Комбинаторные валюации в интегральной и стохастической геометрии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, доктор физико-математических наук Оганян, Виктор Кароевич

• Оганян, Виктор Кароевич
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Оганян, Виктор Кароевич

СОДЕРЖАНИЕ

страницы

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ПОРОЖДЕНИЕ МЕР КОМБИНАТОРНЫМИ

ВАЛЮАЦИЯМИ В ПРОСТРАНСТВЕ С

§1.1. Введение

§1.2. Вычисление предела Крофтона

§1.3. Доказательство Теоремы 1.2

§1.4. Проверка

ГЛАВА 2. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ 4-АЯ ПРОБЛЕМА

ГИЛЬБЕРТА

§2.1. Введение

§2.2. Однопараметрическое семейство

§2.3. Семейство сегментных опорных функций

§2.4. Случай римановых метрик

§2.5. Примеры

ГЛАВА 3. ПОРОЖДЕНИЕ МЕР КОМБИНАТОРНЫМИ

ВАЛЮАЦИЯМИ В ПРОСТРАНСТВЕ 1Е

Введение

§3.1. Кольцо Сильвестра в 1Е

§3.2. Валюация Ф/г

§3.3. Стереография

§3.4. Блоки й их фрагменты

§3.5. Интегральные суммы Римана

§3.6. Возврат к функционалу Ф^

§3.7. Анализ первого порядка

§3.8. Тригонометрический вид плотности р

§3.9. Дифференциальное уравнение для функций А, В, С

§3.10. Достаточность дифференциального уравнения (3.93)

§3.11. Результат анализа первого порядка

§3.12. Анализ второго порядка

§3.13. Валюации на плоскости т

§3.14. Разложение по направлениям осей х и у

§3.15. Полу локальные условия

§3.16. Необходимые и достаточные локальные условия

для (3.154)

§3.17. Достаточные условия для (3.155)

§3.18. Необходимые и достаточные условия для (3.150)--------134

§3.19. Основной результат

ГЛАВА 4. СЛУЧАЙНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ГРУППЫ

§4.1. Введение

§4.2. Доказательство Теоремы 4.1 и вывод следствий

§4.3. Доказательство Теоремы 4.2 и вывод следствий

§4.4. Доказательство Теоремы 4.3 и вывод следствий

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЕ

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

Ш.п — п-мерное евклидово пространство, ИЗ.1 = Ш.; С — пространство прямых в Ш.2, д бС; 1Е — пространство плоскостей в Ш,3, е Е ХЕ; 1МП — группа евклидовых движений М Е 1МП; Тп — группа параллельных переносов , t Е Тп; В(Х) — сг-алгебра борелевских подмножеств топологического пространства X;

Во(Х) — класс ограниченных борелевских подмножеств топологического пространства X;

В1 — единичная окружность с отождествленными диаметрально противоположными точками (пространство направлений прямых д Е С в

т2);

Е2 — единичная сфера с отождествленными диаметрально противоположными точками, (пространство направлений прямых в Ш.3);

(7) — пространство направлений в плоскости ортогональной прямой ТСЖ3;

1а(х) — индикатор множества А, т.е. 1а{х) = 1, если х Е А и 1а(х) — О в противном случае;

[ЯР] = {д ЕС: (7разделяет точки ф и Р}; или (в Главе 3) [ЯР] = {е Е 1Е: е разделяет точки ^ и Р};

/ = (Р, д) — флаг на плоскости Ш.2, т.е. пара состоящая из точки Р Е Ш,2 и прямой д Е С проходящей через точку Р. Эквивалентной является запись / = (Р, (р), где Р Е П^2 и ср Е £\ есть направление прямой д С И2;

f — (Р5-)/?е) — флаг в Ш,3, т.е. триада, состоящая из точки Р Е П^3, прямой 7, проходящей через Р и плоскости е, проходящей через 7. Эквивалентной является запись / = (Р, П, </>), Р Е Ж-3, П 6 ¿"2, Ф Е £1(7)? гДе

Q - пространственное направление прямой у, ф - угол поворота плоскости е вокруг 7; Т — пространство флагов в IR3;

С;(т) — пространство функций для которых существует га-ая непрерывная производная;

Card (А) — число элементов множества А.

В каждой главе первое упоминание обозначения из данного списка будем отмечать обозначением: см. Список.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Комбинаторные валюации в интегральной и стохастической геометрии»

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация посвящена решению некоторых задач стохастической и интегральной геометрии в 2-х и 3-х мерном Евклидовом пространствах. Систематическое применение методов теории вероятностей в таких геометрических дисциплинах как теория выпуклых тел и геометрические неравенства было начато в тридцатые годы В. Бляшке и его школой. Соответствующее направление исследования В. Бляшке назвал Интегральной Геометрией [25]. В работах JL Сантало [47] возглавившего эту школу после войны, первостепенной была задача отыскания мер в пространствах интегральной геометрии инвариантных относительно группы. В общей постановке для т.н. однородных пространств эта задача была решена С. Чженем [26]. Однако, в этих исследованиях совершенно не использовалась современная теория продолжения мер, в которой инвариантность меры относительно группы несущественна. Работа по построению мер в классических пространствах интегральной геометрии методом продолжения комбинаторных конечно-аддитивных функционалов (Валюаций) определенных на т.н. кольцах Сильвестра была начата Р. В. Амбарцумяном [10]. Соответствующие комбинаторным валюациям разложения мер в пространстве прямых на плоскости а затем и в пространствах геодезических линий на двумерных многообразиях, были впервые построены Р. В. Амбарцумяном при решении задачи "Бюффона-Сильвестра" [2]. Изучению валюаций в геометрии и в теории геометрических вероятностей в настоящее время уделяется значительное внимание (например, [30] и [31]). В институте Математики HAH Армении на семинаре Р.В. Амбарцумяна ведутся исследования по комбинаторным валюациям. В последние годы проделана значительная работа по нахождению условий продолжимости комбинаторных валюа-

ций до мер на кольцах в других пространствах интегральной геометрии (плоскости в Ж3, прегеодезические на двух- и трехмерных многообразиях). Выявились глубокие связи этой задачи с четвертой проблемой Гильберта. Опубликовано 2 специальных сборника под общим названием "Аналитические результаты комбинаторной интегральной геометрии" [19], [22], в основном посвященных вопросу нахождения условий продолжения комбинаторных валюаций до мер в соответствующих пространствах и приложение полученных результатов в задачах типа 4-ой проблемы Гильберта по описанию метрик.

Разложения мер соответствующие комбинаторным валюациям и их многомерные аналоги имеют многочисленные глубокие следствия в стохастической геометрии. Предметом Стохастической Геометрии согласно Д. Кендаллу и К. Крикебергу [27] являются общие случайные процессы фигур, определяемые как точечные процессы в соответствующих пространствах. С обширной литературой в этом направлении можно ознакомится в книге Д. Штояна, В. Кендалла и Й. Мекке [49]. В стохастической геометрии обычно накладывается требование инвариантности вероятностных распределений процессов фигур относительно группы преобразований основного пространства. Ереванской школе принадлежат постановка задачи применения метода комбинаторных разложений мер для исследования случайных процессов фигур. Этим методом в книгах Р. В. Амбарцумяна [10], [14], [15], был получен ряд стереологических результатов для случайных мозаик и случайных раскрасок плоскости. Настоящая диссертация содержит результаты автора по применению комбинаторных валюаций в двух очерченых направлениях исследований. В частности, она содержит результаты по случайным точечным процессам пересечений, маркированных углами под которыми происходят пересечения.

Четвертой проблемой Гильберта занимались Г. Гамель, П. Функ, Г. Буземан, А. Погорелов, Р. Александер, Р. В. Амбарцумян. От-

метим теорему Погорелова-Александера-Амбарцумяна о соответствии между псевдометриками на плоскости, для которых геодезическими являются обычные евклидовы прямые, и беспучковыми мерами в пространстве прямых С на плоскости [14]. Пусть И — класс достаточно гладких псевдометрик определенных на евклидовой плоскости для которых геодезические суть обычные евклидовы прямые. Параметрическая 4-ая проблема Гильберта состоит в следующем: описать все псевдометрики из Л которые в каждой точке имеют индикатрису из некоторого параметрического класса выпуклых фигур. Отметим, что для римано-вых метрик соответствующий параметрический класс есть пространство эллипсов. Первые результаты по параметрической 4-ой проблеме Гильберта [24] вошли в данную диссертацию.

В работе используются аналитические и комбинаторные методы интегральной и стохастической геометрии. В частности, комбинаторные валюации задаются с помощью т.н. флаговых плотностей принадлежащих различным классам гладкости. Условия продолжимости валюаций до знакопеременных мер записываются в виде дифференциальных уравнений. Исследование последних в Главе 2 сводится к исследованию бесконечных алгебраических линейных систем уравнений и к анализу соответствующих бесконечных матриц. В Главе 4 метод усреднения комбинаторных валюаций используется в сочетании с методом малого параметра (запись комбинаторных разложений внутри "узких " прямоугольников).

В Главах 1, 3 требуемые условия на флаговую плотность получены путем вычисления или асимптотического анализа т.н. предела Крофтона.

В Главе 1 рассматриваются комбинаторные валюации на кольце Сильвестра в пространстве С порождаемые флаговыми плотностями. Найдены необходимые и достаточные условия, при которых комбинаторная валюация на кольце Сильвестра в пространстве прямых С продолжается до знакопеременной меры. Эти условия имеют вид дифференци-

ального тождества для соответствующей флаговой плотности. Выведен критерий неотрицательности меры, который совпадает с известным условием выпуклости флаговой плотности в каждой точке плоскости.

Глава 2 посвящена параметрической 4-ой проблеме Гильберта. Полученное в Главе 1 дифференциальное тождество исследовано для т.н. параметрических семейств флаговых плотностей р. Получено необходимое и достаточное условие, при котором р определяет псевдометрику класса Л. Доказано, что в случае зависимости от одного одномерного непрерывного параметра решения всегда определяют метрику Мин-ковского. Исследованы дифференциальные уравнения для параметров псевдометрик класса 7Н. в случае сегментных и эллиптических (рима-новых) индикатрис. Получено полное решение в случае сегментных индикатрис. Показано, что функция задающая ориентацию эллипсов необходимо гармоническая. Построен пример метрики Римана в ГО-2 из класса Л и показано, что она единственна в классе метрик Римана с изотропной функцией ориентации.

В Главе 3 рассматриваются комбинаторные валюации на кольце Сильвестра в пространстве плоскостей 1Е в ГО,3. Найдены необходимые и достаточные условия, при которых комбинаторная валюация на кольце Сильвестра в пространстве плоскостей Ж продолжается до знакопеременной меры. Эти условия имеют вид системы из двух дифференциальных уравнений для соответствующей флаговой плотности. Последняя необходимо имеет определенный тригонометрический вид.

В Главе 4 исследуются конечномерные распределения точечных процессов пересечений случайных процессов прямых на плоскости с "тестовыми" прямыми. Та же задача ставится для случайных плоских мозаик.

Для случайного процесса прямых инвариантного относительно группы 1М2 евклидовых движений плоскости вычислены конечномерные рас-

<-» и ^ 55 «

пределения точечного процесса пересечении на тестовой прямой в терминах двух распределений типа Пальма. Этот результат дает основа-

ние выделить класс случайных процессов прямых определяемый наличием некоторого "свойства перемешивания". В этом классе получено необходимое и достаточное условие того, что процесс пересечений на тестовой прямой оказывается пуассоновским. Аналогичная классификация оказывается эффективной и в двух других задачах стохастической геометрии рассматриваемых в диссертации.

Для процессов прямых инвариантных относительно группы Т2 параллельных переносов плоскости вычислены одномерные распределения точечного процесса пересечений на "типичной прямой направления а". Получено распределение длины "типичного ребра направления о?" в терминах процесса {xi, Фг}, где {.тг} — точечный процесс пересечений ребер мозаики с фиксированной прямой направления а, марка Фг- — угол под которым ребро мозаики пересекает фиксированную прямую в точке Х{. Здесь также предполагается инвариантность только относительно группы Т2. Получен ряд следствий стереологического характера.

Работа носит теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть использованы в дальнейших исследованиях по интегральной и стохастической геометрии а также в теории выпуклых тел. Методы решения задач могут быть использованы при решении аналогичных задач в неевклидовых пространствах. Результаты Главы 4 представляют значительный интерес для ряда прикладных дисциплин, в которых применяются процедуры стереологического характера [50]. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [20], [24] [32] — [43].

Более подробное представление о содержании глав можно составить из введений, которыми открывается каждая из четырех глав.

ГЛАВА 1 ПОРОЖДЕНИЕ МЕР КОМБИНАТОРНЫМИ ВАЛЮАЦИЯМИ В ПРОСТРАНСТВЕ С §1.1. ВВЕДЕНИЕ

Пусть на плоскости задано конечное множество точек {Д}, содержащее не менее двух точек. Каждая прямая, не содержащая точек Р{ производит разбиение множества {Р{} на два подмножества. Две прямые, не содержащие точек Р{ полагаем эквивалентными, если они производят одно и то же разбиение множества {Рг}. Множество эквивалентных прямых называется атомом, если его замыкание компактно. Существует только одно разбиение, которое не соответствует какому-либо атому, а именно, разбиение на 0 и само {Р;}.

Через г{Рг} обозначаем минимальное кольцо подмножеств С, содержащее все атомы.

Ясно, что любое А Е г{Р{} может быть представлено в виде объединения атомов Е

А= []а3. (1.1)

Так как атомы определены как открытые множества, то открытыми оказываются все элементы г{Р;}. Множество прямых, содержащих точку (5 Е П^2, будем обозначать через [0\ и называть пучком прямых, проходящих через <3.

Определение 1.1. Два множества А\,А2 С О полагаем эквивалентными, если их симметрическая разность А\АА2 принадлежит объединению конечного числа пучков [ф,-], т. е. если

к

А1ЛА2 - (Аг \ А2) и (А2 \ Аг) С и[<2г-], к < оо.

г=1

Класс множеств, эквивалентных множеству А С С, обозначим через А*.

Лемма 1.1. Пусть {Р;} и {фг} — два конечных множества из Л*,2. Для каждого А Е г{Р{} существует эквивалентное множество

Доказательство достаточно провести в случае, когда ({Рг} и {ф;}) \ {Р;} состоит из единственной точки, скажем (далее доказательство может быть завершено индукцией). Ввиду (1.1), необходимое утверждение достаточно доказать в случае, когда А - атом. Возможны два случая: 1) А П [фх] = 0, или 2) А П [фх] ф 0- В случае 1) имеем А! - А. В случае же 2) А эквивалентно объединению двух атомов Ах,Аг из г({Рг} и {^х}): А1, А'2 - две компоненты, на которые атом А расщепляется пучком [<31] •

Обозначим через класс = и где объединение берется

по всем конечным подмножествам {Р;} С П^2, содержащим более одной точки.

По лемме 1.1, Ц£ вместе с каждым А Е содержит множества эквивалентные А. Однако ниже разница между эквивалентными множествами не будет существенной.

Определение 1.2. Щ = {А*: А Е 17^}.

Лемма 1.2. Класс есть кольцо (т.н. кольцо Сильвестра) относительно операций объединения и вычитания множеств

А* и В* = (А и В)*, А* \ В* = (А \ В)*.

Доказательство: Если А*, В* Е ЦХ, то существуют конечные множества {Рг} и {<3г} С Ж2 такие, что в г{Рг} имеется А Е А*, а в г{(3„-} имеется В Е В*. По Лемме 1.1, существуют А'Е и

А' Е А* и Р' Е Р*. В силу свойства кольца

А' и В', А' \В' Е г({Рг} и {<3г}))

и утверждение следует ввиду того, что (А'иВ')* = (АиР)* и (А'\В')* = = (А \ В)*.

Через V будем обозначать иглы в т.2: по определению игла есть отрезок прямой на плоскости. Через [и] обозначим т.н. бюффоново множество прямых

[и] = {д Е С: д разделяет концы г/} С г{Р\, Р2}, где Р2 — концы отрезка и.

Определение 1.3. Обозначим через В минимальное кольцо подмножестве, содержащее все бюффоновы множества [и].

Рассмотрим класс множеств В* = {В* : В Е В}.

Лемма 1.3. Щ = В*.

Доказательство. Ввиду минимальности В достаточно показать, что и^ С В*. Для любого А Е существует {Рг} такое, что А Е Предположим сначала, что А - атом г{Рг}. Пусть {Р£} и {Р^} представляют разбиение {Р^} некоторой прямой д Е А и {Р^} и {Р"} = {Рг}. Тогда

А = [)[р1,р?]ев.

к,3

Для общего А Е г{Рг-} утверждение А Е В следует из (1.1). Таким образом, из А £ В вытекает А* Е В*. Конец доказательства.

Пусть С - декартова координатная система О, х, у в Ш,2. Рассмотрим пучки параллельных прямых

[ж] = {прямые, параллельные оси

[у] = {прямые, параллельные оси у},

а также пучок [О] прямых, проходящих через О. Обозначим через Сс пространство

= С\ ([ж] и [у] и [О]). (1.2)

Пусть С{ - декартова координатная система 0{, Х{, г == 1,2,3. Легко видеть, что

П (С* и и и ы и [о{]) = р|С =в. (1.3)

Будем говорить, что три координатные системы С2, и ^з находятся в общем положении, если в объединении получаемом из (1.3) заменой пересечения объединений на объединение пересечений, пусты все компоненты не содержащие Gci •

Лемма 1.4. Если координатные системы г = 1,2,3 в общем положении, то

Доказательство следует из (1.3).

Обозначим через В минимальное сг-кольцо, содержащее кольцо В. Лемма 1.5. Класс В совпадает с ¿30(С).

Доказательство: Пусть С - декартова координатная система 0,х,у в ГОА Соответствующее пространство С с топологически эквивалентно пространству произведений (ЗЯ\ О)2 = (а;-ось \ О) х [у -ось \ О). Естественным гомеоморфизмом между этими двумя пространствами является (х, у) <—► д, где х, у - точки пересечения д Е Сс с соответствующими осями. При таком отображении произведения интервалов, лежащих на осях соответствуют подмножествам [р\] П [г^], где С (ж-ось \ О), ь>2 С {у-ось \ О), т.е. принадлежат следу В наСс- Поэтому

1) класс В с образов В0((Е1\ О)2) (см. Список) совпадает с минимальным сг-кольцом в С, содержащим П [1/2} из указанного класса. Тем самым

Вс С В; (1.4)

2) В с совпадает с В0(&с)-

Пусть В Е Во (О). Выберем три декартовы системы С{,г = 1,2,3 в общем положении и положим

По лемме 1.4, В = иВ{. Из 2), В{ Е Вс,, а по (1.4) В Е В.

Мы доказали, что Во (О) С В. Однако, множества [г/], которые порождают В открыты. Поэтому справедливо также обратное утверждение. Лемма 1.5 доказана.

Ниже будем пользоваться следующим кратким языком:

1) Если А Е и кольцо г{Рг} содержит множество из класса А, то будем говорить, что А Е г{Р^};

2) Если АЕЩжА1Е А, то 1А(д) = 1шаАз)-

Определение 1.4. Две точки Р{ и Р,- из множества {Рг} называются соседними, если внутренность отрезка не содержит других точек из множества {Рг}.

Пусть Р - непрерывная функция, заданная в пространстве отрезков на плоскости. Каждому А Е и каждому кольцу г{Рг} содержащему А соответствует выражение

Уг(А) = ^Гч(А)Р(Р{,Р3-), (1.5)

i<j

где сумма распространяется на множество пар соседних точек из {Рг}. Целочисленные коэффициенты с^-(А) в (1.5) задаются по формуле "четырех индикаторов" ([10], [17] и [39]):

+ - - + ~ - + +

с^(А) = /А(г ) + /А(г ,; ) - /А(г ,])- 1А({ ^ ), (1.6)

где

+ + - -1а(* ,3 ) = Дт. Ш, Л ) = Д™. 1Лз)

У ''Уг^ У У%з

д£Вг дев2

+ - - +

1л(г ,3 ) = Дт. 1А(д), Ыг ,3 ) = Дт. ^аЫ

У 'Угу «»

дев3 эев4

причем

gij — направленная прямая проведенная через точки Р;, Р^ с направлением от точки Р{ к Р) В1 = {д еО: все точки из {Р;} лежащие на прямой д^ остаются в правой полуплоскости ограниченной прямой д},

-#2 = {<? Е С: все точки из {Рг} лежащие на прямой д^ остаются в левой полуплоскости ограниченной прямой д}, В3 = {д Е С: точка Р; принадлежит правой полуплоскости ограниченной аР^ принадлежит левой полуплоскости}. В4 = {д ЕС: точкаРг-принадлежит левой полуплоскости ограни-ченой д, a.Pj принадлежит правой полуплоскости}.

Отметим, что коэффициенты не зависят от выбора направления

прямой дгу Из вида формулы (1.6) следует, что коэффициенты с^(А) принимают только значения 0, ±1, ±2.

Лемма 1.6 [17]. Если функция Р непрерывна и аддитивна вдоль прямых, то не зависит от выбора кольца г{Р^} содержащего А и представляет собой валюацию на £7^.

Доказательство: Заметим, что

если {Рг} С {Р[} то необходимо г{Рг} С г{Р[} (1.7)

в том смысле, что для каждого А Е г{Р{} существует эквивалентное А! Е т{Р[}. Для таких множеств = Ур(А'). Отсюда следует,

что функционал Ур единственным образом определен на классе 11^. Из (1.7) следует, что если В{ Е i = 1,...,п, то существует конечное множество {Р,} такое, что В{ Е ^{Р.,} Для всех i = 1 ,...,п и утверждение леммы о конечной аддитивности функционала Ур следует из аддитивности коэффициентов Cij(A) как функции множества А. Лемма доказана.

Пример 1.1. Пусть ах, а,2 два отрезка на плоскости, такие что прямая продолжающая каждый из отрезков не пересекает другого отрезка. Пусть

А = [аг] П [<22] = {множество прямых пересекающих оба отрезка}.

Для любого {P¿}, включающего концы отрезков ai и а2 всегда А Е г{Рг}. В случае когда никакие три точки из {P¿} не лежат на одной прямой, комбинаторный алгоритм (1.6) дает следующие значения коэффициентов Cij(A): C{j(A) = 1, если отрезок Р„-, Ру совпадает с диагональю выпуклого четырехугольника, сторонами которого являются отрезки ai и a2; c¿j(A) = — 1, если отрезок P¿, Pj совпадает со стороной этого четырехугольника несовпадающей с ai или a2; cíj(A) — 0 в остальных случаях.

Следовательно, имеем (обозначения см. на Рис. 1.2)

2VF([ai} n KD = Н[РгР4]) + Р([Р2Рз]) ~ F([PiP2]) - F([P3P4]), (1.8)

где [PQ] = {д Е G: прямая д разделяет точки Р и Q}. Мера т в G называется беспучковой, если

т ({ пучок прямых содержащих точку Р}) = 0 для любой Р Е IR2.

Теорема 1.1 Р. В. Амбарцумян, [10]. Для того, чтобы валю-ация Vp являлась бы сужением на U^ некоторой беспучковой меры в пространстве G необходимо и достаточно, чтобы F была бы непрерывной псевдометрикой класса Ti. В этом случае

Р(РьР2) = 1т([РьР2]), (1.9)

Основные результаты главы касаются случая, когда F порождается флаговой плотностью. Дадим соответствующее определение.

Определение 1.5. Пусть р(х,у, (р) непрерывная функция определенная в пространстве флагов IR2 х (см. Список). Говорим, что функция отрезка P(Pi,P2) порождается флаговой плотностью если

F(PUP2)= f p(x,y,<p)dl, (1.10)

JPlP2

где интегрирование относительно (х, у) ведется по прямолинейному отрезку Pl Р2, di есть элемент длины на этом отрезке. Угловой параметр <р в (1-Ю) совпадает с направлением отрезка PiP2.

Определение 1.6. Неотрицательную флаговую плотность р будем называть плотностью класса Л, если интеграл (1.10) определяет псевдометрику на плоскости для которой геодезическими являются прямые линии.

Мы рассматриваем только меры абсолютно непрерывные относительно 1Мг-инвариантной меры ¡л в пространстве С, т.е. такие меры т(-) для которых

йт{д) = 7(д) йд,

где 7(д) - плотность меры га, а ¿д ~ элемент меры /х.

Пусть Ри Р2 — две несовпадающие точки на некоторой прямой д Е О, а^ и а^ отрезки лежащие в одной полуплоскости ограниченной прямой д, исходящие из точек Р\ и Р2 соответственно (см. Рис. 1.1). Мы предполагаем, что точки Р\, Р2 £ д также как и углы «1, «2 остаются фиксированными, тогда как длины отрезков (а^! (г = 1,2) стремятся к нулю. Обозначим через Ь отрезок Р1Р2, а через \Ь\ его длину.

Каждой мере т(-) в С с плотностью у(д) соответствует валюация Ур, где Р строится согласно (1.9), причем всегда

7(5)= Мт м^т^])

-1-»««} /Ч[<4П)] п [4П)])

2

4п)|{Р2}

Однако, если Р не порождается мерой в С, то этот предел, вообще говоря, зависит от таких параметров как положение точек Рг и Р2 на д и углов а2.

Определение 1.7. Пусть Р(РЬР2) — функция отрезка порожденная произвольной флаговой плотностью р(х,у,ср). Ур соответствующая р валюация (1.10), (1.5). Предел, когда а[п^ и а^ стягиваются к точкам Р\ и Р2

У>([д(1Я)] П [4и)р

Нш (1.11)

(если он существует) называется пределом Крофтона. Если предел Крофтона не зависит от положения точек Р\ и Р2 на д и от углов ах, а2, то говорим, что для данной д предел Крофтона К>р(д) не зависит от параметров.

Возникает вопрос:

Каким условиям должна удовлетворять флаговая плотность р, чтобы для любой прямой д 6 С предел Крофтона (1.11) существовал бы и не зависел бы от параметров.

Теорема 1.2. Пусть флаговая плотность р Е Следующие

четыре условия 1., 2., 3. и 4. эквивалентны: 1. Для любых (х, у) Е И*-2 и (р Е

др . др д2р д2р . . . БШ + 7Г- СОБ (р — ■ СОЭ (р — 51П (р = 0 (1-12)

дх ду дхд^р дуд(р

2. Предел Крофтона (1.11) существует для любой д ЕС и не зависит от параметров.

3. Для любой д Е С "крофтоновское отношение"

ВДп Ы)

— — ограничено снизу.

МН] П М)

4. По формулам (1.10), (1.9) функция р порождает в пространстве С знакопеременную меру абсолютно непрерывную относительно меры ¿д.

Полное доказательство Теоремы 1.2 будет дано в §1.3, после вычисления предела Крофтона.

§1.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА КРОФТОНА

Известно ([14]), что значение 1М2-инвариантной меры р на множестве [ах] П [а2] имеет вид

/г т г п бшси -вта^ . .

р{\аг) П [а2]) = ---- • «1 • а2 (а, -> 0), (1.13)

где аг- (г = 1, 2) обозначает как длину так и сами отрезки аг-.

Таким образом, речь идет о вычислении предела (см. (1.8), (1.10), (1.11) и (1.13))

p(xi У, Vi) di + / p(x,y,(p2)dl-

JPoP*

J§1 *»

¿ аг1{А} 14JP!P4 JP2P3

a2Í{B}

(1.14)

где <¿>1, фз и (р — направления отрезков Р1Р4, Р2Р3, Р3Р4 и Р1Р2 соответственно.

Предполагая достаточную гладкость функции р, разложим интегралы в (1.14) по степеням величин а1? а2 с точностью до второго порядка включительно. Мы убедимся, что для любой достаточно гладкой флаговой функции числитель в (1.14) эквивалентен с-а\-0,2 и поэтому предел (1.14) существует.

Пусть направление оси X координатной системы совпадает с направлением прямой до (см. Рис. 1.2). Начнем с разложения интеграла

p{Q^3)dl. (1.15)

Координаты точки Q £ Р3Р4 суть Q = (x,y(x,ai,a,2)) (обозначения см. на Рис. 1.2), где

у(х,аиа2) =

(ai sinai — ü2 sina2) ■ x + aia2 siripi + o¿2) — /2ai sin ai + l\a2 sin «2

ai eos ai + 0,2 eos »2 ~~ (h — h)

Направление отрезка P3P4 определяется углом

(1.16)

аг sin o¿\ — a2 sin a.2 . .

^3(01,02) = arctg---T-pr. (1.17)

ai eos ai + a2 cosa2 — (¿2 — n)

Очевидно, что

dl =

^+(ЫХдУа2)) dx = I(ai,a2)dx. (1.18)

Следующее приближенное выражение для /(01,02) следует из (1.18) с помощью формулы Тейлора:

1

I(a1,a2) ~ 1 +

2(h ~ h)2

(0*0 О • О • \

аг sm «i + а2 sm а2 — 1а\ • а2 • smai sina^) •

(1.19)

Здесь знак ~ означает совпадение членов до второго порядка включительно в ассимптотических разложениях левой и правой частях. Имеем

2

p(Q,VÁa*^a2))dl = / р(х,у(х,аиа2),(рз(аг,а2)) • I(a1,a2)dx-

/ .

JPsPé

-f

Jh

Jh

l\ +ai COS C*1 • /»¿2

p ■ ip(aua2) dx - / p • if(a\, a2) dx

J¿2 —ai eos 0.1

(1.20)

Запишем формулу Тейлора для /?(<3,^з) как функции от аг,а2 в точке 01=02 = 0. Заметим, что предел флага (С^,(рз) есть флаг (#,0) = (а;, 0,0). Имеем

р(х(1),у(х,аиа2,срз(аиа2)) = />(аг,0,0) +

др ду_ др_ д(р3

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Оганян, Виктор Кароевич, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. R. Alexander, "Planes for which the lines are the shortest paths between points," Illinois J. Math., vol. 22, pp. 177 - 190, 1978.

2. R. V. Ambartzumian, "The solution to the Buffon-Sylvester problem in IR3," Z. Wahrsch. theory, verw. Geb., vol. 27, pp. 53 — 74, 1973.

3. R. V. Ambartzumian "Combinatorial solution of the Buffon-Sylvester problem", Z. Wahrsch. theory, verw. Geb., vol. 29, pp. 25 — 31, 1974.

4. R. V. Ambartzumian, "A note on pseudo-metrics on the plane," Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete, vol. 37, pp. 145 - 155, 1976.

5. R. V. Ambartzumian, "Stochastic geometry from the standpoint of integral geometry," Adv. Appl. Prob., vol. 9, pp. 792 - 823, 1977.

6. R. V. Ambartzumian, "On some topological invariants in integral geometry", Z. Wahrscheinlichkeits- theorie verw. Gebiete, vol. 44, 1978.

7. R. V. Ambartzumian, "A synopsis of Combinatorial integral Geometry", Advances in Math., vol. 37, no. 1, 1980.

8. P. В. Амбарцумян (Редактор), "Комбинаторные принципы в стохастической геометрии", Изд. АН Арм. ССР, Ереван, 1980.

9. Р. В. Амбарцумян, "О комбинаторных основаниях интегральной геометрии", Известия АН Арм. ССР, серия Математика, том 16, № 4, стр. 285 - 292, 1981.

10. R. V. Ambartzumian, Combinatorial Integral Geometry with Applications to Mathematical Stereology, John Wiley and Sons, Chichester, 1982.

11. R. V. Ambartzumian, "Probability distribution in Stereology of random geometrical processes," in Recent Trends in Math., Reinhardbrunn (collection of papers), BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, vol. 50, pp. 5 - 12, 1982.

12. R. V. Ambartzumian, "Factorization in integral and stochastic geometry," Teubner Texte zur Mathematik, vol. 65, pp. 14 - 33, 1984.

13. R. V. Ambartzumian, "Combinatorial integral geometry, metric and zonoids", Acta Appl. Math., vol.9, pp. 3 - 27, 1987.

14. P. В. Амбарцумян, Й. Мекке, Д. Штойян, Введение в Стохастическую Геометрию, Москва, Наука, 1989.

15. R. V. Ambartzumian, Factorization Calculus and Geometric Probability, Cambridge University Press, 1990.

16. R. V. Ambartzumian and H. S. Sukiassian, "Inclusion-Exclusion and Point Processes", Acta Appl. Math., vol. 22, pp. 15 - 31, 1991.

17. P. В. Амбарцумян, "Замечания о порождении мер в пространстве прямых в IR3", Известия НАН Армении, серия Математика, том 27, № 5, стр. 1 - 21, 1992.

18. Р. В. Амбарцумян, "Об одном конечно-аддитивном функционале в IR3", Известия НАН Армении, серия Математика, том 28, № 2, стр. 51 - 60, 1993.

19. Р. В. Амбарцумян (Редактор), "Аналитические результаты комбинаторной интегральной геометрии", Известия НАН Армении, серия Математика [English translation: Journal of Contemporary Math. Anal. (Armenian Academy of Sciences)], том 29, № 4, 1994.

20. P. В. Амбарцумян, В. К. Оганян, "Конечно-аддитивные функционалы в пространстве плоскостей, I", Известия НАН Армении, серия Математика, том 29, № 4, стр. 7- 63, 1994.

21. R. V. Ambartzumian with the Appendix by V. К. Oganian, "Measure generation by Euler functionals", Adv. Appl. Prob. (SGSA), vol. 27, pp. 606 — 626, 1995.

22. P. В. Амбарцумян (Редактор), "Аналитические результаты ком-

бинаторной интегральной геометрии", Известия НАН Армении, серия Математика [English translation: Journal of Contemporary Math. Anal. (Armenian Academy of Sciences)], том 31, JV» 4, 1996.

23. R. V. Ambartzumian, "Integral geometry of pregeodesics on 2-ma-nifolds" [in Russian], Izv. Akad. Nauk Armenii, Matematika, [English translation: Journal of Contemporary Math. Anal. (Armenian Academy of Sciences)], vol. 31, no. 4, pp. 2 - 41, 1996.

24. R. V. Ambartzumian, V. K. Oganian "Parametric versions of Hilbert's fourth problem," Israel Journal of Mathematics, vol. 103, no. 1, pp. 41 — 65, 1998.

25. W. Blaschke, "Vorlesungen iiber Integral Geometry", Teubner, Leipzig, 1936/37.

26. S. S. Chern, "On integral geometry in Klein spaces", Ann. of Math., vol. (2) 43, pp. 178 — 189, 1942.

27. E. Harding and D. Kendall (Editors), "Stochastic Geometry" (collection of papers), John Wiley & Sons, 1974.

28. O. Kallenberg, Random Measures, Akademie Verlag, Berlin, 1983.

U VI

29. И. Керстан, К. Маттес, И. Мекке, "Безгранично делимые точечные процессы", Наука, 1982.

30. Daniel A. Klain, Gian-Carlo Rota, Introduction to Geometric Probability, Cambridge University Press, USA, 1997.

31. P. McMullen and Rolf Schneider, "Valuations on convex bodies", In: Convexity and its Applications, eds. P. Gruber and M. Wills, Basel, 1983.

32. В. К. Оганян, "Комбинаторные принципы в стохастической геометрии случайных полей отрезков", ДАН Арм. ССР, том 68, стр. 150 -154, 1979.

33. В. К. Оганян, "Комбинаторные принципы в стохастической геоме-

трии случайных полей отрезков", В сборнике [7], стр. 81 — 106, 1980.

34. V. К. Oganian, "On Palm distributions of processes of lines in the plane," Stochastic Geometry, Geometric Statistics, Stereology, eds. by R. V. Ambartzumian and W. Weil, Teubner Texte zur Mathematik, vol. 65, pp. 124 - 132, 1984.

35. В. К. Оганян, "О распределении длины "типичного" ребра случайной мозаики", Изв. АН Арм. ССР, серия Математика, том 19, № 3, стр. 248 — 256, 1984.

36. В. К. Оганян, "О формах треугольников образованных точками пуассоновского процесса на плоскости", ДАН Арм. ССР, том 81, № 2, стр. 59 — 63, 1985.

37. V. К. Oganian, " Combinatorial decompositions and homogeneous geometrical processes", Acta Appl. Math., Holland, vol. 9, № № 1 — 2, pp. 71 — 81, 1987.

38. V. K. Oganian, "On homogeneous processes of lines in the plane", Proceedings of the 1st world congress of the Bernoulli Society, VNU, Science-Press, BV, Holland, vol. 1, pp. 256 — 260, 1987.

39. В. К. Оганян, А. Абдалла, "О порождении мер в пространстве прямых финслеровыми метриками", Известия НАН Армении, серия Математика, том 27, № 5, стр. 69 - 80, 1992.

40. В. К. Оганян, А. Абдалла, "Маркированные точечные процессы пересечений порожденные случайными процессами прямых на плоскости", Известия АН Армении, серия Математика, том 28, JV« 5, стр. 78 — 90, 1993.

41. V. К. Oganian, "Measure generation by Euler Functionals, Appendix", Приложение к статье P. В. Амбарцумяна, Adv. Appl. Prob. (SGSA), vol. 27, pp. 623 — 626, 1995.

42. В. К. Оганян, А. Давтян, "Конечно-аддитивные функционалы в пространстве плоскостей, И", Известия НАН Армении, серия Математика, том 31, № 4, стр. 44 — 73, 1996.

43. В. К. Оганян, "More on Riemann Metrics in IR2 for which the lines are the shortest paths", Известия HAH Армении, серия Математика [English translation: Journal of Contemporary Math. Anal. (Armenian Academy of Sciences)], том 32, № 2, стр. 77 — 85, 1997.

44. Г. Ю. Панина, "Выпуклые тела и меры, инвариантные относительно сдвигов", Записки научн. сем. ЛОМИ, том 157, 1986.

45. А. В. Погорелов, Четвертая Проблема Гильберта, Москва, Наука, 1974.

46. X. Рунд, Дифференциальная Геометрия Финслеровых Пространств, Москва, Наука, 1981.

47. Л. А. Сантало, Интегральная Геометрия и Геометрические Вероятности, Москва, Наука, 1983.

48. В. В. Степанов, Курс Дифференциальных Уравнений, Москва, Физматгиз, 1950.

49. D. Stoyan, W. S. Kendall and J. Mecke, Stochastic Geometry and Its Applications, John Wiley, Chichester, 1987.

50. D. Stoyan and H. Stoyan, Fractals, Random Shapes and Point Fields, John Wiley к Sons, Chichester, 1994.

51. Г. С. Сукиасян, "О порождении мер пространственными флаговыми функциями", Известия НАН Армении, серия Математика, том 28, № 2, стр. 61 - 70, 1993.

52. Г. С. Сукиасян, "Конечно-аддитивные функционалы на плоскости", Известия НАН Армении, серия Математика, том 29, № 4, стр. 91 - 106, 1994.