Корректность задач тепломассопереноса в неоднородных средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Петрова, Анна Георгиевна

• Петрова, Анна Георгиевна
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Петрова, Анна Георгиевна

Введение

ЧАСТЬ I. КОРРЕКТНОСТЬ МОДЕЛЕЙ С ФАЗОВЫМ ПЕРЕХОДОМ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ

1 Основные сведения о базовых одномерных моделях

1.1 Задача затвердевания бинарной смеси.

1.1.1 Построение модели.

1.1.2 Теорема о существовании решения задачи затвердевания бинарного сплава.

1.2 Об алгоритме численного решения задачи затвердевания бинарного сплава.

1.3 Монотонность свободной границы в двухфазной задаче Стефана

2 Задача Стефана с переохлаждением

2.1 "Переохлажденная"задача Стефана с нулевым потоком на известной границе.

2.2 "Переохлажденная" задача Стефана с условием

1-го рода на известной границе.

3 Модель жидкостной эпитаксии

3.1 Построение модели и постановка задач

3.2 Прямая задача в ограниченной области.

3.3 Прямая задача на полубесконечном интервале.

4 Модель тепломассопереноса в парафинонефтяной смеси

4.1 Постановка задачи.

4.2 Классическое решение одномерной задачи.

4.2.1 Формулировка теоремы.

4.2.2 Формулировка модифицированной задачи.

4.2.3 Формулировка вспомогательной задачи.

4.2.4 Разрешимость вспомогательной задачи и построение оператора.

4.2.5 Разрешимость модифицированной задачи.

4.2.6 Доказательство теоремы 4.2.1.

4.3 Автомодельное решение.

4.3.1 Постановка задачи.

4.3.2 Простейший случай .".

4.3.3 Общий случай

Основные результаты части I

ЧАСТЬ II. ДВИЖЕНИЕ ЭМУЛЬСИИ В ПОЛЕ МИКРОУСКОРЕНИЙ И ТЕРМОКАПИЛЛЯРНЫХ СИЛ

5 Постановка задачи и ее простейшие решения

5.1 Уравнения модели.

5.2 О простейших решениях.

6 Автомодельное решение одномерной задачи

6.1 Постановка автомодельной задачи и решение асимптотической автомодельной задачи

6.1.1 Постановка задачи.

6.1.2 Автомодельное решение асимптотической задачи

6.2 Вспомогательная краевая задача.

6.3 Существование автомодельного решения основной задачи

6.4 Примеры численных расчетов.

7 Корректность начально-краевых задач одномерного движения эмульсии

7.1 Основная начально-краевая задача.

7.1.1 Постановка задачи.

7.1.2 Построение оператора.".

7.1.3 Доказательство локальной разрешимости задачи

7.1.4 Единственность решения

7.2 Другие краевые задачи.

8 Линеаризованная задача Коши для движения эмульсии в пространстве

8.1 Постановка задач.

8.2 Единственности решения задачи Коши для линейной системы 1.

8.3 Существование решения задачи Коши для линейной системы

8.4 Существование и единственность решения задачи Коши для линейной системы 2.

9 Начально-краевая задача движения эмульсии в пространстве

9.1 Постановка задачи.

9.2 Единственность классического решения задачи.

9.3 Построение оператора.

9.4 Разрешимость задачи (9.3.1)-(9.3.7).

9.5 Основной результат

Основные результаты части II

ЧАСТЬ III. ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ СОСТАВОМ МАТЕРИАЛА В ПРОЦЕССАХ С ФАЗОВЫМ ПЕРЕХОДОМ

10 Управление составом растущей пленки

10.1 Постановка задачи.

10.2 Теоремы о разрешимости обратных задач 1 и 2.

10.3 Автомодельные решения обратных задач жидкостной эпи-таксии.

10.3.1 Автомодельное решение задачи 1.

10.3.2 Автомодельное решение задачи 2.

11 Задачи управления составом бинарного сплава 186 11.1 Задача определения начальной концентрации примеси (обратная задача I)

11.1.1 Постановка задачи.

11.1.2 Разрешимость задачи I

11.1.3 Автомодельная обратная задача I

11.2 Задача определения граничного температурного режима (обратная задача II).

11.2.1 Постановка задачи.

11.2.2 О "точном" решении задачи II.

11.2.3 Экстремальная формулировка задачи II.

11.2.4 Автомодельная задача определения граничного температурного режима.

12 Задача управления составом эмульсии в процессе затвердевания

12.1 Модель затвердевания эмульсии.

12.2 Условия разрешимости прямой и обратной задач.

12.3 Специальные решения прямой и обратной задач.

12.3.1 Случай теплового режима в виде бегущей волны

12.3.2 Автомодельное решение.

12.4 Задача управления составом затвердевшей эмульсии посредством выбора температурного режима.

Основные результаты части III

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Корректность задач тепломассопереноса в неоднородных средах»

Общеизвестно, что практически все материалы, встречающиеся в повседневной жизни, как естественные (почвы, камни и биологические ткани), так и полученные в результате некоторого технологического процесса, неоднородны и многокомпонентны и являются смесями твердых, жидких газообразных веществ с различными механическими и физико-химическими свойствами. Соответственно большинство естественных и технологических процессов, таких как движение суспензий и пузырьков в жидкостях, растворения и осаждения, горения топлива, образование кокса, сажи и дыма, поведение зерновой и угольной пыли, движение нефти, эмульсий и аэрозолей описываются моделями динамики неоднородных сред.

Разнообразная природа процессов и явлений затрудняет выработку единого подхода к многофазному моделированию. В настоящее время разработаны и используется большое количество моделей многофазных смесей. Проблеме моделирования динамики неоднородных сред посвящены монографии Р.И. Нигматулина (1987), K.L. Rajogopal и L.Tao (1995), R. S. Subramanian и R. Balasubramanian (2001) и многие другие.

Р.И. Нигматулин в своей монографии пишет, что изучение движения гетерогенный смесей с учетом исходной структуры и физических свойств фаз связано с привлечением новых параметров и решением уравнений более сложных, чем те, с которыми приходится иметь дело механике однородных сред, поэтому необходимы рациональные схематизации, приводящие к обозримым и решаемым уравнениям.

Тем не менее, существующие модели многофазных сред являются весьма сложными не только с теоретической точки зрения, но и в отношении использования для решения конкретных задач. Имеется огромное число прикладных задач для этих моделей. ("International Journal of multiphase flow" и.т.д) Постановка корректных начально -краевых задач для моделей движения гетерогенных сред занимает центральное место в математических исследованиях таких моделей.

Тепломассоперенос в неоднородных средах имеет свои особенности по сравнению с однородными средами, находящие отражение и в математическом описании основных механизмов - диффузионном и конвективном. Процессы с фазовым переходом в неоднородных средах заслуживают особого внимания, что было отмечено В.И. Юдовичем в статье "Одиннадцать великих проблем гидродинамики" [90].

Проблема моделирования фазовых переходов актуальна как для природных, в том числе и биологических и экологических, так и для технологических процессов, таких, как выращивание кристаллов, наращивание пленок, расчет течения парафинированной нефти и осаждения парафинов на стенках нефтепроводов. Базовой моделью здесь является задача Стефана. Под задачей Стефана, возникновение которой относится к 1889, когда появились работы И. Стефана о фазовых превращениях, "в широком смысле понимают сейчас класс математических моделей, описывающих тепловые, диффузионные, и даже термодиффузионные процессы, сопровождающиеся фазовыми превращениями среды и поглощением или выделением скрытой теплоты "([21]). Наиболее характерной особенностью таких процессов, из-за которой соответствующие математические модели нелинейны, является наличие неизвестной заранее поверхности раздела фаз или целой многофазной области.

Построению и исследованию моделей фазовых переходов в неоднородных средах, как неподвижных, так и учитывающих движение, посвящено огромное количество работ, из которых отметим [13, 23, 32, 41, 102, 104-106, 109, 120, 121].

Из возможных гетерогенных смесей дисперсные смеси, к которым относятся эмульсии, наиболее подробно изучены благодаря своей сравнительно регулярной структуре; при этом существует множество моделей их поведения, приводящих к разным классам нелинейных задач.

Термокапиллярное движение является одной из наиболее важных форм движения капель и пузырьков в слабых силовых полях. Модель термокапиллярного движения эмульсии как двухфазного континуума под действием микроускорений и термокапиллярных сил была предложенная В.В. Пухначевым и О.В. Воиновым в 1995 году ([132, 133]). В отличие от обычной гидродинамики двухфазных сред, такое движение характеризуется отсутствием межфазного взаимодействия при относительном движении фаз.

Изучение двухфазного коитинуума такого рода началось в 1980 г., когда была предложена модель термокапиллярного движения газожидкостной смеси [15]. Авторы модели газожидкостной смеси пренебрегали массой, теплопроводностью и теплоемкостью газа. Одномерное движение и вопросы устойчивости простейших решений для газожидкостной смеси изучались в [15, 36]. Картина поведения среды становится значительно богаче в случае эмульсии. Модель термокапиллярного движения эмульсии была сформулирована в [132, 133] и уточнена в [16].

Своеобразие модели термокапиллярного движения эмульсии заключено в виде замыкающего уравнения системы, выражающего относительную скорость движения дисперсной фазы в виде суммы двух слагаемых - скорости, вызванной термокапиллярным эффектом и пропорциональной градиенту температуры, и скорости, вызванной микрогравитацией. Это уравнение является суперпозицией формулы Адамара-Рыбчинского для относительной скорости движения капли в гравитационном поле и формулы Янга-Голыптейна-Блока [146] движения капли в неоднородном температурном поле. Следствием замыкающего уравнения является тот факт, что система нелинейных управляющих уравнений не имеет определенного типа, при этом "параболические"уравнения сохранения энергии и импульса и "гиперболические"уравнения, являющиеся следствиями закона сохранения массы, связаны в главных членах. Это затрудняет использование известных результатов по исследованию моделей движения гетерогенных сред, например, теорем А.И. Вольперта и С.И. Худяева [17] и существенно усложняет постановку корректных начально-краевых задач, причем, не только в многомерном, но и в одномерном случае движения эмульсии с плоскими волнами.

Особый интерес в последнее время привлекают к себе обратные задачи и задачи управления процессами тепломассопереноса. Отметим, что A.A. Самарский и П.Н.Вабищевич в книге [76] среди важнейших классов прикладных задач выделили именно эти задачи. Разнообразные обратные задачи теплопроводности, в том числе и с фазовыми переходами рассматривались, в частности, в книгах [5, 18, 37, 76] и статьях [3, 4, 19, 93, 145, 147].

Обратным задачам затвердевания бинарного сплава посвящено значительное число публикаций как в математических, так и в физико-технических журналах [83, 84, 115, 116, 147]. К этому классу относится целый ряд разнообразных проблем, наиболее популярные из которых - это задачи управления формой фронта затвердевания и скоростью его продвижения [115, 116, 147] при помощи различных параметров. Заметим, что постановка и решение задачи, которую можно назвать простейшей обратной задачей Стефана, принадлежит самому И.Стефану [140].

Метод зонной плавки, предложенный У. Пфанном в 1952 году [74] для получения германия высокой степени чистоты в специальном контейнере, широко применяется для очистки сплава от примесей. Эффективность этого метода в первую очередь зависит от коэффициента распределения примеси, определяемого фазовой диаграммой двухкомпонентного вещества.

Исследование задачи управления составом вещества, получаемого в процессе затвердевания обеспечивает теоретическую основу применения подобных методов и позволяет выбрать режимы управления с необходимой точностью. Аналогичная задача для термокапиллярного движения эмульсии дает теоретические предпосылки получения в условиях орбитальных станций композитных материалов, характеризующихся значительным отличием плотности компонент. С этой задачей связана также проблема очистки смесей от газовых и жидких включений. Поскольку лабораторные эксперименты со смесями, плотности которых существенно различаются, весьма ограничены, возрастает роль аналитического и численного исследования задач движения эмульсии.

Проблема управления составом вещества при помощи температурного режима в ряде случаев сводится к задаче граничного управления в виде нехарактеристической задачи Коши. Теоретическому и численному исследованию задач граничного управления для параболических уравнений посвящена обширная литература (например: [3, 4, 5,115-118, 139]), и сведение задачи управления составом материала к изученному типу задач позволяет использовать разработанные в литературе методы решения.

В первой работе, посвященной задаче Стефана - статье Г. Ламе и Б.П. Клайперона (1831) было установлено, что толщина твердой фазы пропорциональна корню квадратному от времени, последующие в 1889 г. работы И. Стефана также были посвящены автомодельным постановкам, как с автомодельностыо вида х/у/1, так и типа "бегущая волна". Автомодельное решение задачи затвердевания бинарного сплава можно найти в работах [2, 32].

Автомодельные решения имеют ясный физический смысл, они являются аттракторами для других решений и применяются при тестировании численных алгоритмов. Кроме того, нахождение точных решений в задачах темломассопереноса в неоднородных средах является интересной и нетривиальной задачей теории нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Исследуемые в диссертации модели нелинейны и представляют собой сложные системы дифференциальных уравнений в частных производных. В случае моделирования фазовых переходов в неподвижных средах это параболические системы со свободной границей для которых при исследовании корректности начально-краевых задач существенно используются результаты о разрешимости начально-краевых задач для параболических систем общего вида (отметим в этой связи работы [10, 81, 89]) и необходима проверка условия дополнительности Лопатинского.

В модели термокапиллярного движения эмульсии система нелинейных управляющих уравнений не имеет определенного типа, при этом "параболическое" уравнение сохранения энергии и импульса и "гиперболические" уравнения, являющиеся следствиями закона сохранения массы, связаны в главных членах, что существенно усложняет постановку корректных начально-краевых задач и затрудняет использование известных результатов по исследованию моделей движения гетерогенных сред.

Найденные и исследованные в диссертации автомодельные решения имеют ясный физический смысл, они являются аттракторами для других решений и применяются при тестировании численных алгоритмов.

Целями диссертационной работы являются: исследование корректности неклассических одномерных задач со свободными границами, возникающих при моделировании фазовых переходов в неоднородных средах; постановка начально-краевых задач для модели движения эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил и доказательство их классической разрешимости; построение и исследование корректности модели затвердевания эмульсии; постановка и исследование задач управления составом материала в процессах с фазовым переходом.

Методы исследования. Используются методы функционального анализа и дифференциальных уравнений в частных производных, в частности априорные оценки, теоремы вложения, теоремы о неподвижных точках, преобразование Фурье, а также методы теории оптимального управления.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются оригинальными как в теоретическом, так и в прикладном аспектах.

Исследованы вопросы разрешимости на произвольном интервале времени для задачи Стефана с переохлаждением и условием 1-го рода на известной границе и задачи жидкостной эпитаксии из тройного раствора. Впервые доказано существование классического решения в малом по времени для задачи со свободной границей для системы уравнений, описывающей перенос примеси в парафинированной нефти и для задачи управления составом пленки в процессе ее роста из тройного раствора. Построены автомодельные решения этих задач. Впервые проведено исследование корректности начально-краевых задач для системы уравнений, описывающей движение эмульсии в поле термокапиллярных сил и микрогравитации. Впервые сформулированы задачи управления составом эмульсии в процессе затвердевания; для задачи граничного управления составом бинарной смеси при затвердевании предложен способ редукции к серии хорошо изученных задач.

Теоретическая и практическая значимость результатов. Теоретическая и практическая ценность работы заключается в том, что: исследованы вопросы разрешимости на произвольном интервале времени задачи жидкостной эпитаксии из тройного раствора; доказано существование классического решения в малом по времени для моделей переноса примеси в парафинированной нефти; предложены постановки начально-краевых задач для модели движения эмульсии под действием термокапиллярных сил и микрогравитации и найдены классы их корректности; сформулированы задачи управления составом материала в процессе фазового перехода (рост пленки, затвердевание бинарной смеси и затвердевание эмульсии) и исследована их разрешимость как в точной, так и в вариационной постановках; для всех рассмотренных задач построен ряд новых точных решений, имеющих физическую интерпретацию.

Апробация работы. Результаты диссертации были доложены на следующих международных и Всероссийских конференциях:

V-th International Conference on numerical Analysis of Semiconductor Devices and Integrated Cicuits (Dublin, 1987);

- Vil Всесоюзной школе по качественной теории дифференциальных уравнений (Барнаул, 1989);

- международной конференции "Лаврентьевские чтения" (Новосибирск, 1990, 2005, 2010);

- Сибирском конгрессе "ИНПРИМ-98" (Новосибирск, 1998);

- международной конференции "Nonlinear Partial Differential Equations"(Lviv, 1999);

- Всероссийской конференции с участием зарубежных ученых "Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения" (Бийск, 2002, 2005, 2008);

- международной конференции "Обратные и некорректные задачи математической физики" (Новосибирск, 2007);

- International Conference on 21st Century Mathematics (Lahore -Pakistan, 2007);

- международной конференции "Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений"(Новосибирск, 2008);

- Всероссийской конференции "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение" (Новосибирск, 2009);

- Всероссийской конференции "Успехи механики сплошных сред", (Владивосток, 2009);

- международной конференции "IV International Topical Team Workshop on two-phase systems for ground and space applications" (Новосибирск, 2009); а также на следующих научных семинарах:

-семинаре Института математики "Uliss Dini" университета Флоренции (1991, 2001);

-семинаре Института математики Римского университета (2003); -семинарах Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (Новосибирск) под руководством чл.-корр. РАН профессора В.В. Пухначева (неоднократно);

- семинаре Института математики СО РАН (Новосибирск) под руководством чл.-корр. РАН профессора В.Г. Романова (2010);

- семинаре Института математики СО РАН (Новосибирск) под руководством профессора B.C. Белоносова и д.ф.-м.н. М.В. Фокина (2010);

- семинаре Университета Восточной Англии (Норидж) 2010;

- городском семинаре "Задачи индустриальной и прикладной математики" (Барнаул) 2009, 2010;

- семинарах кафедры дифференциальных уравнений Алтайского государственного университета, (Барнаул).

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трех частей, разделенных на 12 глав и списка литературы. Текст изложен на 240 страницах, включая рисунки. В списке литературы содержится 147 наименований.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Петрова, Анна Георгиевна

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ЧАСТИ III

1. Сформулирована и исследована задача управления посредством выбора температурного режима составом пленки, выращиваемой методом жидкостной эпитаксии из тройного раствора.

2. Сформулированы и исследованы обратные задачи управления составом бинарного сплава в процессе фазового перехода посредством выбора начальной концентрации примеси или выбора граничного температурного режима в 11 точной"и вариационной постановках. Предложен способ сведения задачи управления составом бинарной смеси посредством выбора граничного температурного режима в процессе затвердевания к последовательному решению трех известных задач.

3. Предложена модель затвердевания эмульсии, движущейся под действием микрогравитации и термокапиллярных сил, исследована одномерная задач затвердевания, сформулированы и исследованы обратные задачи управления составом эмульсии в процессе затвердевания посредством выбора начальной концентрации дисперсных включений или выбора граничного температурного режима.

4. Построены автомодельные решения всех рассмотренных задач.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Петрова, Анна Георгиевна, 2010 год

1. Абрашин В.Н., Якубеня А.Н. Экономичные схемы с явным выделением фронта для многомерных задач со свободными границами// Дифференциальные уравнения. - 1990. Т.26. № 6. - С. 1055-1066.

2. Авдонин H.A. Математическое описание процессов кристаллизации. -Рига, 1980. 180 с.

3. Алексеев Г.В. Разрешимость стационарных задач граничного управления для уравнений тепловой конвекции// Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39. № 5,- С. 982-998.

4. Алексеев Г.В. Разрешимость обратных экстремальных задач для стационарных уравнений тепломассопереноса// Сиб. мат. журн.- 2001. Т. 42. № 5. С,- 971-991.

5. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев C.B. Экстремальные методы некорректных задач и их приложения к обратным задачам теплообмена М., 1988 - 288 с.

6. Антановский Л.К., Копбосынов Б.К. Нестационарный дрейф капли в вязкой жидкости// Прикладная механика и техническая физика.-1986. Т. 27. № 2,- С. 59-64.

7. Антонцев С.Н., Каэюихов A.B., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей.- Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, 1983. 319 с.

8. Вадратинова Л.Г., Кузнецов В.В., Петрова А.Г., Пухначев В.В. О задачах со свободными границами, моделирующих процесс жидкофаз-ной эпитаксии из тройных растворов// Динамика сплошной среды.-Новосибирск, 1986. Вып. 78,- С. 137-141.

9. Белопосов В.С. Оценки решений параболических систем в весовых классах Гёльдера и некоторые их приложения//Математический сборник. 1979. Т. 110(1.52), №2(10)- С. 163-188.

10. Брату хин Ю.К. Термокапиллярный дрейф вязкой капли// Изв. Акад. наук СССР, Механика жидкости и газа 1975. № 5 - С. 156-161.

11. Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач со свободной границей М. Изд-во МГУ. 1987 - 164 с.

12. Васильев В.И., Максимов А.М., Петров Е.Е., Цыпкин Г.Г. Тепломас-соперенос в промерзающих и протаивающих грунтах М., 1997.224 с.

13. Воеводин А.Ф., Шугрин С.М. Методы решений одномерных эволюционных систем Новосибирск, 1993. - 365 с.

14. Воинов О.В., Пухначев В.В. Термокапиллярное движение в газожидкостной смеси// Прикладная механика и техническая физика.- 1980. Т. 21. № 5.- С. 38-45.

15. Воинов О.В., Пухначев В.В. Модель термокапиллярного движения эмульсии// Доклады Академии наук 2005. Т. 402. № 2. - С. 270-273.

16. Вольперт А.И., Худяев А.И. О задаче Коши для составных систем нелинейных дифференциальных уравнений// Мат. сб.- 1972. Т. 87. Ш. С. 27-37.

17. Гольдман П. Л. Обратные задачи Стефана. Теория и методы решения.-М., 1999 294 с.

18. Гольдман П.Л. Классическое и обобщенное решение двухфазной граничной обратной задачи Стефана// Вычислительные методы и программирование 2002. Т.З. № 1- С. 133-143.

19. Гурков Ю.В., Петрова А.Г. Численное решение задачи Стефана с непостоянной температурой фазового перехода// Прикладная механика и техническая физика 1996. Т. 37. № 4 - С. 105-112.

20. Данилюк И.И. О задаче Стефана. Успехи математических наук.- 1985. Т.40. Вып.5(245)-С. 133-185.

21. Н. Данфорд и Дж. Т. Шварц. Линейные операторы. Общая теория.-М., 1962.- 455 с.

22. Еникеева Э.Х. О кристаллизации бинарного сплава, образующего твердый раствор // Латвийский математический ежегодник.- Рига. 1968. Т. 4. № 21.

23. Журавлева E.H. Локальная разрешимость сферически симметричной термодиффузионной задачи// Известия АлтГУ.- Барнаул, 2000. № 1 (15).- С. 7-11.

24. Журавлева E.H. Численное решение задач плавления и кристаллизации бинарного сплава// Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1998. Вып. 113.- С. 70-73.

25. Журавлева E.H., Петрова, А.Г. Асимптотическая модель управления составом материала, получаемого в результате затвердевания эмульсии// Известия АлтГУ- Барнаул, 2001. № 1(19).- С. 16-19.

26. Журавлева E.H., Петрова, А.Г. Аналитическое и численное исследование задач затвердевания эмульсии// Тезисы докладов международной конференции ИМПРИМ-98 Новосибирск - С. 15.

27. Журавлева E.H., Петрова, А.Г. Сферически симметричная задача затвердевания эмульсии// Материалы докладов международной конференции "Математические модели и методы их исследования".- Красноярск, 1999.

28. Журавлева E.H., Петрова, А.Г. Асимптотические методы в задачах затвердевания бинарного сплава// Материалы 3 краевой конференции по математике Барнаул, 2000.- С. 20-21.

29. Зальцман Б.В., Петрова А.Г. Задача управления составом материала, получаемого методом жидкостной эпитаксии в условиях невесомо-сти//Космическая наука и техника Киев, 1990. Вып. 4.- С. 57-60.

30. Ивапцов Г.П. "Диффузионное" переохлаждение при кристаллизации бинарного сплава// Докл. АН СССР.- 1951. Т. 81. №2,- С. 179-182.

31. Кабанихин С.И., Хасанов А., Пененко A.B. Метод градиентного спуска для решения обратной коэффициентной задачи теплопроводности// Сибирский журнал вычислительной математики 2008:11(1).-С. 41-54.

32. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи- Новосибирск, 2009 460 с.

33. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям М., 1976. - 576 с.

34. Копбосынов В.К. Одномерное термокапиллярное движение в газожидкостной смеси// Динамика сплошной среды.- Новосибирск, 1986. Вып. 74.- С. 25-37.

35. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М. 1980.- 280 с.

36. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости М. 1970 - 288 с.

37. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа М., 1967 - 736 с.

38. Ладыженская O.A., Солонников В.А. Об однозначной разрешимости начально-краевой задачи для вязких несжимаемых неоднородных жидкостей// Записки научного семинара ЛОМИ АН СССР.- 1975. Т.52 С. 52-109.

39. Любое Б.Я. Теория кристаллизации в больших объемах.-'М. 1975.256 с.

40. Мейрманов A.M. Задача Стефана- Новосибирск 1986- 240 с.

41. Миронова O.A., Петрова А.Г. Исследование устойчивости равновесия однородной эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил// Известия АлтГУ Барнаул, 2005. № 1(45).- С. 15-19.

42. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред М. 1987. 4.1 - 464 с. 4.2 - 360 с.

43. Овсянников JI.B. Лекции по основам газовой динамики М. 1981. - 368 с.

44. Папин A.A. Разрешимость "в малом"по времени уравнений одномерного движения двух взаимопроникающих вязких несжимаемых жидкостей// Динамика сплошной среды Новосибирск, 2000. Выи. 116. С,- 64-70.

45. Папин A.A. Об единственности решений одной задачи для уравнений движения двухфазной смеси// Известия АлтГУ.- Барнаул, 2005. № 1(45).- С. 20-24.

46. Папин A.A. Разрешимость модельной задачи тепломассопереноса в тающем снеге// Прикладная механика и техническая физика 2008. Т. 49. № 4. С.- 13-23.

47. Петрова А.Г. Локальная разрешимость термодиффузионной задачи Стефана/ / Динамика сплошной среды Новосибирск, 1982. Вып. 58-С. 156-163.

48. Петрова А.Г. Монотонность свободной границы в двухфазной задаче Стефана// Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1984. Вып. 67.-С. 97-99.

49. Петрова А.Г. Термодиффузионная задача с малой начальной концентрацией примеси //Деп. ВИНИТИ 24.04.85. N2753-85 деп.

50. Петрова А.Г. О задаче со свободной границей с "неправиль-ным"знаком в условии Стефана// Динамика сплошной среды Новосибирск, 1990. Вып. 95,- С. 94-101.

51. Петрова А.Г. Задача непротекания для одномерного движения эмульсии// СибЖим 2007. Т. X, 3(31).- С. 128-137.

52. Петрова А.Г. Автомодельное решение одномерной задачи термокапиллярного движения эмульсии// ПМТФ 2007. Т.48, № 5. С. - 61-70.

53. Петрова А.Г. О начально-краевой задаче для одномерного движения эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил// СибЖим.- 2009. Т. XII, 2(38).- С. 111-119.

54. Петрова А.Г. Математические модели фазовых переходов в гетерогенных средах.- Барнаул: изд-во АлтГУ, 2009,- 160 С.

55. Петрова А.Г. Обратная задача затвердевания бинарной смеси// Известия АлтГУ,- 2009, Вып. 1(61).- с.40-45.

56. Петрова А.Г. О математической модели жидкостной эпитаксии из тройного раствора// Известия АлтГУ.- 2010. Вып. 1(65).- С.56-61.

57. Петрова А.Г. О задаче Коши движения эмульсии в пространстве под действием микроускорений и термокапиллярных сил// Известия АлтГУ,- 2010. Вып. 1/2(65).- С.52-62.

58. Петрова А.Г. Одномерное движение эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил// Международная конференция "Лаврен-тьевские чтения по математике, механике и физике",- Новосибирск, 27-31 мая 2005 г. Тезисы докладов,- С. 161-162.

59. Петрова А.Г. О корректности начально-краевых задач одномерного движения эмульсии// Всероссийская конференция "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение".-Новосибирск, 23-28 апреля 2009. Тезисы докладов С. 113.

60. Петрова А.Г. Задача управления составом материала в процессе затвердевания бинарной смеси// Всероссийская конференция "Успехимеханики сплошных сред".- Владивосток, 29 сентября 5 октября 2009. Тезисы докладов - С. 136.

61. Петрова А.Г. О корректности задач движения эмульсии в пространстве под действием термокапиллярных сил и микроускорений. Международная конференция "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике".- Новосибирск, 2010. Тезисы докладов.- С. 145.

62. Петрова А.Г., Потапенко М.А. Корректность математической модели тепломассопереноса в парафинонефтяной смеси// Материалы Седьмой региональной конференции по математике МАК 2004 Барнаул. С.- 27.

63. Петрова А.Г., Пухначев В.В. Одномерное движение эмульсии с затвердеванием// Прикладная механика и техническая физика 1999. Т. 40. № 3. С,- 128-136.

64. Петровский И.Г. О проблеме Коши для систем линейных уравнений с частными производными в области неаналитических функций // Бюлл. МГУ (А).- 1938. 1. Вып. 7.- С. 1-72.

65. Плотников П.П., Старовойтов В.П. Задача Стефана с поверхностным натяжением как предел модели фазового поля // Дифференциальные уравнения.- 1993. Т. 23. № 3 С. 461-471.

66. Пухначев В. В. О задаче Стефана, возникающей в одной модели электрического взрыва проводников// Дифференциальные уравнения с частными производными. Труды семинара СЛ. Соболева, изд. Института математики СО АН СССР.- Новосибирск. 1976. № 2 С. 69-82.

67. Пухначев В. В. Возникновение особенности в решении задачи стефа-новского типа// Дифференциальные уравнения.- 1980. Т.ХУ1. № 3. -С. 492-500.

68. Пухначев В. В. Две обратные задачи механики сплошной среды // Некорректные задачи математической физики и анализа.- Новосибирск, 1984,- С 113-118.

69. Пфанн В. Зонная плавка М. 1960 - 272 с.

70. Рубинштейн Л.И. Проблема Стефана Рига, 1967,- 457 с.

71. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача.-М. 2003.- 784 с.

72. Самарский А.А., Моисеенко Б.Д. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана// Журнал вычислительной математики и математической физики 1965. № 5. С.- 816-827.

73. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1.- М. 1970 492 с.

74. Соболев С. Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций М. 1989 - 270 с.

75. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике.- Новосибирск, 1988.- 333 с.

76. Солонников В.А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида// Труды МИАН СССР- 1965. Т. 83,- С. 3-162.

77. Солонников В.А. О дифференциальных свойствах решений первой краевой задачи для нестационарной системы уравнений Навье-Стокса// Тр. МИАН СССР.- 1964. Т. 73.- С. 221-291.

78. Тагиров В.И., Дэюафаров Т.Г., Гахраманов Э.Н. Управление составом бинарных твердых растворов при вытягивании монокристаллов из усеченного конусообразного тигля с применением подпитки// Прикладная физика 2006. Вып. 2- С. 86-90.

79. Тагиров В.И., Гахраманов Н. Ф., Ибрагимова А.Р. Получение монокристаллов бинарных твердых растворов со ступенчатым распределением состава и примеси// Прикладная физика.- 2006. Вып. 2,- С. 91-95.

80. Треногин В.А. Функциональный анализ М. 1980 - 494 с.

81. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа М. 1968 - 427 с.

82. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения- М. 1970.- 270 с.

83. Эдварде Э. Функциональный анализ М., 1969.- 1071 с.

84. С. Д. Эйдельман, С. Д. Ивасишен Исследование матрицы Грина однородной параболической граничной задачи// Труды Моск. матем. об-ва, 1970. Т. 23.-С. 179-234.

85. Юдович В.И. Одиннадцать великих проблем математической гидродинамики// Вестник молодых ученых. Серия: Прикладная математика и механика 2'2003.- С. 3-18.

86. Acrivos A., Jeffrey D.J., Saville D.A. Particle migration in suspensions by thermocapillary or electrophoretic motion// J. Fluid Mech.- 1990. V. 212.- P. 95-110.

87. Badratinova L.G., Kuznetsov V. V.,Petrova A.G., Pukhnachov. Direct and inverse problem of liquid phase epitaxy// Proceedings of the V-th Int. Conf.on the Numerical Analysis of Semiconductor Devices and Integrated Circuits.- Dublin. 1987,- P. 136-141.

88. Belov Yu. Ya. Inverse problems for parabolic equations // Journal of Inverse and Ill-posed Problems.- 1993. V.l, Is.4P. 283-305.

89. Bonnerot R., Jamet P. Numerical computation of the free boundary for the two-dimensional Stefan problem by spacetime finite elements// J.Comp.Physics.- 1977. V. 25.- P. 163-181.

90. Cannon J.R. The one-dimensional heat equation Cambridge University Press, NY, 1984,- 483 p.

91. Cannon J.R., Fasano A. Boundary value multidimensional problems in fast chemical reactions// Arch.Rational Mech. Anal- 1973. V. 53 P. 1-3.

92. Cannon J.R., Hill C.D. On the movement of a classical reaction interface// Indiana Math. J 1970. V.20. - P. 429-454.

93. Dewynne J.N., Howison S.D., Ockendon J.R., Weiqing Xie. Asymptotic behavior of solutions to the Stefan problem with a kinetic condition at the free boundary// J.Austral.Math.Soc.Ser.B- 1989. V. 31. LI P. 81-96.

94. Elliot C.M., Ockendon J.R. Weak and variational methods for moving boundary problems Pitman, London, 1982 - 213 p.

95. Fasano A., Primicerio M. General free-boundary problems for the heat equation// J. Math. Anal. Appl. 1977. V. 57.- P. 694-723.

96. Fasano A., Primicerio M. New results on some classical parabolic free-boundary problems// Quart. Appl. Math 1981. V. 38 - P. 439-460.

97. Fasano A., Primicerio M. Heat and mass transport in non-isothermal partially saturated oil-wax solution// New Trends In Mathematical Physics. Proceedings of International Meeting Naples, Italy, 2003 - P. 34-44.

98. Fasano A., Primicerio M. Classical solution of general two-phase parabolic free boundary problem in one dimension// In: Fasano A., Primicerio M.(Eds.) Research Notes in Mathematics. V. 79/IL- Pitman, Boston 1983,- P. 644-657.

99. Fasano A., Primicerio M. Temperature driven mass transport in concentrated saturated solution// Prog. Nonlinear Differ.Equ. Appl. -2005. V. 61- P. 91-108.

100. Fasano A., Fusi L, Correrá S. Mathematical models for waxy crude oils// Meccanica.- 2004. V. 39. № 5.- P. 441-482.

101. Fasano A., Fusi L, Ockendon J.R., Primicerio M. Gelification and mass transport in a static non-isothermal waxy solution// Euro. Journal of Applied Mathematics 2009. V. 20. 1.01 - P. 93-122.

102. Friedman A. Analiticity of the free boundary for the Stefan problem //Arch. Rat. Mech. Anal.- 1976. V. 61. P. 97-125.

103. Frolovskaya O., Nir A., Lavrenteva O.M. Stationary regimes of axisymmetric thermal wake interaction of two buoyant drops at low Reynolds and high Peclet number// Physics of Fluids.- 2006. V. 18. 073103.

104. Fusi L. Oil the stationary flow of waxy crude oil in a loop// Nonlinear Analysis.- 2003. V. 53. № 3-4,- P.507-526.

105. Gianni R., Petrova A.G. One-dimensional problem for heat and mass transport in oil- wax solution// Rend. Mat. Acc. Lincei 2005. S. 9. V. 16.-P. 181-196.

106. Golovin A.A., Nir A., Pismen L.M. Spontaneous motion of two droplets caused by mass transfer// Ind. Eng. Chem. Res., 1995. V. 34. P. 3278-3288.

107. Goz, M. Existence and Unique ness of Time-dependent Spatially periodic Solutions of Fluidized Bed Equation// ZAMM.- 1991. V. 71. № 6.- P. 750-751.

108. Gronwall N.N. Note on the derivatives with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations // Ann. Math.- 1919. V. 20.- P. 292-296.

109. Gunsburger M.D., Hou L., Svobodny T.P. The apptoximation of boundary control problems for fluid flows with an application to control by heating and cooling// Comput. Fluids.- 1993. V. 22. I. 2-3.- P. 239-251.

110. Gunsburger M.D, Lee E.G. Analysis, approximation and computation of a coupled solid/fluid temperature control problem // Сотр. Methods Appl. Mech. Engr.- 1994. V. 118. I. 1-2.- P. 133-152.

111. Hao D.N. A non-characteristic Cauchy problem for linear parabolic equations ¡.'Solvability// Math.Nachr.- 1995. V. 171. 1.1.- P. 171-206.

112. Hao D.H., Reinhardt, H.-J. A Generalization of Beck's Method for Inverse Heat Conduction Problems// Abstract and Applied Analysis. Proceedings of International Conference. World Scientific 2004 - P. 287- -305.

113. Holmgren E. Sur l'extension de la methode d'intégration de Riemann // Arhiv for Math.Band. 1904. V. 1.- P. 315-326.

114. Kaliev I.A., Kazhikhov A.V. Well-posedness of gas solid transition problem// Journal of Mathematical Fluid Mechanics - 1999. V. 1. № 3-P. 282-308.

115. Meirmanov A.M. The Stefan problem with surface tension in the three dimensional case with spherical symmetry: nonexistence of the classical solution// Euro. Jnl.Appl.Math 1994. V. 5.- P. 1-19.

116. Meyer G.H. On computing free boundaries which are not level sets// In: Free Boundary problems: Theory Applications. V. 1. Pitman Reasearch Notes in Mathematics 185 1990.

117. Papin A.A., Akhmerova I.G. Solvability of the System of Equations of One-Dimensional Motion of a Heat-Conducting Two-Phase Mixture// Mathevftical Notes.- 2010. Vol. 87, No 2.-P. 262-266.

118. Petrova A.G. On the Stefan problems for the systems of equations, arising in the modeling of liquid phase proc// Ser. Of Num. Math.- Basel, 1992. V. 106,- P. 253-262.

119. Petrova A.G. On the problem of control the composition of material in the binary alloy solidification process// Journal of Inverse and Ill-posed Problems.- 2010. V.18, Is.3.- P.307-320.

120. Petrova A.G. One-Dimensional Motion of Emulsion Under the Action of Microgravity and Thermocapillary Forces// Abstracts of 3rd International Conference on 21st Century Mathematics- March 2007, Lahore, Pakistan.- P. 10.

121. Petrova A.G., Tarzia D.A., Turner C.V. The one phase supercooled Stefan problem with temperature boundary condition// Advances in Math. Sciences and Applications - 1994. V. 4. № 1. P. 35-50.

122. Petrova A.G., Pukhnaehev V.V., Zhuravleva E,N. Solidification of emulsion moving under the action of thermocapillary forces and microgravity// Nonlinear Boundary Value Problems- Donetsk, 2000. 1.10.- P. 142-150.

123. Petrova A.G., Pukhnaehev V. V Thermocapillary motion in an emulsion// IV International Topical Team Workshop on Two-Phase Systems for

124. Ground and Space Applications Novosibirsk, 2009. Book of abstracts — P. 93.

125. Petrova A.G., Pukhnachev V. V. Thermocapillary motion in an emulsion// Microgravity science and technology- 2009. V.21 S.l. P.227- 232.

126. Primicerio M. Qualitative properties of some one-dimensional p arabolic free boundary problem// Free Boundary Problems. Proc. Sem. (Pavia), I-st. Naz. Alta Mat Roma, 1980. V. 1- P. 451-480.

127. Pukhnachov V. V., Voinov O. V. Mathematical model of motion of emulsion under effect of thermocapillary forces and microacceleration// Abstracts of Ninth European Symposium on Gravity Dependent Phenomena in Physical Sciences Berlin, 1995 - P. 32-33.

128. Pukhnachov V.V., Voinov O.V. Thermocapillary motion in an emulsion// In: Proceedings of the Third Conference on Fluid Physics in Microgravity-Cleveland, Ohio, 1996,- P. 347-342.

129. Rajogopal K.L., Tao L. Mechanics of mixtures- L. World Scientific Publishing. 1995.- 195 p.

130. Subramanian R.S., Balasubramaniam R. The Motion of Bubbles and Drops in Reduced Gravity.- Cambrige University Press, Cambrige, 2001.

131. Shauder J. Der Fixpunktsatz in Funktionairaumen// Studia Math 1930. V. 2,- P. 171-180.

132. Sherman A. General one-phase Stefan problems and free boundary problem for the heat equation with Cauchy data prescribed on the free boundary// SIAM J. Appl. Math 1971. V. 20.- P. 319-327.

133. Seidmdn T.I. Two Rezults on Exact Boundary Control of Parabolic Equations.//Appl. Math. Optim.- 1984. 11. P. 145-152.

134. Stefan J. Uber die Thjerie der Eisbildung insbesondere über die Eisbildung in Polarmeere// S.B. Wein Akad. Math. Natur.- 1889. Bd.89 S.965-983.

135. Tao L.N. The analyticity of solution of the Stefan problem// Arch. Rat. Mech.and Anal.- 1986. V.72.- P. 285-301.

136. Tarzia D.A. Sobre el problema de Stefan unidimensional a una fase corespondiente al liquido sobreenfriado// Encuentro 1982 de Ecuaciones Diferenciales, J.E. Boillet (Ed.), Trabajos de Matematica № 53 IAM -CONICET, Buenos Aires, 1983.- P. 71-100.

137. Valli A. Periodic and stationary solutions for compressible Navier-Stoekes equations via a stability method// Ann. Scuola Norm. Sup Pisa. 1983. V. 10. № 4 - P. 607-747.

138. Visintin A.A. new model for supercooling and superheating effects// IMA J. Appl. Math.- 1986. V. 36. P.- 141-157.

139. Yang G.Z., Zabaras N. The adjoint Method for an Inverse Design Problem in the Directional Solidification of Binary Alloys// Journal of Computational Physics.- 1998. V. 140 P. 432-452.

140. Young N. O., Goldstein J.S., Block M. J. The motion of bubbles in a vertical temperature gradient// J. Fluid Mech 1959. V. 6,- P. 350-356.

141. Zabaras N., Rúan Y., Richmond O. On the design of two-dimensional Stefan process with desired freezing front motion// Numer. Heat Transfer.- 1992. V. 21(B).- P. 307-325.