Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа второго и третьего порядков тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Балкизов, Жираслан Анатольевич

• Балкизов, Жираслан Анатольевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Балкизов, Жираслан Анатольевич

Оглавление

Введение

Глава I. Локальные краевые задачи для уравнений параболо

— гиперболического типа второго порядка

1.1. Аналог задачи Трикоми

1.2. Краевая задача для уравнения с разрывными коэффициентами

1.3. Краевая задача в характеристическом многоугольнике

1.4. Первая краевая задача с отходом от характеристик

Глава II. Краевые задачи для уравнений третьего порядка с

оператором Геллерстедта

2.1. Аналог задачи Трикоми для модельного уравнения

2.2. Смешанная задача с производной второго порядка в граничных условиях

2.3. Аналог задачи Трикоми для общего уравнения

2.4. Нелокальная краевая задача для общего уравнения

Глава III. Краевые задачи для уравнений третьего порядка с

оператором Бицадзе-Лыкова

3.1. Нелокальная краевая задача для модельного уравнения

3.2. Аналог задачи Трикоми

3.3. Смешанная задача с производными второго порядка в граничных условиях

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа второго и третьего порядков»

ВВЕДЕНИЕ

Основополагающую роль в становлении теории уравнений смешанного типа сыграла монография Ф. Трикоми [97], вышедшая в 1947 г. в русском переводе Ф.И. Франкля, который обнаружил очень важные приложения задачи Трикоми к теории установившихся смешанных до- и сверхзвуковых течений и привлек внимание математиков и аэродинамиков к разработке этой чрезвычайно интересной и актуальной тематики, в частности отметил, что уравнение Чаплыгина К (а) фвв + фста — 0 для функции тока ip — ф (в, а) имеет эллиптический тип при дозвуковом и гиперболический тип при сверхзвуковом течении газа.

В работах [94, 95] С. Геллерстедт исследовал обобщения задачи Трикоми для более общих уравнений эллиптико-гиперболического типа.

В настоящее время краевые задачи для уравнений смешанного типа стали важным разделом современной теории дифференциальных уравнений в частных производных.

Значительную роль в развитии теории краевых задач для уравнений смешанного типа сыграли работы A.B. Бицадзе [31] - [33], В.И. Жегалова [41] - [44], М.М. Смирнова [87], М.С. Салахитдинова [82], [85], [86], O.A. Репина [72], Т.Д. Джураева [36], [37], Е.И. Моисеева [56], А.М. Нахушева [60] -[63], А.П. Солдатова [88], Т.Ш. Кальменова [47].

Диссертация посвящена исследованию краевых задач для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа второго и третьего порядков.

Достаточно полная библиография по теории краевых задач для уравнений параболо-гиперболического типа второго и третьего порядков содержится в монографии [36].

В связи с рассматриваемыми в диссертации вопросами отметим работы [1], [26]-[30], [34], [38]-[40], [45]-[46], [48]-[54], [57]-[59], [64]-[68], [70], [73]-[76], [77]-[81], [83], [84], [89], [92], [93].

Работа выполнена в рамках темы "Нелокальные дифференциальные уравнения смешанного типа и их применение к динамическим системам "отдела Уравнений смешанного типа НИИ ПМА КБНЦ РАН (№ гос. регистрации 01201361965).

Цель диссертационной работы состоит в исследовании на однозначную разрешимость локальных и нелокальных краевых задач для уравнений па-раболо-гиперболического типа второго и третьего порядков.

Результаты работы получены с использованием следующих методов: метод априорных оценок; принцип экстремума; элементы дробного исчисления; метод функции Грина; метод интегральных уравнений.

Имеющими существенное значение в теории дифференциальных уравнений смешанного типа результатами работы являются:

Теорема существования и единственности решения аналога задачи Три-коми для общего уравнения параболо-гиперболического типа второго порядка с оператором Геллерстедта в области гиперболичности.

Теоремы единственности решения аналога задачи Три коми для уравнения параболо-гиперболического типа второго порядка с разрывными коэффициентами.

Теорема об априорной оценке решения аналога задачи Трикоми для уравнения параболо-гиперболического типа второго порядка.

Теорема единственности решения краевой задачи для уравнения параболо-гиперболического типа второго порядка в характеристическом ше-

стиугольнике.

Теорема об априорной оценке решения первой краевой задачи для класса уравнений в частных производных смешанного параболо-гиперболического типа второго порядка с разрывными коэффициентами.

Теоремы существования и единственности решений локальных и нелокальных краевых задач для уравнений параболо-гиперболического типа третьего порядка, когда относительно коэффициентов гиперболического уравнения выполнены условия Геллерстедта.

Теоремы существования и единственности решения локальных и нелокальных краевых задач для уравнений параболо-гиперболического типа третьего порядка с оператором Бицадзе-Лыкова в области гиперболичности.

Полученные в диссертационной работе результаты имеют теоретическую ценность. Практическая ценность работы заключается в том, что полученные результаты могут быть использованы при математическом моделировании различных процессов тепло и массообмена в капиллярно-пористых средах.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на заседаниях научно-исследовательского семинара по современному анализу, информатике и физике ФГБНУ ИПМА (руководитель семинара - A.M. Нахушев); на заседаниях семинара по математической физике и вычислительной математике Кабардино-Балкарского государственного университета (руководитель семинара - М.Х. Шхануков-JIафишев); на второй Международной конференции "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения" (Махачкала, 2005 г.); на Международной конференции "Порядко-

вый анализ и смежные вопросы математического моделирования "(Владикавказ, 2007 г.); на V, VI, VIII школах молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики" (Нальчик, Эльбрус, Хабез, 2007, 2008, 2010 гг.); на I Всероссийской конференции молодых ученых "Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики"(Терскол, 2010 г.); на II Международном Российско-Абхазском симпозиуме "Уравнения смешанного типа, родственные проблемы анализа и информатики "(Нальчик, 2011 г.); на II Международном Российско-Узбекском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики "(Эльбрус,

2012 г.); на II Международной конференции молодых ученых "Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики"(Эльбрус-Терскол, 2012 г.); на IV Международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики "(Нальчик - Терскол,

2013 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [2] - [24]. Из них работы [8], [9], [10], [12], [14], [18], [22], [23] опубликованы в журналах, включенных в Перечень ведущих периодических изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ для опубликования основных научных результатов на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук.

Диссертация состоит из трех глав, объединяющих 11 параграфов, заключения и списка литературы, содержащего 97 наименований и изложена на 150 страницах.

В первой главе, состоящей из четырех параграфов, рассматриваются

краевые задачи для уравнений смешанного параболо-гииерболического типа второго порядка с характеристической и нехарактеристической линией изменения типа.

В §1.1 рассматривается уравнение параболо-гиперболического типа с характеристической линией изменения типа

H(y)L1u + H(-y)L2u = 0, (1)

где Н(у) - функция Хевисайда;

L\u = ихх — иу + ai(x, у)их + а0(ж, у)и,

L2U = \у\т ихх - иуу + а{х, у)их + Ь(х, у)иу + с(х, у)и.

Уравнение (1) рассматривается в конечной области Q, ограниченной при у > 0 отрезками AAq , А0В0, BqB прямых ж = 0, у = h, х = 1 соответственно, и характеристиками = АС и <72 = ВС уравнения (1) при у < 0, выходящими из точек А = (0, 0) и В — (1, 0) и пересекающимися в точке С .

Пусть f2i = Q П {у > 0} , = fi П {у < 0} — параболическая и гиперболическая части смешанной области г2 = f2i u u I, где I - интервал /Ш прямой у — 0 .

Относительно коэффициентов уравнения (1) предполагается, что ао, ai Е С (f2i) , а, 6, с G С1 (Ог) и выполняются условия Агмона-Ниренбер-га-Проттера.

Задача 1.1.1. Найти регулярное в области О решение и = и(х,у) уравнения (1), непрерывное в Q, удовлетворяющее краевым условиям

и{0, у) = ipi(y), гг(1, j/) = <^2Ы, 0 < у < h,

7

и\АС=ф{х), 0 < х < 1/2.

Предполагается, что <р\{у), Фч{у) € С [0, /г], ф (х) Е С4 [0,1/2], причем (р\ (0) = ф (0).

Единственность решения задачи 1.1.1 доказана с использованием принципа экстремума, а существование - методом априорных оценок.

В §1.2 рассматривается уравнение

к{у)ихх + иуу + а{х, у)их + Ь(х, у)иу + с(х, у)и = /(я, у) (2)

с коэффициентом к(у) < 0 при у < 0 и равным нулю при у > 0.

Пусть Г2 - конечная односвязная область евклидовой плоскости точек, ограниченная кусочно - гладкой кривой Жордана а с концами в точках А = (0,0), В = (г, 0), лежащей в верхней полуплоскости у > 0, и характеристиками <71 = АС и <72 — СВ уравнения (2), выходящими из точки С = (г/2,Ус), ус < 0] 0,1 и — параболическая и гиперболическая части смешанной области О, = Пх и 0,2 и Л- > гДе «Л- = {(£'> 0) : 0 < х < г} ; Ку) € С [?/с, 0]ПС1 [Ус,0); а*Л<ЕС(П<), с е С1 (П<) , / 6 С (Щ , г = 1,2

Предполагается, что а = ААо и АоВо и ВоВ, где ААо — {г : х — 0, 0 < у < 2/о>, ВВ0 = {г : ж = г,0 < з/ < у0} , Л0В0 = {г : у = 1р(х), <р'{х) < 0, 0 < х < г, у?(0) = уо, = у0}.

Задача 1.2.1. Найти функцию и(г) = и(х,у) из класса С (О) П ПС1 (Г2) П С2 ; удовлетворяющую уравнению (2) в областях г = 1,2 и краевому условию

и(г) = 0 V г е ЛЛ0иЛ0В0ио-1.

Основным результатом §1.2 является

Лемма 1.2.1. Пусть коэффициенты оператора lu = a(z)u+@(z)ux+ +7{z)uy таковы, что: a G С (Г2) П С2 , /3 Е С (Г2) П С1 {Пг), 7 G С1 , i = 1,2 . Тогда для любой функции и € С1 (Г2) П С2 (f2*) справедливо равенство:

2 (iu, Lii)0 = J aoou2dQ 4- J Q (ux, uy) dQ+ J (j3xn + 1Уп) (unyn)2 ds+

fi fl Б0Л0

+ J [(aa + /?c) w2 — /Зи2] dy + J aou2dy—

BB0 02

- J [5 (a& + 7C - u2 + S{^)u2y + j~k(0)u2x] dx-

AB

~ J (P + iV^k) {V~kux + Uyfdy - a(r, 0)^/-k(0)u2{r, 0),

(72

где Q(ux, uy) = + 2ai2i¿a;Wy + агг^2; аоо , ац , ai2 , а22 , ао выражаются через коэффициенты a{z), b(z), c(z) уравнения (2);

5(Ф) = Ф+(х) - ф-(ж); Ф±Ы = lim Ф(х,у);

у-*± О

п = {хп, Уп) ~ единичная внешняя нормаль к границе dQ области О,; ds - элемент длины дуги.

В §1.3 рассматривается уравнение

ихх - к (ж) иуу + а (х, у) их + Ь (х, у) иу +с {х, у) и = / {х, у) (3)

с коэффициентом к (ж) = Н (х2 — гх) .

Уравнение (3) рассматривается в области Q, ограниченной характеристическим шестиугольником с вершинами в точках С\ = (—уо/2,уо/2), А = (0,0), 5 = (г,0), С2 = {г + у0/2,уо/2), В0 = (г,у0), А0 = (0,Уо), причем AB = {(а;, 0), 0 < х < г} ; ВС2 = {(ж, у) : х-у = г, 0 < у < у0/2} ;

С2В0 = {(ж, у) : х+у = г+уо, Уо/2 < у < уо} ; Л0В0 = {(ж, у0), О < х < г} ; ДА = {(ж, ?/) : у-х = уо, уо/2 < у < у0} ; ЛС1 = {(ж, у) : х + у = О, О < у < уо/2} ; ВВ0 = {(г, у), О < у < уо} ; ЛЛ0 = {(О, у), О < у < у0} ; Qi и Г2з - внутренние части треугольников AAqC\ и ВВ0С2, соответственно; = {(ж, у): 0 < х < г, 0 <у < уо} .

Относительно коэффициентов a(z), b(z), c(z) уравнения (3) и его правой части f(z) предполагается, что они обладают свойствами

ах, by е с (п), с g с1 (йг), fee (й), * = ТГз.

Задача 1.3.1. Найти функцию и = и(х,у) € С (Г2) ПС1 (Г2)пС2(Г2г),

удовлетворяющую уравнению (3) в областях г = 1,3 и краевому условию

и(г) — О V zeC1AuABuBC2.

Здесь доказана следующая

Лемма 1.3.1.Пусть коэффициенты оператора 1и = а{г)и-\- (3{г)их-\-+7{г)иу таковы, что: а Е С (П)пС2 (Г^); Р,1 £ С1 , г = 1,3. Тогда длл любой функции и Е П С2 (Г]г) справедливо равенство:

2(1и, Ьи)о = J аоои2сЮ, + J <5 (г^, иу) сЮ, + J ¿>1 (ах — ста — /?с) и2йу—

п

п

лл0

лл0

х—0 *

о?у+ J S2(ax — аа — 0c)u2dy—

f

S2{(3)u2x + 2S2{rf)uxUy - lim

x—>r+0

BB0

2 "2/

BBo

dy — J aou2dx+

AoCx

+ J (P + 7) (их + uyf dx + J aiu2dx+ J (7 - (3) (ux - uy)2 dx+

л0Сг

С2Вг

C'^Bq

+ J [iu2x-{ab + jc)u2]dx-a(AQ)u2(Ao)-a(B())u2{Bo), (4)

BoAo

где aoo,ao,ai выражаются через заданные коэффициенты a(z), b{z), c(z) уравнения (3); Si (Ф) = lim [Ф(х,у) - Ф (-ж, у)];

х—>+0

S2 (Ф) = lim Ф (х, у) — lim Ф (х, у).

х—>г+0 х-+г—О

Через К обозначим конъюнкцию условий Aj , j = 1,10, при которых все слагаемые в правой части равенства (4), будут неотрицательными. Пусть, далее,

= {z 0 < У < Уо, 0 < X < Е, £ > 0} :

0r2e = {zeü2, 0 < у < уо, т~£ < x <т, е > 0} ;

Ole - это область, ограниченная отрезком АоАе прямой х = 0, характеристикой AqCi , а также характеристикой уравнения (3), выходящей из точки А£(0,уо — е) параллельно А$С\, пересекающейся с характеристикой АС\ в точке Cíe и отрезком CiCis характеристики АС\; аналогично, - это область, ограниченная отрезком BqB£ прямой х = г, характеристикой В()С2, а также характеристикой уравнения (3), выходящей из точки В£(г,уо — е) параллельно BqC2 , пересекающейся с характеристикой ВС2 в точке С2е и отрезком С2С2е характеристики ВС2 . Далее введем следующие обозначения:

А п : аоо > 0 в ; А ш : аоо > 0 в \ А122 : а00 > 0 в Щ£ ; А13: аоо > 0 в Q3e ; А2ц : Оц > 0, ai2 = 0 в ; А 212 : an > 0, aí2 = 0 в Ür2e ; А 221: а22 > 0, ai2 = 0 в ; А 222: а22 > 0, au = 0 в Ür2s ; А 31: Si (ах - ста - ßc) > 0 на АА0 ; А411: SiO^cO, 51(7) = 0 на АА0 ;

A 4i2 • Hm ß > 0, Si (7) = 0 на АА0 ; А п : а0 < 0 в ;

х—>0-0

А 51: <5*2 (а® - оса - ßc) > О на ВВ0 ; А 72 : ß + 7 > О в Пи ; A en : S2 {ß) < О, S2 (7) = О на ВВ0 ; А81: ец > О в П3е; А 612 • lim ß <0, 52 (7) = О на В Во ; А82 : 7 - ß > О в Q3s ;

х—т+О

Bi = К Л (Ат V А221 V Л31 V Лц2); В2 = К А (Ап V Л71 V Л72);

В3 = К л (Л122 V Л222 V Л51 V А612); ВА = К А {Аи V V Л82);

В5 = КЛ (Л21 V Л412); В6 = Кл (А212 V л6ц); Ci - Вг л В3;

С2 = Bi А В4; С3 = В1А В6; СА = В2 А В3; С5 = В2 А Б4;

C6 = B2ABq; С7 = В3АВ5; С8 = В4 А Въ; С9 = В5 А В6.

При выполнении условий #i, B2,...,Bq из равенства (4) следует, что при f(z) = 0 будут иметь место соответствующие равенства:

и \jx = 0; и\AoCl = 0; и \j2 = 0; и \Вос2 = 0;

Ux |лл0 = «X |вв„ =

Справедлива следующая теорема единственности. Теорема 1.3.1. Пусть в уравнении (3) коэффициенты a{z), b(z), c(z) таковы, что: 1) в области Q2 коэффициент c(z) < 0; 2) в окрестности отрезка AqBq (т.е. для уо — е < у < уо, s > 0) коэффициент b(z) < 0. Тогда, если относительно компонент a(z), ß(z),ry(z) оператора lu выполнено условие К и одно из условий Сп, п = 1,9, то решение исследуемой задачи 1.3.1 будет единственным в требуемом классе. В §1.4 рассматривается уравнение

Lu = иуу - Н(—у)ихх + a(z)ux + b(z)uy + c(z)u = f(z), (5)

где a(z), b{z), c(z), f(z) являются заданными действительными функциями переменной z = (х, у).

Уравнение (5) рассматривается в области Q , ограниченной отрезками ЛАо, ВВо прямых х = 0, х — г и некоторой кусочно-гладкой монотонно убывающей кривой у = ip{x) с концами в точках Ло = (0, у0), BQ — (г,г/о) » лежащей в верхней полуплоскости у > 0, а при у < 0 область Q ограничена двумя пересекающимися кривыми: монотонно убывающей гладкой кривой о\ = АС : у — 71 (х), 0 < х < I, выходящей из точки Л = (0,0) и монотонно возрастающей гладкой кривой сг2 — СВ:у = 72{х), I < х < г, соединяющей точки В = (г, 0) и С = (I, 7г(0) ! 7i(0) = 72(г) = 0, 7i(/) = 72(/) < 0; С = (/, ji(l)) - точка пересечения кривых ai = АС и сг2 = Ci? ; ft и Q2 ~ параболическая и гиперболическая части смешанной области Q = ft U ft U Jr, где Jr — {(а;, 0) : 0 < х < г} ; f(z) G С (ft) ; ВДбС(П);

а(г), ax(z), &„(*) € С (ft) ; ф) € С1 (ft) , « = 1,2. (6)

С оператором L свяжем однопараметрическое семейство операторов Ьц, fi < 0, по формуле

L^v = - H{-y)vxx + a^(z)vx + b(z)vy + (7)

где a^(z) = a(z) - 2jiH{-y), сДг) = с(г) + a(z)fi - Н(—у)ц2 . Очевидно, что если

u{z) = г;(.г) ехр(/их), (8)

то Lu = exp(fix)Lfj,v.

Задача 1.4.1. Найти функцию v(z) = v{x,y) из класса С(П)п ПС1 {ÇÏ)r\C2 (ft), удовлетворяющую уравнению (7) в областях ft, г = 1,2

13

и краевым условиям

Vx(z) = О М z 6 <ть v(z) = 0 У ze AqBq U ВВ0 U u2. Имеет место

Теорема 1.4.1. Пусть коэффициенты a(z), b(z), c(z) уравнения (5) обладают свойствами (6) и, кроме того a(z) >0 V z £ Qi. Пусть, далее, кривая сг2 = С В : у — ^2{х) G С1 [1,г] такова, что выполнено условие 0 < 72 — 1 V х £ СВ. Тогда имеет место энергетическое неравенство

IMIi < Ci о> (9)

где функция v = v(z) связана с решением и = u(z) задачи 1.4.1 по формуле (8), а С\ - положительная постоянная, независящая от z.

Из теоремы 1.4.1 заключаем, что если u(z) - регулярное решение уравнения (5) в области О. из класса с правой частью f(z) Е L2(Ü),

удовлетворяющее краевому условию

u{z) = 0 V z е А0В0 U ВВ0 U ВС; ux{z) = 0 V z е сгь

то оценка (9) принимает следующий вид

J [(их - flu)2 + и2у + и2] dÜ < Сх ||/(г)||20 . (10)

ü

Из априорной оценки (10) следует единственность регулярного решения задачи 1.4.1 и существование слабого решения сопряженной задачи.

Во второй главе, состоящей из четырех параграфов, рассматриваются краевые задачи для уравнений параболо - гиперболического типа третьего порядка с оператором Геллерстедта в области гиперболичности.

В §2.1 уравнение

0_ Г Iу\т Uxx - Щу, гп> 0, у< О,

I UXxx Wj/j У ^ О)

рассматривается в области П, ограниченной при у > 0 отрезками ААо, АоВо, BqB прямых х = 0, у = h, х = 1 соответственно, а также характеристиками <Ti = АС и (72 — С В уравнения (11) при у < 0, выходящими из точек А = (0,0) и В = (1,0), пересекающимися в точке С.

Задача 2.1.1. Найти функцию и — и(х,у) из класса и 6 С (П) П ПС1 (ГША40)ПС2 (ОД, uxxxi иу £ С (fix), удовлетворяющую уравнению (11) в областях Qi, 0,2 и краевым условиям

и {0, у) = ipi(y), их (0, у) = <р2(у), u(l,y) = ip3(y), 0 < у < h, (12)

и\Ас=Ф(х), 0 < х < 1/2, (13)

где ip\(y), ip2(y), (рз(у) - заданные непрерывные функции, ф{х) - заданная, непрерывная вместе со своей второй производной функция, причем выполнено условие согласования </?i(0) = ф(0).

Доказано, что задача 2.1.1 имеет, и притом единственное решение. В §2.2 рассматривается уравнение

I \у\тихх - иуу, т = const > 0 у < 0,

0 = < (14)

{ иххх — щ + a2{z)uxx + ai(z)ux + a0(z)u, у > 0,

где ao(z), ai(z) и a2(z) заданные функции переменной г = (х,у).

Для уравнения (14) в области Q, рассмотренной в §2.1 исследуется следующая

Задача 2.2.1. Найти регулярное в области П решение и = и(х,у) уравнения (14), удовлетворяющее граничным условиям

гг(0, у) = (рх{у), их{ 0, у) = <р2(у),

ихх{ 1, у) - р{у)и{ 1, у) = (рз(у), О <у<Н,

и условию (13) на характеристике АС, где (рх(у), ^(у), <Рз{у) ~ заданные функции из класса С [О, Н\; ф{х) - заданная функция из С2 [0,1/2], причем ^1(0) = ^(О). Доказана

Теорема 2.2.1. Пусть коэффициенты ао(г), ах (г), а2(г) уравнения (Ц) таковы, что ао(г), ахх(г), а2хх(г) £ С (^1) и выполнены условия

а2(г)> 0, Уг=(х,у)ейх; а2хх{г) — а1х{г) + 2а0{г) < О, V х Е АВ;

а2х(1,у)-ах(1,у)-2/3(у)>а22(1,у), V у еВВ0; 0(0) ф 2.

Тогда в области Г2 существует единственное решение и(г) = и(х,у) задачи 2.2.1.

Для доказательства единственности решения задачи 2.2.1 применяется метод Трикоми, а существование доказано с использованием метода функции Грина.

В §2.3 в области £7, описанной в §2.1, рассматривается общее уравнение

I \уГ иХх ~ иуу + а{г)их + Ъ(г)иу + с(г)и, у < 0,

0 - < (15)

[ иххх -иу + ах(г)их + а0(г)и, у > 0,

где 0 < тп < 2 и для него исследована задача 2.3.1, которая состоит в отыскании решения аналога задачи Трикоми для уравнения (15), с граничными условиями (12) - (13).

В §2.4 для уравнения (15) в области О, изучена следующая Задача 2.4.1. Найти регулярное в области решение и(г) = и(х,у) уравнения (15), непрерывное в О,, удовлетворяющее условиям

и(0,у) = <рг(у), их(0,у)-их(1,у) = <р2(у), и{1, у) = <рз{у), О <У<К

и условию (13) на характеристике АС.

Единственность решения задач 2.3.1, 2-4-1 доказана, опираясь на принцип максимума для уравнений третьего порядка с кратными характеристиками, а существование доказано методом интегральных уравнений.

В третьей главе, состоящей из трех параграфов, рассматриваются краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа третьего порядка с оператором Бицадзе - Лыкова в области гиперболичности. В §3.1 рассматривается уравнение

где а - действительное число из отрезка а Е [—1; 1].

Уравнение (16) рассматривается в области О,, ограниченной при у > О отрезками AAq , AqBq , BqB прямых х — 0, у = h, х = г соответственно, и двумя характеристиками G\ = АС : у2 = 2х и а2 — С В: у2 — 2 (г — х) уравнения (16) при у < 0, выходящими из точек А (0, 0) и В (г, 0) соответственно, и пересекающимися в точке С (г/2, —у/г).

Задача 3.1.1. В области найти решение u(z) = и(х,у) уравнения (16) из класса u(z) Е С (Г2) П С1 (О) П С2 (Q2), иххх, иу Е С (ft), их Е С (ft u AAq u BBq) , удовлетворяющее краевым условиям (12) и

У< о,

У> о,

(16)

и IСВ = г/2 <х < г,

где (р^у), г = 1,3 - заданные непрерывные на [О, Н] функции, ф(х) - заданная дважды непрерывно дифференцируемая на [О, г/2] функция, причем </?з(0) = 1р{г).

Решение задачи 3.1.1 выписано в явном виде. В §3.2 в области О, описанной в §3.1, рассматривается уравнение

где а и Ь - заданные действительные числа, причем |а| < 1 и для нее доказана однозначная разрешимость следующей задачи.

Задача 3.2.1. В области найти решение и(г) — и(х,у) уравнения (17) из класса и(г) £ С (О,) П С1 (Г2) П С2 (0,2) , иххх, иу £ С , их £ С и ААо), удовлетворяющее краевым условиям (12) - (13), где ^¿0/), ¿ = 1,3 - заданные непрерывные на [О, Н\ функции, ф{х) - заданная дважды непрерывно дифференцируемая на [0, г/2] функция, причем

В §3.3 в области О, из §3.1 рассматривается уравнение (17), и для него исследуется следующая

Задача 3.3.1. В области найти регулярное решение и = и(х,у) уравнения (17), удовлетворяющее краевым условиям

и условию (13) на характеристике АС .

Предполагается, что а(у), (3{у), щ(у), г = 1,3 являются заданными непрерывными на [О, /г] функциями, ф(х) - заданная дважды непрерывно

У< о,

У> О,

(17)

¥>1(0)=#>).

ихх{Ъ, у) + а{у)и{0, у) = <р!(у), у) + 0{у)и(г,у) = <р2(у),

их{0,у) = <рз(у), о <у<Н,

дифференцируемая на [0, г/2] функция, причем ихх Е С (ft U AAq U В Во) и функция v(x) = lim иу(х, у) может обращаться в бесконечность порядка

у-*о

ниже единицы при х —> 0 и при х —* г. Доказана

Теорема 3.3.1. Пусть коэффициенты задачи 3.3.1 таковы, что

2a(y)<b<2ß{y), Vye[0,h}.

Тогда существует единственное решение u(z) = и(х, у) задачи 3.3.1. В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

ГЛАВА I

ЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ВТОРОГО ПОРЯДКА

§1.1. Аналог задачи Трикоми

На евклидовой плоскости независимых переменных х и у рассмотрим линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка вида

H(y)LlU + H{-y)L2u = 0, (1.1.1)

где Н{у) — функция Хевисайда; Ьги = ихх - иу + аг(х, у)их + а0(х, у)и;

Ь2и = \у\т ихх - иуу + а(х, у)их + Ь(х, у)иу + с(х, у)и.

Уравнение (1.1.1) рассматривается в конечной односвязной области Q плоско-

V

сти независимых переменных (х, у), ограниченной при у > 0 отрезками AAq , AqBo , BqB прямых х = 0, у = h, х = 1, соответственно, и характеристиками <п = АС : х - ¿2(-Z/)(m+2)/2 = 0 и (72 - СВ : ж + ^(-^(т+Ч/г = ! уравне_

ния (1.1.1) при у < 0, выходящими из точек А = (0,0), В = (1,0) и пересекающиеся в точке С(1/2, ус), ус < 0.

Пусть f2i = П П {у > 0} , Q2 = Г2 П {у < 0} — параболическая и гиперболическая части смешанной области Q = U U 7, где I — интервал АВ прямой у — 0 (Рис.1).

н»

«1

в

Рис. 1

Из определения функции Н{у) следует, что при у > О уравнение (1.1.1) совпадает с уравнением параболического типа вида

L\u = ихх -иу + а\(х, у)их + а0(х, у)и = 0, (1.1.2)

а при у < 0 уравнение (1.1.1) совпадает с вырождающимся гиперболическим уравнением (уравнением Геллерстедта)

Ь2и = \у\т ихх - иуу 4- а(х, у)их + Ь(х, у)иу + с(х, у)и = 0. (1.1.3)

Кроме того, линия у = 0 изменения типа уравнения (1.1.1) является характеристикой параболического уравнения (1.1.2). Поэтому, исходное уравнение (1.1.1) является уравнением смешанного параболо - гиперболического типа с характеристической линией изменения типа.

Относительно коэффициентов уравнения (1.1.1) будем предполагать, что они обладают следующими свойствами: ао{х,у), а\(х,у) (Е С (ft) ; а(х, у), Ь(х, у) и с(х\ у) принадлежат пространству С1 (ft) и связаны соотношениями [91]:

а(х, у) + Ь(х, у){-уТ/2 < у (~у)(т~2)/2; с(х, у) < 0;

[та{х, у) _ уау^ у)] - ™ [V + ту-2] +

[Ъ\х,у)-а{х,у){-у)-т}+Ъх{х,у){-у)т'Ч

+ах{х, у) + Ьу{х, у) - 2с(х, у) < 0,

и, кроме того, ао(ж, у) < 0.

Определение. Под регулярным решением уравнения (1.1.1) в области П будем понимать решение и = и(х, у) из класса С (Q) ПС1 (£2) п ПС2 (ft), ихх,иу е С (ft).

Аналогом задачи Трикоми для уравнения (1.1.1) является следующая

Задача 1.1.1. Найти регулярное в области О решение и = и(х,у) уравнения (1.1.1), непрерывное в О, и удовлетворяющее краевым условиям

и{0,у) = (Р1{у), и{1,у) = р2(у), 0 < у < И, (1.1.4)

и\Ас=Ф{х), 0 <ж<1/2. (1.1.5)

В рассматриваемой задаче предполагается, что заданные функции </?х (у), <Р2{у) £ С [О, Н], а ф(х) £ С4 [0,1/2], причем выполнено условие согласования: </?(0) = ф(0).

Справедлива следующая

Лемма 1.1.1. Пусть: 1) и = и(х,у) - регулярное решение задачи 1.1.1, когда ф(х) = 0; 2) производная от функции и(х,у) по направлению характеристики АС существует и непрерывна в Г22\АВ. Тогда положительный максимум (отрицательный минимум) функции и — и(х,у) в области достигается в некоторой точке (£, 0) £ АВ и в этой точке

^(£,0)>0 о) < о).

Справедливость леммы 1.1.1 доказывается также, как это было доказано в работе [91] для случая, когда т = 1, а коэффициенты а(г), Ь(г), с(г) связаны специальным образом.

Пусть и(г) £ С1 (Ох и А^Во) и удовлетворяет условиям леммы. Тогда положительный максимум (отрицательный минимум) функции и{г) в области 0,1 достигается на отрезках ААо и В Во .

Справедливость этого утверждения следует из приведенной выше леммы 1.1.1 и известного принципа экстремума для параболических уравнений [90, с. 351].

Из принципа экстремума вытекает единственность решения и = и(г) задачи 1.1.1, если и(г) € С1 (Ох и ЛоВо).

Перейдем к доказательству существования решения задачи 1.1.1. Введем обозначения

и(х,0)=т(х), иу(х, 0) = и(х).

Переходя в уравнении (1.1.2) к пределу при у —> +0 найдем фундаментальное соотношение между функциями т(х) и и(х) из области Г2х

и(х) = т"(х) + сч{х)т'{х) + а0(х)т{х). (1.1.6)

Далее найдем фундаментальное соотношение между функциями т(х) и и(х) из области • Для этого сформулируем и найдем решение второй задачи Дарбу для уравнения (1.1.3). Вторая задача Дарбу для уравнения (1.1.3) в области 0,2 ставится следующим образом [57], [58]: в области 0,2 найти решение и = и(г) уравнения (1.1.3), удовлетворяющее краевым условиям

иу{х, 0) = и{х), 0 < ж < 1; и \ас == Ф(х), 0 < х < 1/2. (1.1.7)

Решение задачи (1.1.3), (1.1.7) в области Ог будем искать в виде суммы

и(х,у) = ги{х,у) + у{х,у). (1.1.8)

Подставляя предполагаемую форму решения (1.1.8) в уравнение (1.1.3), получим

\у\т шхх - туу + а(х, у)и)х + Ь(х, у)-шу + с(х, у)ги+

+ iуГ Ухх ~ ууу + а{х, у)ух + Ь(х, у)уу + с(х, у)у = 0. (1.1.9)

В уравнении (1.1.9) функцию ги(х, у) выберем так, чтобы она являлась решением задачи

\у\т пи - у>уу = 0, (1.1.10)

<шу(х, 0) = и(х), 0 < х < 1; ги\АС = ф{х), 0<х< 1/2. (1.1.11) Тогда из'(1.1.9) относительно функции у{х,у) получается задача

\у\т Ухх ~ Ууу + а(х, у)ух + Ь(х, у)уу + с(х, у)у =

- -а(х,у)гих - Ъ{х, у)'шу - с(х,у)т, (1.1.12)

у \АС = о, 0 < X < 1/2; Уу{х, 0) = 0, 0 < х < 1. (1.1.13)

Решение задачи (1.1.10) - (1.1.11) выписывается в монографии [63, с. 211]. Это решение имеет вид

w

ç

+ о

* >(№) +

/

t

H(0,t^,r])dt, (1.1.14)

где £ = х — ^{_у){ш+2)/2 ) v = х + Ш2{_у){т+2)/2 ^

7 = m H{s t = f если t > rh

2Г(2/?)Г(1 -/?)' ' ' ' | R(s,t;Ç,T}), если t < J],

R(s,t;Ç,rj) - это функция Римана для уравнения (1.1.10), a R(s,t;Ç,r}) - это функция, обладающая тем свойством, что: R по переменным (£, rj) удовлетворяет уравнению (1.1.10), а по переменным (s,£) ему сопряженному уравнению;

R{s, <е; rj) - Я(£, t; г]) = со8(тг/?) Ит[Д(£, t + ri)R(s, t + +

24

Щв, г]) при в = 1 обращается в нуль определенного порядка.

Далее, если коэффициенты т и а(х,у) уравнения (1.1.3) таковы, что т < 2 или а(х,у) = 0(1)(—у)71 при п > т/2 — 1 > 0, то есть, если выполнены условия Геллерстедта на коэффициенты уравнения (1.1.3), то для задачи (1.1.12) - (1.1.13) существует единственная функция Грина -Адамара С(.т, у, 77), с помощью которой решение задачи (1.1.12)

- (1.1.13) запишется в следующей форме [95]

v

(£,77) = - J ds J G(£,r};s,t)[b{s,t)wt + a(s,t)ws + c(s,t)w]dt. (1.1.15)

«к,»/)=7 J »im - trß{ri - f

0

« V

H(Q,t]£,Ti)dt-

Подставляя найденные выражения для функций rj) и v(£, rj) из формул (1.1.14) и (1.1.15) в формулу (1.1.8), находим решение второй задачи Дарбу (1.1.7) для уравнения (1.1.3) в следующей форме

Ф№ у

W w -г

о

- J ds j г/; s, t) [o(s, t)ws + b(s, t)wt 4- c(s, t)w] dt. (1.1.16)

0 s

Удовлетворяя полученное решение (1.1.16) условию и(х, 0) = г(х), находим

W {!>/*) -Г

О

$ С

««.О = тЮ =7 J *>(№ ~ t)-2ßdt+J

о

е е

t

H{0,t;t,t)dt-

- JdsJ G{4,C,s,t) [a(s,t)ws 4- 6(s, t)wt + c(s, t)w] dt

или

r{t)=>yr(2ß+l)D^2ß+%(t) +

Ф\Ф) +

Ф№)

H(0,P,Z,£)dt-

e s

- J ds J G{Z,&s,t)[a{s,t)ws + b{s,t)wt + c{s,t)w}dt, (1.1.17)

0 s

где Doxv{t) — оператор дробного интегро-дифференцирования (в смысле Римана - Лиувилля) порядка а от функции v{x) [61, с. 28], [62, с. 9].

Выражение (1.1.17) есть фундаментальное соотношение между функциями т(х) и и(х), принесенное из области на линию у = 0 .

Далее, переходя в уравнении (1.1.1) к пределу при у —> +0, получим второе фундаментальное соотношение между функциями т{х) и v{x), принесенное из области Г2+ на линию у = 0. Это соотношение имеет вид:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Балкизов, Жираслан Анатольевич, 2014 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абдиназаров С. Общие краевые задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками// Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17, №1. С. 3 - 12.

2. Балкизов Ж. А. Одна краевая задача для смешанного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками// Вестник КБ ГУ. Серия математические науки. Выпуск 4. 2004. С. 34 - 39.

3. Балкизов Ж. А. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с оператором Трикоми в гиперболической части// Материалы второй Международной научной конференции "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения". Махачкала. 2005. С. 70 - 73.

4. Балкизов Ж.А. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками// Труды 3-й Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Часть 3. Самара: СамГТУ, 2006. С. 57 - 62.

5. Балкизов Ж.А. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с оператором колебания струны в гиперболической части// Труды 2-го Международного форума 7-й Международной конференции молодых ученых и студентов) "Актуальные проблемы современной науки". Естественные науки. Часть 1-3: Математика. Математическое моделирование. Механика. Самара: Издательство СамГТУ. 2006. С. 24 - 27.

6. Балкизов Ж. А. Краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с оператором Трикоми в гиперболической части// Материалы Международной конференции "Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования". Владикавказ. 2007. С. 100 - 105.

7. Балкизов Ж. А. Локальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с оператором колебания струны в гиперболической части// Материалы V школы молодых ученых "Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики". Нальчик-Эльбрус. 2007. С. 19 - 23.

8. Балкизов Ж.А. Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнения смешанного типа третьего порядка с оператором Трикоми в гиперболической части// Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физико-математические науки. 2008. №2(19). С. 2 - 9.

9. Балкизов Ж. А. Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнения смешанного типа третьего порядка с оператором колебания струны в гиперболической части// Известия КБНЦ РАН. 2008. №4(24). С. 65 - 73.

10. Балкизов Ж. А. Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с оператором Геллерстедта в гиперболической части// Известия КБНЦ РАН. 2011. №5(49). С. 7-14.

11. Балкизов Ж.А. Об одной краевой задаче для уравнения третьего по-

рядка с разрывными коэффициентами// Материалы II Международного Российско-Абхазского симпозиума "Уравнения смешанного типа, родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик. 2011. С. 40 - 41.

12. Балкизов Ж.А. Краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с сингулярным оператором в гиперболической части// Вестник Дагестанского государственного университета. 2011. Выпуск 6. С. 81 - 86.

13. Балкизов Ж.А. Краевая задача для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками// Материалы Международной конференции "Комплексный анализ и его приложения". Белгород. 2011. С. 22 - 23.

14. Балкизов Ж. А. Краевые задачи для уравнения смешанного тина третьего порядка с оператором Геллерстедта в гиперболической части// Известия Кабардино - Балкарского государственного университета. 2011. Ш. С. 21 - 34.

15. Балкизов Ж. А. Общая краевая задача для уравнения третьего порядка с разрывными коэффициентами// Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. 2012. №2. С. 89 - 94.

16. Балкизов Ж. А. О единственности решения задачи Трикоми для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа второго порядка// Материалы научной конференции "Актуальные научные достижения". Прага (Чехия). 2012. С. 7 - 8.

17. Балкизов Ж.А. Аналог задачи Трикоми для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа// Уральский научный вестник. 2012. №7(43). С. 72-78.

18. Балкизов Ж.А. Краевая задача для уравнения смешанного типа второго порядка с разрывными коэффициентами// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2012. Т. 14, №2. С. 14-21.

19. Балкизов Ж. А. Краевая задача для уравнения второго порядка с разрывными коэффициентами// Материалы II Международного Российско - Узбекского симпозиума "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики". Эльбрус. 2012. С. 69 - 70.

20. Балкизов Ж. А. Первая краевая задача для уравнения смешанного типа второго порядка с разрывными коэффициентами// Материалы II Международной конференции молодых ученых "Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики". Эльбрус - Терскол. 2012. С. 42 - 45.

21. Балкизов Ж.А. Первая краевая задача для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа второго порядка с разрывными коэффициентами// Материалы IV Международной конференции "Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики". Нальчик-Терскол. 2013. С. 64 - 66.

22. Балкизов Ж.А. Первая краевая задача для уравнения смешанного

гиперболо-параболического типа второго порядка// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2013. Т. 15, №2. С. 28 - 35.

23. Балкизов Ж. А. Аналог задачи Трикоми для уравнения параболо-гипер-болического типа третьего порядка с оператором Геллерстедта в области гиперболичности// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2014. Т.16, №2. С. 20 - 27.

24. Балкизов Ж.А. Нелокальная краевая задача для модельного уравнения параболо-гиперболического типа третьего порядка с оператором Бицадзе-Лыкова в области гиперболичности// Материалы Международной конференции "Краевые задачи для дифференциальных уравнений и аналитических функций", посвященной 80-летию со дня рождения В.И. Жегалова. 2014. С. 105 - 108.

25. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие Трансцендентные функции. Т.З. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. М., 1967. 300 с.

26. Бердышев A.C., Садыбеков М.А. Об одном аналоге нелокальной краевой задачи для параболо-гиперболического уравнения в области с отходом от характеристики// Узбекский математический журнал. 1991. №6. С. 14 - 19.

27. Бердышев A.C. Нелокальные краевые задачи для уравнения смешанного типа в области с отходом характеристики// Дифференц. уравнения. 1993. Т.29, №12. С. 2118 - 2125.

28. Бердышев A.C. О вольтерровости аналога задачи Трикоми для параболо-гиперболичесого уравнения третьего порядка// Узбекский математический журнал. 1996. №2. С. 22 - 31.

29. Бжихатлов Х.Г., Нахушев A.M. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного параболо- гиперболического типа// Доклады академии наук. 1968. Т. 183, №2. С. 261 - 264.

30. Бжихатлов Х.Г. Об одной краевой задаче для смешанных параболо-гиперболических уравнений с характеристической линией изменения типа// Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, №1. С. 10 - 16.

31. Бицадзе A.B. К проблеме уравнений смешанного типа. М.: Издательство АН СССР. 1953. 58 с.

32. Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа. М.: Издательство АН СССР. 1959. 164 с.

33. Бицадзе A.B. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука. 1981. 448 с.

34. Врагов В.Н. Смешанная задача для одного класса гиперболо-параболических уравнений второго порядка// Дифференциальные уравнения. 1976. Т. 12, т. С. 24 - 31.

35. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной плоскости. М.: Наука. 1966. 671 с.

36. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: ФАН. 1979. 238 с.

>

37. Джураев Т.Д., Сопуев А., Мамажанов М. Краевые задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа. Ташкент: ФАН. 1986. 220 с.

38. Елеев В.А. Аналог задачи Трикоми для смешанных параболо-гипер-болических уравнений с нехаректеристической линией изменения типа// Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, №1. С. 56 - 63.

39. Елеев В.А. О краевых задачах для смешанного уравнения гиперболо-параболического типа// Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2010. №5(37). С. 5 - 14.

40. Елеев В. А, Кумыкова С.К. Внутреннекраевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками// Дифференц. уравнения. 1988. Т.24, №4. С. 627 - 635.

41. Жегалов В.И. Краевая задача для для уравнения смешанного типа с граничным условием на обеих характеристиках с разрывами на переходной линии// Ученые записки Казанского государственного университета им. В.И. Ленина. 1962. Т.122, кн. 3. С. 3 - 16.

42. Жегалов В.И. Одновременное обобщение задачи Трикоми и Геллер-стедта// В сборнике: Корректные краевые задачи для неклассических уравнения математической физики. Новосибирск. 1981. С. 58 - 61.

43. Жегалов В.И. К краевым задачам со смещениями для уравнения Лав-рентьева-Бицадзе// Известия вузов. Математика. 1986. №3. С. 61 - 64.

44. Жегалов В.И. Исследование краевых задач со смещением для уравнений смешанного типа// Институт математики СО АН СССР. 1988. 297 с.

45. Золина JI.А. О краевой задаче для модельного уравнения гиперболо-параболического типа// Журнал Вычислительной математики и математической физики. 1966. Тб, №6. С. 991 - 1001.

46. Иргашев Ю. Некоторые краевые задачи для уравнений третьего порядка с кратными характеристиками// Сборник научных трудов "Краевые задачи для дифференциальных уравнений и их приложения". Ташкент: ФАН. 1976. С. 17-31.

47. Калъменов Т.Ш. Краевые задачи для линейных уравнений в частных производных гиперболического типа. Шымкент: "Гылым". 1993. 327 с.

48. Капустин Н.Ю. О разрешимости в классе Ь2 задачи Трикоми для одного параболо- гиперболического уравнения с вырождающейся гиперболической частью. Часть I// Дифференц. уравнения. 1986. Т.22, №1. С. 60 - 66.

49. Капустин Н.Ю. Задача Трикоми для одного параболо-гиперболичес-кого уравнения с вырождающейся гиперболической частью. Часть II// Дифференц. уравнения. 1988. Т.24, №8. С. 1379 - 1386.

50. Капустин Н.Ю. Об обобщенной разрешимости задачи Трикоми для параболо-гиперболического уравнения// Доклады АН СССР. 1984. Т.274, №6. С. 1294 - 1298.

51. Килбас A.A., Репин O.A. Задача со смещением для параболо - гиперболического уравнения// Дифференц. уравнения. 1998. Т.34, №6. С. 799 - 805.

52. Килбас А.А., Репин О.А. Аналог задачи Бицадзе-Самарского для уравнения смешанного типа с дробной производной// Дифференц. уравнения. 2003. Т.39, №5. 638.

53. Крикунов Ю.М. Задача Трикоми для эллиптико - гиперболического уравнения Эйлера - Дарбу - Пуассона// Доклады АН СССР. 1966. Т. 171, №6. С. 1275 - 1278.

54. Крикунов Ю.М. К задаче Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе// Известия вузов. Математика. 1974. №2. С. 76 - 81.

55. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука. 1973. 407 с.

56. Моисеев Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром. М.: МГУ. 1988. 150 с.

57. Нахушев A.M. О задаче Дарбу для гиперболических уравнений// Доклады АН СССР. 1970. Т. 195, №4. С. 776 - 779.

58. Нахушев A.M. О задаче Дарбу для вырождающихся гиперболических уравнений// Дифференц. уравнения. 1971. Т.7, №1. С. 49 - 56.

59. Нахушев A.M. К теории линейных краевых задач для уравнения смешанного гииерболо - параболического типа// Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14, №1. С. 66 - 73.

60. Нахушев A.M. Об одном классе линейных краевых задач для гиперболического и смешанного типов уравнений второго порядка. Нальчик: Эльбрус. 1992. 155 с.

61. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа. 1995. 301 с.

62. Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит. 2003. 272 с.

63. Нахушев A.M. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука. 2006. 287 с.

64. Нахушева В.А. Об одной математической модели теплообмена в смешанной среде с идеальным контактом// Вестник Самарского государственного технического университета. Серия "Физико - математические науки". 2006, №42. С. 11 - 34.

65. Нахушева В. А. Краевая задача для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа в характеристическом многоугольнике// Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук. 2012. Т.14, №2. С. 29 - 35.

66. Полосин A.A. О задаче с отходом от характеристики для уравнения Геллерстедта// Дифференц. уравнения. 2012. Т.48, №10. С. 1428 -1442.

67. Псху A.B. On the Frankl Problem for a Model Hiperbolic-Parabolic Equation// Доклады AMAH. 1998. T.3, №2. C. 40 - 44.

68. Псху A.B. Задача Франкля для гиперболо-параболического уравнения// Дифференц. уравнения. 2003. Т.39, №1. С. 105 - 112.

69. Псху A.B. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука. 2005. 199 с.

70. Псху A.B. Начальная задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка// Математический сборник. 2011. Т. 202. №4. С. 111 - 122.

71. Ректпорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир. 1985. 590 с.

72. Репин O.A. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. Саратов. 1992. 162 с.

73. Репин O.A. Нелокальная краевая задача для параболо-гиперболичес-кого уравнения с характеристической линией изменения типа// Дифферент уравнения. 1992. Т. 28, №1. С. 173 - 176.

74. Репин O.A., Ефимова C.B. Нелокальная краевая задача для параболо-гиперболического уравнения с нехарактеристической линией изменения типа// Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физико-математические науки. 2002. №16. С. 10 - 14.

75. Репин O.A., Кумыкова С.К. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с обобщенными операторами дробного интегро-дифференцирования произвольного порядка// Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физико-математические науки. 2011. №4(25). С. 25 - 36.

76. Репин O.A., Кумыкова С.К. Задача со смещением для уравнения третьего порядка с разрывными коэффициентами// Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физико-математические науки. 2012. №4(29). С. 17 - 25.

77. Сабитов К. Б. К теории уравнений смешанного парабол о-гиперболи-ческого типа со спектральным параметром// Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25, №1. С. 117 - 126.

78. Сабитов К. Б. Задача Трикоми для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в прямоугольной области// Математические заметки. 2009. Т.86, №2. С. 273 - 279.

79. Сабитов К. Б. Нелокальная задача для уравнения парабол о-гиперболического типа в прямоугольной области// Математические заметки. 2011. Т. 89, т. С. 596 - 602.

80. Сабитов К.Б., Сидоров С.Н. Об одной нелокальной задаче для вырождающегося параболо - гиперболического уравнения// Дифференц. уравнения. 2014. Т.50, №3. С. 356 - 365.

81. Салахитдинов М.С., Джураев Т.Д. Об одной смешанной задаче для уравнения третьего порядка параболо-гиперболического типа// Известия АН УзССР. Серия физико-математических наук. 1971. №4. С. 26 - 32.

82. Салахитдинов М. С. Уравнения смешанно - составного типа. Ташкент: ФАН. 1974. 156 с.

83. Салахитдинов М. С., Бердышев A.C. Краевые задачи для параболо-гиперболического уравнения в области с отходом от характеристик// Доклады РАН. 1992. Т.327. №3. С. 303 - 305.

84. Салахитдинов М.С., Бердышев A.C. О Вольтерровости краевой задачи с отходом от характеристики для параболо-гиперболического урав-

нения// Узбекский математический журнал. 1993. №3. С. 6 - 13.

85. Салахитдинов M.G., Уринов А.К. Краевые задачи для уравнений смешанного типа со спектральным параметром. Ташкент: ФАН. 1997. 165 с.

86. Салахитдинов М.С., Мирсабуров М. Нелокальные задачи для уравнений смешанного типа с сингулярными коэффициентами. Ташкент: Uriiversitet. 2005. 224 с.

87. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М.: Наука. 1970. 296 с.

88. Солдатов А.П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций. М.: Высшая школа. 1991. 207 с.

89. Стручина Г.М. Задача о сопряжении двух уравнений// Инженерно -физический журнал. 1961. Т.4, №11. С. 99 - 104.

90. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: Издательство иностранной литературы. 1957. 443 с.

91. Agmon S., Nirenberg L., Protter M.H. A maximum principle for a class of hyperbolic equation and applications to equations of mixed elliptic -hyperbolic type// Commun. Pure and Appl. Math. 1953. Vol. 6, №4. P. 455 - 470.

92. Berdyshev A.S., Cabada A., Karimov E.T, Akhtaeva N.S. On the Volterra property of a boundary problem with integral gluing condition for mixed parabolic- hyperbolic equation//Boundary value problems. April 2013. DOI: 10.1186/1687-2770-2013-94.

93. Cattabriga L. Annali della seuola normole Superici di pisa e mat.. 1959. vol. 13, №2. P. 163.

94. Gellerstedt S. Sur un problème aux limites pour une equation lineaire aux derivees partielles du second ordre de type mixte// Uppsala. 1935. P. 3 - 91.

95. Gellerstedt S. Sur un equation linearre aux derivees partielles de type mixte// Arkiv Math. Astr. och Itysik. 1937. №29. 26A. P. 1 - 25. (Имеется перевод с французского P.C. Сакса под редакцией A.M. Нахушева)

96. Hille Е., Tamarkin J. On the theory of linear integral equations I.// Annals of math. (2nd ser). 31, №3. 1930. P. 479 - 528.

97. Tricomi F. Sulle equazioni lineari aile derivate parziali di 2° ordine di tipo mistro. Mem. Lincey. 1923. Ser. V. XIV, fasc. VII. (Имеется русский перевод: Трикоми Ф. О линейных уравнениях второго порядка смешанного типа. M.-JL: Гостехиздат. 1947. 192 с.)

98. Wright E.M. On the coefficient of power series having exponential singularities// J. London Math. Soc., 8:1. 1933. P. 71 - 79.