Некоторые вопросы асимптотического анализа краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Аржанов, Алексей Анатольевич

• Аржанов, Алексей Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Аржанов, Алексей Анатольевич

Введение.

1 Квазиклассические спектральные асимптотики и явление Стокса для уравнения Вебера

1.1 Квазиклассическая локализация спектра задачи (0.22)-(0.23).

1.2 Множество корней уравнения (0.24).

1.3 Множество не содержащее точек спектра.

1.4 Явление Стокса.

1.5 Характеристические определители.

1.6 Локализация спектра в S^^(J).

1.7 Локализация спектра в .,.

1.8 Аналитические свойства функции S(V\, z)

1.9 Построение канонических путей

1.10 Дополнение.

2 Малые колебания вязкой капиллярной жидкости: ВКБ-подход

Введение. Постановка задачи и формулировка основного результата

2.1 Построение формальных решений.

2.2 Доказательство теоремы 3.

2.3 Эффект шепчущей галереи для круга.

2.4 Дополнение 1.

2.5 Дополнение 2.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые вопросы асимптотического анализа краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка»

Асимптотические методы являются мощным средством исследования краевых задач для дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. Особенно важным этот подход становится при изучении задач сингулярной теории возмущений. Такие задачи возникают в различных областях естествознания и техники. Предметом диссертации является применение и разработка указанных методов для исследования двух несамосопряженных модельных краевых задач на собственные значения.

Обзор исследований, связанных с диссертационной темой

Изучению спектральных свойств краевых задач с помощью асимптотических методов посвящено большое количество работ (см., например, [7], [2], [20]). Особый интерес представляют несамосопряженные краевые задачи, изучение расположения собственных значений которых в общем случае является трудной проблемой ([6], [19], [15]).

Метод построения асимптотических формул для решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ) второго порядка восходит к Лиувиллю и Грину, которые в 1837 году в своих статьях исследовали уравнение вида при 6 | 0 в предположении вещественности и (достаточной) гладкости функции (¿(г), где г — вещественная переменная. Оба автора заметили, что функции почти" удовлетворяют дифференциальному уравнению в следующем смысле:

Процедура, использованная Лиувиллем, состояла в следующем. С помощью подходящей замены зависимой и независимой переменных: у := а(г)у и £ := уравнение (0.1) приводилось к виду, отличающемуся от некоторого уже исследованного уравнения на члены, стремящиеся к нулю при € 0. Соответствующее "уравнение сравнения", выбранное Лиувиллем, было следующим: еу"(г) + д(*)у(г) = 0;

0.1)

0.2)

0.3)

Указанная замена переменных выбиралась так, что a(z) := Q{z)~l'A, := f" Q(u)1/f2 du, а уравнение (0.1) в переменных записывалось следующим образом:

6V" + v + €Q-y\Q-Vy>v = 0.

Лиувилль строго показал, что на конечном отрезке, где функция Q(z) не обращается в нуль, ДУ (0.1) имеет решения y(z,e) такие, что y(z, е) - y(z, е) = О f^2 exp J" ^dwj) , то есть, у(*,е) =0-1/4(г)ехр|±-^ Г (l + Ö(e1'2)) (0.4) при б I 0.

Предположение, что Q{z) ф 0 на рассматриваемом отрезке является существенным. В противном случае y(z, б) даже не является везде определенной функцией. Нули Q(z) называются точками поворота уравнения (0.1).

Одной из первых публикаций по вопросам, связанным с точками поворота, явилась статья Ганса в 1915 году. Описание явления полного отражения с точки зрения физической оптики потребовало исследования ДУ (0.1) при малых б на интервале, где Q(z) меняет знак. Ганс предполагал, что Q(z) = zq(z), где q(0) ф 0, то есть Q(z) имеет нуль первого порядка в точке 2 = 0. Приближения Лиувилля-Грина (0.2) могут быть использованы на интервалах, где z ф 0. Предположим, что q(0) > 0 и нижний предел интегрирования в формулах Лиувилля-Грина выбран равным нулю. Тогда при г > 0 (и б | 0) формулы (0.2) представляют осциллирующие функции, тогда как при г < 0 соответствующие две функции экспоненциально возрастают и убывают при б ф 0.

В общем случае неверно, что решение уравнения (0.1), аппроксимирующееся одной из указанных функций с одной стороны от z = 0, представляется одной из тех же функций и с другой стороны от нуля. А именно, продолжение рассматриваемого решения аппроксимируется с другой стороны от нуля линейной комбинацией "функций Лиувилля-Грина" (0.2), и в определении коэффициентов этой линейной комбинации как функций б состоит "'проблема перехода" (проблема нахождения формул связи).

Ганс решил эту проблему, рассмотрев ДУ ey'i(z) + zq(0)y0(z) = 0 (0.5) и считая, что его решения приближают при достаточно малых z решения исходного уравнения (0.1). Уравнение (0.5) может быть решено в терминах функций Бесселя (порядка 1/3), если ввести новую переменную что является примером т. н. преобразования растяжения в асимптотической теории (ограниченный интервал оси -г отображается в неограниченно увеличивающийся интервал оси г). Немного более простое преобразование растяжения: £ := (д(0)е~1)1/32; переводит (0.5) в уравнение Эйри: = 0.

Итак, для исходного уравнения (0.1) имеем три фундаментальные системы решений (ФСР), асимптотическое поведение которых известно (для каждой — на своем интервале):

1) одна, аппроксимирующаяся функциями (0.2) строго слева от нуля; и) другая, приближающаяся строго справа от нуля, теми же выражениями; ш) ФСР, асимптотически выраженная в терминах функций Бесселя порядка 1/3 в переменной г (или в терминах функций Эйри в переменной о

Решения вида (1), (11) называюся "внешними" решениями, вида (111) — "внутренними" решениями. Если удается показать, что интервалы, где асимптотические выражения для решений из (1), (и) и (Ш) близки к настоящим решениям, покрывают (для достаточно малых е > 0) интервал (—хо,хо) (%о > 0 — абсолютная постоянная), то решение, заданное, например, при г = — хо, может быть приближено на всем интервале; сначала "сшиваем" его с подходящей линейной комбинацией внутренних решений, а потом с линейной комбинацией внешних правых решений.

В 19*26 году Вентцель, Крамере и Бриллюен независимо вновь получили результаты Ганса в связи с исследованием уравнения Шредингсра. В задачах, рассматриваемых ими, функция (¿(г) зависела также от некоторого параметра (обычно энергии), то есть рассматривалось уравнение (уже на всей оси Ж) вида += о (0.6) при малых б > 0). Соответствующие функции вида (0.2) принято также называть ВКБ-приближениями для решения ДУ (а также квазиклассическими приближениями), а построение подобных приближений — методом ВКБ.

Лангер (см., напр., [28]) занимался построением и строгим обоснованием асимптотической теории для ДУ с точками поворота. Основная его идея заключалась в том, чтобы применять процедуру Лиувилля, пользуясь уравнениями сравнения, более близкими к рассматриваемой задаче, чем уравнение (0.3). В уравнении (0.1) Лангер рассматривал потенциалы вида = zaq(z), д(0) ф 0, а > 0, — голоморфна в точке 2 = 0. Преобразование у = а(г)у, £ = £(г) Лангер выбирал следующим образом: нение (0. 2

01 2" ^ Jq ta/2ql/2(t) dt а+2 и a(z) = та1<, что исходное урав

1) приводится к виду: d2v + + = (0.7) где х = «"а3- Соответствующее уравнение сравнения выбирается в виде: оно может быть решено в терминах функций Бесселя.

Лангер доказал существование решений уравнения (0.7), близких к решениям уравнения сравнения в некоторых секторах комплексной плоскости с вершиной в £ = 0 (соответствующей 2 = 0). Таким образом, различие между внутренним и внешними решениями стало несущественным; сшивка решений теперь необходима только при z = 0.

Принцип построения эталонного уравнения для дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром описан в статье [7]. Такое уравнение должно изображать особенности поведения коэффициентов рассматриваемого уравнения: коэффициенты его должны иметь нули (и полюсы) того же порядка, что и коэффициенты данного уравнения; те коэффициенты, которые во всем интервале не меняют знака и остаются ограниченными, заменяются постоянными величинами.

Результаты Лангера об уравнениях второго порядка были применены в случае уравнений, сводящихся к уравнению Вебера (для функций параболического цилиндра) (см. [29]). Также изучались задачи с несколькими точками поворота.

Приближенные решения Лиувилля-Грина (0.4) можно рассматривать в комплексной плоскости г (при некоторых условиях на Q(z)), причем в некоторых областях Cz величина

0(ех/2) из (0.4) равномерна по z. Эти области не могут содержать точку поворота, поскольку вблизи нее асимптотические формулы для решений перестают быть верными. При изучении областей, где асимптотические формулы справедливы, возникает явление Стокса. Дж. Г. Стоке исследовал это явление на примере уравнения Эйри y"(z)—zy(z) = 0. Он заметил, что если в некоторой области изменения arg z общее решение является линейной комбинацией двух основных асимптотических решений, то в соседней области изменения а^ г коэффициенты линейной комбинации могут быть другими. Эти коэффициенты изменяются при переходе через некоторые линии ("линии Стокса", в случае уравнения Эйри, являющиеся лучами = ±7г/3,7г). Причина, в силу которой асимптотические формулы для одного и того же непрерывного решения могут быть разрывными, заключается, в общих чертах, в том, что асимптотическая формула всегда содержит некоторую погрешность, которая в некоторой области изменения параметра может сделаться большей, чем главный член асимптотики.

Рассмотрим некоторое фиксированное ВКБ-решение (0.4), которое является экспоненциально малым (по е) в некоторой области комплексной плоскости г. Это решение определяется заданием ветвей у/Щг), и пути интегрирования. Ошибка имеет при этом порядок О (б1/2) по сравнению с главным членом. Будем теперь изменять г. Пока ошибка будет иметь тот же порядок, наше приближение будет применимо. Тем не менее известно, что 2 может попасть в такую область, в которой ошибка по-прежнему будет иметь порядок (^(б1/2), но уже по сравнению с другой функцией Лиувилля-Грина (0.2). Последняя функция будет экспоненциально расти (по б), и ошибка станет экспоненциально большой по сравнению с исходной функцией (0.2). Другими словами, мы продолжили решение в область, в которой исходное приближение больше неприменимо. Линии, при переходе через которые такое происходит, называются линиями Стокса, они определяются уравнением 1т \/Я(и) <1и = 0, где — точка поворота (точнее, линия Стокса — максимальная связная компонента линии уровня 1т л/Щи) йи = 0 с началом в точке ¿о и не содержащая других точек поворота).

Биркгоф в своей работе [25] выделил некоторые области в комплексной плоскости л, в которых справедливы асимптотические представления (0.4). Он использовал технику канонических путей, то есть кривых, вдоль которых величина 1т /г у/Щт) йт монотонна. На канонических путях функции Лиувилля-Грина являются приближениями для некоторых решений уравнения (0.1).

Области, в которой асимптотика (для приближений Лиувилля-Грина) является равномерной, изучались также Хедингом в связи с проблемой нескольких точек поворота.

Одной из причин для исследования дифференциальных уравнений в комплексной области являлось получение формул связи (перехода), то есть решение описанной выше проблемы перехода. Цваан был первым, кто рассмотрел уравнение в комплексной плоскости г, чтобы получить формулы связи. Он рассматривал функции С}(г), вещественные при вещественных г и продолжал убывающее ВКБ-решение из точек, лежащих слева от точки поворота в точки, лежащие справа от точки поворота (на вещественной оси), обходя точку поворота по пути, лежащему в комплексной области, и получил этим методом формулы связи.

В настоящий момент лишь частично решена задача, возникающая, например, при нахождении формул перехода, о связи между разными ФСР, заданными асимптотически в перекрывающихся областях. Одна из причин возникающих трудностей состоит в том, что асимптотические приближения по параметру (б) не выделяют решение единственным образом. Один из путей преодоления этой трудности состоит в построении " двойных асимптотических разложений" в неограниченных областях (то есть предсталений, асимптотических также и при 2 —> оо по некоторым направлениям) . Такие асимптотические представления часто характеризуют решение единственным образом.

М. В. Федорюк внес значительный вклад в развитие метода ВКБ. В нескольких статьях, основные результаты которых вынесены в книгу [20], он разработал "глобальную" теорию для уравнений вида (0.1), когда потенциал — полином или целая функция, обладающая некоторыми дополнительными свойствами. (Также Федорюк обращался и к мероморф-ным функциям, удовлетворяющим ряду ограничений (см. [18])). Исследование уравнений вида (0.1) с малым параметром е у Федорюка основано на построении соответствующих линий Стокса и исследовании областей, ими ограниченных. Он доказал, что линии Стокса уравнения (0.1) разбивают комплексную плоскость (в случае потенциала-полинома) на ряд областей типа полуплоскости или типа полосы, которые отображаются функцией р л/ЩО с1( на полуплоскость вида 1т \fQiC) (К > а (или 1т /г у/Щ)<1С < а) или полосу а < 1т fг \fQiQ йС, < Ь соответственно. Далее, Федорюк, объединяя несколько областей указанного вида, выделил т. н. канонические области, то есть те, которые отображаются функцией I /г уО(С) <К (взаимно-однозначно) на всю комплексную плоскость с конечным числом вертикальных разрезов, и построил в них ФСР, обладающую при малых б ВКБ-асимптотиками с оценкой остатка, равномерной по 2г, лежащему в подобласти канонической области без некоторой окрестности ее границы. Также эти асимптотики справедливы и при 2 —> оо по некоторым направлениям (а именно, таким, что 1т ]'4 \/ф(С) (К ¿с*0)? равномерно по (достаточно малым) б.

Затем Федорюк вычислил (асимптотически при б 4- 0) матрицы перехода от ФСР в одной канонической области к ФСР в другой канонической области (всего получилось четыре типа таких матриц). И, учитывая, что объединение конечного числа канонических областей покрывает всю комплексную плоскость 2 (за исключением окрестностей точек поворота), перемножая матрицы перехода, можно найти асимптотику ФСР во всей комплексной плоскости 2 (кроме точек поворота).

Такой подход Федорюк применил к ряду задач с точками поворота. Наименее исследованным является случай комплекснозначного потенциала Q(z). Для задачи

-y!l(z) + q(z)y(z) = \y(z), (0.8) где q(z) — полином с комплексными коэффициентами, на всей оси Ж (или на полуоси) Федорюк нашел асимптотику собственных значений с большими номерами, исследуя расположение линий Стокса уравнения (0.8). Особенностью задачи является то, что при больших \z\ для потенциала-полинома можно найти асимптотические направления линий Стокса, и, стало быть, сделать некоторые выводы о решениях при больших \z\ (именно, для полинома q(z) = agzп +. + ап, ао = г^ег<Ра бесконечная линия Сток-са имеет в качестве асимптоты один из лучей: Ik '• z = pel<ph~nao, р > 0, fk = —п 9— , к = 0,1,. , п + 1). Вблизи точки поворота (порядка т) также можно выяснить направления линий Стокса; q(z) ~ a(z — zq)171, а ф 0, следовательно, f^ y/q(() ~ ^^-у (z ~ таким образом, из точки поворота порядка т выходит т + 2 линии Стокса, и угол между соседними линиями в точке zq равен ^ л. Нахождение геометрии линий / L | w

Стокса на конечных (не являющихся малыми) расстояниях от точки поворота является более трудной задачей, и для построения ФСР имеет смысл пользоваться другими методами, наиболее удобными для конкретной задачи.

Уравнение с комплекснозначным потенциалом и малым параметром при второй производной исследовалось в работе Днестровского и Костомарова [6]. Они исследовали задачу на собственные значения для уравнения вида (0.6) с граничными условиями ?/(±оо,А, е) = 0, где А — спектральный параметр, а € — малый параметр; Q(z, А) — комплексная функция. Исследования велись при некоторых условиях на аналитическую по 2 и А функцию Q(z, А), которые гарантировали наличие у соответствующих линий Стокса ряда нужных свойств. Качественное расположение линий Стокса явилось основным предметом исследования в работе [6]. В терминах геометрии линий Стокса ими найдено расположение (при малых е) собственных значений рассматриваемой задачи в наперед заданной области G изменения параметра Л. Построение необходимых для нахождения собственных значений решений уравнения (0.6) с известными асимптотиками (типа Лиувилля-Грина) и исследование их свойств, а также сшивка решений, обладающих известными асимптотиками в различных областях, ограниченных линиями Стокса, производились при помощи путей в плоскости z, вдоль которых функция Im fz y/Q((, A) d( монотонна. На этих путях справедлива ВКБ-асимптотика для решений. (Склейка производится в двух точках, в которых справедливы склеиваемые асимптотики). Одним из результатов работы является то, что собственные значения расположены в б-окрестностях корней уравнения cos a/Q(C? A) = 0 при некотором определенном расположении линий Стокса), ¿i(A), z<i(А) — простые точки поворота.

Дальнейшее (современное) развитие асимптотических методов решений ДУ связано с требованиями, выдвигаемыми конкретными физическими задачами. Например, исследование потерь на излучение в слабо изогнутом оптическом волокне приводит к уравнению где 1] — координаты, ортогональные волокну, в — малый параметр, соответствующий кривизне, а(£, 7]) — линейная функция по £ и г]. Вместе с походящими граничными условиями, это уравнение задает задачу на собственные значения относительно параметра А, мнимая часть которого описывает потерю энергии в волокне. Париз и Вуд рассмотрели соответствующую одномерную модельную задачу (см. [31]), имеющую те же характерные черты, что и исходная задача: где Н > 0, у(х) ~ ехр[гр(х)] при х —»• оо (пользуясь приближениями Лиувилля-Грина, имеем: р(х) = ^б1/2^3/2). Учитывая линейность потенциала, ФСР рассматриваемого уравнения (0.9) можно выбрать в виде бинации, дающей нужное решение при х —» оо находятся из известных асимптотик А1(С) и В1(£). Далее, с помощью подстановки этой линейной комбинации в граничное условие (0.10), ищется собственное значение, при этом используется асимптотический вид при б ^ 0 функций v) + /К, 17)УК, Л) ~ АуК, V) + vMi, V) = о, у"(х) + (А + ех)у(х) = 0, хе (0, оо) y'(0) + hy(0) = 0,

0.9) (0.10)

Коэффициенты линейной ком

Необходимость получения разложений с точностью до экспоненциально малых членов возникает и при обобщении этой задачи, в частности, для уравнений вида у" (х) + {\ + ехп)у(х) = 0, х 6 (0, оо) (0.11)

0) + Лу(0) = 0, Л>0 (0.12) причем у(х) ~ ехр[гр(х)] при х —> оо для некоторого р(х) > 0. В случае п = 2 возможно применение функций параболического цилиндра для изучения задачи (0.11)—(0.12), но в окончательном уравнении возникает необходимость исследования функции вида Г ^ + /Г + , где а —> — ¿оо. На основании интегральных представлений Париз и Вуд получили разложение этой функции с точностью до экспоненциально малых членов в нужном секторе.

При п > 2 для уравнения (0.11) приходится применять другую технику, основанную на построении ВКБ-представлений вдали от точки ( \\1!п поворота (— и сшивании ее с представлениями через функции

Эйри вблизи точки поворота, причем в результате опять получается экспоненциально малая при б | 0 асимптотика для 1т Л (см. [31]):

2ЛИ*>/'5(п)1 . Г (1 + 1) Г (1) .' ( 3 ~ Г(1 + |) '

Таким образом, необходимость получения в современных приложениях более точных приближений для собственных значений в соответствующих задачах требует дальнейшего развития в асимптотических методах, когда уже не достаточно асимптотических разложений типа Пуанкаре.

Асимптотические формулы ВКБ-приближений модифицируются также в связи с потребностью обработки в некотором смысле "особых" точек, под которыми подразумеваются особые точки дифференциального уравнения и точки поворота. Предпринимаются попытки вывести единую формулу, подходящую для большинства таких случаев. Гингольд в статье [27] предложил асимптотическую формулу, которую назвал "инвариантной", то есть пригодную в "большинстве случаев". Вывод искомой формулы состоял из двух основных этапов: во-первых, некоторой трансформацией зависимой переменной данное уравнение приводилось к более простому виду, где выделены главные члены; во-вторых, показывалось, что эти члены действительно главные, и остальные члены нужным образом оцениваются. Гингольд предложил не пренебрегать некоторыми "малыми" членами на первом этапе преобразования уравнения и получил свою "инвариантную" формулу в несколько отличном от формул Лиувилля-Грина

1т А ~ — 2Ь? ехр виде, в частности, в показателе экспоненты стоит следующее выражение (если рассматривается уравнение вида у"(г) 4- (¿{г)у(г) = 0):

0ЛЗ) а приближение Лиувилля-Грина выводится как частный случай формулы Гингольда при соответствующих условиях на (¿(г). Кроме того, Гингольд ставил своей целью получить "глобальные" асимптотики, впрочем, условия применения своей формулы он описал в терминах поведения (и ограниченности) некоторых интегралов (в частности, (0.13)), не выделяя в комплексной плоскости г каких-либо областей наподобие канонических областей у Федорюка или каких-либо областей, ограниченных линиями Стокса или их аналогами.

Гингольд продемонстрировал применимость своей формулы в замкнутой полуокрестности точки поворота, то есть если Хо — точка поворота, то формула дает равномерное асимптотическое приближение в полуокрестности вида [жц ,6] (если рассматривать уравнение вида у"(х) = р,хту(х), р — большой параметр, т > 0).

Другое современное направление асимптотического исследования ДУ с точками поворота связано с необходимостью "прохождения" нескольких подряд точек поворота (например, на отрезке вещетвенной оси) и с выводом соответствующих формул связи, удобных при решении конкретной задачи. Например, В. Эберхард, Г. Фрейлинг и А. Шнейдер в своей работе [26] построили на (вещественном) отрезке, содержащем га точек поворота (не обязятельно простых), ФСР для уравнения

-и" (х) + х{х)и(х) — р2ф2{х)и(х)-> где р — большой параметр, причем р не предполагалось вещественным. При этом использовались асимптотики Лангера для одной точки поворота, которые впоследствии несколько видоизменялись и сшивались нужным образом; главный член асимптотик Лангера в окрестности точки поворота порядка /о выглядел следующим образом:

Здесь Jk{í) — функция Бесселя.

Одним из основных применений техники построения ВКБ-решений является исследование краевых задач на собственные значения на ограниченном или неограниченном промежутке. Выше уже приводились примеры рх Хо

Ф(г) м такого рода задач, причем рассматриваются асимптотики как по малому параметру (стоящему при второй производной ДУ) [6], так и по номеру собственного значения [19]. Дородницын, в уже упоминавшейся работе [7], рассмотрел, в частности, следующую задачу на вещественном отрезке: у"(х) + (Л 2г(х) + д(х))у(х) = О ау'(0) = ау(0), (0.14)

Ьу>( 1) = -Ъу(1), где Л — спектральный параметр, а г(х) = хг\(х), 0 < гх(х) < М при х Е [0, /]. Пользуясь полученными им асимптотиками (в терминах функций Эйри) для решений ДУ с точкой поворота, Дородницын вывел следующую формулу для собственных значений задачи (0.14) с большими номерами:

0 у/г{х)йх где п ос. Дородницын сравнил получающиеся результаты с асимптотиками собственных значений в случае отсутствия точек поворота на рассматриваемом отрезке; в случае задачи (0.14) собственные значения сдвинуты на--(—- —(1 + 0(п~5/3)). Также в работе [7] рассмотрены аналогич V г(х) йх ные задачи с точками поворта на двух концах или внутри рассматриваемого отрезка.

В работе [10] поставлена задача об асимптотическом поведении собственных функций и собственных значений уравнения Шредингера с малым параметром при старшей производной: к2у"{х) + (Л - и(х))у(х) = 0, (0.15) причем предполагается, что и(х) непрерывна и имеет конечное число максимумов и минимумов и м(±оо) = оо.

Спектр соответствующего дифференциального оператора является чисто точечным. Положив в уравнении (0.15) Ь, = 0, получим вместо дифференциального оператора к2-^ + и(х) (0.16) ах оператор умножения на функцию и(х), который имеет непрерывный спектр. В. П. Маслов рассматривал, в частности, вопрос о том, каким образом происходит при Н 4- 0 предельный переход от точечного спектра дифференциального оператора (0.16) к непрерывному спектру оператора умножения на и(х). Результатом этого исследования, выполненного с использованием квазиклассической техники, явилось то, что Х3п — собственное значение уравнения (0.15) такое, что функция — и(х) имеет 2к нулей XI,. ,Х2к, — будет удовлетворять одному из уравнений:

1 гх у /—--1

- / у/м- и(х) йх = тг (п + -) + О(Л), (0.17) где п £ М, ^ = 1,2,. , 2к. Отсюда, в частности, следует, что для произвольного числа принадлежащего области значений функции и(х), то есть спектру оператора умножения на и(х), существует последовательность собственных значений (то есть последовательность функций {К,(Н)(Н)}ьп) ТаКа*5 что = /1.

В несамосопряженом случае особый интерес представляет асимптотическое (при е 4- 0) распределение собственных значений задачи Штурма-Лиувилля

К/ геу"(г) + Ш-\)у{г) = 0, (0.18) у(а) = у(Ъ) = 0, (0.19) служащей моделью перехода от дискретного спектра к непрерывному (Л — спектральный параметр). Для уравнения Эйри, когда функция — линейна, этот вопрос был исследован в работе [13]. А именно, для спектральной краевой задачи

1еу"^) + (г-\)у(г) = 0, (0.20) у(-1)=у(1) = 0. (0.21) была найдена локализация собственных значений (и установлена резольвентная сходимость при е 0 соответствующего семейства операторов). Показано, что спектр задачи (0.20)—(0.21) в области {1т Л > 6 — 1 /л/3, |А ± 1| > <5 > 0 состоит из двух серий собственных значений Л^ ~ ±1 ± ехр(±г7г/6), е 0, где ¿п — нули функции Эйри А1. Особенностью этой задачи является то, что замена х := (\ — г)/$1е переводит уравнение (0.20) в уравнение Эйри. Таким образом, локализация (при \г\ —> оо) собственных значений проводилась с помощью известных асимптотик функций Эйри.

Для широкого класса потенциалов д(г) в работе [14] был предложен подход к изучению спектральных свойств задачи (0.18)—(0.19), основанный на использовании ВКБ-асимптотик и биркгофовской техники канонических путей.

В случае краевых задач с параметром для уравнений в частных производных построение квазиклассических приближений имеет некоторые особенности. Представляют интерес формальные асимптотические решения, удовлетворяющие уравнению и граничным условиям с некоторой невязкой, стремящейся к нулю при стремлении параметра к бесконечности. Для краевых задач на собственные значения изучаются почти собственные значения, которые вместе с соответствующими функциями (квазимодами) удовлетворяют уравнению и граничным условиям с невязкой, стремящейся к нулю при стремлении почти собственного значения к бесконечности.

Одним из подходов к построению квазимод и почти собственных значений является построение канонического оператора Маслова (см. [11]). Применение этого оператора к специально выбранной функции позволяет получить требуемое формальное асимптотическое решение. Другим известным и распространенным подходом является метод эталонной задачи (см. [2]). В основе его лежит построение асимптотик решений более простой задачи по сравнению с рассматриваемой. На основании изучения решений такой эталонной задачи строится т. н. анзац, то есть формальное асимптотическое представление для решения. Основные результаты

В первой главе диссертации рассматривается задача (0.18)—(0.19) с квадратичной функцией q(z), а именно, задача на собственные значения для уравнения Вебера.: iey"(z) + (¿2 - X)y(z) = 0, (0.22) у(-1)=у{1) = о. (0.23)

Спектр задачи (0.22)—(0.23) дискретный (см. [12]), причем все собственные значения находятся в полуполосе П = {0 < Re Л < 1, Im Л < 0}. Целью первой главы является изучение распределения собственных значений задачи (0.22)—(0.23), при этом используются асимптотические представления (при б I 0) для решений дифференциального уравнения (0.22). Указанные (ВКБ-)асимптотики решений строятся с использованием техники канонических путей. В главе 1 показано, что область в П, расположенная выше некоторой кривой, асимптотически (при в 4- 0) свободна от спектра задачи (0.22)—(0.23) (теорема 1), и найдено асимптотическое распределение собственных значений, находящихся вблизи указанной кривой (теорема 2). Более подробный обзор результатов первой главы см. в §1.1.

Комбинируя результаты теорем 1 и 2, для произвольного S > 0 можно утверждать, что спектр задачи (0.22)—(0.23) в области

А Е С : ReA е (0,1), Im Л 6 (-2/7,0), |А| > S, |1 - А| >5} при достаточно малых е > 0 состоит из однократных собственных значений, расположенных в 0(б)-окрестностях отрезка луча arg А = —7г/4 и кривои, задающейся уравнением

Ие (VГГХ - Л 1п | = 0. (0.24)

Техника, с помощью которой получен указанный результат, применима к ряду других задач и, в частности, позволяет исследовать вопрос об асимптотическом распределении собственных значений при е 4- 0 задачи (0.18)— (0.19) с потенциалами д(г) достаточно общего вида.

Во второй главе диссертации исследуется краевая задача на собственные значения для уравнения Гельмгольца в двумерной области О со спектральным параметром в граничном условии:

А и = Хи — в О, ч ди . „„

А— = —7Дг и — на ом. дп

На основе метода эталонной задачи строятся серии квазимод и соответствующих им почти собственных значений и исследуются их свойства. При этом, с помощью интегральных тождеств и с использованием явного вида квазимод, а также оценок невязок устананавливается, что мнимые части почти собственных значений локализованы в сколь угодно малой (в степенной шкале относительно модуля почти собственного значения) окрестности вещественной оси. (Подробнее — см. введение к главе 2).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [32]—[37]. В работе [32] первому автору принадлежит теорема о локализации собственных значений задачи для уравнения Вебера, второму из авторов — результат о зоне, асимптотически свободной от собственных значений, и свойствах граничных кривых. В работе [33] содержится подробное изложение результатов работы [32]. Оценка погрешности локализации, приведенная в диссертации и анонсированная в [33], получена А. А. Аржановым.

Они докладывались на семинаре механико-математического факультета МГУ под руководством профессора Р. А. Минлоса, XXIII конференции молодых ученых в МГУ, международных научных конференциях Дни Ди-фракции'2001, Стохастический анализ и смежные вопросы (Санкт-Петербург, 2001).

Автор глубоко благодарен своим научным руководителям — профессору Р. А. Минлосу и доценту С. А. Степину за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Всюду в дальнейшем символом С, быть может, с аргументами в скобках, но без индексов и надстрочных знаков, обозначены положительные, вообще говоря разные, константы (зависящие только от аргументов в скобках).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Аржанов, Алексей Анатольевич, 2001 год

1. Бабич В. М. Многомерный метод ВКБ или лучевой метод, его аналоги и обобщения. // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Современные проблемы математики. Фунд. направления. 1987, т. 34, с. 93-134.

2. Бабич В. М., Булдырев В. С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. Метод эталонных задач. М., Наука, 1972.

3. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Мир, 1986.

4. Вайнберг Б. Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики. М., Изд-во Моск. ун-та, 1982.5. "Гидромеханика невесомости" под ред. Мышкиса А. Д. М., Наука, 1976.

5. Днестровский Ю. Н., Костомаров Д. П. Об асимптотике собственных значений для несамосопряженйой краевой задачи. // ЖВМ и МФ, 1964, 4, в. 2, с. 267-277.

6. Дородницын А. А. Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка. // УМН, 1952, 7, в. 6, с. 3-96.

7. Копачевский Н. Д. О колебаниях капиллярной вязкой жидкости (модельная задача). // Труды VI зимней школы-симпозиума по матем. программир. и смежн. вопросам. (Дрогобыч, 1973), сер. "Функциональный анализ и его приложения", 1975, с. 197-214.

8. Лазуткин В. Ф. Квазиклассическая асимптотика собственных функций. // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. 1987, т. 34, с. 135-174.

9. Маслов В. П. О предельном поведении некоторых квантово-механи-ческих величин. // ДАН СССР, 1954, 94, №4, с. 623-626.

10. Маслов В. П., Федорюк М. В. Канонический оператор. // В сб. "Современные проблемы математики". Т 1. (Итоги науки). М., ВИНИТИ, 1973, с. 85-167.

11. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М., Наука, 1969.

12. Степин С. А. Модель перехода от дискретного спектра к непрерывному в сингулярной теории возмущений. // Фундаментальная и прикладная математика, 1997, 3, №4, с. 1199-1227.

13. Степин С. А. О спектральных свойствах несамосопряженного опе<1х2ратора + ч{х). // УМН, 1998, 53, вып. 3, с. 205-206.

14. Степин С. А. Несамосопряженные сингулярные возмущения и спектральные свойства краевой задачи Орра-Зоммерфельда. // Мат. сборник, 1997, 188, №1, с. 129-146.

15. Таблицы нулей функций Бесселя. М., ВЦ АН СССР, 1967 (БМТ, Вып.44).

16. Трубачев А. В. Локализация спектра колебаний вязкой капиллярной жидкости. // Матем. заметки, 1990, вып. 5, с. 116-126.

17. Федорюк М. В. Топология линий Стокса для уравнений второго порядка. // Известия АН СССР, серия матем., 1965, т. 29, №3, с. 645656.

18. Федорюк М. В. Асимптотика собственных значений и собственных функций оператора Штурма-Лиувилля с комплекснозначным потенциалом-полиномом I, II. // Дифференц. уравнения, 1972, 8, №5, с. 811-816; 1974, 10, №6, с. 1068-1073 (в соавт. с Ждановой Г. В.).

19. Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Наука, 1983.

20. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т 1. М., Наука, 1969.

21. Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ). М., Мир, 1965.

22. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. М., Наука, 1985.24 25 [2627 2829 30 [3132