Комплексы форм на многообразиях над алгебрами и слоениях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Гайсин, Тагир Ильшатович
- Специальность ВАК РФ01.01.04
- Количество страниц 80
Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гайсин, Тагир Ильшатович
Введение . -.
Глава I. Предварительные сведения
1. Многообразия над алгебрами
2. Слоения.
3. Расслоения. Производная Ли
4. Расслоения струй
5. Комплексы. Длинная точная последовательность
6. Р-комплекс Спенсера
Глава II. Комплекс Спенсера, ассоциированный со структурой многообразия над алгеброй
7. Дифференциальный оператор, соответствующий G-структуре
8. Комплекс Спенсера многообразия над алгеброй
Глава III. Базовые функции канонического слоения многообразия над алгеброй
9. Подкомплекс А-дифференцируемых форм, определяемый структурой многообразия над алгеброй
10. М(е)-дифференцируемые функции на двумерном торе.
11. М(е)-дифференцируемые формы на двумерном торе
12. Проектируемые отображения слоений и компактные многообразия над локальными алгебрами
13. Некоторые естественные инварианты слоений
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Геометрия и топология», 01.01.04 шифр ВАК
Гладкие многообразия над локальными алгебрами и их применение в дифференциальной геометрии высшего порядка1998 год, доктор физико-математических наук Шурыгин, Вадим Васильевич
Многообразия с интегрируемыми почти трансверсальными структурами высшего порядка2006 год, кандидат физико-математических наук Смолякова, Лариса Борисовна
Формальная геометрия и алгебраические инварианты геометрических структур2006 год, кандидат физико-математических наук Хорошкин, Антон Сергеевич
Дифференциальные комплексы, ассоциированные с пуассоновыми многообразиями2006 год, кандидат физико-математических наук Шурыгин, Вадим Вадимович
Дифференциальная геометрия бесконечномерных многообразий над алгебрами1999 год, кандидат физико-математических наук Игудесман, Константин Борисович
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Комплексы форм на многообразиях над алгебрами и слоениях»
Актуальность. Естественность и плодотворность изучения многообразий над алгебрами была подтверждена работами многих математиков. Родоначальником данного направления стал А. П. Котельников [24]. В этой области работал немецкий математик Штуди Э. [88]. Широков П. А. с учениками Коппом В. Г. и Петровым П. И. продолжили исследования многообразий над алгебрами [23]. Естественные связи с локальными алгебрами возникают в дифференциальной геометрии высшего порядка, как было показано Вагнером В. В. [3] ( см. также работы Вейля А. [95] и Моримото А. [83] ).
Многие работы Нордена А. П. посвящены изучению многообразий со структурами, тесно связанными с алгебрами. Ученики Нордена А. П. Вишневский В. В., Широков А. П., Шурыгин В. В., Нейфельд Э. Г. и другие глубоко развили данное направление ( см., например, [4] - [9], [29], [37] - [41], [42] - [49] ). Вышеуказанные работы позволили установить тесную связь между структурой многообразия над алгеброй и касательными структурами высших порядков. Вишневским В. В. введены и изучены новые классы структур, названные полукасательными [6], подробно изучены полиаффинорные структуры, возникающие на многообразиях над алгеброй [4], [7], [5]. Геометрия расслоения струй с помощью теории многообразий над алгебрами изучалась в работах Широкова А. П. [38] и Шурыгина В. В. [42], [43], [46]. Шурыгиным В. В. построена теория когомологий пучков на многообразиях над алгебрами [43], [44], [47] и указаны ее применения.
Необходимо сказать, что с теорией многообразий над алгебрами непосредственно связаны исследования многих математиков, отметим здесь лишь Кручковича Г. И. [25], Розенфельда Б. А. [31].
Поскольку на многообразии над локальной алгеброй естественно определена структура слоения, которая называется каноническим слоением, то аппарат теории слоений используется в теории многообразий над алгебрами. Отметим результаты о канонических слоениях на многообразиях над локальной алгеброй Малахальцева М. А. [26], В.В.Шурыгина [44], [47].
Теория слоений, ведущая свое начало с работ Ж.Риба и Ш.Эресмана, в настоящее время представляет собой развитую область, в которой получено много глубоких результатов. Имеется ряд монографий и обзоров, посвященных различным аспектам теории слоений, например [50], з
78], [80], [97]. Широко известные результаты для слоений коразмерности один получил Новиков С. П. [28]. В данной области ряд результатов получили Шапиро Я. Л. [35] и Игошин В. А. [19].
Каноническое слоение многообразия над локальной алгеброй несет листовую (X, (7)-структуру [46]. В частности, для многообразия над алгеброй дуальных чисел каноническое слоение является аффинным. В [92] рассматривается пучок функций, аффинных вдоль слоев, и пучки аффинных форм, то есть форм, компоненты которых лежат в пучке " функций, аффинных вдоль слоев. Отмечается, что так как морфизм аффинных слоений индуцирует морфизм пучков, то группы когомоло-гий с коэффициентами в пучке аффинных форм являются глобальными инвариантами аффинного слоения. Кольцо аффинных функций на двумерном торе изучается в работе Т.Инабы и К.Масуды [70].
Целью данной работы является изучение комплексов форм на многообразиях над локальными алгебрами и слоениях.
Конкретные задачи диссертации:
1) Построение Р-комплекса Спенсера для структуры многообразия над локальной алгеброй.
2) Нахождение вида глобальных М(е)-дифференцируемых форм на компактном одномерном многообразии над Е(б). Вычисление когомоло-гий комплекса Е(б)-дифференцируемых форм на таком многообразии.
3) Исследование проектируемых отображений компактного многообразия со слоением.
4) Исследование А-дифференцируемых отображений компактного многообразия над локальной алгеброй А в свободный А-модуль произвольной размерности. Оценка размерности пространства вещественных форм, продолжимых до А-дифференцируемых форм на одномерном компактном многообразии над локальной алгеброй А.
Метод исследования. Исследование проводится методами дифференциальной топологии и гомологической алгебры.
Теоретическое и практическое значение. Диссертация носит теоретический характер. Материалы диссертации могут войти в содержание спецкурсов по этой тематике.
Результаты, выносимые на защиту. Основные результаты, полученные в работе, являются новыми. Приведем из них следующие:
1) Построен Р-комплекс Спенсера для структуры многообразия над локальной алгеброй, и найдено его выражение через известные комплексы на таких многообразиях.
2) Найден вид глобальных М(е)-дифференцируемых форм на компактном одномерном многообразии над М(е). Вычислены когомологии комплекса Ж(е)-дифференцируемых форм на таком многообразии.
3) Для проектируемого отображения / компактного многообразия со слоением, такого, что на компактных в индуцированной топологии слоях слоения ранг / строго меньше коразмерности слоения, доказано, что ранг / глобально меньше коразмерности слоения. Для слоений ко- г размерности один с не более чем счетным числом компактных слоев на компактных многообразиях доказано, что все глобальные базовые функции постоянны, а размерность пространства глобальных базовых 1-форм ограничена размерностью первой группы когомологий комплекса де Рама данного многообразия.
4) Доказана невозможность А-дифференцируемого погружения компактного многообразия над локальной алгеброй А в свободный А-модуль произвольной размерности. Для одномерного многообразия М над локальной алгеброй А доказано, что вещественные части глобальных А-дифференцируемых функций, определенных на М, постоянны, а пространство вещественных частей глобальных А-дифференцируемых 1-форм, определенных на М, конечномерно, и его размерность ограничена размерностью первой группы когомологий комплекса де Рама А-значных форм многообразия М.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах.
1) Международный геометрический семинар им. Н. И. Лобачевского «Современная геометрия и теория физических полей». Казань, 4-6 февр. 1997 г.
2) 11 Петровские чтения-1999. Международная летняя школа-семинар по современным проблемам теоретической и математической физики «Волга-11». Казань, Республика Татарстан, 5-16 июля 1999 г.
3) Школа-конференция, посвященная 130-летию со дня рождения
Д. Ф. Егорова. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Казань, 13-18 сентября 1999 г.
4) Международный семинар. Геометризация физики-4. Казань, 4-8 октября 1999 г.
5) Международная конференция, посвященная 90-летию со дня рождения Г. Ф. Лаптева. Инвариантные методы исследования на многообразиях структур геометрии, анализа и математической физики. Москва, 25-30 октября 1999 г.
6) Научный семинар кафедры геометрии КГУ под руководством Б. Н. Шапукова. / 1999 г. /
7) Итоговые научные конференции Казанского университета. / 1996, 1997, 1999 гг. /
Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 6 публикациях [10] - [15]. Работы выполнены без соавторов.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав основного текста, включающих в себя 13 параграфов, и списка литературы, содержащего 99 работ. Объем диссертации — 80 страниц. Нумерация лемм и теорем в главах изолирована. Нумерация формул — сквозная.
Похожие диссертационные работы по специальности «Геометрия и топология», 01.01.04 шифр ВАК
Алгебры функций на группоиде слоения, порожденного действием коммутативной группы Ли2005 год, кандидат физико-математических наук Иваньшин, Петр Николаевич
Топология и геометрия комплексных многообразий с максимальным действием тора2014 год, кандидат наук Устиновский, Юрий Михайлович
Об алгебраических циклах на поверхностях и абелевых многообразиях1982 год, доктор физико-математических наук Танкеев, Сергей Геннадьевич
Геометрия гиперкомплексных многообразий2014 год, кандидат наук Солдатенков, Андрей Олегович
Об алгебраических циклах на расслоенном произведении семейств К3 поверхностей2014 год, кандидат наук Никольская, Ольга Владимировна
Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гайсин, Тагир Ильшатович, 2000 год
1. Апанасов Б. Н. Геометрия дискретных групп и многообразий - М.: Наука, 1980.
2. Ботт Р. и Ту J1.B. Дифференциальные формы в алгебраической топологии. -Наука. 1989.
3. Вагнер В. В. Алгебраическая теория касательных пространств высших порядков. // Тр. семин. по векторному и тензорному анализу, вып. 10. М., 1956. — С.31—88.
4. Вишневский В. В. Аффинерные структуры как структуры, определяемые алгебрами. // Тр. семин. кафедры геометрии, вып.4-5. Изд-во Казан, ун-та, 1970.С.54—68.
5. Вишневский В. В. Аффинорные структуры как структуры, определяемые алгебрами. // Tensor, 1972, 26. — С.363—372.
6. Вишневский В. В. О геометрической модели полукасательных структур. // Изв. вузов, Математ., 1983, 3. — С.73-—75.
7. Вишневский В. В. О полиаффинорных структурах, определяемых тензорными произведениями полиномиальных алгебр. // Тр. геом. семинара, Изд-во Казан, ун-та, вып. 11, 1979. — С.17—20.
8. Вишневский В. В. Многообразия над плюральными числами и полу касательные структуры. // Итоги науки и техн. Пробл. геометрии. / ВИНИТИ, М. 1988. Т.20.С.35—74.
9. Вишневский В.В, Широков А.П., Шурыгин В.В. Пространства над алгебрами.Казань, Изд-во Казанского ун-та, 1985.
10. Гайсин Т.И. Комплекс Спенсера для многообразий над алгебрами. // Труды геометрического семинара, выпуск 23. Казань: Издательство Казанского математического общества, 1997. — 260 с. — С.33—41.
11. Гайсин Т.И. Базовые функции канонического слоения многообразия над алгеброй./ Казан, ун-т. —Казань, 1999. — 19 с. Деп. в ВИНИТИ. 04.06.99, N1784-B 99.
12. Гайсин Т.И. Формы, дифференцируемые над алгеброй дуальных чисел на торе. // Международная конференция. Геометризация физики-4, г. Казань, 4-8 октября 1999 г. — Труды — С.63—68. '
13. Де Рам, Ж. Дифференцируемые многообразия Москва, Изд-во иностр. лит-ры, 1956, 250 с.
14. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т., Современная геометрия. Методы теории гомологий М.: „Наука" - 1984.
15. Жукова Н.И. График слоения со связностью Эресмана и стабильность слоев. // Известия вузов. Математика. 1994, №2. - С. 79-81.
16. Игошин В. А. Теорема разложения для двуслоений, совместимых с пульверизацией. 11 Мат. заметки 1980 т. 28. Вып. б. С. 923 — 934.
17. Канторович Л. В. Акилов Г. П. Функциональный анализ. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 752 с.
18. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1979 — Т.1; М.: Наука, 1981. — Т.2.
19. Колмогоров А. Н. Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1976. — 544 с.
20. Копп В. Г. Линейные комплексы и их пучки в трехмерном псевдоевклидовом пространстве. // Уч. зап. Елабужск. пед. ин-та, 1958, т.З. — С.35—71.
21. Котельников А. П. Винтовое счисление и некоторые приложения его к геометрии и механике. // Казань, 1899.
22. Кручкович Г. И. Условия интегрируемости регулярной гиперкомплексной структуры. — Укр. геом. сб., вып.9, 1970. — С.67-75.
23. Малахальцев М. А. Классы Годбийона и Вея одномерного многообразия над локальной алгеброй. // Труды геометрического семинара, выпуск 23. Казань: Издательство Казанского математического общества, 1997. — 260 с. — С.33—41.
24. Малахальцев М.А. Структуры многообразия над алгеброй дуальных чисел на торе. // Тр.геом. семинара , вып. 22, 1994.—С. 47—62.
25. Новиков С.П. Топология слоений // Тр.Моск. мат. об-ва. 1965. - Т.14. - 248-278.
26. Нейфельд Э. Г. Геометрия поверхности в проективном пространстве над алгеброй. // Сб.: Геометрия обобщенных пространств. Уфа, 1982. — С. 32 — 50.
27. Ж.Поммаре Системы уравнений с частными производными и псевдогруппы Ли. М.: Мир, 1983. -400 с.
28. Розенфельд Б. А. Неевклидовы геометрии над комплексными и гиперкомплексными числами и их применение к вещественным геометриям. // В кн.: 125 лет неевклидовой геометрии Лобачевского. М. Л., 1952. — С. 151-166.
29. Спеньер Е. Алгебраическая топология М.: Мир, 1971.
30. Тамура И. Топология слоений.// Издательство "Мир". Москва 1979.
31. Трофимов В.В., Фоменко А.Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильто-новых дифференциальных уравнений. —- Изд-во «Факториал», 1995.
32. Шапиро Я. Л., Игошин В. А. Стабильность слоев слоения с совместимой с ним метрикой. // Мат. заметки 1980 т. 27. Вып. 5. С. 767 — 778.
33. Шапуков Б.Н. Связности на дифференцируемых расслоениях. // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Пробл. геом. - 1983. - Т. 15. - 61 -93. .
34. Широков А.П. Структуры на дифференцируемых многообразиях // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Алгебра. Топология. Геометрия. М., 1974. - Т. 11. - 153-207.
35. Широков А. П. Геометрия касательных расслоений и пространства над алгебрами. II Итоги науки и техн. Пробл. геометрии / ВИНИТИ. — 1981. — 12. — С.61—96.
36. Широков А. П. Пространства над ассоциативными унитальными алгебрами. // Уч. зап. Казан, ун-та, 1963, 123:1. — С.222—247.
37. Широков А. П. К теории пространств, определяемых коммутативными алгебрами. II Уч. зап. Казан, ун-та, 125:1, 1965. — С.165—182.
38. Широков А. П. Об одном типе G-структур, определяемых алгебрами. // Тр. геом. сем. / ВИНИТИ АН СССР, T.1, 1966. — С.425—456.
39. Шурыгин В.В. Расслоения струй и многообразия над алгебрами. I. // Тр. геом. семинара, Казан, ун-т, вып. 15, 1983.—С. 98—115.
40. Шурыгин В.В. Расслоения струй и многообразия над алгебрами. II. // Изв. вузов, Математ., 1984, 11. — С.77—81.
41. Шурыгин В.В. О когомологиях многообразий над локальными алгебрами // Изв. вузов, 1996, 9. — С.71-85.
42. Шурыгин В.В. Расслоения струй как многообразия над алгебрами. // Итоги науки и техн. Пробл. геометрии. ВИНИТИ.—1987—19. — С.З—22.
43. Шурыгин В.В. Многообразия над алгебрами и их применение в геометрии расслоений струй.// УМН. — 1993 —- Т.48, вып.2—С.75—106.
44. Шурыгин В.В. Классы Атъи-Молино гладкого многообразия над локальной алгеброй А как препятствия к продолжению трансеерсальных связностей до А-гладких. // Тр. геом. семинара, Казан, ун-т, вып. 23, 1997. — С.199—210.
45. Шурыгин В.В. Связность Эресмана для канонического слоения для многообразия над локальной алгеброй // Мат. зам. 1996. - Т.59. - Вып. 2. - 303-310.
46. Шурыгин В.В. Многообразия над алгебрами эквивалентные расслоению струй // Изв.вузов. Математика. 1992. - №10. - 68-79.
47. Фукс Д.Б. Слоения // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Алгебра, топология, геометрия. 1981. - Т. 18. - С. 151 - 212.
48. Abraham, R, Marsden, J.E. Foundations of Mechanics. 2nd. ed. Reading, Mass.: Benjamin/ Cummings, 1978.
49. Белько И.В. Класс Атья-Молино слоеного алгеброида Ли. // Докл. АН Беларуси. 1993. - Т. 37. - №5. - 16-18.
50. Blumental R.A., Hebda J.J. Ehresmann connections for foliations. // Indiana Math. J. 1984. - V. 33. - №4. - 597-612.
51. Blumental R.A., Hebda J.J. Complementary distributions which preserve the leaf geometry and applications to totally geodesic foliations. // Quart. J. Math. 1984. -V. 35. - №4. - 597-612.
52. Blumental R.A., Hebda J.J. An analogue of the holonomy bundle for a foliated manifold. // Tôhoku Math. J. 1988. - V. 40. - №. 2. - 189-197.
53. Brickell F., Clark R.S. Integrable almost tangent structures // Journal of Diff. Geom.- 1974. Vol. 9. - №4. - 557- 563
54. Chachelet G., Rosenberg H. Manifolds which admit R"-actions // IHES Publ. Math.- 1973 №43.
55. Cordero L., Wolak R. Examples of foliations with foliated geometrical structures // Pacif. J. Math. 1990. - V. 142. - №2. - 265-276.
56. Crampin M., Thompson G. Affine bundles and integrable almost tangent structures // Math. Proc. Cambr. Phil. Soc. 1985. - V.98.
57. Dazord P., Hector G. Integration symplectique des variétés de Poison totalement asphériques, in Symplectic Geometry, Groupoids and Integrable Systems, Séminaire Sud Rhodanien à Berkeley (1989), Springer Math. SRIP 20 (1991), Springer-Verlag, 38-72.
58. Fried D., Goldman W., Hirsch M. Affine manifolds with nilpotent holonomy // Comment. Math. Helv. 1981. - V. 56. - Fasc. 4. - 487-523.
59. Furness P.M.D. Affine foliations of codimension one// Quart. Journal of Math., 1974, v. 25, n. 98
60. Furness P.M.D., Fédida E. Transversely affine foliations // Glasgow Math. J. 1976- V. 17.- Part 2. 106-112.
61. Godbillon C. Holonomie transversale // C.R.Ac.Sci. t.264, A,B. - №24. - 10501052.
62. Goldman W., Hirsch M. Polynomial forms on affine manifolds // Pacific J. of Math.- 1982. V.101 - №1.
63. Goldman W. On polynomial cohomology of affine manifolds // Invent, math. 1982.- V.65. 453-457.
64. Haefliger.A. Homotopy and integrability // Lect.Notes Math. 1971,197,p.133-163
65. Hector G.-, Hirsch U. Introduction to the Geometry of Foliations, Part A and B, Vieweg, Braunschweig 1981,1983.
66. Inaba T. The tangentially affine structure of lagrangian foliations and the tangentially projective structure of legendrian foliations // Preprint.
67. Inaba, T., Masuda, K. Tangentially affine foliations and leafwise affine functions on the torus// Kodai Math. J. 1993. - V. 16. - No 1. - 32-43.
68. Inaba T., Matsumoto S. Some qualitative aspects of transversely projective foliations //Proc. Jap.Acad. A. - 1989. - V. 65. - №4. 116-118.
69. Kamber F., Tondeur Ph. Characteristic classes of foliated bundles Lect.Notes Math.- 1975 V.494.
70. Kasimi-Alaoui A.E. Sur la cohomologie feuilletée // Compositio Mathematica 1983.- 49. 195-205.
71. Kasimi-Alaoui A.E., Tihami A. Cohomologie bigraduée de certains feuilletages // Bulletin de la Société Mathématique de Belgique 1986 - 38 - fasc 2. - ser. B. -144-156.
72. Kodaira K. Complex manifolds and Deformations of Complex Structures. Springer- 1986.
73. Kodaira K., Spencer D.C. Multifoliate structures. Ann. Math. 1961 - vol.74., №l.- 52-100.
74. Kolâr I., Michor P.W. Slovak J Natural Operations in Differential Geometry. Springer-Verlag, 1993, 434 p.
75. Lawson B. The Quantative Theory of Foliations. CBMS, no. 27, AMS Providence (1977).
76. Malakhaltsev M.A. The Lie derivative and cohomology of G-structure // Lobachevskii Journal of Mathematics. 1999 - vol. 3. - 197-200.
77. Molino P. Riemannian foliations Birkhàuser, 1988.
78. Molino P. Sur la géométrie transverse des feuilletages Ann. Inst. Fourier, - 1975 -25 - №. 2. - P. 279-284.
79. Molino P. Théorie des G-structure: le problème d'equivalence. Lecture Notes in Mathematics. - V. 588. - Springer. - 1977.
80. Morimoto A. Prolongation of connections to bundles of infinitely near points. //J. Different. Geom., 1976, 11, N4, 479-498.
81. Plante J.F. Locally free affine group actions // Trans. Amer. Math. Soc. 1980. - V. 259 - №. 2. - 449-456.
82. Sabitova M.N. Polynomial manifolds // Tensor. 2000. - V.62. - №. 3
83. Salem E. Riemannian foliations and Pseudogroups of Isometries // in book Molino P. Riemannian foliations (Appendix D.) 1983
84. Sarkaria K.S A finiteness theorem for foliated manifolds // Journal of Math. Soc. Japan 1978 - V.30. - №4, 687-696.
85. Study E. Geometrie der Dynamen. Leipzig, 1902.- 80
86. Thompson G. Integrable almost cotangent structures and Legendrian bundles Math. Proc. of the Cambridge Philosophical Society. - 1987. - V. 101. - Part 1. - 61-78.
87. Thurston W.P. The geometry and topology of 3-manifolds Mimeographed Lecture Notes. Princeton Univ., 1978/79 Ch. 1-9, 1980 Ch. 11-13.
88. Tischler D. Locally free actions of Kn1 on Mn without compact orbits // Topology.- 1974. V.13. - №. 3 - 215-217.
89. Vaisman I. df -cohomologies of Lagrangian foliations // Monatshefte fur Math. -1988 V.106. - 221-244.
90. Vaisman, I. Basics of Lagrangian-foliations. Publ. Mat., Bare. 33, No.3, 559-575 (1989). •
91. Vaisman, I. Cohomology and Differential Forms. Marcel Dekker inc., New York, 1973
92. Weil A.A. Theorie des points proches sur les variétés differentiables. // Strasburg, Paris: Colloq. internat Center nat. rech. sci., 52, 1953.
93. Winkelnkemper H. E. The graph of the foliation// Ann. Glob. Analysis and Geometry- 1983. V.l. - №3. - 51-75.
94. Wolak, R. Geometric structures on foliated manifolds — Publicaciones del Departamento de Geometría y Topología, Universidad de Santiago de Compostela. 76. Santiago de Compostela: Univ., Dept. de Geometría y Topología, x, 1989.
95. Wolak, R. Graphs, Ehresmann connections and vanishing cycles // Proc. Conf., Aug. 28-Sept. 1, 1995, Brno, Czech Republic, Masaryk university, Brno 1996, 345-352.
96. Wolak, R. On leaves of Lagrangian foliations // Russian Mathematics, 6, 24-31 (1998).
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.