Конвекция в сжимаемых средах при больших числах Рэлея тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.14, кандидат наук Свешников, Максим Викторович

• Свешников, Максим Викторович
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Свешников, Максим Викторович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность

Цель и задачи

Научная новизна

ГЛАВА 1. ВОЗНИКНОВЕНИЕ КОНВЕКЦИИ В ГАЗАХ И ЖИДКОСТЯХ, ОБЗОР ТЕОРЕТИЧЕСКИХ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ СВОБОДНОЙ КОНВЕКЦИИ

1.1. Свободная конвекция в жидкостях и газах

ГЛАВА 2. ЛАМИНАРНАЯ СВОБОДНАЯ КОНВЕКЦИЮ ГАЗА В ЗАМКНУТОЙ ТРУБКЕ ТОКА

2.1. Обоснование использования одномерной нестационарной системы уравнений для исследования свободной конвекции

2.2. Нестационарная система уравнений, описывающая ламинарную конвекцию газа в замкнутой трубке

тока

2.2.1. Тривиальное решение нестационарной системы уравнений для свободной конвекции газа в замкнутой трубке тока, область существования решения

2.2.2. Поиск нетривиального решения нестационарной системы уравнений методом установления

2.2.3. Разработка методики расчета параметров переноса тепла и развития конвекции в замкнутой трубке тока

2.2.4. Использование задачи о распространении температурных волн в полуограниченной среде для поиска параметров переноса тепла и развития конвекции в замкнутой трубке тока при больших и малых числах

Рэлея

2.2.4.1. Алгоритм расчета параметров переноса тепла ламинарной свободной конвекции в кольцевой трубке тока

2.2.5. Использование метода установления для поиска границ возникновения

свободной ламинарной конвекции в замкнутой кольцевой трубке

тока

2.3. Стационарная система уравнений, описывающая ламинарную конвекцию газа в замкнутой трубке тока

2.3.1 Использование стационарной системы уравнений для поиска нетривиальных решений свободной конвекции в кольцевой трубке тока

2.4. Сравнение стационарных решений, полученных при решении стационарной и нестационарной системы уравнений

2.4.1.Преимущества и недостатки при решении стационарной и нестационарной систем уравнений

ГЛАВА 3. ТУРБУЛЕНТНАЯ СВОБОДНАЯ КОНВЕКЦИЮ ГАЗА В ЗАМКНУТОЙ ТРУБКЕ

ТОКА

3.1.Алгоритм расчета параметров переноса тепла ламинарной свободной конвекции в кольцевой трубке тока

ГЛАВА 4. СРАВНЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПЕРЕНОСА ТЕПЛА, ПОЛУЧЕННЫХ В ОДНОМЕРНОЙ И В ДВУМЕРНОЙ ЗАДАЧАХ ДЛЯ КОНВЕКЦИИ ВАЛИКОВЫХ СТРУКТУР

4.1. Постановка и решение одномерной задачи конвекции для

валов

4.2. Постановка и решение двумерной задачи свободной

конвекции

4.3.Сравнение результатов одномерной и двумерной задач

ГЛАВА 5. САМОПОДДЕРЖИВАЮЩИЕСЯ ДОЗВУКОВЫЕ ТЕРМОКОНВЕКТИВНЫЕ ТЕЧЕНИЯ В КАНАЛЕ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ С ПОДВОДОМ И ОТВОДОМ ТЕПЛОТЫ ПРИ ОТСУТСТВИИ ВНЕШНИХ СИЛОВЫХ ПОЛЕЙ

5.1. Задача о течении газа в канале переменного сечения

5.1.1. Система уравнений, описывающая течение газа в канале переменного сечения

5.1.2. Теплоэнергетические установки с МГД-генератором и турбиной на основе термоконвективных течений в каналах переменного

сечения

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список условных обозначений и сокращений

Список литературы

ПРИЛОЖЕНИЕ А

А. 1 .Текст программы метода установления нестационарной системы

уравнений для ламинарной и турбулентной свободной

конвекции

А.2.Тестирование метода установления для одномерной нестационарной системы уравнений

А.2.1. Тест на сходимость

А.2.2. Тест на затухание скорости течения газа

А.2.3. Тест на получение адиабатического градиента в контуре

А.3. Особенности расчета основных характеристик переноса тепла для ламинарной свободной конвекции методом установления с использованием задачи о распространении температурных

волн

А.4. Особенности расчета основных характеристик переноса тепла для турбулентной свободной конвекции методом установления с использованием задачи о распространении температурных волн

А. 5. Текст программы метода Рунге-Кутта стационарной системы уравнений для ламинарной и турбулентной

свободной конвекции

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Конвекция в сжимаемых средах при больших числах Рэлея»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы

Свободная конвекция играет важнейшую роль в тепломассообменных процессах как в природе так и в технике. Исследованию свободной конвекции посвящено чрезвычайно большое число экспериментальных, теоретических и расчетных работ, использующих различные вычислительные методы [1-10], [12-43]. Конвекция возникает при существовании тепловой неоднородности в жидкости и газовой средах. Такая неоднородность является источником движения в результате действия различных механизмов, например, таких как поверхностное натяжение, сила Архимеда. Существует также стабилизирующее воздействие вязкости, стремящееся подавить движение. Фундаментальной характеристикой процесса возникновения конвекции является существование порога, выше которого возникает и существует организованное движение упорядоченных структур. Явление конвекции весьма распространено в природе. Типичными примерами конвекции являются атмосферные ветры, в частности бризы и муссоны. Нагреваясь над одними участками Земли и охлаждаясь над другими, воздух начинает циркулировать, перенося с собой энергию и влагу. Явление это весьма сложное. На процесс естественной конвекции накладывается ряд факторов, в частности суточное вращение Земли, рельеф местности, влияние морских течений и т. д. В основе ветрообразования лежит именно явление конвекции. Особенно прост и нагляден механизм возникновения берегового бриза. Днем суша прогревается быстрее воды, у которой теплоемкость очень велика. Поэтому температура суши выше температуры воды. Нагретый над сушей воздух поднимается вверх, на его место поступает холодный воздух с моря, и у поверхности Земли ветер дует с моря на берег. Ночью картина меняется на противоположную: земля быстрее остывает, вода сохраняет более высокую температуру, и ветер у поверхности Земли направлен с берега в сторону

моря. Конвективные движения в атмосфере широко распространены. Они возникают в результате особого рода неустойчивости воздуха, известной как статическая или конвективная неустойчивость. Конвективная неустойчивость характеризуется тем, что частица, сместившаяся по вертикали относительно исходного уровня (на котором она находилась в равновесии), под действием силы плавучести не возвращается на этот уровень, а продолжает удаляться от него.

Причиной является вертикальная стратификация атмосферы: температура в окружающем воздухе падает с высотой быстрее, чем в адиабатически поднимающейся частице, и последняя, таким образом, оказывается теплее окружающего воздуха на всех уровнях выше исходного. Другими словами, в статически неустойчивом ненасыщенном воздухе вертикальный градиент температуры больше сухоадиабатического, а в насыщенном — больше влажноадиабатического. Конвективные движения черпают свою кинетическую энергию из потенциальной энергии неустойчиво стратифицированного воздуха.

Наблюдаемая во многих геофизических процессах, свободная конвекция несмотря на многочисленные исследования и ряд важных результатов, до сих пор содержит ряд нерешенных проблем. Анализ некоторых задач до сих пор вызывает затруднение из-за математических сложностей полного решения нелинейной задачи.

К одной из таких задач относится свободная конвекция при больших геометрических масштабах (движение жидкости в атмосфере, гидросфере, мантии и т.д.).

КОНВЕКЦИЯ В АТМОСФЕРЕ

Рис. 1. Структура циркуляции атмосферы (http: //climate101 .livej ournal .com/4317 .html)

Рис.2. Конвективные движения воздуха над гидросферой (http: //climatelO 1 .livej ournal .com)

В технике явление свободной конвекции нашло применение в термосифонных системах и контурах естественной циркуляции. Термосифонными называются водонагревательные системы с естественной циркуляцией (конвекцией) теплоносителя. Например, термосифонная гелиосистема делится на три основные части: плоский коллектор (абсорбер), трубопроводы, бак-накопитель для горячей воды (бойлер).

Сам термосифон состоит из двух спиралевидных змеевиков; верхнего, нижнего и парового коллекторов. Змеевики, соединенные с верхним и нижним коллекторами, образуют контур первичной циркуляции и являются основной напорной частью. Вода, под воздействием тепла горелки и разницы плотностей, начинает двигаться по контуру. Скорость циркуляции зависит от разности плотностей воды, высоты верхнего коллектора и сопротивления

горячая вода

Рис.3. Солнечная водонагревательная система (http://solar-kollektor.ru/split/split-sistema.htm)

системы. Нагретая до парообразования вода поступает в паровой коллектор, где преобразуется в пар, поступающий к потребителю.

Рис.4. Универсальная термосифонная установка ( http://new-h.ru)

Рис.5. Устройство АЭС (циркуляция в первом контуре поддерживается

естественной конвекцией).

( https://refdb.ru/look/1370397-p2.html)

Кроме того, конвекция находит применение в атомной энергетике и теплоэнергетике. Циркуляция теплоносителя в первом контуре АЭС [47], или контурах котельных установок [46] может осуществляться не за счет механической работы насосов, проталкивающих теплоноситель, а за счет неравномерного распределения среднемассовой плотности по длине контура теплоносителя, вызывающей подъемно-опускные течения, которые осуществляются при помощи возникающего при этом стационарного поля градиента давления, поддерживаемого нагревом и охлаждением теплоносителя на отдельных участках контура.

Наряду с системами контуров естественной циркуляции развиваются исследования возможностей создания периодических конвективных течений в замкнутых каналах переменного по длине сечения. В таких системах сила тяжести не играет роли, а конвекция реализуется за счет подвода и отвода теплоты на различных участках контура.

Возможность создания таких систем (и теплоэнергетического оборудования на их основе) обосновывалась в диссертации [7], а также в работах [35-40]. Автор диссертации [7] показывает, что конвекция, как физическое явление, может стационарно поддерживаться даже без помощи внешних массовых сил: градиент давления в канале может возникать за счет влияния переменности сечения по длине замкнутого контура при движении сжимаемой среды в этом контуре. В работах [39-40], например, обсуждается возможность создания теплоэнергетических установок на основе МГД-генератора с позиции термодинамического подхода. Показано, что термодинамический КПД циклов таких систем близок к КПД цикла Карно, при этом максимальная температура может достигать 4000 К, а течение в канале может быть сверхзвуковым. Однако, термодинамический подход к расчету замкнутых циклов, как сам показывает автор этих работ [39-40], дает завышенную оценку для КПД таких циклов, и не учитывает влияния потерь кинетической энергии потока на трение в канале переменного сечения. Поэтому в данной

диссертации, в главе 5 , в рамках численного одномерного расчета в гидравлическом приближении, проводится анализ распределения параметров потока друг относительно друга (расчет реальных термодинамических циклов : Р-У и Т-Б диаграмм), и отдельно друг от друга вдоль рассматриваемой модели канала переменного сечения.

Для обычной естественной конвекции, на сегодняшний день уже скопилось огромное количество результатов проведенных экспериментальных и численных исследований свободной конвекции, однако, как уже упоминалось, до сих пор существуют проблемы решения задач свободной конвекции в больших геометрических масштабах. Для них экспериментальное исследование сложно реализовать, а при математическом моделировании возникает еще одна проблема: свободная конвекция при таких масштабах является турбулентной, и до сих пор не предложено математических моделей, результаты которых хорошо согласовались бы с экспериментальными данными. В связи с этим представляют научный интерес модели, позволяющие, как минимум, качественно исследовать такие сложные процессы. Автором данной диссертации были разработаны и предложены для использования простейшие модели, позволяющие рассчитывать основные теплофизические характеристики естественной конвекции.

Цель и задачи диссертации, научная новизна Цель и задачи

Целью диссертационной работы является:

1. Разработка одномерных математических моделей и методик, позволяющих определять границы возникновения, область существования и развитие конвекции в каналах постоянного и переменного сечений при наличии и отсутствии поля силы тяжести.

2. Разработка одномерных математических моделей, позволяющих проводить расчет параметров естественной конвекции в сжимаемых средах при больших (минимум до Яа=\015) числах Рэлея .

З.Численное исследование возможностей создания

самоподдерживающихся дозвуковых термоконвективных течений газа в канале переменного сечения с подводом и отводом теплоты в отсутствии поля силы тяжести.

Научная новизна

Представлены новые одномерные математические (стационарные и нестационарные) модели и алгоритмы их решения, позволяющие качественно определить условия возникновения и существования конвективных течений газа для двух типов задач: задачи о свободной конвекции газа в отдельно взятой конвективной ячейке (полости) при горизонтальном и вертикальном обогревах, и задачи о самоподдерживающемся термоконвективном течении газа в канале переменного сечения при отсутствии поля силы тяжести. Для задачи свободной конвекции газа в конвективной ячейке при горизонтальном и вертикальном обогревах при помощи численного моделирования одномерной системы нестационарных уравнений течения газовой среды разработан метод определения основной теплофизической характеристики свободной конвекции: зависимости числа Нуссельта

(безразмерной эффективной теплопроводности) т = —- от

числа Рэлея Ка. Для его вычисления, в условиях ламинарной и турбулентной свободной конвекции, для определения эффективной толщины контура естественной конвекции впервые была использована теория температурных волн в полуограниченной среде [4], при помощи которой, для одномерной математической системы нестационарных уравнений, описывающих свободную конвекцию, были получены зависимости Ыы от Ка, хорошо коррелирующие с экспериментальными данными.

Для проверки правильности найденных решений и наличия других возможных стационарных решений для полей плотности, температуры и скорости, полученных методом установления для свободной конвекции в замкнутом контуре, дополнительно была решена стационарная задача свободной конвекции газа, в которой нестационарные уравнения были сведены к стационарным.

Для задачи о самоподдерживающемся термоконвективном течении газа в канале переменного сечения при помощи численного решения одномерных стационарных уравнений определена область существования конвективного течения. Кроме того, определен сам характер поведения основных характеристик термоконвективного течения для различных тепловых

режимов течения в виде зависимостей комплексов: безразмерных телопвых ?(+) ?(+)

потоков —--——, —-—гт ^ „ от числа Маха М и - размерных тепловых

р • Ср • а • Т -д р • Ср • и • Т -д

потоков д(+) от величины расхода С,рассматриваемых в различных сечениях канала. Также рассматривается возможность использования такого рода течений в различных теплоэнергетических установках, на примере конкретных задач для МГД-генератора и турбины.

Достоверность результатов

Достоверность результатов обеспечивается построением математических моделей на основе классических уравнений гидродинамики и тепломассообмена при минимальном количестве допущений; тщательностью вычислительной реализации моделей; проведением специальных методических расчетных исследований; сопоставлением результатов с известными экспериментальными данными независимых научных групп [2125].

Апробация работы

Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на конференциях:

21-ой Международной научно-технической конференции аспирантов и студентов МЭИ "Радиоэлектроника электротехника и энергетика" г. Москва , 26-27 февраля 2015 г.,

22-ой Международной научно-технической конференции аспирантов и студентов МЭИ "Радиоэлектроника электротехника и энергетика" г. Москва , 25-26 февраля 2016 г.

23-ой Международной научно-технической конференции аспирантов и студентов МЭИ "Радиоэлектроника электротехника и энергетика" г. Москва , 2-3 марта 2017 г.

21-ой юбилейной конференции Национального комитета РАН по тепло- и масообмену "Фундаментальные и прикладные проблемы тепломассообмена" совместно с 21 Школой-семинаром молодых ученых и специалистов под руководством академика РАН А. И. Леонтьева "Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках" г. Санкт-Петербург, 22-26 мая 2017 года.

Публикации

Основное содержание диссертации изложено в 2 статьях [6, 7], опубликованных в рецензируемых журналах из списка ВАК.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, 5-ти глав, заключения, списка литературы и двух приложений.

В 1-ой главе проведен обзор теоретических и экспериментальных исследований явления свободной конвекции в жидкостях и газах.

Во 2-ой главе рассматривается элементарная конвективная ячейка, для которой проводится физическое обоснование использования модели трубки тока на основе одномерной нестационарной системы уравнений, описывающей свободную конвекцию газа в этой трубке тока, для расчета основных теплофизических параметров свободной конвекции: зависимости числа Нуссельта Ыы от числа Рэлея Ка. На основе выполненного решения нестационарной одномерной системы уравнений предлагается новая методика расчета зависимости Ыы от Ка для ламинарной и турбулентной свободной конвекции с использованием известной задачи о распространении температурных волн в сплошной среде. Также приводится описание алгоритма этой методики расчета Ыы от Ка для ламинарной свободной конвекции.

Для замкнутой модели трубки тока приводится также тестовый способ решения задачи свободной конвекции в ячейке при помощи стационарной системы уравнений. Предлагается использование данного метода решения в качестве проверки решений, полученных при решении нестационарной системы уравнений.

В главе 3 приводится описание методики расчета Ыы от Яа для турбулентной свободной конвекции. Приведено сравнение с экпериментальными данными по естественной конвекции в замкнутом объеме и плоской щели.

В главе 4 выполняется сравнение полученной в диссертации зависимости числа Ыы от числа Яа, с результатами численного моделирования в системе ANES стационарной двумерной задачи естественой конвекции.

В главе 5 обосновывается возможность создания термоконвективных течений в канале переменного сечения в отсутствии внешних силовых полей. Рассматривается возможность использования термоконвективных течений в различных теплоэнергетических установках, на примере конкретных задач для МГД-генератора и турбины.

ГЛАВА 1. ВОЗНИКНОВЕНИЕ КОНВЕКЦИИ В ГАЗАХ И ЖИДКОСТЯХ, ОБЗОР ТЕОРЕТИЧЕСКИХ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ СВОБОДНОЙ

КОНВЕКЦИИ

1.1.Свободная конвекция в жидкостях и газах

Впервые возникновение конвекции в горизонтальном слое жидкости было описано Джеймсом Томсоном (James Thomson) в 1888 году. Он наблюдал сотообразные структуры в сосуде с мыльной водой. Кроме того, он отметил, что аналогичные структуры он увидел в тарелке с охлаждающимся говяжьим бульоном. Систематическое исследование конвективных движений в горизонтальном слое жидкости начинается с работ Б. Бенара (B.H. Benard) в 1900 году. В своем объяснении возникновения сотообразных шестиугольных ячеистых структур Бенар анализировал роль вязкости жидкости и поверхностного натяжения.

Первое теоретическое исследование задачи возникновения конвекции в горизонтальном слое жидкости было выполнено Рэлеем (Lord Rayleigh) в 1916 году для двух свободных границ (рис. 1.1.1).

Z

g

т-==--==-7 Т=Т2=Т1 AT при Z = h

/ / / / / / /// / /~/ / / Т = Тг при ^ = О

Рис. 1.1.1 .Физическая модель Рэлея для спектральной краевой задачи

Анализ Рэлея позднее был расширен Джеффри (H. Jeffreys) и Лоу (A.R. Low) для двух жестких и смешанных границ [1], [2]. Было установлено, что переход от режима теплопроводности (диффузии) к режиму конвекции в горизонтальном слое жидкости, подогреваемом снизу, происходит при некотором критическом значении безразмерного комплекса, названного впоследствии числом Рэлея. Это число определяет отношение подъемных сил к силам вязкостного трения. Теория Рэлея объясняет возникновение конвективного движения под влиянием архимедовых подъемных сил.

Граничные условия, использованные Рэлеем, были искусственными, хотя решение, найденное на этой основе, позволило получить простое объяснение конвекции спектральной краевой задачей, учитывающей особенности проблемы. Рассмотрим эту задачу:

Задача включает в себя систему гидродинамических уравнений в приближении Буссинеска (или Обербека—Буссинеска). Первоначальное

(узкое) значение этого термина таково [12,18,19,20]. Плотность вещества считается функцией одной лишь температуры Т (т.е. предполагается несжимаемость):

где р0 -значение плотности при некоторой подходящим образом выбранной

"средней" (или, лучше сказать, отсчетной) температуре Т0. Пусть объемный коэффициент теплового расширения / мал, и материальные параметры жидкости (кинематическая вязкость V, температуропроводность а, в том числе / ) мало меняются в рассматриваемой области. Тогда для не слишком быстрых процессов плотность и эти параметры можно считать постоянными повсюду в уравнениях, за одним исключением: вариацию плотности необходимо сохранить в члене, соответствующем силе плавучести, где она умножается на ускорение свободного падения §. При этом оказывается пренебрежимым тепловыделение из-за вязкой диссипации. Для механического равновесия в поле силы тяжести неподвижная неоднородно нагретая жидкость должна быть баротропной, т.е. для такого равновесия необходимо, чтобы было [ур, § ] = о, и следовательно [ут, § ] = о. Кроме того, если физические характеристики практически постоянны в рассматриваемом объеме, то статическое баротропное распределение температуры должно быть линейной функцией от вертикальной координаты 2 (высоты): Т = Т -а- ^ (Т =свт1). Индекс я обозначает статическое, невозмущенное значение физической переменной (т.е значение, соответствующее неподвижному состоянию жидкости). Тогда Т {г) -невозмущенная температура, а-невозмущенный градиент температуры. Для произвольной величины Т величина в = Т - Т будет называться возмущением температуры, а отклонение давления от его статического распределения, определяемого

(111)

невозмущенным линейным температурным профилем,- возмущением давления р. Тогда в таких обозначениях, уравнения Буссинеска имеют вид:

— + (и-У)и =-Ур--§/в + уДи (112)

Ы ро

дв + цу(Т +в) = аАв, (1.1.3)

дг

(Или = 0. (114)

Наиболее строгое обоснование приближения Буссинеска при весьма широких предположениях дали Перес Кордон и Веларде [13], они же обобщили его [14] на случай, когда проявляют себя эффекты сжимаемости (в толстом слое) и вязкой диссипации. Обсуждение условий применимости приближения Буссинеска имеется в книге [1].

Везде в дальнейшем, кроме специально оговоренных случаев, будем иметь в виду ситуации, когда приближение Буссинеска справедливо.

Рассмотрим плоский горизонтальный слой жидкости (рис. 1.1.1 ) 0 < г < к (ось .г декартовой системы координат х, у, г направлена вверх, так,

что § = {0,0,-§} ) и будем считать, что температуры его недеформируемых верхней и нижней поверхностей фиксированы (т.е. что теплопроводность границ слоя бесконечна):

Т = Т при г = 0 , (1.1.5)

Т = Т2 = Т - ДТ при г = к , где ДТ = ак. Это определяет условие в = 0, (1.1.6) на обеих границах. Ограничимся случаем а > 0.

Каждую из поверхностей слоя будем считать либо жесткой, либо свободной, вводя на этой границе соответственно либо условие прилипания жидкости на жесткой границе

и = 0, (1.1.7)

либо условие обращения в нуль вертикальной компоненты скорости и тангенциальных напряжений:

Л и диу А

и2 - 0-—— = 0 на свободной границе; (1.1.8)

02 02

(для нижней границы последние два условия (1.1.8), как правило, весьма искусственны, но процедура решения уравнений сильно упрощается выбором таких условий; известные случаи, когда допущение свободных границ сильно влияет на свойства решений, будут в дальнейшем отмечены). В литературе встречается несколько способов перехода в данной задаче к безразмерным переменным. В дальнейшем будем пользоваться следующим, наиболее употребительным. В качестве единицы длины выберем толщину

слоя к , единицы времени — время вертикальной диффузии теплат — к2 ¡а ,слоя единицы времени — время вертикальной диффузии тепла, единицы температуры — разность температур АТ между поверхностями слоя. Тогда система уравнений (1.1.2)-(1.1.4) запишется в следующем безразмерном виде:

J_

Pr

— + (uV)u dt v A

= -Vrn + ezRa0 + M; (1.1.9)

d0

— - uz + uV0 = A0 ; (1.1.10) dt

divU = 0; (1.1.11)

Здесь Ra = ; Pr = v ; „ = p (1.1.12);

va a p0

ez -единичный вектор направления z.

Ra, Pr — основные параметры, характеризующие режим конвекции, называемые, соответственно, числами Рэлея и Прандтля: Ra, Pr . Считая и и 0 бесконечно малыми, линеаризуем (1.1.9) и (1.1.10) по этим переменным, а затем, подействуем на (1.1.9) оператором ez rot rot и воспользуемся (1.1.11).

Система сведется к двум уравнениям, определяющим uz и 0.

Исключим и, зафиксируем горизонтальный волновой вектор к = {кх , ку ,0} и будем искать и. в виде нормальных мод ехр(Х1:)-ю(х) -_/(г), где Я - икремент, х = {х, у,0},а ю(х)- некоторое пространственно-периодическое решение двумерного уравнения Гельмгольца Дю+к 2ю=0, т.е. линейная комбинация

N , .

®(х) = X с} ехр^х), Дю + к2ю = 0 ,

]=1

где векторы к] отличаются только ориентацией: |к;.| = к .Для w получим

(б2 - к2 -я\б2 - к2 -—я1(я2 - к2)/ = -Яак2/. (1.1.14)

2 1Л 1 | п 2 1Л _

V Рг ,

где D = d/dz.

Граничные условия (1.1.6) — (1.1.8) с учетом (1.1.11)

ди.

дают и. = -— = 0 ,и = 0 на жесткой границе, (1.1.15)

и„ =

д 2и.

2 а_2

= 0 ,и = 0 (1.1.16), на свободной границе.

дг2

Преобразованные уравнения (1.1.9), (1.1.10) для нормальных мод позволяют свести (1.1.15), (1.1.16) к набору условий для одной переменной иг (или для w):

А 1 ^ \2 2 1 *

/ = Б/ = Б - 2к - — Я Б / = 0 на жесткой границе, (1.1.17)

V Рг

/ = Б2 / = Б4 / = 0 на свободной границе. (1.1.18)

Таким образом, (1.1.14) вместе с условиями (1.1.17) и (1.1.18) образуют задачу на собственные значения инкремента Я и собственные функции _/(г).

В случае двух свободных границ эта задача решается просто и приводит к явному выражению для собственных значений Яп, соответствующих собственным функциям /п = $>\п(пл2), (п=1,2,...):

А. =

Pr+1

2

= (n 2к2 + k 2 )+.

i

f

Pr-1

V

2

(n 2 к2 + k 2 )

+

Raj^Prk

n2 к2 + k2

(1.1.19)

Из этого выражения видно, что при всяком Ra > 0 оба имеющихся значения Ап (R, P, k) действительны, причем одно из них всегда отрицательно, а другое — положительно при

(пк2 + k2 )

Ra > Ran = ^-р-(1.1.20)

и отрицательно при Ra < Ran (k) (далее под An будем понимать именно это

второе значение). Каждая функция Ran (k) имеет минимум. Линия Ra = Ra1 (k) на плоскости (k, R) разграничивает области затухания всевозможных бесконечно малых возмущений и нарастания возмущений низшей моды

п = 1 (рис. 1.1.2).

27

При Ra < Rac = minRal(k) = Rax(kc) = ~к4 = 657.5

к

kc = к= 22 (1.1.21)

состояние покоя жидкости в слое устойчиво относительно бесконечно-малых возмущений.

Величины Rac и kc называются, соответственно, критическим числом Рэлея и критическим волновым числом. В случаях, когда обе поверхности слоя являются жесткими и когда одна —жесткая, а другая — свободная, задача требует более громоздких выкладок, но качественно приводит к тем же результатам (при другом виде собственных функций). Таким образом рис 1.1.2. схематически изображает нейтральную кривую, разделяющую область теплообмена на две зоны, расположенных над и под кривой. Область над кривой- зона устойчивого конвективного теплообмена, область под кривой- зона устойчивого молекулярного теплообмена.

Отметим, что для двух жестких границ Яас=1708 кс=3.12

Вблизи Яа=Яас, к=кс инкремент Я = Я1 (Яа, Рг, к) может быть представлен разложением:

Я =т0-1 [г-^02 (к - К )2 ], (1.1.22)

Яа - Яас

где е = —--- (1.1.23)

Яас

£ — относительная надкритичностъ , а характерные масштабы времени и длины:

( яч Л"1 ( 1 „^п Л12

^0 =

Яа. дЯ

4

0

1 ё2 Яах

V 2Яас ёк1 , к

(1.1.24)

V дЯа ) Яс кс

называются соответственно временем релаксации и длиной когерентности. Важной чертой нормальных мод линейной задачи является вырождение собственных значений по разнообразным функциям /(2) — инкременты Я зависят лишь от волнового числа к = |к;.| .Различным /(2) соответствуют

решения в виде различных систем конвективных ячеек — элементов пространственно-периодической структуры течения, обладающих тем свойством, что на их вертикальных границах равна нулю нормальная компонента скорости. Конфигурацию ячейки в плоскости (х, у) называют планформой. В линейной задаче, таким образом, имеется вырождение по планформам. Вопрос о том, какие планформы должны реально наблюдаться, составляет, наряду с вопросом об отборе волновых чисел, часть общей проблемы реализуемости конвективных течений.

Обычно, при переходе от молекулярного переноса тепла теплопроводностью среды к конвективному, первичные сформированные конвекцией структуры имеют форму валов (рис.1.1.8а).

Рис.1.1.2. Нейтральная кривая устойчивости слоя неподвижной жидкости [2]. Выше кривой-область неустойчивых состояний,

ниже-устойчивых

Рис.1.1.3. Схематическое изображение конвективных ячеек [2]. а -Двумерные валы. б — Шестиугольные ячейки I- и g- типов

1.Двумерные валы (рис. 1.1.3a) имеют "прототип", даваемый функцией f(x) = cos kx . (1.1.27)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Свешников, Максим Викторович, 2017 год

Список Литературы

1. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. Главная редакция физико-математической науки, М: изд-во "Наука"Д972.392 с.

2. Гетлинг А.В. Формирование пространственных структур конвекции Рэлея-Бенара. Т.161. Успехи физических наук. Сентябрь 1991.247 с.

3. Артемов В. И., Поляков А. Ф. Свободная конвекция и теплообмен при около сверхкритических давлениях жидкости в горизонтальной полости с боковым нагревом.М.: ТВТ, 51:5, 2013. С. 724-737

4. Карслоу Х.С.Теория теплопроводности, гл. III, Гостехиздат,1947. 488 C.

5. Исаченко В.П., Осипова В.А., Сукомел А. С. Теплопередача. Изд. 2-е. М.: Энергия. 1969 . 487 с.

6. Синкевич О.А., Свешников М.В. Ламинарная конвекция газа в замкнутой трубке тока. Инженерная физика.Изд. "Научтехлитиздат", М:2016 .№ 9. C.55-69.

7. Глазков В. В. Самоподдерживающиеся термоконвективные потоки в отсутствие внешних силовых полей. Диссертация кандидата технических наук: 01.04.14. Моск. энерг. ин-т.Москва 1994.

8. Глазков В. В., Свешников М. В., Синкевич О. А. Стационарные течения в замкнутом контуре при подводе и отводе теплоты и отсутствии внешних силовых воздействий. ТВТ. 53. № 2. 2015. С. 225-230

9. Петухов Б.С., Генин Л.Г., Ковалев С.А. Теплообмен в ядерных энергетических установках. Москва, Атомиздат 1974. 406 с.

10. Горбунов А.А., Никитин С.А., Полежаев В.И. Об условиях возникновения конвекции Рэлея -Бенара и теплообмене в околокритической среде. МЖГ № 5, 2007, С.75-82.

11. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров.Москва, "Высшая школа" 1994. 544 с.

12. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability. — Oxford: Clarendon Press, 1961.P. 704.

13. Perez Cordon R., Velarde M.G. On the (nonlinear) foundations of Boussinesq approximation applicable to a thin layer of fluid. //J. de Phys. 1975. T. 36. P. 591.

14. Perez M.G. Cordon R. On the (nonlinear) foundations of Boussinesq approximation applicable to a thin layer of fluid. II. Viscous dissipation and large cell gap effects. Velarde Ibidem. 1976. T. 37. P. 177.

15. Oberbeck A. Uber die Warmeleitung der Flussigkeiten bei der Berucksichtigung der Stromunger infolge von Temperaturdifferenzen, Ann. Phys. Chem. 7(6), 1879, P. 271-292.

16. Boussinesq. J. Theorie Analitique de la Chaleur, vol. 2 (Gauther-Villars, Paris.1903)

17. Spiegel E.A., Veronis G. On the Boussinesq approximation for a compressible fluid. Astrophys J. 131 (2), 1960, P. 442-447.

18. Graham А. Shear patterns in an unstable layer of air.Phil. Trans. Roy. Soc. A.1933. V. 232. P. 285.

19. Tippelskirch H.V.,1956.Uber Konvectionzellen, insbesondere im flussigen. Schwefel . Beitr. Phys. Atmosph. 1956. Bd. 29. P. 37-54.

20. Pellew A. , Southwell R.V. On the maintained convective motion in the fluid heated from below .Proc. Roy. Soc. London Ser. A. 176 (1940). P. 312-343.

21. Funfschilling D., Bodenschatz E., and Ahlers G. Search for the "ultimate state" in turbulent Rayleigh-B'enard convection, Phys. Rev. Lett. 108, 024502 -Published 9 January 2012. P.1-4.

22. Chavanne X., Chilla F., Castaing B., Hebral B., Chabaud B., and Chaussy J. Observation of the Ultimate Regime in Rayleigh-Benard Convection, Phys. Rev. Lett. 79, 1997. P.36-48,

23. Chavanne X., Chilla F., Chabaud B., Castaing B., and Hebral B.

Turbulent Rayleigh-Benard convection in gaseous and liquid He,Phys. Fluids 13, (2001), P.1300-1320.

24. Niemela J. J. and Sreenivasan K. R., J. The Use of Cryogenic Helium for Classical Turbulence: Promises and Hurdles, Low Temp.Phys. (2006). P.143-163

25. Niemela J. J. Skrebek L., Sreenivasan K. R., and Donnelly R.

Turbulent convection at very high Rayleigh numbers, Nature 404,837 (2000). 26. Whitehead, J. A., and Parsons B., Observations of convection at Rayleigh numbers up to 760,000 in a fluid with large Prandtl number, Geophys. Astrophys. Fluid Dyn., 9, 1978. P.201-217.

27. Busse F.H., Whitehead J.A. Oscillatory and collective instabilities in large Prandtl number convection. Journal of Fluid Mechanics Ibidem. 1974. V. 66. P.67-68.

28. Whitehead J.A., Chan G.L. Stability of Rayleigh-Benard convection rolls and bimodal flow at moderate Prandtl number. Dyn. Atmosph. Oceans. 1976. V. 1.

P. 33-49.

29. Jeffreys H. The stability of a compressible fluid heated from below // Proc. Cambr. Phil. Soc. 1930. V. 26. < 2. P. 170-172.

30. Krishnamurti R. Finite amplitude convection with changing mean temperature. Part 1:Theory. J. Fluid Mech. 1968. V. 33. P. 445.

31. Krishnamurti R. Finite amplitude convection with changing mean temperature. Part 2. An experimental test of the theory. P. 457-463.

32. Поляков А.Ф. Вязкостно-термогравитационная конвекция и теплообмен в вертикальной полости при различных тепловых условиях. ТВТ, 2015. 53:5. С. 758-764.

33. Яньков Г. Г. Моделирование сложных процессов тепломассообмена в элементах энергетического оборудования. Дис. д. т. н. МЭИ. 2009

34. Попов В.Н., Яньков Г.Г. Свободная турбулентная конвекция около вертикальной пластины. Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1985. № 3. С. 122—133.

35. Глазков В.В., Синкевич О.А., Самоподдерживающиеся термоконвективные течения в отсутствии внешних силовых полей. Изв. РАН. Механика жидкости и газа, 1994, С. 11-17.

36. Глазков В.В., Синкевич О.А, Чикунов С.Е. Создание и поддержание циркуляции среды в замкнутом контуре посредством прямоточного газово-реактивного двигателя. Изв. РАН, Энергетика, 2000, № 1, С. 113-119.

37. Sinkevich O.A., Glaskov V. V. New type of the MHD generator for nuclear reactor, Proc. 8-th Beer-Sheva Int. Seminar on MHD Flow and Turbulence, Jerusalem, Israel, 1996, p.126.

38. Ватажин А.Б., Любимов Г.А., Регирер С.А. Магнитогидродинамические течения в каналах. М.: Наука. 1970 . 672 С.

39. Леонтьев А.И., Шмидт К.Л. Безкомпрессорный идеальный цикл замкнутой газотурбинной установки. Изв. РАН. Энергетика. 1997. №2. С. 132-141.

40. Леонтьев А.И. К оптимизации равновесных циклов тепловых машин. Изв. РАН, Энергетика. 2007. №1. С. 132-141.

41. Головизнин В.М., Короткин И. А., Финогенов С.А. Моделирование турбулентной естественной конвекции в замкнутых вытянутых по высоте областях. Вычислительная механика сплошных сред. 2016. Т. 9, № 3. С. 253-263.

42. Моисеева Л. А., Черкасов С. Г., Стационарный свободно-конвективный теплообмен в цилиндрической емкости при равномерном теплоподводе и одновременном отводе тепла через локальные стоки. ТВТ, 1997, Т. 35, выпуск 4, 564-569

43. De Vahl Davis G. Natural convection of air in a square cavity: A bench mark numerical solution. Int. J. Numer. Meth. Fl., 1983, vol. 3, no. 3, pp. 249-264. DOI.

44. Макаров С.С. Математическое Моделирование процесса возникновения естественной циркуляции теплоносителя в циркуляционном контуре. Диссертация кандидата технических наук: 01.02.05.ИПМ Уро РАН. Ижевск 2004 .

45. Будников В.И., Савихин О.Г., Чистов А.С. Численное моделирование нестационарных теплогидравлических процессов в контурах циркуляции водяного теплоносителя перспективной АЭС. Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2013, № 1 (1), С. 158-163.

46. Лебедев И.К. Гидродинамика паровых котлов: учеб. пособие для вузов.-М.: Энергоатомиздат. 1987 г.240 с.

47. Благовещенский А. Я., Бор С. М., Конович М.Н. и др. Энергетические режимы работы реакторной установки с ВВЭР-1000 на естественной циркуляции теплоносителя. Теплоэнергетика. 2004 .№ 2. С. 36-41.

48. Лабунцов Д.А., Ягов В.В. Механика двухвазных систем. М.: Издательский дом МЭИ, 2007. 384 с.