Математические задачи теории фазовых переходов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Калиев, Ибрагим Адиетович
- Специальность ВАК РФ01.01.02
- Количество страниц 221
Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Калиев, Ибрагим Адиетович
Введение
1 Периодические по времени решения задачи Стефана
1 Предварительные сведения.
1.1 Обобщенные решения задачи Стефана.
1.2 Периодические по времени обобщенные решения задачи Стефана.
1.3 Классические решения задачи Стефана.
2 Периодические по времени решения задачи Стефана со знакопеременной температурой на границе области
2.1 Формулировка основных результатов.
2.2 Доказательство теоремы 2.1.
2 Неравновесные фазовые переходы
1 Задача Стефана с фазовой релаксацией.
1.1 Постановка задачи.
1.2 Вспомогательные предложения.
1.3 Корректность математической модели.
1.4 Предельный переход в задачах А и АК по г О
2 Неравновесные фазовые переходы с учетом миграции жидкой фазы.
2.1 Постановка задачи.
2.2 Существование и единственность решения
2.3 Предельный переход в задачах В и BN по Л —) О
2.4 Предельный переход в задачах В и BN по г -> О
2.5 Предельный переход в задачах D и DN по Л —) О
3 Фазовые переходы в сжимаемых средах
1 Формулировка модели.
2 Одномерная задача.
2.1 Постановка задачи
2.2 Теорема существования.
2.3 Теорема единственности.
3 Однофазная задача фазового перехода типа твердое тело сжимаемая жидкость.
3.1 Постановка задачи.
3.2 Однофазная задача.
4 Некоторые точные решения системы уравнений вязкого газа
4.1 Двумерное стационарное изотермическое радиальное течение газа.
4.2 Двумерное стационарное изотермическое твердотельное вращение газа.
4.3 Один класс решений одномерной задачи истечения газа в вакуум.
4 Математическое моделирование фазовых превращений в упругих средах
1 Статическая теория типа Ландау.
2 Динамическая теория типа Ландау.
2.1 Формулировка модели.
2.2 Корректные задачи линейной термоупругости
2.3 Точные решения.
3 Динамическая теория типа Гинзбурга-Ландау.
5 Осреднение процесса фазовых переходов в многомерных неоднородных периодических средах
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Дифференциальные уравнения», 01.01.02 шифр ВАК
Глобальные теоремы существования для уравнений динамики вязких сжимаемых многокомпонентных сред2022 год, доктор наук Прокудин Дмитрий Алексеевич
Нерегулярные задачи гидродинамики2000 год, доктор физико-математических наук Старовойтов, Виктор Николаевич
Корректность начально-краевых задач для уравнений движения двухфазной смеси2010 год, доктор физико-математических наук Папин, Александр Алексеевич
Разрешимость уравнений сжимаемой жидкости Бингама2000 год, кандидат физико-математических наук Басов, Иван Владимирович
Проблема существования глобальных решений уравнений Навье-Стокса сжимаемых сплошных сред1998 год, доктор физико-математических наук Вайгант, Владимир Андреевич
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические задачи теории фазовых переходов»
Математическая литература, связанная с фазовыми переходами столь обширна, что составить ее полный обзор не представляется возможным. Здесь мы отметим некоторые ключевые математические работы. Более детальный исторический обзор и библиографию можно найти в монографиях Л. И. Рубинштейна [123], А. М. Мейрманова [104], А. Визин-тина [257] и обзорных статьях И. И. Данилюка [33], М. Ниезгудки [225], Э. Маджениса [213], Д. А. Тарция [251] и О. А. Олейник, М. Примичерио, Е. В. Радкевич [228 .
Первой работой, посвященной математическому описанию фазовых переходов, по-видимому, является опубликованная в 1831 году статья Ламе и Клапейрона [207], где изучается процесс затвердевания однородной жидкости, занимающей полупространство и находящейся в начальный момент при температуре фазового перехода, под влиянием постоянной температуры на границе. В этой работе впервые было установлено, что толщина твердой фазы (для однофазной постановки) пропорциональна корню квадратному от времени.
В 1889 г. австрийский физик Иозеф Стефан предложил модель для описания таяния полярных льдов. В серии работ [242]-[245] он рассмотрел несколько аспектов одномерной однофазной и двухфазной задач. Эти ранние работы и важные особенности заложенные в его модели послужили основанием для того, чтобы задача впоследствии была названа его именем.
Исторически сложилось так, что задача о фазовых переходах в чистом веществе без учета перемещения среды (задача Стефана) описывалась "классическим" решением: существуют жидкая и твердая фазы, а множество фазового перехода (граница раздела "жидкое-твердое") есть гиперповерхность, на которой выполнено условие теплового баланса (условие Стефана). На этом пути Л. И. Рубинштейном [123] были получены теоремы существования классического решения задачи Стефана для одномерного уравнения теплопроводности в малом по времени и им же в целом по времени, если априори предположить, что граница раздела фаз аналитическая. Без этого предположения при достаточно естественных ограничениях на данные задачи описанный выше результат получил в 1965 г. Ли Чанг [208]. Позже то же самое различными способами было доказано в работах Дж. Кэннона, Дж. Дугласа, К. Хилла, Д. Генри, Д. Котлова, М. Примичерио [167, 168, 169, 170,171, 172] и А. М. Мейрма-нова [104]. Все указанные теоремы относились к случаю заданной температуры на известных границах области определения решения. Условия существования классического решения задачи Стефана с заданным тепловым потоком на известных границах получены Дж. Кэнноном и М. Примичерио [173].
В работах Дж. Кэннона и его коллег исследовались также качественные свойства и асимптотическое поведение свободной границы при неограниченном возрастании времени. Вопросы устойчивости и асимптотического поведения решения одномерной задачи Стефана при больших значениях времени изучались Л. И. Рубинштейном [123], А. Фридманом [137] Б. В. Базалием и В. Ю. Шелеповым [8], Гу Лянь-Куном [30 Н. В. Хуснутдиновой [139].
Прогресс в изучении классического решения многомерной задачи Стефана связан с развитием теории вариационных неравенств. М. Г. Дюво 180] свел многомерную однофазную нестационарную задачу Стефана к вариационному неравенству, для которого устанавливалось существование слабого решения. В 1975 г. А. Фридман и Д. Киндерлерер [187], используя преобразование М. Г. Дюво, доказали, что в однофазной задаче Стефана свободная граница удовлетворяет условию Липшица. Результаты Л. Кафарелли [161, 162] о гладкости свободной границы позволили Д. Киндерлереру и Л. Ниренбергу доказать аналитичность свободной границы и тем самым впервые установить существование классического решения однофазной многомерной задачи Стефана [205].
Для случая многих пространственных переменных, привлекая регуляризацию условия Стефана и переменные Мизеса, А. М. Мейрманов в 1979 г. [105, 106] доказал существование классического решения двухфазной задачи Стефана в малом по времени. Аналогичный результат в 1981 г. другим методом, с использованием теории Нэша-Мозера, получил Е. И. Ханзава [189]. Отметим, что в исследованиях А. М. Мейрманова и Е. И. Ханзавы был допущен большой "зазор" между гладкостью решеи 1 и и и ний и заданных функций, уменьшенный или сведенный к нулю в работах Б. В. Базалия [6], М. А. Бородина [16, 17] и Г. И. Бижановой [15]. Различные аспекты многомерной задачи Стефана исследовались в работах Е. В. Радкевича, А. С. Меликулова [120, 121] и Е. В. Радкевича [117, 118 .
Отметим еще одну интересную особенность задачи Стефана. Если в условии Стефана поменять знак на противоположный, то возможно разрушение классического решения за конечное время. Первая задача такого типа была рассмотрена в 1980 г. В. В. Пухначевым [116]. В этой работе были приведены достаточные условия для разрушения классического решения одномерной однофазной задачи Стефана в полубесконечной области. В работах И. А. Калиева [53, 56] были рассмотрены как однофазная так и двухфазная одномерные задачи Стефана. Показано, что при определенных условиях на данные задачи, найдется некоторый конечный момент времени, при котором градиент температуры на границе раздела фаз обращается в бесконечность, то есть происходит разрушение классического решения. Этот результат можно трактовать как образование "градиентной катастрофы" в задаче Стефана.
В 1958 г. С. Л. Каменомостская [75, 76] ввела понятие обобщенного решения для многомерной задачи Стефана. При этом уравнения теплопроводности для различных фаз трактуются как одно уравнение ди где и есть энтальпия, либо удельная внутренняя энергия среды, 9 — температура, к > О — коэффициент теплопроводности. Удельная внутренняя энергия есть известная функция температуры и = Ф(9) терпящая разрыв первого рода при значении температуры, равной температуре плавления, и достаточно гладкая всюду вне этой точки. В [76], а также в работе О. А. Олейник [113] были доказаны теоремы существования и единственности обобщенного решения многомерной задачи Стефана.
Поскольку каждое классическое решение является и обобщенным, то вопрос о единственности классического решения задачи Стефана был полностью решен. С этого момента центральным стало изучение структуры обобщенного решения и выяснение условий, при которых обобщенное решение задачи Стефана будет классическим. Естественно было ожидать, что если в начальный момент времени в рассматриваемой области состояние среды двухфазное, то есть присутствуют только жидкая и твердая фазы, разделенные гладкой поверхностью, то обобщенное решение задачи Стефана совпадает с классическим. Для случая однородного уравнения теплопроводности и одной пространственной переменной это было доказано А. Фридманом [186] и Дж. Кэнноном, Д. Генри, Д. Котловым [168].
Однако оказалось, что множество обобщенных решений существенно шире множества классических решений задачи Стефана и проявилось это в обнаружении так называемой переходной фазы ("mushy region" в терминологии Д. Этти [152, 153]). Для объяснения названного явления вернемся к определению обобщенного решения. В переходной фазе температура тождественно равна температуре плавления а удельная внутренняя энергия U принимает значения из интервала {U-.,U+), где а±= Иш Ф(О); и = Ф{9), Вфвл. с—с, ±1) в своей первоначальной постановке задача Стефана формулировалась как задача об определении классического решения. При таком подходе неопределенность зависимости удельной внутренней энергии от температуры в точке плавления нигде не сказывалась. Авторы определения обобщенного решения позволили удельной внутренней энергии принимать значения из интервала {U-,U+) при температуре, равной температуре плавления, то есть в определении содержалась новая аксиома: допускается состояние среды, отличное от жидкого и твердого, при котором температура среды равна температуре плавления, а удельная внутренняя энергия принимает значения из интервала (?7 1/+).
В 1981 г. А. М. Мейрманов [107] построил обобщенное решение с и 1 и и и т-\ переходной фазой, отсутствовавшей в начальный момент времени. В этом примере вообще отсутствует граница фазового перехода, а есть целая область промежуточного состояния. Возможность образования новой фазы, заложенная в определении обобщенного решения задачи Стефана, проявила себя в примере А. М. Мейрманова. Решающими факторами в нем были внутренние источники тепла в уравнении теплопроводности и равенство нулю градиента температуры на границе раздела фаз в начальный момент времени.
Аналогичные примеры обобщенных решений задачи Стефана, не являющихся классическими, построили в 1982 г. М. Примичерио [232] и позже М. Берч, П. Моттони, Л. А. Пелетье [159, 160], М. Уччи [252 . А. Фазано и М. Примичерио [184] показали возможность образования переходной фазы в задаче Стефана с переменной температурой плавления.
А. Е. Бергер, Г. Брезис и Дж. Роджерс [157] доказали, что в многомерной задаче Стефана для однородного уравнения теплопроводности переходная фаза не может возникнуть, если она отсутствовала в начальный момент времени.
В работах И. А. Калиева и А. М. Мейрманова [65, 66], И. А. Кали-ева [54, 55] была описана структура обобщенного решения одномерной задачи Стефана с произвольным распределением удельной внутренней энергии в начальный момент времени (в частности при наличии конечного или счетного числа связных компонент переходной фазы). Доказано, что при отсутствии внутренних источников или стоков тепла, переходная фаза строго убывает с течением времени. Получены достаточные условия, при которых переходная фаза исчезает за конечный момент времени.
Эти результаты используются в первой главе диссертации, где исследуются периодические по времени решения одномерной задачи Стефана в ограниченной области Г2. Когда заданная температура на границе области О близка к постоянной, существование периодического по времени классического решения доказали в 1981 г. М. ХПтедри и О. Вейвода [241]. Их результат усилил в 1983 г. А. М. Мейрманов [108] для произвольно заданной температуры на границе области Г2, не принимающей значения, равного температуре плавления. Общая ситуация со знакопеременной температурой на границе области С1 была изучена И. А. Калиевым и А. М. Мейрмановым [218], [103, §3 гл. VII]. С помощью теоремы А. С. Кронрода и Е. М. Ландиса [83, 84] о структуре линий уровня функции двух переменных и результатов о свойствах решения одномери /—^ 1 и и и ной задачи Стефана с произвольной начальной энтальпией показывается, что периодическое по времени обобщенное решение задачи Стефана будет классическим, и оценивается максимальное число связных компонент жидкой и твердой фаз в каждый момент времени. Эти результаты составляют содержание первой главы диссертации.
Во второй главе изучаются неравновесные фазовые переходы. Вначале несколько слов о том, что такое равновесный и неравновесный фазовые переходы. Для равновесных фазовых переходов концентрация гу жидкой фазы совпадает с функцией Хевисайда где 9 — температура, А* — температура плавления, то есть ш{х,€) = 1 при 9{х,1) > 9А, ги(жД) е [0,1] при 9{х,1) = ™{х,г) = 0 при 9(х,Ь)<9л.
Это означает, что при смене температуры в, концентрация жидкой фазы ги мгновенно принимает новое значение, соответствующее новой температуре. Между тем, в реальных процессах для достижения равновесия между жидкой и твердой фазами требуется некоторое конечное время 138 .
Всюду во второй главе будем считать температуру плавления а* = О, что соответствует равновесной температуре замерзания воды (или таяния льда). В связи с этим концентрацию жидкой фазы у о будем называть влажностью.
В работах [34, 35] были предложены математические модели замерзания воды с фазовой релаксацией и с учетом диффузии. В частности, в 34] реальная влажность п) связывается с равновесной влажностью Н{9) уравнением щ=.А(Н(9)-ш\ т где постоянная г — характерное время релаксации. Температура 6 удовлетворяет уравнению
91 = кМ - Ьиог.
Корректные постановки начально-краевых задач для данной системы уравнений изучены в работах [69]-[71]. Доказано, что при г -> О решения этой системы уравнений сходятся к решению соответстующей задачи Стефана.
Ряд моделей неравновесных фазовых превращений рассмотрен в работах А. Визинтина [257]-[261]. В частности в [257], [258] он изучает похожую систему уравнений 1 т
Аналогичные модели используются для описания фазовых переходов при наличии диффузии [35 ЛА«; + ЦЯ(А)-«;), г е1 = км+-{ио- н{е)). г
Корректные постановки начально-краевых задач для данной системы уравнений изучены в работах [67, 68]. Исследованы предельные переходы при стремлении параметров Л и г к 0.
В последние годы широкую известность получили модели (для описания фазовых переходов при наличии диффузии) под названием модели фазового поля [163]-[165]: тшь = ЛАгу ^ а~А(1и - ииА) + в, вг = кАв- Ьшг.
Здесь по-прежнему в — температура, и) — параметр порядка, например, концентрация жидкой фазы, г, Л, а, к, Ь — некоторые постоянные. При стремлении параметров г. Л, а к нулю мы можем получать различные постановки задач о фазовых переходах: классическую задачу Стефана, задачу Стефана с поверхностным натяжением, задачу Стефана с поверхностным натяжением и кинетическим переохлаждением. Обоснованию предельных переходов от модели фазового поля к этим постановкам задач Стефана посвящены статьи П. И. Плотникова, В. Н. Старовойтова [114, 231], Е. В. Радкевича [119], В. Г. Данилова, Г. А. Омельянова, Е. В. Радкевича [31, 32, 229]. Различные модели тепломассопереноса исследованы в монографиях В. П. Маслова, В. Г. Данилова, К. А. Волосова 100, 176] и В. П. Маслова, В. Г. Данилова, В. П. Мясникова [101 .
Во второй главе исследуются математические модели неравновесного перераспределения жидкой фазы, предложенные в [34, 35] . Кроме фазовых переходов в этих моделях учитывается миграция жидкой фазы. В диссертации доказываются теоремы существования, единственности, непрерывной зависимости решения от начальных и граничных данных. Рассматриваются предельные переходы по параметрам модели, учитывающим миграцию и неравновесность перераспределения жидкой фазы.
Классическая задача Стефана связана с фазовыми переходами в неподвижных средах. Между тем, во многих процессах фазовых переходов присутствует гидродинамическое течение в жидкой фазе. Интерес к изучению таких явлений мотивируется многочисленными технологическими приложениями.
Фазовые переходы с учетом конвекции рассматривались для несжимаемых жидкостей (см., например, [7], [82], [178], [179], [166], [196], [233]). А вот роль явления сжимаемости все еще требует основательного изучения. В [86], [87] рассматривались одномерные однофазные задачи моделирующие фазовые переходы для упрощенной системы уравнений вязкой сжимаемой жидкости.
В третьей главе формулируется и исследуется новая математическая модель, описывающая фазовые превращения между жидкой и твердой фазами в рамках полной системы уравнений Навье-Стокса для жидкой фазы, с учетом таких свойств жидкости как вязкость, сжимаемость и теплопроводность. Относительно твердой фазы предполагается: (1) твердая фаза неподвижна, т.е. скорости частиц твердой фазы равны нулю; (11) плотность твердой фазы не зависит от времени, а является функцией только от пространственных переменных; (Ш) доминирующим фактором является теплопроводность.
Принятые предположения позволяют сформулировать математическую модель, описывающую процесс фазового перехода между вязкой сжимаемой жидкостью (газом) и твердым телОм, включая все законы сохранения на границе раздела фаз.
Классическая задача Стефана является частным случаем рассматриваемой задачи, когда жидкость находится в состоянии покоя и плотности жидкой, твердой фаз постоянны и равны.
В предлагаемой модели тесно переплетаются задача Стефана и уравнения Навье-Стокса сжимаемой вязкой среды. Для соответствующей одномерной начально-краевой задачи доказываются теоремы существования и единственности гладкого решения "в малом" по времени [49, 201, 202]. При дополнительных предположениях доказываются глобальные теоремы существования и единственности для однофазной задачи, когда температура в твердой фазе тождественно совпадает с температурой фазового перехода [63, 64, 203]. Найдены некоторые точные решения системы уравнений вязкого газа [60].
Принято считать, что начало изучению вопросов корректности начально-краевых задач для системы уравнений Навье-Стокса положила работа Дж. Серрина 1959 г. [237]. В ней были сформулированы постановки основных краевых задач и доказаны теоремы единственности в классе гладких решений. Однако, необходимо отметить более раннюю статью Д. Граффи 1953 г. [188] о единственности классических решений для баротропного случая.
Первый результат по разрешимости для уравнений Навье-Стокса получил в 1962 г. Дж. Кэш [224]. Он доказал существование классического решения задачи Коши "в малом" по времени. Этот результат, несколько иными методами, был повторен и обобщен в работах Н. Итая [197], А. И. Вольперта и С. И. Худяева [28 .
Для начально-краевых задач локальные по времени теоремы существования и единственности установлены В. А. Солонниковым [132] и А. Тани [247.
Разрешимость задачи Коши для уравнений Навье-Стокса "в целом" по времени, но при условии, что начальнве данные близки к состоянию покоя, т. е. в малом по данным, была установлена А. Матсумурой и Т. Ни-шидой [214]. Отметим также результаты о локальной разрешимости (по времени или по данным), которые содержатся в следующих работах [190], 191], [212], [215], [235], [248], [249], [253], [254 .
Наиболее полная теория глобальной разрешимости по времени и данным для уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой среды построена пока только для одномерных течений с плоскими волнами, т. е. когда одна компонента вектора скорости зависит лишь от одной пространственной координаты и времени, а остальные компоненты вектора скорости равны нулю.
Первый результат по однозначной разрешимости "в целом" по времени и по данным был установлен в 1968 г. Я. И. Канелем [77] в случае задачи
Коши для уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа (Р = Ярл)~ Для модели Бюргерса [Р = const) разрешимость задачи Коши и начально-краевых задач была доказана в работах Н. Итая [198, 199] и А. Тани [250 .
В 1976 г. А. В. Кажихов [42] впервые получил результат о глобальной разрешимости для уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа. В дальнейшем цикл работ А. В. Кажихова [41]-[47], [52], В. В. Шелухина [140]-[149], С. Я. Белова [11]-[14], [156], В. А. Вайганта [18]-[20] позволил построить довольно полную теорию по глобальной разрешимости основных начально-краевых задач и задачи Коши для уравнений одномерного движения вязкого газа. Однозначная разрешимость начально-краевых задач с другими краевыми условиями получена в работах [204], [220]-[222 .
В цикле работ В. В. Шелухина [141]-[143] исследованы вопросы существования периодических, почти-периодических и просто ограниченных по времени решений для уравнений вязкого газа.
Уравнения движения вязкого баротропного газа и теплопроводного газа с функциями состояния достаточно общего вида и непостоянными коэффициентами вязкости и теплопроводности исследовались в следующих работах [27], [44], [50, 51], [192, 193], [217], [227], [239 .
Вопрос о стабилизации решений при неограниченном возрастании времени к решению стационарной задачи рассматривался в работах [19], [36], 39, 40], [45, 46], [77, 78], [79], [140], [154, 155], [214], [223], [246]. Ряд работ посвящен некоторым вопросам качественной теории уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой среды (распространение разрывов, исчезающая вязкость) [102], [144]-[146], [148], [192]-[195], а также проблемам вырождения плотности [131], [134], [147.
Важной проблемой в теории уравнений динамики вязкого газа является вопрос строгого обоснования приближенных методов. Начало в этом направлении, по-видимому, положила работа Б. Г. Кузнецова и Ш. Смагулова [85]. На данный момент довольно подробно исследованы разностные схемы для уравнений одномерного движения вязкого газа 1], [37, 38], [124]-[130], [262], [263], [264]. Проблема строгого и полного математического обоснования численных решений многомерных задач динамики сжимаемой вязкой среды на данное время является открытой и ее изучение начато в работах Н. А. Кучера [88]-[95], О. В. Троцкой [135], [136.
В работе Н. С. Бахвалова и М. Э. Эглит [10] проведено осреднение системы уравнений Навье-Стокса одномерного движения вязкой сжимаемой среды с быстро осциллирующими свойствами. В результате возник новый интересный класс уравнений — квазиосредненные уравнения одномерного движения вязкого теплопроводного газа. Исследования по этой проблематике проводились в следуюш,их работах [2]-[4], [236 .
Проблема о глобальной разрешимости многомерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой среды далека от удовлетворительного решения и поэтому важное значение имеет каждый результат, касаюш,ийся того или иного подхода к многомерному случаю. Одним из подходов к многомерной модели Навье-Стокса является изучение более простых гидродинамических моделей. Среди различных вариантов упрощения уравнений Навье-Стокса наиболее известными являются, во-первых, квазистационарная модель и, во-вторых, приближение Стокса.
Математические исследования первой приближенной модели были начаты в 1991 г. С. Бернарди и О. Пироннэ [158] в случае стационарных течений. В 1993 г. А. В. Кажихов [48] установил существование глобальных решений в классе потенциальных течений. При этом были рассмотрены и некоторые качественные вопросы. Дальнейшее исследование этой модели было проведено в работах А. Е. Мамонтова [98, 99]. В 1994 г. В. А. Вайгант и А. В. Кажихов [24] исследовали вторую модельную систему уравнений. Ими установлено существование и единственность решения в классе потенциальных течений для начально-краевой задачи. Задача Коши для этой модели изучалась в работах Лю Мин, А.В.Кажихова, Сейджи Укай [211] и П. Л. Лионса [209 .
Для уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой баротропной жидкости вопрос о глобальной разрешимости рассматривался М. Падула [230], П. Л. Лионсом [210]. В этих работах были предложены новые идеи и подходы к решению проблемы в классе обобщенных решений: в первой работе Р = Яр, а во второй Р = Яр, 7 > 1. Для второго случая результат о существовании слабого решения установил Е. Файрайзл [185 . В случае более общего закона напряженного состояния существование обобщенного решения получено в работе А.Е.Мамонтова [99 .
Однако для существования более гладких решений имеются препятствия. Это иллюстрируют примеры, построенные В. А. Вайгантом [20 -22]. В связи с вопросом о разрушении решения, отметим также работу Жоупинг Ксин [265]. Чтобы обойти возникающие препятствия В. А. Вай-гант наложил дополнительные требования на коэффициенты вязкости как функций от термодинамических параметров [23]. В результате ему удалось доказать глобальные теоремы существования для двумерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой среды для случая специальных уравнений состояния. Затем аналогичный результат был получен для более общих уравнений состояния и в более широком диапазоне решений В.А.Вайгантом и А.В.Кажиховым [25, 26].
В четвертой главе предлагаются различные математические модели для описания фазовых переходов в многомерных упругих средах с использованием невыпуклой функции свободной энергии. В качестве параметра порядка, отвечающего за различие между фазами, выбирается плотность вещества. Для линеаризованной задачи доказываются глобальные теоремы существования и единственности. Эти модели могут быть привлечены к описанию таких физических явлений, как фазовые переходы в твердых телах (например, графит — алмаз) или к описанию материалов с "памятью" формы. В случае одной пространственной переменной эти модели являются обобщением известной модели Фалька 181]-[183 .
Считается, что имеет место фазовый переход, если некоторые величины, характеризующие макроскопические свойства вещества, меняются скачком относительно внешних переменных. В качестве одного из параметров для описания состояния вещества используется функция энергии. Это может быть внутренняя энергия, свободная энергия Гельмгольца либо свободная энергия Гиббса, которые связаны преобразованием Лежан-дра. В 4 главе нас будут интересовать не обычные фазовые переходы стефановского типа, когда энергия вещества меняется скачком, а такие при которых сама функция энергии изменяется непрерывным образом. Рваться могут ее производные. Если первые производные терпят скачок, то это — фазовые переходы первого рода. Для фазовых переходов второго рода только вторые производные могут терпеть разрыв. Обычно предполагают, что внутренняя энергия и свободная энергия Гельмголь-ца являются невыпуклыми функциями в некотором диапазоне своих аргументов. Более детально описать фазовые переходы можно с помощью специфического параметра, характеризующего различие между фазами, так называемого параметра порядка.
Теоретическое описание процессов фазового перехода с использованием невыпуклой функции энергии началось со знаменитого уравнения Ван-дер-Ваальса (см. [255]) для фазового перехода первого рода между жидкостью и паром. В [256] добавлена зависимость от градиента плотности в свободную энергию, чтобы получить непрерывный профиль при пересечении границы раздела жидкость — пар.
Важный шаг для описания фазовых переходов второго рода сделал Л. Д. Ландау [97], который начал разрабатывать теорию, названную позже его именем. Основное предположение, сделанное в [97], состоит в том, что функция энергии зависит только от параметра порядка и температуры. Чтобы избежать резкого выделения границ между фазами В. Л. Гинзбург [29] добавил зависимость от градиента параметра порядка в функцию энергии. Получаемые при этом дифференциальные уравнения часто называют теорией фазовых переходов Гинзбург - Ландау. Независимо от них А. Ф. Девоншир [177] развил подобную теорию для случая ферроэлектрика.
В [181]-[183] при описании фазовых переходов в упругих средах в качестве параметра порядка, отвечающего за различие между фазами, выбирается деформация. При этом свободная энергия имеет вид подобный предложенному в [97, 29]. Задачи связанные с одномерной моделью Фалька исследовались рядом авторов [226, 240]. в качестве замечания к моделям Фалька можно высказать то, что они предполагают постоянство плотности материала, что не всегда оправдано на практике.
В пятой главе проводится гомогенизация многомерной задачи Стефана в случае, когда среда является композитом, состоящим из двух различных веществ с е-периодической структурой. Методами асимптотического анализа выводится осредненная задача. Доказывается, что ее решение является пределом решений е-задач.
Другие подходы к проблеме гомогенизации задачи Стефана предложены в 175]. Однако стоит отметить, что в последней работе допущены некоторые математические неточности.
Похожие диссертационные работы по специальности «Дифференциальные уравнения», 01.01.02 шифр ВАК
Глобальная разрешимость одномерных задач протекания для систем уравнений движения вязкого газа с негладкими данными2002 год, кандидат физико-математических наук Казенкин, Константин Олегович
Корректность задач тепломассопереноса в неоднородных средах2010 год, доктор физико-математических наук Петрова, Анна Георгиевна
Применения метода усреднений и теории пространств Орлича к уравнениям вязкой жидкости2004 год, кандидат физико-математических наук Гатапов, Баир Васильевич
Энтропийные решения нелинейных задач динамики многофазных сред2012 год, доктор физико-математических наук Саженков, Сергей Александрович
Анализ разрешимости краевых задач для уравнений смесей жидкостей2010 год, кандидат физико-математических наук Прокудин, Дмитрий Алексеевич
Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Калиев, Ибрагим Адиетович, 2001 год
1. Амосов А. А., Злотник А. А. Разностная схема для уравнения движения вязкого теплопроводного газа. Ее свойства и оценки погрешности "в целом" // Докл. АН СССР. 1985. Т. 284, N 2. С. 265-269.
2. Амосов А. А., Злотник А. А. Разрешимость "в целом" квазиосред-ненных уравнений одномерного движения вязкой баротропной среды с негладкими данными // Вести. МЭИ. 1994. N 4. С. 7-24.
3. Амосов А. А., Злотник А. А. Обоснование квазиосредненных уравнений одномерного движения вязкой баротропной среды с быстро осциллируюш,ими свойствами // Докл. РАН. 1995. Т. 342, N 3Л С. 295-299.
4. Амосов А. А., Злотник А. А. Обоснование квазиосреднения уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа с быстро осциллирующими свойствами // Докл. РАН. 1997. Т. 354, N 4. С. 439-442.
5. Антонцев С. Н., Кажихов А. В., Монахов В. Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983.
6. Базалий Б. В. Задача Стефана // Докл. АН УССР. Серия А. 1986. N 11. С. 3-7.
7. Базалий Б. В., Дегтярев С. П. О классической разрешимости многомерной задачи Стефана при конвективном движении вязкой несжимаемой жидкости // Мат. сборник. 1987. Т. 132, N 1. С. 3-19.
8. Базалий Б. В., Шелепов В. Ю. Об асимптотическом поведении решения одной задачи Стефана // Докл. АН УССР. Серия А. 1978. N 12. С. 1059-1061.
9. Бахвалов Н. С, Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984.
10. Белов С. Я. О задаче протекания для системы уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1982. Вып. 56. С. 22-43.
11. Белов С. Я. Задача о заполнении вакуума вязким теплопроводным газом // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1983. Вып. 59. С. 23-38.
12. Белов С. Я. Задачи оптимального управления течениями вязкого газа // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1983. Вып. 60. С. 34-50.
13. Бородин М. А. О разрешимости двухфазной нестационарной задачи Стефана // Докл. АН СССР. 1982. Т. 263, N 5. С. 1040-1042.
14. Бородин М. А. Суш;ествование классического решения в многомерной задаче Стефана на конечном промежутке времени // Укр. ма-тем. журн. 1992. Т. 44, N 12. С. 1652-1657.
15. Вайгант В. А. Неоднородные граничные задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1990. Вып. 97. С. 3-21.
16. Вайгант В. А. Стабилизация решений неоднородной краевой задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа / / Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1991. Вып. 101. С. 31-52.
17. Вайгант В. А. Проблема суш,ествования глобальных решений уравнений Навье-Стокса сжимаемых сплошных сред // Дисс. на соиск.уч. степени д.ф.-м.н- / Мин. ОПО РФ. Барнаул. Алтайский гос. ун.-т. 1998.
18. Вайгант В. А. Пример несуществования "в целом" по времени решеи и xx /—1 и и иний уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой баротропной жидкости // Докл. РАН. 1994. Т. 339, N 2. С. 155-156.
19. Вайгант В. А. К вопросу о разрешимости "в целом" краевой задачи для уравнений Навье-Стокса вязкой сжимаемой баротропной жидкости // Актуальные проблемы современной математики: Сб. науч. тр. / Новосибирск: Изд-во НИИ МИСС НГУ, 1995. Т. 1. С. 43-51.
20. Вайгант В. А., Кажихов А. В. Глобальные решения уравнений по--тенциальных течений сжимаемой вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30, N 6. С. 10101022.
21. Вайгант В. А., Кажихов А. В. О существовании глобальных решений двумерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой жидкости // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, N 6. С. 1283-1316.
22. Вайгант В. А., Кажихов А. В. О существовании глобальных решений двумерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой жидкости // Докл. РАН. 1997. Т. 357, N 4. С. 445-448.
23. Вайгант В. А., Папин А. А. Разрешимость начально-краевой задачи для уравнений баротропного газа с вязкостью, зависящей от плотности // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1987. Вып. 79. С. 3-9.
24. Вольперт А. И., Худяев С. И. О задаче Коши для составных систем нелинейных дифференциальных уравнений // Мат. сб. 1972. Т. 87, N 4. С. 504-528.
25. Гинзбург В. Л. Несколько замечаний о фазовых переходах второго рода и макроскопической теории сегнетоэлектриков // ФТТ. 1960. Т. 2, N 9. С. 2031-2043.
26. Гу Лянь-Кун. О поведении решения задачи Стефана при неограниченном возрастании времени // Докл. АН СССР. 1961. Т 138, N2. С. 263-266.
27. Данилов В. Г., Омельянов Г. А., Радкевич Е. В. Асимптотика решения системы фазового поля и модифицированная задача Стефана // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, N 3. С. 483-491.
28. Данилов В. Г., Омельянов Г. А., Радкевич Е. В. Обоснование асимптотики решения системы фазового поля и модифицированная задача Стефана // Мат. сборник. 1995. Т. 186, N 12. С. 62-80.
29. Данилюк И. И. О задаче Стефана // Успехи мат. наук. 1985. Т. 40, Вып. 5. С. 133-185.
30. Даниэлян Ю. С, Яницкий П. А. О кинетике замерзания воды во влажных грунтах // Изв. СО АН СССР, сер. техн. наук. 1979. Вып.3,N 13. С. 89-92.
31. Даниэлян Ю. С, Яницкий П. А. Особенности неравновесного перераспределения влаги при промерзании и оттаивании дисперсных грунтов // ИФЖ. 1983. Т. 44, N 1. С. 91-98.
32. Злотник А. А. Об уравнениях движения вязкого баротропного газа при наличии массовой силы // Сиб. мат. журн. 1992. Т. 33, N 5. С. 62-79.
33. Злотник А. А. К оценкам решений разностных уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа // Изв. ВУЗов. Математика. 1994. N 9. С. 49-59.
34. Злотник А. А. О свойствах разностной схемы второго порядка точности для уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1991. Вып. 101. С. 58-68.
35. Злотник А. А., Нгуен Жа Бао. К поведению при í —> со решений-одной квазилинейной нестационарной задачи со свободными границами // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30, N 6. С. 1080-1082.
36. Злотник А. А., Нгуен Жа Бао. Свойства и асимптотическре поведение решений одной задачи одномерного движения вязкого баротропного газа // Матем. заметки. 1994. Т. 55, N 5. С. 51-68.
37. Кажихов А. В. Корректность "в целом" смешанных краевых задач для модельной системы уравнений вязкого газа // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1975. Вып. 21. С. 18-47.
38. Кажихов А. В. О глобальной разрешимости одномерных краевых задач для уравнений вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1976. Вып. 24. С. 45-61.
39. Кажихов А. В. О краевых задачах для уравнений Бюргерса сжимаемой жидкости в областях с подвижными границами // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1976. Вып. 26. С. 60-76.
40. Кажихов А. В. Некоторые вопросы теории уравнений Навье-Стокса сжимаемой жидкости // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1979. Вып. 38. С. 33-47.
41. Кажихов А. В. О стабилизации решений начально-краевой задачи для уравнений баротропной вязкой жидкости // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, N 4. С. 662-667.
42. Кажихов А. В. К теории краевых задач для уравнений одномерного нестационарного движения вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1981. Вып. 50. С. 37-62.
43. Кажихов А. В. О задаче Коши для уравнений вязкого газа // Сиб. мат журн. 1982. Т. 23, N 1. С. 60-64.
44. Кажихов А. В. Уравнения потенциальных течений сжимаемой вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса. Существование, единственность и стабилизация решений // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, N 3.0.70-80.
45. Кажихов А. В., Калиев И. А. Корректность одной модели фазового перехода газ — твердое тело. Новосибирск, 1999. 32 С. (Препр. / Мин ОНО РФ. НИИ Дискретной математики и информатики. N 43).
46. Кажихов А. В., Николаев В. Б. К теории уравнений Навье-Стокса вязкого газа с немонотонной функцией состояния // Докл. АН СССР. 1979. Т. 246, N 5. С. 1045-1047.
47. Кажихов А. В., Шелухин В. В. Однозначная разрешимость "в целом" по времени начально-краевых задач для одномерных уравнений вязкого газа // Прикл. математика и механика. 1977. Т. 41, N 2. С. 282-291.
48. Калиев И. А. Двухфазная задача Стефана с однородными краевыми условиями / /В кн.: Материалы XIX Всесоюзной научной студенческой конференции. Математика. Новосибирск: Изд-во Но-восиб. ун-та, 1981. С. 35-39.
49. Калиев И. А. Одномерная многофронтовая задача Стефана // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1984. Вып. 67. С. 37-52.
50. Калиев И. А. К вопросу о структуре обобщенных решений одномерной задачи Стефана // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1984. Вьш. 68. С. 92-96.
51. Калиев И. А. Качественные свойства решений одномерной задачи Стефана // Дисс. на соиск. уч. степени к.ф.-м.н. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1985.
52. Калиев И. А. Корректность одной задачи линейной термоупругости // Актуальные проблемы современной математики: Сб. науч. тр. / Новосибирск: Изд-во НИИ МИОО НГУ, 1995. Т. 1. С. 67-72.
53. Калиев И. А. Математическое моделирование фазовых превраще--НИИ в упругих средах // Тезисы докл. Ш-й Всероссийской конф. "Ползучесть в конструкциях", Новосибирск: ИГиЛ. 1995. С. 24.
54. Калиев И. А. Математическое моделирование фазовых превращений в упругих средаАх // ПМТФ. 1996. Т. 37, N 1. С. 64-72.
55. Калиев И. А. Некоторые точные решения системы уравнений вязкого газа // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1999. Вьш. 114. С. 40-42.
56. Калиев И. А. Глобальная разрешимость одной задачи, моделирующей фазовый переход газ — твердое тело / / Динамика сплошнойсреды: Сб. науч. тр. / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 2000. Вып. 116. С. 36-41.
57. Калиев И. А. Одномерные изотермические решения системы уравнений вязкого газа // Сб. науч. тр. / МО. Новосибирский военный ин-т. 2000. Вып. 9. С. 64-68.
58. Калиев И. А. Глобальная разрешимость одной задачи, моделирующей фазовый переход газ — твердое тело // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 2000. Вып. 116. С. 36-41.
59. Калиев И. А. Однофазная задача фазового перехода типа твердое тело — сжимаемая жидкость // Сибирский журнал индустриальной математики. 2000. Т. 3, N 2(6). С. 97-114.
60. Калиев И. А., Мейрманов А. М. О структуре обобщенного решения одномерной задачи Стефана // Динамика сплошной среды: Сб. на- -уч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1984. Вып. 64. С. 24-47.
61. Калиев И. А., Мейрманов А. М. Задача Стефана с одной пространственной переменной // Докл. АН СССР. 1985. Т. 285, N 4. С. 861865.
62. Калиев И. А., Мухамбетжанов С. Т., Разинков Е. Н. Задача Стефана с фазовой релаксацией // Тезисы докл. УП-й Всесоюзной, школы по качественной теории дифференциальных уравнений гидродинамики, Барнаул: АГУ. 1989. С. 37.
63. Калиев И. А., Разинков Е. Н. Об одной задаче Стефана с фазовой релаксацией // Тезисы докл. У1-й Республ. конф. "Нелинейные задачи математической физики", Донецк. 1987. С. 57.
64. Калиев И. А., Разинков Е. Н. Об одной задаче Стефана с фазовой релаксацией // Докл. АН СССР. 1989. Т. 306, N 2. С. 272-276.
65. Калиев И. А., Разинков Е. Н. О задаче Стефана с фазовой релаксацией // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1989. Вып. 91. С. 21-36.
66. Калиев И. А., Сабитова Г. С. Осреднение процесса фазовых переходов в многомерных неоднородных периодических средах // Докл. СО АН ВШ. 2000. N 1. С. 18-25.
67. Калиев И. А., Сабитова Г. С. Новый метод доказательства теоремы единственности классической задачи Стефана // Сб. науч. тр. / МО. Новосибирский военный ин-т. 2000. Вып. 9. С. 39-50.
68. Калиев И.А., Сабитова Г. С. Осреднение процесса фазовых переходов в многомерных неоднородных периодических средах // ПМТФ. 2001. Т. 42, N 1. С. 102-107.
69. Каменомостская С. Л. О задаче Стефана // Научн. докл. высш. школы. Физ.-мат. н. 1958. N 1. С. 60-62.
70. Каменомостская С. Л. О задаче Стефана // Мат. сб. 1961. Т. 53, N 4. С. 489-514.
71. Капель Я. И. Об одной модельной системе уравнений одномерного движения газа // Дифференц. уравнения. 1968. Т. 4, N 4. С. 721734.
72. Капель Я. И. О задаче Коши для уравнений газовой динамики с вязкостью // Сиб. мат. журн. 1979. Т. 20, N 2. С. 293-306.
73. Кейльман Н. Э. О стабилизации решений начально-краевой задачи для уравнений баротропного газа с вязкостью, зависяш,ей от плотности // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1987. Вып. 79. С. 36-44.
74. Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. М.: Мир, 1983.
75. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.
76. Костиков А. А. Термодиффузионная задача Стефана при наличии конвекции // Украинский математический журнал. 1992. Т. 44, N 2. С. 269-274.
77. Кронрод А. С, Ландис Е.М. О множествах уровня функций многих переменных // ДАН СССР 1947. Т. 58, N 7. С. 1269-12??.
78. Кронрод А. С. О функциях двух переменных // Успехи мат. наук. 1950. Т. 5, Вып. 1. С. 24-134.
79. Кузнецов Б. Г., Смагулов Ш. О сходящихся разностных схемах для уравнений вязкого газа. Новосибирск, 1982. 45 С. (Препр. / СО АН СССР, Ин-т теор. и прикл. мех. N 17).
80. Кулагина Н. А. Однофазная задача Стефана с учетом движения среды в жидкой фазе // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1985. Вып. 72. С. 36-49.
81. Кулагина Н. А. Задача Стефана для системы уравнений вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1986. Вып. 76. С. 101-110.
82. Кучер Н. А. О методе слабой аппроксимации для многомерных уравнений газовой динамики // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1990. Вып. 97. С. 51-62.
83. Кучер Н. А. Метод слабой аппроксимации и анализ схем расщепления для многомерных уравнений газовой динамики // Труды семинара СЛ. Соболева: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. 1991. Части 1, 2. N 1. С. 47-69.
84. Кучер Н. А. О сходящейся схеме расщепления для многомерных уравнений вязкого газа // Докл. АН СССР. 1991. Т. 320, N 6. С. 1315-1318.
85. Кучер Н. А. Об обосновании разностных схем расщепления для многомерных уравнений газовой динамики // Динамика сплошнойсреды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1991. Вып. 101. С. 69-84.
86. Кучер Н. А. Метод слабой аппроксимации для уравнений вязкого газа. Новосибирск: НГУ, 1992.
87. Кучер Н. А. Разностные схемы расщепления для уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости. Новосибирск: НГУ, 1992.
88. Кучер Н. А. Исследование неявной схемы расщепления для многомерных уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. -Ин-т гидродинамики. 1993. Вып. 107. С. 73-84.
89. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967,
90. Ландау Л. Д. К теории фазовых переходов // ЖЭТФ. 1937. Т. 7, N 7. С. 19-37.
91. Мамонтов А. Е. Корректность квазистационарной модели сжимаемой вязкой жидкости // Сиб. матем. журн. 1996. Т. 37, N 5. С. 11171131.
92. Мамонтов А. Е. Пространства Орлича в проблеме существования глобальных решений многомерных уравнений вязкой сжимаемой нелинейной жидкости // Дисс. на соиск. уч. степени к.ф.-м.н. / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1997.
93. Маслов В. П., Данилов В. Г., Волосов К. А. Математическое моделирование процессов теплопереноса. М.: Наука, 1987.
94. Маслов В. П., Данилов В. Г., Мясников В. П. Математическое моделирование аварийного блока Чернобыльской АЭС. М.: Наука, 1987.
95. Маслов В. П., Мосолов П. П. Уравнения одномерного баротропного газа. М.: Наука, 1990.
96. Мейрманов А. М. Задача Стефана. Новосибирск: Наука, 1986.
97. Мейрманов А. М. Многофазная задача Стефана для квазилинейных параболических уравнений // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1973. Вып. 13. С. 74-86.
98. Мейрманов А. М. О классической разрешимости задачи Стефана // Докл. АН СССР. 1979. Т. 249, N 6. С. 1309-1312.
99. Мейрманов А. М. О классическом решении многомерной задачи Стефана для квазилинейных параболических уравнений // Мат. сб. 1980. Т. 112, N 2. С. 170-192.
100. Мейрманов А. М. Пример несуществования классического решения задачи Стефана // Докл. АН СССР. 1981. Т. 258, N 3. С. 547-549.
101. Мейрманов А. М. Структура обобщенного решения задачи Стефана. Периодические решения // Докл. АН СССР. 1983. Т. 272, N 4. С. 789-791.
102. Общее мерзлотоведение. /Под редакцией В. А. Кудрявцева. М.: Изд-во МГУ, 1978.
103. Овсянников Л. В. Введение в механику сплошных сред. Ч. 2. Новосибирск: НГУ, 1977.
104. Олейник О. А. Об одном методе решения общей задачи Стефана // Докл. АН СССР. 1960. Т. 135, N 5. С. 1054-1057.
105. Плотников П. И., Старовойтов В. Н. Задача Стефана с поверхностным натяжением как предел модели фазового поля // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29, N 3. С. 461-471.
106. Пухначев В. В. О задаче Стефана, возникающей в одной модели электрического взрыва проводников // Труды семинара СЛ. Соболева: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. 1976. N 2. С. 69-82.
107. Пухначев В. В. Возникновение особенностей в решении задачи сте-фановского типа // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, N 3. С. 492-500.
108. Радкевич Е. В. О разрешимости общих нестационарных задач со свободной границей // Некоторые приложения функционального анализа к задачам математической физики: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. 1986. С. 85-111.
109. Радкевич Е. В. Об операторных пучках контактных задач со свободной границей // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1988. Вып. 86. С. 79-87.
110. Радкевич Е. В. Об асимптотических решениях системы фазового поля // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29, N 3. С. 487-500.
111. Радкевич Е. В., Меликулов А. С. О разрешимости двухфазной квазистационарной задачи кристаллизации // Докл. АН СССР. 1982. Т. 256, N 1.
112. Радкевич Е. В., Меликулов А. С. Краевые задачи со свободной границей. Ташкент: Фан, 1988.
113. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР. Под ред. П. Я. Полубариновой-Кочиной. М.: Наука, 1969.
114. Рубинштейн Л. И. Проблема Стефана. Рига: Звайгзне, 1967.
115. Рысбаев Б. Р., Смагулов Ш. О сходящихся разностных схемах для уравнений вязкого газа // Докл. АН СССР. 1986. Т. 287, N 3. С. 558559.
116. Смагулов Ш. Об устойчивости разностных схем для модели Бюр-герса // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1982. Вып. 57. С. 77-89.
117. Смагулов Ш. О сходящихся разностных схемах для уравнений вязкого теплопроводного газа // Докл. АН СССР. 1984. Т. 275, N 1. С. 31-34.
118. Смагулов Ш. О сходящихся разностных схемах для уравнений вязкого газа в переменных Эйлера // Докл. АН СССР. 1984. Т. 277, N 3. С. 553-556.
119. Смагулов Ш. Устойчивые разностные схемы для модели вязкого газа // Вестник АН КазССР. 1985. N 7. С. 60-62.
120. Смагулов Ш., Жанасбаева У. Б. Оценки решения разностной схемы для уравнений баротропного газа с переменной вязкостью // Докл. АН СССР. 1988. Т. 299, N 5. С. 1066-1068.
121. Смагулов Ш., Жанасбаева У. Б. Приближенные методы уравнений теплопроводного газа с переменной вязкостью // Изв. АН КазССР. Сер. физ.-мат 1988. N 1. С. 48-51.
122. Солонников В. А, О разрешимости начально-краевой задачи для уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости // В кн.: Исследования по линейным операторам и теории функций. 6. Л.: Наука. 1976. С. 128-142. (Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. Т. 56).
123. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. М.: Мир, 1981.
124. Терсенов А. С. Задача об истечении вязкого газа в вакуум // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1985. Вып. 69. С. 82-95.
125. Троцкая О. В. Исследование разностной схемы расщепления для уравнений движения вязкого газа // Сиб. мат. журн. 1996. Т. 37, N 2, С. 424-432.
126. Троцкая О. В. О сходящейся схеме расщепления для многомерных уравнений вязкого газа. Часть 3. Кемерово: Изд-во КемГУ, 1994.
127. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968.
128. Фролов А. Д. Электрические и упругие свойства криогенных пород. М.: Недра, 1966.
129. Хуснутдинова Н. В. О поведении решений задачи Стефана при неограниченном возрастании времени // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1969. Вып. 2. С. 168-177.
130. Шелухин В. В. Стабилизация решения одной модельной задачи о движении поршня в вязком газе // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1978. Вып. 33. С. 134-146.
131. Шелухин В. В. Периодические течения вязкого газа // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1979. Вып. 42. С. 80-102.
132. Шелухин В. В. Суш,ествование периодических решений обобш,енной системы Бюргерса // Прикл. математика и механика. 1979. Т. 43. Вып. 6. С. 992-997.
133. Шелухин В. В. Ограниченные, почти периодические решения уравнений вязкого газа // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1980. Вьш. 44. С. 147-162.
134. Шелухин В. В. Движение с контактным разрывом в вязком теплопроводном газе // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1982. Вып. 57. С. 131-152.
135. Шелухин В. В. Эволюция контактного разрыва в баротропном течении вязкого газа // Прикл. математика и механика. 1983. Т. 47. Вып. 5. С. 870-872.
136. Шелухин В. В. О структуре обобш;енных решений одномерных уравнений политропного вязкого газа // Прикл. математика и механика. 1984. Т. 48. Вып. 6. С. 912-920.
137. Шелухин В. В. Краевые задачи для уравнений баротропного вязкого газа с неотрицательной плотностью // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1986. Вьш. 74. С. 108-125.
138. Шелухин В. В. Распространение начальных возмущений в вязком газе // Сиб. мат. журн. 1987. Т. 28, N 2. С. 211-216.
139. Шелухин В. В. Об одном классе сдиговых течений вязкой сжимаемой жидкости // ПМТФ. 1996. Т. 37, N 4. С. 50-56.
140. Шмулев Н. И. Периодические решения первой краевой задачи для параболических уравнений // Мат. сб. 1965. Т. 66. N 3. С. 398-410.
141. Эдварде. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969.
142. Atthey D. R. А finite difference scheme for melting problems / / J . Inst. Math. Appl. 1974. V. 13. P. 353-366.
143. Atthey D. R. A finite difference scheme for melting problems based on the method of weak solutions // Proc. Symposium on moving boundary problems in heat flow and diffusion. Oxford: Clarendon Press. 1975. P. 182-191.
144. Beirao da Veiga H. Long time behavior for one dimensional motion of a general barotropic fluid // Arch. Ration. Mech. and Anal. 1989. V. 108, N 2. P. 141-160.
145. Beirao da Veiga H. The stability of one dimensional stationary flows of compressible viscous fluids // Ann. Inst. Henry Poincare. Anal. Non Lineare. 1990. V. 7. P. 259-268.
146. Belov S. Ya. On the initial-boundary value problems for barotropic motions of a viscous gas in a region with permeable boundaries / / J . Math. Kyoto Univ. 1994. V. 34, N 2. P. 369-389.
147. Berger A. E., Brezis H., Rogers J. C. W. A numerical method for solving the problem Ut A/(w) = 0 // RAIRO, Analyse Numérique. 1979. V. 13. P. 297-312.
148. Bernardi C, Pironneau 0. On the shallow water equation at low Reynolds number // Comm. Partial Differential Equations. 1991. V. 16, N 1. P. 59-104.
149. Bertsch M., de Mottoni P., Peletier L. A. Degenerate difussion and the Stefan problem. Leiden, 1983. (Preprint / Mathematical Institute of Leiden, The Netherlands. N 20).
150. Bertsch M., de Mottoni P., Peletier L. A. The Stefan problem with heating: appearance and disappearance of a mushy region. Leiden, 1984. (Preprint / Mathematical Institute of Leiden, The Netherlands. N 18).
151. Caffarelly L. A. The smoothness of the surface in a filtration problem // Arch. Rat. Mech. Anal. 1976. V. 63, N 1. P. 77-86.
152. Caffarelly L. A. The regularity of elliptic and parabohc free boundaries // Bull. Amer. Math. Soc. 1976. V. 82. P. 616-618.
153. Caginalp G. An analysis of a phase field model of a free boundary // Arch. Rat. Mech. Anal. 1986. V. 92. P. 205-245.
154. Caginalp G. Stefan and Hele-Shaw type models as asymtotic limits of the phase-field equations // Physical Review A. 1989. V. 39, N 11. P. 5887-5896.
155. Caginalp G. The dynamics of a conserved phase field system: Stefanlike, Hele-Shaw and Cahn-Hilliard models as asymtotic Umits // IMA Journal of Appl. Math. 1990. V. 44. P. 77-94.
156. Cannon J. R., DiBenedetto E., Knightly G. K. The bidimensional Stefan problem with convection: the time dependent case // Comm. Part. Diff. Equations. 1983. V. 8. P. 1549-1604.
157. Cannon J. R., Douglas J., Hill C. D. A multi-boundary Stefan problem and the disappearance of phases / / J . Math. Mech. 1967. V. 17. P. 21-33.
158. Cannon J. R., Henry D. B., Kotlov D. B. Continious differentiability of the free boundary for weak solution of the Stefan problem // Bull. Amer. Math. Soc. 1974. V. 80. P. 45-48.
159. Cannon J. R., Henry D. B., Kotlov D. B. Classical solutions of the one-dimensional two-phase Stefan problem // Ann. Math. Pur a Appl. 1975. V. 107. P. 311-341.
160. Cannon J. R., Hill C. D. Existence, uniqueness, stability, and monotone dependence in a Stefan problem for the heat equation / / J . Math. Mech. 1967. V. 17. P. 1-19.
161. Cannon J, R., Hill C. D., Primicerio M. The one-phase Stefan problem for the heat equation with boundary temperature specification // Arch. Rat. Mech. Anal. 1970. V. 39. P. 270-274.
162. Cannon J. R., Primicerio M. A two-phase Stefan problem with temperature boundary conditions // Ann. Math. Pura Appl. 1971. V. 88. P. 177-191.
163. Cannon J. R., Primicerio M. A two-phase Stefan problem with flux boundary conditions // Ann. Math. Pura Appl. 1971. V. 88. P. 193205.
164. Dacorogna B. Weak continuity and weak lower semicontinuity of nonlinear functionals. N.Y.: Springer-Verlag, 1982. (Lect. Notes in Math.; N 922).
165. Damlamian A. How to gomogenize a nonhnear diffusion equation: Stefan's problem // SIAM J. Math. Anal. 1981. V. 12, N 3. P. 306-313.
166. Danilov V. G., Maslov V. P., Volosov K. A. Mathematical modelling of Heat and Mass Transfer. Kluwer Academic Pubhsher, 1995.
167. Devonshire A. F. Theory of ferroelectrics // Adv. phys. 1954. V. 3, N 10. P. 85-130.
168. DiBenedetto E., Friedman A. Conduction-convection problem with a change of phase // J. Differential Equations. 1986. V. 62. P. 129-185.
169. DiBenedetto E., O'Leary M. Three-dimensional conduction-convection problem with change of phase // Arch. Rat. Mech. Anal. 1993. V. 123. P. 99-116.
170. Duvant M. G. Résolution d'un problème de Stefan //CR. Acad. Sc., Paris. 1973. V. 276, ser. A. P. 1461-1463.
171. Falk F. Ginsburg-Landau theory of static domain walls in shape-memory alloys // Z. Phys. 1983. Bd 51. P. 177-185.
172. Falk F. Elastic phase transitions and nonconvex energy functions // Free Boundary Problems: Theory and Applications. 1988. V. 1. (Research Notes in Math. Ser. 185). P. 45-59.
173. Falk F., Konopka P. Three-dimensional Landau theory describing the martensitic phase transitions of shape memory alloys / / J . Phys. Condens. Matter. 1990. N 2. P. 61-77.
174. Fasano A., Primicerio M. A parabolic-hyperbolic free boundary problem: mushy region with variable temperature in melting processes. Florence, 1982. (Preprint / Universita degli studi di Firenze, Instituto Matemático <UUsse Dini>. N 4).
175. Feireisl E. On the data dependence of solutions to the Navier-Stokes equations of compressible flow // Inst. Math. Czech. Akad. 1998.
176. Fridman A. One dimensional Stefan problem with nonmonotone free boundary // Trans. Amer. Math. Soc. 1968. V. 133. P. 89-114.
177. Fridman A., Kinderlehrer D. A one phase Stefan problem // Indiana Univ. Math. J. 1975. V. 24. P. 1005-1035.
178. Graff] D. II teorema di unicitá nella dinámica dei fluidi compressibli // J. Rat. Mech. Anal. 1953. V. 2. P. 99-106.
179. Hanzawa E. I. Classical solution of the Stefan problem // Tohoku Math. J. 1981. V. 33. P. 297-335.
180. Hoff D. Global existence for 1-d, compressible, isentropic Navier-Stokes equations with large initial data // Trans. Amer. Math. Soc. 1987. V. 303, N 1. P. 169-181.
181. Hoff D. Global solutions of the Navier-Stokes equations for multidimensional compressible flow with discontinuous initial data // J. Diff. Equat. 1995. V. 120. P. 215-254.
182. Hoff D. Discontinuous solutions of the Navier-Stokes equations for compressible flow // Arch. Rat. Mech. Anal. 1991. V. 114. P. 15-46.
183. Hoff D. Global well-posedness of the Cauchy problem for nonisentropic gas dynamics with discontinuous initial data / / J . Diff. Equat. 1992. V. 95. P. 33-74.
184. Hoff D., Tau-Ping Liu. The inviscid limit for the Navier-Stokes equations of compressible, isentropic flow with shock data // Indiana. Univ. Math. J. 1989. V. 38, N 4. P. 861-915.
185. Hoff D., Serre D. The failure of continuous dependence on initial data for Navier-Stokes equations of compressible flow // SI AM J. Appl. Math. 1991. V. 51. P. 887-898.
186. Hoffmann K.-H., Starovoitov V. N. Phase transitions of liquid-liquid type with convection // Advances in Mathematical Sciences and Apphcations. 1998. V. 8. P. 185-198.
187. Itaya N. The existence and uniquiness of the solution of the equations describing compressible viscous fluid flow // Proc. Japan Acad. 1970. V. 46, N 4. P. 379-382.
188. Itaya N. On the temporally global problem of the generalized Burgers equation // J. Math. Kyoto Univ. 1974. V. 14, N 1. P. 129-177.
189. Itaya N. A servey on the generahzed Burger's equation with a pressure model term // J. Math. Kyoto Univ. 1976. V. 16, N 1. P. 223-240.
190. Kaliev I. A. Nonequihbrium phase transitions in frozen grounds // International Series of Numerical Mathematics. 1992. V. 106. P. 141147.
191. Kaliev I. A., Kazhikhov A. V. Well-posedness of a gas-solid phase transition problem // Abstracts of the Int. Conf. Mathematics in Applications, Novosibirsk, 1999. P. 79.
192. Kaliev I. A., Kazhikhov A. V. Well-posedness of a gas-sohd phase transition problem // J. of Math. Fluid Mech. 1999. V. 1, N 3. P. 282-308.
193. Kaliev I. A. Global solutions of a gas-solid phase transition problem // IV Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000). Тез. докл. Ч. I, Новосибирск, 2000. С. 26-27.
194. Kawashima S., Nishida T. Global solutions to the initial value problems of the one-dimensional motion of viscous polytropic gases / / J . Math. Kyoto Univ. 1981. V. 21. P. 825-837.
195. Kinderlehrer D., Nirenberg L. The smoothness of the free boundary in the one phase Stefan problem // Comm. Pure. Appl. Math. 1978. V. 31. P. 257-282.
196. Korteweg D. J. Sur la forme que prennent les equations des movement des fluides si l'on tient comple des forces capillaires par des variations de densité // Arch. Neerl. Sci. Exactes. Nat. Ser. II. 1901. N 6. P. 1-24.
197. Lamé G., Clapeiron B. P. Mémoire sur la solidification par refroidissement d'un globe solide // Ann. de Chem. et de Phys. 1831. V. 47. P. 250-256.
198. Li-Shang J. Existence and differentiability of the solution of the two-phase Stefan problem for quasilinear parabolic equation // Chinise Math. 1965. V. 7. P. 481-496.
199. Lions P .L. Mathematical Topics in Fluid Mechanics. V. 2. Compressible Models. Clarendon Press. Oxford. 1998.
200. Lions P. L. Existence globale de solutions pour les é quations de Navier-Stokes compressible isentropiques // C.R.Acad. Sei. Paris. 1993. V. 316. P. 1335-1340.
201. Lu Min, Kazhikhov A. V. Seiji Ukai. Global solutions to the Cauchy problem of the Stokes approximation equations for two-dimensional compressible flow // Science Bull, of Josai Univ. Sp. Issue. 1998. N 5.-P. 155-174.
202. Lukaszewics G. An existence theorem for compressible viscous and heat conducting fluids // Math. Meth. Appl. Sei. 1984. V. 6. P. 234-247.
203. Magenes E. Problemi di Stefan bifase in piu variabili spaziaU //Le Matematiche. 1981. V. 36. P. 65-108.
204. Matsumura A., Nishida T. The initial value problem for the equations of motions of viscous and heat-conductive gases // J. Math. Kyoto Univ. 1980. V. 20, N 1. P. 67-104.
205. Matsumura A., Nishida T. Initial boundary value problems for the equations of motion of compressible viscous and heat-conductive fluids // Comm. Math. Phys. 1983. V. 89. P. 445-464.
206. Matsumura A., Nishida T. Periodic solutions of a viscous gas equations // Lecture Notes in Num. Appl. Anal. 1989. V. 10. P. 49-82.
207. Matsumura A., Nishida T. The initial value problem for the equations of motion of viscous and heat-conductive fluids // Proc. Japan Acad. Ser. A. 1979. V. 55. P. 337-342.
208. Meirmanov A. M., Kaliev I. A. One-dimensional Stefan problem with an arbitrary initial enthalpy. Periodical solutions // Free Boundary Problems: Applications and Theory. 1985. V. III. (Research Notes in Math. Ser. 120). P. 40-49.
209. Meirmanov A. M., Pukhnachev V. V., Shmarev S. I. Evolution Equations and Lagrangian Coordinates. N. Y.: Walter de Gruyter, 1997.
210. Nagasawa T. On the one-dimensional motion of the polytropic ideal gas nonfixed on the boundary // J. Diff. Equat. 1986. V. 65. P. 49-67.
211. Nagasawa T. On the outer pressure problem of the one-dimensional polytropic ideal gas // Japan J. Appl. Math. 1988. V. 5. P. 53-85.
212. Nagasawa T. On the one-dimensional free boundary problem for the heat-conductive compressible viscous gas // Lecture Notes in Num. Appl. Anal. 1989. V. 10. P. 83-99.
213. Nagasawa T. Global asymptotics of the one-dimensional motion of the polytropic ideal gas with stress-free conditions // Quart. Appl. Math. 1988. V. 46, N 4. P. 665-679.
214. Nash J. Le problème de Cauchy pour les equations différentielles d'un fluide general // Bull. Soc. Math. France. 1962. V. 90. P. 487-497.
215. Niezgddka M. Stefan-like problems // Free Boundary Problems: Theory and Applications. 1983. V. II. (Research Notes in Math. Ser. 79). P. 321-347.
216. Niezgô dka M., Sprekels J. Existence of solutions for a mathematical model of structural phase transitions in shape memory alloys // Math. Meth. Appl. Sci. 1988. N 10. P. 197-223.
217. Okada M., Kawashima S. On the equations of one-dimensional motion of compressible viscous fluids / / J . Math. Kyoto Univ. 1983. V. 23. P. 55-71.
218. Oleinik O. A., Primicerio M., Radkevich E. V. Stefan-like problems // Meccanika. 1993. P. 129-143.
219. Omel'yanov G. A., Danilov V. G., Radkevich E. V. Asymptotic solution of the conserved phase field system in the relaxation case // Euro. Journal of Appl. Math. 1998. V. 9. P. 1-21.
220. Padula M. Existence of global solutions for two-dimensional viscous compressible flows / / J . Func. Anal. 1986. V. 69, N 1. P. 1-20.
221. Plotnikov P. I., Starovoitov V. N. Stefan problem with surface tension as a limit of the phase field model // Intern. Series of Numerical Math. 1992. V. 106. P. 263-270.
222. Primicerio M. Mushy region in phase-change problem // In: Applied Nonlinear Functional Analysis / Lang. Frankfurt/Main. 1982. P. 251269.
223. Rodrigues J. F. A steady-state Boussinesq-Stefan problem with continuous extraction. // Ann. Mat. Pura Appl. 1986. N 144. P. 203-218.
224. Roubicek T. The Stefan problem in heterogeneous media // Ann. Inst. Henri Poincare. 1989. V. 6, N 6. P. 481-501.
225. Secchi P., VaUi A. A free boundary problem for compressible viscous fluids // J. Reine und Angew. Math. 1983. V. 341. P. 1-31.
226. Serre D. Variations de grande amplitude pour la densité d'un fluide visqueux compressible // Physica. Ser. D. 1991. V. 48. P. 113-128.
227. Serrin J. On the uniqueness of compressible fluid motion // Arch. Rational Mech. Anal. 1959. V. 3, N 3. P. 271-288.
228. Soner H. M. Convergence of the phase-field equations to the Mullins-Sekerka problem with kinetic undercooling // Arch. Rational Mech. AnaL 1995. V. 131. P. 139-197.
229. Song Jiang. On initial boundary value problems for a viscous heat-conducting, one-dimensional real gas / / J . Diff. Equat. 1994. V, 110. P. 157-181.
230. Sprekels J. Global existance for thermomechanical processes with nonconvex free energies of Ginsburg-Landau form / / J . Math. Anal. Appl. 1989. V. 141. P. 333-348.
231. Stedry M., Vejvoda O. Time periodic solutions of a one-dimensional two-phase Stefan problem // Ann. mat. pura et appl. 1981. V. 127. P. 67-78.
232. Stefan J. Über einige Probleme der Theorie der Wärmeleitung // Sitzungber., Wien, Akad. Mat. Natur. 1889. Bd. 98. P. 473-484.
233. Stefan J. Über die Diffusion von Sären und Basen gegen einander // Sitzungber., Wien, Akad. Mat. Natur. 1889. Bd. 98. P. 614-634.
234. Stefan J. Über die Theorie der Eisbildung, insbesonders über die Eisbildung in Polarmeere // Sitzungber., Wien, Akad. Mat. Natur. 1889. Bd. 98. P. 965-983.
235. Stefan J. Uber die Verdampfung und die Auflösung als Vorg"ange-der Diffusion // Sitzungber., Wien, Akad. Mat. Natur. 1889. Bd. 98. P. 1418-1442.
236. Sträskraba L, Valli A. Asymptotic behaviour of the density for one-dimensional Navier-Stokes equations // Manuscr. Math. 1988. V. 62, N 4. P. 62-79.
237. Tani A. On the first initial-boundary value problem of compressible viscous fluid motion // Publ. Res. Inst. Math. Sei. Kyoto Univ. 1977. V. 13, N 1. P. 193-253.
238. Tani A. The initial value problem for the equations of the motion of general fluid with general slip boundary condition // Kyoto Univ. RISM. 1990. V. 734. P. 123-142.
239. Tani A. On the first initial-boundary value problem of the generalized Burgers equation // Publ. Res. Inst. Math. Sei. Kyoto Univ. 1974. V. 10, N 1. P. 209-233.
240. Tarzia D. A. A Bibliography on Moving-Free Boundary Problems for the Heat Diffusion Equation. The Stefan Problem. Prog. Naz. M.P.I. Italy, Firenze. 1988.
241. Ughi M. A melting problem with a mushy region: qualitative properties. Florence, 1983. (Preprint / Instituto Matemático <Uhsse Dini>. N 1982-83/11).
242. Valh A. An existence theorem for compressible viscous fluids // Ann. Mat. Pura. Appl. 1982. V. 130, N 4. P. 197-213.
243. Valli A. On the existence of stationary solutions to compressible Navier-Stokes equations // Ann. Inst. Henry Poincaré. Anal. Non Lineare, 1987. V. 4. P. 99-113.
244. Van der Waals J. D. Die Kontinuität des gasförmigen und flüssigen Zustandes: Thesis Leiden. 1873.
245. Van der Waals J. D. The thermodynamic theory of capillarity flow under the hypothesis of a continuous variation of density (in Dutch) // Verhandel. Konink. Akad. Weten. Sect. 1. 1893. V. 1, N 8.
246. Visintin A. Models of phase transitions // Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications. 1996. V. 28. Boston: Birkhaeuser.
247. Visintin A. Stefan problem with phase relaxation // I.M.A. J. Appl. Math. 1985. V. 34. P. 225-245.
248. Visintin A. A new model for supercooling and superheating effects // I.M.A. J. Appl. Math. 1986. V. 36. P. 141-157.
249. Visintin A. Stefan problem with a kinetic condition at the free boundary // Ann. Mat. Pura Appl. 1987. V. 146. P. 97-122.
250. Visintin A. Supercooling and superheating effects in heterogeneous systems // Quart. Appl. Math. 1987. V. XLV. P. 239-263.
251. Zarnowski R. Existence, uniqueness and computation of solutions for mixed problems in compressible fluid flow // J. Math. Anal, and Appl. 1992. V. 169, N 2. P. 239-263.
252. Zarnowski R., Hoff D. A finite-difference scheme for the Navier-Stokes equations of one-dimensional, isentropic, compressible flow // SIAM J. Numer. Anal. 1991. V. 28. P. 78-112.
253. Zhao J. Convergence and error-bound analysis for mixed problems in compressible flow // Numer. Funct. Anal, and Optimiz. 1994. V. 15, N 1&:2. P. 187-198.
254. Zhouping X i n. Blow-up of smooth solutions to the compressible Navier-Stokes equations with compact density // Inst, of Mathematical S. New York Univ. 1997.
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.