Начально - краевые задачи для уравнений одномерного движения двухфазной смеси тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Ахмерова, Ирина Геннадьевна

• Ахмерова, Ирина Геннадьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ахмерова, Ирина Геннадьевна

Введение

1 Разрешимость начально - краевых задач для уравнений движения двух несжимаемых взаимопроникающих вязких жидкостей

1.1 Постановка задачи и основные результаты

1.2 Разрешимость "в малом" по времени.

1.3 Глобальная разрешимость по времени модельной задачи о неизотермическом движении двух взаимопроникающих жидкостей

1.4 Стабилизация решения задачи изотермического движения двухфазной смеси

2 Разрешимость начально-краевой задачи для одномерных уравнений движения двухфазной смеси с непостоянной истинной плотностью

2.1 Постановка задачи и основные результаты

2.2 Локальная разрешимость по времени начально-краевой задачи движения двухфазной смеси с непостоянной плотностью второй фазы

2.3 Разрешимость "в целом" по времени.

2.4 Стабилизация решения задачи неизотермического движения двухфазной смеси

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Начально - краевые задачи для уравнений одномерного движения двухфазной смеси»

В последнее время все больше внимания уделяется моделям, учитывающим эффекты неоднофазности (газированная нефть, насыщенный парами воздух и т.д.)([1]-[4]). Имеется очень много различных моделей для описания многокомпонентных и многофазных смесей. Все они являются весьма сложными как с теоретичекой точки зрения, так и в отношении использования для решения конкретных задач. При построении замкнутой системы уравнений, описывающих движение многокомпонентной смеси, занимающей объем 17 С Rn (ограниченный или неограниченный), используются (см. [1], [5], [6], [7]) уравнения неразрывности (баланса массы) д N VM - eilx [°'ГЬ * = з=i уравнения сохранения импульса В " N = v4fe + pS + P'ii> eOx [0,T], i = 1,.,iV,

3=1 уравнения сохранения энергии д E N з=i для составляющих смеси. Здесь = х = (жь^г^з) ~ декартова система координат в R3, V = щ) - оператор градиента, щ • V = vkVk = Y?k=ivi~&-ki v • г/i = Yfk=i ък и по повторяющемуся индексу используется "немое" суммирование; [О, Т] - промежуток времени, в течение которого происходит движение, Pi(x,t) - приведенная плотность, Vi(x,t) -вектор скорости, Jji характеризует интенсивность перехода массы из j-й в г-ю составляющую (или наоборот, из г-й в ¿-ю, тогда 3^ < 0) в единице объема смеси и в единицу времени. Из закона сохранения массы при различных физико-химических превращений (формально полагая Зц = 0) имеем Зуъ — —Зц- Аналогично, Р^ и - соответственно интенсивность обмена импульса и энергией между ^'-й и г-й составляющими. Из закона сохранения импульса и энергии следует Р^ = —Рц, Е^ = —Е^ (Рц = 0, и Ец = 0).

В уравнениях импульса сг( - тензор поверхностных сил, д\ - вектор внешних сил. В уравнениях для полной энергии Е{ = щ + 1/2| щ | введены обозначения: щ - удельные внутренние энергии составляющих смеси, сг - характеризует работу внешних поверхностных сил (в частном случае = сг^), ^ - приток тепла.

В гетерогенной смеси каждая компонента (в дальнейшем фаза) занимает лишь часть объема смеси {У\ + У^ + . + Уы = У). В связи с этим возникает необходимость введения величин а\,.ам, характеризующие доли объема смеси, занимаемые каждой фазой сх\ сх2 + . + сх-ы = 1) 0, и, таким образом, помимо приведенных плотностей рг, определяются истинные плотности веществ фаз (масса г-й фазы в единице объема г-й фазы) Р°г =

Кроме того, требуют конкретизации величины, описывающие внутрифазные (силовое <тг, энергетическое сг и и межфазные (массовое 3^, силовое —*

Рэнергетическое Е^) взаимодействия.

Из формальных балансовых соотношений [1] интенсивность обмена импульсом представляется в виде Р^ = —Рц = Я^ + З^у^, (г, ^ = 1,., ./V; г ф ]). Здесь Й^ - межфазная сила (отнесенная к единице объема смеси) из-за сил трения, давления, сцепления между фазами и т.д. Обмен импульсом происходит и за счет фазовых превращений. Например, переход ] —> г приводит к тому, что из фазы в г-ю уходит импульс Зу,^^, где Ур характеризует скорость или импульс массы, претерпевающий превращение ] —>• г и находящейся в г-й фазе. Поскольку фазовые превращения происходят на межфазновой границе, то v3l можно рассматривать как скорость всщсства г-й фазы на границе с j-й фазой Учитывая, что для гетерогенных смесей с вязкими жидкостями характерно отсутствие заметных скачков скорости на межфазных границах, предполагается, что v3l = v%3.

Интенсивность обмена энергий между j-й и г-й фазами может быть представлена в виде

Езг = -EtJ = W3i + Q3% + Jji(uzj + 1/2¡ vt3 | ).

Здесь первые два слагаемых представляют приток энергии в г-ю фазу за счет работы Wjt межфазных сил (трения, давления, сцепления и т.п ) и теплопередачи Q3l на границе между j-й и г-й фазами Третье слагаемое представляет перенос внутренней и кинетической энергии вместе с переносом массы из j-ft в г-ю фазу, где и3% - удельная внутренняя энергия массы, претерпевающая переход j —> i и находящейся в г-й фазе. Аналогично скорости v3l величина изг может рассматриваться как удельная внутренняя энергия г-й фазы на границе с j-й фазой. Но в отличие от скоростей v3l внутренняя энергия фаз на межфазной границе терпит разрыв, т е. и3% ф игз.

При рассмотрении термодинамических уравнений фаз принимается гипотеза о локальном равновесии в пределах фазы. Кроме того, принимается гипотеза о том, что фазы представляют собой двухпараметрические среды, т.е. термодинамические функции каждой среды зависят только от двух термодинамических параметров состояния (например, от истинной плотности Рг и температуры Тг или давления рг и температуры Тг). Таким образом, иг = Тг), рг = рг(рЧ, Тг), Sz = Sl{p°t, Тг), (Д = ¿ + Уг ' V) И ДЛЯ КЭЖДОЙ фазы справедливо соотношение Гиббса [1]

Тг Dtst = DtUi+ptDt(l/p4).

Одним из вариантов реологических соотношений в многоскоростной модели является следующая схема силового взаимодействия и совместного деф-формирования фаз [8]

T? = -atpt6kl + TF,(l/3oÍk = -a<pt, тгкк = 0, rkl = т1к) рМЛ) =р2(р°2,Т2) = .=рм(р°м,тм)=р n n ^ % р \7 + ^ ^ ^г

7=1 .7=1

Здесь а^Рг - шаровые составляющие в тензорах напряжений фаз; §к1 - символ Кронекера; р а^ - сила, возникающая из-за расширения трубки тока [8]; характеризует скоростную неравновестность между ^'-й и г-й фазами (^г увеличивается С увеличением У] — щ).

Данная работа посвящена разрешимости некоторых начально-краевых задач для уравнений одномерного движения двухфазной смеси.

Одна из первых моделей двухфазных смесей возникла в задачах вытеснения нефти из пласта с помощью закачивания воды или специальных растворов. Вопросам корректности таких моделей посвящены работы ([9] - [11] и многие другие).

После работы Л.Д. Ландау и Е.М. Лившица по гидродинамике жидкого гелия активизировались работы по созданию моделей, точнее учитывающих неоднородный характер состава реальных жидкостей и газов (в том числе -моделей фильтрации, не использующих эмпирический закон Дарси).

В диссертации рассматривается модель неизотермического движения двухфазной смеси в отсутствие фазовых переходов и с учетом скачка давлений (Х.А. Рахматулин, Р.И. Нигматулин, В.Н. Николаевский [1], [2], [8], [12]), являющаяся обобщением модели фильтрации Маскета-Леверетта двух вязких несжимаемых несмешивающихся жидкостей. Вопрос о корректности начально-краевых задач о движении для таких моделей двухфазных смесей жидкостей (газов) исследован в значительно меньшей степени по сравнению с моделью Маскета-Леверетта или моделью вязкого газа. Это связано с существенным усложнением объекта исследования (модель усложняется, в частности, введением концентрации фазы, связывающей истинную и приведенную плотности). Однако имеется ряд моделей многофазных сред, для которых установлены результаты о разрешимости. Это модели многокомпонентной баротропной смеси (аналог многокомпонентного вязкого газа, понятие концентрации фазы не используется). В работах A.B. Кажихова, А.Н. Петрова, Г.Г. Доронина, H.A. Ларькина, А.Н.Крайко для этой модели исследована разрешимость начально-краевых задач и задачи Коши. В работах О.В. Воинова В.В. Пухначева и А.Г. Петровой получены результаты о локальной разрешимости для уравнений движения эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы из 58 наименований. Нумерация формул, определений, лемм, теорем и констант обособленна внутри каждой из глав. Номер формул, определений, лемм, теорем и т.д. состоит из двух чисел: первое - номер главы, второе - порядковый номер внутри главы. Введение также содержит в себе список основных обозначений, используемых в работе.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Ахмерова, Ирина Геннадьевна

Основные результаты, полученные в настоящей работе, можно сформулировать следующим образом:

1. Доказана локальная по времени разрешимость в пространствах С.Л. Соболева и Гельдера начально-краевой задачи для одномерных уравнений неизотермического движения двухфазной смеси вязких несжимаемых жидкостей с неоднородными граничными условиями.

2. Установлена разрешимость "в целом" по времени для фильтрационного приближения (ускорение и коэффициент вязкости второй фазы пренебрежимо малы) и установлен факт стабилизации решения нестационарной задачи к решению стационарной задачи.

3. Обосновано существование "в малом" по времени обобщенного решения нестационарной неизотермической одномерной задачи о движении смеси твердых частиц и сжимаемого газа (истинная плотность второй фазы -функция температуры и давления) с непостоянной вязкостью фаз.

4. Установлена разрешимость "в целом" по времени в классе сильных решений нестационарной неизотермической одномерной задачи о движении смеси твердых частиц и несжимаемого газа с непостоянной вязкостью фаз, а также установлена сходимость при неограниченном росте времени решения нестационарной задачи с постоянной вязкостью к решению стационарной задачи.

Всего в работе имеется 8 определений, 7 теоремы, 13 лемм и 2 замечания.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ахмерова, Ирина Геннадьевна, 2011 год

1. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. 2. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1987. 360 с.

2. Дейч М.Е., Филлипов Г.А. Газодинамика двухфазных сред. М.: Энер-гоиздат.,1981. 472 с.

3. Оран Э., Борис Д.Ж. Численное моделирование реагирующих потоков. М.: Мир, 1990. 660 с.

4. Rajagopal K.L. and Tao L. Mechanics of mixtures. London: World Scientific Publishing. 1995. 195 P.

5. Антонцев C.H., Кажихов A.B., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука. 1983. 316 с.

6. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1. М.: Наука. 1970. 492 с.

7. Рахматулин Х.А. Основы газодинамики взаимопроникающих движений сжимаемых сред // Прикл. математика и механика. 1956. Т.20. Вып. 2. С. 183-195.

8. Антонцев С.Н. Стационарные задачи двухфазной фильтрации с неизвестными границами // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1978. Вып. 36. С. 3-10.

9. Ведерников В.В., Николаевский В. Н. Уравнения механики пористых сред, насыщенных двухфазной жидкостью // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1978. N. 5. С. 165-169.

10. Монахов В.Н. Автомодельные решения тепловой двухфазной фильтрации // Прикладная механика и техническая физика. 1999. Т. 40. N. 3. С. 9-17.

11. Николаевский В.Н., Басниев К.С., Горбунов А.Т., Зотов Г.А. Механика насыщенных пористых сред. М.: Недра. 1970. 336 с

12. Папин А.А. Разрешимость "в малом" по времени уравнений одномерного движения двух взаимопроникающих вязких несжимаемых жидкостей // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1999. Вып. 114. С. 64-70.

13. Ахмерова И.Г. Разрешимость краевой задачи для уравнений одномерного движения двухфазной несжимаемой жидкости // Известия Алт-ГУ. Барнаул, 2011, №1/2, - С. 7-14.

14. Gard S.К. a.nd Pritchett J.W. Dynamics of gas fluidized beds // Journal of Applied Phisics. 1975. Vol. 46. N. 10. P. 4493-4500.

15. Ахмерова И.Г. Глобальная разрешимость модельной задачи о неизотермическом движении двух взаимопроникающих жидкостей. // Известия АлтГУ. Барнаул, 2005. М, с. 7-12.

16. Ахмерова И.Г., Папин А.А. Глобальная разрешимость модельной задачи о движении двух взаимопроникающих жидкостей

17. Известия АлтГУ. Барнаул, 2002. Спец.выпуск, с.40-46.

18. Gôz M. Existence and uniqueness of time-dependent spatially periodic solutions of fluidized bed équations // ZAMM.Z.angew. Math.Mech. 1991. Vol. 71. N. 6. P. 750-751.

19. Ахмерова И.Г. Разрешимость краевой задачи для уравнений одномерного движения двухфазной смеси

20. Журнал СФУ. 20 - Vol. , № . - Р. . (в печати).

21. Papin A.A., Akhmerova I.G. Solvability of the system of equations of one-dimensional motion of a heat-conducting two-phase mixture Mathematical Notes. 2010. - Vol. 87, № 2. - P. 230-243.

22. Lions P.L., Mathematical Topics in Fluid Mechanics. Vol. 1. Incompressible Models. Clarendon Press. Oxford. 1996. 237 P.

23. Lions P.L., Mathematical Topics in Fluid Mechanics. Vol. 2. Compressible Models. Clarendon Press. Oxford. 1998. 348 P.

24. Файзуллаев Д.Ф., Умаров A.M., Шакиров А.А. Гидродинамика одно -и двухфазных сред и ее практическое приложение.Ташкент: Фан. 1980. 167 с.

25. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1979. 392 с.

26. Папин А.А. Краевые задачи для уравнений двухфазной фильтрации. Барнаул. Издательство АлтГУ. 2009. 220 с.

27. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука. 1978. 656 с.

28. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука. 1967. 736 с.

29. Вайгант В. А. Стабилизация решений неоднородной краевой задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1991. Вып. 101. С. 31-52.

30. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука. 1973. 408 с.

31. Бэр Я., Заславски Д., Ирмей С. Физико математические основы фильтрации воды. М.: Мир. 1971. 452 с.

32. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1976. 544 с.

33. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. М.: Наука. 1978. 304 с.

34. Дейч М.Е., Филиппов Г.А. Газодинамика двухфазных сред. М.: Энер-гоиздат. 1981. 422 с.

35. Жумагулов Б.Т., Монахов В.Н. Гидродинамика нефтедобычи. Алматы: КазгосИНТИ. 2001. 336 с.

36. Злотник A.A. Равномерные оценки и стабилизация решений системы уравнений одномерного движения многокомпонентной баротропной смеси// Матем. заметки. 1995. Т. 58. N. 2. С. 307-312.

37. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир. 1967. 493 с.

38. Коддингтон Э., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Изд-во иностранной литературы. 1958. 286 с.

39. Папин A.A., Ахмерова И.Г. Задача протекания для уравнений движения двух взаимопроникающих вязких жидкостей //Ред. Сиб.мат.журн. Сиб.отд.АН РФ. Новосибирск, 2004.Деп. ВИНИТИ № 37. с.

40. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1976. 542 с.

41. Коновалов А.Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск.Изд-во Новосиб. Госуниверситета. 1972. 128 с.

42. Коновалов А.Н. О некоторых вопросах, возникающих при численном решении задач фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости // Труды МИ АН СССР. 1973. Т. 122. С. 2-23.

43. Ахмерова И.Г. Об одной модельной системе уравнений одномерного движения двухфазной смеси // Сборник научных статей межрегиональной школы-семинара "Ломоносовские чтения на Алтае"Барнаул, 2010. С. 171-175.

44. Папин A.A., Ахмерова И.Г. Разрешимость "в целом "уравнений одномерного движения газожидкостного слоя // Известия АлтГУ, Барнаул, 2007. Вып. 1 (53), - С. 34 - 38.

45. Кутателадзе С.С., Стырикович М.А. Гидродинамика газожидкостных систем. М.: Энергия. 1976. 296 с.

46. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука. 1970. 288 с.

47. Ландау Л.Д., Лившиц В. М. Гидродинамика. М.: Наука. 1988. 736 с.

48. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука. 1970. 904 с.

49. Ляпидевский В.Ю. Моделирование двухфазных течений на основе законов сохранения // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1986. Вып. 76. С. 111-120.

50. Папин A.A. Разрешимость "в малом" по времени уравнений одномерного движения двух взаимопроникающих вязких несжимаемых жидкостей // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1999. Вып. 114. С. 64-70.

51. Папин A.A. Разрешимость "в малом" по начальным данным уравнений одномерного движения двух взаимопроникающих вязких несжимаемых жидкостей // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 2000. Вып. 116. С. 73-81.

52. Папин А.А. Существование решения в "целом" уравнений одномерного неизотермического движения двухфазной смеси. 1.Постановка задачи и вспомогательные утверждения // Сиб.журн.индустр.математики. Новосибирск. 2006. Т. 9. N. 2(26). С. 116-136.

53. Папин А. А. Существование решения в "целом" уравнений одномерного неизотермического движения двухфазной смеси. 2. Результаты о разрешимости // Сиб. журн.индустр.математики. Новосибирск. 2006. Т. 9. N. 3 (27). С. 111-123.

54. Соболев C.JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск. Изд. СО АН СССР. 1988. 333 с.

55. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969. 1071 с.

56. Soo S.L. Development of Dynamics of Multiphase Flows // Int. J. Sci. Eng. 1984. Vol. 1. P. 13-29.

57. Steward H.B. and Wendroff B. Two-phase flows: models and methods // J. Сотр. Phys.1984. Vol. 56. P. 363-409.

58. Wilmanski K. On a homogeneous adsorption in porous materials // ZAMM.Z.angew. Math.Mech. 2001. Vol. 81. N. 2. P. 119-124.