Комплексный метод ВКБ для адиабатических возмущений периодического оператора Шредингера и спектр почти-периодических операторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, доктор физико-математических наук Федотов, Александр Александрович

• Федотов, Александр Александрович
• доктор физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Федотов, Александр Александрович

Глава 1. Введение

1.1 Задачи, исследуемые в диссертационной работе.

1.2 Комплексный метод для адиабатических возмущений периодических уравнений

1.3 Почти-периодический оператор

Глава 2. Периодический оператор Шредингера

2.1 Известные факты

2.2 Мероморфная функция со и мероморфный дифференциал О

Глава 3. Основная теорема комплексного метода ВКБ

3.1 Основные объекты комплексного метода ВКБ.

3.2 Основная теорема.

3.3 Доказательство Теоремы 3.2.

Глава 4. Построение канонических линий и канонических областей

4.1 Линии Стокса и линии стоксова типа.

4.2 Конструкции "адиабатического" комплексного метода ВКБ для

W(C)=c*cosC.

4.3 Построение канонических кривых.

4.4 Построение канонических областей

Глава 5. Принципы продолжения

5.1 Основные принципы "продолжения" асимптотик

5.2 Пример построения области продолжения

5.3 Доказательство Леммы о прямоугольнике

5.4 Доказательство оценок "убывающих" решений.

5.5 Доказательство Принципа примыкающей области.

5.6 Доказательство Леммы о трапеции

5.7 Доказательство Леммы о линии Стокса

Глава 6. Очень краткое введение в теорию почти-периодических операторов

6.1 Сведения из спектральной теории эргодических семейств операторов

6.2 Результаты, относящиеся к теории монодромизации

Глава 7. Сохранение абсолютно непрерывного спектра в середине спектральной зоны

7.1 Основные результаты.

7.2 Асимптотики матрицы монодромии.

7.3 Блоховские решения

7.4 Доказательство Теоремы 7.1.1.

Глава 8. Разрушение абсолютно непрерывного спектра на относительно небольших спектральных зонах

8.1 Основные результаты.

8.2 Изоэнергетическая кривая

8.3 Согласованный базис

8.4 Общие асимптотические формулы для коэффициентов матрицы монодромии

8.5 Вычисление коэффициентов матрицы монодромии

8.6 Коэффициенты матрицы монодромии и изоэнергетическая кривая

8.7 Асимптотики а и 6 при m =

8.8 Асимптотики показателя Ляпунова.

8.9 Простое наблюдение о спектре (1.1.1).

Глава 9. Переходы Андерсона на краях спектральных зон

9.1 Основные результаты.

9.2 Согласованный базис

9.3 Вычисление матрицы монодромии

9.4 Доказательство спектральных результатов.

9.5 Фазовая диаграмма.

Глава 10. Взаимодействие соседних зон

10.1 Основные результаты

10.2 Грубое описание спектра

10.3 Доказательство спектральных результатов

10.4 Вычисление матрицы монодромии по матрицам перехода

10.5 Вычисление матриц перехода.

10.6 Комбинации коэффициентов Фурье

Глава 11. Взаимодействие соседних зон: резонансный случай 288 11.1 Результаты

11.2 Асимптотики матрицы монодромии

11.3 Случай т » 1.

11.4 Случай малого т.

11.5 Возможные спектральные сценарии при малом т

Глава 12. Решения разностных уравнений

12.1 Монотонные блоховские решения

12.2 Конструкция из KAM теории.

12.3 Показатель Ляпунова: оценка снизу.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Комплексный метод ВКБ для адиабатических возмущений периодического оператора Шредингера и спектр почти-периодических операторов»

1.1 Задачи, исследуемые в диссертационной работе

Исследование, описанное в этой работе, началось с попытки изучения спектра одномерного почти-периодического оператора Шредингера с двумя периодами, один из которых много больше второго. Это исследование' потребовало развития нового асимптотического подхода, имеющего независимую ценность. Он сам существенно развивался в процессе работы над почти-периодической задачей. Анализ почти-периодического оператора же позволил обнаружить много интересных спектральных эффектов, одни из которых на уровне гипотез предсказывались физиками, а другие сами позволили сформулировать некоторые новые принципы и гипотезы. .

1.1.1 Почти-периодическая модель. Мы изучаем оператор д? н = + У(х -г) + (1.1.1) где

Н1) У : Ж —> Ж - локально интегрируемая с квадратом 1-периодическая функция,

У{х +1) = У{х), же», , (1.1.2)

Н2) 0 < е < 27Г - частота - константа такая, что отношение 27т/е иррационально,

НЗ) 0 < х < 27г - эргодический параметр,

Н4) Ш - функция, аналитическая в некоторой окрестности вещественной оси,"принимающая вещественные значения на вещественной оси, периодическая с периодом 2-7Г.

Указанный выбор периодов У и \У окажется удобным в дальнейшем.

Так как отношение 2-к/е иррационально, то функция х У{х — г) + - потенциал в операторе Шредингера - почти-периодическая, и оператор называют почти-периодическим оператором.

1 до наших работ рассматривались лшпь аналитические потенциалы; для простоты изложения мы даже существенно завысили необходимое нам требование на гладкость V; многие наши результаты сохраняются даже в случаях, когда V - обобщенная функция из подходящего класса

В этой работе мы будем изучать адиабатический случай, когда число е мало, т.е., один из периодов потенциала много больше другого.

Обычно изучают не индивидуальные операторы, а все семейство операторов (1.1.1), "нумеруемых" параметром При этом частота считается фиксированной. Краткий обзор свойств семейств почти-периодических операторов читатель найдет в главе 6. Здесь мы отметим лишь, что для почти всех z спектр, сингулярный спектр и абсолютно непрерывный спектр оператора семейства (1.1.1) совпадают с некоторыми не зависящими от £ множествами Е, Es и £ас соответственно, см. [79]. Ниже, говоря о разных типах спектров (семейства операторов (1.1.1)), мы имеем в виду эти множества.

Исследование почти-периодических операторов Шредингера - одно из наиболее актуальных направлений современной математической физики. Во многом оно было мотивировано задачами физики твердого тела. Спектральные свойства почти-периодических операторов оказались очень необычными и разнообразными, а их анализ привел к богатым математическим конструкциям, см., например, книги [79] и [26]. Исследования почти-периодических операторов породили большое количество работ. Среди авторов - А. Avila, Y. Avron, J. Bellissard, J. Bourgain, В. Буслаев, М. Wilkinson, D. Dämanik,

E. Динабург, H. Eliasson, А. Ф., В. Helffer, М. Hermann, С. Житомирская,

F. Klopp, R. Krikorian, Y. Last, Л.А.Пастур, J. Puig, В. Simon, Я. Синай, S. Sorets, Т. Spencer, В. Чулаевский, J. Sjöstrand, M. Шубин и многие многие другие. Подробные списки литературы могут быть найдены в [26, 31, 57, 58, 66, 79, 80]. Несмотря на большое число работ, законченная теория не построена, и принципиальное значение имеет исследование содержательных моделей с более или менее общими свойствами с тем, чтобы за счет анализа сложных конкретных задач выявить общие свойства почти-периодических операторов.

Отметим, что ранее более или менее полный анализ удавалось провести лишь для нескольких одномерных почти-периодических разностных операторов Шредингера с "простыми" потенциалами (выражающимися через cos, tg или простые кусочно постоянные функции). Что касается одномерных дифференциальных операторов Шредингера, то в большинстве работ рассматривалось семейство операторов с потенциалом вида х н» Лр(их -+- 9), где р -аналитическая функция на тг-мерном вещественном торе Тп, в G Тп - эрго-дический параметр, "нумерующий" уравнения семейства, ш е Т" - фиксированный вектор, компоненты которого - несоизмеримые частоты, а А > 0 -константа связи. Систематически исследовались два случая: случай большой константы связи и случай, когда либо константа связи мала, либо исследуемые значения спектрального параметра достаточно велики.

В первом случае доказывалось, что около нижнего края спектра имеется сингулярный спектр, см., напр., [85] и [49]. В [49] для одной из моделей было доказано, что для "сильно" несоизмеримых частот спектр около своего нижнего края оказывается точечным (без изолированных точек) с экспоненциально убывающими собственными функциями.

Во втором случае было доказано, что спектр является абсолютно непрерывным (для типичных с топологической точки зрения потенциалов спектр канторов). Отметим, что исследование этого случая было начато пионерской работой [27], а наиболее полные результаты были получены в [29]. При этом анализ был основан на методах теории Колмогорова-Арнольда-Мозера (KAM теория).

Анализ описанного выше семейства адиабатических почти-периодических операторов (1.1.1) - новое оригинальное направление исследований, начатое в наших работах. Его можно рассматривать как заметный шаг в сторону исследования почти-периодических операторов с потенциалами общего вида. В основном мы концентрируемся на изучении природы спектра. Исследованию спектра посвящена вторая часть диссертационной работы. Основные спектральные результаты коротко описаны ниже в параграфе 1.3 и полностью сформулированы во введениях к главам 7 —11. Здесь мы. отметим только, что исследуется область не слишком больших значений спектрального параметра. Обсуждается спектр, расположенный в областях четырех типов. Эти области естественно описываются в терминах спектральных зон 2 и лакун невозмущенного периодического оператора — + V(x). Грубо говоря, это - окрестности относительно небольших спектральных зон (или последовательностей относительно небольших зон, разделенных относительно короткими лакунами), средние части относительно длинных спектральных зон, области, содержащие края таких зон, и, наконец, средние части не слишком длинных лакун, разделяющих относительно длинные спектральные зоны. Для каждой из этих областей описаны асимптотические свойства спектра и вскрыты асимптотические механизмы его формирования. Заметим, что обнаруженные абсолютно непрерывный и сингулярный спектры родственны абсолютно непрерывному и сингулярному спектрам, возникающим в упомянутых задачах с большой и малой константами связи.

Центральными орудиями нашего анализа являются матрица монодро-лши и порожденное ей почти-периодическое разностное уравнение - уравнение монодромии. Впервые в теории почти-периодических операторов объекты такого типа возникли в рамках метода монодромизации - оригинального перенормировочного подхода, развитого для исследования спектральных свойств разностных почти-периодических уравнений. Они были определены и изучались в работах [17], [18], [20], [21], [22], [23], [24]. Мы впервые использовали идеи метода монодромизации для исследования дифференциальных почти-периодических уравнений. При этом естественно произошло развитие этих общих идей.

Схема нашего анализа состояла в том, чтобы, изучив локальные асимптотики решений почти-периодического уравнения Шредингера (с помощью развитого нами нового асимптотического подхода), выяснить асимптотическую функциональную структуру матрицы монодромии, а затем, исследовать порожденное этой матрицей разностное почти-периодическое уравнение. Оказалось, что исследуемая часть спектральной оси (не слишком большие значения спектрального параметра) естественно разбивается на области нескольких типов, в каждой из которых уравнение монодромии асимптотически принимает специфический модельный вид. В итоге возникает несколько разных модельных уравнений, в каждое из которых по-своему входят асимптотические параметры, порожденные исходным асимптотическим параметром е. Каждое из этих уравнений удалось эффективно исследовать за счет "правильного" вхождения в них асимптотических параметров. Для этого использовались как классические идеи и техника, наработанные в спектральной теории почти-периодических уравнений, так и оригинальные идеи, которые можно отнести к теории разностных уравнений на вещественной оси. Результаты анализа уравнения монодромии позволили получить информацию как непосредственно о поведении решений исходного семейства уравнений Шредингера, так и о плотности состояний и показателе Ляпунова для эргодического семейства операторов Шредингера (1.1.1). Это и позволило получить наши спектральные результаты.

Результаты наших исследований спектральных свойств и их доказательства отражены в работах [34], [39], [41], [44], [45], [46], [47], [21]. Примыкающие результаты и дополнительные обсуждения можно найти в [35], [36], [40], [43].

1.1.2 Адиабатический комплексный метод ВКБ. Решение заниматься анализом семейства операторов (1.1.1) возникло под влиянием докладов и работ В.С.Буслаева (см., например, [8] - [15]), посвященных асимптотикам решений периодического уравнения Шредингера с адиабатическим возмущением: ■ ( + Ш<<£Х) ^ = Х Е здесь Е - спектральный параметр, V - периодическая функция, а е - малый параметр. Функция V/ не предполагается периодической.

Анализ адиабатически возмущенных уравнений - классическая тема математической физики. Уравнение вида (1.1.3) возникает, например, в задачах квантовой физики твердого тела как модель для блоховского электрона в кристалле, помещенном во внешнее электрическое поле, см., напр., [10]; в задачах астрофизики такие уравнения моделируют периодические движения, возмущенные присутствием массивных объектов [2]: Во всех таких задачах, внешнее возмущение описывается слагаемым, меняющимся очень регулярно и медленно по сравнению с невозмущенной периодической системой.

Опишем одно из идеологических наблюдений; приведенных в [8]. Для этого рассмотрим уравнение (1.1.3) с V = 0. После замены переменной х — £ = ех оно преобразуется к виду ИЧО ф = Еф. £ € М. (1.1.4)

Это - стандартный вид уравнения с квазиклассическим асимптотическим параметром е, см., напр., [68]. Асимптотики его решений можно контролировать с помощью классического метода В КБ для обыкновенных дифференциальных уравнений, см., напр., [32]. Можно сказать, что этот метод позволяет описать поведение решений уравнения, возникающего при добавлении адиа2 батического возмущения \У (еж) к оператору —^т.

Метод В.С.Буслаева является глубоким обобщением классического метода ВКБ: он позволяет получать асимптотики решений уравнения, возникающего при добавлении адиабатического возмущения ]У(ех) к оператору »2

Шредингера —¡£г+У(х).

Фактически, метод В.С.Буслаева является обобщением "вещественного" метода ВКБ, нацеленного на изучение асимптотик решений только на вещественной оси, см., напр., [32]. Обладая мощностью классического "вещественного" метода ВКБ, этот метод имеет и аналогичные ограничения. За границами возможностей этих методов оказывается описание эффектов, порожденных туннелированием, связанным с комплексными точками поворота. Такие эффекты возникают, например, при исследовании надбарьерного туннелирования (невозможно вычислить экспоненциально малый коэффициент отражения) и при исследовании внешних периодических электрических полей W (нельзя вычислить асимптотики длин спектральных лакун, экспоненциально быстро стремящихся к нулю при £ —> 0).

Для уравнения (1.1.4) такие задачи могут быть решены с помощью комплексного метода ВКБ, см., напр., [32]. Идея традиционного комплексного метода ВКБ состоит в изучении решений (1.1.4) на комплексной плоскости переменной Конечно, при этом предполагается, что W - аналитическая функция. За счет выхода в комплексную плоскость и удается исследовать экспоненциально малые величины, неконтролируемые классическим "вещественным" методом ВКБ. Часто с помощью комплексного метода ВКБ проще получить результаты "вещественного" метода. Так, можно избежать анализа относительно сложного поведения решений около вещественных точек поворота (если это не требуется постановкой задачи), обходя их в комплексной плоскости.

В' диссертации представлен оригинальный асимптотический метод, являющийся нетривиальным обобщением комплексного-метода ВКБ и нацеленный на исследование эффектов адиабатических возмущений периодического оператора Шредингера. Этот метод предложен в работе [38]. Он развивался по мере исследования операторов (1.1.1) в работах [39], [41] и [44]'. Наконец, в работе [42] предложен подход для преодоления существенных технических "геометрических" сложностей, возникающих при практическом использовании этого метода. Идеи, основные инструменты и-техника применения метода систематизированы в обзоре [34].

Хотя адиабатический комплексный метод ВКБ был развит для исследования почти-периодического оператора Шредингера (1.1.1), он готов для использования (и начал успешно использоваться в работах [63], [71], [72], [74]) для решения других типов задач.

Адиабатическому комплексному методу ВКБ посвящена первая часть диссертации. В следующем параграфе мы коротко описываем его основные конструкции, а главы 3- 5 посвящены подробному их описанию и обоснованиям.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Федотов, Александр Александрович, 2011 год

1. A. Avila and R. Krikorian. Reductibility or non-uniform hyperbolicity for quasiperiodic Schrodinger eocycles. Annals of Mathematics, 164(3):911-940, 2006.

2. J. Avron and B. Simon. Almost periodic Hill's equation and the rings of Saturn. Phys. Rev. Lett., 46(17):1166-1168, 1981.

3. J. Avron and B. Simon. Almost periodic Schrodinger operators, II. The integrated density of states. Duke Mathematical Journal, 50:369-391, 1983.

4. J. Bellissard, R. Lima, and D. Testard. Metal-insulator transition for the Almost Mathieu model. Communications in Mathematical Physics. 88:207-234, 1983.

5. М.Ш. Бирман, М.З. Соломяк. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, 2-е изд. Лань, Ст.-Петербург, 2010.

6. Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. Наука, Москва, 1974.

7. P. Bougerol and J. Lacroix. Products of random matrices with applications to Schrodinger operators. Birkhauser Boston Inc., Boston, MA, 1985.

8. B.C. Буслаев. Адиабатическое возмущение периодического потенциала. Теор. Мат. Физ., 58(2):233-243, 1984.

9. B.C. Буслаев и Л.А. Дмитриева. Адиабатическое возмущение периодического потенциала. II. Теор.Мат. Физ., 73(3):430-442, 1987.

10. B.C. Буслаев. Квазиклассическое приближение для уравнений с периодическими коэффициентами. Успехи Мат.Наук, 42(6):77-98, 1987.

11. B.C. Буслаев и Л.А. Дмитриева. Елоховский электрон во внешнем поле. Алгебра и Анализ 1(1):1-29, 1989.

12. V.S. Buslaev. Spectral properties of the operators Нф = -фхх -f- р{х)ф + у(ех)ф,р is periodic. Oper. Theory Adv. Appl, 46: 85-107, 1990.

13. V. Buslaev. On spectral properties of adiabatically perturbed Scrödinger operators with periodic potentials. In: Equations aux Derivees Partielles, 1990-1991, XXIII:1-15, Ecole Polytech., Palaiseau, 1991.

14. V. Buslaev and A. Grigis. Imaginary parts of Stark-Wannier resonances J. Math. Phys., 39(5):2520-2550, 1998.

15. B.C. Буслаев, M.B. Буслаева- А. Грижис. Асимптотики коэффициента отражения. Алгебра и Анализ, 16(3):1-23, 2004.

16. V. Buslaev and A. Fedotov. The complex WKB method for Harper's equation. Reports of Mittag-Leffler Institute, Stockholm, 11:1-68, 1993.

17. V. Buslaev and A. Fedotov. On a class of martices related to Harper's equation. Reports of Mittag-Leffler institute, Stockholm, 19:1-37, 1993.

18. V. Buslaev. and A. Fedotov. The monodromization and Harper, equation. Séminaires Équations aux Dérivées Partielles, 1993-1994, XXI: 1-23, École Polytechnique, Palaiseau, 1994.

19. В. С. Буслаев, A. A. Федотов. Блоховские решения для разностных уравнений. Алгебра и анализ, 7(4):74-122, 1994.

20. В. С. Буслаев, А. А. Федотов. Уравнение Харпера: монодромизация без квазиклассики. Алгебра и анализ, 8(2):65-97, 1996.

21. V. Buslaev and A. Fedotov. Spectre d'une matrice de monodromie pour l'équation de Harper. Colloque EDP Saint Jean de Mont, Equations aux dérivées partielles, IV:1-11, Ecole Polytechique, Paris, 1996.

22. V. Buslaev, A. Fedotov. On the difference equations with periodic coefficients. Advances in Theoretical and Mathematical Physics, 5(6):1105-1168, 2001.

23. R. Carmona and J. Lacroix. Spectral Theory of Random Schröding er Operators. Birkhäuser, Basel, 1990.

24. X.JI. Цикон, Р.Г. Фрёзе, Ш. Кирш, Б. Саймон. Операторы Шрёдингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии. Мир, Москва, 1990.

25. Е. И. Динабург, Я. Г. Синай. Об одномерном уравнении Шрёдингера с квазипериодическим потенциалом. Функц. анализ и его прил., 9(4):8-21, 1975.

26. М. Eastham. The spectral theory of periodic differential operators. Scottish Academic Press, Edinburgh, 1973.

27. L.H. Eliasson. Floquet solutions for the 1-dimensional quasi-periodic Schrodinger equation. Communications in Mathematical Physics, 146:447-482, 1992.

28. L.H. Eliasson. Discrete one-dimensional quasi-periodic Schrodinger operators with pure point spectrum. Acta Math., 179(2):153-196, 1997.

29. L.H. Eliasson. Reducibility and point spectrum for linear quasi-periodic skew products. In: Proceedings of the ICM 1998, Berlin, 11:779-787, 1998.

30. M.B. Федорюк. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Либроком, Москва, 2009.

31. А. А. Федотов Комплексный метод ВКБ для адиабатических возмущений периодического оператора Шредингера Записки научн. семинаров ПОМИ, 379:142-178, 2010.

32. А. А. Федотов Адиабатические почти-периодические операторы Шредингера Записки научн. семинаров ПОМИ, 379:103-141, 2010.

33. A. Fedotov and F. Klopp. The monodromy matrix for a family of almost periodic equations in the adiabatic case. Preprints of Fields Institute, Toronto, 1997.

34. A. Fedotov and F. Klopp. Transitions d'Anderson pour des opérateurs de Schrôdinger quasi-périodiques en dimension 1. Equations aux Dérivées Partielles, IV:1-13, École Polytech., Palaiseau, 1999.

35. A. Fedotov and F. Klopp. A complex WKB method for adiabatic problems. Asymptotic analysis, 27:219-264, 2001.

36. A. Fedotov and F. Klopp. Anderson transitions for a family of almost periodic Schrôdinger equations in the adiabatic case. Communications in Mathematical Physics, 227:1-92, 2002.

37. A.Fedotov and F.Klopp. The spectral theory of the adiabatic quasi-periodic operators on the real line. Markov Processes and Related Fields, 9(4):579-615, 2004.

38. A. Fedotov and F. Klopp. On the singular spectrum of quasi-periodic Schrôdinger operator in adiabatic limit. Annales Henri Poincaré, 5:929-978, 2004.

39. A. Fedotov and F. Klopp. Geometric tools of the adiabatic complex WKB method. Asymptotic analysis, 39(3-4):309-357, 2004.

40. A. Fedotov and F. Klopp. On the absolutely continuous spectrum of an one-dimensional quasi-periodic Schrôdinger operator in adiabatic limit. Transactions of AMS, 357:4481-4516, 2005.

41. A. Fedotov and F. Klopp. Strong resonant tunneling, level repulsion and spectral type for one-dimensional adiabatic quasi-periodic Schrôdinger operators. Annales Scientifiques de VEcole Normale Supérieure, 4e série, 38(6):889-950, 2005.

42. A. Fedotov and F. Klopp. Level Repulsion and Spectral Type for One-Dimensional Adiabatic Quasi-Periodic Schrôdinger Operators. In: Mathematical Physics of Quantum Mechanics. Lecture Notes in Physics, Springer Verlag, Berlin, 690:383-402, 2006.

43. A. Fedotov and F. Klopp. Weakly resonant tunneling interactions for adiabatic quasi-periodic Schrôdinger operators. Mémoires de la S.M.F., 104:1-108, 2006.

44. N. E. Firsova. On the global quasimomentum in solid state physics. In: Mathematical methods in physics (Londrina, 1999), World Sci. Publishing, River Edge, NJ, 98-141, 2000.

45. J. Frôhlich, T. Spencer, and P. Wittwer. Localization for a class of one dimensional quasi-periodic Schrôdinger operators. Communications in Mathematical Physics, 132:5-25, 1990.

46. D. Gilbert and D. Pearson. On subordinacy and analysis of the spectrum of one-dimensional Schrôdinger operators. Journal of Mathematical Analysis and its Applications, 128:30-56, 1987.

47. E. M. Harrell. Double wells. Comm. Math. Phys., 75(3):239-261, 1980.

48. B. Helffer and J. Sjôstrand. Multiple wells in the semi-classical limit I. Communications in Partial Differential Equations, 9:337-408, 1984.

49. B. Helffer, P. Kerdelhué, and J. Sjôstrand. Le papillon de Hofstadter revisité. Mém. Soc. Math. France (N.S.), (43):l-87, 1990.

50. Michael-R. Herman. Une méthode pour minorer les exposants de Lyapounov et quelques exemples montrant le caractère local d'un théorème d'Arnol'd et de Moser sur le tore de dimension 2. Comment. Math. Helv58(3):453-502, 1983.

51. H. Hiramoto and M. Kohmoto. Electronic spectral and wavefunction properties of one-dimensional quasi-periodic systems: a scaling approach. International Journal of Modern Physics В, 164(3-4):281-320, 1992.

52. A.P. Итс, В.Б. Матвеев. Об операторах Хилла с конечным числом лакун. Фупщ. анализ и его прил., 9(1):69-70, 1975.

53. Т. Janssen. Aperiodic Schrôdinger operators. In: The Mathematics of LongRange Aperiodic Order, editor: R. Moody, Kluwer, 269-306, 1997.

54. S. Jitomirskaya. Almost everything about the almost Mathieu operator. II. In: Xlth International Congress of Mathematical Physics (Paris, 1994), Internat. Press, Cambridge, 373-382, 1995.

55. S. Ya. Jitomirskaya. Metal-insulator transition for the almost Mathieu operator. Ann. of Math. (2), 150(3):1159-1175, 1999.

56. S. Ya. Jitomirskaya and Yoram Last. Power law subordinacy and singular spectra. II. Line operators. Comm. Math. Phys., 211(3):643-658, 2000.

57. P. Kargaev and E. Korotyaev. Effective masses and conformai mappings. Communications in Mathematical Physics, 169:597-625, 1995.

58. А.Я. Хинчин. Цепные дроби. Гос. изд-во физ.-мат. лит.-ры, 1960.

59. F. Klopp and M. Marx. The width of resonances for slowly varying perturbations of one-dimensional periodic Schrôdinger operators. In: Séminaire Équations aux dérivées partielles (2005-2006), Ecole Polytechnique, 2006.

60. Э.А. Коддингтон, H. Левинсон. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Издательство иностранной литературы, Москва, 1958.

61. U. Krengel. Ergodic theorems. Berlin, New-York, de Gruyter, 1985.

62. В.П. Маслов, M.В. Федорюк. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. Наука, Москва, 1976.

63. В.П. Маслов. Нестандартные характеристики в асимптотических задачах. Успехи мат. паук, 38(6):3-36, 1983.

64. В. А. Марченко, И. В. Островский. Характеристика спектра оператора Хилла. Матем. сб, 97(4):540-606, 1975.

65. M. Marx. Etude de perturbations adiabatiques de l'équation de Schrôdinger périodique. PhD thesis, Université Paris 13, Villetaneuse, 2004.

66. M. Marx. On the eigenvalues for slowly varying perturbations of a periodic Schrôdinger operator. Journal Asymptotic Analysis, 48(4):295-357, 2006.

67. M. Marx and H. Najar. On the singular spectrum for adiabatic quasi-periodic Schrodinger Operators. Advances in Mathematical Physics, accepted 28 February 2010, 30 pages.

68. H. McKean and P. van Moerbeke. The spectrum of Hill's equation. Inventiones Mathematicae, 30:217-274, 1975.

69. H. P. McKean and E. Trubowitz. Hill's surfaces and their theta functions. Bull. Amer. Math. Soc., 84(6):1042-1085, 1978.

70. Н.И. Мусхелишвили. Сингулярные интегральные уравнения. Наука, Москва, 1968.

71. А. Найфэ. Методы возмущений. Мир, Москва, 1976.

72. L. Pastur and A. Figotin. Spectra of Random and Almost-Periodic Operators. Springer Verlag, Berlin, 1992.

73. Joachim Puig. Reducibihty of quasi-periodic skew products and the spectrum of Schrodinger operators. PhD thesis, University of Barcelona, Barcelona, Spain, 2004і (http://www.maia.ub.es/dsg/2004/puig0402.pdf).

74. M. Рид, Б. Саймон Методы современной математической физики. Том I: Функциональный анализ. Мир, Москва, 1977.

75. Y. Shibuya. Global theory of second order linear ordinary differential equations^ with a polynomial coefficient. North-Holland, Amsterdam, 1975.

76. B. Simon. Almost periodic Schrodinger operators: a review. Advances in Applied Mathematics, 3:463-490, 1982.

77. B. Simon. Instantons, double wells and large deviations. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 8(2):323-326, 1983.

78. E. Sorets and T. Spencer. Positive Lyapunov exponents for Schrodinger operators with quasi-periodic potentials. Comm. Math. Phys., 142(3):543-566, 1991.

79. Э.Ч. Титчмарш. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Часть II. М., Издательство иностранной литературы, 1961.

80. М. Wilkinson Critical properties of electron eigenstates in incommensurate systems. Proc. Royal Society of London. A, 391:305-350, 1984

81. M. Wilkinson. Tunnelling between tori in phase space. Phys. D, 21(2-3):341.354, 1986.