Они задают отображение ц : S —> С5, определяемое с помощью равенства м(р) = ( I ~ dx, [ — dx,., [ -— dx\. J У J У J У >

Г(р) Tip) Г (р)

Это отображение является многозначным, так как интегралы (3) зависят от формы кривой Г(р), соединяющей точки ро,р. Чтобы избавиться от многозначности отображения ¡1 поступают следующим образом.

Если заменить кривую Г(р) на другую кривую Г(р), также соединяющую точки ра, р, то каждый из интегралов (3) будет отличаться на интеграл по замкнутой кривой а = Г(р) — Т(р) с началом и концом в точке ро (см. рис. 3). ж

Рис. 4.

Обозначим через Л множество векторов в С9

О Г - йх, / — ., / --,

2/ УаУ Уа У ' где а — произвольная кривая на 5 с началом и концом в точке ро. Множество Л является дискретной подгруппой ранга 2д абелевой группы С5, и она называется решеткой периодов голоморфных 1-форм х уЛх (см. рис.

4, случай д = 1). Тогда факторгруппа 3 = С9/А является комплексным тором и называется якобианом, или многообразием Якоби римановой поверхности 5. Теперь мы можем рассмотреть однозначное отображение ц : 5 —> которое и называется отображением Абеля-Якоби. Таким образом, изучение интегралов вида (2) заменяется исследованием отображения Абеля-Якоби ц : $ —> 3.

В XIX, XX веках оно было глубоко изучено, в частности, было показано, что в случае, когда д > 1 оно является вложением. Это отображение перебрасывает мостик между геометрирЦ алгебраической кривой и теорией абелевых многообразий. Глобальная теорема Торелли (см. [1]) показывает, что замена алгебраической кривой на ее многообразие Якоби полностью описывает геометрию исходной кривой.

Если теперь коэффициенты многочлена С£{х) вещественные, то операции комплексного сопряжения в С2, С5 определяют соответственно инволюции

Рис. 3. т:5—>-5,0:«7—>,/, множества неподвижных точек которых обозначаются через б'(К), </(К) и называются множествами вещественных точек соответственно римановой поверхности 5 и многообразия Якоби 1. В этом случае отображение Абеля-Якоби задает отображение множеств вещественных точек : 5 (Ж) —> исследование которого заменяет изучение интегралов вида (1). Множество вещественных точек Б (К) представляет собой объединение замкнутых кривых (овалов), число которых равно половине числа вещественных решений уравнения (¡}(х) = 0 (см. рис. 5, на котором указаны решения этого уравнения и знаки многочлена (¿(х) при д = 1). Множество вещественных точек многообразия Якоби J(Ш) является компактной коммутативной группой Ли, строение которой изучил Комес-сатти [10]. Он показал, что она изоморфна группе Т9 х (2/2) , где Т9 — ^-мерный вещественный тор, а число п равно (1—1, если уравнение С^(х) = 0 имеет 2(1 вещественных решений. Следовательно, множество вещественных точек </(Е) состоит из 2<*~1 компонент связности. В.А. Красновым было показано, что при отображении вещественных точек ¡1 : ¿>(К) —> 7(Ж) разные овалы кривой 5(М) отображаются в разные компоненты связности группы <7(К) (см. [8, 9]).

Рис.5.

Дальнейшее изучение интегралов вида (2) связано с кратным отображением Абеля-Якоби к-ой симметрической степени римановои поверхности 5 : 5<*> ->

4) которое определяется равенством

М(А)(Рь •••,Рк) = А*(Р1> + • • • + МЫ

Исследование кратного отображения Абеля-Якоби заменяет изучение сумм интегралов вида (2) где Гх,., Тк — некоторые кривые на которое проводил Абель, а затем применил Якоби для обращения гиперэллиптических интегралов. Скажем несколько слов об этой задаче Якоби. В случае, когда 2(1 = 6, обращение гиперэллиптических интегралов приводит к четырежды периодическим функциям х(щ) и х(щ), поведение которых показалось Якоби абсурдным. Эта позиция Якоби справедлива, если рассматривать только однозначные аналитические функции, но в его время не было точного определения аналитической функции, в частности, не было понимания функции как отображения области на область. Отрицание возможности обращения гиперэллиптического интеграла заставило Якоби искать выход в другом направлении. Он строит две суммы х X И и рассматривает симметрические функции Х\+Х2 и Х\-Х2 верхних пределов. Эти функции являются четырежды периодическими в обычном смысле (и, в частности, однозначными) функциями двух переменных щ и щ.

С современной точки зрения подход Якоби к задаче обращения гиперэллиптического интеграла (2) содержится в утверждении: если д — род римановой поверхности 5, то отображение : 5(0) —У <7 является бимероморфным отображением, а поэтому обладает обратным мероморф-ным отображением. Не менее интересным оказывается рассмотрение кратного отображения Абеля-Якоби при к < д. Свойства этого отображения оказались тесно связаны с линейными системами дивизоров на кривой. В частности, с помощью этого отображения получается тета-дивизор на многообразии Якоби, который исторически определялся с помощью тета-функ-ций. Особые точки тета-дивизора играют важную роль в описании специальных линейных систем на кривой. В силу интересных свойств и обширной области применения как в теории римановых поверхностей, так и в других разделах математики, кратное отображение Абеля-Якоби /л^ : —>• <7 привлекло внимание многих ученых и было глубоко изучено. Соответствующие результаты изложены в разных работах, и в частности, в монографиях Ф. Гриффитса , Дж. Харриса [1], Р. Ганнинга [11], Д. Мамфорда [13].

Предположим теперь, что коэффициенты многочлена (¿(х) вещественные, тогда имеет место кратное отображение Абеля-Якоби на множестве вещественных точек к) : 5(К)<*> -ч /(К). (6)

Изучению этого отображения при к < д в случае, когда риманова поверхность в гиперэллиптическая, и посвящена настоящая работа. Данная тема представляет интерес с точки зрения анализа, как геометрический подход к изучению гиперэллиптических интегралов вида (1), которые исторически рассматривались с вещественными коэффициентами. С другой стороны, эта тема интересна для вещественной алгебраической геометрии. Так как кратное отображение Абеля-Якоби было одним из основных инструментов изучения комплексных алгебраических кривых, то оно должно быть полезным для изучения вещественных алгебраических кривых.

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и библиографии. Основной текст диссертации содержит 77 страниц, библиография — 13

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Данилова, Ольга Викторовна

Заключение.

В этой части диссертации сделана попытка получить результаты аналогичные предыдущим для негиперэллиптической поверхности. Прежде всего заметим, что комплексное кратное отображение Абеля-Якоби : Я<*> 3 при к = 2 является вложением (см. [13], с. 53-54), а поэтому будет вложением отображение ЭД^ 7(Ц),

Таким образом, остается изучить это отображение при к = 3.

Пусть со?2, — базис пространства голоморфных 1-форм на 5. Мы можем предполагать, что эти формы вещественные, т.е. выполняются равенства т*(щ) ■= Щ при г — 1,2,3. Для негиперэллиптической поверхности 5 каноническое отображение

1К : 5 СР2, определенное равенством

Ыр) = Ы{Р) 1 I ^з(р)), оказывается вещественным вложением, причем его образ является неособой кривой четвертой степени (см. {!]). Следовательно, можно считать, что поверхность 5 задается однородным уравнением четвертой степени хъ х2) ~ О с вещественными коэффициентами, и множество вещественных точек $(Ж) С МР2 является множеством вещественных решений этого уравнения.

Рассмотрим теперь множество V С которое состоит из сумм точек РьР2гРа £ удовлетворяющих условиям: если точки РъР2>Рз ~ различные, то они лежат на одной прямой; если рх = р2 = р, рз Ф р, то точка рз лежит на касательной к 5(11) в точке р; если р\ — р2 = рз = Р, то касательная к кривой 5(М) в точке р имеет не ниже трех порядок касания в этой точке.

Множество V может быть пустым, это произойдет в случае, когда кривая 5(М) состоит из одного выпуклого овала. В противном случае множество V представляет собой поверхность с кусочно-гладкой границей. Граница состоит из точек вида 2р + рз. Определена проекция ж : V $(Ж), которая устроена следующим образом:

Если точки РьРг, Рз ~~ различные, то они лежат на одной прямой, которая пересекает кривую 3 (Ж) в четвертой точке р4, либо касается в одной из точек Рг,Р2,Рз- В первом случае полагаем, что ж(р\ + Р2 + рз) — Р4, а противном случае 7г(р1 + р2 + Рз) равняется точке касания.

Если р\ = р2 = р, рз ф р, то точка рз лежит на касательной к 5(Ж) в точке р, которая пересекает кривую 5(Ж) в точке р4, либо касается в точке рз, либо р — тройная точка касания. В первом случае полагаем, что ж(р\ +Р2 +Рз) — = Р4- Если касательная к кривой ¿>(М) в точке р касается ее еще в точке рз, то полагаем ж(р\ + Р2 + рз) = рз, в противном случае, т.е. когда точка р является тройной точкой касания, ж(р\ + Р2 + Рз) — Р

Если рх = рч — рз = р, то касательная к кривой 5 (Ж) в точке р пересекает ее в точке р4 либо точка р является точкой касания четвертого порядка. В первом случае полагаем, что ж(р\ + р2 + Рз) — Р4, в противном случае +Р2 +рз) =Р

Обозначим через \¥ образ проекции ж : V —> 5(Ж). Оказывается, что справедлива

Теорема 2.14. Существует вложение IV С /(Ж) такое, что диаграмма

7с 5(1)^

7Г

4» *4"

Ш С 7(Ж) коммутативна, причем отображение /л^ : \ V —> /(Ж) я&ляется вложением.

Доказательство этой теоремы будет проводиться по следующей схеме. Сначала мы сформулируем результат Мамфорда про отображение /л^ : <7, затем переформулируем его в более геометрической форме. Из этой переформулировки будет немедленно вытекать наша теорема.

Если ш — голоморфная форма на 5, то ее дивизор нулей (и) имеет степень 4. Поэтому выполняется равенство (а;) = р\ + р2 + рз + Р4, причем в этой сумме могут быть и совпадающие точки. Обозначим через X множество точек р\ + р2 + рз из

5(3) таких, что найдется точка р4 € Б и голоморфная форма и, для которых выполняется равенство (и) = р\ + р2 + Рз + Ра-Через 7Г : X 5 обозначим отображение, которое сумме р\ + р2 + рз сопоставляет однозначно определенную верхним способом точку Р4. Для каждой точки р4 е Б существуют точки Р1,Р2,Рз € 5 и голоморфная форма со такие, выполняется равенство (ш) = Рг +р2 +Рз • Поэтому отображение 7г : X —> 5 сюръективно. В [13] доказывается это отображение определяет на X структуру линейчатой поверхности. Обозначим через V : Б —> I, отображение, которое определяется равенством у{ра) = /¿(Р1)+м(Р2)+/л(рз)т где р1 + р2 -+- Рз + Р4 — дивизор голоморфной формы. Оказывается, что это отображение определено корректно и является вложением. В [13] доказана

Теорема 2.15. Диаграмма

X -► 5<3>

Б 3 коммутативна, причем отображение : Б^ \ X —> <7 является вложением.

Переформулируем теперь определение комплексной поверхности X. Если вложить риманову поверхность 5 в СР2 с помощью канонического отображения 1к • Б —> СР2, то голоморфные формы на Б отождествляются с сечениями линейного расслоения 0( 1). Поэтому дивизоры нулей голоморфных форм являются дивизорами нулей сечений расслоения 0(1), т.е. они являются сечениями вложенной римановой поверхности Я прямыми в СР2. Таким образом комплексная поверхность X состоит из сумм р\+ р2+ рз £ для каждой из которых существует четвертая точка 6 5 и прямая Ь С СР2 такие, что имеет место равенство дивизоров 5ПХ = Р1+Р2+Рз+Р4-Из верхней переформулировки определения комплексной поверхности X вытекает равенство V = X где V — поверхность с краем в теореме

2.14. Следовательно, теорема 2.14 вытекает из теоремы 2.15.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Данилова, Ольга Викторовна, 2004 год

1. Гриффите Ф., Харрис Дж., Принципы алгебраической геометрии. I// Мир, М: 1982.

2. Гротендик А., О некоторых вопросах гомологической алгебры. М.: ИЛ, 1961.

3. Данилова О.В., Отображение Абеля-Якоби вещественных римановых поверхностей рода 3.// Современные проблемы математики и информатики: сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов, Вып. 3//Яросл. гос. ун-т, Ярославль, 2000, с. 40 45.

4. Данилова О.В., Краснов В.А., Отображение Абеля-Якоби для вещественной гиперэллиптической римановой поверхности рода 3.// Матем. заметки. Т. 75, Вып. 5 (2004), с. 644-651.

5. Comessatti A., Sulle varietà reali//Anaïi Mathematici 2 (1924-1925), pp. 67 106.

6. Gunning R.C. Lectures on Riemann surfaces, Jacobi varieties.// Princeton University Press, New Jersey, 1972.

7. Morton H.R., Symmetric products of the circle.// Proc. Cambridge Phil. Soc. 63 (1967), pp. 349 352.

8. Mumford D., Curves and their Jacobians. Ann Arbor: University of Michigan Press, 1975.