Краевые задачи для квазилинейных функционально-дифференциальных уравнений с необратимой линейной частью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Колпаков, Илья Юрьевич

• Колпаков, Илья Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Колпаков, Илья Юрьевич

Основные обозначения.

Введение.

Глава 1. Предварительные сведения

1.1. Основные определения и некоторые сведения из функционального анализа.

1.2. Элементы теории линейных абстрактных функционально-дифференциальных уравнений.

1.3. Неявные операторы.

2. Теоремы существования

2.1. Квазилинейные операторные уравнения с необратимой линейной частью.

2.2. Теоремы существования с условиями на границе области.

2.3. Неявные операторы и теоремы существования.

2.4. Абстрактные квазилинейные краевые задачи.

2.5. Системы квазилинейных операторных уравнений.

3. Краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений

3.1. Периодическая краевая задача для уравнения JIьенара.

3.2. Периодическая краевая задача для уравнения с отклоняющимся аргументом.

3.3. Уравнения с малым параметром.

3.4. Задача Коши для одного квазилинейного дифференциального уравнения первого порядка с необратимой линейной частью.

3.5. Задачи Коши для уравнения нейтрального типа.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи для квазилинейных функционально-дифференциальных уравнений с необратимой линейной частью»

В диссертационной работе объектом исследования являются краевые задачи для квазилинейных функционально - дифференциальных уравнений: где L,F: D В - линейный и непрерывный операторы, l,<p:D-> Rm -линейный и непрерывный вектор-функционалы, D,B - банаховы пространства, причем D = BxRtt. Задачу вида (0.1) принято называть абстрактной квазилинейной краевой задачей для функционально -дифференциальных уравнений. При исследовании задачи (0.1) ее иногда удобно записать в виде одного квазилинейного операторного уравнения: где А:Х ->Y - линейный ограниченный оператор, Ф:X->Y -непрерывный оператор и X, У - банаховы пространства.

Отметим, что в виде абстрактной квазилинейной краевой задачи (0.1) можно записать многие классы краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, для уравнений с частными производными, для функционально-дифференциальных уравнений и интегро-дифференциальных уравнений. Тогда первое уравнение в (0.1) - это дифференциальное уравнение или система уравнений, а второе уравнение является краевыми условиями.

Поэтому круг задач, возникающих в различных областях математики, физики и других наук, которые можно записать в виде краевой задачи (0.1) довольно широк.

Основы теории абстрактных краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений были заложены в работах Азбелева Н.В.,

Lx = Fx, lx = <px,

0.1)

Ajc = OJC,

0.2)

Кшурадзе И.Т., Максимова В.П., Рахматуллиной Л.Ф. [6,7, 12, 13, 47, 66]. В основном, общим методом исследования на разрешимость задачи (0.1) было ее сведения к операторному уравнению второго рода: x = Nx, к которому применимы классические схемы, использующие теоремы о неподвижных точках.

Разрешимости уравнения (0.2) в последнее время посвящено много работ. В них применяется широкий круг методов, в том числе: топологические [27, 29, 75, 77, 102, 110, 111, 114, 130, 131, 137, 147, 151], вариационные [79, 134, 138, 139], метод верхних и нижних решений [93, 108, 158], численные методы [94, 95], методы использующие теоремы о неподвижных точках [92,99,111,131,138].

Особое место в теории квазилинейных краевых задач занимают краевые задачи с необратимым оператором [/,,/], так называемые «резонансные» краевые задачи. Признаки разрешимости резонансных краевых задач получены в работах [1 - 5, 17 - 19, 21, 95, 105, 109, 110, 111, 113,114,127,127,129,143 - 146,152,154].

Традиционно решение вопроса разрешимости квазилинейных краевых задач с необратимой линейной частью заключается в применении методов основанных на преобразовании Ляпунова - Шмидта. Однако применение данных методов имеет ряд трудностей, в том числе само фактическое построение уравнения разветвления довольно сложно и громоздко. В связи с этим возникла проблема создания новых простых в применении универсальных методов для исследования на разрешимость резонансных краевых задач.

К данным методам относится и подход, предложенный в диссертационной работе. Предлагаемый подход к исследованию разрешимости краевых задач для квазилинейных функционально -дифференциальных уравнений основан на применении теоремы о существовании неявного оператора и теорем существования с условиями на границе. Приведем краткое описание данного подхода.

Решение вопроса о разрешимости квазилинейной краевой задачи (0.1), записанной в виде операторного уравнения (0.2) разбивается на два этапа. На первом этапе находится множество М и непрерывный оператор T:Xq-> kerA (из нетеровости оператора Л следует, что X = ЛГ© ® кегЛ) такие, что оператор Ф(/ + Т) переводит это множество в образ оператора Л (это связано с тем, что в общем случае R(a)*Y). Для этого применяется теорема о неявном операторе к операторному уравнению: есФ(*,и)=о, где Q° дополнительный проектор на образ R(a), %eXq, и е кегЛ.

На втором этапе, для доказательства существования решения уравнения (0.2) на найденном множестве М, используются теоремы существования с условиями на границе, являющиеся обобщениями классической теоремы Jlepe - Шаудера [116]. Из разрешимости уравнения (0.2) следует разрешимость краевой задачи (0.1).

Отметим, что для некоторых типов квазилинейных функционально -дифференциальных уравнений оператор T:Xq ->kerA, для которого выполняется условие:

Ф(/+гХ*оМ(л), можно записать в явном виде. В этом случае непосредственно применяются теоремы существования с условиями на границе (теоремы 2.2.1-3), гарантирующие существование решения уравнения (0.2).

Полученные условия разрешимости уравнения (0.2) в последствии применяются к решению вопроса разрешимости абстрактной квазилинейной краевой задачи (0.1) и системы квазилинейных операторных уравнений.

Заметим, что чаще всего теоремы о неявных операторах применяются к операторному уравнению: ф(*,г)=0, с непрерывным оператором 0:XxZ->F [15, 29, 37, 38, 40, 74, 138]. Однако в этом случае не учитывается специфика линейной части уравнения (0.2).

Приведем краткое содержание диссертационной работы. Работа состоит из трех частей оформленных в виде глав, которые в свою очередь разбиты на параграфы.

Содержание главы 1 носит вспомогательный характер. Здесь приведены необходимые в дальнейшем понятия и утверждения.

В параграфе 1.1 рассмотрены основные определения, связанные с банаховыми пространствами (прямого произведения пространств, прямой топологической суммы пространств, примеры функциональных пространств) и линейными операторами, определенными на них. Также в параграфе приведены основные сведения о нетеровых операторах, даны определения производной Фреше и частной производной оператора.

В параграфе 1.2 приведены сведения об абстрактной линейной краевой задаче

Lx- /,

0-3) lx = а, где L:D->B - линейный ограниченный оператор и lx = col^l1 х,.,1тх^, где /':/>—> i?1, / = 1,., т - линейный ограниченный вектор-функционал.

Причем D и В - банаховы пространства, а пространство D изоморфно прямому произведению BxRn.

Далее задача (0.3) рассматривается как одно линейное операторное уравнение:

Ах = у, где y = {f,a}eBxRm, Л = [Z,,/]:D-+BxRm и Ax = [LJ]x = {Lx,lx}. Для оператора Л приводится условие нетеровости, дается описание ядра кегЛ, обобщенно обратного оператора К, проектора Q на образ оператора Л и оценка его нормы.

В параграфе 1.3 рассматривается операторное уравнение второго рода вида:

QcF(z + u)=0, где Qc дополнительный проектор на образ оператора L, %eXq, и е kerL (X = Xq © kerJL). Такое уравнение возникает при исследовании на разрешимость квазилинейного операторного уравнения

Lx = Fx. (0.4)

Поскольку, в общем случае, образ оператора r(l) не совпадает со всем пространством, то с помощью теоремы о существовании неявного оператора, являющегося решением данного операторного уравнения, можно определить множество пар (%,и), которое оператор F(l + T) переводит в образ оператора L. Приведем здесь эту теорему:

Теорема 1.3.3. Пусть оператор F непрерывен на множестве Q = {(%, и)&Хо Ф ker L: \х\ ^ , ||и|| й ги } и имеет на Q частную производную непрерывную в точке (0,0). Пусть далее г(0,0)е/?(/,), оператор QcFli(0,0) непрерывно обратим и справедливы следующие оценки:

1) [ecF;(0,0)]i<m;

2) W

3) Г

F'U (z, и) - F^(0,0| < 4z\\ + H), для любых (z, и) e Q; J|f(*,0)-F(0,0|<%||, для любых %&Sr (0), где m, с и к некоторые постоянные, зависящие только от множества Q и оператора F, Положим

R = min р = min1 X mc(yjmk + l Л-^jmkf u' тс{у/тк +1 + лfmk)

В этих условиях существует единственный оператор Т: Xq -> kerZ, такой, что элемент и = Тх при каждом / е (0) с Xq является решением уравнения QcF(% + u)=0. При этом оператор Г непрерывен на шаре 5й(0)сХ0) Г0 = 0 и t[sr(0))c:Sр(0)с:кетL.

Таким образом, данная теорема позволяет доказать существование оператора T:Xq-> kerZ, и найти множество М с Xq таких, что Т% = и и F(I + T\m)<z R(l) (x = х0 0 kerZ,).

Здесь запись оператора F(%,u) означает, что в диссертационной работе отождествляются пространства X@Y и XxY с согласованными нормами: ||(*;.v)|| = |MIa: + 1М1у • Поэтому, при необходимости прямая топологическая сумма ХдФкег£ рассматривается как прямое произведение Xq х kerL, а оператор F{% + и) записывается в виде р(хЛ

Вторая глава содержит основные результаты диссертационной работы. В начале главы рассматриваются теоремы существования решения квазилинейного операторного уравнения

Lx = Fx с условиями на границе (параграф 2.2) и теорема существования (параграф 2.3), доказательство которой основано на теореме 1.3.3 о существовании неявного оператора. Кроме того, затем данная теорема применяется к решению вопроса разрешимости абстрактной квазилинейной краевой задачи (параграф 2.4) и системы квазилинейных операторных уравнений (параграф 2.5) путем сведения их к квазилинейному операторному уравнению (0.4).

В параграфе 2.1 вначале приведены необходимые в дальнейшем теоремы о неподвижных точках и теорема существования решения квазилинейного операторного уравнения (0.4), использующая коэффициент сюръективности линейного оператора.

В параграфе 2.2 доказываются теоремы существования решения уравнения (0.4) с условиями на границе области, в которой ищется решение. Приведем здесь одну из этих теорем и замечание к ней.

Теорема 2.2.1. Пусть операторы l - нетеров, f - вполне непрерывен, к - обобщенно обратный к l и пусть существуют открытая ограниченная окрестность нуля QczX и непрерывный оператор Т: Xq -> kerZ, такие, что выполнены условия:

1) f(i+tXx0)cr(l),

2) из х е д^х (^1 = Л п х0 ), я е (0,l) l% ф af(l + т)х.

Тогда существует хотя бы одно решение уравнения (0.4) в Q.

На практике, в случае если ||/,|| трудно вычислить точно условие 2) теоремы 2.2.1 удобно заменить следующим, более легко проверяемым условием:

2) из х е (^1 = Q п х0), я е (0,1) х * *kf(l + т)х.

Если проверка первого условия теорем 2.2.1-3 затруднительна на всем подпространстве Xq или сложно определить вид оператора Т, то можно воспользоваться теоремой 1.3.3 о существовании неявного оператора для доказательства существования непрерывного оператора Т и нахождения множества Q. Тогда первое условие заменится на следующее:

Отметим, что все полученные утверждения параграфа 2.2 о разрешимости квазилинейного операторного уравнения (0.4) могут быть применены к решению вопроса разрешимости абстрактной квазилинейной краевой задачи или системы квазилинейных операторных уравнений путем сведения их к уравнению (0.4).

В заключение параграфа доказанные утверждения применяются к конкретной краевой задаче.

В параграфе 2.3 рассматривается подход, применяемый для решения вопроса о разрешимости квазилинейного операторного уравнения (0.4). Он основывается сначала на применении теоремы 1.3.3 о неявном операторе (для доказательства существования непрерывного оператора Т и нахождения множества М), а затем в использовании теоремы 2.2.2, из которой следует разрешимость уравнения (0.4). Предложенный подход можно сформулировать в виде следующей теоремы:

Теорема 2.3.1. Пусть оператор l - нетеров, к - обобщенно обратный к l оператор, оператор f вполне непрерывен и имеет частную производную f'u(%о>«о)» непрерывную в точке (0,0). Пусть далее f0еR(l) {в- нуль пространства x), оператор £с^(0,0) непрерывно обратим и справедливы следующие оценки:

F(/ + rXOi)c Д(1) (fij =ПпЛГ0).

2) ||еС I • \\К(х> и)- ^(0,0)11 < 4\z\\ + и), для любых ОЫ;

3) 6c||.|№,O)-F(o,O^%||; k<b- qc ;

5) <1;

Ща + bp) 1 4тк о j-jj—jj— < — — , где p = —/ , =—J—\.

W wc(VM+T + V^f mc^m* + 1 + Jmk)

Тогда существует хотя бы одно решение уравнения (0.4).

В конце параграфа рассматривается периодическая квазилинейная краевая задача для дифференциального уравнения второго, для которой получены условия существования ненулевого решения. Кроме того, найдены оценки для нескольких конкретных видов правых частей уравнений.

Параграф 2.4 посвящен разрешимости абстрактной квазилинейной краевой задачи (0.1). Задача (0.1) исследуется на разрешимость путем сведения ее к операторному уравнению (0.2) и затем применения теоремы 2.3.1:

Адс = Фл:, где операторы Л,Ф: D -» В х Rm определены равенствами:

Ах = {Lx, 1х}, Фх = {Fx, фх). В условиях теоремы 2.3.1 требуется дифференцируемость оператора Ф, поэтому приведем здесь условия дифференцируемости и вид производной оператора Ф:

Лемма 2.4.1. Пусть оператор F и вектор-функционал ф дифференцируемы по Фреше, тогда оператор Ф = [/г, ф]:0->Вх Rm дифференцируем по Фреше и его производная в точке jcq равна ф'(*0 ) = И*0 \ Ф' (*0 )]:!>-> В х Rm.

Далее сформулируем теорему о разрешимости задачи (0.1): Теорема 2.4.1. Пусть оператор L - нетеров, К\ и К2 - обобщенно обратные к L и / операторы. Оператор F вполне непрерывен и вместе с функционалом ф дифференцируемы, причем их частные производные непрерывны в точке (0;0). Пусть далее (f(0,0),^(0,0)} е R(A), оператор

Q° \f'u (О,О), ф'и (О,О)] непрерывно обратим и справедливы следующие оценки: асНтф'и(о,о)р

1) 2) Qc 3) т;

Фи(х>«)-Ф'иЫкт Z'Md +Hd)' v0r,«)6D;

4) <aj + hHD> \<f>x\Rm <a2+b2\\x\\D, ki<bi .|gc|, / = 1,2; чШр +*гШр+АЬШр+*1\*г10) l mc{^lmk +1 + yfmk J" где с = c\ + c2, к = k\ + k2 и p

-Jink тсУmk + 1 + л/mk) Тогда существует хотя бы одно решение краевой задачи (0.1).

Полученные условия разрешимости далее применены к разрешимости периодической краевой задачи: x(t)=f(t, х),

4 *(l) - х(о)=0, JC е Dp [0;l].

Для данной краевой задачи дается описание ядра kerA и образа /?(л), получен явный вид обобщенно обратного оператора К, проектора Q на образ оператора А и найдены их нормы. Для нескольких видов правых частей получены конкретные оценки на неизвестные параметры правых частей, при выполнении которых существует решение данной краевой задачи.

В параграфе 2.5 рассмотрен вопрос разрешимости системы квазилинейных операторных уравнений:

LlX = FiX' (0.5)

L2x = F2x, где Lj'.DxD->Bi - линейные ограниченные операторы, Fi '.DxD-> В; -непрерывные операторы / = 1,2, jc = (jq, Jt2) е D х и В2, D -банаховы пространства. Систему (0.5), как и в случае краевой задачи, записываем в виде одного операторного уравнения (0.2):

Ajc = Фх, 2 где операторы Л,Ф: D -» В\ х В2 определены равенствами:

Sx = {LiX,L2X}, Фл:= {i^*^*}. Затем приводится условие нетеровости оператора Л, дается описание ядра кегЛ, вида проектора Q на образ оператора Л, проектора Р на кегЛ и ассоциированного с ним обобщенно обратного оператора К.

Введем понятие производной оператора Ф в точке с помощью следующей леммы:

Лемма 2.5.1. Пусть операторы F\ и F2 дифференцируемы по 2

Фреше, тогда оператор Ф: D -> В\ х В2 дифференцируем по Фреше и его производная в точке jcq равна ф'Ы=

2,1 (*о) П,2 М где Fjj (^o):D2 -» В{ - частная производная / - ого оператора по у - ому / ч а^Д*?,*?) ( о 0\ аргументу, то есть Fj j (jcq )=-——— и jcq = ,jc2 J. дхj

Тогда с учетом вида оператора ()сФ'и(в): аЩли(*)+Q*FUu(o) Qc3F{,2u(e)+QcA2u(0) асФ'М= условия разрешимости системы (0.5) примут вид:

Теорема 2.5.1. Пусть операторы l\ и ь2 " нетеровы, к - обобщенно обратный к Л оператор. Операторы F\ и F2 вполне непрерывны, дифференцируемы и их производные непрерывны в точке (0;0). Пусть далее {fi9, f2e}e r{a), оператор ()сф'и(в) непрерывно обратим и справедливы следующие оценки:

1) 2) 3)

Qc Qc

4) Ц/^ +ЦХУ, \F24Bj ^ai+hHn1;

5) b\\K\\< 1,где M^maxfcl + l^iyi^I + l^ll};

K\(a + bp)^ 1 , г

6) 1 All И *-/ , -7=Ъ> ГДе C = maxlcll + c2hc12 + c22 h l-b\\K\\ mc[^mk + \+Jmkf k = ki +k2, a = ax+a2, b = bx +b2 и p = —/ . — mc\yjmk +1 + л/тк J

Тогда существует хотя бы одно решение системы уравнений (0.5).

В качестве примера получены условия существования периодического решения системы дифференциальных уравнений: i 1*1 +anxi+ f\{t,xbx2\ х2 = a2i*i + а22х2 + /2 (t,xhx2 ), где xeDpl0;l] и ад - некоторые константы. В качестве приложения рассмотрена двухвидовая конкурирующая модель Лотки - Вольтера.

В главе 3 полученные в работе утверждения применяются для исследования на разрешимость некоторых классов краевых задач.

В параграфе 3.1 рассматривается вопрос о разрешимости периодической краевой задачи для уравнения Льенара jc(0)= лг(1Х x(o)=x(l), xzWp\0;l].

0.6)

0.7)

Отдельно рассмотрены частные случаи задачи (0.6) - случай, когда f(x,x) = (лг)лг и периодическая краевая задача для уравнения Ван-дер-Поля.

В параграфе 3.2 рассматривается периодическая краевая задача для уравнения с отклоняющимся аргументом: x(t)-a(t)x(h(t))=f{t,x) *(o)=jc(l), xeDp [0;l].

Если уравнение в задаче (0.7) является линейным, то оператор Г можно найти в явном виде. В этом случае условия разрешимости краевой задачи примут вид:

Теорема 3.2.2. Пусть 1 <, р < +оо и выполнены условия: 1 2

1 J--j

Ja(s)fc Ф 0, \\a\\L < у a J + 2a0 - a0, где a0 =

Ja(s)d!s тогда существует решение периодической краевой задачи (3.2.5) в шаре 5л(0)с Dp[0;l] с радиусом R =--.

2л0 ЧМЦ2«0 4ML J

Параграф 3.3 посвящен исследованию вопроса существования решения уравнения, содержащего малый параметр е:

Yt+Ax = F(e,x), xeDp[0;l\. (0.8) с линейным ограниченным оператором А: Dp[0;l]Lp[0;l].

В качестве приложения рассмотрен частный случай, когда правая часть представляет собой ряд по степеням малого параметра е: i=0 где операторы /; (лг): Dp [0;l] -> Lp [0;l] и \e\ < еч.

Отдельно рассматривается случай существования периодического решения уравнения (0.8). В качестве примера рассмотрена краевая задача: = cos (я-/ + Sx)Yj{a + fixf ei, ' dt /=0 д:(о)=jc(l), л; е Z>2 [0;l].

Помимо этого, с применением коэффициента сюръективности линейного оператора, получены условия разрешимости краевых задач для сингулярного уравнения первого порядка и уравнения нейтрального типа. Параграф 3.4 посвящен разрешимости сингулярной краевой задачи: у • a{t\b{t)x(t)j - x[t)= /МО) (0 9)

0)=0, xeD2[0;1\ у которой соответствующая линейная краевая задача разрешима неоднозначно. t

В случае, когда и a (t) - положительная 0 неубывающая на отрезке [0;l] функция, условия существования решения краевой задачи (7) можно уточнить. В случае, когда a{t) = t^~5, b(t)=t^ получим следующие условия разрешимости:

Теорема 3.4.5. Если |/(/,д:)|£д? + /7|дс|, у^—^—, S>—, а>0 и

2о-1 2

1Я у\ > ——, то существует хотя бы одно решение краевой задачи (0.9). 2S-1

В параграфе 3.5 рассматривается разрешимость задачи Коши для уравнения нейтрального типа:

Л • *(/)- a(t)x[ktr)= /(/, Тх) (() 10) с линейным оператором Т: Z>2 [0;l]-> D2 [0;l], Сформулируем теорему о разрешимости краевой задачи (0.10):

Теорема 3.5.1. Пусть tl~ra2(t)e Xoo[0;l] и выполнены условия:

1)\f{t,x\<a + p\x\{a,p>Oy,

2) Щ<4м-у}м-т или \Я\>4м + -т ;

3) Р\Т\ < д/я2 - 2л[м\Л\ + m , где М = -—— vraisup(tl~ra2 (/)), кУ /е[0;1] m =—vrai'mi. ку /е[0;1] V V П

Тогда существует хотя бы одно решение задачи (0.10).

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научно-исследовательском семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям под руководства профессора Абдуллаева А.Р., на семинаре кафедры математического анализа Пермского государственного университета, на Областной научной конференции молодых ученых и аспирантов «Молодежная наука Прикамья» в Перми

2002), на Всероссийской научно-технической конференции «Современные проблемы математики и естествознания» в Нижнем Новгороде (2003), на Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» в Самаре (2003, 2004, 2006), на Международной летней школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» в Казани (2003), на Международной конференции молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки» в Самаре

2003), на научно-практической конференции «Педагогические идеи Е.А. Дышинского и современное математическое образование» в Перми (2004).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [49

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Колпаков, Илья Юрьевич, 2006 год

1. Абдуллаев А.Р. Вопросы теории возмущений устойчивых свойств для функционально-дифференциальных уравнений: Дис. . докт. физ.-мат. наук. Пермь, 1991,210 с.

2. Абдуллаев А.Р. О разрешимости квазилинейного уравнения с необратимой линейной частью // Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика, № 3,1996, с. 3-5.

3. Абдуллаев А.Р. Сюръективность, как устойчивое свойство линейных операторов // Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика, № 4. Пермь, 1997, с. 35-40.

4. Абдуллаев А.Р., Бурмистрова А.Б. Об одной схеме исследования на разрешимость резонансных краевых задач // Известия вузов. Математика. 1996, № 11, с. 14-22.

5. Абдуллаев А.Р., Бурмистрова А.Б. Элементы теории топологических нетеровых операторов. Челябинск. 1994,93 с.

6. Азбелев Н.В. О нелинейных функционально-дифференциальных уравнениях // Дифференциальные уравнения. 1976. 12, №11. с. 1923-1932.

7. Азбелев Н.В., Максимов В.П. Априорные оценки решений задач Коши и разрешимость краевых задач для уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференциальные уравнения. 1979. 5, № 10, с. 1731-1747.

8. Азбелев Н.В., Максимов В.П. Уравнения с запаздывающим аргументом // Дифференциальные уравнения. 1982. 18, №12, с. 2027-2050.

9. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991.300с.

10. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Методы современной теории линейных функционально-дифференциальных уравнений. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. 300с.

11. Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.Ф. Абстрактные функционально-дифференциальные уравнения // Функционально-дифференциальные уравнения. Пермь, 1987, с. 3-11.

12. Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.Ф. О линейных уравнениях с отклоняющимся аргументом // Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6, №4, с. 616-628.

13. Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.Ф. Функционально-дифференциальные уравнения // Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 14, №5, с. 771-797.

14. Альсевич В.В. Об одном представлении решения дифференциальных уравнений с переменным запаздыванием нейтрального типа // Вести НАН Беларуси. Сер. Физ.-мат. н. 2003, №2, с. 37-44.

15. Артюнов А.В. Теорема о неявной функции на конусе в окрестности анормальной точки // Мат. замет. 2005. 78, № 4, с. 619-621.

16. Ахмеров P.P., Каменский М.И., Потапов А.С. и др. Теория уравнений нейтрального типа // Итоги науки и техники. Математический анализ. 1981. т. 19, с. 55-126.

17. Бойчук А.А. Автономные краевые задачи в критических случаях-II. Киев: Преп. ИГФ АН Украины, 1991,52 с.

18. Бойчук А.А. Построение решений двухточечной краевой задачи для слабовозмущенных нелинейных систем в критических случаях // Укр. Мат. Журнал. 1989. Т. 41, № 10, с. 1416-1420.

19. Бойчук А.А., Чуйко С.М., Чуйко А.С. Неавтономные периодические краевые задачи в особом критическом случае // Нелинейные колебания. 2004.7, № 1, с. 53-66.

20. Брагина Н.А. Задача Коши для квазилинейного сингулярного дифференциального уравнения первого порядка // Известия научно-образовательного центра "Математика" Выпуск 1. 2003, с. 10-16.

21. Бурмистрова А.Б. Краевые задачи для нелинейных функционально-дифференциальных уравнений в случае резонанса: Дис. . канд. физ.- мат. наук. Пермь, 1990,134 с.

22. Вавилов С.А. О нетривиальных решениях некоторых классов операторных уравнений // Доклады РАН. 1993. - Т. 331, № 1.

23. Ван-дер-Поль Б. Нелинейная теория электрических колебаний. М.: Связьиздат, 1935,42 с.

24. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М.: Наука, 1972.416 с.

25. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 528 с.

26. Васильев А.В., Ермаков А.Е., Колосова С.В. Об одной задаче теории химических реакций // Мат. физика и нелинейная механика. Киев, 1987. №8. с. 35-39.

27. Власов В.В. О разрешимости функционально дифференциальных уравнений в пространствах Соболева // Сб. науч. тр-в МФТИ «Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики». М.: Изд-во МФТИ. 1998, с. 26-37.

28. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976,286 с.

29. Гельман Б.Д. Об одном классе операторных уравнений // Мат. замет. 2001. 70, № 4, с. 544-552.

30. Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. М.: Мир, 1973,280 с.

31. Дементьева A.M., Дементьев С.Н., Яновский Л.П. О разрешимости задачи Коши для уравнений нейтрального типа // Вестн. Воронеж, гос. техн. ун-та. Сер. 10.2004, № 1, с. 32-35.

32. Данфорд Н. Шварц Дж. Линейные операторы: Общая теория. М.: Мир, 1962, 895с.

33. Драхлин М.Е. Замечание о дифференциальных уравнениях нейтрального типа // Дифференциальные уравнения. 1983. 19, № 9, с. 1617-1619.

34. Драхлин М.Е. Оператор внутренней суперпозиции в пространствах суммируемых функций // Известия вузов. Математика. 1986. № 5, с. 18-24.

35. Драхлин М.Е., Плышевская Т.К. Краевая задача для нелинейного дифференциального уравнения нейтрального типа // Дифференциальные уравнения, 1975.11, № 6, с. 986-996.

36. Дьедоне Ж. Основы современного анализа. М.: Мир, 1964,430 с.

37. Журавлев И.В., Игумнов А.Ю. О неявных функциях // Тр. каф. мат. ан. и теор. ф-й Волгор. ГУ. 2002, с. 41-46.

38. Журавлев И.В., Игумнов А.Ю. О неявных функциях // Вестн. Волгор. ГУ. сер. 1.2002, № 7, с. 134-135.

39. Игумнов А.Ю. К задаче об оценке области существования неявной функции // Волгор. ГУ. Волгоград, 2004. 10 с. Библиогр. 11 назв. Рус. Деп. 28.10.04, № 1694-В2004.

40. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967, 624 с.

41. Канторович Л.В. Некоторые дальнейшие применения метода Ньютона для функциональных уравнений // Вестник Ленинградского Ун-та. 1957. № 7, с. 68-103.

42. Канторович JI.В. Акилов Г.П. Функциональный анализ. М. Наука, 1965, 752 с.

43. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972, 740с.

44. Кенжебаев К.К. О периодических квазилинейных системах // Тез. докл. Межд. конф. «Аналит-е методы анализа и краевые задачи», Минск, 2003. Минск: Изд-во Ин-та мат. НАН Беларуси. 2003, с. 87.

45. Кигурадзе И.Т. Краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Итого науки и техники. Сер. «Современные проблемы матем.: Новые достижения». 1987. Т. 30. с. 3-103.

46. Кигурадзе И.Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Тбилиси: Изд-во ТГУ, 1975. 352 с.

47. Кигурадзе И.Т., Шехтер Б.Д. Сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Сер. «Современные проблемы матем.: Новые достижения». 1987. Т. 30, с. 105-201.

48. Колпаков И.Ю. О разрешимости квазилинейных операторных уравнений // Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика. 2002. Пермь 2002, с. 21-27.

49. Колпаков И.Ю. О существовании периодического решения для уравнения Льенара // Известия научно-образовательного центра "Математика" Выпуск 1. Пермь 2003. с. 26-35.

50. Колпаков И.Ю. О разрешимости одной краевой задачи с необратимой линейной частью // Вестник ПТУ. Математика. Информатика. Механика. 2003, вып. 5. Пермь 2003, с. 31-34.

51. Колпаков И.Ю. О разрешимости квазилинейных операторных уравнений с необратимой линейной частью // Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 2003. 9 с. Деп. в ВИНИТИ 29.05.03, № 1049-В2003.

52. Колпаков И.Ю. О разрешимости задачи Коши для одного уравнения нейтрального типа // Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 2003. 6 с. Деп. в ВИНИТИ 11.06.03, № 1143-В2003.

53. Колпаков И.Ю. О разрешимости одной краевой задачи // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды XIII Межвузовской конференции. Самара, 2003. с. 90-91.

54. Колпаков И.Ю. К вопросу разрешимости одной краевой задачи для уравнения нейтрального типа // Современные проблемы математики и естествознания. Материалы VI Всероссийской научно-технической конференции. Нижний Новгород, 2003. с. 31.

55. Колпаков И.Ю. К вопросу о разрешимости квазилинейных операторных уравнений // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Материалы VI Международной летней школы-конференции. Казань, 2003. с 29.

56. Колпаков И.Ю. О разрешимости квазилинейных операторных уравнений с необратимым линейным оператором // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Всероссийской научной конференции. Самара, 2004. с. 126-129.

57. Колпаков И.Ю. О разрешимости систем квазилинейных операторных уравнений // Педагогические идеи Е.А. Дышинского и современное математическое образование. Материалы научно-практической конференции преподавателей вузов и сузов. Пермь, 2004. с. 75-78.

58. Колпаков И.Ю. О разрешимости периодической краевой задачи с отклоняющимся аргументом // Математическое моделирование икраевые задачи. Труды III Всероссийской научной конференции. Самара, 2006. с. 131-134.

59. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. 512 с.

60. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971.104 с.

61. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1988.304 с.

62. Логинов Б.В., Макаров М.Ю. Групповая симметрия уравнения разветвления в корневом подпространстве в динамическом ветвлении // Труды 3 Межд. конф. «Симметрия и дифференциальные уравнения» Красноярск: Изд-во Ин-та вычис. моделир. СО РАН. 2002, с. 148-153.

63. Люстерник Л.А. Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965, 520 с.

64. Максимов В.П. О некоторых нелинейных краевых задачах // Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19, № 3. с. 396-414.

65. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат, 1956. 491 с.

66. Мисюркеев И.В. Введение в нелинейный функциональный анализ. Пермь, 1968,307 с.

67. Митропольский Ю.А., Мартынюк Д.И. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием. Киев: Вища школа, 1979,248 с.

68. Моисеев Д.С. Ненулевые периодические решения нелинейных систем дифференциальных уравнений специального вида // Сб-к науч. трудов «Инф. и прикл. матем.». Рязань: Изд-во РГПУ. 2004, с. 68-72.

69. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука. 1972,352с.

70. Пич А. Операторные идеалы. М.: Мир, 1982, 536 с.

71. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975,443 с.

72. Тарханов Н. О неявных функциях // Многомерный комплексный анализ: Межвуз. сб-к Красноярского ГУ. 2002, с. 165-171.

73. Терёхин М.Т. Ненулевые решения операторных уравнений // Труды Средневолж. мат. о-ва. 2004.6, № 1, с. 123-132.

74. Терёхин М.Т. Существование ненулевых периодических решений системы дифференциальных уравнений в критическом случае // Докл. Межд. конф. «ОПУ-2003», Тамбов. Вестн. Тамб. ун-та. Сер. «Естеств. и тех. н.». 2003. 8, № 3, с. 454.

75. Терёхин М.Т. Существование решений операторных уравнений // Изв. РАЕН. Диф. ур. 2005, № 9, с. 115-126.

76. Титов B.JI. О периодических решениях квазилинейных систем // Тез. докл. Межд. мат. конф. «Еругинские чтения VIII». Брест. 2002, с. 170-171.

77. Треногин В.А. О разрешимости операторно-функциональных уравнений с инволюциями // Мат. методы и прилож.: Тр. 10 матем. чтений МГСУ. М.: Изд-во МГСУ. 2003, с. 118-122.

78. Треногин В.А. Периодические решения и решения типа перехода абстрактных уравнений реакции-диффузии // Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, СО СССР, 1988, с.134-140.

79. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002, 488 с.

80. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980,404 с.

81. Харди Г.Г., Литтлвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. М.: Ил. 1948.

82. Чуйко С.М. Почти периодические решения слабо нелинейных систем в критических случаях // Докл. РАН. 1998. 359, № 3, с. 316318.

83. Шехтер Б.Л. Об одной краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1982. Т.18, № 10. с. 1701-1717.

84. Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции нескольких вещественных переменных. М.: Наука. 1972, 622 с.

85. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука. 1971, 296 с.

86. Abdelkader A. The Langmuir-Blodgett space-charge equation for cylinders. 40, №4.

87. Altmann M. A fixed point theorem for completely continuous operators in Banach spaces // Bull. Acad. Pol. Sci. CI. Ill, 3 (1955), p. 409-413.

88. Avramescu Cesar. An existence result of periodic solutions via Miranda's theorem // An. Sti. Univ. Iasi. Mat. 2003. 49, № 1, p. 129136.

89. Babikov Yu.N. Bifurcation of the equilibrium state to invariant tori of arbitrary dimensions // Internal Conf. on Diff. and Funct. Diff. Equat. Moscow. 2002. p. 8-9.

90. Burton T.A., Furumochi Tetsuo. Asymptotic behavior of solutions of functional differential equations by fixed point theorems // Dyn. Syst.and Appl. 2002.11, № 4, p. 499-521.

91. Cabada A., Lois S. Existence results for nonlinear problems with separated boundary conditions // Nonlinear Anal. T.M.A. 35 (1999), p. 449.

92. Cabada A., Nieto Juan J. Fixed points and approximate solutions for nonlinear operator equations // J. Comput. and Appl. Math. 113 (2000), p. 17-25.

93. Cabada A., Ruiz D. Resonant nonlinear boundary value problems with almost periodic nonlinearity // Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin. 2002.9, №2, p. 193-204.

94. Caklovic Lavoslav. Periodic solutions of a first order differential equations // Glas. Mat. Hrv. Mat. Drus. 2003.38, №2, p. 285-298.

95. Capietto A., Wang Zaihong Periodic solutions of Lienard equations asymmetric nonlinearities at resonance // J. London Math. Soc. 2003. 68, №1, p. 119-132.

96. Daoudi-Merzagui Naima. Periodic solutions of nonautonomous second order differential equations // Nonlinear Stud. 1999. 6, №1, p. 123-129.

97. Dincuta Vasile. Existence results for system of periodic operator equations // Fixed Point Theory. 2003.4, № 1, p. 61-77.

98. Dishen-jiabu. Periodic solutions of nonlinear neutral functional differential equations with infinite delay // J. Inn. Mongolia Norm. Univ. Nat. Sci. Ed. 2004.33, № 3, p. 249-253.

99. Duong L. On the zero-order chemical kinetics in a single catalyst pellet // Math. Biosci., 61, №1.

100. Frigon M., O'Regan D. A Leray-Schauder alternative for Monch maps on closed subsets of Frechet spaces // Z. Anal, und Anwend. 2002. 21, № 3, p. 753-760.

101. Furi M., Martelli M., Vignoli A. Contributions to the spectral theory for nonlinear operators in Banach spaces // Ann. mat. pura and appl. 1978. №118, p. 229-294.

102. Furi M., Martelli M., Vignoli A. On the solvability of nonlinear operator equation in norm spaces // Ann. mat. pura and appl. 1980. № 124, p. 321-343.

103. Furi M., Pera M.P. An elementary approach to boundary value problems at resonance // Nonlinear Anal.: Theory, Meth. and Appl. 1980. V. 4, № 6, p. 1081-1089.

104. Gaines R.E., Mawhin J. Coincidence degree and nonlinear differential equation // Berlin, Springer. 1977, p. 568.

105. Graffi D. Sopra alcune equazioni differenziali non lineari della fisica-matematica // Mem. Accad. Sci. Bolodna. 1940,7, p. 121-129.

106. Jiang Daqing. Upper and lower solutions method and a superlinear singular boundary value problem // Comput. and Math. Appl. 2002. 44, №3-4, p. 323-337.

107. Kannan R. Nonlinear perturbations at resonance // Dynamic Systems: An Int. Symp. New York: Acad. Press. 1976, v. 2, p. 67-71.

108. Karpinska W. A note on bounded solutions of second order differential equations at resonance // Topological Methods in Nonlinear Analysis, Journal of the Julius Schauder Center, vol. 14, No. 2 (1999), p. 371-384.

109. Karpinska W. On bounded solutions of nonlinear differential equations at resonance // J. Nonlinear Anal., Theory, Meth. Appl. 51 (2002), p. 723-733.

110. Kiguradze I. On the solvability of nonlinear operator equations in a Banach space // Mem. Differ. Equat. and Math. Phys. 2004. 31, p. 127130.

111. Krasnosel'skii A.M., Kuznetsov N.A., Rachinskii D.T. On resonant differential equations with unbounded nonlinearities // Z. Anal, und Anwend. 2002.21, № 3, p. 639-668.

112. Kuo Chung-Cheng. On the solvability of semilinear differential equations at resonance // Proc. Edinburgh Math. Soc. 2000. 43, № 1, p. 103-112.

113. Landesman F., Lazer A. Non-linear perturbation of linear elliptic boundary value problems at resonance // J. Math. Mech. 1970, v. 19, p. 609-623.

114. Leray J., Schauder J. Topologie et equations fonctionnelles // Ann. Ecole Norm. Sup. (3), 51 (1934), p. 45-78.

115. Levinson N. On the existence of periodic solutions for second order differential equations with a forcing term // J. Math. Phys. Mass. Inst. Techn., 1943, 22, p. 41-48.

116. Levinson N., Smith O.K. A general equation for relaxation oscillations // Duke Math. J., 1942,9, p. 382-403.

117. Li Yong Xiang. Positive periodic solutions of first and second order ordinary differential equations // J. Chin. Ann. Math. B. 2004. 25, № 3, p. 413-420.

118. Lienard A. // Rev., gen. electr. 1928, t. 23, p. 901-912,946-954.

119. Lin Mu-ren. The existence of bounded solution of certain large system // J. Fuzhou Univ. Nature. Sci. Ed. 2003.31, № 1, p. 1-5.

120. Lotka A.J. Elements of physical biology. Baltimore, 1925.

121. Lu Shiping, Ge Weigao. On the existence of periodic solutions for neutral functional differential equation // Nonlinear Anal. 2003. 54, № 7, p. 1285-1306.

122. Lu Shiping, Ge Weigao. Periodic solutions for a kind of Lienard equation with a deviating argument // J. Math. Anal. And Appl. 2004. 289, №1, p. 231-243.

123. Lui Bing, Yu Jiansh. Boundary value problem for a generalized Lienard equation // Appl. Math. J. Chin. Univ. B. 2002.17, № 1, p. 31-38.

124. Ma Ruyun. On the number of 2 ж -periodic solutions for nonlinear periodic boundary value problem // Chin. Ann. Math. A. 1999. 20, № 3, p. 375-378.

125. Martelli M. A note on boundary value problems at resonance // Atti. Accad. Naz. Lincei. CI. Sci. Fis. Mat. Natur. 1978, 64, № 4, p. 356-362.

126. Mawhin J. Equivalence theorems for nonlinear operator equations and coincidence degree theory for some mappings in locally convex topological vector spaces // J. Differential Equat. 12 (1972), p. 610-636.

127. Mawhin J. Landesman-Laser s type problems for nonlinear equations // Conf. Sem. Math. Univ. Bary. 1977,2, p. 67-71.

128. Mawhin J. The solvability of some operator equations with a quasi-bounded nonlinearity in normed spaces // J. Math. Anal. Appl. 1974, 45, p. 455-467.

129. Meehan M., O'Regan D. Periodic solutions for abstract operator equations // Applied Mathematics Letters. 12 (1999), p. 121-129.

130. Milojevic P.S. The solvability of operator equations with asymptotic quasibounded nonlinearities // Proc. of the American Math. Soc. 1979. 76, №2, p. 293-298.

131. Mortici Cristinel. Operators of monotone type and periodic solutions for some semilinear problems // Math. Repts. 2002.4, № 1, p. 109-121.

132. Mortici Cristinel. Semilinear equations in Hilbert spaces with quasipositive nonlinearity // Stud. Univ. Babes-Bolyai. Math. 2001. 46, №4, p. 89-94.

133. Muntean I. The spectrum of the Cesaro operator // Mathematic, tome 22(45), № 1,1980, p. 97-105.

134. Muresan Marian. Boundedness of solutions for Lienard type equations // Mathematica. 1998.40, № 2, p. 243-257.

135. Nirenberg L. An application of generalized degree to a class of nonlinear problems // Troisieme Colloq. d'Analyse Fonctionelle. Liege. 1970, p. 57-74.

136. Nirenberg L. Variational and topological method in nonlinear problems // Bull. Amer. Math. Soc. 1981.4, № 3, p. 267-302.

137. O'Regan D. Landeman-Lazer type results for first order periodic problems // Comment. Math. Univ. Carolina. 1997.38, p. 297-308.

138. Papini Duccio. Periodic solutions for a class of Lienard equations // J. Funct. Equat. 2000.43, № 2, p. 303-322.

139. Papini Duccio, Villari Gabriele. Periodic solutions of a certain generalized Lienard equation // J. Funct. Equat. 2004.47, № 1, p. 41-61.

140. Popescu M. Periodic solutions for nonlinear differential systems of equations with a small parameter // Nonlinear Anal. 2003. 52, № 2, p. 535-544.

141. Przeradzki B. A new continuation method for the study of nonlinear equations at resonance // J. Math. Anal. Appl. 180, № 2 (1993).

142. Przeradzki B. Three methods for the study of semilinear equations at resonance // Coll. Math. 66, № 1 (1993), p. 109-129.

143. Przeradzki В. Nonlinear boundary value problems at resonance for differential equations in Banach spaces // Math. Slovaca. 45, № 2 (1995), p. 139-153.

144. Przeradzki B. Operator equations at resonance with unbounded nonlinearities // Folia Mathematica U. L. 8 (1996), p. 33-58.

145. Przeradzki B. Nonlinear equations with non-Fredholm linear part // Nonlinear Anal. TMA. 47 (2001), p. 4917-4923.

146. Qian Dingbian. Periodic solutions for second order equations with time -depend potential via time map // J. Math. Anal, and Appl. 2004. 294, № 2, p. 361-372.

147. Rhoades B.E. Norm and spectral properties of some weighted mean operators // Mathematica, Tome 26 (49), № 2,1984, pp. 143-152.

148. Rothe E. Zur theorie der topologischen ordnung und der vectorfelder in Banach-Raumen// Compositio Math. 5 (1937), p. 177-197.

149. Sukavanam N. Solvability of semilinear operator equations with growing nonlinearity // J. Math. Anal, and Appl. 2000.241, № 1, p. 39-45.

150. Tarafdar E., Teo S.K. On the existence of solutions of the equation Lx = Nx and a coincidence degree theory // J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 28 (1979), p. 139-173.

151. Trafardar E. On the existence of solution of the equation Lx = Nx and a generalized coincidence degree theory // Comment. Math. Univ. Carolina. 1980, № 21, p. 805-823.

152. Vavilov S.A. A method of studying the existence of nontrivial solutions to some classes of operator equations with an application to resonance problems in mechanics // Nonlinear Anal., Theory, Methods and Appl. 1995. 24, №5, p. 747-764.

153. Villari Gabriele, Zanolin Fabio. A continuation theorem with applications to periodically forced Lienard equations in the presence of a separatrix // Ann. mat. pura ed appl. 2002.180, № 4, p. 387-411.

154. Wang Zaihong. Periodic solutions of the second order forced Lienard equation via time maps // J. Nonlinear Anal. 2002. 48, №3, p. 445-460.

155. Wang Zaihong. Existence and multiplicity of periodic solutions of the second order forced Lienard equation with Lipschitizian condition // J. Nonlinear Anal. 2002. 49, №8, p. 1049-1064.

156. Yang Xiaojing. Upper and lower solutions for perioc problems // Appl. Math, and Comput. 2003. 137, № 2-3, p. 413-422.

157. Zezza P.L. An equivalence theorem for nonlinear operator equations and an extension of Leray Schauder's continuation theorem // Bollettino U.M.I. (5), 15-A (1978), p. 545-551.

158. Zhang Ling-Zhong. The existence of positive periodic solutions of nonlinear second order ordinary differential equations // J. Northw. Norm. Univ. Natur. Sci. 2003. 39, № 2, p. 4-7.