Периодические дифференциальные операторы. Пороговые свойства и усреднения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Суслина, Татьяна Александровна

• Суслина, Татьяна Александровна
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Суслина, Татьяна Александровна

Сокращения. Унификация обозначений.

Введение.

Глава 1. Операторные семейства, допускающие факторизацию.

§1.1. Квадратичные пучки вида X(t)*X(t).

§ 1.2. Вспомогательный материал.

§1.3. Оценки для разности резольвент на контуре.

§ 1.4. Пороговые аппроксимации. щ

§1-5. Приближение для оператор-функции (A(t) +е21)~1.

§ 1.6. Приближение для операторной экспоненты.

Глава 2. Периодические дифференциальные операторы в L2{Rd;Cn). Эффективные характеристики вблизи нижнего края спектра.

§2.1. Основные определения. Предварительные сведения.

§2.2. Разложение оператора А в прямой интеграл.

§2.3. Включение операторов Д(к) в схему

§1.1.

§ 2.4. Эффективные матрицы и эффективный оператор.

§2.5. Поведение резольвенты (А + е21)~1 при е —> 0.

§2.6. Поведение обобщенной резольвенты при е —> 0.

§2.7. Поведение экспоненты е~Лт при т —> оо.

Щ Глава 3. Задачи усреднения для периодических эллиптических операторов

§3.1. Предварительные сведения. Характер результатов.

§ 3.2. Приближение резольвенты по операторной норме.

§ 3.3. Слабая сходимость решений и потоков эллиптических уравнений

§ 3.4. Случаи сильной сходимости.

§3.5. Периодические операторы акустики и Шредингера.

§3.6. Оператор теории упругости в IRd, d > 2.

§ 3.7. Периодический оператор Шредингера.:.

§3.8. Двумерный периодический оператор Паули.

§3.9. Комментарии.

Глава 4. Задачи усреднения для периодических параболических операторов

§4.1. Приближение экспоненты по операторной норме.

§4.2. Интерполяционные результаты.

§4.3. Слабая сходимость решений и потоков в параболической задаче

Коши.

§ 4.4. Неоднородная задача Коши.

§4.5. Неоднородная задача Коши. Слабая сходимость решений и потоков.

Глава 5. Усреднение стационарной периодической системы Максвелла

§5.1. План исследования. Предварительные сведения.

§5.2. Функциональные классы. Разложение Вейля.

§5.3. Оператор С.

§5.4. Применение общей схемы к операторам £(к).

§5.5. Аппроксимация проектора на соленоидальное подпространство.

§ 5.6. Аппроксимация резольвенты оператора £(к) и ее соленоидальной части.

§5.7. Аппроксимация резольвенты оператора £ и ее соленоидальной части.

§5.8. Другие аппроксимации для операторов R(e) и Rj(e:).

§5.9. Задача гомогенизации для оператора С.

§5.10. Адаптация результатов

§ 5.9 для применения к оператору Максвелла

§5.11. Слабая сходимость решений и потоков.

§ 5.12. Усреднение периодической системы Максвелла.

Глава 6. Усреднение периодического эллиптического оператора в полосе

§6.1. Определение оператора. Основной результат.

§ 6.2. Сведение к операторам на ячейке.

§6.3. Операторный пучок А\{к).

§6.4. Аппроксимация операторного семейства В{к\е).

§ 6.5. Предварительные оценки.

§ 6.6. Оценки коммутаторов.

§ 6.7. Доказательство предложения 6.5.3.

Ж §6.8. Об обобщениях теоремы 6.1.1.

Глава 7. Дискретный спектр в лакунах двумерного периодического оператора Шредингера, возмущенного убывающим потенциалом.

§ 7.1. Постановка задачи. Предварительные сведения.

§7.2. Формулировка основных результатов.

§7.3. Модельные интегральные операторы.

§7.4. Сведение к компактным операторам.

§ 7.5. Операторы LN{Л) и £^(7).

§7.6. Операторы KN{А) и ^(7).

§ 7.7. Операторы MN{Л) и M^il).

§7.8. Доказательство теорем 7.2.2(±).

§ 7.9. Доказательство теорем 7.2.5(±).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Периодические дифференциальные операторы. Пороговые свойства и усреднения»

0.1. Спектральный анализ линейных операторов (абстрактных и дифференциальных) представляет собой важный математический инструмент исследования как теоретических, так и прикладных проблем в различных областях знаний. Это относится к разнообразным вопросам теоретической физики (классической и, особенно, квантовой), механики, теории вероятностей и других наук. Как правило, за многие важные асимптотические эффекты отвечает не все спектральное разложение (самосопряженного) оператора, но лишь его часть вблизи точек на спектральной оси, где резко меняются спектральные характеристики. Такие точки обычно называются порогами. Наиболее очевидными и наиболее важными примерами порогов являются края лакун в спектре, в первую очередь — нижний край спектра в полуограниченном случае.

В диссертации рассматриваются периодические дифференциальные операторы второго порядка в ^(Л^), d > 1. Такие операторы описывают периодические структуры, которые присутствуют во многих задачах математической физики. Для периодических задач часто встречается эффект гомогенизации (усреднения): в пределе малого периода среда начинает вести себя как однородная.

Вопросы усреднения интенсивно изучаются в последние десятилетия. Важные достижения в этой области связаны с именами Н. С. Бахвало-ва, Э. Санчес-Паленсия, В. А. Марченко, Ж.-Л. Лионса, О. А. Олейник, В. В. Жикова и других. Выработанные ими методы исследования стали в теории гомогенизации классическими.

В настоящей работе систематически применяется спектральный подход к вопросам гомогенизации. Выяснено, что эффект усреднения есть одно из проявлений пороговых свойств нижнего края спектра. Использование этого обстоятельства позволило существенно дополнить понимание механизма усреднения, получить качественно новые результаты о сходимости решений уравнения с быстро осциллирующими коэффициентами к решению усредненного уравнения, дать точные по порядку оценки близости соответствующих резольвент.

1*' Другим асимптотическим пороговым эффектом на краю спектра является поведение дискретного спектра левее края. Этот спектр возникает под влиянием убывающих (не слишком быстро) добавочных потенциалов. Возникающие при этом эффективные характеристики — те же, что и при гомогенизации.

0.2. Периодические операторы. Зонные функции. В работе изучаются матричные периодические эллиптические дифференциальные операторы второго порядка, действующие в L2(Rd-, С"). Пусть Л(х, D), х € M.d, D = — гV, — дифференциальное выражение, порождающее оператор А. Коэффициенты оператора предполагаются периодическими относительно некоторой решетки периодов Г с Rd, т. е., Л(х + a, D) = А(х, D), х е а € Г. Через Q обозначим элементарную ячейку решетки Г. Считается, что оператор А самосопряжен в L2(Rd;Cn) и полуограничен снизу. Будем считать, что нижний край спектра оператора А есть точка Л = 0: inf spec А = 0. Простейшим примером оператора А является скалярный эллиптический оператор А = —div<7(x)V = D*<?(x)D, действующий в L2(Md) (тогда ть — 1).

Мы систематически применяем теорию Флоке-Блоха. Оператору А сопоставляется семейство операторов *4(k), действующих в L2(^;Cn) и Щ зависящих от параметра к € называемого квазиимпульсом. Оператор Д(к) задается дифференциальным выражением Д(х, D -f к) при периодических граничных условиях. Условия эллиптичности, которые мы накладываем на оператор А (см. п. 0.8), обеспечивают компактность резольвенты для операторов Д(к). Спектр операторов *4(к) дискретен. Через Ej(k), j € N, обозначим последовательные собственные значения оператора Д(к), занумерованные в порядке неубывания с учетом кратно-стей. Зонные функции Ej(-) непрерывны (даже липшицевы) и периодичны относительно решетки Г, двойственной к решетке Г. Спектр оператора А имеет зонную структуру: он состоит из отрезков, являющихся образами зонных функций Ej(-). Зоны могут перекрываться; вместе с тем в спектре могут открываться лакуны. Подробнее по поводу свойств зонных функций см., например, [Sk].

Предположение inf spec Л — О означает, что нижний край первой зоны (или нескольких первых зон) совпадает с точкой Л = 0. Как мы увидим ниже, для рассматриваемого в работе класса операторов Л, действующих в L2(Md;Cn), первые п зон перекрываются и имеют общий нижний край: mint Ej (k) = 0, j — 1,., п, в то время, как край (п + 1)-ой зоны отделен от нуля: mink£u+i(k) > 0.

0.3. Пороговые характеристики. Пороговые эффекты. Спектральными порогами для периодических операторов прежде всего являются нижний край спектра и края внутренних лакун. Мы уделяем основное внимание нижнему краю спектра. Под пороговыми характеристиками оператора Л на нижнем краю спектра понимают приближенное (асимптотическое) поведение зонных функций Ej(k), j = 1 ,.,п, вблизи точек их минимума, а также приближенное поведение соответствующих собственных функций оператора Д(к). В терминах пороговых характеристик можно приближенно описать спектральное разложение оператора Л вблизи края спектра. При изучении ряда асимптотических вопросов достаточно знать лишь пороговые характеристики оператора. В таких случаях говорят о пороговых эффектах. Пороговые эффекты могут быть связаны и с краями внутренних лакун.

Примером порогового эффекта является задача о дискретном спектре, возникающем в лакунах (а также левее нижнего края спектра) при возмущении периодического оператора А отрицательным потенциалом, стремящимся к нулю на бесконечности. Если потенциал убывает достаточно медленно, то решающим является пороговый эффект. (Подобная задача рассмотрена в главе 7 диссертации.) Другой важный пример порогового эффекта на нижнем краю спектра — поведение периодического ДО в пределе малого периода (гомогенизация). Этой задаче ниже уделяется основное внимание.

Одна из наших целей состоит в том, чтобы дать экономное и удобное для применений описание пороговых характеристик периодических ДО вблизи нижнего края спектра. Поскольку *4(к) представляет собой самосопряженное операторное семейство с компактной резольвентой, аналитически зависящее от параметра k G то дело сводится к аналитической теории возмущения дискретного спектра. Трудности связаны с тем, что обычно невозмущенное собственное значение — кратное (если п > 1), а параметр к — многомерный (если d > 1). Такие случаи не подпадают под классическую теорию возмущений, и нужно искать обходной путь. Мы принимаем за параметр возмущения t = |k|; при этом приходится следить за равномерностью построений и оценок по параметру 0 =t~lк.

Мы начинаем с абстрактной теоретико-операторной схемы (глава 1), выделяя случай, когда рассматриваемое семейство операторов допускает подходящую аналитическую факторизацию. Учет этой дополнительной структуры позволяет продвинуться в абстрактных терминах неожиданно далеко. В прикладных задачах нужная факторизация часто присутствует с самого начала, либо может быть туда "привнесена". Если факторизации в задаче нет, пороговые явления исследовать значительно труднее, и ясное понимание этого полезно.

Имея в виду приложения к (матричным) ДО второго порядка, мы в абстрактной схеме ограничиваемся квадратичной зависимостью от параметра £. Ключевым является выделение и исследование понятия спектрального ростка (см. ниже п. 0.6) операторного семейства при t = 0. Росток несет информацию о пороговых характеристиках и отвечает за пороговые эффекты.

В пороговых эффектах возникают так называемые эффективные характеристики, такие как эффективные массы и эффективный гамильтониан в задачах квантовой механики, эффективный (усредненный) оператор и эффективная среда в задачах гомогенизации. Представляется, что механизм появления эффективных характеристик следующий. Поскольку пороговый эффект описывается только спектральным ростком, то исходный ДО с переменными периодическими коэффициентами может быть заменен (при описании этого эффекта) на другой ДО с тем же самым ростком. Среди таких "эквивалентных" ДО могут найтись достаточно простые операторы, часто среди них есть ДО с постоянными коэффициентами. Подходящий простой ДО и называют эффективным оператором.

W 0.4. В главе 2 мы выделяем сравнительно широкий класс эллиптических

ДО второго порядка, действующих в L2(Md;Cn). Этот класс включает ряд операторов математической физики, хотя и не покрывает все потребности приложений. При разложении в прямой интеграл оператор А из этого класса порождает в Сп) операторное семейство Л(к) = A(t, 9), £0 = к, допускающее нужную факторизацию по £ = |к|. Спектральный росток для A(t, 0) теперь зависит от параметра 0. Далее, на основе общих результатов главы 1 для каждого А вводятся эффективные характеристики. Они прямо определяются по соответствующему ростку 5(0). В главах 3 и 4 * показывается, что эти характеристики управляют процедурой усреднения эллиптических и параболических задач в пределе исчезающе малого периода.

0.5. О теории усреднения. Изучение периодических задач с быстро меняющимися параметрами среды (с малым периодом) сейчас представляет собой целую отрасль теоретической и прикладной науки. В ней сложились свои разнообразные методы, получено очень большое количество содержательных результатов. Рассматривались предельные переходы в областях конечных размеров при наличии граничных условий; разработаны методы построения полных асимптотических (по малому периоду) разложений; процедура усреднения изучалась для несамосопряженных операторов, нестационарных операторов, в нелинейных задачах. Изложению этих и других родственных вопросов посвящены многочисленные обзоры и монографии. Для автора особенно полезным было знакомство с замечательными книгами [ВаРа, BeLP, ZhKO, Sa]. Автор далек от мысли пересмотреть заново всю эту громадную область своими средствами.

В теории усреднений хорошо развиты традиционные методы исследования, технически связанные с решением некоторых периодических "задач на ячейке", не содержащих малого параметра е. Отыскание соответствующих приближений (анзацев) обычно основывается на методе двухмасштабных разложений Н. С. Бахвалова (см. [ВаРа]). Затем проводятся обоснования и оценки погрешности, причем иногда строятся полные асимптотические разложения. Другой путь, основанный на разложении

Флоке-Блоха и аналитической теории возмущений спектра использовался реже. Определенный (формальный) материал на этот счет имеется, например, в [BeLP, глава 4]. Содержательно спектральный подход к гомогенизации использовался в работах [Se] и [Zh] (см. также [ZhKO, глава 2]). Работа [CV] специально посвящена установлению совпадения эффективной матрицы спектрального подхода с традиционной. Впрочем, в статьях [Se, Zh] этот факт уже был установлен ранее по ходу дела. В упомянутых работах речь шла об операторе акустики, что требует теории возмущений лишь для одного простого собственного значения.

В предлагаемом в диссертации подходе гомогенизация рассматривается как пороговый эффект вблизи нижнего края спектра. Эта точка зрения проводится последовательно, причем значительная часть исследования выполнена средствами спектральной теории абстрактных операторов. Часто встречающийся в приложениях случай кратного собственного значения уже не является препятствием.

Главное для нас состоит в выделении понятия спектрального ростка на краю спектра. Росток непосредственно определяет собой эффективные характеристики, которые затем неизбежно проявляются в любом конкретном пороговом эффекте. Усреднение в пределе малого периода — один из таких эффектов. Другой пороговый эффект отвечает уже упоминавшейся задаче о дискретном спектре в лакунах. В главе 3 мы иллюстрируем предлагаемый подход на традиционных операторах математической физики. Многие из выделенных нами фактов и оценок являются новыми для соответствующих конкретных операторов. При этом они почти непосредственно следуют из развиваемой нами общей схемы.

Мы рассматриваем периодические операторы во всем M.d, а не в фиксированной ограниченной области при каких-либо краевых условиях. За счет этого удается избежать влияния пограничного слоя и рассматривать лишь эффект собственно гомогенизации. Только при такой постановке проявляется удобство спектрального подхода. Вместе с тем возникает необходимость отойти от спектра. Поэтому мы рассматриваем уравнения вида Ли + u = F, т. е. изучаем резольвенту {Л — СО-1 ПРИ С = —1

Впрочем, часть результатов переносится на любую точку С G С \ [О, оо) (подробнее об этом сказано в замечании 3.2.3).

Наибольшие трудности доставляет задача усреднения для периодической системы Максвелла, которой посвящена глава 5. Эту задачу уже не удается свести к усреднению ДО второго порядка, входящего в класс, выделенный в главе 2. Тем не менее, оказывается возможным применить абстрактную схему из главы 1. Это приводит к результатам нового типа в задаче усреднения системы Максвелла. В главе 6 на сравнительно простой модели демонстрируется возможность применить предлагаемый подход к задаче, периодической лишь по части переменных. Наконец, в главе 7 изучается пороговый эффект другого типа — дискретный спектр в лакунах периодического эллиптического оператора, возмущенного потенциалом, стремящимся к нулю на бесконечности.

Перейдем к более подробному описанию результатов по главам. 0.6. Абстрактная схема излагается в главе 1. В гильбертовом пространстве S) рассматривается самосопряженное положительное семейство операторов вида A(t) = X(t)*X(t), где X(t) = Х0 + tXY : Sj —> fi*, t e R, — линейный операторный пучок. Здесь Sз* — вспомогательное гильбертово пространство. Предполагается, что точка Л = 0 является изолированным собственным значением оператора А(0) = XqXo кратности п. Положим ОТ = Кег А(0) = КегХ0. Тогда dim ОТ = п. Через Р обозначим ортопро-ектор в 5) на ОТ. Выберем число 5 < dP/8, где — расстояние от точки Л = 0 до остального спектра оператора Л(0). Положим t° = ^UXill"1. Тогда при |£| < t° у оператора A(t) в промежутке [0, <5] ровно п собственных значений (с учетом кратностей), а промежуток (6,36) свободен от спектра. Согласно аналитической теории возмущений [Ка], при |£| < £° существуют вещественно-аналитические ветви собственных значений Лi(t) и вещественно-аналитические ветви (ортонормированных в собственных векторов (pi(t) оператора A(t), I = 1,.,п. При достаточно малом £*(< t°) справедливы сходящиеся степенные разложения

Xl(t)=llt2+ .-, ipl(t) = u;l + tip\1)+ ., l = l,.,n, \t\ < U, причем тi > 0. Элементы u>i, I = 1,., n, образуют ортонормированный базис в ядре ОТ. Числа 71 и элементы иц и представляют собой пороговые характеристики оператора (на абстрактном уровне).

Спектральным ростком операторного семейства A(t) при t = 0 мы называем самосопряженный оператор S, действующий в n-мерном пространстве ОТ, для которого числа 71 и элементы иц являются собственными: Suji = 7iu)i, I = 1 ,.,п. Росток несет информацию о пороговых харак-* теристиках оператора, и, тем самым, ответствен за пороговые эффекты.

Наличие факторизации для A(t) позволяет получить выражение для ростка также в факторизованном виде: S = R*R, причем для оператора R дается простое описание (см. § 1.1).

Для операторных семейств рассматриваемого вида вводится отношение эквивалентности: семейства A(t) и A(t) называются порогово эквивалентными, если ОТ = ОТ и S = S. Пороговые свойства у эквивалентных семейств одинаковы.

0.7. Пороговые аппроксимации. В терминах проектора Р и спектрального ростка S удается получить "пороговые аппроксимации" для спектрального проектора F(t) оператора A(t), отвечающего промежутку [0,5], а также для "порции" A(t)F(t) оператора A(t) вблизи порога. Мы получаем (см. теоремы 1.4.1, 1.4.2) следующие оценки по операторной норме в 5у.

F(t) - Р\\ы < ЪЩ, \\A(t)F(t)-t2SPU^<C2\t\\ |t|<t°. (0.1)

На этой основе в терминах ростка удается аппроксимировать резольвенту (A(t) + e2I)~l при малом е (т. е., резольвенту вблизи порога Л = 0). Здесь дополнительно предполагается невырожденность ростка: 7г > 0, I = 1,. ,п. Устанавливается (теорема 1.5.5) следующая оценка:

A(t) + e2I)~l - (t2S + е2Ьп)~1Р\\ь-ь < |t| <t°, 0 < е < 1. (0.2)

Отметим, что норма резольвенты для A(t) имеет порядок О (е-2), а норма разности — порядка 0{е~1). Оценка (0.2) — точная по порядку, постоянные С и t° контролируются явно. Из (0.2) видно, что для порогово эквивалентных семейств A(t) и A(t) при 0 < е < 1 выполнено (A(t) + е2!)-1 - (A(t) + s2I)-%.^ < (С + С)е~\ |t| < min{t°,P}. (0.3)

Оценка (0.3) дает абстрактную основу для применения к гомогенизации: резольвенту исходного оператора можно аппроксимировать резольвентой другого оператора, порогово эквивалентного исходному. В применениях роль А играет оператор с переменными периодическими коэффициентами, а роль А играет эффективный оператор с постоянными коэффициентами.

В терминах ростка получена (теорема 1.6.1) аппроксимация и для операторной экспоненты е~А^Т при большом т:

Отсюда для порогово эквивалентных семейств следует: \\e-A(t)Te-A(t)r^в^<(С' + С')(т+1)~1/2> l£l <min{t°,P}, т > 0. (0.5)

Оценка (0.5) дает абстрактную базу для применения к гомогенизации параболической задачи Коши.

Наряду с выделением и исследованием спектрального ростка рассматриваемого семейства операторов, оценки (0.1)—(0.5) представляют собой основные результаты главы 1.

0.8. Периодические операторы в

L2(Rd-,Cn). В главе 2 выделяется класс периодических ДО второго порядка, действующих в L2(Rd;C") =: © и допускающих факторизацию вида А = Х*Х, где X : Ь2 однородный ДО первого порядка. Предполагается, что m > п. В свою очередь, X предполагается факторизованным: X = h(x)b(D)f(x). Здесь 6(D) — ДО первого порядка с постоянными коэффициентами, причем символ Ь(£.) — (т х п)-матрица, однородная по £, Е первой степени и такая, что rankb(£,) = п, ф 0. Далее,T(m х т)-матрица h(x) и (n х п)-матрица /(х) ограничены, ограниченно обратимы и Г-периодичны. Оператору А отвечает дифференциальное выражение

Л = А(д, /) = /(x)*b(D)*<7(x)b(D)/(x), д(х) := h(x)*h(x).

В случае f = 1п будем использовать обозначение

А = А(д) = Ъ(вуд(х)Ь(Т>),

0-6) и помечать все объекты, отвечающие оператору (0.6), значком "-»".

Далее, оператор А раскладывается в прямой интеграл по операторам А(к), действующим в L2(fi;Cn). При этом Д(к) = Х(к)* где оператор Л'(к) : L2(ft;Cra) L2(ft;Cm) задан выражением h(x)6(D + к)/(х) при периодических граничных условиях.

Семейство операторов Д(к) включается в абстрактную схему главы 1. Полагаем t = |k|, k = td. Сейчас S) = L2(ft;Cn), ft* = L2(ft; Cm), роль A(t) играет оператор A(t, 0) = A(k), роль X(t) играет оператор X(t,Q) = Д'(к). При этом A(t,0) = X(t,d)*X(t,Q) и X(t,0) = X0 + tXi(Q). Здесь Х0 задан выражением /i(x)b(D)/(x) при периодических граничных условиях, a -Х\(0) есть оператор умножения на матрицу Д(х)6(0)/(х). Ядро ОТ = Кег Х0 п-мерно: оно состоит из периодических функций и таких, что /и = с € Сп. При f = 1п (т. е. для оператора A(t, 0)) ядро ОТ состоит из констант.

Когда это удобно, мы будем отмечать в обозначениях зависимость объектов от коэффициентов д и /, например: A(t, 0;д, /), A(t,Q\g).

0.9. Эффективные характеристики. Спектральный росток «5(0) операторного семейства A(t, 0) при t = 0, действующий в пространстве У1, теперь зависит от 0. Начнем с (более простого) случая / = 1. Вычисляя росток 5(0) = S(Q\g) для операторного семейства A(t,Q-,g) (согласно рецепту из главы 1), мы приходим к следующему результату (см. §2.4): существует постоянная положительная (т х т) -матрица д° такая, что

S(Q',g) = b(Q)*g°b(Q), QeSd~l.

Матрицу д° называют эффективной матрицей для семейства A(t,Q;g). Если рассмотреть операторное семейство A(t, 0\д°), то выясняется, что оно имеет тот же самый росток: 5(0; д) = 5(0; д). Таким образом, семейства A(t,d;g) и A(t,d;g°) порогово эквивалентны. Это дает основание назвать оператор A(gQ) = 6(D)+p°b(D) с постоянной (эффективной) матрицей д° эффективным оператором для оператора А(д). В § 2.4 анализируется вопрос о единственности эффективной матрицы; выделяется так называемая главная эффективная матрица, для которой приводятся различные представления. Приведем одно из представлений (которое традиционно для теории усреднений). Пусть С G Cm, и пусть v — Г-периодическое решение уравнения 6(D)*(g(x)(&(D)v + С)) = 0. Тогда g°C = \£l\-1 J д(х) (6(D)v + С) (fx, С е Ст. (0.7) п

Для главной эффективной матрицы справедливы оценки д < д° <д (известные в теории усреднений для конкретных ДО как вилка Фойгта-Рейсса), где ~д = fn ff(x) dx, д = /п 1 • Содержательным наблюдением является то, что при т = п (т. е., когда возможна факторизация оператора с квадратными матрицами) всегда выполнено д° = д. Это находит применение в конкретных примерах (тело Хилла в теории упругости, двумерный оператор Паули; см. §3.6, 3.8).

При / ф 1п росток 5(9) семейства A(t, 0) = f*A(t, 0)/ связан с ростком 5(9) соотношением 5(9) = Pf*S(Q)f Операторное семейство A(t, 9;^°, /) оказывается порогово эквивалентным исходному семейству A(t,Q-,g,f), Роль эффективного оператора играет А(д°, /), где коэффициент д° — постоянный, но / — переменный.

0.10. Поведение резольвенты (А + е21)~1 при е —> 0. Начнем с оператора

А(д) = b(D)*g(x)b(D). Применяя оценку (0.3) к порогово эквивалентным семействам A(t, 9;д) и A(t, 9;ди), и затем используя разложейие в прямой интеграл для исходных операторов, действующих в Z-2(Rd;C") = 0, получаем следующий результат (теорема 2.5.3). Резольвента оператора А(д) аппроксимируется по операторной норме в 0 через резольвенту эффективного оператора А(д°):

ЛЫ + е2!)-1 - (А(д°) + б21)~1\\&^ < Се~\ 0 < е < 1. (0.8)

Оценка (0.8) точна по порядку, постоянная С хорошо контролируется.

В общем случае оператора A(g,f) (при / ф 1п) уже не удается подобрать оператор с постоянными коэффициентами, резольвентой которого можно было бы аппроксимировать резольвенту (А(д, /) + е21)~1. Есть возможность аппроксимировать резольвенту оператора A(g,f) резольвентой оператора A(g°,f). Однако, такая аппроксимация не вполне удачна, поскольку надо обращать оператор с переменными коэффициентами. Все же удается найти более удачную аппроксимацию (см. теорему 2.6.4):

II(A(gJ)+e4)-1 - ГЧЛ(д°) + еЩ-1(ГГ1и^ <Се~\ 0 < е < 1. (0.9)

Здесь Q — среднее значение положительной периодической матрицы Q(x) = (/(х)/(х)*)-1. Хотя в аппроксимирующем операторе в (0.9) остаются переменные множители по краям, но обращать надо только оператор с постоянными коэффициентами.

Аналогично, на основании оценки (0.5) получается (см. теорему 2.7.3) аппроксимация для экспоненты е~А^Т через экспоненту от эффективного оператора: е-Л(д)т е-А(д°)тц^ < + ^-1/2^ т > Q (оло)

В общем случае при / ф 1п удается (см. теорему 2.7.6) аппроксимировать через "окаймленную" экспоненту для оператора Л{д°, /о) с постоянными коэффициентами: е-АШ)т < С{т + I)-1/2, т > 0. (0.11)

Здесь д° — главная эффективная матрица, а /о = (//*)1!2.

Основными результатами главы 2 следует считать выделение и исследование эффективных характеристик для рассматриваемого класса ДО, а также аппроксимации по операторной норме в (*5 для резольвенты и экспоненты оператора А с точными по порядку оценками (0.8)—(0.11). Отметим, что хотя в тексте оценки (0.8), (0.9) получены прямым путем, их можно получить из оценок (0.10), (0.11) интегрированием по т.

0.11. Задачи усреднения (гомогенизации) для эллиптических ДО. В главе 3 изучаются задачи усреднения, которые мы толкуем как пороговые эффекты вблизи нижнего края спектра. Если ф — измеримая Г-периодическая функция, будем обозначать: ф£(х) = ф(е~1х). Для операторов А(д, /) рассмотрим семейство (гГ)-периодических операторов Ae{g,f) — A(g£,fs), s > 0. При е —> 0 коэффициенты оператора

Ае быстро осциллируют. Одна из основных задач теории усреднений в M.d состоит в изучении поведения при е: —> 0 решений и£ уравнения As(g,f)u£ + u£ = F. Другими словами, речь идет о поведении при е —> О резольвенты (А£(д, /) + -Г)-1. Наиболее удачно обстоит дело для случая / = 1П, т. е. для уравнения

Л(рН + U£=F. (0.12)

Оказывается, что при е —> 0 есть сходимость (в подходящем смысле) решений и£ уравнения (0.12) к решению и0 "усредненного" уравнения

Л(0°)ио + uo = F. (0.13)

Здесь д° — (главная) эффективная матрица для оператора А(д), а А(д°) — эффективный ДО с постоянными коэффициентами. Помимо сходимости решений представляет интерес и вопрос о сходимости так называемых потоков: р£ —» ро; здесь р£ = дгЪ(D)ue, р0 = g°6(D)uo.

Сходимость решений и потоков для уравнения (0.12) с быстро осциллирующими коэффициентами к решению и потоку для уравнения (0.13) с постоянными коэффициентами обычно толкуется как усреднение среды. Среду, описываемую матрицей д°, называют гомогенизированной (усредненной) по отношению к среде, описываемой периодической матрицей де. При этом оператор 6(D) удобно считать фиксированным, поскольку он ответствен за тип физического процесса, но не за его параметры.

Для более общих операторов A(g,f) при переменном / не удается подобрать оператор того же класса с постоянными / и д, к резольвенте которого сходились бы резольвенты операторов A£(g,f). Приходится аппроксимировать семейство резольвент другим, по возможности более простым, операторным семейством, зависящим от е. Единственность аппроксимации при этом утрачивается, а говорить о гомогенизации среды можно лишь с оговорками. Впрочем, чем в более слабом смысле понимается сходимость решений, тем шире выбор "кандидата" для аппроксимации. Все эти обстоятельства хорошо иллюстрируются материалом главы 3. 0.12. Результаты главы 3 по усреднению для эллиптических ДО выводятся из оценок (0.8), (0.9) простым преобразованием масштаба. Получается теорема 3.2.1), что резольвента оператора Л£(д) сходится при е —>• 0 по операторной норме в (5 к резольвенте эффективного оператора Л(д°). При этом справедлива (точная по порядку) оценка

II(Л(<?) + IT1 - (A(g°) + ir'U-.e < Се, 0 < е < 1. (0.14)

В терминах решений уравнения (0.12) это означает сходимость и£ к Uo в <3 с оценкой ||u£ - uolle < C7e||F||e, 0 < е < 1.

Для оператора Ae(g,f) получается (теорема 3.2.6) следующая аппроксимация резольвенты через "обобщенную" резольвенту оператора А(д°), окаймленную быстро осциллирующими множителями:

A£(gJ) +1)-1 - (fTHAg^ + Qr'arrr1 lie—® < Се, 0<е<1. (0.15)

Хотя здесь присутствуют быстро осциллирующие множители по краям, но обратный берется для оператора с постоянными коэффициентами. Избавиться от быстро осциллирующих множителей можно лишь за счет перехода к слабому операторному пределу (см. теорему 3.2.10), то есть за счет существенного ухудшения качества сходимости.

Подчеркнем, что использование масштабного преобразования для получения оценок (0.14), (0.15) из оценок (0.8), (0.9) стало возможным лишь потому, что в них фигурирует операторная норма. Другие виды сходимости такой возможности не дают.

Аппроксимации резольвент по операторной норме с точными по порядку оценками (0.14), (0.15) относятся к основным результатам как главы 3, так и всей диссертации в целом.

Оценки по операторной норме в (3 удобны тем, что допускают в (0.12), (0.13) зависимость F от е. Далее, они допускают интерполяцию и позволяют оценивать u£ — и0 в классах Соболева Н3, 0 < s < 1. (По поводу интерполяционных результатов см. п. 3.2.3). Решения и£ задачи (0.12) сходятся к решению uo задачи (0.13) в Н3 при 0 < s < 1 (и норма разности имеет порядок £1-s), но при s = 1 такой сходимости уже нет. Однако, имеет место слабая сходимость решений в Н1, а также слабая сходимость потоков в 1/2. Результаты о слабой сходимости традиционны в теории усреднения. В § 3.3 мы тоже обсуждаем слабую сходимость решений и потоков. Соответствующие доказательства близки по духу к традиционным, хотя есть и некоторые отличия. Последнее связано с тем, что мы рассматриваем довольно общий класс операторов. В § 3.4 выделены условия, при которых сходимость решений или сходимость потоков оказывается сильной.

0.13. Приложения. В § 3.5-3.8 рассматриваются применения общих результатов к конкретным периодическим операторам математической физики. Обсуждаются конкретные свойства пороговых характеристик и задачи усреднения. Сначала рассматриваются операторы, относящиеся к случаю, когда / = 1п. Здесь основные примеры — оператор акустики (см. § 3.5) и оператор теории упругости (см. § 3.6). Затем мы переходим к операторам, для которых / ф 1п. В этом случае приходится пользоваться оценкой (0.15), но и она позволяет получить ряд существенных новых результатов. Основными примерами являются оператор Шредингера (§ 3.7) и двумерный оператор Паули (§ 3.8). Оба оператора удается привести к виду А(д, /) за счет подходящей факторизации.

0.14. Задачи усреднения для параболических систем рассмотрены в главе 4. Простейший вариант такой задачи состоит в изучении поведения при е —■> 0 решений we(x, т) задачи Коши = -Ae(g)we, w£|r=0 = Ф- (0.16)

Другими словами, речь идет о поведении при е —> 0 экспоненты ехр(—As(g)r). При е —> 0 решения w£ задачи (0.16) сходятся (в подходящем смысле) к решению wo задачи dwn п -A(g°)w0, w0|r=o = Ф- (0.17)

Таким образом, в задаче усреднения для параболической системы (0.16) возникает тот же эффективный оператор А(д ), что и в задаче усреднения для эллиптической системы (0.12).

При усреднении системы более общего вида (при / ф 1п) dz

- = -Аг(д, /К, z£\T=0 = ф, (0.18) ситуация усложняется. Не удается подобрать оператор того же класса с постоянными д и / так, чтобы семейство экспонент ехр(—Л£т) сходилось бы к ехр(—А°т). Приходится аппроксимировать ехр(—Ает) другим (по возможности более простым) операторным семейством, зависящим от е.

На основании оценок (0.10), (0.11) с помощью масштабного преобразования получаются (см. теоремы 4.1.1, 4.1.3) следующие аппроксимации по операторной норме в 0 для экспонент е~л^т и е-Х{3)т < Сф-+ ^2Г1/2, 7" > 0, е>0, (0.19) е-Л(*/)т (rr'foe-^^foiifrr'U^ < Се (г + в2)'1'2, т > 0, е > 0.

0.20)

Оценки (0.19), (0.20) точны по порядку; постоянные хорошо контролируются. Мы видим, что результаты для параболических задач аналогичны эллиптическим. В случае / = 1 экспонента е~л^т имеет при е —> 0 предел, равный е--4^0)1". Для задачи (0.16) оценка (0.19) дает сходимость решений we к решению Wo "усредненной" задачи (0.17) по норме в 0 при фиксированном г > 0 с оценкой ||we(-,r) — wo(-,r)||(j5 < С(т)е11Ф||<&» 0 < е < 1. Результаты такого же типа удается получить (см. теорему 4.1.5) не только для задачи (0.16), но и для более общей задачи Коши г\

Q£-^ = -As(g)ue, д£ие|т=0 = Ф, (0.21) где Q(x.) — положительная Г-периодическая матрица.

Если же / Ф 1П, то оператор в (0.20), аппроксимирующий экспоненту содержит быстро осциллирующие множители по краям, но экспоненту надо вычислять лишь для оператора с постоянными коэффициентами. Избавиться от быстро осциллирующих множителей можно только за счет перехода к слабому пределу (см. теорему 4.1.8).

Мы следим за зависимостью оценочных постоянных от т, что позволяет исследовать также сходимость решений в классах Lg((O,T);0) (см. п. 4.1.5). Оценки по операторной норме в G5 удобны и тем, что они допускают интерполяцию и позволяют оценивать разность решений по норме в Н3, 0 < s < 1. Интерполяционные результаты получены в § 4.2.

В §4.3 обсуждается слабая сходимость решений в Я1 и потоков в I/O при фиксированном т > 0. Затем рассматривается вопрос о слабой сходимости решений в L2((0, Т); Н1^)) и потоков в L2((0,T) х Rd). Такого рода результаты (в отличие от результатов §4.1, 4.2) близки к традиционным в теории усреднений.

Далее, в § 4.4 и 4.5 изучается неоднородная задача Коши. Простейший вариант такой задачи: -A£(g)vs£ + F(x,r), we|T=0 = Ф- (0.22)

Здесь мы также основываемся на оценках (0.19), (0.20). В §4.4 получены результаты о сходимости решений в © при условии F 6 Lp((0, Т); ©), 1 < р < оо. Выясняется, что при 1 < р < 2 скорость сходимости зависит от р. Кроме того, исследована сходимость решений в классах Lq((0,T)]<5), а также получены интерполяционные результаты о сходимости в Н3. В § 4.5 рассмотрен вопрос о слабой сходимости решений и потоков для задачи Коши (0.22).

Таким образом, материал главы 4 иллюстрирует разнообразные возможности применения точных по порядку двупараметрических оценок (0.19), (0.20), которые следует считать основными результатами работы по усреднению параболических операторов.

0.15. Задача усреднения для стационарной периодической системы Максвелла, которой посвящена глава 5, доставляет наибольшие трудности. Эта задача много изучалась традиционными методами теории усреднений (см., например, [ВаРа, BeLP, ZhKO, Sa]). Однако известные на этот счет результаты дают^ лишь слабую сходимость решений к решению "усредненной" системы с постоянными эффективными коэффициентами.

Задачу для системы Максвелла не удается свести к вопросу об усреднении для оператора второго порядка из класса, рассмотренного в главе 2, но оказывается возможным применить общие результаты главы 1.

Опишем постановку задачи и характер результатов. Используем обозначения б = L2(1R3;C3), J = {f € <3 : divf = 0}. Предполагается, что диэлектрическая проницаемость rj(x) и магнитная проницаемость дг(х) —

Г-периодические матрицы, ограниченные и равномерно положительные. Через и, v обозначим напряженности электрического и магнитного полей; w = т/и — индукция электрического поля, z = fiv — индукция магнитного поля. Оператор Максвелла Л4 мы записываем в терминах индукций, считая векторы w и z соленоидальными. Тогда Л4 = M(rj,/j,) действует в пространстве J (В J и задается формулой

-Jtirl "If") на естественной области определения. Точка X = i является регулярной точкой для Л4. Рассмотрим теперь семейство операторов Л4е = Л4(т]£,{х£) с быстро осциллирующими коэффициентами. Наша цель — изучение поведения резольвенты (Л4е — И)~1 при е —> 0. Иными словами, нас интересует поведение решений уравнения (?)> q,r eJ. (0.23)

Соответствующие напряженности заданы соотношениями и£ = {г]£)~1 we, ve = (//)1 z£. В подробной записи (0.23) имеет вид г rot (fi£)~lz£ — iwe = q, divz„ = 0, 1 } (0.24) i rot (77е) we — ize = r, divwe = 0. J

Каждое из полей мы представляем в виде суммы двух членов. Именно, ч) , (г) (<з) , (г) (q) (9) we = w^ -f We , z£ = Ze + z£ , где векторы We , z£ являются решением г) (г) системы (0.24) при г = 0, а векторы We , — решением системы (0.24) при q = 0. Аналогично в виде сумм представляются поля u£, ve.

Для некоторых слагаемых, а именно, для полей uiq\ w^ и vir\ z^ впервые удалось получить равномерные аппроксимации по норме в 0 с точной по порядку оценкой. Эти аппроксимации составляют основные результаты главы 5. Для оставшихся полей по-прежнему получается лишь слабая сходимость в б к соответствующим полям в однородной "эффективной" среде с характеристиками rf, /i°. Здесь rf, — "эффективные" матрицы для эллиптических операторов —div//(x)V, —div/z(x)V соответственно. Напомним, что матрица /х° определяется следующим образом (ср. (0.7)). Пусть С е С3, и пусть Фс(х) — периодическое решение уравнения div /х(х)(УФс + С) = 0, Се С3. (0.25)

Тогда fi°С = fn ^(х)(УФс+С) dx, С е С3. Аналогично определяется г)°. Само "эллиптическое" правило нахождения эффективных коэффициентов для оператора Максвелла известно давно; см., например, [BeLP, ZhKO, Sa]. Через Л4° = Л4(г7°, /х°) обозначим "эффективный" оператор Максвелла с постоянными коэффициентами г]°, fjP.

Опишем характер аппроксимаций. Для определенности остановимся г) (г) на случае q = 0. Пусть Wq , zy — решение "усредненной" системы

Положим u^ = (77°)-1w^, Vq^ = (^°)1Zor\ Помимо "усредненной" системы (0.26) рассмотрим "поправочную" систему (,.). (°-27) где правая часть т£ зависит от г и содержит некоторый (явно описываемый) быстро осциллирующий (при £ —► 0) множитель с нулевым средним значением. При этом решение "поправочной" системы (0.27) слабо сходится к нулю в Положим = (/z°)-1zi4 Аппроксимации для полей v^, г) имеют вид v« = (1 + Ve)(v^ +vW), zW = (1 + G*)(z<r) (0.28) где Y£, G£ — подходящие быстро осциллирующие периодические матрицы-функции с нулевым средним значением. Справедливы оценки

ЬР-Фи^СеЫе, ||zW-z</)||e<Ce||r||ej 0<е<1. (0.29) г) (г)

Однако, для полей щ и w^ по-прежнему получается лишь слабая схог) (г) димость к uq , wq .

Отметим, что в аппроксимациях (0.28) (после раскрытия скобок) явно г) (г) выделяются слагаемые vq , zq , не зависящие от е и являющиеся слабыг) (г) ми пределами для полей v^ , ze ; остальные слагаемые слабо сходятся к нулю в (3. Быстро осциллирующие множители, содержащиеся в (0.28) и в г£, описываются в терминах периодических решений Фс уравнений вида (0.25). Точные по порядку оценки (0.29) существенно информативней, чем вытекающая из них слабая сходимость решений. Отметим также "формульную" новизну аппроксимаций (0.28). Для полей и£ч\ w^ получаются результаты об аппроксимациях, аналогичные (0.28), (0.29).

В случае, когда ^ = const, выражения (0.28) упрощаются: v^ = v^, г) (г)

Ze = Zq , и тогда оценки (0.29) дают квалифицированную сходимость полей vi7^ и zl^ к соответствующим "усредненным" полям по норме в

Метод исследования использует сведение к задаче об усреднении некоторого эллиптического оператора второго порядка. Поясним это опять на примере q = 0. В этом случае после квадрирования и расширения системы Максвелла с целью снять условие соленоидальности (которое мешает нам применить общую схему), мы приходим к задаче об усреднении оператора С£ = С^^г]5), где ц, г]) = рГх12rot 771rot - Vdiv ц1/2. (0.30)

Оператор С самосопряжен в пространстве 0. Он распадается в ортогональном разложении (5 = G(n) ® где подпространство G(^) состоит из векторов вида а 3{р) состоит из векторов f, удовлетворяющих условию соленоидальности div/W2f = 0. Нас, в основном, интересует часть С, действующая в J(fi). Обозначим через ортопроектор в 0 на J(fi).

Дело сводится к изучению поведения при е —> 0 резольвенты (Се + 1)~1 оператора С£, а точнее, ее "соленоидальной части" (С£ 4- I)~lV{yf).

Оператор (0.30) допускает факторизацию вида Х*Х, где X — подходящий однородный ДО первого порядка, но не входит (если только рь не постоянно) в класс операторов, выделенный в главе 2. Мы применяем к оператору (0.30) непосредственно схему из главы 1. Удается вычислить росток 5(0) операторного семейства L(t, 0), порожденного оператором (0.30).

Этот росток оказывается унитарно эквивалентным ростку для семейства L°(t, 0), отвечающего "эффективному" оператору С0 с постоянными эффективными коэффициентами rf, ц°. Соответствующий унитарный оператор описывается в терминах решений уравнений (0.25). На базе абстрактной теоремы 1.5.5 об аппроксимации резольвенты в терминах спектрального ростка (см. оценку (0.2)) получается удобная аппроксимация по операторной норме в (5 для резольвенты (С£+1)~1 через "окаймленную" резольвенту (We)*(£° + I)1W£ эффективного оператора. Роль окаймлений We играют быстро осциллирующие матрицы-функции, которые явно описываются в терминах решений уравнений вида (0.25). Наибольшие технические трудности связаны с отделением "соленоидальных" частей операторов в полученной аппроксимации. Все же удается аппроксимировать соленоидаль-ную часть резольвенты, т. е. оператор (£е + I)~lV(ti£), через окаймленную соленоидальную часть резольвенты эффективного оператора, т. е. через (W£)*(£° + I)~lV(tiQ)Ws. Это и приводит к описанным выше результатам по усреднению системы Максвелла.

0.16. Усреднение эллиптического оператора, периодического по части переменных. Помимо задач во всем пространстве можно рассматривать периодические задачи в областях типа цилиндра, слоя и т. п., когда коэффициенты оператора периодичны лишь по части переменных. В таких задачах эффективный оператор зависит от "непериодических" переменных, а по "периодическим" переменным возможно усреднение.

Гомогенизация в слоистых средах рассматривалась во многих работах и монографиях. Сошлемся, например, на книги [ВаРа, ZhKO]. Отметим также статью [N], где рассматривается широкий класс эллиптических систем с "полиномиальным свойством". Для них результат традиционной процедуры усреднения описывается в эффективных терминах, в том числе — для слоевидных областей.

В главе 6 на простейшей модели демонстрируется применение подхода, развитого в главах 1-3, к подобным задачам. Целью является получение оценки разности резольвент по операторной норме. Изучается двумерный оператор А = —divp(cci,cc2)V в полосе П = {(жьж2) : £

R, Х2 € (0, о)}. Матрица д(х) периодична вдоль полосы (по xi) и диа-гональна: д(х) = diag{^(х),д2(х)}. На границе дП ставятся периодические граничные условия. Задача состоит в изучении поведения оператора Ае = —divg(xi/e,x2)V при е —» 0. Выясняется, что эффективный оператор имеет вид А0 = -div g°(x2)V, тдед°(х2) = diag д2{х2)}. Коэффициент gi{x2) есть среднее гармоническое от gi(-,x2), а ^2(^2) — среднее арифметическое от д2(-,х2). Для описанной простой модели получена оценка

II(АЕ + IГ1 - (А° + /ГЧищн^п) < Се, 0<е<1, (0.31) которая и представляет основной результат главы 6. Результаты из глав 1-3 используются, но их приходится комбинировать с другими приемами. Это требует некоторой гладкости от матрицы д(х) (см. ниже условие (6.1.4)). Несмотря на простоту постановки, задача технически сложная.

Сейчас Q, = (0,1) х (0,о), а параметр к — одномерный. После сведения задачи на ячейку, требуется исследовать двупараметрическое семейство операторов А(к,е) = А\(к) + е2А2, действующих в L2(£l). Здесь А\(к) = (Di + k)gi(x)(Di + к), А2 = D2g2(x)D2, граничные условия — периодические по обеим переменным. К оператору А\(к) возможно "послойное" применение схемы из главы 1. Это позволяет получить хорошую аппроксимацию для Ai(k) при малом \к\ в терминах соответствующего спектрального ростка. Основные технические трудности связаны с добавлением неограниченного "возмущения" е2А2 и аппроксимацией резольвенты (А(к,е) + е21)~1.

0.17. Дискретный спектр в лакунах возмущенного периодического оператора Шредингера в R2 изучается в главе 7. Этот материал стоит несколько особняком от предшествующих глав, в которых изучался эффект гомогенизации. Здесь мы имеем дело с другим пороговым эффектом, причем не только на нижнем краю спектра, но и вблизи краев внутренних лакун невозмущенного оператора.

Пусть А = — divg(x)V + р(х) — периодический оператор Шредингера с метрикой д(х) и потенциалом р(х), действующий в L2(Md). Пусть V — оператор умножения на функцию V(x) > 0, стремящуюся к нулю на бесконечности. Пусть интервал (А,А+) — лакуна в спектре А. Положим А±(а) = А=раУ(х). Параметр а > 0 — константа связи. Через 0г1+(а,Л+) обозначается число собственных значений оператора А+(а), "родившихся" в точке А+ при росте константы связи а от 0 до а. Аналогичный смысл имеет ^-(а, А) для оператора А. Представляют интерес асимптотики этих величин при а —> оо (в пределе большой константы связи). Соответствующие асимптотики довольно разнообразны по характеру, что зависит как от А, так и от V. Они изучались в ряде работ. Отметим, прежде всего, [ВЗ, В5, BLa] и, особенно, обзор [В4] и имеющуюся там библиографию. Другой подход к обсуждаемому классу задач был анонсирован в работе

Iv].

При изучении обеих функций 9Т±(а:, А±) во внутренней лакуне оператора А обычно накладываются условия, ограничивающие устройство краев лакуны (ср. условия 7.1.3(±)). Асимптотическое поведение функций ^±(0;, А±) зависит от размерности d, от характера убывания V, а также от знаков "±". Случай d > 3 довольно хорошо изучен (см. [ВЗ-В5]). При d > 3 и V е Ld/2(Md) функция А+) имеет вейлевскую асимптотику

Л+) ~ (27r)~dKdad/2 / V^det д)~1/2 dx, а —> оо; (0.32)

JRd здесь Kd — объем единичного шара в

Rd. Если V g Ld/2(Rd), то оценка 9t+(a, А+) = 0(ad/2) нарушается, а для 9Т+(о;, Л+) возможен любой (степенной) порядок роста, больший, чем d/2. Существенно, что асимптотика (0.32) имеет "высокоэнергетическое" происхождение, а поведение 9Т+(а:, А+) при V $ Ld/2(№.d) в главном определяется "пороговым эффектом" вблизи края лакуны невозмущенного оператора (см. обсуждение в [В4, § 2].)

Сложнее обстоит дело при d = 2. Уже для А = — А в случае полубесконечной лакуны (—оо,0) условие V € £i(R2) недостаточно для справедливости асимптотики вида (0.32). При этом за- счет пороговых эффектов 0Т+(о;,0) может иметь любой порядок роста, больший d/2. Более того, возможна ситуация, когда 9t+(a,0) = О(а), но асимптотика не вейлевская. В последнем случае асимптотический коэффициент является суммой вейлевского и "порогового" членов. Таким образом, при d = 2 возможна конкуренция" вейлевского и порогового вкладов, что исключено при d > 3. За пороговый эффект отвечает "особый канал" — задача на полуоси, получающаяся сужением —A — aV на подпространство функций, зависящих только от |х|. Одновременно потенциал V усредняется по полярному углу. Эти явления подробно исследованы в [BLa].

В работе [BLaSu] подобные эффекты выявлены при d = 2 в случае, когда А — периодический эллиптический оператор вида А = — div g(x)V + р(х). За счет добавления к р подходящей постоянной считается, что нижний край спектра совпадает с точкой А = 0. В [BLaSu] изучался отрицательный дискретный спектр оператора A — aV, т. е. случай полубесконечной лакуны (—оо, 0) в спектре А. Описание особого канала дается в терминах пороговых характеристик невозмущенного оператора А. В ответ входят тензор эффективных масс на краю спектра (который определяется по эффективной матрице для оператора Шредингера А; см. § 3.7) и положительное периодическое решение ш уравнения Aui = 0. Устранить oj из ответа удается при дополнительном условии "правильности" поведения функции V.

В главе 7 рассматривается при d — 2 случай внутренней лакуны в спектре А. При этом приходится внести существенные изменения в технику исследования по сравнению с [BLaSu], В основном это связано с включением в рассмотрение случая оператора А(а).

Как уже упоминалось, при изучении асимптотики функций 9Т±(о:, А±) при а —> оо во внутренней лакуне оператора А приходится накладывать условия, ограничивающие устройство краев лакуны (см. условие 7.1.3(±)). В случае нижнего края спектра Л = 0 нужные условия выполнены автоматически. Ответы формулируются в терминах более простых модельных операторов. В описание модельных операторов входят пороговые характеристики — тензоры эффективных масс, отвечающие краю лакуны, и соответствующие собственные функции. Как и в случае полубесконечной лакуны, устранить собственные функции из ответа можно при дополнительном условии "правильности" поведения V. Применяемые сейчас технические приемы позволяют параллельно исследовать левый и правый края лакуны. На правом (но не на левом) краю лакуны возможна конкуренция между вейлевским и пороговым вкладами в асимптотику.

Основные результаты главы 7 — асимптотические формулы для функций 9Т±(а, А±) при а —> оо сформулированы в теоремах 7.2.2(±), 7.2.5(±). Формулировки слишком громоздки и требуют описания многих вспомогательных объектов, поэтому во введении мы их не приводим.

0.18. Апробация работы. Основные результаты диссертации отражены в девяти публикациях автора [BSu2, BSu3, Sul—7]; две статьи написаны в соавторстве с М. Ш. Бирманом. Материал первых трех глав (за исключением § 1.6, 2.7) отражен в статьях [BSu2, BSu3], материал главы 4 и § 1.6, § 2.7 — в [Su6,7]. Оператору Максвелла (глава 5) посвящены публикации [Su4,5]. Случай ц = 1 для оператора Максвелла рассматривался ранее в [BSu3, гл. 7]. Этот материал в диссертацию не вошел, поскольку техника работ [Su4,5] позволила получить более сильные результаты даже при [l = 1. Содержание главы 6 отражено в статье [Su3]. Дискретному спектру в лакунах (глава 7) посвящены статьи [Sul,2].

Результаты работы систематически докладывались на Санкт-Петербургском городском семинаре по математической физике. Они докладывались также на семинаре по дифференциальным уравнениям в МГУ и на конференции по дифференциальным уравнениям им. И. Г. Петровского. Автор выступал с пленарными докладами по теме диссертации на ряде международных конференций, в том числе, на сателитной конференции "Многомасштабные задачи и асимптотический анализ" Европейского Математического Конгресса в Норвегии в 2004 г. Кроме того, автор многократно выступал с докладами по теме диссертации в университетах Великобритании, Германии, Канады, США, Франции, Чехии, Швеции, Швейцарии.

0.19. Благодарности. Автор глубоко признателен М. Ш. Бирману за многочисленные обсуждения и поддержку. Автор выражает благодарность В. В. Жикову, П. Кучменту, A. JI. Пятницкому за интерес к работе и полезные обсуждения.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Суслина, Татьяна Александровна

Результаты работы, которые кажутся нам наиболее значительными, мы подытожим здесь совсем кратко. Но и при этом нам не избежать дублирования по отношению к тексту введения и основной части диссертации. Главным образом, будем говорить о гомогенизации, которой посвящены шесть глав из семи. При теоретическом исследовании явлений гомогенизации в периодических средах спектральный метод, которым мы в основном пользуемся, не вполне универсален. Он приспособлен к случаю, когда среда заполняет все Rd, а соответствующие уравнения рассматриваются в Z/2(Md). Но в рамках этих предположений спектральный подход имеет целый ряд преимуществ и приводит к новым существенным результатам.

1. Впервые удалось вывести часть материала, связанного с теорией усреднений, из области ДО в область спектральной теории абстрактных самосопряженных операторов. Это позволило создать общую схему (глава 1), которая вобрала в себя значительную долю исследования и выявила причину параллелизма при исследовании ряда конкретных задач средствами теории ДО. Выделено понятие ростка, который отвечает за главный член приближения к резольвенте операторного семейства A{t) вблизи нижнего края спектра (нуля). Аналогичную роль росток играет при аппроксимации экспоненты ехр(—rA(t)) при больших т. Хотя росток неизбежно возникает в рамках стандартной аналитической теории возмущений, в предположении линейной факторизации семейства A(t) его роль — особая. При этом для ростка найдено прямое (двойственное) описание, не зависящее от рядов теории возмущений. Все это позволило в главе 1 получить единым методом точные по порядку оценки приближений с явно контролируемыми константами. В главах 2~5 эти оценки являются исходными для применения к ДО.

2. В главе 2 на основе разложения Флоке-Блоха подготавливается возможность применения абстрактной схемы к матричным ДО А достаточно общего вида. При этом за параметр возмущения принимается t = |k|; такой подход обеспечивает применимость теории возмущений в трудном случае п > 1, d > 1. На основании двупараметрических оценок приближений из главы 1, в главе 2 получены аппроксимации для резольвенты (Д + е2/)-1 и экспоненты ехр(—Лг) по операторной норме в ^(К^)- Такие оценки обеспечили в главах 3-5 использование масштабного преобразования и выявление на этой основе порогового происхождения эффекта гомогенизации. При этом результаты из глав 3, 4 получаются из утверждений главы 2 непосредственно.

Иначе обстоит дело со случаем системы Максвелла (глава 5). Здесь неприменимы результаты главы 2 и исследование опирается прямо на главу 1. Получение основных результатов главы 5 потребовало значительной дополнительной работы аналитического характера.

3. Найденные в главах 3-6 оценки приближений являются в теории гомогенизации новыми и существенно дополняют известные ранее. Они прямо допускают зависимость правых частей и начальных данных от е. Можно думать, что точные по порядку оценки с явно контролируемыми константами окажутся полезными при исследовании некоторых нелинейных задач. Оценка (3.2.10) сближает вопросы гомогенизации с некоторыми понятиями стационарной теории рассеяния. Вид приближений для "половины" полей при гомогенизации оператора Максвелла (глава 5) обладает формульной новизной. Модельная задача, рассмотренная в главе 6, демонстрирует "идеологические" резервы общей схемы главы 1, хотя непосредственно результаты главы 1 здесь неприменимы. В отдельных случаях (особенно это характерно для главы 5) применение спектрального подхода требует многоэтапного содержательного исследования. Однако, единый исходный взгляд на проблему подсказывает для этого исследования ясный план.

Изучение дискретного спектра, возникающего в лакунах периодического оператора Шредингера при возмущении (достаточно медленно) убывающим потенциалом (глава 7), показывает, что и в этой задаче проявляется пороговый эффект. В ответ входят пороговые (эффективные) характеристики оператора на краю лакуны. В частности, на нижнем краю спектра (т. е., на краю полубесконечной лакуны (—оо,0)) эффективные характеристики — те же, что и в задаче гомогенизации. Это показывает совпадение эффективных характеристик в различных асимптотических явлениях порогового происхождения на нижнем краю спектра.

4. Рекомендации по использованию научных выводов. Ряд конкретных новых результатов работы может быть прямо использован в прикладных исследованиях для лучшего контроля получаемых при гомогенизации приближений. В некоторых случаях эти результаты, как уже отмечалось, имеют также формульную новизну. Общие теоремы глав 3 и 4 могут интерпретироваться не только на тех физических моделях, которые обсуждаются в тексте.

Автор хотел бы надеяться, что, наряду с конкретными результатами, значение работы состоит также в определенном прояснении математического механизма эффектов гомогенизации и в ясном осознании его порогового характера. Это поможет правильно ориентироваться, например, в вопросах усреднения для нестационарных периодических уравнений — уравнений гиперболического типа, Шредингера и Максвелла. Отметим, что в этих случаях "длинноволновая" гомогенизация может экранироваться влиянием других порогов, но пороговый характер явления, по-видимому, сохранится.

Можно надеяться также на использование в дальнейших теоретических и прикладных исследованиях ряда методических и технических "новинок", предложенных в работе. О них упоминалось в основном тексте, и здесь нет возможности их вновь перечислять.

Автор считает, что возможности теоретико-операторного (спектрального) подхода к задачам гомогенизации далеко не исчерпаны и надеется на его дальнейшее успешное развитие.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Суслина, Татьяна Александровна, 2004 год

1. BeLP. A. Bensoussan, J. L. Lions, G-. Papanicolau, Asymptotic analysis for periodic structures, North Holland Publishing Company, Amsterdam, 1978.

2. Bl. M. HI. Бирман, О спектре сингулярных граничных задач, Мат. сб. 55 (1961), N 2, 125-174.

3. B3. M. Sh. Birman, The discrete spectrum in gaps of the perturbed Schrddinger operator. I. Regular perturbations, Boundary value problems, Schrodinger operators, deformation quantization, Math. Top., vol. 8, Akademie Verlag, Berlin, 1995, pp. 334-352.

4. B4. M. HI. Бирман, Дискретный спектр периодического оператора Шредингера, возмущенного убывающим потенциалом, Алгебра и анализ 8 (1996), вып. 1, 3-20.

5. В5. М. Ш. Бирман, Дискретный спектр в лакунах возмущенного периодического оператора Шредингера. II. Нерегулярные возмущения, Алгебра и анализ 9 (1997), вып. 6, 62-89.

6. В6. М. Ш. Бирман, О процедуре усреднения для периодических операторов в окрестности края внутренней лакуны, Алгебра и анализ 15 (2003), вып. 4, 61-71.

7. BLa. М. Sh. Birman, A. Laptev, The negative discrete spectrum of a two-dimensional Schrodinger operator, Comm. Pure Appl. Math. XLIX (1996), 967-997.

8. BLaSu. M. HI. Бирман, А. Лаптев, Т. А. Суслина, Дискретный спектр двумерного периодического эллиптического оператора второго порядка, возмущенного убывающим потенциалом. I. Полубесконечная лакуна, Алгебра и анализ 12 (2000), вып. 4, 36-78.

9. BSl. M. Ш. Бирман, М. 3. Соломяк, Самосопряженный оператор Максвелла в произвольных оластях, Алгебра и анализ 1 (1989), вып. 1, 96-110.

10. BS2. М. Sh. Birman, М. Z. Solomyak, Schrddinger operator. Estimates for number of bound states as function-theoretical problem, Amer. Math. Soc. Transl. (2) 150 (1992), 1-54.

11. BS4. M. Ш. Бирман, M. 3. Соломяк, Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, ЛГУ, JL, 1980; Пер. на англ., D. Reidel Publishing Co., Dordrecht, 1987.

12. BSul. M. Sh. Birman, T. A. Suslina, Two-dimensional periodic Pauli operator.

13. The effective masses at the lower edge of the spectrum, Oper. Theory Adv. Appl. 108 (1999), Birkhauser, Basel, p. 13-31.

14. BSu4. M. Sh. Birman, T. A. Suslina, Homogenization of a multidimensional periodic elliptic operator in a neighbourhood of the edge of internal gap, Preprint (2004), Chalmers University of Technology, Goteborg University, Goteborg, Sweden, 11 p.

15. CV. С. Conca, M. Vanninathan, Homogenization of periodic structures via Bloch decomposition, SIAM J. Appl. Math. 57 (1997), no. 6, 1639-1659.

16. GT. D. Gilbarg, N. S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, Springer, 1998.

17. GoKr. И. Ц. Гохберг, M. Г. Крейн, Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, Наука, М., 1965.

18. Zh. В. В. Жиков, Спектральный подход к асимптотическим задачам диффузии, Дифф. уравн. 25 (1989), N 1, 39-50.

19. ZhKO. В. В. Жиков, С. М. Козлов, О. А. Олейник, Усреднение дифференциальных операторов, Физматгиз, Москва, 1993.1.. V. Ivrii, Accurate spectral asymptotics for periodic operators, Journees

20. Equations aux derivees partielles", Saint-Jean-de-Monts (1999), 1-11.

21. Ка. Т. Като. Теория возмущений линейных операторов. М., Мир, 1972.

22. KiSi. W. Kirsh, В. Simon, Comparison theorems for the gap of Schrddinger operators, J. Funct. Anal. 75 (1987), no. 2, 396-410.1.dU. О. А. Ладыженская, H. H. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, Наука, М., 1964.

23. N. С. А. Назаров, Общая схема осреднения самосопряженных эллиптических систем в многомерных областях, в том числе и тонких, Алгебра и анализ 7 (1995), вып. 5, 1-92.

24. Sa. Э. Санчес-Паленсия, Неоднородные среды и теория колебаний, Москва, "Мир", 1984.

25. Se. Е. В. Севостьянова, Асимптотическое разложение решения эллиптического уравнения второго порядка с периодическими быстро осциллирующими коэффициентами, Мат. сборник 115 (1981), 204-222.

26. Sk. М. М. Скриганов, Геометрические и арифметические методы в спектральной теории многомерных периодических операторов, Труды математического института им. В. А. Стеклова АН СССР, т. 171, JL, "Наука", 1985, 122 с.

27. Sh. Р. Г. Штеренберг, Пример периодического магнитного оператора Шредингера с вырожденным нижним краем спектра, Алгебра и анализ 16 (2004), вып. 2, 177-185.

28. Публикации автора по теме диссертации

29. BSu2. М. Sh. Birman, Т. A. Suslina, Threshold effects near the lower edge of the spectrum for periodic differential operators of mathematical physics, Oper. Theory: Adv. Appl. 129 (2001), Birkhauser, p. 71-107.

30. BSu3. M. Ш. Бирман, Т. А. Суслина, Периодические дифференциальные операторы второго порядка. Пороговые свойства и усреднения, Алгебра и анализ 15 (2003), вып. 5, 1-108.

31. Sul. Т. А. Суслина, Дискретный спектр двумерного периодического эллиптического оператора второго порядка, возмущенного убывающим потенциалом. II. Внутренние лакуны, Алгебра и анализ 15 (2003),вып. 2, 128-189.

32. Su2. Т. A. Suslina, On discrete spectrum in the gaps of a two-dimensional periodic elliptic operator perturbed by a decaying potential, Waves in Periodic and Random Media, Contemporary Mathematics, vol. 339 (2003), 185-200.

33. Su3. Т. А. Суслина, Об усреднении периодического эллиптического оператора в полосе, Алгебра и анализ 16 (2004), вып. 1, 269-292.

34. Su4. Т. А. Суслина, Об усреднении периодической системы Максвелла, Функц. анализ и его прил. 38 (2004), N 3, 90-94.

35. Su5. Т. А. Суслина, Усреднение стационарной периодической системы Максвелла, Алгебра и анализ 16 (2004), вып. 5, 162-244.

36. Su6. Т. А. Суслина, Об усреднении периодических параболических систем, Функц. анализ и его прил. 38 (2004), N 4, 86-90.

37. Su7. Т. А. Суслина, Усреднение периодических параболических систем, Препринт ПОМИ РАН, N 15 (2004), 23 с.Г