Краевые задачи для уравнений смешанного гиперболо-параболического типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Елеев, Валерий Абдурахманович

• Елеев, Валерий Абдурахманович
• доктор физико-математических наук
• 1995

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Елеев, Валерий Абдурахманович

СОДЕРЖАНИЕ

Стр,

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I

ВИДОИЗМЕНЕННЫЕ ЗАДАЧИ А.В.БЩАДЗЕ И ЗАДАЧИ СО СМЕЩЕНИЕМ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ И СМЕШАННЫХ ТТШЕРБОуТО-ПАРАБОЖТЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯ

§1. Задачи типа задачи Бицадзе для гиперболического уравнения

с вырождением типа и порядка на части границы

§2. Краевые задачи со смещением для гиперболического уравнения с вырождением типа и порядка на части границы

§3. Краевые задачи ю смещением для смешанных: гиперболо-цараболических уравнений

ГЛАВА II

ЗАДАЧА ТРИКОМИ ДЛЯ СМШАННЫХ ГИПЕРБОЛО-ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ

51. Аналог задачи Трикоми для смешанного гиперболе - пара' -лического уравнения с разрывными коэффициентами . -

52. Задача Трикоми для смешанных гиперболо-параболических уравнений с не характеристической линией изменения типа

ГЛАВА III

ОБОБЩЕННАЯ ЗАДАЧА ТРИК0Ш ДЛЯ СШ1ЩШ ГИПЕРБОЛО-ПАРАБОЛИЧЕСКЙХ УРАВНЕНИИ

§ 1. Обобщенная задача Трикоми для смешанного пшерболо-

параболического уравнения с нехарактеристической линией изменения

типа

§2. Обобщенная задача Трикоми для смешанного гиперболо-пар аболического уравнения с характеристической линией изменения

типа

§3. Обобщенная задача Трикоми для смешанного гиперболо-параболического уравнения, когда отходящая кривая имеет только одну общую точку с характеристикой

§4. Обобщенная задача Трикоми для смешанных гиперболо-параболических уравнений с одновременным вырождением типа и порядка

глава iv

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НАГРШШШХ, СМЕШАННЫХ И СМЕШАННО-СОСТАВА УРАВНЕНИЙ ГЙПЕРБОЛО-ПАРАБОДИЧЕСКОГО ТИПА

§1, Краевые задачи для смешанного уравнения гиперболо-параболического типа с нехарактеристической линией изменения

типа

52. Краевые задачи для нагруженного гшерболо-п .раболического уравнения второго порядка с характеристической линией изменения

типа

§3. Краевые задачи о смещением для смешанно-составного уравнения третьего порядка

§4. Краевые задачи для смешанного уравнения третьего порядка

параболо-гиперСолического типа

§5. Краевые задачи для смешанных нагруженных уравнений второго и третьего порядка

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи для уравнений смешанного гиперболо-параболического типа»

ВВЕДЕНИЕ

Б силу своей исключительной прикладной важности теория уравнений смешанного типа в настоящее время стула одной из центральных проблем современной теории уравнений с частными производными.

В математической литературе имеются многочисленные работы отечественных и зарубежных авторов, в которых для уравнений смешанного типа исследуются основные краевые задачи (задача Трикоми, задача Гел-лерстедта, общая смешанная задача Бицадзе, задача Франкля) и ставится ряд новых задач. Достаточно полная библиография по теорий краевых задач для уравнений смешанного типа содержится в монографиях А.Б.Бицадзе [4И, 4.2}, Л.Берса [4.3], К.Г.Гудерлея [4.4], а также в докторской диссертации A.M.Нахушева [6.1] и в книгах Ш,М.Смирнова [4.5, 4.29].

Среди работ последних лет, опубликованных в центральных изданиях, следует отметить работы А. Б. Бицадзе [5.1,5.?,], В.К.Врагова [5.3], Н.К.Гайдая [5.41, Д.К.Гвазава [6.2], В.П-^идешсо [5.5], М.М.Зайнулабидова [5.6, 5.7], Т.Ш.Калъменова [5.0-5.91, Г.Д.Каратоп-раклиева [5.10, 5.111, М.Мередова [5.12, 5.131, Е. И.Моисеева [5.14-5.17], A.M. Нахушева [5.18-5. 21 ], С. М.Пономарева [5.22-5.25 I, Н.Й.Поливанова Г5.26], М.С.Салахитдинова, А.Хаоанова [5.271, P.ii.Соха дзе [5.2Э].

В этих работах исследовались в основном локальные краевые задачи для уравнений смешанного эллшгтико-гишрболического типа, как о одной, так и с двумя параллельными или перпендикулярными линиями изменения типа в плоек сти и пространстве. Что касается нелокальных краевых задчч для вырождающихся гшерболических уравнений и краевых задач для уравнений мешанного гиперсол -параболического типа, то им посвя-

щено сравнительно мало работ (4,6, 5,29-5.70, 5.131-5.133*1.

Между тем эти уранедая так же как эллептико-гиперболические лежат в основе математических моделей различны! природных явлений. Локальные и нелокальные краевые задачи для таких уравнений встречаются, например, при изучении движения малосжимаемой жидкости в канале, окруженном пористой средой 15.711, в теории распространения электромагнитного поля в неоднородной среде, состоящей из диэлектрика и проводящей среды, и в ряде других областей физики. Так, в канале гидродинамическое давление жидкости удовлетворяет волновому уравнению, а в пористой среде - уравнению фильтра!Ш, которое в данном случае совпадает с уравнением диффузии [4.71. При этом на границе канала выполняются некоторые условия сопряжения. Аналогичная ситуация имеет место для магнитной напряженности электромагнитного поля в указанной выше среде [4.8].

Распространение установившихся волн в стратифицированной жидкости, занимающей неограниченную область, когда частота установившихся колебаний у меньше частоты Вейсяля-Врента, уравнение для амплитуды установившихся колебаний является уравнением гиперболического типа, а если частота установившихся колебаний ы совпадает с частотой Вейсяля-Врента, то происходит параболическое вырождение Г4.301. Многие математические модели тепло- и массобмена в капилярно пористых предах пластовых систем [4.31], формирования температурного поля в системах, составленной из теплоизолированных с боковой поверхности, ограниченного и полуограниченного стержней с различными тешюфизиче скими свойствами сводятся к задачам для смешанных гиперболо-параболических уравнений, вообще говоря, с разрывными коэффициентами [5.72-5.74, 4.32].

За последние года существенно повысился интерес к нагруженным операторам и их приложениям. В работах [5.134-5.1371 дано общее определения нагруженных интегральных, функциональных и дифференциальных уравнений. Исследован ряд важнейших задач .для основных типов нагруженных дифференциальных уравнений в частных производных и даны их приложения к долгосрочна>му прогнозу почвенной влаги и динамики грунтовых вод, установлена существенная взамоевязь между нелокальными задачами и нагруженными уравнениями.

Настоящая диссертация посвящена линейным локальным и нелокальным краевым задачам для вырождающихся гиперболических, нагруженных, смешанных гиперболо-параболических типов уравнений второго и третьего порядков с двумя независи мыми переменными, и в ней получены следующие основные результаты.

1. Полностью исследован вощюс однозначной разрешимости видоиз-менненых задач Ноши и нелокальных краевых задач со смещением для гиперболического уравнения с одновременным вырождением типа и п -рядка яа часта границы.

2. Доказаны теоремы единственности и существования решения краевых задач со смещением для уравнений смешанного гиперболо-параболического типа с разрывными коэффициентами.

3. Для широкого класса гиперболо-параболических операторов с йе-ха, зктеристической линией изменения типа получены априорные Оценки,из к.-торых, в частоности, следует единственность регулярного решения аналога задачи Трикоюи.

4. Достроена теория как классической, так и обобщенной задачи Трикоми для /равнений смешанного гилерболо-параболического типа

5. Исследован до конца ряд локальных и нелокальных краевы >; задач

для нагруженных, смешанных, смешанно - составных уравнений пиперболо-параболического типа второго и третьего порядков.

Перейдем теперь к более детальному изложению содержания диссер таций, состоящей из четырех существенно взаимосвязанных глав.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Елеев, Валерий Абдурахманович, 1995 год

ЛИТЕРАТУРА

4.1. Бицадзе A.B. Уравнения смешанного Типа.-М.: Ивд во АН СССР,

1959. -164 с.

4.2. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных произвол--М.: ЬТзд-во "Наука", 1981 . -443 с.

4.3. Берс Л. Матемдтические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики.-М.: Йзд-во ИЛ., 1961. -203 с.

1.4. Гудррлей K.P. Т- рия околозвуковых теме ний.-М.; № д • ИЛ.,

1960. -421 с.

4.5. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа.-М.. Мзд-во "Наука", 1970. -295 о.

4.6. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений мешанного и смешанно-составного ТИПОВ.-Ташкент.: Нзд-во "Фан" 1979. ?3S о.

4.7. ЛийО(-нзон Л.С. Движение природных жидкостей и газов ь пористой среде.-Гостехивдат. 1947. -244 с.

Тихонов А*Н. , '".-(Марский A.A. Уравнения мат':-матич<: си й физики. -Мж: ЙГЗД-BO "Наука", 1972. -784 I.O. Терсн-toi O.A. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на

грнанице. Ш во НГУ, 1973. 140 с. 4.10. Ыусхелшвшт И. И, Сингулярные интегральны- уравнения.

-М.: Изд-во "Наука", 1963. -511 с. 1.1!. Еерезанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. -Киев.: Иац-во. "Наукова думка*, 1965. -798 с к

4.1- . 'Франкль ФМ. Избранные труды по газовой динамик^. Изд-во

"Наука", 1973. -711 с. 4,13. Бицадзе A.B. Уравнения математической Физики. -М.: Йзд-во.

"Наука", 1982. -336 с.

4.14. Вицадзе A.B. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. -М.: Изд-во "Наука". 1968. -234 с.

4.15. Трякоми Ф. Лекции по уравнениям с частными произг дешми. -М.: Изд-во ИЛ., 1957. -443 с.

4.16. Гурса д. Курс математического анализа. -т.З, часть 2. -МЛ.: 1&34. ->20 с.

4.17. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения. -МЛ.: 1953. ->79 е.

4.13. Арре/ Р.Кагоре *Г. de Perlet Fonction hlperçeometriqueя et hiperafheriques. Pollnomes délimite Gantier - УШагя, Parts, 1926. -2T4 p.

4.19. Положий Г.П. Уравнения математической физики.. -М.: Изд во

"Высшая школа", 1984. "59 о.

1.20. Карташов Э.М. Аналитические метода в теории теплопроводности твердых тел. -М: Изд-во "Высшая школа", 1985. -480 с.

4.21. Мартиненк H.A., Пустильников Л.М. Конечные интегральные преобразования и их применение к исследованию систем с распределенными параметрами. -М„; Мзд-во "Наука", 1936, эоз

4.22. Карсдоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. U.: Изд-во "Наука", 1947. -288 с.

4.23. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений -МЛ.: Физматгиа, 1959. -628 с.

4.24. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. -М.: Изд-во "Мир", 1985. -590 с.

4.25. Ляпин E.G. Курс высшей алгебры. -М.: Учпедгиз, 1953. -342 с.

4.26. Трикоми Ф. О линейных уравнениях смешанного типа. Огиз,

1947. -192 с.

4.27. Бабич В.М., Капилевич М.Б. и яр. Линейные уравнения математической финики. -М.: Изд-вс "Наука", 19G4. ■

4.28. Джураев Т.Д., Сопуев Д.С., Мамажанов М. Краевые задачи дли уравнений параболо-гиперболичнсеого типа. -Ташкент: Йзд во

"Фан". 1986. -220 с.

4.29. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. -М.: Иэд-во."Высшая школа", 1985. -304 с.

4.30. Габов С.А., Свешников Д.Г1. Задачи динамики стратифицирован ных жидкостей. М.: йад-во "Наука", 1982. -389 с.

4.31. Асиз X.. Сетгари Э. Математическое моделирование пластовых систем. -М.; Изд-во "Недра", 1982. 407 с.

4.32. Щашков А,Г. Системно структурный анализ процесса теплообмена и его применение. -М.: Эиергоиадат, I983. -27 * ■

5.1. Бицадэе A.B. К теории одного класса уравнений смешанн г > типа. Некоторые проблемы математики и механики. -Л.: 197Q. -с. 112-119.

5.2. Бицадзе A.B. К теории owr класса нелинейных уравнений в частных пр изводаых //Дифференц, уравнения. -1977. т.13 т. -с. 1994-2008.

5.3. Врагов В.Н. К теории краевых задач для уравн ний смеш ihh г^ типа в пространстве t 'Дифференц. уравнения. 1977.-т.17, #1. -с. 1098 -110F.

5.4. Гайдай H.H. О существовании спектра для оператора Трикоми//Дифф<ренц. уравнения. -1981. -т. 17,№1. -с. 31-38.

5.5. Диденко Б.П. об обобщенной разрешимости граничных в.чдач для ;истем дифферонциальных уравнений смешанного типа /Диф

Ференц, уравнения. -1973. -т.8, #1. -с, 24-29.

5.6. Зейнулабидов М.М, 0 некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями выроидения/УДифференц. уравнения. -4969.-т.5, *1. -с. 91-99

5.7. Зейнулабидов м.м. Об одной краевой ' задаче для модельного уравнения смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения/ ДАН СССР. -1969. - т. 188, Яб. с. 986-989.

5.8. Кальменов Т.Ш. О спектра задачи Трикоми для уравнения

Лаврентьева-Биц.две /Диффе>ренц, уравнения. -ЮТ,-т. 13, №. -с. 1718-1725,

5.9. Кальменов Т.Ш. О полупериодической задаче Дирихле для одного

класса уравнений смешанного типа /■'Дифф^ренц, уравнения. -1978. -Т,14* №3. -С. 1673-1682.

5.10. Нщратацржтех Г.Д. Об уравнениях смешанного типа и

вырождающихся гиперболических уравнениях в многомерных областях 'Дифферент уравнения. -1972. -т. , ЛИ .-о, 55-67. Г Г К-г^-аТ . | : Г.Л. >■ ШН'ТВ'чЧПС '№ реш-ч г!'- !■ ■ Т ■;. -' •

краевых задач для уравнений смешанного типа и гиперболических уравнений в пространств //Дифференц. уравнения» -1982. -т. 18, -с. 59-63.

5.12. Мередов М. Об одной краевой задаче для одного класса смешанных ураМений//ДифференЦ. уравнений. -1981. -т.17, Мб. -с. 1734 1739.

5.13. Мередов М. Краевые -адачи для системы многим« рных смешанных уравнений //Дифференц. уравнения. -1981. -т.17, .«6. -с. 836-892.

5.14. Моисеев Е.Й. НвК' торые т-оремы сдшств-нно'-тн для уравнения

смешанного типа //ДАН СССР. -1978. -т.238, №3. -с. 531-533.

5.15. Моисеев Е.И. О теоремах единственности для уравнения сме-

шанного типа //ДАН СССР. -1978. -т.242, ЛИ. -с. 48-51.

5.16. Моисеев Е.И. О задаче Трикоми для уравнения Геллеротедта //ДАН СССР. -1979. -т.246, №. -275-278.

5.17. Моисеев Е.И. О задаче Трикоми для уравнения Лаврентьева-Вицадзе //Дифференц, уравнения. -1981. -т.17, №.

-с, 325-338.

5.18. Нахушев A.M. Краевая задача для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения //ДАН ССОР. -1966. -т.170, №1 ,-с.

38-39.

5.19. Нахушев A.M. Критерий единственности решения задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области

//Дифференц. уравнения. -1970* -т.6, -с. 190-191.

5.20. Нахушев A.M. Об одной задаче А.В.Вицадзе / ДАН СССР. -1970. -Т.192, ЯЗ. -с. 499-502.

5.21. Нахушев A.M. К априорным оценкам для задачи Трикоми и Дарбу //Дифференц. уравнения. -1972. -т.8, #1. -с. 107-117.

5.22. Пономарев С.М К задаче на собственные значения для уравне-нения Лаврентьева - Вицадзе //ДАН СССР. -1979. -т.233, #1. -с. 39-40.

5.23. Пономарев С.М. Об одной задаче на собственные значения //ДАН СССР. -1979. -т.249, Я5. -С. 1068-1070.

5.24. Пономарев С.М. К теории краевых задач для уравнений смешанного типа в трехмерных областях //ДАН СССР. -1979. -т.246, J66. -с. 1303-1306.

5.25. Пономарев С.М, 0 некоторых краевых задачах для уравнений

смешанного типа со спектральным параметром //ДАН СССР. -Т.260, т. -с. 1074-1078.

5.26. Поливанов Н.И. Уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения в неограниченных областях.П. существование сильного решения //Дифференц. уравнения. -1978. -т.14, М. -с. 665-679

5.27. Салахитдинов М.С., Хасанов А. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения //Дифференц. уравнения. -1983. -т.19, ЛИ. -с. 110-119.

5.28. Сохадзе Р.И. Первая краевая задача для уравения смешанного типа с весовыми условиями склеивания вдоль линии параболического вырождения //Дифференц. уравнения. -1981. -т.17, № . -с. 150-156.

5.29. Бясихатлов Х.Г. Об одной краевой задаче .для смешанных парабола-гиперболических уравнений с характеристической линией изменения тина //Дифферент, уравнения. -1977.-т.13, J&1. -с. ю-16.

5.30. Бжихатлов Х.Г. Краевая задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения и сингулярные уравнения третьего рода //Дифференц. уравнения, -1971. -т.7, JBT. -с. 3-14.

5.31. Бицадзе A.B. К теории уравнений смешанного типа, порядок которых вырождается вдоль линии изменения типа. Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. -М.: -1972. -С. 47-52.

5.32. Волкодавов В.Ф., Носов В.А. Доказательство единственности решения одной задачи со смещением для уравнения Эйлера-Дарбу общего вида, Рязань. В сб.; "Дифференц. уравнения". -1976.

-вып.8. -с. 78-96.

5.33. Врагов В.Н. О задаче Копш для некоторых гараболо -гиперболических уравнений //ДАН СССР.-t973. -т.£12, ÄS. -с.536-638.

5.34. Врагов В.К. О смешанной задаче для одного класса гипербо-ло-параболичеоких уравнений //ДАН СССР. -1975.-т.224, J&. -с. 273-276.

5.35. Врагов Р-.И. Сметанная задана для одного класса гит-рболо-параболичесяш уравнений второго порядка // "ДиффереЩ. уравнения". -1976. -тЛ2, #1. -с. 24-31.

5.36. Гайдук С.И., Иванов A.B. Об одной задаче на сопряжение уравнений параболическое ■ и гиперболического типов -'ДАН СССР. -1964. т.8, №. -с. 560-563.

5.37. Гайдук С.Ii. Применение метода контурного интеграла к оеше-нют эдной задачи на. с- пряжение уравнений п <раболическ >рс и гиперболического типов //"Дифференц, уравнения*. -1965. -т.1, №10. -с. 1366-1382.

5.38. Джураев Т.Д., Шарифбаев Я.С. О некоторых краевых -здачах для уравнения с частными производными третьего п рядка / В кн. Краевые задачи для дифференциальных уравнений, Изд-во "Фан". 1974, серия физ.-мат.наук, ЯЗ. -с. SO-86.

5.39. Джураев Т.Д. ,с гтуев А. Об одной пространственной задаче для уравнения смешан® гс пэрабсло-гиперболичен; г тина '/Диф Ференц, уравне ния4. -1981. -т.17, £1. -с. 50 57.

5. Ю. Джураев Т.Д., Мамажшсв М. О корректной постановке краевых задач для ода го класса трапн-ний тр-зтье-г порядка парабол; гшгерболическ го типа У"1Щференц. уравнения". -1933.-т. 19, #1. -С. 57-50.

5.41. Капустин Н.FD. К теории краевых задач для систем уравнений смешанного типа //"Дифферент уравнения". -1983. -т.18, Мб.»

-с. 1078-1080.

5.42. Капустин Н.Ю., Сабитов К.Б. О решении одной проблемы в;теории задачи Фртшш для уравнений смешанного типа , '"Диф-ференн. уравнения". -1991. -т.27. JN6. -с. 80-68.

5.43. Капустин н.ю. Об обощеннсй разрешимости задачи Трикоми для параболо - гиперболического уравнения //дан ссср. -1984. -т.274. 166. -с. 1294-1298.

5.44. Кумыкова С.К.,- Нахушева Ф.Б. Об одной краевой задаче для гипврОолическорп уравне шя, вырождающегося внутри о'ласти //"Дифференц. уравнения". -1973. -т.14, т. -с. 50-65.

5.45. Кумыкова С.К. Краевая задача со смещением для вырождаще-гося внутри области гиперболического уравнения '"Дифференц. уравнения"* -1980. -т.16, -с. 93-104.

5.46. Кумыкова С.К. Задача с нелокальными условиями на , щуЛ кт<; рИ ;ТШ - y[fi ■ ьк -Три ' f iOTH I'll; ■ ли ческого уравнения / '^Дифференц. уравнения" 1981. Mr, .№1. -с. 82-90.

5.47. Кхан М.Р. Краевые задачи со смещением дал гиперболическ г уравяенщг -/ "ЯиФЗ>:ренц. уравнения", -1Э82, -т.п. J6. -с. 1082-1085.

5.43. Шщсо А.Ф, ОС одной нелокальной задаче для ypai нлиия Смешанного параболо - гиперб оличе ског типа ; "Дй^ференц. уравнения". 1978. -т. 14, №.1 -с. 18Е 186.

5.49. Häubo А.ф. Нелокальная задача для одного уравнения омевглиног:- гиперболе -параболического типа "ДЭДференц.

уравнения". -1979. -т.15, #1. -с. 176-177.

5.50. Нагорный A.M. Краевые задачи для вырождающегося уравнения гиперболо-параболического типа //Изв.АН УзССР. -198!. серия Физ.~ мат.наук, JE. -с. 32-36.

5.51. Нахушев A.M. О некоторых краевых садачах Для гиперболически/. уравяегягй и , равнений смешанног тип :г "Диффе ренц ,ур^в-НИЯ". -1969. -Т.5, ЛИ. -о. 44-59.

5.52. Нахушев A.M. Новая краевая задача для одного вырождавдегося гикерболическ го уравнения //ДАН СССР. 1969. -т.187, №4. -С. 736-739.

5.53. Ежихатлов I.V., Нахушев А,М- Об одной краевой задач»? для уравнении смешанного параболо -гиперболического типа ДАН СССР. -1968. -т.183, Ж1, -с. 261-264.

5.54. Нахушев A.M. К теории краевых задач для уравнений смешанного гипербол -параболического типа /ДАН СССР.-1977. т.235, т. -с. 373-2,76.

5.55. Нахушев A.M. К теории линейных краевых задач для уравнения второго порядк i смешанного гидарболо-пара^одического типа //"Дифференц. уравнения". -1978. -т.14, #1. -с. 66-73.

5.56. Оразов И. Об одной краевой задаче со смещением для обобщенного р.- ¡вдения Трикоми / '"Диффер- нц. ур эвк -ния". -198!. -Т. 17, Ш, -с. 339-344.

7 .57. оразов И. Задача со смещением для гиперболического уравнения с нехарактеристическим вырождением на части границы . '"Дифференц. уравнения". - 1982.-т. 18, # 1. - с.92-100.

5.58. Попиванов Н.И. Теория краевых задач дня гиперболо - параболических уравнений в многомерных областях 'ДБАН, г. г. -фия.

-1931.-с. 88-119.

5.59. Поливанов Н.И. О краевых задачах для гипербола - парэболи-боличэских уравнений //"Дифферент уравнения".-1984. -т.20, №1 .- с. 104-115.

5.60. Салахитдинов М.С., Толипов А. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа с одной и двумя линиями вырождения //"Дйфференц. уравнения". -1972. -т.В, №1.-0.134-133.

5.61. Салахитдинов М.С., Толипов А. О некоторых краевых задачах для однстс класса уравнений смешанного типа /ЛДифференц.

уравнения".-1973. -т.№.-с. 175-183.

5.62. Салахитдинов М.С.. Мирсабуров М. О некоторых краевых задачах со смещением для уравнения гиперболического типа, вырождающегося внутри облаете УЙзв. № УзССР, серия фи- . -мат. наук, -1980. -с. 16-21.

5.03. М.С., Мирсабуров М. О некоторых краевых зчде

чах для гиперболического уравнения, вырождащегося внутри области/ ^Дифферент. уравнения".-1981.-т.17, № . -с.129-136.

5.64. Салахитдййов М.С., Мирсабуров М. О двух нелокальных краевых задаи&х. для вырождающегося гиперболического уравнения ' . уравнения".- 1982.- т.18, №1.- с. 116-127.

" ::,'Г-:КиТДИЙЧ;Д; У.С . , I е|.'Д^Ш4В А .С, 1 № 'К Т •[ 'О. краевых Задачах для смешанного параболо-гиперболического НИЩ' < Из в. АН УзССР, серия физ. -мат. наук. - 1932. -

\

5.66* , Уринов А.К. Об одной краевой задаче для

УрЩ^фШ* Смешанного типа с негладкими линиями вырождения

\

// ДАН СССР. - 1982. - Т.262, ЖЗ,- с.539-541.

5.67. Салахитдинов М.С., Бердыше в A.C. Задачи Трикоми да уравнения смешанного параболо-гиперболического тина // Изв. УзССР, серия фиэ. мат.наук.- 1933. - с.20-25.

5.68. Смирнов М.М. Краевая задача типа Вицадзе Самарского для одного уравнения смешанного типа второго рода // Вестник ЛГУ. -1979. -выпуск 1. -0.77-83.

5.69. Стручина Г.М. Задача о сопряжении двух уравнений //Инж.-физ. журн.~1961 .-т.4, *11 .-с.99-104.

5.70. Хубиев Р.Н. Краевая задача для параболо-гнперболкческого уравнения с неизвестной линией изменения тина //"Дйфференц. уравнения". - 1979. -т.IP, -с. 373-375.

: .71. Гельфэнд И.М. Некоторые Рмпросы анализа и доЕФ рендр.'чльных уравнений //УМН. -1959. - т.14, ВЫП.З(87).

5.72. Лыков A.B. Применение'методов термодинамики необратимых процессов к ио ледоьанию тешк - и маое">бмена йнж. физ.журн..- 1Эбб. -т.9, яз.-с.132-138.

5.73. Ведерников В.В. Передвижение влаги при конечной о» рости распространение влажности //Вест. с. -х. науки. -1972. -т.З,

ЖГ4. -о. 74-76.

г..74. Нахушев A.M. ~ некоторых способах линеаризации уравнений вдвявения грунт &ой воды и почвенной влаги Краевые яадачи для уравнений ■ мешанного типа и родственны^ проблемы Функ ционално^о анализа и прикладной математики. Нальчик. -1979. -выпуск 2. -с. 173-183.

5.75. Вицадзе A.B. Линейные уравнения с частными произг дннми мешанного типа Тр .3 Все союзы, матем. ■ зда.- М.: 1956.

-С. 36-42„

5.76. Терсенов С.А. Об одном уравнении гиперболического типа, вырождающегося на граница //ДАН СССР. 1959.-т.129, М2, -С. 276-279.

5.77. Терсенов С.A. FC теории гиперболических уравнений с данными

на линии вырождения //Сибирок, метем.журн. 1Э61. -т.9, W.. -с. 913-935.

5.78. Терсенов С.А. О задаче с данными на линии вырождении для систем уравнений гиперболического типа / ДАН СССР. -1964.

-т.155, *й. -с-285-288.

5.79. Wolfersdorf Ь. Uber eine Besiehung zwischen Jntegr&Zen

nichtjgiinser Örlmmg. Math, Seltschr, 90, !, (965. 5.30. Agpion S., Nirenberg L.. Protter M. A maximum principe if a

ïïa^ij сhyperfrc Z .1 о - ¡4-.t. t n an appUcatline to equations

of mlxeâeUiptic-buperboZlc type. Coram.pureand, AppZ.Math.

-1953.- v.6. -p. 455-470.

. i Нахушев A.M. - в>1даче Дарбу выровдаищнуон -нр^о-

лических уравнений //"Дифферен. уравнения".-1971.-т.7, Л1. -с. 49-56.

5.82. GeZZerstedt S, Sur une equation Zîneare aux dirlvees

partieZXes de type mixte Arkiv Mat,., Astv. ocli Fyslk, 25A»

29, 1937.- p. 1-23.

5.33. Фридрихе К. Symmetric positive linear differential

equations Comm. Pure andAppZ., Math. 19СЯ. - v.1l, JÊ3. -C. 333-418.

" - "'■■■■! . M 1 ! ' !vV ;!;>' ' . " . ' -.V- ■■.:! ■ ' ' ; t 1ОТ; )V" J. . . ] : ;Д-

of aïZlptlc-hyperoZlc type, Comm. Pure. App7. Math. -1958. v.9, *0. - p. 315-331. 5.85. Picard F. Annaïes de e'EeoZe NormaZ.- 1911. -v.% Щ 28.

-p.311-324.

5.86. Pîatrier. Comptes Rendus. - 1913. -v.156, Л24. - p. 28-31. 5.37. Weinstein A. On the wave equation and th equation of euber-Poisson. The Fifth symposium in AppZiend Math.Mcbraw-НШ York.- 1954.- p. 137-147.

5.88. Кароль И,Л.Краевые задачи для уравнений смешанного аллип-

тико-гипврболгического тина //ДАН СССР. -1955. -т. 101, je. -с. 793-796.

5.89. BZum E.K. The solution of the EuZer-Poisson-Baröoux equa-tionfor negative values of the poraroeter Duke Kath. J. -1954.- v.21, Лй. - p. 257-270.

.90. Generated! S. Sur un proöZeme aux 11mites pour un equa

tion ltneare aux derive!s mixte, These UppsaZa, 1935.-92 p.

5.91 Елеев В.A. Краевая задача для одного уравнения гиперболо-

параболйческ.-г'"' типа Орджоникидзе, COPv: вып.З, 1976. -С. 31-37.

5.92. Елеев В.А. О некоторых задачах типа задачи Коши и задачи

со смещением для одного вырождающегося гиперболического

уравнения // "Дифференц. уравнения". -1976. -т.12. П. -с. 46-58.

5.93. Клеев В.А. Аналог задачи Трикоми для смешанных параболо-

гиперболичеоких уравнений с нехарактери Tire окой линией

изменения типа. //"Диф^ренц. уравнения". 1976. -т.13, !1. -с. 56-63.

5.94. Елеев В.А. О некоторых задачзх типа Коши и задачах с "неполными начальными данными" для одного класса вырождающихся уравнений" '/Известия Вузов, Математика. -Казань: ЙЗД—ВО КУ.-1977. -т.180, #5, -С 32-44.

5-95 Еле ев В. Д. О некоторых краевых, задачах со смещением для одного уравнения смешанного параболе - гиперболического типа//"Дифференц; уравнения". -'197S. -тЛ4, jft. -с. 23-29.

5.96. Елеев В.А. Обобщенная задача Трикоми для смешанных параболе-гиперболических ур ®не ний//Тезисы докладов республиканского симпозиума по дифференциальным уравнениям. Ашхабад. -1973. -с. 12-13.

5.97. Елеев В.А. Обобщенная задача Трикоми для смешанных гиперболо - параболических уравнений //"Дифференц. уравнения". -1979. -т.15, т. -с. 41-53.

5.98. Елеев В.А. Обобщенная задача Трикоми для модельного уравнения гиперболо-параболического типа //Краевые задачи для

./;:":! И--.Т..: CM-l^iHH Р-: и рО.ДСГР'ЧШГК' П "Л'-ми фуНКПН

налыюге анализа и прикладной математики. -Нальчик, вып.2, -1979. -с. 128-131.

5.Э9. Елеев В.А, Обобщенная задача Трикоми для '-мешанных гиперболо - параболических уравнений с нехарактеристической линией изменения типа/'Дифференц. уравнения. -1980. -т.16, т. -с. 59-73,

5.100.Елеев В.А. Обобщенная задача Трикоми для смешанного гиперболо- параболического уравнения с одновременным вырождением типа и порядка /ДАН СССР. -1980. -т.253, М. -С, 796-799.

5.101 .ЕЛеев В.A. The Generalised Thlcoml pmbTema mixed hyperbolieparabolic equation With simuZtaneons degeneration of type and orler. WaUiematies, SubJectcTassl fteation. -1981. -p.158-162.

5.102.Клеев Б.A. Some boundanmtle problems WithtranaZationa for paraboilc-hyperboZic mixed equation. 1931. - c.98-103.

5.103.Елеев Е-!.А. Обобщенная задача Трикоми для смешанного уравнения гиперболе параболического типа с разрывными коэффициентами //.ВДзференц. уравнения. -1381. -т.17, №1. -С. 58-7?..

5.104.Елеен В.А. Коши характеристическая задача. Математическая энииклоппдкя//Москва: Изд-во "Советская энциклопедия11. -1982. -т. J£, -с. 63-G5.

5,Ш5,Елеев В.А, Задача Трикэми для одного смешанного уравнения гиперболе параболического типа с вырождением второго рода/ЛГелокаиы-л*' кр :-гы задачи для имсру^ншх :pt • ний

У

смешанного типа и родственные проблемы непрерывного анализа. -Нальчик. -198?. -с. 109-117.

п

/: Е ,10*:;. Елее в В. А. Аналог задачи Франк ля для смешанного уравнения Р" пара "■■ ; Г ТИП': I1 - V. -М Д ' : : ■ участников Куйбышевского областного межвузовского научного совещания - семинара. -Куйбышев: Изд-во КУ. - 1984.-с. 38 39. 5. ИЗУ.Дрожина Л.И,. Елеев В.А. Нелокальная краевая задача йицадзе - Самарского для смешанного урагнения гитк рб лопаря болического типа ■ Методы математичео&ого.моделир>ва-ния в системах автоматизированного проектирования и плани-//' рования.-Нальчик. -1985.-е. 118-121.

. Елее в В.А. Одна краевая задача для уравнения смешанного

; / гиперболо - параболического типа //Нелокальные задачи для уравнения в частных производных и их приложения к модели-1 рованию и автоматизации проектирования сложных систем.

/ч

t

268

ё к

-Нальчик. -1986. -с. 183-186.

5.109.Елеев Б.А. О краевых задачах для смешанного гиперболе - параболического типа //"Дифференц. уравнения". 1988. -T.34, М, -с. 628-635.

5.110.Блеев В.А. Сап- hy characterianic probiem //Изд. "Руйдуль", VoZ:3/coZ: 63, 1987. -с. 114-117.

5.!П.Елеев Б.А. Об одной системе интегро-дифференциальных урав нений //Нелокальные задачи и их приложения к автоматизированным системам. -Нальчик: 1989. -с. 104-116.

5.112.Елеев P.A. Нелокальные краевые задачи со смешением для сопряжении: гиперболических уравнений / "Нелинейные крае вые задачи математической физики и их. приложения. -Киев: Ин-т математики HAH Украины. -1990. -с. 46-48.

5.113.Ел9вв Б.А. О некоторых краевых задачах для нагруженного

уравнения гш-рооло-параболического типа второго порядка

//Тезисы докладов научной конференции "Краевые задачи и

их спектральные вопросы для дифференциальных уравнений1'. - Алма-Ата. -1991, -с. 40.

5.114.Елеев В.А, Краевые задачи для смешанного уравнения гиперболо - параболического типа третьего порядка //Нелинейные эволюционные уравнения в прикладных задачах.-Киев: Ин-т математики HAH Украины. -1991. -с. 36-38.

5.115-Елеев В .А,, Кумыкова С.К. Краевая задача со смещением для смешанного уравнения третьего порядка //Нелинейное краевые задачи математической физики и их приложения. -Киев: Ин-т математики HAH Украины. -1991. -с. 41-44.

5.116.ЕлееЕ В.А. Об дной краевой задаче для смешанного уровне-

нения гиперболо - параболического тала третьего порядка

//Тезисы докладов третьей Северокавказской региональной

конференции по функциональным и дифференциальным уравне-

нениям и их приложениям. - Махачкала: йзд-во ДУ. -1991. -с. 61

5.117,Влеев Б.А., Кумыкова С.К. О некоторых, краевых задачах со смещением для одного смешанного уравнения третьего

!Т;.' j '1,-f.K"! Т ДОКЛМ" I 0 ДИф^-ИЦНаЛг-Hi-Tf-J 1'

ным уравнениям, математической физике и специальным функциям. -Самара: 1992. -с. 92-93.

5.118.Елеэв В.А. Краевые задачи для нагруженных уравнений гиперболо- параболического типа второго порядка //Нелинейные краевые задачи математической физики и нх приложения. -Киев: Ин-т математики КАЯ Украины. -1993. -с. 49-52.

5.М9.Елеев В.А., Кумыкова С.К. О некоторых краевых задачах со смещением для дного уравнения третьего порядка //Нелинейные краевые задачи математической физика и их приложения. -Киев: Ин-т математики HAH Украины. -1993. -с. 52-54. 5.130.Елэвв В.А. О никоторых краевых задачах для смешанных нагру зкенных уравнений второго и третьего порядка л "Дифференц. уравнения". -1994, -т. 30, №2. -с. 230-236.

5.121.Елеев В.А. О краевых задачах для смешанного уравнения третьего порядка/УУкр. мат. журнал. Киев: Ин-т математики HAH Украины. -1995. -т.47, *1, -с. 20-29.

5.122.ЕЛеев Б.А. Краевые задачи для нагруженного гиперболо-параболическотч> уравнения с характеристической линией изменения типа //Укр, мат. журнал. -1995. -т.47. J610,

-с. 1219-И 228.

5.133.Елеев В.А., Агщюва Т. Краевые задачи, для смешанных гжтер боло-параболических уравнений с двумерной областью изменения типа. //Вестник "КЕГУ", серия "Физико-математические науки". -1995. -с. 135-140.

5.124. Ильин A.M., Калашников A.C., Олейник O.A. Линейные уравнения вторго порядка параболического тина.//УМН. -19B2.-t.17, Ä3 (105). -с. 212-231. .

5.125. Камынин Л.Ш., Химченко S.H. К исследовать о принципе мак симума //ДАН СССР. -Î973. -т.240, A4. -с. 774-777.

5.126 Камынин Л.И.. Химченко Б.Н. О принципе максимума для зл-лшгшко-параболического уравнения второго порядка //Си'. матем. журн. -1972. -т.13, М. -с. 773-779.

5.127. Пономарев С.М. О некоторых краевых задачах для уравнений смешанного типа со спектральным параметром //ДАН СССР. -1986. -Т. 260, ЛБ. -с. 1074-1078.

5.128. Нахущев A.M., Борисов В.Н.Краевые задачи дпя нагруженных уравнений и их приложения к прогнозу уровня грунтовых в,д //"Дифференц. уравнения". -1977. -т. 13, *1. -с. 105-110.

5.129. Нахущев A.M. О задаче Дарбу для одного вырождащегося нагруженного интеГро-дафференцизльного уравнения втор то порядка//"Дифференц. уравнения".-1976. -т.1 ; . m .-104-108.

г.130. Gattiaöriga L. Su aZcunl proöZemi per eqmrion Uf fer ;nziaZ 1 dl tIpo compos1to. Rendicont1 Sem.Mat.iftilvers!ta, Poova, voZ, XXVII, 1957.

5.131. Сабитов К.Б. О задаче Трикоми для уравнения Лаврентьева-Сицадэе со спектральным параметром //"Дифференц. уравне-

НИЯ"■ -1989. -Т.'22, Jilt. -с. 1977-1984.

5.132. Сабитов К.Б. К теории уравнений смешанного параболо-гиперболического типа со спектральным параметром //"Диф^ренп. уравнения". -1989. -т.25, №1. -с. 117-126.

5.133. Салахитдинов М.С., Уринов А.К. О некоторы краевых задачах е.") -м- иг мнем для уравнений смешанной ■ ш\ \ 'Дифференциальные уравнения и вопросы теории ветвления. -Ташкент. "Фан". -1982. -с. 3-12.

5.134 Нахушев A.M. Нагруженные уравнения и их приложения //»Дифференц. уравнения». -1983. -т.19, т. -с. 86-94.

5.135. Нахушев A.M. Нелокальная задача и задача Рурса для нагруженного уравнения гиперболического типа и их приложения

к прогнозу почвенной влаги//ДАН СССР. -197,. -т.342, ж . -С. 1008-1011.

5.136. Нахушев A.M. О нелокальных краевых задачах со смешением

и их связи с нагруженными уравнениями //"Дифференц. уравнения", -198г>. -т.21, #1. -с, 92-101.

5.137. Нахушев A.M. Критерий непрерывности градиента решения з-. дачи Дарбу для уравнения Геллеретедта //"Дифференц. уравнения". -1992. -т.28. -с. 170-185.

6J. Нахушев A.M. К теории линейных краевых задач для гиперболических и смешанных уравнений второго порядка, Докт.дисс. (библиотека института математики ШШЙ ). -1971.

6.2. Гвазава Д.К. О некоторых классах нелинейных уравнений еме смешанного типа. Докт.дисс., Тбилиси, -1979.

6.3. Бабевко К.И. К теории уравнений смешанного типа. Докт.дисс, (библиотека Института математики .РАН). -1953.