Концентрация напряжений в однонаправленных композитах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор физико-математических наук Михайлов, Александр Михайлович

• Михайлов, Александр Михайлович
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Михайлов, Александр Михайлович

Введение.

Глава 1. Уравнения движения однонаправленного композита.

1.1 Вывод уравнений движения с помощью правдоподобных допущений.

1.2 Фомальный вывод уравнений исходя из точных уравнений теории упругости.

Глава 2. Обзор литературы.

Глава 3. Статические напряжения в случае изолированных дефектов.

3.1 Общее решение.

3.2 Граничная задача.

3.3 Частные случаи.

3.4 Более общая задача.

3.5 Дальнейшие примеры.

3.6 Разброс прочности композита.

Глава 4. Статические задачи о трещинах нормального разрыва.

4.Г Трещина нормального разрыва в однородном поле.

4.2 Системы трещин.

4.3; Трещина, симметрично нагруженная на берегах.

Глава 5. Взаимодействие трещин нормального разрыва и сдвига.

5.1 Формулировка краевой задачи.

5.2 Упрощение задачи в случае малой длины трещины отслоения.

5.3 Решение упрощенной краевой задач.

5.4 Анализ случая п = 0.

Глава 6. Динамические задачи.

6.1 Плоская волна в полупространстве.

6.2 Нагружение цилиндрической оболочки с ребрами жесткости.

6.3 Внезапное образование трещины.

Г 6.4 Стационарное движение полубесконечной трещины.

Основные результаты исследований.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Концентрация напряжений в однонаправленных композитах»

Механика композитов получила в настоящее время большое развитие в связи со все более широким их применением в качестве конструкционных материалов. Любой композит представляет собой неоднородное тело, причем размеры, форма, взаимное расположение армирующих включений могут сильно? колебаться в пределах одного образца, реологические свойства компонент обычно также весьма сложны. Поэтому исторически первым и весьма? распространенным; до настоящего; времени подходом; к построению механических моделей4 композитов явилось, сведение их к однородному,, вообще говоря анизотропному телу с некоторыми эффективными характеристиками, например упругими, модулями. Вычислению последних: посвящена обширная литература (см.,напимер,монографии[11,18,23*65] и обзорные статьи [3,63]). Такой подход дает возможность достаточно точно описывать "макромеханику" композитов, то есть находить поля напряжений и деформаций, усредненных по достаточно большому числу структурных элементов. Этой информации, однако, часто оказывается недостаточно; Например, в задачах динамики теория эффективных модулей не описывае дисперсию упругих волн, их взаимодействие с границами раздела компонент. В s связи с этим были разработаны различные усовершенствованные модели в той или иной мере учитывающие структуру композитов, например модель Болотина (сформулирована' в [4-7], обзор; работ см. также в [8]), теория: эффективных жесткостей (см; [2,37]) и другие. Разработаны континуальные модели, позволяющие по напряженоому состоянию t композита восстановить напряжения* в. каждой из компонент (например, модель Болотина после "размазывания», модель Немировского [38,39]).

Существует, однако, класс задач, для«решения которых необходимо как можно точнее знать о поведении материала в областях, сравнимых с характерным размером структурной неоднородности. К таким задачам? относится, в частности, задача: о разрушении. . Даже при ее решении применительно к однородному телу приходится учитывать атомную структуру последнего, вследствие чего в классическую теорию разрушения г Гриффиттса входит константа материала (плотность поверхностной энергии), связанная с межатомным? взаимодействием* [56]. Тем? более необходимо явно учитывать, структуру при? изучении разрушения; композита. Поскольку, однако, точно учесть; ее по-видимому невозможно, приходится* пользоваться некоторыми! упрощенными моделями кусочно-однородного тела.

Настоящая диссертацияi посвящена: деформированию- и разрушению однонаправленного композита, состоящего из относительно жестких параллельных волокон; пространство? между которыми заполнено? существенно более податливым связующим. При работе такого материала волокна^ располагаются? вдоль линии действия; внешних растягивающих нагрузок, а связующее способствует более равномерному распределению напряжений-: между волокнами. Кроме современных конструкционных материалов можно привести в качестве примеров; резинотросовую ленту транспортера (см.,например,[82,83]), покрышку автомобильной шины; или ледовый; покров реки, армированный стальными канатами. Выбор математической» модели композита, используемой в данной работе, определялся тем, чтобы она была: достаточно простой для исследования; и в то же время давала возможность выявить в чистом виде основные качественные особенности изучаемых явлений: Поэтому в ■ дальнейшем^ предполагается; что армирующие волокна работают лишь на растяжение — сжатие как одномерные стержни, а связующее - только г на сдвиг на площадках, параллельных волокнам. Этот весьма распростаненный подход был впервые по-видимому предложен Аутвотером [76] для упрощения; вычисления статических эффективных модулей) и впоследствии обобщался рядом авторов (обзор литературы содержится в: главе 2). В действительности, конечно, напряженное состояние композита является более сложным. В частности, волокна могут не только растягиваться, но и изгибаться, а связующее несет часть, нормальной нагрузки. Тем не менее, указанная идеализация оправдана, так как модули Юнга волокон и связующего отличаются на один -два порядка, а продольные деформации примерно одинаковы. Главное же, принятая гипотеза упрощает математическое исследование и дает, как показано ниже, возможность решать достаточно сложные задачи как в статике, так и в динамике.

Мало этого, исследование, проведенное в [48] (см. п. 1.2 настоящей диссертации) показывает, что такой подход есть не что иное, как длинноволновое приближение для точного двумерного динамического решения- теории упругости' для • слоистого тела (подобно; балочному приближению для=полосы со свободными поверхностями). В этом приближении исчезает взаимодействие между горизонтальными и вертикальными смещениями, и связанная? система? теории упругости распадается на две независимые. Одна из этих систем как раз и соответствует описаннаму выше подходу. Система, соответсвующая; движению поперек направления; армирования; описывает изгиб волокон, для которых связующее является упругим основанием и сжатие связующего в направлении, перпендикулярном волокну. Таким образом, неучет изгиба волокон связан просто с тем,. что в задачах, рассмотренных далее, внешние нагрузки в направлении, перпендикулярном волокнам, отсутствуют. В; следущем приближении (в смысле, описанном в 1.2) такой учет становится необходимым.

В; настоящей диссертации исследование проведено в рамках упругого поведения материала. Ясно, что вне сферы нашего внимания остались важные классы < задач, но, к сожалению, достичь существенных успехов на пути их аналитического' решения пока не удалось. Полученные результаты, могут играть роль первого приближения в этом; направлении и служить верхними оценками концентраций напряжений вблизи дефектов.

Диссертация; состоит из шести глав. Первая глава описывает математи-f ческую модель, принятую для описания распределения напряжений в составном упругом.теле с внутренними дефектами типа разрывов волокон и трещин сдвига, развивающихся по связующему между волокнами. Полное исследование такой задачи в строгой постановке теории упругости слишком сложно как с точки зрения получения решения, так и с точки зрения последующего анализа этого "исчерпывающего" решения; Поэтому проводится упрощение точных упругих уравнений, позволяющее получить ряд аналитических решений, качественно верно передающих эффекты концентрации напряжений;

Во второй главе содержится обзор работ, в которых используется примерно такой же подход к изучению прочности: композитных материалов — использование представлений о композите как о среде; имеющей структуру с явным заданием прочности каждого компонента. При этом оказывается * как правило невозможно использовать классическую теорию разрушения Гриффитса-* Ирвина-Орована. Если при достаточно мелкой структуре рассматривать композитный материал либо как дискретный, либо как сплошной, то ответы на вопрос, разрушится он • или нет, оказываются не только различными (что естественно), но даже не сравнимыми. Это отмечено в обзоре [ 107], как неразрешимое противоречие. В четвертой ишестой главе диссертации это противоречие будет снято и два подхода к разрушению будут примирены.

В третьей главе приводятся решения задач о напряжениях вокруг одного разрыва волокна в композитном образце из конечного числа волокон, в полубесконечном и бесконечномкомпозитах, а также вокруг систем разрывов, образующих периодические структуры. Это периодические ряды разрывов? в направлениях перпендикулярном волокнам и вдоль одного волокна, а также двумерные сетки дефектов. Анализ всевозможных конфигураций дефектов позволил теоретически рассчитать разброс прочности композита и построить соот-ветсвующие гистограммы.

Четвертая глава посвящена противоположному случаю - дефекты сгруппированы плотно, так, что образуют трещины нормального разрыва. Приведены в явном аналитическом виде решения об одной трещине в однородном растягивающем поле, о трещине с. симметричными нагрузками на. ее берегах, о свободной полубесконечной? трещине, о нескольких трещинах; лежащих на прямой, перпендикулярном направлению * армирования. В' последнем случае: удалось свести задачу к системе стольких линейных уравнений; сколько имеется трещин. После этого предыдущие случаи (одиночные трещины) представляются тривиальными, а случай распадения трещины на отдельные изолированные разрывы — наиболее трудным. Проведен: предельный, переход к сплошной ? среде с трещиной и путем сравнения •• формул для?критериев разрушения; при; дискретном5 и континуальном подходе удалось* выразить, прочностные свойства композита как сплошной среды (поверхностная энергия; критический коэффициент интенсивности напряжений) через микроструктурные свойства компонентов (прочность компонентов, размеры структурных компонентов).

В пятой главе разбирается < взаимодействие трещины нормального разрыва с трещиной расслоения, возникающей в кончике. Оказывается, что трещина расслоения с ростом внешней нагрузки устойчиво растет в некотором диапазоне роста нагрузки, а напряжение в первом целом волокне падает. Поскольку исследование проводилось методом малого параметра (его роль играет длина > трещины расслоения), строго утверждать, что либо о дальнейшем поведении < трещины невозможно. Численные эксперименты показывают, что при: достижении некоторой нагрузки трещина расслоения уходит на бесконечность.

В' шестой главе решаются динамические задачи. Учет инерции связующего сразу обнаруживает качественное отличие среды со структурой от однородной среды. Плоская!волна, распространяющаяся! вдоль направления армирования в однородной среде (или в дискретной среде с безынерционным< связующим) не приводит к появлению касательных напряжений на «главных площадках, параллельных волокнам. Однако в композите с инерционным связующим такие напряжения появляются и могут объяснить склонность композитов к расслоению при ударных нагрузках: В качестве примеров рассмотрены задачи о внезапном нагружении; волокон на границе полуплоскости из композита нагрузкой типа Хевисайдовской по времени. Приведены решения для случаев, когда нагружается каждое волокно (аналог плоской волны) и каждое шестое волокно (аналог цилиндрической оболочки с ребрами жесткости): Решение получено ; в виде последовательности * рекуррентно вычисляемых излученных и отраженных волн. Другой тип задач - смешанные задачи о внезапном разрыве нескольких волокон в равномерно растянутой плоскости, -позволяет вычислять динамическую перегрузку в целых волокнах, соседних с трещиной.

Последняя шестая; глава посвящена стационарному движению полубесконечной свободной трещины нормального разрыва. Получена зависимость эффективной поверхностной энергии от скорости движения. При малых скоростях эта величина убывает, а затем растет. В частности, при некоторойI скорости, играющей для композита роль релеевской, эффективная поверхностная; энергия обращается в бесконечность. Этим определяется максимально возможная скорость стационарного движения трещины в композите.

Изложенные в диссертации исследования выполнялись на протяжении; 1973-2003 годов и опубликованы в следующих работах:

1. Михайлов A.M. О разрушении однонаправленного стеклопластика // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела. 1973; №5; С.131-139.

2. Михайлов* A.M. Динамика однонаправленного стеклопластика // Журн .прикл. мех. и техн. физики. 1974. №4. С.139-145.

3; Михайлов A.M. Динамическая v концентрация г напряжений г около ? дефекта в стеклопластике // Динамика сплошной среды: Новосибирск, Институт гидродинамики СО АН СССР. 1974: Вып. 19-20. С.66-73.

4. Михайлов A.M. Трещина сдвига в однонаправленном стеклопластике // Изв. АН СССР; Механика тверд, тела. 1975. №1. С. 101-110.

5. Михайлов. А.М. Неосесимметричное динамическое нагружение оболочки с ребрами жесткости // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела. 1979. №1. С.163-170.

6. Ермак А.А., Михайлов A.M. Динамическая концентрация напряжений в стеклопластике //Журн. .прикл. мех. и техн. физики. 1978. №6. С. 121-129.

7. Ермак:А.А., Михайлов А.М- Теоретическое вычисление разброса прочности стеклопластика // Журн. прикл. мех. и техн. физики. 1980. №6. С.104-110.

8. Михайлов A.M., Слепян Л.И. Стационарное движение полубесконечной трещины в композите // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела. 1986. №2. С.180-187.

9. Михайлов* A.Ml // Динамические задачи о разрушении композита. // Динамика неоднородных сред и взаимодействие волн с элементами конструкций. Новосибирск: ИРД СОАН СССР. 1987.С.41-45.

10. Ланкина Е.А., Михайлов A.M. Вычисление разброса прочности в трехмерном композите // Динамика сплошной среды: Деформирование и разрушение современных материалов и конструкций. Новосибирск: ИГиЛ СО АН СССР. 1991. вып. 103. С.83-87.

11. Ланкина Е.А., Михайлов A.M. Фундаментальные решения теории однонаправленного композита // Журн .прикл. мех. и техн. физики. 1992. №3. С.120-127. ,

12. Михайлов А.М; Длинноволновое приближение в теории однонаправленного композита // Журн .прикл. мех. и техн.физики. 1993. №6. С.116-125.

13; Михайлов г A.M. Концентрация, напряжений» в дефектном композите // Сб.трудов Всероссийской школы-семинара, по современным проблемам механики деформируемого твердого тела. Новосибирск. 18-21 октября 2003 г. С.157-161.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на VI Всесоюзном симпозиуме по теории распространения упругих и упруго-пластических волн, Фрунзе, сентябрь 1975 г.;

II Всесоюзной конференции «Смешанные задачи механики деформируемого тела», Днепропетровск, сентябрь 1981 г:

VII I Всесоюзном симпозиуме по теории распространения упругих и упруго-пластических волн, Новосибирск, апрель 1986 г;

Всероссийской школе-семинаре по современным проблемам механики деформируемого твердого тела, Новосибирск, октябрь 2003 г.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Михайлов, Александр Михайлович

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ

Анализ проведенных в настоящей работе исследований позволяет сформулировать следующие основные результаты.

1. В диссертации. разработана теория однонаправленного композита, занимающая; промежуточное положение между точной теорией упругости составного материала и однородной анизотропной моделью с некоторыми * эффективными модулями.

Построена формальная процедура, регулирующая это промежуточное положение между крайними случаями. Сформулирован достаточно простой вариант теории, учитывающий реальную структуру композита, и позволяющий решать достаточно содержательные сложные задачи. При этом напряженно' деформированное состояние определяется порознь для каждого компонента с учетом их динамического взаимодействия;

2. На основе принятых уравнений решены задачи о концентрации напряжений, порождаемой наличиемдефектов в; структуре композита. В частности, рассмотрены изолированные дефекты и собрания дефектов, образующие трещины. Найдены напряжения в волокнах и в связующем, позволяющие судить о типе разрушения (разрыв волокон или расслоение связующего).

3. Параллельное рассмотрение композита как сплошной среды и* как дискретной позволило устранить кажущееся противоречие при г формулировке критериев разрушения. Установлена связь между прочностными интегральными характеристиками композита как сплошного тела и характеристиками его «микроструктуры».

4. Исследована устойчивость некоторых конфигураций; дефектов и нагрузок, причем оказалось, что некоторые дефекты упрочняют композит, а появление расслоений стабилизирует трещину нормального разрыва.

5. Изучен вклад сил. инерции; в концентрацию напряжений при внезапном разрыве одного и нескольких волокон. Но даже при s отсутствии дефектов и одинаковом * нагружении; всех волокон в связующем появляется: концентрация касательных напряжений за счет отставания связующего от волокон. Бели бы связующее было безынерционным, касательные напряжения равнялись бы нулю. То же самое происходит в плоской волне в однонаправленном композите, который аппроксимируется сплошной средой. Здесь проявляется важность учета микроструктуры. Решена задача о стационарном движении свободной полубесконечной трещины в дискретной среде. Найдена предельная скорость движения трещины. Соотношение между свойствами микроструктуры и эффективной поверхностной энергией сплошного тела в зависимости от скорости.

212

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Михайлов, Александр Михайлович, 2004 год

1. 1.Абдукадыров С.А., Степаненко М.В.Об особенностях распространения гармонических волн в плоском слое, контактирующему упругой средой // Физ.-тех. пробл. разработки полезных ископаемых. 1979; №5. С. 52-62.

2. Ахенбах Дж.Д. Колебаниями волны в направленно армированных композитах // Композиционные материалы; М.: Мир. 1978. Т.2. С.354-400.

3. Баренблатт F. И., Салганик Р. Л. О расклинивании хрупких тел. Автоколебания при расклинивании.-— ПММ, 1963, т. 27, Вып. 3, С. 436-449

4. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973. -632 С.

5. Беран М.Дж. Применение статистических теорий для определения тепловых, электрических и магнитных свойств неоднородных материалов // Композиционные материалы. М.: Мир. 1978. Т.2. С.242-286.

6. Болотин В .В. К теории слоистых плит // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1963; №3 С.65-72.

7. Болотин В.В. Об изгибе плит, состоящих из большого числа слоев // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. 1964. №1. С.61-66.8; Болотин В.В. Основные уравнения теории армированных сред // Механика полимеров. 1965. №2. С.27-37.

8. Болотин В.В: Прочность, устойчивость и колебания многослойных, пластин // Расчеты на прочность. М. 1965. Вып.Ш С.31-63;

9. Ю.Болотин В.В. Некоторые вопросы механики композитных материалов // Механика полимеров. 1975. №1. С. 126-1331

10. Болотин В.В., ПАРЦЕВСЮШ В.В. Напряжения в слоистой среде при действии сосредоточенной силы // Изв. АН СССР. Механика тверд., тела. 1968. №2. С.52-57.

11. Брычков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука. 1977. 288 С.

12. З.Ван Фо Фы Г.А. Теория армированных материалов с покрытиями.Киев: Наукова думка, 1971. -230 С., ил.

13. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Физматгиз, 1963. -639 С.

14. Гельфанд И. М:, Шилов F. Е. Обобщенные функции и действия над ними. М., Физматгиз, 1958:

15. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов: и произведений. М.: Физматгиз, 1963. -1100 С., ил.

16. Диткин В.А., Прудников, А.П. Справочник по. операционному исчислению. М.: Высшая школа, 1965; 466 с.

17. Ермак А.А. Распределение напряжений в глубине однонаправленного стеклопластика приего разрушении // Динамика сплошной среды: Новосибирск, Институт гидродинамики СО АН СССР: 1980. Вып. 48. С. 48-53:

18. Ермак А.А. Влияние инерции связующего на поведение однонаправленного композита; Новосибирск, 1980: — 33 С. — Рукопись представлена Институтом горного дела СО АН СССР. Деп; в ВИНИТИ 19 ноября 1980 г. №. 4914-80 ДЕП.

19. Ермак А.А., Михайлов A.M. Динамическая концентрация напряжений в стеклопластике. // Журн .прикл.мех. и техн. физики; 1978. №6. С.121-129.:

20. Г.Ермак А.А., Михайлов A.M. Теоретическое вычисление разброса прочности стеклопластика // Журн .прикл. мех. и техн.,физики. 1980. №6; С. 104110.

21. Жуков В .А. Влияние параметров, тросовой ленты на: распределение напряжений в стыковом соединении//ФТПРПИ. 1986.№3;С.94-99.

22. Иванова B.C., Копьев И.М:, Ботвина • JI.P., Шермергор Т.Д. Упрочнение металлов волокнами. М;: Наука, 1973; — 207 С.

23. Колпаков А.Г. Концентрация напряжений в армированном брусе // Динамика сплошной среды: Новосибирск, Институт гидродинамики: СО АН СССР. 1977. Вып. 28. С.163-168.

24. Колпаков А.Г. Напряжения в волокнистом композите, имеющем дефекты армирования < // Динамика сплошной среды: Новосибирск, Институт гидродинамики СО АН СССР. 1978. Вып; 34. С.63-73.

25. Колпаков А.Г., Влияние неоднородностей на напряженно-деформированное состояние и прочность однонаправленного композита. // Динамика сплошной среды: Новосибирск, Институт гидродинамики СО АН СССР: 1978. Вып. 37. С. 78-89.

26. Колпаков А.Г. Эффективные характеристики конструкции из однонаправленного композита // Динамика сплошной среды: Новосибирск, Институт гидродинамики СО АН СССР. 1980. Вып. 45: С.98-114.

27. Композиционные материалы волокнистого строения/ Г.А.Ван Фо Фы, Д.М.Карпинос, Л.И.Тучинский и др. Киев: Наукова думка, 1970. — 403 е., ил.

28. Копьев И.М., Овчинский А.С. Разрушение металлов, армированных волокнами. М.: Наука, 1977. — 240 е., ил.

29. Котов М.А., Жуков. В.А. и др. Исследование концентрации напряжений при растяжении резинотросовой конвейерной ленты, имеющей повреждение// ФТПРПИ. 1984:№2.С.72-76.

30. Красносельский М.; А., Перов< А. И:, Поволоцкий А. И., Забрейко П: П. Векторные поля на плоскости. М;: Физматгиз, 1963. 245с.

31. Кулахметова Ш. А. Динамика трещины в анизотропной решетке. // Докл. АН СССР. 1985. Т. 281 № 2. С. 300-303.

32. Кулахметова III. А., Сарайкин В. А., Слепян. // Л. И. Плоская задача о трещине в решетке.- Изв. АН СССР. МТТ. 1984: № 3. С. 112-118;

33. Купер Г.А. Микромеханические аспекты разрушения. // Композиционные материалы. М.: Мир 1978. Т.5. С.440-475.

34. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций i комплексного переменного. М.: Наука, 1987.-6876 е., ил.

35. Ланкина Е.А., Михайлов А.М. Вычисление разброса прочности: в трехмерном композите // Динамика сплошной среды: Деформирование и разрушение современных материалов и конструкций. Новосибирск: ИГиЛ GO АН СССР.1991. Вып. 103: С.83-87.

36. Ланкина Е.А., Михайлов А.М. Фундаментальные решения теории однонаправленного композита // Журн .прикл. мех. и техн. физики., 1992. №3. С. 120-127.

37. Люстерник Л: А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 520 с.41 .Милейко G.T., Сорокин Н.М., Цирлин A.M. Прочность бора-люминия — композита с хрупким волокном. // Механика полимеров. 1973; №5. С.840-846.

38. Михайлов A.M. О разрушении однонаправленного стеклопластика 7/ Изв. АН СССР. Механика тверд, тела. 1973. №5. С.131-139.

39. Михайлов А.М. Трещина сдвига в однонаправленном стеклопластике // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела. 1975. №1. С.101-110.

40. Михайлов A.M. Неосесимметричное динамическое нагружение оболочки с ребрами жесткости // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела. 1979. №1. С. 163-170.

41. Михайлов A.M. // Динамические задачи о разрушении композита. // Динамика неоднородных сред и взаимодействие волн с элементами конструкций. Новосибирск: ИГД СОАН СССР. 1987.С.41-45.

42. Михайлов A.M. Длинноволновое приближение в теории однонаправленного композита// Журн .прикл. мех. и техн. физики. 1993. №6. С. 116-125.

43. Михайлов A.M. Концентрация напряжений в дефектном композите // Сб.трудов Всероссийской школы-семинара по современным; проблемам механики деформируемого твердого тела. Новосибирск. 18-21 октября 2003 г. С.157-161.

44. Москвитин В1В., Овчинский А.С. Динамика перераспределения напряжений в разрушившемся волокне при упругом деформировании компонентов композиционного материала // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. №1. С.120-124.

45. Мун Ф.В. Удар и распространение волн в композиционных материалах // Композиционные материалы. М.: Машиностроение, 1978. Т.7. ч.Г. С.354-400.

46. Овчинский А.С., Немцова С.А., Копьев И.М; Математическое моделирование процессов разрушения композитных материалов, армированных хрупкими волокнами // Механика полимеров, 1976. №.5, С.800-808.

47. Пагано Н.Дж. Роль эффективных модулей в исследовании упругих свойств слоистых композитов // Композиционные материалы. М.: Мир. 1978. Т.2. С. 13-37.

48. Пагано Н. Дж. Точные модули анизотропных слоистых композитов // Композиционные материалы. М.: Мир. С.38-60.

49. Парцевский В.В. Распределение напряжений в слоистых композитах // Механика полимеров. 1970. №.2. G.319-325.

50. Парцевский В.В: G растяжении слоистого пространствах вырезами, нормальными к слоям // Изв. АН СССР. Механика: тверд, тела. 1970. №.4 С.195-198.

51. Парцевский В.В: Распределение напряжений; в дискретной модели слоистой среды вблизи разреза // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела. 1977. №.3 С.103-108.

52. Парцевский В.В. Плоская деформация слоистого композита с поперечной трещиной // Механика полимеров 1978: №.4. С.632-636.

53. Парцевский В.В. Об эффективной'длине армирующего элемента в слоистых композитах // Механика полимеров. 1978. №.5: G.918-920.

54. Парцевский В.В: Взаимодействие некоторых несовершенств > в слоистых композитах // Прикладная механика. 1980. T.XVI. №.3. С.65-69.

55. Парцевский // В:В: Об устойчивости расслоений в композитах // Механика композитных материалов. 1983; №5. С.794-798.

56. Работнов Ю.Н. Механика: деформируемого твердого: тела. М.: Наука, 1979>744с, ил.

57. Ромалис Н.Б., Тамуж В.П. Разрушение структурно-неоднородных тел. Рига: Зинатне, 1989. -224с. ил.

58. Розен Б.У., Дау Н.Ф: Механика разрушения: волокнистых композитов // Разрушение. М.: Мир, 1976 Т.7. С.300-366.

59. Сахарова Е.Н., Овчинский А.С. Динамика перераспределения напряжений в разрушившемся волокне композиционного материала // Механика композитных материалов. 1979. №.1. G.57-64.

60. Сахарова Е.Н., Овчинский А.С. Динамика перераспределения напряжений при: разрушении: волокон композитного материала // Механика композитных материалов. 1980. №.4. С.608-615.

61. Сендецки Дж. Упругие свойства композитов // Композиционные материалы. М.: Мир, 1978. Т.2. С.61-101.74:Слепян Л.И. Нестационарные упругие волныЛ.: Судостроение, 1972. -376с., ил.

62. Слепян Л. И: Механика трещин. Л.: Судостроение, 1981. 296с.

63. Слепян Л.И. Антиплоская задача о трещине в решетке // // Изв. АН СССР. Механика тверд, тела. 1982: №. 5. С. 101-115.

64. Слепян Л.И. Динамика хрупкого разрушения в средах со структурой. // Изв: АН СССР. Механика тверд, тела. 1984: №. 6. С. 121-130.

65. Слепян Л.И., Троянкина Л.В: Теория трещин. Л.: Судостроение, 1976. -44с, ил.

66. Степаненко М.В. Огдинамике разрушения однонаправленного композита стеклопластика//Журн .прикл. мех. и техн. физики. 1979. №.4. С. 155-163;

67. Степаненко М.В. Численный эксперимент по динамике разрушения композитного материала // Механика композитных материалов. 1980: №.6.

68. Г.Тарнопольский Ю.М:, Кинцис Т.Я. О механизме передачи усилий при деформировании ориентированных стеклопластиков // Механика полимеров. 1965. №.1. С.100-110.

69. Тарнопольский Ю.М., Розе А.В., Поляков В.А. Приложение теории многослойных сред к изучению ориентированных стеклопластиков // Изв. АН СССР: Механика. 1965: №.2. С.131-134.

70. Фихтенголъц; Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1969. Т. 2. -800 е., ил.

71. Фихтенголъц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1969. Т. 3. -656 е., ил.

72. Фрейденталь А., Гейрингер X. Математические теории неупругой сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962. -432 с.

73. Хаит Е.Б. Динамика разрушения волокна в армированном материале // Докл. АН СССР. 1975. Т.222. №.3. С.572-574.

74. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения. М;: Наука, 1974. -640 с.

75. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука, 1977.-399 е., ил.

76. Achenbach J.D., Herrmann G. Wave motion in solids with lamellar structuring // Dynamics of structured solids. New York, 1968 P. 23-46.

77. Fichter W.B. Stress concentration around5 broken filaments in a filament-stiffened sheet NASA Technical Note D-5433, Langley, 1969.

78. Fichter W.B. Stress concentration in a filament-stiffened sheet of finite length. NASA Technical Note D-5433; Langley, 1970;

79. Franklin H.G: Hole stress concentration in filamentary structures;// Fiber science and technology. 1970. V. 2. №. 3; P. 241-249.95 .Hedgepeth J.M. Stress concentration in filamentary structures NASA Technical i Note D-822, Langley, 1961.

80. Hedgepeth J.M., Van Dyke P. Local stress, concentrations in imperfect filamentary composite materials // J. Сотр. mat. 1967. V.l. P. 294-309.

81. Ko W.Z. Fracture behavior of a nonlinear woven fabric materials // J.Comp. Mat. 1975. V. 9. №. 4. P. 361-369:

82. Ko W.Z., Nagy A., Francis P.H.Zindholm U.S. Crack extension in filamentary materials // Eng. Fract. Mech. 1976. V. 8. №. 2. P. 411-424.

83. Kulkarni S.V., Rosen B.W., Zweben C. Load concentration factors for circular holes in composite laminates // J: Сотр. Mat. 1973. V. 7. №.3. P. 387-3931

84. Outwater J.O. Plastics reinforcement in tension // Mod. Plast. 1956. V. 33. №. 7. P: 156-248.

85. Peck J.C., Gurtman G.A. Dispersive pulse propagation parallel to the interfaces of a laminated composite. Tr. ASME, ser. E, Appl. Mech., 1969, V. 36. №. 3, p. 479-484.

86. Stepanenko M.V. Transient stress waves and fracture in fibrous materials. XXI Polish Solid Mechanical Conference. Abstracts. Warsaw, 1979, p. 148149.

87. Sun C.T., Achenbach J.D., Herrmann G. Time-harmonic waves in a stratified medium propagating in the direction of the layering // Tr. ASME. Ser. E. Appl. Mech. 1968. V. 35. №. 2. P. 408-411.

88. Van Dyke P., Hedgepeth J.M. Stress concentration from single filament failure in composite materials. // Textile Res. J. 1969. V. 39. №. 7. P. 618-626.

89. Whitter J.S., Peck J.C. Experiments on dispersive pulse propagation in laminated composites and comparison with theory // Tr. ASME. ser. E. Appl. Mech. 1969 V. 36. №. 3. P. 485-490.

90. Zender C., Deaton J.W. NASA Technical Note D-1609, Langley, 1963.

91. Zweben C. On the strength of notched composites // J. Mech. Phys. Sol. 1971. V. 19. №.3. P. 103-116.