Автомодельные задачи неизотермической двухфазной фильтрации и теплового пограничного слоя тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Осокин, Андрей Евгеньевич

• Осокин, Андрей Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Осокин, Андрей Евгеньевич

Оглавление

Введение

Список условных обозначений

Обозначения к главам 1-3

Обозначения к главе 4

г

\

1 Задачи неизотермической двухфазной фильтрации

1.1 Температурная модель Маскета - Леверетта

1.2 Преобразование уравнений температурной модели Маскета - Леверетта

1.3 Температурная модель с переменными остаточными на-сыщенностями

1.4 Начально-краевые условия и свойства функциональных параметров

1.5 Автомодельные задачи

2 Численное моделирование неизотермической двухфазной фильтрации

2.1 ПТ-автомодельные задачи с заданным расходом

2.2 ПТ-автомодельные задачи с неизвестным расходом

2.3 ПТ-автомодельные задачи в режиме термокапиллярной пропитки

2.4 ПТ-автомодельные задачи с переменными остаточными

насыщенностями

2.5 ПВ-автомодельные задачи с заданным расходом

2.6 Одномерные задачи

2.7 Визуализация многопараметрических данных

3 Обоснование одного приближенного метода в двухфазной неизотермической фильтрации

3.1 Формулировка метода

3.2 Теорема о сходимости

4 Автомодельные задачи теплового пограничного слоя неньютоновских жидкостей

4.1 Уравнения модели и автомодельные решения

4.2 Дополнительные преобразования системы уравнений. Обобщенное решение и его свойства

4.3 Численное решение автомодельной задачи

Заключение

Список литературы

Список рисунков

2.1 Начальные приближения к распределениям 5 и ©

2.2 Итоговые распределения 5 и 0

2.3 Распределения 5 при неизотермической и изотермической фильтрации

2.4 Распределение 5 и в при /32 = 1

2.5 Распределение 5 в случаях неизотермической и изотермической фильтрации при = 1

2.6 Результаты расчета вариантов 1-4

2.7 Увеличенный фрагмент рис.2.6

2.8 Погрешность Ъ

2.9 Распределение 5 и 0 в случае незаданного расхода

2.10 Распределение 5 и Р в случае незаданного расхода

2.11 Распределение 5 в изотермическом и неизотермическом случаях при незаданном расходе

2.12 Погрешность в определении д

2.13 Начальные приближения к распределениям насыщенности 5 и температуры 0 для случая пропитки

2.14 Итоговые распределения насыщенности 5 и температуры 0 для случая пропитки

2.15 Распределения насыщенности 5 при различных 51 для случая пропитки

2.16 Распределения насыщенности £ при различных ¿2 для случая пропитки

2.17 Влияние параметра регуляризации ё на решение 5

2.18 Распределения насыщенности 5 для вариантов 1-4 в случае пропитки

2.19 Итоговые распределения насыщенности 5 и температуры © в случае пропитки при отставании температурного фронта от гидродинамического

2.20 Распределения насыщенности 5 для вариантов 1-4 в случае пропитки при отставании температурного фронта от гидродинамического

2.21 Функция 5 = Ф(6, сг) и ее регуляризация 5 = Фе(0,сг)

2.22 Итоговые распределения насыщенности а и температуры

© для случая переменных ОН

2.23 Распределения насыщенности и при переменных и постоянных ОН

2.24 Функция 5 = Ф(0, а) и ее непрерывно-дифференцируемая регуляризация 5 = Ф£(©,<т)

2.25 Итоговые распределения насыщенности а и температуры

© при переменных ОН для случая пропитки

2.26 Распределения насыщенности а при переменных и постоянных ОН для случал пропитки

2.27 Начальные распределения 5 и 0 для переменной типа простой волны

2.28 Итоговые распределение 5 и © для переменной типа простой волны

2.29 Распределения насыщенности $ для вариантов 1-4 в случае переменной типа простой волны

2.30 Распределение 5 при различных значениях параметра с

2.31 Распределение © при различных значениях параметра с

2.32 Распределение 5 в одномерном случае

2.33 Распределение в в одномерном случае

2.34 Автомодельные решения 5(£) и ©(£)

2.35 Распределения 5 в случае одномерной пропитки

2.36 Распределения 0 в случае одномерной пропитки

2.37 Профили насыщенности 5 и температуры ©

2.38 Фрагмент выдачи многопараметрических данных

4.1 Распределение ю ж Со

4.2 Распределение и и —ш

4.3 Распределение и и /г

4.4 Распределение и т 9

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Автомодельные задачи неизотермической двухфазной фильтрации и теплового пограничного слоя»

ВВЕДЕНИЕ

Одним из разделов естественных наук, где в настоящее время наиболее активно используется математическое моделирование, является механика сплошной среды и, в частности, один из ее подразделов - подземная гидродинамика. Здесь изучаются такие важные с точки зрения как теории, так и практики вопросы: фильтрация воды через плотину, засоление почвы, распространение очага загрязнения подземными потоками, добыча нефти, приток подземных вод к артезианским скважинам и многие другие. В силу схожести физических процессов используемые для этих явлений математические модели во многом также подобны, но всегда имеются те или иные особенности. Более того, зачастую именно эти особенности привносят чрезвычайные сложности при обосновании модели и нахождении ее решения. В связи с этим ставшая уже классической в математическом моделировании триада А.А.Самарского "модель - алгоритм - программа" [74] находит в подземной гидродинамике многочисленные актуальные области приложения.

В данной работе остановимся на таких математических моделях подземной гидродинамики, как модели неизотермической фильтрации двухфазной жидкости и модель теплового фильтрационного пограничного слоя неньютоновской жидкости применительно к задачам нефтепромысловой механики.

Под фильтрацией понимают движение жидкости в пористой среде. Среда считается пористой, если она содержит значительное число

пустот, размеры которых малы по сравнению с характерными размерами рассматриваемой среды. Количественной характеристикой пористости может служить отношение объема пор к общему объему: ш0 = УП0р/У0бщ. Математические модели фильтрации основаны на законах сохранения механики сплошной среды и следствиях из них, а также дополнительных уравнениях, принимаемых в качестве аксиом. В качестве первичных уравнений используются уравнение неразрывности (с учетом пористости), уравнение теплового баланса и уравнения состояния. Основное допущение в теории фильтрации состоит в замене уравнений движения Эйлера на феноменологический закон Дарси.

Простейшей моделью двухфазной фильтрации является хорошо изученная модель Баклея - Леверетта (сокращенно: БД-модель) [13, 44, 63, 82], постулирующая равенство фазовых давлений и, следовательно, не учитывающая влияние на движение флюидов капиллярных сил. Возникающие при решении уравнений модели трудности (возможная неоднозначность решения) разрешаются путем математической идеализации процесса фильтрации - введения скачка (разрыва) искомой функции. Основную роль в БЛ-модели играют конвективные процессы.

Учет дополнительных эффектов влечет ту или иную модификацию математической модели фильтрации.

Введение капиллярных сил приводит к модели Маскета-Леверетта (МЛ-модель) [13, 63, 82] с дополнительным уравнением Лапласа для учета капиллярных сил. Преобразование модели дает нелинейное вырождающееся дифференциальное уравнение второго порядка параболического типа. Разрыв у решения этого уравнения отсутствует, а область больших градиентов решения сосредоточена в некоторой зоне малого размера, что физически вполне оправдано. Другой положи-

тельной чертой данного уравнения является то, что несмотря на его иараболичность модель сохраняет (при правильно выбранных функциональных параметрах) важное и физически естественное свойство конечной скорости распространения возмущений [5, 43, 79]. Корректность нелинейных краевых задач МЛ-модели в обобщенной постановке, качественные свойства и приближенные методы решения изучались в работах С.Н. Антонцева, A.B. Кажихова, В.Н. Монахова [5, б, 7, 8], С.Н. Кружкова, С.М. Сукорянского [48], O.A. Олейник, A.C. Калашникова, Джоу Юй-Линь [55, 84] и других [2, 9, 10, 44, 45, 47, 79]. Численному исследованию этих задач посвящены работы Коновалова А.Н., Коробицыной Ж.Л., Узакова 3., Леви Б.И., Швидлера М.И. и многих других [1, 18, 30, 41, 44, 63, 85, 86, 87, 88, 89].

Дальнейшим уточнением (и соответственно усложнением) модели двухфазной фильтрации является учет взаимовлияния скоростных и температурных полей в нефтеносном пласте. Соответственно модифицируются уравнения модели и добавляется уравнение энергии. Модели неизотермической двухфазной фильтрации изучались в работах О.Б.Бочарова, В.Н.Монахова, Р.Юинга (МЛТ-модель) [19, 21, 34, 38], В.Я.Булыгина [23], Э.Б.Чекалюка [83], Л.И.Рубинштейна [68], М.Г.Али-шаева, М.Д.Розенберга, Е.В.Теслюка [3]. Численное исследование неизотермических задач проводилось в работах [23, 25, 31, 37, 39] и других [30, 85, 86, 87, 88]. В работе О.Б.Бочарова и В.Н.Монахова [20] была предложена и исследована еще более общая МЛТ-модель с переменными (зависящими от температуры) остаточными насыщенностями.

Среди дальнейших обобщений отметим модели с нелинейным законом фильтрации [50], добавление в модель уравнения для концентрации примеси [35, 36, 37], модели многофазной и многокомпонентной фильтрации [53, 63, 66].

Другой моделью, находящей практическое применение в нефтедобыче и исследуемой в данной работе, является тепловая модель фильтрационного пограничного слоя (ПС) неньютоновской жидкости. Особенностями данной модели по сравнению с классическими уравнениями Прандтля кроме добавления тепловых эффектов являются учет сопротивления пористой среды движению жидкости в форме Жуковского и предположение о неньютоновском поведении жидкости. Одним из средств при изучении модели является переход к переменным Мизеса. Классическими работами по пограничному слою являются монография Г.Шлихтинга [90] и статья О.А.Олейник [54]. Модели теплового ПС рассматривались в работах Т.Д.Джураева [29], Н.В.Хуснутдиновой [80, 81]. Модели ПС степенных жидкостей изучались в работах В.Н. Самохина [76], С.Н.Антонцева, Ж.Диаса, С.И.Шмарева [4]. В работах [4, 52, 54, 76, 80, 81] для изучения уравнений ПС использовались переменные Мизеса. Достаточно широкий обзор разностных методов для численного решения уравнений теории пограничного слоя, в том числе теплового, а также конкретные расчеты проведены в работе В.М.Пасконова, В.И.Полежаева, Л.А.Чудова [61].

В данной работе основное внимание уделяется тепловому воздействию на гидродинамические процессы применительно к задачам, связанным с моделированием вытеснения нефти водой и транспортировкой извлекаемой жидкости. Учет неизотермичности течения дает возможность приблизиться к реальному изучаемому объекту, уменьшив степень абстрактности физической и соответственно математической модели и вносит некоторые поправки к принятым гидродинамическим методам расчета нефтедобычи.

Исследования показывают, что существенно увеличить коэффициент нефтеотдачи можно путем изменения физических и физико-хими-

ческих свойств вытесняемой фазы, причем на ближайшую перспективу все большее предпочтение отдается термическим методам. Особое место тепловых методов воздействия на пласт обусловлено в частности тем, что для их реализации используются широко доступные агенты - вода и воздух. Еще одним важнейшим преимуществом термических методов перед большинством других является возможность достижения более высокой нефтеотдачи при различных физико-геологических условиях залегания нефтяных месторождений. Термические методы воздействия на пласт основаны на резком снижении вязкости нефти при нагреве, поэтому первоочередные объекты для тепловых методов -месторождения высоковязкой нефти. Однако при тепловом воздействии на пласт проявляются практически все известные механизмы вытеснения нефти, сопровождающиеся разнообразными фазовыми переходами. Поэтому данный метод перспективен также при доразработке залежей маловязкой нефти, находящихся в длительной эксплуатации с применением закачки воды. Следует отметить, что закачка в пласт воды с температурой ниже пластовой (например, морской воды или воды в зимних условиях) оказывает негативное влияние на нефтеотдачу. В частности это может приводить к выпадению из нефти парафина непосредственно в пористой среде.

Известно, что если порода гидрофильна, то важную роль в процессе вытеснения нефти может играть капиллярная пропитка породы водой. Когда блок малопроницаемой породы окружен высокопроницаемой породой, вода обходит нефть, заключенную в этом блоке. При заводнении гидрофильных пластов нефть из блоков часто может быть извлечена только в результате пропитки их водой. Возможность такого механизма подтверждают как эксперименты, так и анализ месторождений, сложенных неоднородными гидрофильными породами. Также капил-

лярная пропитка может оказывать решающее влияние на механизм нефтеотдачи в слоистых пластах. В связи с этим возникает вопрос о том, как отразится неизотермичность процесса вытеснения нефти в режиме пропитки на нефтеотдачу из блоков и слоистых пластов.

Все указанные явления требуют тщательного изучения и эффективными рабочими инструментами в этом отношении являются температурная модель фильтрации Маскета-Леверетта и модель теплового пограничного слоя.

Практически все нефти (а в особенности высоковязкие) проявляют в той или иной мере неньютоновских свойства. Поэтому перспективной является идея обобщения теории пограничного слоя на неньютоновские жидкости и ее всестороннее изучение. Среди таких жидкостей выделим так называемые степенные. Степенные жидкости дают наиболее простое и в то же время удовлетворительное для практики количественное описание неньютоновского поведения аномально-вязких жидкостей. Кривую течения любой неньютоновской жидкости в ограниченном диапазоне скоростей сдвига всегда можно аппроксимировать весьма простым с математической точки зрения степенным выражением с минимальным числом реологических параметров (в частности, двумя). Как интерполяционная формула степенная зависимость в определенных пределах (исключая области малых и весьма больших скоростей сдвига) приемлемо отражает множество совершенно различных реологических законов.

Областью приложения математических моделей на основе теплового пограничного слоя степенных жидкостей являются многие процессы, связанные с нефтедобычей, в том числе фильтрация нефти в узких вытянутых пластах, движение ее по скважинам, трубопроводам, зонам очистки от примесей (отстойники, фильтры и т.п.), станциям подогре-

ва.

Многие задачи, сформулированные на основе рассмотренных выше моделей, могут быть рассмотрены в определенной последовательности, образуя тот или иной технологический цикл. Примером может служить процесс паротеплового воздействия на пласт [12, 31, 32], состоящий в упрощенном варианте из следующих циклически повторяющихся этапов (в скобках указана соответствующая математическая постановка):

1) нагнетание пара (перегретой воды) в скважину с определенной температурой и расходом (неизотермическая двухфазная фильтрация при преобладании конвективных сил);

2) выдержка в течении определенного времени без закачки воды (термокапиллярная пропитка);

3) нагнетание пара или воды (возможно с другой температурой и другим расходом) в скважину (неизотермическая двухфазная фильтрация при преобладании конвективных сил).

Таким образом умея моделировать этапы 1)-3) , можно изучать на их основе более сложные процессы, а также проводить многовариантные оптимизационные расчеты.

Для всех упомянутых моделей актуальной является проблема поиска частных решений, и в том числе - автомодельных решений. Автомодельные решения :

1) представляют самостоятельный интерес как специальные решения исходных уравнений;

2) используются как эталоны (тесты) при построении различных приближенных методов решения более общих уравнений;

3) позволяют предварительно численно или аналитически изучить особенности исходных уравнений;

4) во многих случаях представляют собой асимптотические представления решений весьма широких классов задач именно там, где детальная структура граничных и начальных условий перестает быть существенной, -а эти области часто бывают наиболее интересными;

5) в сочетании с теоремами сравнения дают эффективный теоретический аппарат исследования свойств решения в исходных переменных;

6) в некоторых прикладных областях (например, в нефтедобыче) используются как рабочий инструмент для прогнозных оценок.

Автомодельные постановки задач в двухфазной фильтрации изучались в работах И.А.Чарного [82], Г.И.Баренблатта, В.М.Ентова, В.М. Рыжика [15, 70, 71], Н.В.Хуснутдиновой [79] и других [13, 35, 36, 37, 42, 64, 69]. Автомодельные решения пограничного слоя ньютоновской и неньютоновской жидкостей исследовались в работах Л.И.Седова [77], Ф.Хартмана [78], Б.М.Берковского и З.П.Шульмана [91, 92] и других [40, 60]. Техника использования автомодельных решений в различных задачах математической физики продемонстрирована в работах А.А.Самарского, В.А.Галактионова, С.П.Курдюмова, А.П.Михайлова [73], Г.И.Баренблатта [14].

Многие проблемы, описанные выше (включая учет неизотермично-сти и отыскание автомодельных решений), применительно к вопросам добычи и транспортировки газа рассматривались в работах Э.А.Бондарева, В.И.Васильева, О.Ф.Васильева, А.Ф.Воеводина, М.А.Канибо-лотского, Н.Н.Павлова, А.П.Шадриной [17, 27].

Актуальность темы. В настоящее время термические методы извлечения нефти из пласта и ее транспортировки в неизотермических условиях занимают важное место в процессе нефтедобычи. Большое значение приобретает умение прогнозировать и управлять происходящими при этом термогидродинамическими процессами. В этой связи

актуальной является задача нахождения для соответствующих математических моделей автомодельных решений и на их основе решений одномерных задач.

Цель работы: численное исследование математической модели неизотермической фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости и тепловой модели фильтрационного пограничного слоя неньютоновской жидкости применительно к задачам нефтепромысловой механики, создание на основе данных расчетов элементной базы для моделирования отдельных этапов в технологической цепочке добычи и транспортировки нефти.

Автором представляются к защите результаты исследований взаимного влияния температурных и гидродинамических полей на основе решения некоторых задач, указанных выше.

Научная новизна. Численными и аналитическими методами исследованы задачи неизотермической фильтрации двухфазной жидкости в автомодельной и одномерной постановках и автомодельные задачи теплового фильтрационного пограничного слоя неньютоновской жидкости.

Практическая ценность диссертации заключается в возможности использования полученных результатов для повышения нефтеотдачи трудноразрабатываемых нефтеносных пластов и совершенствования методов транспортировки нефтепродуктов.

Достоверность научных положений, защищаемых в кандидатской диссертации, обосновывается соответствием исследуемых моделей фундаментальным законам сохранения и соответствием результатов расчета решениям ранее уже исследованных задач, являющихся частными случаями рассматриваемых моделей.

Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались и

обсуждались на:

- Сибирской конференции по неклассическим уравнениям математической физики (Новосибирск, 1995);

- Международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошной среды" (Новосибирск, 1996);

- Международной конференции "Математические модели и методы их исследования (задачи механики сплошной среды, экологии, технологических процессов)" (Красноярск, 1997);

- Сибирской школе - семинаре "Математические проблемы механики сплошных сред" (Новосибирск, 1997);

- третьем Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике "ИНПРИМ-98" (Новосибирск, 1998);

- научно-практических конференциях преподавателей и студентов Горно - Алтайского Государственного Университета ( Горно-Алтайск, 1995-1998);

- семинаре отдела прикладной гидродинамики ИГиЛ СО РАН (Новосибирск, 1998);

- семинаре кафедры дифференциальных уравнений НГУ (Новосибирск, 1998).

Основные результаты диссертаций опубликованы в следующих работах:

1. А.Е.Осокин Численное моделирование неизотермической фильтрации двухфазной жидкости.- Тезисы Сибирской конференции по неклассическим уравнениям математической физики, Новосибирск, 1995.

2. В.Н.Монахов, О.Б.Бочаров, Т.В.Кантаева, А.Е.Осокин, С.Р.Тлюс-тен Автомодельные решения двухфазной температурной фильтрации.-Тезисы Международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошной среды", Новосибирск, 1996.

3. А.Е.Осокин Автомодельные решения теплового пограничного слоя неньютоновских жидкостей.- Тезисы Международной конференции "Математические модели и методы их исследования (задачи механики сплошной среды, экологии, технологических процессов)", Красноярск, 1997.

4. А.Е.Осокин Метод Ротэ решения одномерной задачи неизотермической фильтрации в автомодельных переменных.- Тезисы Сибирской школы - семинара "Математические проблемы механики сплошных сред", Новосибирск, 1997.

5. О.Б.Бочаров, А.Е. Осокин Численное решение одномерных задач двухфазной неизотермической фильтрации с переменными остаточными насыщенностями.- Тезисы докладов третьего Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98), Новосибирск, 1998.

6. А.Е.Осокин Обоснование одного приближенного метода в двухфазной неизотермической фильтрации.- Динамика сплошной среды, вып. ИЗ, Новосибирск, 1998.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Глава 1 посвящена анализу математических моделей двухфазной неизотермической фильтрации в различной их постановке для искомых функций водонасыщенности 5(ж, ¿), температуры 6(я, £) и среднего давления Р{х, ¿).

В параграфах 1.1 - 1.4 приводится краткий вывод температурной модели Маскета - Леверетта и модели с переменными остаточными насыщенностями и обсуждаются их особенности, постановки начально-краевых задач и свойства функциональных параметров.

В параграфе 1.5 выводятся автомодельные постановки одномерной нестационарной МЛТ-модели с заданным и неизвестным расходом и с

автомодельными переменными параболического типа £ = х/у/Ь + 1 и типа простой волны г) = х — с • При этом для каждого уравнения приводятся некоторые эквивалентные представления, существенно используемые затем при построении численных алгоритмов. Также при одном физически естественном условии проводится специальная замена переменных

х — ж/л/Т+Т _ (0-1) г = 1п(* +1).

в исходных одномерных нестационарных уравнениях модели, в результате чего они принимают удобный вид, с оператором стационарной части совпадающим с оператором автомодельной задачи с переменной параболического типа. Это позволяет применить некоторые результаты, полученные для автомодельного случая, в одномерной модели.

Глава 2 посвящена численному исследованию автомодельных и одномерных задач неизотермической двухфазной фильтрации в различной их постановке. Описаны разработанные алгоритмы для численного решения, примеры расчетов и анализ полученных результатов.

В параграфе 2.1 для полученной в главе 1 нелинейной вырождающейся системы уравнений второго порядка с заданным расходом и автомодельной переменной параболического типа ставится первая краевая задача на полубесконечном интервале и дается определение обобщенного решения для нее. Далее формулируются известные теоремы существования обобщенного решения, включающие априорные оценки решения и его производных (с весами), а также конечную скорость распространения возмущений. Применительно к этой задаче построен численный алгоритм ее решения, включающий несколько разностных схем. Существенно используются теоретически полученные оценки.

В параграфах 2.2, 2.3 аналогичным образом изучены задачи с неизвестным расходом и в режиме термокапиллярной пропитки.

В параграфе 2.4 численные алгоритмы параграфов 2.1 и 2.3 обобщаются на случай MJIT-модели с переменными остаточными насыщенно-стями.

В параграфе 2.5 аналогично 2.1 численно исследована первая краевая задача для автомодельной переменной типа простой волны.

В параграфе 2.6 на основе схем, полученных для автомодельных задач с переменной параболического типа, построен алгоритм решения одномерных нестационарных задач. Предварительно в нестационарной задаче производится замена переменных, после чего стационарная часть оператора одномерной задачи полностью совпадает с оператором автомодельной задачи, что и позволяет использовать полученные ранее результаты. Далее просчитанные в этом параграфе задачи используются для моделирования процесса циклического теплового воздействия на нефтяной пласт.

В параграфе 2.7 рассматривается задача адекватного отображения многопараметрических данных, в частности вывод в наглядном виде вектор-функций от двух переменных. Описано одно из возможных решений данной проблемы и продемонстрирован пример такого вывода для полученных в предыдущем параграфе решений (О(x,t),S(x,t)).

В главе 3 предложен и обоснован один приближенный метод решения задач неизотермической двухфазной фильтрации. Выведены оценки скорости сходимости приближенного решения к точному.

Рассматриваются одномерные уравнения модели неизотермической двухфазной фильтрации в однородной пористой среде. После перехода к переменным (0.1) в предположении v = v(t) = q/y/t + 1, q = const приходим к начально-краевой задаче в области R = {(x,t) : х £

[0,Х],£ Е [0,Т]} (черту над Ь ж % опускаем):

<

'9(0, 0 = еь в(Х, 0 = 02, ©(яг, 0) = в0(х), _ 5(0,0 =5Ь5(Х,0 = 52,5(х,0) = 50(ж)

Э< = (А©ж - дв)х + ¡хвх St = (а 15ж + а2&х - дЬ)х + \х8х

X

X

(0.2)

Здесь (А(0,5), й1(0, 5),а2(0,5), 6(0,5)) - функциональные параметры МЛТ-модели.

Для задачи (0.2) предложен следующий приближенный метод. Интервал времени [0,Т] разбивается на N частей (г = Т/М) и для каждого временного слоя = [гг, (г + 1)т](г = 0, - 1) решается задача относительно ©^(ж, 0,5^+1 (ж, 0^

' -(©¿-н)< + [А« • (0г-+1)ж - д©г-+1]ж + |®(©,-+1), = 0

^ -(<&+1)* + [4° -(ад,+ 4° • (0г-+1), - д^], + ^(ад, = О

©¿+1(0,0 = в1,е,-+1(х,о = ©2, ©1+1(2, гг) = е«(х), ^ 5г-+1(0,0 = й,Яц(Х,0 - 52,5т(х,гг) = 5%).

Здесь 0(О(ж) = вг(х,гт),е^{х) = 0о(®),5«(ж) = 5г-(х,гг),5(0)(ж) ее 50(ж), и если а = а(©,5), то а^ = а(0(г')(ж),5«(ж)).

Пусть = [0,Х]; I* = [гг, ¿1], ¿1 - произвольная точка из /Д{гг}; 0г(ж,О = 0г'-|-1 (ж, 05 при х £ t £ = 0, - 1; 5г(ж, 0 = 5г+1(гс,0, при х £ £ г = 0,АГ — 1. Таким образом функции 0г(ж,О и 5г(ж,0 определены всюду в области Я.

Доказано следующее утверждение о сходимости семейства функций

ТЕОРЕМА: При г —>■ 0 функции (0т(ж,0,^(^,0) сходятся к классическому решению (0(ж,0,5(^,0) задачи (0.2), причем имеют место следующие оценки скорости сходимости:

(0Т, 5Г).

||0-0г|к + ||5-5т|к<Сг

(0.4)

II© - ©И1оо + р - 5т||оо < Ст*,р <= (0,1), (0.5)

где константа С не зависит от т.

Глава 4 посвящена изучению некоторых автомодельных решений тепловой модели фильтрационного пограничного слоя неньютоновской жидкости.

В параграфе 4.1 формулируется система уравнений плоского стационарного теплового ПС в пористой среде для сжимаемой неньютонов-ской(степенной) жидкости относительно неизвестных вектора скорости жидкости й(х,у) = (и(х,у),ь(х,у)) и температуры Т(х,у). После ряда преобразований системы, включающих переход к переменным Мизеса (ж, ф) и искомым функциям и) — и2 и полной энергии к = и2/2+9 (в - энтальпия) , у полученной задачи отыскиваются автомодельные решения вида и) — = г — ф/х@. При удовлетворении условий авто-

модельности выписывается система обыкновенных дифференциальных уравнений фильтрационного теплового пограничного слоя степенной жидкости.

В параграфе 4.2 производится дополнительная замена независимой переменной. Для полученной в итоге нелинейной вырождающейся системы уравнений второго порядка выписывается краевая задача на полубесконечном интервале и дается определение обобщенного решения для нее. Далее формулируются известные результаты по существованию обобщенного решения и некоторым его свойствам, включающим ограниченность и монотонность решения и конечную скорость распространения возмущений.

Параграф 4.3 посвящен численному решению указанной выше краевой задачи с учетом известных свойств решения. Численная реализация включает в себя сведение краевой задачи на полубесконечном интервале для и) к системе нелинейных уравнений первого порядка, для

которых ставится задача Коши на неизвестном правом конце отрезка интегрирования, что приводит к задаче с неизвестной границей. Организуется итерационный процесс по неизвестной границе. При фиксированном итерационном шаге задача решается методом Рунге-Кутта 4 порядка.

Уравнение для /г решается на полученном поле скоростей при текущем приближении неизвестной правой границы конечно-разностным методом, сводящемся в итоге к классическому методу прогонки.

Автор выражает глубокую благодарность чл.-кор. РАН, профессору В.Н.Монахову, д.ф.-м.н., профессору А.Ф.Воеводину за предложенную тематику исследований, поддержку и научное руководство, а также к.ф.-м.н., доценту О.Б.Бочарову за ценные консультации и помощь в работе.

Список условных обозначений

Обозначения к главам 1-3

Индексы: г = 1 - вода; г = 2- нефть; г = 3 - коллектор

(при отсутствии необходимого индекса подразумевается водяная фаза). Символы:

- истинная фазовая насыщенность;

5 - приведенная (динамическая) водонасыщенность; 0 - температура;

- фазовое давление; Р - среднее давление;

- фазовая скорость фильтрации; V - скорость фильтрации смеси;

К$(ко) - тензор (коэффициент) абсолютной проницаемости; то - пористость;

7 - коэффициент межфазного натяжения; к{ - относительная фазовая проницаемость;

- вязкость; Рг - плотность;

Аг- - коэффициент теплопроводности; сР1 - удельная теплоемкость; ¡Зг - коэффициент теплоотдачи; х - расстояние;' t - время;

£ - автомодельная переменная параболического типа; г) - автомодельная переменная типа простой волны.

Сокращения:

ПТ - параболический тип (автомодельной переменной);

ПВ - (автомодельная переменная типа) простой волны;

БЛ - (модель) Баклея - Леверетта;

МЛ - (модель) Маскета - Леверетта;

МЛТ - температурная (модель) Маскета - Леверетта;

ПТОС - паротепловая обработка скважин;

ОН - остаточные насыщенности.

Обозначения к главе 4

Символы:

(х, у) - исходные физические переменные, причем

х - ось, направленная вдоль границы обтекаемого тела,

у - ось, направленная в направлении нормали к границе обтекаемого

тела;

(х,ф) - переменные Мизеса;

и - горизонтальная составляющая вектора скорости;

V - вертикальная составляющая вектора скорости;

Т - температура;

р - давление;

в - энтальпия;

к - полная энергия;

/1 - коэффициент вязкости;

к0 - коэффициент абсолютной проницаемости;

р - плотность;

то - пористость;

Л - коэффициент теплопроводности; ср - удельная теплоемкость;

7 - коэффициент сопротивления среды движению жидкости;

со = и1.

Сокращения: ПС - пограничный слой.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Осокин, Андрей Евгеньевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим основные результаты диссертации.

1. Изучена математическая модель процесса неизотермической фильтрации двухфазной жидкости в автомодельных и одномерной постановках.

2. Разработаны и апробированы на серии вычислительных экспериментов алгоритмы решения одномерных и автомодельных задач неизотермической двухфазной фильтрации. Изучено влияние температурного фактора на характер процесса фильтрации. Численно обнаружен ряд качественных свойств решений задач неизотермической двухфазной фильтрации.

3. Обоснован приближенный метод решения одномерных нестационарных задач неизотермической двухфазной фильтрации в случае заданного расхода и выведены оценки скорости сходимости приближенного решения к точному.

4. Разработаны и апробированы на серии вычислительных экспериментов алгоритмы решения автомодельных задач тепловой модели пограничного слоя неньютоновской жидкости в пористой среде (или магнитном поле).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Осокин, Андрей Евгеньевич, 1998 год

Список литературы

[1] Азиз X., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем.- М.: Недра, 1982, 407с.

[2] Алексеев Г.В., Хуснутдинова Н.В. О разрешимости первой краевой задачи и задачи Коши для уравнения одномерной фильтрации двухфазной жидкости. - Динамика сплошной среды, Новосибирск, 1971, вып. VII, с.33-46

[3] Алишаев М.Г., Розенберг М.Д., Теслюк Е.В. Неизотермическая фильтрация при разработке нефтяных месторождений.- М.: Недра, 1985, 271с.

[4] S.N.Antontsev, J.I.Diaz, S.I.Shmarev On the boundary layer for dilatant fluids.-Energy Methods in Continuum Mechanics. Proceedings of the Workshop on Energy Methods in Continuum Mechanics, held in Oviedo, Spain, March 21-23, 1994, p. 13-21

[5] Антонцев С.H., Кажихов A.B., Монахов В.H. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей.- Новосибирск, Наука, Сибирское отделение, 1983, 319с.

[6] Антонцев С.Н., Монахов В.Н. Корректность пространственных задач фильтрации несмешивающихся жидкостей в неоднородных пористых средах. - Динамика сплошной среды, Новосибирск, 1976, вып. 27, с.3-15

[7] Антонцев С.Н., Монахов В.Н. О некоторых задачах фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости.- Динамика сплошной среды, Новосибирск, 1969, вып. 2, с.156-177

[8] Антонцев С.Н., Монахов В.Н. Об общей квазилинейной модели фильтрации несмешивающихся жидкостей.- Динамика сплошной среды, Новосибирск, 1969, вып.

3, с.5-17

[9] Антонцев С.Н., Папин A.A. О глобальной гладкости решений уравнений двухфазной фильтрации.- Динамические задачи механики сплошных сред (Динамика сплошной среды XXXV), Новосибирск, 1978, вып. XXXV, с.3-28

[10] Антонцев С.Н., Папин A.A. Приближенные методы решения регулярных и вырождающихся задач двухфазной фильтрации.- Математические проблемы механики сплошных сред (Динамика сплошной среды 54), Новосибирск, 1982, вып. 54, с.15-48

[11] Бай Ши-и Магнитная газодинамика и динамика плазмы. - М.: Мир, 1964, 301с.

[12] Байбаков Н.К., Гарушев А.Р. Тепловые методы разработки нефтяных месторождений.- М.: Недра, 1981, 288с.

[13] Бан А., Богомолова А.Ф., Максимов В.А., Николаевский В.Н., Оганджанянц В.Г., Рыжик В.М. Влияние свойств горных пород на движение в них жидкости.-М.: Гостоптехтздат, 1962, 276с.

[14] Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика.- Ленинград, Гидрометеоиздат, 1982, 256с.

[15] Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа.- М., Недра, 1972, 288с.

[16] Берковский Б.М., Полевиков В.К. Вычислительный эксперимент в конвекции.-Минск, издательство "Университетское", 1988, 167с.

[17] Бондарев Э.А., Васильев В.И, Воеводин А.Ф., Павлов H.H., Шадрина А.П. Термогидродинамика систем добычи и транспорта газа.- Новосибирск: Наука, 1988, 272с.

[18] Бочаров О.Б., Кузнецов В.В., Чехович Ю.В. О структуре решений задачи Раппопорта - Лиса.- Динамика сплошной среды, 1988, вып. 85, с.13-21

[19] Бочаров О.Б., Монахов В.Н. Краевые задачи неизотермической двухфазной фильтрации в пористых средах. - Динамика сплошной среды, Новосибирск, 1988, вып.86, с.47-59

[20] Бочаров О.Б., Монахов В.Н. Неизотермическая фильтрация несмешивающихся жидкостей с переменными остаточными насыщенностями. - Динамика сплошной среды, Новосибирск, 1988, вып. 88, с.3-12

[21] Бочаров О.Б., Монахов В.Н. О разрешимости краевых задач неизотермической фильтрации двух несмешивающихся неоднородных жидкостей в пористых средах.-Доклады Академии Наук, 1997, том 352, № 5, с.583-586

[22] Бочаров О.Б., Осокин А.Е. Численное решение одномерных задач двухфазной неизотермической фильтрации с переменными остаточными насыщенностями.- Тезисы докладов третьего Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98), часть III, Новосибирск, Издательство Института математики, 1998,: с.7

[23] Булыгин В.Я. Гидромеханика нефтяного пласта,- М.: Недра, 1974, 230с.

[24] Булыгин В.Я., Локотунин В.А. Исследование неизотермической фильтрации двухфазной жидкости.- Численное решение задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости, Новосибирск, 1977, с.44-51

[25] Булыгин В.Я., Кожеватов Ю.И., Локотунин В.А. Расчеты процессов тепло- и массопереноса при вытеснении нефти водой.- Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости, Новосибирск, 1980, с.53-58

[26] Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач со свободной границей.- Издательство Московского университета, 1987, 164с.

[27] Васильев О.Ф, Бондарев Э.А., Воеводин А.Ф., Каниболотский М.А. Неизотермическое течение газа в трубах,- Новосибирск: Наука, 1978, 127с.

[28] Воеводин А.Ф., Шугрин С.М. Методы решения одномерных эволюционных систем,- Новосибирск, Наука, 1993, 230 с.

[29] Джураев Т.Д. К математической теории пограничного слоя для стационарного течения сжимаемого газа.- в сб. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными, АН Уз.ССР, издательство ФАН, Ташкент, 1970, с.18-29

[30] Динамика многофазных сред: (Материалы V Всесоюзного семинара "Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости" ).-Новосибирск, 1982, 334 с.

[31] Дмитриев А.И., Зубов Н.В., Иванов В.А., Чашкин Ю.Г. Методика расчета технологических показателей процесса паротепловых обработок скважин.- В сб.научных трудов "Вопросы технологии и техники добычи нефти термическими методами", Москва, ВНИИОЭНГ, 1989, с.64-72

[32] Дмитриев А.И., Зубов Н.В., Синицина Ю.Г. Сопоставление расчетных моделей по технологическим показателям процесса процесса вытеснения нефти паром.-

В сб.научных трудов "Вопросы совершенствования технологий и технических средств при термических методах добычи нефти", Москва, ВНИИОЭНГ, 1987, с.21-26

[33] Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем.- М.: Мир, 1983, 200с.

[34] R.E.Ewing, V.N.Monakhov Nonizothermal two-phase filtration in porous media, -Free Boundary Problems in Continuum Mechanics, International Series of Numerical Mathematics, Vol.106, 1992, p.121-130

[35] Ентов B.M., Зазовский А.Ф. Гидродинамика процессов повышения нефтеотдачи.-М., Недра, 1989, 232с.

[36] Ентов В.М., Шыганаков Н. О капиллярной пропитке гидрофобных нефтенасы-щенных пород раствором активной примеси,- ПМТФ, 1981, №4, с.116-118

[37] Ентов В.М., Шыганаков Н. О противоточной капиллярной пропитке пористой среды раствором активной примеси в неизотермических условиях.- ДАН СССР, 1979,том 246, №4, с.819-823

[38] Жумагулов Б.Т., Зубов Н.В., Монахов В.Н., Смагулов Ш.С. Новые компьютерные технологии в нефтедобыче.- Алматы, "ГЫЛЫМ", 1996, 166с.

[39] Жумагулов Б.Т., Монахов В.Н. Технологичные геологические и математические модели нефтяного пласта,- Нефть и газ Казахстана (приложение к журналу "Доклады HAH PK"), Алматы,"ГЫЛЫМ", 1997, № 3, с.41-56

[40] Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Точные решения нелинейных уравнений.- М.: Наука, 1996, 458с.

[41] Зубов Н.В., Цыбульский Г.П. Задача о вытеснении нефти водой с учетом капиллярных сил и конечной скорости фронта вытеснения.- Численные методы решения задач фильтрации несжимаемой жидкости, Новосибирск, 1975, с.108-116

[42] Кажихов A.B. Некоторые автомодельные задачи нестационарной фильтрации и их численное решение.- Динамика сплошной среды, Новосибирск, 1969, вып.З, с.ЗЗ-

44

[43] Калашников A.C. О распространении возмущений в процессах, описываемых вырождающимися параболическими уравнениями с нестепенными нелинейностями.-Труды семинара им. И.Г. Петровского, вып.Ю, 1984, 118-134

[44] Коновалов А.Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Лекции для студентов НГУ. - Новосибирск, 1972, 128с.

[45] Коновалов А.Н., Монахов В.Н. О некоторых моделях фильтрации многофазных жидкостей.: - Динамика неоднородной жидкости (Динамика сплошной среды XXVII), Новосибирск, 1976, вып. XXVII, с.51-65

[46] Коновалов А.Н., Коробицына Ж.Л. Моделирование краевых условий в задачах фильтрации с помощью метода фиктивных областей.- в сб. Численное решение задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости, Новосибирск, 1977, с.115-120

[47] Кружков С.Н. О единственности решений смешанных задач для вырождающейся системы теории двухфазной фильтрации.- Вест. моек, ун-та, сер. 1. математика, механика, 1985, №2, 28-33

[48] Кружков С.Н., Сукорянский С.М. Краевые задачи для систем уравнений типа двухфазной фильтрации: постановка задач, вопросы разрешимости, обоснование приближенных методов. - Математический сборник, 1977 г., 104 (146), с. 69 - 88

[49] Ладыженская O.A., Уральцева H.H., Солонников В.А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа.- М., Наука, 1967, 736с.

I

[50] Монахов В.Н. Математическое моделирование процессов фильтрации двухфазной жидкости. Доклады IV национ.конгресса по теоретической и прикладной механике.- Болгария, Академия наук, 1981, с.93-97

[51] Монахов В.Н., Бочаров О.Б., Кантаева Т.В., Осокин А.Е., Тлюстен С.Р. Автомодельные решения двухфазной температурной фильтрации. - Тезисы Международной конференции 'Математические модели и численные методы механики сплошных сред', Новосибирск, 1996, с.400 - 401

[52] Мюллер М. Об одной модификации системы Прандтля уравнений пограничного слоя для стационарного обтекания плоского профиля. - Записки научных семинаров ЛОМИ, том 84, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. Ленинград:' Наука, 1979, с.174 - 184

[53] Нигматуллин Р.И. Динамика многофазных сред,- М., Наука, ч.1, 1987г, 464с.

[54] Олейник O.A. О системе уравнений теории пограничного слоя.- ЖВММФ, том 3, №3, май-июнь 1963, с.489-507

[55] Олейник O.A., Калашников A.C., Джоу Юй-Линь Задача Коши и краевые задачи для уравнений типа нестационарной фильтрации.- Изв. АН СССР, сер. математическая, 22(1958), 667-704

[56] Осокин А.Е. Численное моделирование неизотермической фильтрации двухфазной жидкости.- Тезисы Сибирской конференции по неклассическим уравнениям математической физики, Новосибирск, 1995, с.74

[57] Осокин А.Е. Автомодельные решения теплового пограничного слоя неньютоновских жидкостей. - Тезисы Международной конференции "Математические модели и методы их исследования (задачи механики сплошной среды, экологии, технологических процессов)", Красноярск, 1997, с.139

[58] Осокин А.Е. Метод Ротэ решения одномерной задачи неизотермической фильтрации в автомодельных переменных,- Тезисы Сибирской школы - семинара "Математические проблемы механики сплошных сред", Новосибирск, 1997, с.105-106

[59] Осокин А.Е. Обоснование одного приближенного метода в двухфазной неизотермической фильтрации.- Динамика сплошной среды, вып. 113, Новосибирск, 1998

[60] Павлов К.Б. К теории пограничного слоя неньютоновских нелинейно-вязких сред,- Изв. АН СССР, МЖГ, 1978, №3, с.26 - 33

[61] Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массопереноса.- М.: Наука, 1984, 288с.

[62] Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод,- М.: Наука, 1977, 664с.

[63] Развитие исследований по теории фильтрации в СССР.- М.: Наука, 1969, 545с.

[64] Рахимкулов И.Ф., Швидлер М.И. Автомодельная задача о совместном движении нефти и воды.- Изв.АН СССР, ОТН, механика и машиностроение 1962, №2, с.136-137

[65] Рахматуллин Х.А., Сагомонян А.Я, Бунимович А.И., Зверев И.Н.Газовая динамика. - М.: Высшая школа, 1965, 722с.

[66] Розенберг М.Д., Кундин С.А., Курбанов А.К, Суворов Н.И., Шовкринский Г.Ю. Фильтрация газированной жидкости и других многокомпонентных смесей в нефтяных пластах.- М., Недра, 1969, 456с.

[67] Роуч П. Вычислительная гидродинамика. - М.: Мир, 1980, 616с.

[68] Рубинштейн Л.И. Температурные поля в нефтяных пластах. - М.: Недра, 1972, 275с.

[69] Рыжик В.М.,' Чарный И.А., Чэнь Чжун-Сян О некоторых точных решениях уравнений нестационарной фильтрации двухфазной жидкости.- Изв. АН СССР, ОТН, механика и машиностроение 1961, №1, с.121 - 126

[70] Рыжик В.М. О капиллярной пропитке водой нефтенасыщенного гидрофильного пласта.- Изв. АН СССР ОТН механика и машиностроение 1960 №2, с.149-151

[71] Рыжик В.М. О механизме капиллярной пропитки пористой среды.- Изв. АН СССР ОТН механика и машиностроение 1959 №6, с.151-153

[72] Самарский A.A. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1989, 616с.

[73] Самарский A.A., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. - М.: Наука, 1987, 480с.

[74] Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры,- М.:Наука, 1997, 320с.

[75] Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений.- М.: Наука, 1978, 592с.

[76] Самохин В.Н. О системе уравнений стационарного пограничного слоя дилатант-ной жидкости,- Труды семинара им. И.Г. Петровского, вып. 14, 1989, с.89-108

[77] Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике,- М.: Наука, 1967, 428с.

[78] Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения,- М.: Мир, 1970, 684с.

[79] Хуснутдинова Н.В. Об асимптотических свойствах решений уравнения одномерной нестационарной фильтрации двухфазной жидкости.- Динамика сплошной среды, Новосибирск, 1979, вып. 39, с.119-134

[80] Хуснутдинова Н.В. Краевая задача для системы уравнений температурного пограничного слоя.- ДАН СССР, мат. физика, 1972, том 206, 1, с.64-67

[81] Хуснутдинова Н.В. Тепловой пограничный слой на пластине.- ДАН СССР, мат. физика, 1985, том 285, 3, с.605-608

[82] Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика.- М.: Гостоптехиздат, 1963, 396с.

[83] Чекалюк Э.Б. Термодинамика нефтяного пласта.- М.: Недра, 1965, 238с.

[84] Чжоу Юй-Линь Краевые задачи для нелинейных параболических уравнений.-Матем. сб. 47 (89)(1959), с.431-484

[85] Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости (Сборник научных трудов).- Новосибирск, 1972, 228с.

[86] Численное решение задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости (Труды III Всесоюзного семинара).- Новосибирск, 1977, 240с.

[87] Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости (Сборник научных трудов).- Новосибирск, 1975, 318с.

[88] Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости (Труды IV Всесоюзного семинара).- Новосибирск, 1980, 264с.

[89] Швидлер М.И., Леви Б.И. Одномерная фильтрация несмешивающихся жидкостей. - М.: Недра, 1970, 156с.

[90] Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя.- М.: Наука, 1974, 712с.

[91] Шулъман З.П. Конвективный тепломассоперенос реологически сложных жидкостей.- М.: Энергия, 1975, 352с.

[92] Шульман З.П., Берковский Б.М. Пограничный слой неньютоновских жидкостей.-Минск: Наука и техника, 1966, 240с.