Дифференциалы Прима на переменной конечной римановой поверхности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Казанцева, Алена Алексеевна

• Казанцева, Алена Алексеевна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Казанцева, Алена Алексеевна

Содержание

Введение

Глава 1. Дифференциалы Прима на переменной конечной

римановой поверхности

§1.1. Предварительные сведения

§1.2. Когомологическое расслоение Ганнинга на конечной римановой

поверхности

§1.3. Элементарные дифференциалы Прима

§1.4. Дифференциалы Прима для несущественного характера —27 §1.5. Мультипликативные функции и единицы на конечной римановой

поверхности

§1.6. Дифференциалы Прима для существенного характера

Глава 2. Однозначные дифференциалы на переменной конечной римановой поверхности

§2.1. Элементарные д—дифференциалы

§2.2. Векторные расслоения однозначных мероморфных дифференциалов над пространствами Тейхмюллера

§2.3. Базисы голоморфных дифференциалов на переменных гиперэллиптических римановых поверхностях

Глава 3. Дифференциалы Прима с матричными характерами

на компактной римановой поверхности

§3.1. Предварительные сведения

§3.2. Матричные характеры на фуксовой группе

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дифференциалы Прима на переменной конечной римановой поверхности»

Введение

Мультипликативные функции и дифференциалы Прима для специальных характеров на компактной римановой поверхности нашли приложения в уравнениях математической физики в работах П. Аппеля [15], С.П. Новикова, И.М. Кричевера [6], в теоретической физике (Р. Дик [17; 18], С. Климек [26]), а также в аналитической теории чисел в работах X. Фаркаша, И. Кра [20] и в теории пространств Тейхмюллера в работах JI.B. Альфорса, JI. Берса [1], C.JI. Крушкаля [7] и К. Эрла [19].

В работах Ф. Прима, Г. Роста [30], Р. Ганнинга [22], X. Фаркаша, И. Кра [20], В.В. Чуешева [12; 13], М.И. Головиной [3] начато построение основ теории мультипликативных функций и дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности для произвольных характеров. Отметим, что классическая теория абелевых дифференциалов и дифференциалов Прима строилась только на фиксированной компактной римановой поверхности.

' В диссертационной работе A.A. Казанцевой построены основы теории дифференциалов Прима на переменной конечной римановой поверхности и с переменными характерами. Причем используются новые средства геометрической теории функций: пространства Тейхмюллера, группы характеров, векторные расслоения из дифференциалов Прима над пространством Тейхмюллера, универсальное многообразие Якоби, расслоения целых дивизоров с голоморфными сечениями над пространством Тейхмюллера, сложная техника работы с классами дивизоров на римановой поверхности и матричные аналоги тэта-рядов Пуанкаре.

В работе также дано построение теории однозначных мероморфных функций и абелевых дифференциалов положительных порядков на римановой поверхности с конечным числом проколов, что является важ-

ной составной частью задачи о построении теории мультипликативных функций и дифференциалов Прима на римановых поверхностях F' типа (д, п),д > 2,п > 1. В сравнении с компактным случаем [9; 20], получаем следующие различия: 1) Комплексное векторное пространство голоморфных дифференциалов на компактной римановой поверхности F конечномерно, а на поверхности F' (с проколами) бесконечномерно; 2) На поверхности F нет непостоянных голоморфных функций, а на F' существуют непостоянные голоморфные функции; 3) На компактной римановой поверхности F мероморфные функции и дифференциалы имеют конечное число нулей и полюсов, а в нашем случае возможно счетное число нулей и полюсов.

Известно, что для построения теории однозначных дифференциалов большую роль играют, так называемые, элементарные дифференциалы положительных порядков [20], которые имеют минимальное количество полюсов: либо один полюс порядка > 2, либо два простых полюса, и голоморфно зависящие от модулей [¡л] компактных римановых поверхностей Ffl. В данной работе дано полное конструктивное описание дивизоров элементарных, как абелевых дифференциалов, так и дифференциалов Прима всех родов. В классических работах не ставился вопрос о том, как даже известные элементарные абелевы дифференциалы tpq

[9; 20] зависят от модулей компактной римановой поверхности. В работе A.A. Казанцевой впервые доказана голоморфная зависимость от модулей [д] для римановой поверхности F^ типа (д,п).

Метод дивизоров и применение многообразий Якоби для переменной поверхности [19; 20] позволяют дать методы для развития теории, как мультипликативных дифференциалов, так и однозначных дифференциалов. Векторные расслоения были изучены в работах Н. Стинрода [10],

Г. Грауэрта [21] и поэтому результаты по теории функций в данной работе естественно сформулировать в терминах векторных расслоений над пространствами Тейхмюллера.

В первой главе построены основы теории мультипликативных функций и дифференциалов Прима на переменной римановой поверхности типа (д,п). Построены все виды элементарных дифференциалов Прима для любых положительных порядков ц > 1 и переменных характеров на переменной римановой поверхности типа (<7, п), а так же мультипликативные функции и единицы на таких поверхностях. С помощью когомологического расслоения Ганнинга над пространством Тейхмюллера Т9гП изучены два важных векторных расслоения, состоящие из мероморфных дифференциалов Прима, над произведением пространства Тейхмюллера и группы характеров римановой поверхности типа (д,п). Кроме того, в этих расслоениях найдены базисы дифференциалов Прима, которые голоморфно зависят и от модулей римановой поверхности типа (д, п), и от характеров. В частности, найдена размерность и построен базис в первой голоморфной группе когомологий де Рама для характеров на таких поверхностях.

Во второй главе изучаются классические абелевы д—дифференциалы на переменной поверхности типа (д, п) для д > 1. Методы из первой главы, примененные к дифференциалам Прима, можно успешно применять и для случая абелевых (однозначных) дифференциалов на переменных конечных римановых поверхностях. Таким образом, в главе 2 построены основы теории абелевых д—дифференциалов, как аналог теории дифференциалов Прима, включающие в себя: построение всех типов элементарных абелевых д—дифференциалов и описание двух важных векторных расслоений таких дифференциалов над пространством Тейхмюлле-

ра Т9уП. Кроме того, для важного класса гиперэллиптических поверхностей найдены явные базисы голоморфных абелевых д—дифференциалов и дифференциалов Прима для несущественных характеров, которые голоморфно зависят от точек ветвления (модулей) гиперэллиптических поверхностей.

В третьей главе двумя методами доказано существование мультипликативных функций и д—дифференциалов Прима (д > 1) для любых матричных характеров на компактной римановой поверхности рода д > 2, без условия регулярности функции, определяющей матричный тэта-ряд Пуанкаре, на границе круга.

Глава 1.

Дифференциалы Прима на переменной конечной римановой ; поверхности

В главе 1 построены основы теории мультипликативных функций и дифференциалов Прима на переменной римановой поверхности типа(д, п) Найдены все виды элементарных дифференциалов Прима для произвольных переменных характеров на переменной римановой поверхности типа (д,п), а так же мультипликативные функции и единицы на таких поверхностях. С помощью когомологического расслоения Ганнинга над пространством Тейхмюллера Тд,п изучены два важных векторных расслоения, состоящих из мероморфных дифференциалов Прима, над произведением пространства Тейхмюллера и группы характеров римановой поверхности типа (д,п). Кроме того, в этих расслоениях найдены базисы дифференциалов Прима, которые голоморфно зависят и от модулей римановой поверхности типа (д, п) и от характеров.

§1.1. Предварительные сведения

Абстрактная риманова поверхность есть пара (Р, Е), состоящая из связного хаусдорфова топологического 2-многообразия Р и комплексно-аналитической структуры Е на Р [7; 20].

Пусть .Р — фиксированная гладкая компактная ориентированная поверхность рода д > 2, с отмечанием т. е. упорядоченным набором образующих для 7Г\(Р), а Ро — компактная риманова поверхность с фиксированной комплексно-аналитической структурой на К Зафиксируем различные точки Рь ..., Рп е Р. Пусть Р' = Р\{Р\,Рп} —

поверхность типа (д,п), п > 1, д > 2, и Г' — фуксова группа первого рода, инвариантно действующая в круге С/ = {г £ С : \г\ < 1} и униформизирующая поверхность т. е. ^ = и/Г', которая имеет алгебраическое представление Г' = ..., Ад, В\,..., Вд, С\,..., Сп :

П [А/, В^Сх ... Сп = /}, где [А, В] = АВА~гВ~1 для Д £ е Г', а / -

з=1

тождественное отображение. Здесь Д, В^,^ = 1,..., д, — гиперболические, а С\, ..., Сп — параболические элементы [7].

Любая другая комплексно-аналитическая структура на Р' задается некоторым дифференциалом Бельтрами ¡л на т. е. выражением вида которое инвариантно относительно выбора локального параметра на где ¡л(х) — комплекснозначная функция на и норма Ы\ьМ) < СТРУКТУРУ на Р' буДсм обозначать через Р'^. Ясно, что /л = О соответствует Пусть М(Р') — множество всех комплексно-аналитических структур на Р' с топологией С°° сходимости наР^ Dгff+(P') — группа всех сохраняющих ориентацию гладких диффеоморфизмов поверхности Р' на себя, которые оставляют неподвижными все проколы, и 1)г//0(^') — нормальная подгруппа в состоящая из всех диффеоморфизмов, гомотопных тождественному диффеоморфизму на ^о- Группа действует на М(Р') по правилу [I />, где / € т//+(Р'), ц е М{Р'). Тогда пространство Тейхмюл-лера Тд,п(Р') = есть фактор-пространство М(Р')/£>г/[1;

7].

Так как отображение и —>• ^ = и/Т' локальный диффеоморфизм, то любой дифференциал Бельтрами ¡1 на поднимается до Г'—дифференциала Бельтрами ц на II, т. е. ц е ^(17), Ц/гЦ^ = езввир^и \ц{г)\ < 1, и ¡1(Т^))ТЦ/Т'(г) = ц(г),ге 17,Т е Г'.

Если Г'—дифференциал ¡л на II продолжить на С\£У, положив /л =

О, то существует единственный квазиконформный гомеоморфизм такой, что ги^ : С С с неподвижными точками +1,-1,г, который является решением уравнения Бельтрами г% = Отображение Т —)■ Т/х =

задает изоморфизм группы Г' на квазифуксову группу

г; = ^Г'(^)-1 = К,..., ВЦ, С?,..., : Пиу, =

3=1

Классические результаты Л. Альфорса, Л. Берса [1] и других авторов утверждают, что: 1) является комплексным многообразием раз-

мерности Зд — 3 + п при д > 2,п > 1; 2) Тд,п(Р') имеет единственную комплексно-аналитическую структуру такую, что естественное отображение Ф : М(Р') —> Тд,п(Р') будет голоморфным и, при этом, Ф имеет только локальные голоморфные сечения; 3) элементы из Г^ голоморфно зависят от модулей [/л] конечных римановых поверхностей Р^.

Два Г'—дифференциала Бельтрами /л и V будут конформно эквивалентными, если и только если ги^Т^1)-1 = , Т 6 Г'. Естественно, что выбор образующих Ьк}9к=1 и {71,..., 7п} в ж\(Р') эквивалентен выбору системы образующих {ак, ..., 7^} в -К\{Р^), и {Ар В^ и ,..., в Г^ для любого [/¿] из Т5)П. Отсюда получаем отождествления М(Р')/т//0(Р') = Тд,п(^') = Тд,п(Г'). При этом имеем взаимно однозначное соответствие между классами дифференциалов Бельтрами [/2], классами конформно эквивалентных отмеченных римановых поверхностей {ак, Ьк}9к=1 и {7^,..., 7^}] и отмеченными квазифуксовыми группами Г^ [1; 7].

В работе Л. Берса [1, с. 99] построены формы ^[ц] = (лСМ? • ■ •> СдЫ = М £ £ ^ У)11 (и) такие, что для любого \ц] е

эти формы являются поднятиями наш11^) голоморфных на абелевых дифференциалов (дМ? • • •, С^М? которые образуют канонический базис, двойственный к каноническому гомотопическому базису {ак,Ьк}к=1 на

причем он голоморфно зависит от модулей [¡л] для Кроме того, матрица Ь—периодов Г2(/л) = па состоит из комплексных

в>№

чисел = / (¿([/и],ги)<110, £ £ ги^([7), и голоморфно зависит от [¡л].

е

Для любых фиксированных [д] £ Тр и (о € определим класси-

ческое отображение Якоби ц) : ги^(1/) —> С5 по правилу:

$

<£/(0 = J СЛЫ,™)^^ = 1> ■ • ■ ,9-&

Фактор-пространство J{F) = С9/Ь(Р) называется отмеченным многообразием Якоби для Р — где Ь(Р) — решетка над Ъ, порожденная столбцами е^1),..., ..., матрицы (/9, Универсальное многообразие Якоби рода д есть расслоенное пространство над Ту, слой которого над £ Тд есть якобиан J{F^) поверхности ^ [19; 20].

Далее, для любого натурального числа га > 1 существует расслоенное пространство над у которого слой над [/л] 6 Т5 есть пространство всех целых дивизоров степени т на Голоморфные сечения этого расслоения определяют на каждой ^ целый дивизор степени га, который голоморфно зависит от [¡л]. Также существует голоморфное отображение (рт из этого расслоения в универсальное расслоение Якоби, при т > 1, ограничение которого на слои является продолжением отображения Якоби (р : —> J{F|J,). Известно, что для т — д отображение (/?': -^[/л^-Р^М является аналитическим изоморфизмом,

где Рд[/л] — д—кратное симметрическое произведение поверхности ^ на себя и = р(Рд[}л]) имеет комплексную размерность, не превы-

шающую д — 2 [20]. Локальные голоморфные сечения этих расслоений над окрестностью и([/ло\) С Тд можно получить (для любого т > 1) из локальных голоморфных сечений К. Эрла я для Ф : М{Р) —> над

ЩЫ) [19].

Характером р для ^ называется любой гомоморфизм р : (^(Рр, •) —>• (С*, •), С* = С \ {0}. Характер единственным образом задается упорядоченным набором

(р«),• ■ •,рКМьгМтО, ■ • ■,Р«)) е (С*)2£,+п.

Определение 1.1.1. Мультипликативной функцией / ма Р^ для характера р назовем мероморфную функцию f на (17) такую, что

Определение 1.1.2. д—дифференциалом Прима относительно фук-совой группы Г' для р, т. е. (р, — дифференциалом, называется дифференциал ш(г)дгд такой, что ш(Тг)(Т'г)4 — р(Т)и(г), г 6 17,

Те Г, р:Г'-> с*.

Определение 1.1.3. Абелевым дифференциалом первого рода называется голоморфный дифференциал. Абелевым дифференциалом второго рода называется мероморфный дифференциал, у которого все вычеты равны нулю. Абелевым дифференциалом третьего рода называется мероморфный дифференциал, который имеет хотя бы один простой полюс на Р [9; 20].

Если /о — мультипликативная функция на ^ для р без нулей и полюсов, то

где Р0[р] = /5М(Р0) е ц([р],р) <Е С,з = 1,...,д, с, зависят голоморфно от [р] и от р. При этом, интегрирование от фиксированной точки Ро[р] до текущей точки Р на переменной поверхности и ~ сечение К. Эрла [19] над 17 (\р0]) С Тд. Получим, что характер р для /о имеет вид:

р{а%) = ехр2тг 1ск(\р\,р), 11

9 ¿=1

' Будем называть такие характеры р несущественными, а /о (с таким характером) — единицей. Характеры, которые не являются несущественными, будем называть существенными на тг^Р^). Обозначим через Нот(Г, С*) группу всех характеров на Г с естественным умножением. Несущественные характеры образуют подгруппу Ьд в группе Нотп(Г, С*).

Определение 1.1.4. Дифференциал Прима ф класса С1 на Р' — и/Г' для р называется мультипликативно точным, если ф — и ЛТг) = р(Т)/(г),Т £ Г', г £ II, т. е. / — мультипликативная функция на Р' класса С2 для р.

Обозначим через Г^, р) для р £ Нот(Г', С*) множество всех отображений ф : Г^ —> С таких, что 0(5Т) = ф{Б) + р{Б)ф{Т), Г^ [22].

Пусть ф - замкнутый дифференциал Прима на Р' — ^ для р. Проинтегрировав его, получим, что ¡(Тг) - /(Тг0) = р(Т)(/(г) - /Оо)), где ф — с1/(г),г Е II, /(г) — интеграл Прима на круге и для ф, который определяется с точностью до аддитивного слагаемого. Отсюда для Те Г' верно равенство /(Тг) = р(Т)/(г) + где 0/Л)(Т) -

/(Тго) — р{Т)${го). Таким образом, определено : Г' —> С отображение периодов для ф. Оно зависит от выбора интеграла Прима /(г) на II и базисной точки го. Если /1(2:) = /(г) + с — другой интеграл Прима для ф, то ф/г,г0{Т) = ф/,го{Т) + са(Т),Т £ Г'. Легко проверить, что оба отображения и 0/ьго удовлетворяют коциклическо-му соотношению ф{БТ) = </>(5) + р{Б)ф{Т), 5,Т е Г'. Они принадлежат пространству £1(Г',р) и представляют один и тот же класс периодов [ф] из Я1 (Г', р) = г1{Г,р)/В1{Т',р) для дифференциала При-мд, ф на Р', где В1{Т',р) - одномерное подпространство порожденное сг,

(т(Т) = 1~р{Т),ТеТ'.

Для замкнутого дифференциала Прима ф можно определить, так называемые, классические периоды. Для Г б Г' соответствующий ему

Тг0

классический период фго{Т) = / ф и верно равенство

20

Фъ(Т) = Ф^(Х) - 1Ы)*(Т).

Следовательно, отображения вида Г —> (периоды по Р. Ган-

нингу) и вида Т фго(Т) (классические периоды) определяют один и тот же класс периодов [ф] Е Н1(Т',р) для дифференциала Прима ф на для р. Поэтому корректно определено С—линейное отображение р :</>—> [ф] из векторного пространства замкнутых дифференциалов Прима ф на Р' для р в векторное пространство Н1(Г', р).

Обозначим через пространство дифференциалов Прима вто-

рого рода с конечным числом полюсов на ^ для характера р [9; 20].

Лемма 1.1.1. Если и Е 0,2,имеет класс периодов [о;] = 0 в Н1(Г^р), то и — мультипликативно точный дифференциал на ^ для р.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно доказать это для фиксированных поверхности и характера. Классические периоды 0^(71),... ,^(7^) получаются при обходе по петлям 71,...,вокруг отдельных полюсов для дифференциала и соответственно. Они все обращаются в нуль, так как эти периоды равны вычетам относительно полюсов второго или большего порядка для ветвей нашего многозначного дифференциала.

Если класс периодов [си] = 0, то отсюда классический период ¿¿^(Т) = са{Т),с ф 0 для любого Т, где Ыхо{Т) = ¡{Тх0) - /(*„) = с(1 - р{Т)), а / — некоторый интеграл Прима для ш. Тогда / = (/ — с) будет мультипликативной функцией для р и и> = df = с£(/ — с). Поэтому, пери-

оды по Ганнингу ш^аг),..., £го(65), £^(71),... ,й2о(уп) все равны нулю для некоторого представителя из класса Следовательно и является мультипликативно точным дифференциалом для р на Р^. Лемма 1.1.1 доказана.

Дивизором на Рм назовем формальное произведение И = Р™1 ... Ркк,

Р, <= Р^п, = 1, - - -, А;.

Обозначим через гр(В~1) размерность комплексного векторного пространства мультипликативных функций / кратных дивизору для характера р, и через гр-\(И) ~ размерность комплексного векторного пространства дифференциалов Прима, кратных дивизору И для характера р~соответственно на Рм.

Теорема (Римана-Роха для характеров) [13; 20]. Пусть Р — компактная риманова поверхность рода д > 1. Тогда для любого дивизора И на Р и любого характера р верно равенство

гДР'1) = дедВ -д + 1 +

Теорема (Абеля для характеров)[13; 20]. Пусть И — дивизор на отмеченной переменной компактной римановой поверхности [Рр, {а^,..., ... рода д > 1 и р — характер на ^(Р^). Тогда И будет дивизором мультипликативной функции / на Р^ для характера р дедБ = 0 и

№ = - мрМ))

3=1 3=1

в С9 по модулю целочисленной решетки ¿(Р^), порожденной столбцами е(%],.. ., еЩр], ■ • •, где у[р] : Рм 7(РМ).

:Отметим, что, по теореме Л. Берса [1, с. 99], отображение^ зависит локально голоморфно от р и [р].

Определение 1.1.5. Точка Р называется мультипликативной точ-

кой Вейерштрасса для несущественного (существенного) характера р на Р, если для Р существует мультипликативный не пробел 2,1 < 3 < 9 (1 < 3 < 9 ~ 1)) т- е- существует мультипликативная функция f для р на Р с единственным полюсом в Р точно порядка з, 1 < з < д {\<3<д-\) [13].

Теорема 1.1.1 [13]. Для любого д > 1, д 6 К, мультипликативные д— точки Вейерштрасса на переменной компактной римаповой поверхности ^ рода д > 1 локально голоморфно зависят от модулей [/л] компактной римановой поверхности и от характеров р, а пробелы в мультипликативных 1 —точках Вейерштрасса и веса в мультипликативных д-точках Вейерштрасса являются локально постоянными функциями от [р] и от р со значениями в N.

§1.2. Когомологическое расслоение Ганнинга на конечной

римановой поверхности

Обозначим через Z1(Г,, р), для р £ Нот(Г', С*), множество всех отображений ф : Г' —> С таких, что 0(5Т) = ф(в) + р(5)0(Т), 5, Т е Г' [22]. Отметим основные свойства таких отображений:

1) так как 0(5 • I) = 0(5) + р(5)0(/) и р(5) ф 0, то ф{1) = 0;

,2) 0(5-!) = -^Ц, так как 0 = ф(1) = 0(55^) = 0(5) + р(5)0(5'1);

3) 0([Д Б][С, /?]) = Ф{[А, В\)+р([А, Б])0([С, Я]) = 0([Л, Б])+0([С, £>]), так как р([А, Б]) = 1;

4) 0([А, В}) = а(В)ф(А) - а(А)ф{В) для любых А,Ве Г', где <т(Т) = 1-р(Т), Те Г'.

Каждый элемент ф 6 Zl(Tl,p) единственным образом определяется упорядоченным набором комплексных чисел ф{А{),..., ф(Ад), ф(В\),...,

Ф{Вд), Ф{С\),..., ф(Сп).

Лемма 1.2.1. Для любого ф е Z1(T',p) верно равенство

д п— 1

£ (а(В3)ф(А3) - а(А3)ф(В3)) + ф{С{) + ]>>(СХ ''' =

7=1 7=1

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из равенства / = П [Ал вз\с\ • • • сп следует,

7 = 1

что

9 9

О = ф(1) = Б,]) + В,]ЖС71 • • ■ ад =

7=1 7=1

= ^{а{В3)ф{А3) - а{А3)ф{В3)) + ф(С,... Сп).

7 = 1

Найдем

ф(Сг ...Сп) = ф{Сх) + р{Сх)ф{С2 ...Сп) = ф(С1) + р{С1)(ф(С2)+

+р(С2)ф(С3 ... Сп)) = ф(Сг) + р{С1)ф{С2) + р{С1С2)ф(Сь)+

+р(С1С2С3)0(С4) + • • • + р(Сг... С3)ф(С3+1) + • • • + Р(Сх... СП_1)0(С„).

Лемма 1.2.1 доказана.

Голоморфный дифференциал Прима 0 = ф(г)с1г (д = 1) для характера р на Р', определенный на односвязном круге 17, может быть записан в виде ф = (¿/(г), где ¿/(Гг) = р{Т)<Ц{г), /(Г*) = />(Г)/(*) + 0(Т), 0(Т)-^о,/(Т) = /(Т^о)-р(Т)/(го)длялюбогоТбГ/, г £ [/, е I/. Легко проверить, что ф £ И1 (Г', р).

Пусть Г^ - квазифуксова группа первого рода типа (<?,п), элементы которой голоморфно зависят от модулей [р], униформизирующая переменную отмеченную конечную риманову поверхность Р^ [7]. Лемма 1.2.2. Голоморфное главное Нот{Г', С*)-расслоение

Е = У Яо7тг(Г' С*) аналитически эквивалентно тривиальному рассло-

Ы

ению ^„(Р1') х Нот(Г', С*) над базой Т5,П(Р;).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Глобальная тривиализация (карта) О сопоставляет паре е х Нот(Г^,С*) упорядоченный набор

Р^СЦ^р^С^)) е х [с*]2^»-1.

Она задает послойную биекцию из Е на Тд,п{^')х [С*]25+п_1 и определяет на Е глобальную комплексную аналитическую структуру. Аналогично, отображение 0О : Щ]] р) ([Р/]; р^),..., р(Вд), р{С{),..., /о(С„_1)) задаёт глобальную карту на прямом произведениихНот(Т': С*). Определим отображение ф по правилу ф : гДе

р(А,) = р,(А»), р(В= ^(В?), ; = 1, и р(Ск) = р^СЦ), к = 1,..., п — 1. Оно будет изоморфизмом из переменного слоя Ногп(Г^, С*) на постоянный слой Нот{Т', С*) при каждом фиксированном [Е'^]. В картах © и ©о отображение ф имеет вид (гс2; гс£), а значит будет биголо-морфным изоморфизмом из Е на произведение Тэ,п(Р") х Нотп(Г', С*) над базой ТдгП(Е'). Лемма 1.2.2 доказана.

Рассмотрим Z1(T'¡V р) комплексное (2д + п— 1)-мерное векторное пространство для р при п > 1. Пусть В^Г^, р) — одномерное подпространство в Zl(Г'fJL, р), порожденное элементом а при р Ф 1. Тогда Н1(Г^, /?) = Z1 (Г'р, р)/В1 (Г'р, р) ~ комплексное (2д + п — 2)-мерное векторное пространство для р ф 1, и (2д + п — 1)-мерное пространство для р = 1 [22].

В дальнейшем будем предполагать, что = 1, 3 = 1, • • •, п.

Множество С = и Н1{Т'10р) будем называть когомологическим расслоением Ганнинга над базой Тд,п х Нотп(Г', С)\{1} [22]. Для С при р ф 1 используем изоморфизм Ганнинга [22] между комплексным векторным пространством р) и векторным пространством Нотр([Т', Гу, С), состоящим из гомоморфизмов •• [Г^,Г^] —(С,+) с условием, что

17

0о(5Т5'-1) = р(5)0о(Т),Т 6 [г;,г'м},5 6 г;. Здесь [г^гу - коммутант группы Г^. Таким образом, расслоение С изоморфно векторному расслоению У ЯогаД[Г^, Г^], С).

Кроме того, матрицы перехода для этого расслоения можно будет определить через 2д координатных окрестностей из = {р : р(АФ 1 },ид+3 — {р : р(В?) ф 1}, з = 1,...,д, которые покрывают базу #от(Г^,С*)\{1}, при условии р(= 1, з = 1 , ...,п. Для окрестности 1]\ будет а(А^) ф 0. Любой элемент фо Е Нотр{\Г'^ Г^], С) при р £ и1 можно задать как фо = ф11 [г'м,г'м] Для Ф\ ^ ^(Т^/о) такого, что ФМЧ) = 0 и 0!(Т) = А?]), Г е г; [22].

Теорема 1.2.1. Когомологическое расслоение ГаннингаС над Т^тЦ-Р") х (Яот(Г', С*)\{1}) является голоморфным векторным расслоением ранга 2д + п — 2 при п > 1, д >2.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем, что С\щ(1о]хи1 гомеоморфно и[ро] х иг х С25,+п-2, где координаты на слоях задаются так, что над и\ро] х ^ имеем

3 = А?]) = о-(А?)ф?(А?) - а(А^?(АП,

^ = А?]) - о{А»)фЧ{В?) - о(В?)ф?(А?),

С = Фо[С^ А?} = ф^, А?} = НАГЖС») - <7(С£МАП = ,а над С/[/^о] х ид+1 имеем

еГ1 = ФО([а?, в1/}), <п*;1 = ф,([в>~\ в';}),

= в{] = вп = (7

з = 1,... , (I - 1), I + 1,... ,д, 1 = 1,...,д, т = 1,... ,71. Над £/1 получаем соотношения:

= <ми;+1, А?]) = А?]) =

^ = ЛЯ) = ^ = 1, ... ,д - 1;

С = Л?] = Л?] = а^ШОД, т = 1,..., п.

Таким образом, координаты 77], СЛОЯ наД фиксированным ([/1], р) однозначно задают числа ^(Л?) = 0, ..., (В?), $(В%),

..., ..., (С£), а значит и весь класс когомологий [0^],

где

- <7 Ю0(в;)) + ¿0(00 = о, 7=1 Й=1

а значит

■ 9-1 '

Е Н^'ж^,1 - ^К-ы)^1) + с! + ■ • • + с

и=1

Аналогично поступаем для остальных окрестностей.

Координаты 7]13, являются линейными комбинациями от

0//(С£) с голоморфными коэффициентами на 17[ро] х (£4 П [/¿), так как 0П[г^г;,] = 0о = над х (£4 П Щ. Здесь ф,1к и ф

определяются аналогично, как 01 над 11\, над 11к и (У\ соответственно.

Затем ф^(А^), ф^(В^), фк{С£) — линейные комбинации от с голоморфными коэффициентами на Поэтому координаты 97', будут линейными комбинациями от£^, 77^, с голоморфными коэффициентами на и[ро] х (11к р| и{). Таким образом, матрицы перехода Тк,1 голоморфны на и[ро] х (£4пС/г) и С' - голоморфное векторное расслоение над х (Нотп(Т', С*)\{1}. Теорема доказана.

Замечание 1.2.1. В случае п = 0 эта теорема доказана в статье Ганнинга [22] для рода д = 2 и в книге [13] для рода д > 2.

§1.3. Элементарные дифференциалы Прима

Для построения общей теории однозначных и мультипликативных дифференциалов большую роль играют, так называемые, элементарные дифференциалы [9; 20] любого порядка, которые имеют минимальное

количество полюсов, т. е. это либо один полюс порядка > 2, либо два простых полюса, и голоморфно зависящие от характеров р и от модулей [р] римановых поверхностей. В этом параграфе будет найден общий вид элементарных (р, д)— дифференциалов Прима на Р'.

Пространство М\(р) состоит из дифференциалов Прима для р на Р', которые имеют конечное число полюсов на Р' и допускают мероморф-ное продолжение на Р. Пространство М2(р) состоит из дифференциалов для р имеющих конечное число полюсов на Р' и в проколах при аналитическом продолжении могут быть изолированные существенно особые точки.

..Предложение 1.3.1. Дивизор И степени (2д — 2)д является дивизором мероморфного (р, д) -дифференциала и на компактной римановой поверхности Р рода д > 2 для характера р при д > 1, если и только если <р(0) = —2/Сд + ф(р) в J(F), где К - вектор констант Римана голоморфно зависящий от модулей римановых поверхностей Р и от выбора базисной точки.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть о;0 - абелев 1-дифференциал на К Тогда / = - мультипликативная функция на Р для р. По теореме Абеля для характеров имеем равенства:

Ф{Р) = ¥>((/)) = ¥>((0)) - ^(Ы9) = <р№) + 2Кд.

Обратно, если = —2Кд + ф(р), йедИ = (2д — 2)д, то, учиты-

вая равенство <^((и0)) = —2К, имеем <р{0) = о)) + Ф(р)- Поэтому ср(В/(сио)9) = ф(р) и по теореме Абеля существует функция / для р такая, что (/) = ИКшоУ. Отсюда ф = /с^ - дифференциал Прима для р с (0) = В. Предложение доказано.

Найдем общий вид (р, д)-дифференциалов с единственным полюсом в точке <5 точно порядка т > 2 на где д > 1.

Теорема 1.3.1. Для любых точки Q, характера р на F^ типа (д, п), д >2, п > I, ит > 2,q > 1 существует элементарный (р, ц)-дифферен-циал t^q класса М\{р) с полюсом точно порядка т в точке Q, у которого общий вид дивизора (rj^g) = pkl 1 pkn, где p{R\... Rg) = -2K[p}q + <p{Qm) - сp{Rg+l ...Rn) + ip(P^) + • • • + p(Pt) + Ф(Р), kj > 0, j = 1,... ,n, при этом точки Rg+\,..., fíjv выбираются произвольно на F'\{Q}, и N = (2g — 2)q + ra + k\ 4- ■ • • + kn. Кроме того, эти дифференциалы локально голоморфно зависят от [р] и р.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме Римана-Роха для (р, д)-дифферен-циалов на [13] найдем размерность iPÁQmIÁ_Pkn) = dimc где kj > 0, kj Е N,j = 1,..., п. Имеем

iM(D) = (g- 1)(2q - 1) - deg Я + \

где D = —, Z— канонический класс дивизоров однозначных QmPi ■■■ Рпп

(q— 1)-дифференциалов на F^, f[p] — любая мультипликативная функция для р на F^, локально голоморфно зависящая от [р] и р [13]. Отсюда WQmPi4,,PJ = (g-mq~l)+m+kí + --- + kn > 3. Здесь r(^p^) -О, так как ) > 0 при наших условиях. Действительно, имеем

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Казанцева, Алена Алексеевна, 2014 год

Литература.

1. Альфорс JI.B., Берс J1. Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения. М. : ИЛ, 1961.

2. Бейкер Г.Ф. Абелевы функции. Теорема Абеля и связанная с ней теория тэта-функций. М. : МЦНМО, 2008.

3. Головина М.И., Чуешев В.В. Дифференциалы Прима на переменной компактной римановой поверхности. Математические заметки, Москва, 2014, Т. 95, К0- 3, С. 459-476.

4. Дубровин Б. А. Римановы поверхности и нелинейные уравнения. 4.1, МГУ, М., 1986.

5. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М. : Наука, 1972.

6. Кричевер И.М., Новиков С.П. Алгебра типа Вирасоро, тензор энергии-импульса и операторные разложения на римановых поверхностях. Функ-цион. анализ и его приложения. 1989. Т. 23, В.1, С. 24-40.

■ 7. Крушкаль С.Л. Квазиконформные отображения и римановы поверхности. Новосибирск: Наука, 1975.

8. Пушкарева Т.А., Чуешев В.В. Пространства гармонических дифференциалов Прима на переменной компактной римановой поверхности. Сибирский математический журнал, 2014, Т. 55, № 2, С. 379-395.

9. Спрингер Дж. Введение в теорию римановых поверхностей. М. : ИЛ, 1960.

10. Стинрод Н. Топология косых произведений. М. : ИЛ, 1953.

11. Тайманов И.А. Секущие абелевых многообразий, тэта функции и солитонные уравнения. Успехи матем. наук. 1997, Т. 52, В. 1, С. 150-224.

12. Чуешев В.В. Мультипликативные точки Вейерштрасса и многообразия Якоби компактной римановой поверхности. Математические за-

метки, 2003, T. 74, № 4, С. 629-636.

13. Чуешев В. В. Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на переменной компактной римановой поверхности. КемГУ, Кемерово. 2003, 248 с.

14. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. 4.2, М. : Наука, 1985.

15. Appell P., Sur les integrales de fonctions a multiplicateurs et leur application an développement des fonctions abeliennes en series trigonometri-ques. Acta Math., 13 : 3/4 (1890), P. 1-174.

16. Behnke H. Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen. Springer-Verlag, Berlin, 1955.

17. Dick R. Krichever - Novikov - like bases о punctured Riemann surface. Deutsches Elektronen - Synchrotron (DESY) 89-059. May, 1989. 11 s.

18. Dick R. Holomorphic differentials on punctured Rierhann surface. Differ. Geom. Math. Theor. Phys.: Phys. and Geom.; Proc. NATO Adv. Res. Workshop and 18 Int. Conf. Davis. Calif. 2-8 June. N.-Y., London. 1990. P. 475-483.

; 19. Earle C.J. Families of Riemann surfaces and Jacobi varieties. Annals of Math. 1978, V.107, P. 255-286.

20. Farkas H.M., Kra I. Riemann surfaces. Grad. Text's Math. 1992. V. 71. New-York : Springer.

21. Grauert H. Analytische Faserungen ueber holomorphvollstaendigen Raeumen. Math. Ann. 1958. V. 135. S. 266-273.

22. Gunning R.C. On the period classes of Prym differentials. J. Reine Angew. Math. 1980. V. 319. P. 153-171.

23. Gunning R.C. Lectures on vector bundles over Riemann surfaces. Princeton : Princeton Univ. Press., 1967.

24. Haupt О. Zur theorie der Prymschen Funktionen 1 und N Ordnung.

Math. Ann. 1916. V. 77. N 1. Р. 24-64.

25. Iwasawa К. Algebraic functions. Trans, of Math. Monographs. v. 188. New-York : Providence, Rhode Island, 1993.

26. Klimek S., Lesniewski A. Global Laurent expansions on Riemann surfaces. Commun. Math. Phys., 1989, V. 125, N 4, P. 597-611.

27. Knopp M., Mason G. Vector-valued modular forms and Poincare series. Illinous J. of Math., 2004, V. 48,N 4, P. 1345-1366.

28. Koenig R. Die Reduktions und Reziprozitaets theorem bei den Riemann-schen Transzendenten. Math. Ann., 1918, V. 79, P. 76-135.

29. Liljestrom A. Sur les fonctions fuchziennes a multiplicateurs constants. Arkiv foer Math., Astronomi och Fysik. 1910, Bd. 6, N 20, P. 1-18.

'30. Prym F., Rost G. Theorie der Prymschen Funktionen erster Ordnung im Anschluss an die Schoepfungen Riernann's. Leipzig : Teubner, 1911.

31. Stein K. Primfunktionen und multiplikative automorphe Funktionen auf nichtgeschlossenen Riemann Flaechen und Zylindergebieten. Acta Math. 1950, V. 83, P. 165-196.

Список работ автора по теме диссертации.

32. Беспоместных A.A., Чуешев В.В. Мультипликативные функции с матричными характерами на компактной римановой поверхности. Журнал Сибирского федерального университета, сер. Математика и физика 2009. Т. 2, № 1, С. 31-40.

33. Казанцева A.A., Чуешев В.В. Пространство мероморфных дифференциалов Прима на конечной римановой поверхности. Сибирский математический журнал. 2012. Т. 53, № 1, С. 89-106.

34. Казанцева A.A. Однозначные д-дифференциалы на переменной конечной римановой поверхности. Вестник Новосибирского государственного университета. Серия: Математика, механика, информатика. 2014.

Т. 14, № 3, С. 57-67

35. Беспоместных A.A., Чуешев В.В. Дифференциалы Прима и функции с матричными характерами на римановой поверхности. Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева, Новосибирск, ИМ, 2008, 1 с.

36. Пушкарева A.A. Периоды мероморфных дифференциалов Прима на конечной римановой поверхности. Материалы 48 международной научной студенческой конференции, Новосибирск, 2010, С. 104.

37. Пушкарева A.A. Пространство мероморфных дифференциалов Прима на конечной римановой поверхности. Материалы школы-конференции по геометрическому анализу, Горно-Алтайск, РИО Г-АГУ, 2010, С. 57-58.

38. Пушкарева A.A. Периоды мероморфных дифференциалов Прима на конечной римановой поверхности. VI всесибирский конгресс женщин-математиков, Красноярск, РИЦ СибГТУ, 2010, С. 360-362.

. 39. Пушкарева A.A. Периоды мероморфных дифференциалов Прима на конечной римановой поверхности. Сборник научных трудов кафедры математического анализа № 2, Горно-Алтайск, РИО Г-АГУ, 2010, С. 5465.

40. Пушкарева A.A. Пространства дифференциалов Прима на конечной римановой поверхности. Сборник научных трудов кафедры математического анализа 3, Горно-Алтайск, РИО Г-АГУ, 2010, С. 16-31.

41. Казанцева A.A., Чуешев В.В. Элементарные мероморфные дифференциалы Прима на конечной римановой поверхности. Международная школа-конференция по геометрии и анализу. Кемерово, КемГУ, 2011, 4 с.

42. Казанцева A.A. Однозначные g-дифференциалы на переменной конечной римановой поверхности. Материалы 52 международной научной

студенческой конференции, Новосибирск, 2014, С. 27.

43. Казанцева A.A. Векторные расслоения абелевых дифференциалов над пространством Тейхмюллера. Материалы конференции Дни геометрии в Новосибирске, Новосибирск, 2014, С. 33.