Конформная наложимость поверхностей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, Ведерников В.И.

• Ведерников В.И.
• 1949

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Конформная наложимость поверхностей»

Теория наложимости поверхностей,-^возникшая из практических потребностей картографии, принадлежит к числу основ* «ых проблей классической дифференциальной- геомегрии поверхностей пространства Евклида. Первые исследования по теории наложимости поверхностей принадлежат русскому акаде , Л 'Г * мику Эйлеру,.который•изложил с вои результаты в работах

1771 и 1884 f. В 1827 г. Гаусс.в своем ^^^r^rw^Cu. иеъьу~ v устанавливает. основания геометрии на поверхности и. связывает. задачу наложимости с внутренней геометрией поверхностей. После работ Гаусса появляются многочисленные исследования по теории наложимости поверхностей. Важнейшие ре-/ зультаты общего характера были получены русским математиком Ииндингон-.з работах 1837-46 гг. и< Бонне /1884/. Кроме Эйлера.-и. Mwид-mrfi значительные результаты были получены учеником Миндинга ПетерспномХХ//. В 1868 г. Петер-сон определяет .изгибание на главно»! основании и получает в этом направлении фундаментальные результаты, на много лет опередившие исследования иностранных математиков. Исследования Петорсопа'были продолжены в работах Млодзе-евског.о /1887 г. и позднее в работах Носковс.кой математической школы /Фиников, Егоров, Бюшгенс, Ефимов/. В начале XX века, наряду с -классической'дифференциальной • геометрией поверхностей пространства- Евклида, начинает развиваться проективная,- аффинная и конформная дифференциальная геометрия поверхностей. Фубинц з 1916 г. опре-деляет проективную наложимость, обобщая «аложим-и-вть по- • -верхи ост ей классической дифференциальной геометрии. Он х/ I гл . I хх/ №. 2 Введ-ение определяет проективную наложимость .следующим- образов Соответствие между точками двух поверхностей £ ш S называется- пр;оектив.ной наложимостью* ес'лк для каждлй «роч-ки & на J5 кожно найти проективноепреобрабование 2~*- % которое переводит кривую - С , негодящую из течки ^ и принадлежащую , в кривую 'Г* а которая имеет 'аналитическое ООирПНОС"ОВ еНИО 2-го порядка с кривой с' , кото-, рая на и. соответствует кривой С wa £ . Два поdерхноотк- между'каторш/й можно установить соответствие наложикостп называются, про е к тив н о•«алояимнод поверхностями. Картам в 1920 г. распространил донятио наложимости на геометрию любой группы преобразований,-определяя ее следую-щиы обр&зомл2/. Дама группа преобразований \Е1 } . Поверхность 5 налагается на поверхность S в геометрии группы преобразований {к} , если между точками, их устаиавлива-ется ззаикмр-однозначное соответствие так,- что каждой паре сходственных точек'^ и Ж можно присоединить преобразование £Г группы {£-} t которое переводит поверхность^ в положение ,3 , .под условием: I/ Точка. *ЛС на поверхности S совместился ог положением соответств$гющей точки ЛС поверхности £ 2/ каждая кривая на поверхности j£> ,проходящая через точку Ж будет иметь в этой точке каса -нтдо к г~ порядка с соответствующей кривой поверхности то-есть расстояние между точками *4С и , близких Р*ц к общей точке ь= г будет бесконечно малое поряд -ка п* ■i по'сравнению с расстоянием их от бхдей точки. Определенная гачии .образом наложимость совпадает с классической наложимостью поверхностей, причем {Ь ] в этом случае есть группа движения и i и с проективной наложимостью Фу бичи. х/ т 3 гл. 71 § 27 хх/ Е 4 гл. Ш § I

Такое.учив-ерсальяоо определение наложимости п.оверхно--стей не является единственно.эозкозртни'обобщением класс-ческой наложимости поверхностей. Кроме того, в случае геометрии .аффинной группы, наложимость поверхностей в 'смысле Еартана возможна только для двух аффинно-тождеств очных поверхностей, то-есть по существу не приводит к це-- : / ' ли. В настоящей работе определяется и исследуется наложимость поверхностей в конформном пространстве, обобщая классическую наложимость поверхностей, причем, как будет -J показано, в § 10, наложимость в смысле Картана.не совпадает. с определенной нами наложимостью.

§ I. Конформно-дифференциальная-.геометрия нормализованной' поверхности.

Мы рассматриваем поверхность в трехмерном конформном про-странстве Мебиуса-, .заданную в пентасферических координа-т ах ' • •

У ' =- (У 1 ~ О п cujb где через (сь - обозначаем • ближайший коваринат двух с фер. - 1

Дифференциальная, .геометрия поверхности пространства Мебиуса развита А.ГкНордеиом, исходя из общей ид ей нормализации поверхности. Мы изложим здесь основные сведения из теорий нормализованных- поверхностей, которые нам потребуются в дальнейшем. Поверхность называется нормализован-- / ной^//если* в- каждой точке-поверхности определен круг ортогональной 'поверхности .или нормализующий круг, проходя-^ щий через эту точку. Всякий круг ортогональной поверхности в, точке л с ъс' ъсУ можно определить как пересечение двух сф.ерХ// г = ^г^С * - = , ( I Л ) ■ я выбор вектора или нормализатора определит в каждой ^ точке поверхности нормаяиэуащий круг./Выбор вектора определит-Нормализации поверхноота{ В этом § иы раэвива* ои дифференциальна геометрии) нормализованной поверхности, то»ес?ь поверхности» на которой заранее определена некоторая, вообще говора, произвольная нормализация. Определяй в каждой точке поверхности ("*<■ V произво^ь* ну© касательяуэ сферу Ч, - i , перес еиазщую ортоуо«адь* »о нормализующий круг в точках и -X f ш получим в каждой точка поверхно9ти местный конформный репер v, от, ; причем нормирование точки м(ъс-ы.достается произвольно®

И v^i щ X ЭС = i эсг -- о.

Ни будем точщг ЭС(ы'гсУ эс называть нормализующей точ-^ кой поверхности я ,

Основные дифференциальные уравнение поверхности запишутся х/ в виде

-э t - е- * эс - дi - ^ - <?v ос

V1 у,- = у,- г/ * - ^ - £ где тензор д ~ ^jJ метрический тензор, определяющий угловую метрику на поверхности* Тензор есть тонзор так называемой равятивио^асимпто-тичсской сети, ^ ~(ссъ; у)является нормализатором поверх* нооти, тензор -эс)и ж* k Ко]вариантное дифференцирование производится о метрике Вейяя, определяемой тензорами ■ -е.*, . а х/ШГ "" л v'/Py.M-i ФРрэд Q£SE>$ нврн&агйзовшш^ш fiOBepswoot'b с яочнес^ьв до номфорг&яогв upeogpaaosafsaa й удовлетворив следующим усаоэияи BW?erp8py®a©ota. си* с?еш дЭффвремцщ&Еьинк уравнений - 4

9 v/Ъ/j - ecl//J гpiCjt^J = - fxf; e,cj f^p^ t^ - * ■= ^

ГД9 гу" 9С9Ь ТОЯЗОР PlWRS внутренней СВЯЭЧОС.ЗД бб&ЕЖ* Внбер VrOpUBpOQQniiR ЪЪЧШ np00ps«ocsm ■Jff^t'i.cV.g; .эыёбр наса?ел:ь»ой сферн 4 ороизво£ь**<Ш. При верояорввроваиш течш совoQR09tiMO тензора взао^ашгеа, пршчеи при •

V - <5 у '

ОС 9у

Ерш переход© к новой касательной сфере - <Г 7 д шеда • йъх = m-i - А - ЛД Й * <ft- $ у

ОС = ОС. * - -X

А. 2/

1,3/ у

Свззиос^ь Вей^а при всое вознохнык изшзмвнияк репера яорн&лиэоэ&нмой соворкности но измеиаогеа и ?аким обр&«*

- /

Зои ъочцо ояределвтоа да«ной нормализацией вав-ордосдов* Ни будем назвать ее внутренней связноогьа Вей^я ^орш» лиэованмой поверхности. s/ f 8 . . ■ а

Ери пор0ходо н »оаому норыализувщодг кругу У г = -Л'. - /Л" тензора fy- и we изменяются в то-ость связность Войлв претерпевает конформное преоб* разевание сааого общего вида.

Гоодезичеокие линии внутренней ов'азноста нормализован»» н'ой поз орхности^харак?еризуотся тем, что их соорикасаш» пщйоя круг ленит «а одной сфере с нораализущим кругом поверхности, т*»еоть пересекает нормализующий круг в двух точках* Моано ойределить «ормализацш поверхности, вы* бираз произвольную постояннуо сферу tf-cm+t и выбирая нормашззушща «руги, порееекавэдие сферу ^ под вря*

25Ш УГЛОМ?^»

Принимая нормирование точки * ( ' г<- V

4** /1,4/ шееы ff-Ы * -О /1,5/ 0 то есть ортогональны сфере & в следовательно 1 моано принять

-г/. Я А' - О /1,6/ и метрика Ве&хя будет метрика Риыаяа. Гринаэ сферу & за абсолют конформной интерпретации пространства постоянной кривизна, мы видим, что норма*? дозущие круга Суду? образами прямолинейных нориасей к поверхности этого пространства. Внутренняя связность Рвиана заким образом нормализованной поверхности совоа* дает с той, которая индуцируется на ней метрикой внешнего пространства постоянной кривизны. Действительно: Обе г^стрики конформна меаду собой, так как обе определяв? угловуи метрику на поверхности и ииешт общие геодех/Ш5 J II ■ " хъ/ £ 5 I I э и 6 зпческив, которые в данном случае характоризузтся teg, что их соприкасающиеся чругй поресекашт норааль к поверхности в двух точках*

Вн^врая касательную сферу I ортогональную к аб* солэту d ^ = о о и&сш = - с* + м ЭСК --о

И .

- у X = - <-" ^ у /1,6/ .

Вследствие этого условия иитегрируемоств/'З^ сводятся к трак ^ из. J , . -g^/^J-O = Л'-- #

Тензор является в этой схучао асимптотическны тепзора поверхности пространства постоянной кривизны. Gn* ределим касательную оферу, однозначно и конформно-янва-риантно oTHeoewiys точке поверхности .ye ^v„ Такой будо«? центральнаа-сфера Позергнооти» вторая определяется как сфера» относительно которой главные сферы Менье находятся в инверсии. Плавнее сферы "е«ье есть сфера, на которых хекат асе соприкасающиеся' круги линий, касающихся главных направлений точки поверхности. Из конформной инварианукости главных сфер •ileHbe следует конформная инвариантность центральной сферы. Задание двух параметрического оемейотеа сфер, центральных по отношению к одной из своих.двух огибшещзах полостей тоядеетвенно заданию поверхности .В дальнейшем тш часто 'Судей определять в точке поверхности центральную сферу в качестве составляющей костного ре^ пеш касательной с:Ьвтт I" и "*

V2 3 § 75.

В этом охучае мн будсж иметьХХ//' .' : . Н -. * 9 v 'V ' '. ■ . : /1,э/ то-есть релятйвно асимптотическая оеть будет. ортогональ* «ей сетьэ. .

Два направления на- поверхности, определяете элементарны* ми смешениями ^гс2 -и , называются еопряэкенишщ относительно касательной сфери i если

- <гС лу 5 4 г ^ ~ с? • Л,Ю/ .

Направления на поверхности одновременно оовряаение и ор-тогональнйе совпадаю® с главннми направлениями на говерх-ности. Если касательная сфера £ центральная,. so релятив >о-асимптотическая сеть ортогональная и следовательно она будет сеть® биссекторной по отношению и сети кривизна со--. верХ^ОСТИ' ^(гс'иУ.

Если о точке поверхности определена произвольная касательная сфера ^ , то центральная- сфера % определится равенством

К I * 9 /1,ц/

На позерхнооти мояно определить «руги ортогональные поверх мости» конформно инвариантно связат*ые с гочиой иоверхнр* ста Мм соответствует нормализация, конформно инвариантно определяемая на поверхности. Первый, конформно-иupариан?нцй нормализующий круг, определяется ка« «руг ортогональной поверхности '*с-к''г<ущ. соединяющий точку - со атопой характеристической точкой кснгруенций центральных офер эс, с ы . v , Точка на-здается нормальной-точкой яоверхности в точке ^ и нормализующий, круг ■oqj называется Нормальным кругом поверхности и осред ел яет так называемую сферическую «ормали-защш поверхности* к к/ Ш' 28 х/№ 6 У

В этом случав

1-Г1г = ^ /1.12/ и, соответствующие сферической нормализации основные тензоры, удовлетворяют следующим условиям интегрируемости;

-&--LCJ к J ^ ^ ' 03, )

-э'^У/гJ - ^ < V -Ri - * * /^у

В дальнейшей.-мы часто е'удем лринимать.натуральное нормирование точки поверхности яри котором = ? = /1,13/ .

7 •

Второй конфорино**й1чгариаи?нцЗ круг определяется, как круг ортогональной поверхности в точке и пересекающий каядый из д ^гх кругов кривизны линий-'кривизна в дпух точках е. Этот круг называется псевдонориальныи кругон. Он определяет «ормадшзукщую точку зс-* лежащую на центральной офере ^ • Геометрия Зейля, опреде-' ляем&я псеэдонсрадаяьнща кругом,. Судет квазиеа кладовой^, то есть тензор Риччи '^у косбсишлетричен ^ у - - - /2 /, " /Ы4/

Геометрия Вейля, определяемая первый и вторым инвариант нш кругом, вообще говоря, не будут геометриями Ри&ана. Третий конфорннр»январиантинЭ круг поверхности определяется как круг инворКсный к нормальному кругу относительно п©звдонорыальногв круга* Он определяет на центральной сфере Ч . норчал изующдо.: точку '->с: ,. которая на*, зьтэается главной точкой поверхности.

Геометрия Вейля определяемая третьим инвариантным кругом бу&ет всегда геометрией Рииана, то есть е L - с^ -- ^^ /1,15/