Поляризационные состояния бифотонов в протоколах квантовой связи тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.21, кандидат физико-математических наук Шурупов, Александр Павлович

• Шурупов, Александр Павлович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шурупов, Александр Павлович

Введение

Глава 1 Оптические четырехуровневые системы

§ 1.1 Общие свойства п. 1.1.1 Бифотоны как четырехуровневые системы. Критерий перепутанности для двух кубитов п.1.1.2 Методы приготовления

§ 1.2 Оптимальная оценка величины перепутывания п.1.2.1 Квантовая теория оценок (по литературе) п. 1.2.2 Система двух кубитов п.1.2.3 Оценка величины перепутывания (эксперимент)

§ 1.3 Статистическое восстановление состояний бифотонов-кукварп. 1.3.1 Объект исследования. п. 1.3.2 Томография квантовых состояний. п.1.3.3 Анализ протокола томографии. п.1.3.4 Экспериментальная проверка

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Поляризационные состояния бифотонов в протоколах квантовой связи»

Диссертационная работа посвящена экспериментальному приготовлению и исследованию свойств оптических четырехуровневых квантовых систем, получаемых за счет эффекта интерференции однопучковых бифотон-ных полей с целью их использования в конкретных протоколах квантовой связи.

Квантовая информация и квантовые вычисления являются на сегодняшний день одними из самых прогрессирующих областей современной науки. В основе квантовых вычислений лежит понятие кубита (от слов "quantum bit", "q-bit"). Кубит — это мера квантовой информации (по аналогии с классическим битом). Физически кубит представляет собой когерентную суперпозицию двух базисных состояний:

Ф> = Со|0> + С1|1> (0.1)

Здесь коэффициенты С{ — комплексные амплитуды, определяющие вероятность нахождения системы в одном из базисных состояний и удовлетворяющие условию нормировки. Физической реализацией кубита может служить чистое состояние любой двухуровневой системы. Возможность кубита находиться в континууме состояний, задаваемых а, в отличие от классического бита, является основным свойством, которое и используется в квантовых алгоритмах. Конечно, следует отметить, что при проведении процедуры измерения над системой (0.1) в выбранном базисе возможно получить только состояние |0) с вероятностью |со|2 или состояние |1) с вероятностью |ci|2. Можно заключить, что до проведения измерения количество информации, «сокрытое» в кубите, бесконечно, однако нам доступен из нее всего лишь один классический бит. Из свойства суперпозиции также вытекает возможность большей плотности записи информации. Так, регистр, состоящий из 500, кубитов способен хранить 2500 комплексных чисел, т.е. больше, чем число атомов в доступной нам Вселенной. На настоящий момент известно множество способов физической реализации кубитов и также большое число квантовых информационных протоколов, использующих кубиты в качестве носителей информации [1, 2].

Среди множества физических реализаций кубитов особое место занимает использование свойств квантованного электромагнитного излучения (фотонов). Фотоны слабо взаимодействуют с окружением, сводя к минимуму эффекты декогерентизации, легко преобразуются с помощью оптических элементов. Именно на основе фотонов были реализованы протоколы квантового распределения ключа [3, 4, 5, 6], квантовой телепортации [7, 8, 9] и плотной кодировки [10, 11].

И с фундаментальной, и с прикладной точек зрения интересен вопрос о расширении гильбертова пространства на случай многоуровневых систем и о тех новых возможностях, которые предоставляют нам многоуровневые системы в квантовой информации. В литературе такие системы получили названия кудитов (q-dits), где d — размерность гильбертова пространства. Вектор состояния кудита можно записать в следующем виде:

Ф> = Ci |1> + С2 |2> + . -н Cd |rf>

Оказалось, что в ряде случаев использование квантовых многоуровневых систем как носителей информации имеет некоторые преимущества по сравнению с кубитами. Во-первых, использование кудитов в протоколе квантового распределения ключа повышает помехостойкость канала в случае определенного класса атак подслушивателя [12, 13, 14, 15, 16]. Во-вторых, на основе многоуровневых систем уже предложены некоторые алгоритмы квантовых вычислений, которые невозможно выполнить с использованием кубитов [17, 18]. В-третьих, перепутанные многоуровневые системы показывают большее отклонение квантовой теории от классической при проверке неравенств Белла [19, 20]. Данное свойство является фундаментальным свойством многоуровневых систем, а также может быть использовано в протоколах квантового распределения ключа. И, наконец, вопрос о генерации, преобразовании и измерении таких состояний представляет значительный интерес с экспериментальной точки зрения.

С операциональной точки зрения эксплуатация любых протоколов квантовой информации и квантовой связи предполагает возможность полного или частичного контроля над параметрами квантового состояния, участвующего в протоколе. Эту цель преследуют процедуры полной и редуцированной томографии. И в первом, и во втором случае встает вопрос о проведении данных протоколов оптимальным образом с точки зрения затраченных экспериментальных ресурсов и времени. В данной работе рассматриваются две процедуры оптимизации протоколов оценки свойств квантовых систем — величины перепутывания и полной томографии квантового состояния.

Бифотонными полями называются поля, состоящие из пар коррелированных фотонов. Наиболее простым способом получения таких полей является использование эффекта спонтанного параметрического рассеяния (СПР) света [21, 22]. При этом эффекте, имеющем место в средах без центра инверсии, происходит распад фотонов лазерной накачки на пары коррелированных фотонов, волновые вектора и частоты которых удовлетворяют условиям пространственного и частотного синхронизма. Пары фотонов, рождающиеся в процессе СПР, могут образовывать так называемое перепутанное (entangled) состояние. По определению, двухчастичное состояние называется перепутанным, если его волновая функция не может быть фак-торизована на волновые функции каждой из подсистем Ф12 -ф Ф1 х Ф2 [23]. Свойства перепутанных состояний лежат в основе многих протоколов квантовых вычислений и квантовой связи. В данной работе исследуется вопрос об оптимальной экспериментальной оценке количественного значения величины перепутывания. Предложен протокол, позволяющий оценить данный параметр с минимальной дисперсией.

Большой интерес представляют бифотонные поля, в которых пара родившихся в процессе СПР фотонов принадлежит одной пространственной моде. Если оба фотона принадлежат также и одной, частотной моде, то произвольное поляризационное состояние такого поля может быть разложено по трем базисным состояниям, то есть представляет собой трехуровневую систему. Если же фотоны принадлежат различным частотным модам, то размерность гильбертова пространства такого состояния равняется четырём. Такие системы получили название кутритов и куквартов соответственно (d = 3,4). Выбор поляризации как параметра, в котором кодируется информация, является удобным с точки зрения эксперимента, так как преобразования над данным параметром можно осуществлять с помощью линейных оптических элементов (фазовые пластинки, поляризаторы и т.д.).

Для успешной реализации того или иного квантово-информационного вычислительного алгоритма требуется иметь полный контроль над используемыми квантовыми состояниями. Под полным контролем здесь понимается а) возможность приготовить квантовую систему в произвольном состоянии, б) возможность проведения заданных преобразований в процессе передачи по каналу связи и в) возможность восстановления состояния системы по некоторому набору измерений (томография квантовых состояний). В настоящей работе рассмотрено три протокола линейного томографического восстановления поляризационного состояния кукварта. Один из них основан на измерении проекций исследуемого состояния в различных поляризационных базисах, образованных векторами Стокса, посредством проведения линейных поляризационных преобразований в плечах интерферометра интенсивностей Брауна-Твисса после пространственного разделения бифотона. Второй протокол аналогичен первому, однако измерения выполняются путем проекции входного состояния на заданный набор состояний, симметрично расположенных на сфере Пуанкаре. Во третьем протоколе поляризационные преобразования осуществляются над бифото-ном как над цельным объектом. К полученным экспериментальным результатам применяются статистические алгоритмы восстановления состояния, что позволяет учесть влияние статистических и аппаратных ошибок, возникающих в эксперименте.

Из всего вышесказанного следует актуальность работы, обусловленная фундаментальным интересом к проблемам, связанным с экспериментальным контролем над свойствами многоуровневых систем, исследованию их свойств и возможным применением данных систем в квантовых информационных протоколах.

Таким образом, подводя итог вышесказанному, можно сформулировать задачи диссертационной работы:

1. Исследование вопроса оптимальной оценки величины перепутывания двух кубитов, допустимой законами квантовой механики.

2. Экспериментальная верификация предложенного ранее критерия эффективности процедуры томографии квантового состояния.

3. Исследование различных алгоритмов некогерентной атаки на протокол квантового распределения ключа, основанного на куквартах.

4. Исследование вопроса о возможности применения поляризационных куквартов в практической реализации протокола квантового распределения ключа на данных системах.

Новизна диссертационной работы заключается в следующих положениях:

1. Произведен теоретический анализ и предложена процедура оптимальной оценки величины перепутывания двухкубитного состояния. Экспериментальные результаты полностью подтверждают теоретический лимит точности.

2. Экспериментально верифицирован предложенный ранее критерий эффективности протоколов томографии квантового состояния. Результаты численного моделирования и эксперимента полностью подтверждают верность предложенного критерия.

3. Предложен протокол квантового распределения ключа на бифотонах-куквартах. В качестве состояний для передачи информации используются факторизуемые состояния, легко доступные для экспериментального приготовления и измерения. Для оценки вносимых в процесс передачи информации возмущений и оценки секретности протокола используются максимально перепутанные белловские состояния.

4. Экспериментально реализована схема детерминистического протокола квантового распределения ключа на поляризационных куквартах. Высокое качество приготовления и трансформации используемых состояний позволяет говорить о возможности реализации подобной схемы в прототипе криптосистемы.

Научная и практическая значимость диссертации состоит в возможном использовании полученных результатов в квантовой оптике и квантовой информации:

• при реализации протоколов квантового распределения ключа на многоуровневых системах,

• . при реализации протоколов квантовых вычислений с использованием многоуровневых систем.

Результаты работы прошли апробацию на следующих международных и российских конференциях:

Международная конференция «Quantum Communication and Security», Гданьск, Польша, 2006 г., X Международные Чтения по, Квантовой Оптике, Самара, Россия, 2007 г., XI международная молодежная научная школа «Когерентная оптика и оптическая спектроскопия», Казань, Россия, 2007 г., международная конференция «17th International Laser Physics Workshop», Тронхейм, Норвегия, 2009 г., международная конференция «XII International Conference on Quantum Optics and Quantum Information» (ICQO'08), Вильнюс, Литва, 2008 г., конференция «Поляризационная оптика», Москва, Россия, 2008 г., международная конференция «18th International Laser Physics Workshop», Барселона, Испания, 2009 г., международная конференция «Single Photon Workshop», Денвер, США, 2009 г.

Диссертационная работа состоит из трех глав, введения и заключения

Первая глава посвящена свойствам оптических четырёхуровневых систем — куквартов, реализованных на основе поляризационных состояний невырожденного по частоте бифотонного поля. Для исчерпывающего описания состояния кукварта используется формализм матрицы когерентности четвертого порядка по полю. Предлагается процедура математической оценки одного из наиболее интересных свойств кукварта — перепутывания — с предельно доступной точностью. Предлагается процедура измерения поляризационного состояния одномодовых бифотонов — томографии куквартов. Представлено три протокола квантовой томографии и обсуждаются особенности их экспериментальной реализации.

Вторая глава содержит обзор наиболее известных и широко применяемых на практике протоколов квантовой криптографии. Далее в ней произведен анализ секретности квантового распределения ключа для трех протоколов. Также в ней предложен новый (модифицированный) протокол квантового распределения ключа, в котором наравне с факторизуе-мыми четырехуровневыми квантовыми состояниями, используемыми для передачи информации, используются четыре максимально перепутанных состояния в качестве проверочных.

Третья глава посвящена использованию поляризационных бифото-нов-куквартов в задачах квантового распределения ключа. Разобраны способы простого приготовления факторизованных состояний куквартов, предложены схемы для создания произвольного состояния кукварта. Описана практическая демонстрация детерминистического протокола КРК.

В заключении сформулированы основные выводы и результаты диссертационной работы, представляющие собой суть выносимых на защиту положений.

1. Предложен и экспериментально реализован протокол, позволяющий производить оптимальную оценку величины перепутывания чистых и смешанных состояний четырехуровневых квантовых систем.

2. Верифицирован операциональный критерий эффективности протоколов томографии квантового состояния. Произведена томография заданных факторизованных и чистых перепутанных состояний би-фотонов-куквартов тремя типичными протоколами при разных параметрах измерения.

3. Предложен протокол распределения ключа на бифотонах-куквартах с использованием как факторизованных, так и чистых перепутанных состояний. Проанализированы три основные схемы некогерентных атак на протокол квантового распределения ключа на куквартах.

4. Разработана и реализована схема детерминистического протокола квантового распределения ключа на бифотонах-куквартах. Предложенная схема детерминистической регистрации позволяет измерять необходимый набор базисных состояний и обладает низким уровнем потерь.

Основные материалы диссертации опубликованы в следующих работах*:

Р1. Кулик С. П., Шурупов А. П. К вопросу об использовании куквартов для квантового распределения ключа // ЖЭТФ.— 2007.— Т. 131, № 5.-С. 842-850.

Р2. Shurupov А. P., Kulik S. P. Security of Quantum Key Distribution Pro- -tocol Based on Ququarts // Quantum Communication and Security / Ed. by M. Zukowski, S. Kilin, J. Kowalik. — IOS Press (NATO Science Series), 2007.-Vol. 11.-Pp. 123-132.

РЗ. Шурупов А, П., Кулик С. П. Квантовое распределение ключа на бифотонах-куквартах с проверочными состояниями // Письма в ЖЭТФ. - 2008. - Т. 88, № 9. - С. 729-733.

Р4. Preparation and characterization of arbitrary states of four-dimensional qudits based on biphotons / S.-Y. Baek, S. S. Straupe, A. P. Shurupov et al. // Phys. Rev. A. - 2008. - Vol. 78, no. 4. - P. 042321.

P5. Quantum state engineering with ququarts: Application for deterministic QKD protocol / A. P. Shurupov, S. S. Straupe, S. P. Kulik et al. // Euro-phys. Lett. - 2009. - Vol. 87, no. 1. - P. 10008.

P6. Experimental estimation of entanglement at the quantum limit / G. Brida, I. P. Degiovanni, A. Florio et al. // Phys. Rev. Lett. — 2010.— Vol. 104, no. 10, — P. 100501.

B дальнейшем будут использоваться именно эти обозначения

Заключение диссертации по теме «Лазерная физика», Шурупов, Александр Павлович

Заключение

В заключении сформулированы основные результаты данной работы.

1. Предложен и экспериментально реализован протокол, позволяющий производить оптимальную оценку величины перепутывания чистых и смешанных состояний четырехуровневых квантовых систем. По результатам всего четырех проекционных измерений оценивается количественная мера величины перепутывания с минимально доступной по теореме Рао-Крамера дисперсией.

2. Верифицирован операциональный критерий эффективности протоколов томографии квантового состояния. Произведена томография заданных факторизованных и чистых перепутанных состояний би-фотонов-куквартов тремя типичными протоколами при разных параметрах измерения. Предложенный критерий эффективности полностью согласуется с экспериментальными данными и результатами численного моделирования.

3. Предложен протокол распределения ключа на бифотонах-куквартах с использованием как факторизованных, так и чистых перепутанных состояний. Факторизованные состояния используются для передачи информации, в то время как максимально перепутанные состояния позволяют определять степень возмущения в канале связи. Проанализированы три основные схемы некогерентных атак на протокол квантового распределения ключа на куквартах.

4. Разработана и реализована схема детерминистического протокола квантового распределения ключа на бифотонах-куквартах. Простая схема приготовления необходимых квантовых состояний состоит из одного нелинейного кристалла и линейных оптических элементов. Предложенная схема детерминистической регистрации позволяет измерять необходимый набор базисных состояний и обладает низким уровнем потерь.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шурупов, Александр Павлович, 2010 год

1. Nielsen М. A., Chuang 1. L. Quantum Computation and Quantum Information. — Cambridge University Press, 2000. — P. 676.

2. Бауместер Д., Экерт А., Цайлингер А. Физика Квантовой Информации. — М.: Постмаркет, 2002. — С. 376.

3. Bennett С. Н., Brassard G. Quantum cryptography: Public key distribution and coin tossing // Int. Conf. on Computers, Systems and Signal Processing. (Bangalore, India). — Los Alamitos, С A, USA: IEEE Computer Society, 1984. — Pp. 175-179.

4. Experimental quantum cryptography / С. H. Bennett, F. Bessette, G. Brassard et al. //J. Cryptology. — 1992. — Vol. 5. P. 3.

5. Ekert A. K. Quantum cryptography based on bell's theorem // Phys. Rev. Lett. 1991. — Vol. 67, no. 6. - Pp. 661-663.

6. Practical quantum cryptography based on two-photon interferometry / A. K. Ekert, J. G. Rarity, P. R. Tapster, G. Massimo Palma // Phys. Rev. Lett. 1992. — Vol. 69, no. 9. — Pp. 1293-1295.

7. Teleporting an unknown quantum state via dual classical and einstein-podolsky-rosen channels / С. H. Bennett, G. Brassard, C. Crepeau et al. // Phys. Rev. Lett. — 1993. — Vol. 70, no. 13. — Pp. 1895-1899.

8. Experimental quantum teleportation / D. Bouwmeester, J.-W. Pan, K. Mattle et al. // Nature.— 1997,- Vol. 390, no. 6660,— Pp. 575579.

9. Kim Y.-H., Kulik S. P., Shih Y. Quantum teleportation of a polarization state with a complete bell state measurement // Phys. Rev. Lett. — 2001. Vol. 86, no. 7. - Pp. 1370-1373.

10. Bennett С. H., Wiesner S. J. Communication via one- and two-particle operators on einstein-podolsky-rosen states // Phys. Rev. Lett. — 1992. — Vol. 69, no. 20. Pp. 2881-2884.

11. Dense coding in experimental quantum communication / K. Mattle, H. Weinfurter, P. G. Kwiat, A. Zeilinger // Phys. Rev. Lett. — 1996,— Vol. 76, no. 25. Pp. 4656-4659.

12. Bechmann-Pasquinucci H., Peres A. Quantum cryptography with 3-state systems // Phys. Rev. Lett. — 2000. — Vol. 85, no. 15. —Pp. 3313-3316.

13. Bechmann-Pasquinucci H., Tittel W. Quantum cryptography using larger alphabets // Phys. Rev. A. 2000. - Vol. 61, no. 6. — P. 062308.

14. Security of quantum key distribution using <i-level systems / N. J. Cerf, M. Bourennane, A. Karlsson, N. Gisin // Phys. Rev. Lett.— 2002.— Vol. 88, no. 12. P. 127902.

15. Bruj] D., Macchiavello C. Optimal eavesdropping in cryptography with three-dimensional quantum states // Phys. Rev. Lett. — 2002. — Vol. 88, no. 12.-P. 127901.

16. Security of quantum key distribution with entangled qutrits / T. Durt, N. J. Cerf, N. Gisin, M. Zukowski // Phys. Rev. A. — 2003.- Vol. 67, no. 1. — P. 012311.

17. Spekkens R. W., R.udolph T. Degrees of concealment and bindingness in quantum bit commitment protocols If Phys. Rev. A. — 2001.— Vol. 65, no. 1, — P. 012310.

18. Measuring entangled qutrits and their use for quantum bit commitment / N. K. Langford, R. B. Dalton, M. D. Harvey et al. // Phys. Rev. Lett. — 2004, —Vol. 93, no. 5. — P. 053601.

19. Bell inequalities for arbitrarily high-dimensional systems / D. Collins, N. Gisin, N. Linden et al. // Phys. Rev. Lett. — 2002. — Vol. 88, no. 4. — P. 040404.

20. Experimental realization of entangled qutrits for quantum communication / R. T. Thew, A. Acin, H. Zbinden, N. Gisin // Quant. Inf. Proc. — 2003. Vol. 4, no. 2. - Pp. 093-101.

21. Клышко Д. H. Когерентный распад фотонов в нелинейной среде // Письма в ЖЭТФ. 1967. - Т. 6. - С. 490-492.

22. Клышко Д. Н. Фотоны и нелинейная оптика. — М.: Наука, 1980,— С. 266.

23. Schrodinger Е. Die gegenwartige situation in der quantenmechanik // Naturwissenschaften. — 1935. — Vol. 23, no. 48. — Pp. 807-812.

24. Богданов Ю. И., Кривицкий Л. АКулик С. П. Статистическое восстановление квантовых состояний оптических трехуровневых систем. // Письма в ЖЭТФ. 2003. - Т. 78, № 6. - С. 804-809.

25. Бифотоны как трехуровневые системы, преобразование и измерение / J1. А. Кривицкий, С. П. Кулик, А. Н. Пенин, М. В. Чехова // ЖЭТФ. 2003. - Т. 124, № 4. - С. 943-955.

26. Statistical reconstruction of qutrits / Y. I. Bogdanov, M. V. Chekho-va, L. A. Krivitsky et al. // Phys. Rev. A. — 2004.— Vol. 70, no. 4.— P. 042303.

27. Hybrid quantum repeater using bright coherent light / P. van Loock, T. D. Ladd, K. Sanaka et al. // Phys. Rev. Lett — 2006,— Vol. 96, no. 24.-P. 240501.

28. Multiparticle state tomography: Hidden differences / P. B. A. Adamson, L. K. Shalm, M. W. Mitchell, A. M. Steinberg // Phys. Rev. Lett.— 2007. Vol. 98, no. 4. - P. 043601.

29. Experimental entanglement of four particles / C. A. Sackett, D. Kielpin-ski, В. E. King et al. // Nature. 2000. - Vol. 404, no. 6775. - Pp. 256259.

30. Measurement of qubits / D. F. V. James, P. G. Kwiat, W. J. Munro, A. G. White // Phys. Rev. A. 2001. - Vol. 64, no. 5. - P. 052312.

31. Orthogonality of biphoton polarization states / M. V. Chekhova, L. A. Krivitsky, S. P. Kulik, G. A. Maslennikov // Phys. Rev. A. — 2004. — Vol. 70, no. 5. P. 053801.

32. Бурлаков А. В., Чехова M. В. Поляризационная оптика бифотонов // Письма в ЖЭТФ. 2002. - Т. 75, № 8. - С. 505-512.

33. Tailoring photonic entanglement in high-dimensional hilbert spaces / H. de Riedmatten, I. Marcikic, V. Scarani et al. // Phys. Rev. A.—2004. — Vol. 69, no. 5. P. 050304.

34. Stucki D., Zbinden H., Gisin N. A Fabry-Perot-like two-photon interferometer for high-dimensional time-bin entanglement j j J. Mod. Opt. —2005. Vol. 52, no. 18. - Pp. 2637-2648.

35. Vaziri A., Weihs G., Zeilinger A. Experimental two-photon, three-dimensional entanglement for quantum communication // Phys. Rev. Lett. 2002. - Vol. 89, no. 24. - P. 240401.

36. Concentration of higher dimensional entanglement: Qutrits of photon orbital angular momentum / A. Vaziri, J.-W. Pan, T. Jennewein et al. // Phys. Rev. Lett. 2003. - Vol. 91, no. 22, — P. 227902.

37. Molina-Terriza G., Torres J. P., Tomer L, Management of the angular momentum of light: Preparation of photons in multidimensional vector states of angular momentum // Phys. Rev. Lett. — 2001. — Vol. 88, no. 1. — P. 013601.

38. Generation of entangled states of qudits using twin photons / L. Neves, G. Lima, J. G. Aguirre Gomez et al. // Phys. Bev. Lett. — 2005. — Vol. 94, no. 10. — P. 100501.

39. Pixel entanglement: Experimental realization of optically entangled d — 3 and d = 6 qudits / M. N. O'Sullivan-Hale, I. Ali Khan, R. W. Boyd, J. C. Howell // Phys. Rev. Lett. 2005. - Vol. 94, no. 22. - P. 220501.

40. Anisotropically and high entanglement of biphoton states generated in spontaneous parametric down-conversion / M. V. Fedorov, M. A. Efremov, P. A. Volkov et al. // Phys. Rev. Lett. — 2007. — Vol. 99, no. 6. — P. 063901.

41. Qutrit state engineering with biphotons / Y. I. Bogdanov, M. V. Chekho-va, S. P. Kulik et al. // Phys. R.ev. Lett. — 2004,- Vol. 93, no. 23,— P. 230503.

42. D'Ariano G. M., Mataloni P., Sacchi M. F. Generating qudits with d = 3,4 encoded on two-photon states // Phys. R.ev. A. — 2005.— Vol. 71, no. 6. — P. 062337.

43. Experimental realization of polarization qutrits from nonmaximally entangled states / G. Vallone, E. Pomarico, F. De Martini et al. // Phys. Rev. A. 2007. - Vol. 76, no. 1. - P. 012319.

44. Realization of four-level qudits using biphotons / G. A. Maslennikov, S. P. Kulik, E. V. Moreva, S. S. Straupe // Phys. Rev. Lett. — 2006,— Vol. 97, no. 2. P. 023602.

45. Polarization states of four-dimensional systems based on biphotons / Y. I. Bogdanov, R. F. Galeyev, G. A. Maslennikov, E. V. Moreva // Phys. Rev. A. — 2006. — Vol. 73, no. 6. — P. 063810.

46. Cramer H. Mathematical Methods of Statistics. — Princeton, NJ: Princeton University Press, 1946. — P. 575.

47. Braunstein S. L., Caves С. M. Statistical distance and the geometry of quantum states // Phys. Rev. Lett. — 1994. — Vol. 72, no. 22. — Pp. 34393443.

48. Braunstein S. L., Caves С. M., Milburn G. J. Generalized uncertainty relations: Theory, examples, and Lorentz invariance // Ann. Phys. — 1996,-Vol. 247, no. l.-Pp. 135-173.

49. Fujiwara A., Imai H. Quantum parameter estimation of a generalized Pauli channel // J. Phys. A: Math. Gen. — 2003,- Vol. 36, no. 29,— Pp. 8093-8103.

50. Genoni M. G., Giorda P., Paris M. G. A. Optimal estimation of entanglement // Phys. Rev. A. — 2008. Vol. 78, no. 3. — P. 032303.

51. Vidal G., Werner R. F. Computable measure of entanglement // Phys. Rev. A. 2002. - Vol. 65, no. 3. - P. 032314.

52. Paris M. G. A. Quantum estimation for quantum technology // Int. J. Q. Inf. 2009. - Vol. 7. - Pp. 125-137.

53. Jaeger G., Home M. A., Shimony A. Complementarity of one-particle and two-particle interference // Phys. Rev. A. — 1993. — Vol. 48, no. 2. — Pp. 1023-1027.

54. Клышко Д. H. Поляризация света: эффекты 4-го порядка // ЖЭТФ. 1997. - Т. 111, № 6. - С. 1955.

55. Karassiov V. P. Polarization structure of quantum light fields: a new insight, general outlook // J. Phys. A. — 1993,— Vol. 26, no. 17.— Pp. 4345-4354.

56. Карасев В. П., Кулик С. П. Поляризационные преобразования много-модовых световых полей // ЖЭТФ. 2007. - Т. 131, № 1. - С. 37-53.

57. Twiss R,. Q.f Little A. G., Brown R. H. Correlation between photons, in coherent beams of light, detected by a coincidence counting technique // Nature. 1957. - Vol. 180. - Pp. 324-326.

58. Богданов Ю. И. Основные понятия классической и квантовой статистики: корневой подход // Опт. и спектр. — 2004.— Т. 96, № 5.— С. 735-746.

59. Jozsa R. Fidelity for mixed quantum states //J. Mod. Opt. — 1994. — Vol. 41, no. 12.-Pp. 2315-2323.

60. Kress R. Numerical Analysis. — Springer-Verlag New York, Inc., 1998. — P. 344.

61. Penrose R. A generalized inverse for matrices // Proc. Cambridge Phil. Soc. Vol. 51. - 1955. - Pp. 406-413.

62. Богданов Ю. И. Унифицированный метод статистического восстановления квантовых состояний, основанный на процедуре очищения // ЖЭТФ. 2009. - Т. 135, № 6. - С. 1068-1078.

63. Choice of measurement sets in qubit tomography / M. D. de Burgh, N. K. Langford, A. C. Doherty, A. Gilchrist // Phys. Rev. A.— 2008.— Vol. 78, no. 5. P. 052122.

64. R.ehacek J.} Englert B.-G., Kaszlikowski D. Minimal qubit tomography // Phys. R.ev. A. 2004. - Vol. 70, no. 5. - P. 052321.

65. Experimental polarization state tomography using optimal polarimeters / A. Ling, K. P. Soh, A. Lamas-Linares, C. Kurtsiefer // Phys. R.ev. A.— 2006. Vol. 74, no. 2. - P. 022309.

66. Математическое моделирование характеристик точности в задачах прецизионной квантовой томографии двухфотонных состояний / Ю. И. Богданов, Р. Ф. Галеев, С. П. Кулик, Е. В. Морева // Опт. и спектр. 2007. - Т. 103, № 1. - С. 112-120.

67. Wiesner S. Conjugate coding // SIGACT News.- 1983,- Vol. 15, no. 1,- Pp. 78-88.

68. Shannon С. E. Communication theory of secrecy systems // Bell System Technical Journal. — 1949. Vol. 28, no. 4. — Pp. 656-715.

69. Shor P. W. Algorithms for quantum computation: discrete logarithms and factoring // SFCS '94: Proceedings of the 35th Annual Symposium on Foundations of Computer Science. — Washington, DC, USA: IEEE Computer Society, 1994. — Pp. 124-134.

70. Wootters W. K., Zurek W. H. A single quantum cannot be cloned // Nature. — 1982. — Vol. 299. — Pp. 802-803.

71. Quantum cryptography / N. Gisin, G. Ribordy, W. Tittel, H. Zbinden // Rev. Mod. Phys. — 2002. — Vol. 74, no. 1. — Pp. 145-195.

72. Single-photon interference experiment over 100 km for quantum cryptography system using a balanced gated-mode photon detector / H. Kosaka,

73. A. Tomita, Y. Nambu et al. // Electronics Letters. — 2003. Vol. 39,— P. 1199.

74. Quantum key distribution over 67 km with a plug&play system / D. Stuc-ki, N. Gisin, O. Guinnard et al. // New J. Phys. — 2002. Vol. 4. — P. 41.

75. Narrowband polarization-entangled photon pairs distributed over a WDM link for qubit networks / S. Sauge, M. Swillo, S. Albert-Seifried et al. // Opt. Express.— 2007. —Vol. 15, no. 11. —Pp. 6926-6933.

76. High-fidelity transmission of polarization encoded qubits from an entangled source over 100 km of fiber / H. Hiibel, M. R. Vanner, T. Lederer et al. // Opt. Express. — 2007. — Vol. 15, no. 12, — Pp. 7853-7862.

77. Elliott C., Pearson D., Troxel G. Quantum cryptography in practice // SIGCOMM '03: Proceedings of the 2003 conference on Applications, technologies, architectures, and protocols for computer communications.— New York, NY, USA: ACM, 2003.- Pp. 227-238.

78. The SECOQC quantum key distribution network in Vienna / M. Peev, C. Pacher, R. Alleaume et al. // New J. Phys. — 2009. — Vol. 11, no. 7. — P. 075001.

79. Entanglement-based quantum communication over 144 km / R. Ursin, F. Tiefenbacher, T. Schmitt-Manderbach et al. // Nat. Phys. — 2007.— Vol. 3, no. 7. — Pp. 481-486.

80. High-fidelity transmission of entanglement over a high-loss free-space channel / A. Fedrizzi, R. Ursin, T. Iierbst et al. // Nat. Phys. — 2009. — Vol. 5, no. 6,- Pp. 389-392.

81. Experimental verification of the feasibility of a quantum channel between space and Earth / P. Villoresi, T. Jennewein, F. Tamburini et al. // New J. Phys. 2008. - Vol. 10, no. 3. - P. 033038.

82. Wootters W. K., Fields B. D. Optimal state-determination by mutually unbiased measurements // Ann. of Phys. — 1989. — Vol. 191.—P. 363.

83. Sych D. V., Grishanin B. A., Zadkov V. N. Quantum cryptography with continuous alphabet // Laser Physics. — 2004. — Vol. 14, no. 10. — Pp. 1314-1321.

84. Lucamarini M., Mancini S. Secure deterministic communication without entanglement // Phys. Rev. Lett. — 2005. — Vol. 94, no. 14. — P. 140501.

85. Shaari J. S., Lucamarini M., Wahiddin M. R,. B. Deterministic six states protocol for quantum communication // Phys. Lett. A. — 2006.— Vol. 358. Pp. 85-90.

86. Молотков С. H. Экспериментальная схема квантовой криптографии на неортогональных состояниях с временным сдвигом и минимальным числом оптических компонент // Письма в ЖЭТФ.— 2003.— Т. 78, № 10,- С. 1156-1161.

87. Bennett С. Н. Quantum cryptography using any two nonorthogonal states // Phys. Rev. Lett. — 1992. — Vol. 68, no. 21. —Pp. 3121-3124.

88. Asplund R,., Bjork G., Bourenanne M. An expectation value expansion of hermitian operators in a discrete hilbert space // J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt. — 2001. Vol. 3. — Pp. 163-170.

89. Bourennane M., Karlsson A., Bjork G. Quantum key distribution using multilevel encoding // Phys. Rev. A. — 2001.— Vol. 64, no. 1.— P. 012306.

90. Caruso F., Bechmann-Pasquinucci H., Macchiavello C. Robustness of a quantum key distribution with two and three mutually unbiased bases // Phys. Rev. A. — 2005. — Vol. 72, no. 3,- P. 032340.

91. Buzek V., Hillery M. Universal optimal cloning of arbitrary quantum states: From qubits to quantum registers // Phys. Rev. Lett. — 1998. — Vol. 81, no. 22,- Pp. 5003-5006.

92. Sych D. V., Grishanin B. A., Zadkov V. N. Critical error rate of quantum-key-distribution protocols versus the size and dimensionalityof the quantum alphabet // Phys. Rev. A. — 2004.— Vol. 70, no. 5.— P. 052331.

93. Vaidman L., Yoran N. Methods for reliable teleportation // Phys. R.ev. A. 1999. - Vol. 59, no. 1. - Pp. 116-125.

94. Liitkenhaus N.} Calsamiglia J., Suominen K.-A. Bell measurements for teleportation // Phys. R.ev. A. 1999. - Vol. 59, no. 5. — Pp. 3295-3300.

95. Кулик С. П., Масленников Г. А., Морева Е. В. К вопросу о практической квантовой криптографии на многоуровневых системах // ЖЭТФ. 2006. - Т. 129, № 5. - С. 814-829.

96. Shih Y. Н., Alley С. О. New type of Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm experiment using pairs of light quanta produced by optical parametric down conversion // Phys. Rev. Lett. — 1988. — Vol. 61, no. 26. — Pp. 2921-2924.

97. Manipulating biphotonic qutrits / B. P. Lanyon, T. J. Weinhold, N. K. Langford et al. // Phys. Rev. Lett. — 2008.— Vol. 100, no. 6.— P. 060504.

98. Experimental realization of polarization qutrits from nonmaximally entangled states / G. Vallone, E. Pomarico, F. D. Martini et al. // Phys. Rev. A. — 2007. — Vol. 76, no. 1. — P. 012319.

99. Kim Y.-H., Kulik S. P., Shih Y. Bell-state preparation using pulsed non-degenerate two-photon entanglement // Phys. Rev. A. — 2001. — Vol. 63, no. 6. — P. 060301.

100. Cmpayne С. С., Кулик С. П. К вопросу о приготовлении перепутанных пар поляризационных кубитов в частотно-невырожденном режиме // ЖЭТФ. 2010. - Т. 137, № 2. - С. 211-219.

101. Gisin N., Popescu S. Spin flips and quantum information for antiparallel spins j j Phys. Rev. Lett — 1999, —Vol. 83, no. 2, — Pp. 432-435.1. Благодарности

102. В заключение, пользуясь предоставленной возможностью, мне хотелось бы выразить чувство глубокой признательности своему научному руководителю профессору Сергею Павловичу Кулику за неоценимую помощь в создании диссертации.