Разрешимость краевых задач для квазилинейных функционально-дифференциальных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Брагина, Наталья Анатольевна

• Брагина, Наталья Анатольевна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Брагина, Наталья Анатольевна

Основные обозначения.

Введение.

Глава 1. Вспомогательные утверждения.

1.1. Основные обозначения и определения.

1.2. Абстрактные линейные краевые задачи.

1.3. Оператор Чезаро.

1.4. Коэффициент сюръективности и его свойства.

1.5. Вычисление и оценки коэффициента сюръективности.

1.6. Коэффициент сюръективности линейных краевых задач.

1.7. Некоторые теоремы о неподвижных точках.

Глава 2. Коэффициент сюръективности ФДУ и линейных краевых задач.

2.1. Коэффициент сюръективности оператора Чезаро.

2.2. Оператор Грина с минимальной нормой.

2.3. Примеры построения оператора Грина с минимальной нормой.

Глава 3. Краевые задачи для ФДУ.

3.1. Задача Коши для квазилинейного сингулярного дифференциального уравнения первого порядка.

3.2. Конечномерная параметризуемость квазилинейного функционально-дифференциального уравнения.

3.3. Разрешимость краевой задачи для квазилинейного функционально-дифференциального уравнения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разрешимость краевых задач для квазилинейных функционально-дифференциальных уравнений»

Основным объектом исследования диссертационной работы является квазилинейная краевая задача для функционально-дифференциальных уравнений. Особое внимание в диссертации уделяется вопросам разрешимости краевых задач.

Пусть X и Y - банаховы пространства, L:X —> У - линейный ограниченный оператор, F: X -> Y - непрерывный оператор, l :X->R" - линейный вектор-функционал, '(р:Х R" непрерывный вектор-функционал. Тогда квазилинейную краевую задачу можно записать в виде двух операторных уравнений

0.1) be = (рх, называемых абстрактной краевой задачей [12].

В виде (0.1) можно записать многие классы краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) или систем, для уравнений с частными производными (ДУЧП), для функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ) и интегро-дифференциальных уравнений. Как правило, первое уравнение в (0.1) - это дифференциальное уравнение или система уравнений, а второе уравнение является краевыми условиями, в случае ОДУ, или начальными и граничными условиями, в случае ДУЧП.

Вопросами разрешимости краевых задач для ОДУ занимались многие авторы. Основы теории абстрактных краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений заложены в работах [9, 10, II, 13, 14, 41]. Условия разрешимости различной степени общности для краевых задач, записанных в виде (0.1), получены в работах Азбелева Н.В., Кигурадзе И.Т., Максимова В.П., Рахматуллиной Л.Ф., Васильева Н.И., Клокова Ю.А., Слугина С.Н. и др.

Основные известные методы исследования на разрешимость квазилинейных краевых задач используют следующую схему. Наряду с краевой задачей (0.1) рассматривается линейная краевая задача f = (0.2)

Если оператор [L,l]:X —> Y х R" обратим, то решение задачи (0.2) можно представить в виде x = Ua + Gf. (0.3)

Здесь U — фундаментальный вектор решений однородного уравнения Lx = 0, удовлетворяющий условию l(u)=E, где Е -единичная матрица порядка пхп. Оператор G:Y->X называется оператором Грина задачи (0.2). В данном случае исследование на разрешимость краевой задачи (0.1) основано на применении теорем о неподвижных точках.

Многие исследователи краевых задач для дифференциальных уравнений уделяли особое внимание вопросу нахождения наиболее слабых требований на нелинейность, но, как выяснилось, этот вопрос непосредственно связан с оператором Грина с минимальной нормой. Этот вопрос рассматривался в работах [3, 10,40].

В работе [10] предложен новый метод исследования на разрешимость задачи вида (0.1). Оказывается, что эффективность применения упомянутого метода зависит так же и от специального выбора вспомогательной задачи, а именно таким образом, что бы ее оператор Грина имел минимальную норму. Тематика данной диссертационной работы тесно переплетается с идеями работы [40].

В настоящей диссертационной работе для специального случая, а именно, когда линейный функционально-дифференциальный оператор действует из гильбертового пространства, дается полное решение проблемы существования и построения оператора Грина с минимальной нормой (глава 2 параграф 2). Этот результат в работе используется для получения эффективных признаков разрешимости краевых задач.

Приведем краткое содержание диссертационной работы.

Содержание главы 1 носит вспомогательный характер. Здесь приведены необходимые для дальнейшего определения и утверждения.

В первом параграфе этой главы рассмотрены основные определения, связанные с линейными операторами в банаховых пространствах.

В параграфе 1.2. вводится понятие абстрактной линейной краевой задачи где L:Dn —» - линейный ограниченный оператор и I: D" Rm -линейный ограниченный вектор-функционал.

В параграфе 1.3 сформулированы сведения, связанные с оператором Чезаро вида:

Получена оценка нормы оператора А, приведено описание спектра, а также резольвенты. Кроме того, даны представления точечного, остаточного и непрерывного спектров. Во второй половине этого параграфа получены аналогичные утверждения для обобщенного оператора Чезаро.

0.4)

Lp[0,l]-»Lp[0,l], U/Ксю.

ЛдОМ = ^ , *(/) 6 Lp [/0,1]. /л

В следующих параграфах вводится понятие коэффициента сюръективности, формулируются его основные свойства, а также геометрический смысл. Кроме того, получены формулы для вычисления и оценки коэффициента сюръективности некоторых линейных операторов и линейных краевых задач.

В заключительном параграфе первой главы приведены некоторые теоремы о неподвижных точках в удобной для нас формулировке.

Глава 2 посвящена вычислению коэффициента сюръективности конкретных операторов и краевых задач. При этом используются утверждения?полученные в пунктах 1.4-1.6.

В первом параграфе этой главы рассмотрена оценка на коэффициент сюръективности оператора суммы единичного и обобщенного оператора Чезаро: (/ + А): Ь2[0,Т]-* Ь2[0,Т] teX'MC+А М(')=*(')+£ К-'^К,

I о где yeR и а - неотрицательная константа. Предварительно найден вид сопряженного оператора:

Тогда справедлива оценка: q(L)> 1, если у > 0 или у < 1 - 2а; q(L)>

1 +

2 у

2а-1 если 1-2а<^<0.

Во втором параграфе решается задача о существовании и построении оператора Грина с минимальной нормой абстрактной краевой задачи fx - а, где L: X —> Y - линейный ограниченный оператор и / : X -> R" -линейный ограниченный вектор-функционал, для случая, когда пространство решений уравнения является гильбертовым.

Доказано следующее утверждение: Пусть £/={лГ|- ортонормированный базис kerb и вектор-функционал / определен равенством lx = col{l^x, 12<х,.1„х}, 1;х = (х;,х). Тогда оператор Грина краевой задачи (0.5) имеет минимальную норму.

В следующем параграфе рассмотрены примеры построения оператора Грина с минимальной нормой.

Первый параграф третьей главы посвящен получению условий разрешимости задачи Коши для квазилинейного сингулярного дифференциального уравнения вида r^ax(t)}+ax(t)=f{t,x(t))> х{0)=0.

0.6)

Утверждения этого параграфа, в основном, получены с использованием утверждений параграфа 1.3. Доказаны теоремы о существовании и единственности задачи вида (0.6).

Одновременно с задачей (0.6) рассматривается линейная краевая задача rfi{t°x(t))+ax(t)=f(tl х(6) = 0.

0.7)

Решение задачи (0.6) или (0.7) ищется в л: е D2[0,l]. На основе результатов параграфа 1.3 получено следующее утверждение.

Теорема 3.1.1. Если а > 0 или а + + 2а < 0, то задача Коши (0.6) однозначно разрешима для любой правой части / е Ь2, причем о sa-x\za f{r)dT s о ds.

Если а < 0 или а + + 2а > 0, то задача (0.7) имеет хотя бы одно решение.

С помощью этой вспомогательной теоремы доказаны теоремы о существовании и единственности задачи вида (0.6). Они сформулированы в следующих теоремах.

Теорема 3.1.2. Пусть выполнено условия: 1) а> 0 или а + Р + 2а < 0, 2) функция /(/, и) удовлетворяет условию Липшица с коэффициентом к j- по второму аргументу, 3)

• кj < 1. Тогда задача (0.6) имеет единственное решение.

Теорема 3.1.3. Пусть а<0 или a + fi + 2a>0, функция f(t,u) удовлетворяет условию f(t,u]<b + c\u\5, re [ОД), ueR\ 0<S<L Тогда существует хотя бы одно решение задачи (0.6).

Следующий параграф связан с конечномерной парам етризуемостью множества решений квазилинейного функционально-дифференциального уравнения вида

Lx = Fx (0.8) где L :X —» У - линейный ограниченный оператор, F :Х -> F -нелинейный оператор, X,Y - (В) - пространства. В этом параграфе получены достаточные условия параметризуемое™ уравнения (0.8). и а

В параграфе 3.2 рассматривается случай абстрактного квазилинейного функционально-дифференциального уравнения

Lx = Fx (0.9) в предположении параметризуемое™ множества всех решений (приводимости). Здесь L: X —> Y - линейный ограниченный оператор, F:X—>Y - нелинейный оператор, X,Y - (В) — пространства. В этом параграфе получены достаточные условия параметризуемое™ уравнения (0.9). Основным утверждением этого параграфа является:

Теорема 3.2.1. Пусть выполнены условия:

1) оператор FiX-^Y удовлетворяет условию Липшица с константой к;

2) существует проектор на ядро оператора L, имеющий единичную норму;

3) выполняется неравенство к < q(L).

Тогда уравнение (0.9) допускает конечномерную параметризацию, то есть существует такой непрерывный оператор Г :Rm —>М, что все решения уравнения (0.9) имеют представление Га = а + Г0а, причем Г0 удовлетворяет условию Липшица с константой л <И» г» - ни* ■

В параграфе 3.3. рассмотрена квазилинейная краевая задача вида

Lx = Fxx + F2x

1 1 (0.10) I bc = q>x m где L\X -> Y - линейный ограниченный оператор, /: X —> R линейный ограниченный вектор-функционал, FltF2:X->Y -нелинейные операторы, X,Y - (В) - пространства, причем Fj является гладким, a F2 вполне непрерывным оператором. Доказаны теоремы о разрешимости задачи (0.10).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Брагина, Наталья Анатольевна, 2004 год

1. Абдуллаев А.Р. Вопросы теории возмущений устойчивых свойств для функционально-дифференциальных уравнений: Дис. . докт. физ.-мат. наук. -Пермь, 1991,-210 с.

2. Абдуллаев А.Р. О разрешимости и параметризации множества решений нелинейного операторного уравнения// Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1983. 9 с. Деп. в ВИНИТИ 3.05.83, № 2338-83.

3. Абдуллаев А.Р. Об операторе Грина с минимальной нормой//Краевые задачи. Пермь, 1991. С. 3-6.

4. Абдуллаев А.Р. Сюръективность, как устойчивое свойство линейных операторов// Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика, № 4. -Пермь, 1997. С. 35-40.

5. Абдуллаев А.Р., Брагина Н.А. О коэффициенте сюръективности линейных краевых задач// Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1998. 7 с. Деп в ВИНИТИ 7.12.98, №3569-В98.

6. Абдуллаев А.Р., Брагина Н.А. Операторы Грина с минимальной нормой// Известия вузов. Математика. 2003. - № 4.- С. 3-7.

7. Абдуллаев А.Р., Бурмистрова А.Б. Об одной схеме исследования на разрешимость резонансных краевых задач// Известия вузов. Математика. -1996, №11. -с. 14-22.

8. Абдуллаев А.Р., Бурмистрова А.Б. Элементы теории топологических нетеровых операторов. Челябинск, 1994.-93 с.

9. Азбелев Н.В. О нелинейных функционально-дифференциальных уравнений//Дифференциальные уравнения. 1976. - Т. 12, №11.-с. 1923-1932.

10. Азбелев Н.В., Максимов В.П. Априорные оценки решений задач Коши и разрешимость краевых задач для уравнений с запаздывающим аргументом//Дифференциальные уравнения. 1979. Т.5, №10 - с. 1731-1747.

11. Азбелев Н.В., Максимов В.П. Уравнения с запаздывающим аргументом // Дифференциальные уравнения. 1982. - Т. 18, №12. - с. 2027-2050.

12. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматулина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 300 с.

13. Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.Ф. Абстрактные функционально-дифференциальные уравнения// Функционально-дифференциальные уравнения. Пермь, 1987. - С. 3-11.

14. Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.Ф. О линейных уравнениях с отклоняющимся аргументом // Дифференциальные уравнения. 1970. - Т. 6, №4.-с. 616-628.

15. Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.Ф. Функционально-дифференциальные уравнения// Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 14, № 5. - С. 771-797.

16. Бойчук А.А. Построение решений двухточечной краевой задачи для слабовозмущенных нелинейных систем в критических случаях // Укр. Мат.Журнал. 1989. -Т. 41, №10. - с. 1416-1420.

17. Брагина Н.А. О вычислении и оценках коэффициента сюръективности// Областная научная конференция молодых ученых и аспирантов. «Молодежная наука Прикамья». Пермь. - 2000 г. - С 117.

18. Брагина Н.А. Об одном методе оценки коэффициента сюръективности// Научно техническая конференция ПГТУ. «Проблемы прикладной математики и механики». Пермь. - 1998. - С. 11.

19. Брагина Н.А. Об условиях параметризуемое™ функционально дифференциальных уравнений// Воронежская зимняя математическая школа. «Современные методы теории функций и смешанные проблемы». Воронеж. -С. 54.

20. Брагина Н.А. О параметризуемое™ функционально-дифференциальных уравнений// Перм. политехи, ин-т. Пермь, 2000. 8 с. Деп в ВИНИТИ 14.07.00, № 1963-В 00.

21. Брагина Н.А. О спектре одного сингулярного интегрального уравнения// Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика. 1996, № 3. стр 16-18.

22. Брагина Н.А. Задача Коши для квазилинейного сингулярного дифференциального уравнения первого порядка// Известия научно-образовательного центра "Математика" Выпуск 1. 2003. - С. 10-16.

23. Бурбаки Н. Спектральная теория. М.: Мир. 1972. 183 с.

24. Бурмистрова А.Б. Краевые задачи для нелинейных функционально-дифференциальных уравнений в случае резонанса: Дис. . канд. физ.- мат. наук. Пермь, 1990, - 134 с.

25. Вавилов С.А. О нетривиальных решениях некоторых классов операторных уравнений // Доклады РАН. 1993. - Т. 331, № 1.

26. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М.: Наука, 1972.416 с.

27. Вайнберг М.М. Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. — М.: Наука, 1969. 528 с.

28. Васильев А.В., Ермаков А.Е., Колосова С.В. Об одной задаче теории химических реакций// Мат. физика и нелинейная механика. Киев, 1987. -№8.-С. 35-39.

29. Данфорд Н. Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Спектральная теория. -М., Мир, 1966 г.

30. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967, - 624 с.

31. Канторович Л.В. Акилов Г.П. Функциональный анализ. М. Наука, 1965г.

32. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972, -740с.

33. Кигурадзе И.Т. Краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений// Итого науки и техники. Сер. современные проблемы матем.: Новые достижения. 1987. Т. 30. - С. 3-103.

34. Кигурадзе И.Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Тбилиси: Изд-во ТГУ, 1975. 352 с.

35. Кигурадзе И.Т., Шехтер Б.Д. Сингулярные краевые задачи дляобыкновенных дифференциальных уравнений//Итоги науки и техники. Сер.современные проблемы матем.: Новые достижения. — 1987. Т. 30. - С. 105201.

36. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. - 512 с.

37. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971.- 104 с.

38. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1988.-304 с.

39. Люстерник Л.А. Соболев В.И. Элементы функционального анализа. -М.,Наука, 1965 г.

40. Максимов В.П. К вопросу о параметризации множества решений функционально-дифференциального уравнения// Функционально-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1988. с. 14-20.

41. Максимов В.П. О некоторых нелинейных краевых задачах // Дифференциальные уравнения. 1983.-Т. 19, № 3.— С. 396-414.

42. Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Сопряженное уравнение для общей линейной краевой задачи// Дифференциальные уравнения. 1977. — Т. 13, № 11.- С. 1966-1973.

43. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат, 1956.- 491 с.

44. Митропольский Ю.А., Мартынюк Д.И. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием. Киев: Вища школа, 1979.-248 с.

45. Пич А. Операторные идеалы. М.: Мир, 1982. - 536 с.

46. Плеснер А.И. Спектральная теория линейных операторов. М., Наука, 1965 г.

47. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975. - 443 с.

48. Треногин В.А. Функциональный анализ. М., Наука, 1980 г.

49. Харди Г.Г., Литтльвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. М.: Ил. 1948.

50. Шехтер Б.Л. Об одной краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений//Дифференц. уравнения. = 1982. Т. 18, № 10. -С. 1701-1717.

51. Ягодкина Э. В. О норме обобщенного оператора Чезаро// Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика. 1994, № 1. стр 72-74.

52. Abdelkader A. The Langmuir-Blodgett space-charge equation for cylinders., 40, №4.

53. Boyd D.W. The spectrum of Cesaro operator// Acta Sci. Math., № 29, 1968, pp. 31-34.

54. Brown A., Halmos P.R., Shields A.L. Cesaro operator// Acta Sci. Math., № 26, 1965, pp. 125-137.

55. Ctaines R.E., Mawhin J. Coincidence degree and nonlinear differential equation // Berlin, Springer. 1977. - p. 568.

56. Duong L. On the zero-order chemical kinetics in a single catalyst pellet., Math. Biosci., 61, №1.

57. Furi M., Martelli M., Vignoli A. Contributions to the spectral theory for nonlinear operators in Banach spaces// Ann. mat. pura ed appl. 1978. № 118. - P. 229-294.

58. Furi M., Pera M.P. An elementary approach to boundary value problems at resonance // Nonlinear Anal.: Theory, Meth. and Appl. 1980. - V. 4, - № 6. - p. 1081-1089.

59. Kannan R. Nonlinear perturbations at resonance // Dynamic Systems: An Int. Symp. New York: Acad. Press, 1976. 1976. - V. 2. - p. 67-71.

60. Landesman F., Lazer A. Non-linear perturbation of linear elliptic boundary value problems at resonance // J. Math. Mech. 1970. - V. 19. - p. 609-623.

61. Leibowitz G.M. Spectra of finite range Cesaro operators// Acta Sci. Math., № 35, 1973, pp. 27-29.

62. Leibowitz G.M. The Cesaro operator and their generalizations: examples in infinite-dimensional linear analysis//Amer. Math. Monthly, № 80, 1973, pp. 645661.

63. Martelli M. A note on boundary value problems at resonance // Atti. Accad. Naz. Lincei. CI. Sci. Fis. Mat. Natur. 1978. - V. 64, № 4. - p. 356-362.

64. Mawin J. Landesman-Laser's type problems for nonlinear equations // Conf. Sem. Math. Univ. Bary. 1977. - V. 2. - p. 67-71.

65. Mawhin J. The solvability of some operator equations with a quasi-bounded nonlinearity in normed spaces // J. Math. Anal. Appl. 1974. - V. 45. - p. 455467.

66. Muntean J. The spectrum of the Cesaro operator// Mathematic, tome 22(45), №1,1980, pp. 97-105.

67. Rhoades B.E. Norm and spectral properties of some weighted mean operators// Mathematica, Tome 26 (49), № 2, 1984, pp. 143-152.

68. Trafardar Е/ On the existence of solution of the equation Lx = Nx and a generalized coincidence degree theory 1. // Comment. Math. Univ. Carolinae. -1980. № 21. - p. 805-823.