Экстремальные многочлены и римановы поверхности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Богатырев, Андрей Борисович

• Богатырев, Андрей Борисович
• доктор физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Богатырев, Андрей Борисович

Введение

0.1 Обзор содержания диссертации.

0.2 Характеристика работы.

0.3 Обозначения.

1 Задачи о наименьшем уклонении

1.1 Примеры оптимизации.

1.1.1 Обращение симметричной матрицы.

1 1.1.2 Задача на собственные значения

1.1.3 Явные методы Рунге-Кутты. 1.1.4 Другие приложения.

1.2 Анализ оптимизационных задач.

1.3 Чебышёвские подпространства.

1.4 Задача Лебедева. 2 Чебышевское представление многочленов

2.1 Вещественные гиперэллиптические кривые.

2.1.1 Пространство гомологий и решётка Ьм

2.1.2 Пространство дифференциалов на кривой.

2.2 Многочлены и кривые. 2.2.1 Устойчивость чебышёвского представления. 3 Представления пространства модулей

3.1 Четыре определения. ^ 3.1.1 Пространство Тайхмюллера.

3.1.2 Деформационное пространство клейновой группы.

3.1.3 Пространство лабиринтов.

3.2 Вспомогательные результаты

3.2.1 Фундаментальная группа пространства модулей.

3.2.2 Пространство модулей - орбиты группы Mod.

3.2.3 Топология деформационного пространства.

3.2.4 Группа разветвлённого накрытия х(и).

3.2.5 Действие модулярной группы на группе (

4 \ 3.2.6 Эквивалентность лабиринтов.

3.2.7 Квазиконформная деформация. * 3.3 Эквивалентность представлений.

3.3.1 Изоморфность Тд и Q*.

3.3.2 Изоморфность Тдк и Щ.

3.3.3 Изоморфность Lkg\\Q).

4 Разбиение пространства модулей на клетки

4.1 Кривые и деревья.

4.1.1 Слоения и глобальная функция ширины.

4.1.2 Граф Г кривой М.

4.1.3 Характеристики графа Г.

4.1.4 Свойства графа кривой,.

4.1.5 Восстановление кривой М по ее графу Г.

4.2 Координатное пространство графа.

4.2.1 Координатное пространство в пространстве модулей.

4.3 Классификация экстремальных многочленов.

5 Уравнения Абеля

5.1 Отображение периодов.

5.1.1 Гомологическое расслоение и перенос циклов.

5.1.2 Расслоение дифференциалов и отображение периодов.

5.1.3 Свойства отображения периодов.

5.2 Уравнения Абеля на пространстве модулей.

5.3 Образ отображения периодов

6 Вычисления в пространстве модулей

6.1 Теория функций в модели Шоттки.

6.1.1 Линейные тэта ряды Пуанкаре.

6.1.2 Сходимость линейных рядов Пуанкаре.

6.1.3 Организация суммирования рядов Пуанкаре

6.1.4 Автоморфные функции и их струи.

6.2 Вариационная теория.-.

6.2.1 Зависимость дифференциалов от модулей.

6.2.2 Вариации абелевых интегралов.82.

6.2.3 Квадратичные тэта ряды Пуанкаре.

6.2.4 Формулы Хейхала.

6.2.5 Базис квадратичных тэта рядов Пуанкаре.

6.3 Вычисление многочленов.

6.3.1 Параметрическое представление.

6.3.2 Уравнения Абеля в пространстве G*.

6.3.3 Схема алгоритма

6.4 Открытые вопросы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Экстремальные многочлены и римановы поверхности»

В начале 1850-х годов П.Л.Чебышёв совершил поездку в Англию для ознакомления с высокими технологиями того времени. Вернувшись в Россию, он занялся чисто инженерной задачей о минимизации трения в шарнирах параллелограмма Уатта, передававшего вращение от паровой машины на колёса. Следствием исследований стала замена парал-лелограммного механизма на кривошипно-шатунный, использующийся по сей день. Как сопутствующий продукт технического прогресса были открыты многочлены Чебышёва, вошедшие с тех пор во все учебники и названные Ж.Бертраном ип miracle d'analyse. Именно эти многочлены оказались решениями простейших задач об условной минимизации на пространстве вещественных многочленов o.i) s=0 величины уклонения

P„||E:=max|Pn(x)|,

Е - компакт на вещественной оси. За минувшие полтора века паровые машины вышли из употребления, однако интерес к задачам о "наименьшем уклонении сохранился [13, 50]. В наши дни он связан, например, с оптимизацией численных алгоритмов [93, 39] и обработкой сигналов [4, 73]. Приведём примеры типичных задач.

Задача А: Пусть Е - совокупность нескольких вещественных отрезков. Минимизировать норму ||Рп||е многочлена при заданных линейных связях на его коэффициенты co,ci, .,сп. Задача Е.И.Золотарёва [50] соответствует Е = [—1,1] и нескольким заданным старшим коэффициентам многочлена.

Задача Б: Найти максимальный отрезок Е — [0, <], t > 0, для которого единичный шар {Рп : ||Рп||е < 1} пространства (0.1) пересекается с плоскостью коразмерности г, образованной многочленами, приближающими в нуле ехр(—х) с порядком г — 1. Задача (В.И.Лебедева) возникает при построении устойчивых явных схем (г — 1)-го порядка точности для интегрирования жёстких (stiff) систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Численное решение подобных экстремальных задач при практически интересных степенях п ~ 1000 известно своей трудностью. Существующие на сегодняшний день алгоритмы Ремеза [44, 94, 83], Лебедева [91], Пехерсторфера-Шифермайра [101], методы выпуклого программирования [45, 50] требуют больших вычислительных затрат по следующим причинам. (i) Решение ищется итерациями в пространстве высокой (порядка п) размерности и (ii) норма многочлена - негладкая и трудновычисляемая функция его коэффициентов.

От этих недостатков свободен классический подход, при котором решение принято давать в виде явной формулы [43]. Сто пятьдесят лет назад электронных цифровых машин не существовало, поэтому итерационные методы решения не считались удовлетворительными. Первые задачи о наименьшем уклонении были решены в терминах параметрических выражений (П.Л.Чебышёв [57], 1853 и Е.И.Золотарёв [22], 1868 ):

Тп(и) cos (пи); х(и) := cos(u), tie С, (0.2)

Я (а + и)

Н(а — и)

Н(а - и)

Н(а + и)

0.3) snV)W(a) sn^u) — sn2(a) где Я(-) - эллиптическая тэта функция в (устаревших) обозначениях Якоби [52], sn(-) - эллиптический синус того же модуля к £ (0,1), фазовый сдвиг a := mK(k)/n, m = 1,2, .,п — 1, К (к) - полный эллиптический интеграл модуля к. Эти параметрические формулы можно понимать так. Функция х(и) является автоморфной относительно группы 0, разрывно действующей в комплексной плоскости. Многообразие орбит С/(5 является сферой Римана в первом случае и тором - во втором. Выражения для Tn(u), Zn(u) корректно определены на соответствующих факторах и оказываются многочленами степени п от переменной х. Как видим, классические решения связаны с алгебраическими кривыми небольшого рода д — 0,1, а сложность их вычислений не зависит от степени п многочлена.

Новизна предлагаемого подхода к задачам наименьшего уклонения в равномерной норме - это поиск решения не во всем пространстве многочленов (0.1), а на некоторых его маломерных подмногообразиях. Открытый П.Л.Чебышёвым принцип альтернанса [13, 50], в дальнейшем объясненный выпуклым анализом, говорит о типичности следующей ситуации. Подавляющее большинство критических точек решения Т(х) - простые со значениями ±||Т(х)||£; и лежат на множестве Е. Такие многочлены весьма специфичны и заполняют в пространстве (0.1) многобразия малой размерности. Вот геометрическая интерпретация. Решению экстремальной задачи соответствует касание (линейного) многообразия, описывающего в пространстве (0.1) ограничения задачи, и сферы, образованной многочленами одинаковой нормы. Шар, порождённый равномерной нормой, есть выпуклый криволинейный многогранник: его граница не является гладкой, но разбита на гладкие грани разных размерностей. Маломерные грани шара являются его наиболее выступающими частями и неудивительно, что касание различных плоскостей и этих граней осуществляется наиболее часто. Так, у старого чемодана наиболее истёрты углы; карандаш падает на пол как правило острием, а не плашмя и т.д. Напротив, многомерные грани шара являются линейчатыми многообразиями и могут касаться линейных многообразий по континууму - соответствующая задача на минимум не будет однозначно разрешима. Мы покажем, что многочлены, наиболее часто встречающиеся среди решений задач наименьшего уклонения, имеют описаный выше вид. Эти наблюдения приводят к следующему определению:

Вещественный многочлен Р{х) назовем (нормированным) g-экстремальным многочленом, если все его критические точки, за исключением g из них, простые со значениями ±1. Параметр g этого определения (= количество исключительных критических точек) подсчитывается по формуле g = £ ord Р'(х) + £ [^ord Р'(х)}, (0.4) х: Р(а:)#±1 х: Р(х)=± 1 Z где ord Р'{х) - порядок нуля производной многочлена Р в точке х бС, [■] - целая часть числа. Многочлены с параметром экстремальности д = 0 и д = 1 были открыты полтора века назад и известны как многочлены Чебышёва и Золотарёва соответственно. Графики нескольких 2-экстремальных многочленов приведены на рис. 6.3. В приложении к задачам о наименьшем уклонении важны многочлены с небольшим д.

Цель диссертации - описание, параметризация и эффективное вычисление ^-экстремальных многочленов.

Идейно и технически предлагаемый подход к решению задач о наименьшем уклонении в равномерной норме более сложен, чем упомянутые ранее. Выгода же его в том, что сложность вычисления решения по явным аналитическим формулам не зависит от степени п многочлена, что ясно видно для классических формул Чебышёва и Золотарёва. Вместе с тем, объём вычислений быстро растёт вместе с параметром д, поэтому естественная область применения этого метода - большая степень п решения при малом числе связей на его коэффициенты и малом числе компонент множества Е.

Многочлены, а также рациональные и алгебраические функции, с небольшим числом критических значений - классический предмет математического исследования, находящийся на стыке непрерывного и дискретного. Одна традиция в этих исследованиях восходит к А.Гурвицу ([89], 1891) и связана с перечислением разветвлённых накрытий над сферой, изучением стратов возникающего дискриминантного множества, отображения Ляшко-Лойенги, парами Белого и детскими рисунками Гротендика. Этот подход интенсивно развивается в последнее время московской математической школой - см. комментарии и библиографию к задаче 1970-15 в "Задачах Арнольда" [5], также диссертацию [28]. Так, в работе [106] изучаются многочлены с двумя конечными критическими значениями - многочлены Шабата - и их приложения к теории чисел.

Другая традиция в исследованиях восходит к П.Л.Чебышёву ([57], 1853), а по существу к Н.Абелю ([64], 1826). Она связана с изучением уравнения Пелля1 с полиномиальным коэффициентом, разложениями в цепные дроби и условиями вырождения гиперэллиптических интегралов, при которых они выражаются через логарифмы. Обзор этого направления можно найти в [46, 49]. Характерной особенностью этой второй традиции являются эффективные вычисления и связь с приложениями. Учитывая приведённую в начале работы мотивацию, мы избираем второй подход и хотим довести его до эффективных компьютерных расчётов [113, 115].

Программа Чебышева В работе [57] П.Л.Чебышёв отмечает, что решения сформулированных им задач на минимум удовлетворяют уравнению Пелля (=Ферма-Абеля), решение которого он предлагает искать в виде косинуса от гиперэллиптического интеграла. При этом необходимо, чтобы этот интеграл выражался через логарифмы. Соответствующий критерий (хотя и не конструктивный) давал остроумный метод Абеля. Для эллиптических интегралов эта программа исследований была намечена самим П.Л.Чебышевым, и полностью выполнена его учеником Е.И.Золотарёвым в 1868-1877 годах [22,23]. Следующее крупное продвижение по реализации чебышёвской программы принадлежит Н.И.Ахиезеру, применившему в этих задачах язык геометрической теории функции комплексного переменного. В 1928 году Н.И.Ахиезер предложил [6] для решения задачи Золотарёва с тремя

1Диофантово уравнение Р2 — DQ2 = 1, где D - заданный целый коэффициент, а целые Р и Q нужно найти, "изучалось У.Броункером (1657), П.Ферма и Дж.Валлисом. Л.Эйлер по недоразумению связал его с именем Дж.Пелля" [35]. Н.Абель первым рассмотрел [64] то же уравнение с коэффициентом D{x) -многочленом. Автор работ [91, 92] предлагает называть последнее уравнение именами Ферма и Абеля фиксированными коэффициентами использовать анзатц, включающий функции Шоттки кривых рода д = 2. Применение анзатца не было однако полностью обосновано. Например, не была выяснена разрешимость системы трансцендентных уравнений (Абеля) по определению параметров анзатца. Методология этой работы основывалась на аппарате функций Грина надлежаще разрезаной плоскости, что затемняло связь задачи с алгебраическими кривыми. К сожалению, Н.И.Ахиезер в дальнейших исследованиях [7, 9] по теории приближений ограничился применением эллиптических функций, т.е. по сути использовал многочлены Золотарёва.

В последние 15 лет мы наблюдаем возобновление интереса к эллиптическим функциям, теорию которых Ф. Клейн назвал жемчужиной математики XIX века [24]. Интерес этот возник в теории экстремальных и ортогональных многочленов [38, 92, 100], в алгебро-геометрическом подходе в теории интегрируемых систем и рассеянием на двояко-периодических потенциалах [75, 80, 81], комплексно геометрической теории одномерных интегральных уравнений [118, 119]. Работы по реализации геометрического подхода к задачам о наименьшем уклонении в случае рода д > 1 ограничивались до сих пор кривыми с точками ветвления, лежащими на вещественной оси либо окружности [46].

Большой объем знаний, накопленый математиками об алгебраических кривых и их деформационных пространствах позволяет сегодня использовать эти объекты для реальных вычислений. Здесь следует назвать прежде всего пионерские работы А.И.Бобенко ([15], 1986) по нелинейным волнам. Ключом к численному анализу на пространстве модулей алгебраических кривых служит теорема этого автора о том, что вещественные кривые можно униформизовать специальными группами Шоттки (5, линейные тэта-ряды Пуанкаре которых сходятся абсолютно и равномерно на компактах в области разрывности группы. Для общих групп Шоттки такой факт неверен (А.Пуанкаре даже считал что это неверно всегда) - историю вопроса и обзор результатов см. в [65, 97].

0.1 Обзор содержания диссертации

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Богатырев, Андрей Борисович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Следующий результат является основным в данной диссертации. Выполнена и доведена до численных расчётов программа исследований, сформулированная П.Л.Чебышёвым в 1853 году [57, 46]: изучена констструкция общих ^-экстремальных многочленов (ЭМ), которые при заданной степени зависят от д непрерывных и д целочисленных параметров и описываются при помощи вещественных гиперэллиптических кривых рода д > 0. Классические многочлены Чебышёва и Золотарёва в этой схеме получаются при д = 0 и д = 1. Выполнение чебышёвской программы состоит из нескольких этапов.

Введено понятие ^-экстремального многочлена - типичного решения задачи о наименьшем уклонении в равномерной норме при наличии линейных связей на коэффициенты многочлена. Мотивировка понятия ЭМ связана с критерием разрешимости экстремальных задач этого типа, обобщением чебышёвского принципа альтернанса.

Каждому ЭМ сопоставлена гиперэллиптическая кривая с ветвлением в точках, где многочлен принимает значения ±1 с нечётной кратностью. Образ этого соответствия описан в терминах трансцендентных уравнений Абеля, связывающих точки ветвления. Предложена формула эффективного восстановления многочлена по связанной с ним кривой, обобщающая формулы Чебышёва, Золотарёва и Пехерсторфера. Сложность вычисления ЭМ по явной формуле не зависит от его степени п.

Введены и исследованы пространства модулей вещественных гиперэллиптических кривых, естественно возникающие при описании ЭМ. Эти пространства как правило неод-носвязны поэтому уравнения Абеля следует задавать на универсальной накрывающей пространства модулей. Даны четыре представления этой универсальной накрывающей и доказана их эквивалентность.

Дано комбинаторно-геометрическое описание пространства модулей при помощи взвешенных графов специального вида. Фиксируя топологию графа, мы разбиваем пространство модулей на гладко вложенные клетки, часть глобальных координат которых - это периоды ассоциированного с кривой абелевого дифференциала, фигурирующего в уравнениях Абеля. Эта техника применяется для наглядной графической классификации ЭМ.

Исследованы уравнения Абеля - центральный объект всей теории. Показано, что отображение периодов, задаваемое левыми частями уравнений Абеля, имеет полный ранг. Следовательно, кривые порождаемые ^-экстремальными многочленами данной степени п заполняют в пространстве модулей гладкие ^-мерные многообразия, которые становятся плотными в пределе п —> оо. Образ отображения периодов найден в явном виде.

Развиты необходимые элементы численного анализа на пространстве модулей кривых в модели Шоттки. В терминах этой модели римановых поверхностей переписаны уравнения Абеля и представление для ЭМ. Численно реализовано решение уравнений Абеля и вычисление ЭМ.

При выполнении этой работы получен ряд новых результатов, представляющих более специальный интерес.

• Предложены новые представления универсальной накрывающей пространства модулей вещественных гиперэллиптических кривых, необходимых для описания экстремальных многочленов. Показана эквивалентность этих представлений. В частности, пространство Q^ аналитически униформизует m-конфигурационное пространство полуплоскости, а действие группы кос из т нитей на нем обладает простым координатным описанием.

• Произведена асимптотическая оценка остаточного члена в линейном тэта ряду Пуанкаре. Предложены методы суммирования последнего.

• Предложены новые формулы для вариаций абелевых интегралов и их периодов в модели Шоттки римановых поверхностей. Предложен метод вычисления производных от абелевых интегралов по направлениям в пространстве модулей, требующий суммирования (линейных и квадратичных) рядов Пуанкаре только в (2д — 1) точке, независимо от требуемой точности.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Богатырев, Андрей Борисович, 2003 год

1. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям - М: Мир, 1969.

2. Альфорс Л., Верю Л. Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения М: ИЛ, 1961.

3. Альфорс Л.В. Комплексно аналитическая структура пространства замкнутых римановых поверхностей в сборнике "Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения", М: ИЛ, 1961.

4. Антонью А. Цифровые фильтры: анализ и проектирование М., Радио и связь, 1983.5. "Задачи Арнольда" М., Фазис, 2000.

5. Ахиезер Н.И. Uber einige Furiktionen die in gegeben Intervallen am wenigsten von Null abweichen.// Изв. Казанского ф.-м. общества 3 (1928), вып.З.

6. Ахиезер Н.И. Uber einige functionen welche in zwei gegebenen Interuellen am wenigsten von Null abweichen I-III. //Известия АН СССР, 9(1932), стр 1163-1202; 4(1933).

7. Ахиезер Н.И. Об ортогональных многочленах на нескольких интервалах //ДАН СССР, 134 (1960), вып.1, стр. 9-12.

8. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации М: Наука, 1965.

9. Ахиезер Н.И, Левин Я. Неравенства для производных, аналогичные неравенству Бер-нштейна// ДАН СССР 117 (1957), стр. 735-738.

10. Бахвалов Н.С. Жидков Н.П. Кобельков Г.М. "Численные методы" М., Наука, 1987.

11. Бердон А.Ф. Геометрия дискретных групп М: Наука, 1986

12. Бернштейн С.Н. Экстремальные свойства многочленов М: ОНТИ, 1937.

13. Берс Л. Голоморфные дифференциалы как функции модулей-в сборнике "Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения", М: ИЛ, 1961.

14. Бобенко А.И.//ДАН СССР, 295(1987), стр. 268-272, см. также главу 5 в книге Belokolos E.D., Bobenko A.I., Enol'skii V.Z., Its A.R., Matveev V.B. Algebro-Geometric Approach to Nonlinear Integrable Equations Springer, Berlin, 1994.

15. Васильев B.A. Ветвящиеся интегралы, M: МЦНМО, 2000.

16. Васильев В.А. Введение в топологию, БСМ-3, М: Фазис, 1997.

17. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия М: Наука, 1986.

18. Гриффите Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии, М: Мир, 1982.

19. Звонкин Д.А., Ландо С.К. О кратностях отображения Ляшко-Лойенги на стратах дискриминанта //Функц. анализ и прилож. 33:3, 1999.

20. Здравковская С. Топологическая классификация многочленов // УМН 25:4, 1970, стр. 179-180.

21. Золотарёв Е.И. Об одном вопросе о наименьших величинах (1868), ПСС Е.И. Золотарёва, т. 2, Изд-во АН СССР, Л., 1932, с. 130 166.

22. Золотарёв Е.И. Приложение эллиптических функций к вопросам о функциях, наименее и наиболее отклоняющихся от нуля (1877), ПСС Е.И. Золотарёва, т. 2, Изд-во АН СССР, Л., 1932, с. 1-59.

23. Кляйн Ф. Лекции о развитии математики в 19 столетии М: Наука, 1989.

24. Кондевич М.Л. 'Теория пересечений на пространстве модулей кривых //Функц. Анализ и Прилож. 25:2 (1991), стр. 50-57.

25. Кра И. Автоморфные формы и клейновы группы М., Мир, 1975.

26. Крейн М.Г., Левин Б.Я., Нудельман А.А Специальные представления многочленов положительных на системе отрезков и их приложения //препринт N 28-84, Физ.-Тех.Институт Низких Температур АН УССР, Харьков, 1984, перевод в AMS Transl. (2) Vol. 142 (1989).

27. Крейнес Е.М. Рациональные функции с немногими критическими значениями Кандидатская диссертация, МГУ, 2001.

28. Крушкаль С.Л., Апанасов Б.Н., Гусевский Н.А. Клейновы группы и униформизация в примерах и задачах Новосибирск: СО Наука, 1981.

29. Лебедев В.И. Об итерационных методах решения операторных уравнений со спектром, лежащим на нескольких отрезках //ЖВМиМФ, 9:6 (1969), стр. 1247-1252.

30. Лебедев В.И. Как решать явными методами жёсткие системы дифференциальных уравнений М: Наука, в кн. Марчук Г.И. (ред.) "Вычислительные процессы и системы - 8", стр. 237-292, 1991.

31. Лебедев В.И., Медовиков А.А. Явный метод второго порядка точности для решения жёстких систем обыкновенных дифференциальных уравнений //Известия ВУЗов, Математика, т.Ю (1995), стр. 37-52.

32. Малышев В.А. Уравнение Абеля //Алгебра и анализ, 13:6 (2001), стр. 1-55.

33. Мамфорд Д. Лекции о тета-функциях М: Мир, 1988.

34. Математическая Энциклопедия М: Советская Энциклопедия, 1984.3G. Мейман Н.Н. К теории многочленов, наименее уклоняющихся от нуля- ДАН, 130:2, 1960, стр. 257-260:

35. Натанзон С.М. Модули вещественных алгебраических кривых и их супераналогов. -УМН, 54:6, 1999, стр. 3-60.

36. Пакович Ф.Б. Эллиптические многочлены // УМН, 50:6 (1995), стр. 203,

37. Пашковский С. Вычислительные приложения многочленов и рядов Чебышева М: Наука, 1983

38. Прасолов В.В., Шварцман О.В. Азбука римановых поверхностей, М: Фазис, 1999

39. Пуанкаре А. Теория фуксовых групп // Acta Math., 1882, V 1.

40. Пуанкаре А. Мемуар о фуксовых функциях // Acta Math., 1882, V 1, pp. 193-294

41. Пуанкаре А. Аналитическое резюме//Acta Math., V.38 (1921).

42. Ремез Я.И. Общие вычислительные методы чебыгиевского приближения. Киев, Изд-во АН УССР, 1957.

43. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ М: Мир, 1973.

44. Содин M.JL, Юдицкий П.М. Функции, наименее уклоняющиеся от нуля на замкнутых подмножествах действительной оси.// Алгебра и анализ. 4:2 (1992), стр. 1-61.

45. Содин M.JL, Юдицкий П.М. Алгебраическое решение задач Е.И.Золотарёва и Н.И.Ахиезера о многочленах, наименее уклоняющихся от нуля //Теория функций, функциональный анализ и их приложения, 56 (1991), CTp./-6i.

46. Спрингер Г. Введение в теорию римановых поверхностей М: ИЛ, 1960.

47. Суетин С.П. Аппроксимации Паде и эффективное продолжение степенного ряда. //УМН, 57:1 (2002), стр. 45-142.

48. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений, М: МГУ, 1976.

49. Тиман А.Ф. Теория приближений функций действительного переменного, М: Физ-матгиз, 1960.

50. Уиттеккер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа т. 2 М: Физматгиз, 1963.

51. Фоменко А.Т., Фукс Д.Б. Курс гомотопической топологии М: Наука, 1989.

52. Форд JI.P. Автоморфные функции M-JL: ОНТИ, 1936.

53. Цишанг X., Фогт Э., Колдевай Х.Д. Поверхности и разрывные группы М: Наука, 1988.

54. Чеботарёв Н.Г. Теория алгебраических функций M.-JL, ОГИЗ, 1948.

55. Чебышёв П.Л. Теория механизмов, известных под именем параллелограммов (фр-) СПб, 1853.

56. Чебышёв П.Л. Избранные труды М.-Л., ОГИЗ, 1946.

57. Чехов Л.О. Матричные модели: геометрия пространств модулей и точные решения //Теоретическая и математическая физика, 127:2 (2001).

58. Чжень Шен-Шень Комплексные многообразия М: ИЛ, 1961.

59. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ II (многие переменные) М: Наука, 1985.

60. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии М: Наука, 1988.

61. Шиффер М., Спренсер Д.С. Функционалы на конечных римановых поверхностях М: ИЛ, 1957.

62. Abel N. Sur I'integration la formule diferentielle.// J.Reine u. Angewand. Math. 1 (1826) pp. 105-144.

63. Akaza T. Singular sets of some Kleinian groups//Nagoya Math. J. 29(1967) pp.145-162

64. Arbarello E., Cornalba M., Grifiths P.A., Harris J. Geometry of algebraic curves I, II-NY: Springer 1985

65. Artin E. Theorie der Zopfe//Abh. Math. Semin. Univ. Hamburg, 4(1925), S. 47-72.

66. Baker H.F. Abel theorem and allied theory, Cambridge, 1897.

67. Bers L. Uniformization, moduli and Kleinian groups//Bull. London Math. Soc, 4(1972) pp. 257-300.

68. Birman J.S. Braids, links, and mapping class groups Princeton U. Press, Princeton, NJ, 1974.

69. Burau W. Uber Zopfinvarianten //Abh. Math. Semin. Univ. Hamburg, 4(1925), S. 47-72.

70. Burnside W. On a class of authomorphic functions //Proc. London Math. Soc. vol XXIII, 1892, pp. 49-88.

71. Cauer W. Theorie der linearen Wechselstromschaltungen Akademie Verlag, Berlin, 1954.

72. Earl C.J. On variation of projective structures in Riemann Surfaces and Related Topics, Princeton University Press, 1980, pp. 87-99.

73. Enol'skii V.Z., Rostov N.A. On the geometry of elliptic solitons// Acta Appl. Math,, 36(1994), pp. 57-86.

74. Farkas H., Kra I. Riemann Surfaces NY, Berlin: Springer Verlag, GTM-71, 1992.

75. Fay J. Theta functions on Riemann Surfaces Springer, Lect. Notes in Math.-352, 1973.

76. Fricke R., Klein F. Vorlesungen iiber die Theorie der automorphen Functionen. Leipzig: Teubner, 1926.

77. Gardiner F.P. Teichmiiller theory and quadratic differentials NY: John Wiley & Sons, 1987.

78. Gesztesy F., Weikard R. Picard potentials and Hill's equation on a torus j / Acta Math., 176(1996), pp. 73-107.

79. Gesztesy F., Weikard R. Elliptic algebro-geometric solutions of the KdV and AKNS hierarchies// Bull. AMS, 35(1998), pp. 271-317.

80. Gunning R.C. Lectures on Riemann Surfaces Princeton University Press, 1966.83. van der Houvven P.J., Kok J. Numerical solution of a maximal problem, Report TW 124/71, Mathematical Centre, Amsterdam, 1971.

81. Hairer E. Wanner G. Solving ordinary differential equations II. Stiff and differential algebraic problems. 2nd ed.,Springer Verlag, Berlin, 1996.

82. Hejhal D.A. Sur les parameters accessoires pour I'uniformization de Schottky// C.R. Acad. Sc. Paris, t.279 (1974) Serie A, pp. 713-716.

83. Hejhal D.A. On Schottky and Teichmiiller spaces// Adv. in Math., 15(1975), pp. 133-156.

84. Hejhal D.A. The variational theory of linearly polymorphic functions// Journal d'Analyse Mathematique, 30(1976), pp. 215-264.

85. Hejhal D.A. Monodromy groups and Poincare series// Bull. AMS, 84:3(1978), pp. 339-376.

86. Hurwitz A. Uber Riemannsche Flachen mit gegebenen Verzweigungspunkten //Math. Ann. 39 (1891) pp. 1-61.

87. Hubbard J.H. On monodromy of projective structures//in Riemann surfaces and Related topics, Princeton University Press, 1980, pp. 257-275.

88. Lebedev V.I. Zolotarev polynomials and extremum problems //Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling 9(1994), N3, pp. 231-263.

89. Lebedev V.I. Extremal polynomials with restrictions and optimal algorithms в сборнике Alekseev A.S., Bakhvalov N.S. Advanced Mathematics: Computation and Applications, Novosibirsk: NCC Publishers, 1995, pp. 491-502.

90. Lomax H. On the construction of highly stable, explicit numerical methods for integrating coupled ordinary differential equations with parasitic eigenvalues, NASA Technical Note NASATND/4547, 1968.

91. Magnus W. Braids and Riemann Surfaces // Comm. Pure and Appl. Math., 15(1972), pp. 151-161.

92. Medovikov A.A. High order explicit methods for parabolic equations // BIT, 38:2 (1998), pp. 372-390.

93. Myrberg P.J. Zur Theorie der Convergenz der Poincareschen Reihen.// Ann. Acad. Sci. Fenn. (A)9:4 (1916) pp. 1-75.

94. Nuttal J. Sets of minimum capacity, Pade approximants and the bubble problem в сборнике C.Bardos, D.Bessis (eds.) "Bifurcation phenomena in Math. Physics and related topics", pp. 185-201, D.Reidel Publ. Company, 1980.

95. Peherstorfer F. On Bernstein-Szego orthogonal polynomials on several intervals II.// Jounal of Appr. Theory 64 (1991), pp. 123-161.

96. Peherstorfer F. Orthogonal and extremal polynomials on several intervalsj / J. Comput.& Appl. Math., 48 (1993), pp. 187-205.

97. Peherstorfer F., Schiefermayr K. Description of extremal polynomials on several intervals and their computation I,II // Acta Math. Hungar., 83(1999), pp. 71-102, pp. 103-128.

98. Rauch H.E. Weirstrass points, branch points and moduli of Riemann surfaces// Comm. Pure к Appl. Math. vol. XII(1959), pp. 543-560.

99. Schiffer M., Hawley N.S. Connections and conformal mappings // Acta Math. 107(1962), pp. 175-274.

100. Schiffer M., Hawley N.S. Half order differentials on Riemann surfaces // Acta Math. 115(1966), pp. 199-236.

101. Schottky F. Uber eine specielle Function welche bei einer bestimmten linearen Transformation ungeandert bleibt // J. Reine Angew. Math. 101(1887), S. 227-272.

102. Shabat G.B., Zvonkin A.K. Plane trees and algebraic numbers/J "Contemporary Mathematics", Vol. 178, pp. 233-275, 1994.

103. Strebel K. Quadratic differentials Springer Verlag: Berlin, NY, 1984.

104. Singer I. Cia mia buna aproximare on spatii vectoriale normate prin elemente din subspatii vectoriale Acad. RSR Bucuresti, 1967.

105. Tsuji M. Potential theory in modern function theory Maruzen, 1959.

106. Widom H. Extremal polynomials associated with a system of curves in the complex plane //Adv.Math. 3(1969), pp. 127-232.

107. Zakharov V.E., Zaslavskii M.M., Kabatchenko I.M., Matushevskii G.V., Polnikov V.G. Conceptually new wind-wave model. Sydney, Australia, 1999, pp. 159-164.1. Публикации автора

108. Bogaty^v А.В. Chebyshev polynomials and navigation in moduli space of hyperelliptic curves //Russ. J. Numer. Anal, and Math. Modelling. 14:3 (1999), pp. 205-220.

109. Богатырёв А.Б. Об эффективном вычислении многочленов Чебышёва для многих отрезков //Математический сборник 190:11 (1999), стр. 15-50,

110. Богатырёв А.Б. Многообразия опорных множеств многочленов Чебышева //Математические заметки 67:6, (2000), стр. 828-836.

111. Богатырёв А.Б. Эффективный подход к задачам о наименьшем уклонении //Математический сборник, 193:12 (2002), стр. 21-41.

112. Богатырёв А.Б. Представление пространств модулей кривых и вычисление экстремальных многочленов// Математический сборник, 194:4 (2003), стр. 3-28.

113. Bogatyrev А.В. On Tchebyshev polynomials in numerical solution of uniformization problems. Труды конф., посвященной 175-летию П.Л.Чебышева. Обнинск, 1996, стр. 161.

114. Богатырёв А.Б. Геометрический метод решения серии интегральных уравнений Пуанкаре-Стеклова //Математические заметки, 63:3 (1998), стр. 343 353.

115. Богатырёв А.Б. Интегральные уравнения Пуанкаре-Стеклова и задача монодромии Римана //Функциональный анализ и его приложения, 34:2 (2000), стр. 9 22.