Топологически транзитивные косые произведения на клетках в Rn (n≥2) тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Фильченков, Андрей Сергеевич

• Фильченков, Андрей Сергеевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Фильченков, Андрей Сергеевич

Содержание

Введение

I. Топологически транзитивные косые произведения с инвариантной границей относительно отображений в слоях

1. Топологическая транзитивность и равномерная аппроксимируемость фазового пространства периодическими орбитами

2. Общие свойства факторотображения и отображений в слоях, вытекающие из топологической транзитивности косого произведения

3. Критерий топологической транзитивности косых произведений из класса Т^(1п)

3.1. Необходимые сведения из одномерной динамики

3.2. Специальные свойства отображений в слоях

3.3. Доказательство теорем 1 и 2

II. Топологически транзитивные косые произведения с неинвариантной границей относительно отображений

в слоях

1. Вспомогательные утверждения

2. Доказательство теоремы 3

3. Ещё об одном типе топологической транзитивности

III. Транзитивные аттракторы, являющиеся п-мерными

клетками

1. Пример косого произведения с аттрактором из класса Т*{Г), п> 2

2. Пример косого произведения с аттрактором из класса Т^(/п), п > 2

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Топологически транзитивные косые произведения на клетках в Rn (n≥2)»

Введение

Исторически первыми примерами дискретных динамических систем класса косых произведений являются цилиндрические каскады. Цилиндрический каскад, т.е. дискретная динамическая система, заданная на цилиндре 51 х Е с координатами х е 51 и у е К (б'1 -окружность, К — прямая), получающаяся итерированием отображения Т(ж, у) = (х + а, у + /(ж)), ос — иррациональное число, впервые возникает в мемуарах по качественной теории дифференциальных уравнений А. Пуанкаре [1]. В указанной работе формулируется задача исследования си-предельных множеств траекторий цилиндрического каскада с использованием множества точек пересечения траекторий с образующией цилиндра хо х К при любом хо 6 51. Одна из трёх высказанных в [1] гипотез связана с реализуемостью транзитивного случая, то есть с возможностью существования точек с плотными на всём цилиндре траекториями. Транзитивные траектории занимают большое место в исследованиях Дж. Биркгофа [2].

Первыми примерами топологически транзитивных цилиндрических каскадов являются примеры Л. Г. Шнирельмана [3] и А. С. Бе-зиковича [4].

В работе [5] приводится, по-видимому, первое общее построение косых произведений (с мерой), хотя термин «косое произведение» введён позже, в работе [6].

Изучению топологически транзитивных цилиндрических каскадов и доказательству теорем существования топологически транзитивных гомеоморфизмов и диффеоморфизмов произвольного класса гладкости с различными фазовыми пространствами посвящены работы Е. А. Сидорова [7], [8], [9].

Свойство топологической транзитивности цилиндрического каскада Т(х, у) тесно связано (см. [10]) с решением пятой проблемы Гильберта: «Существуют вполне аналитические функциональные

уравнения, отдельными решениями которых являются недифферен-цируемые функции» [11].

Свойство топологической транзитивности дискретных динамических систем других классов рассматривается в работах [12], [13].

Укажем обзоры [14], [15], посвящённые различным аспектам свойства топологической транзитивности непрерывных отображений. К работам [14], [15] примыкает статья [16], в которой, в частности, построен пример непрерывного транзитивного косого произведения, заданного на компактном прямоугольнике, периодические точки которого плотны только лишь на горизонтальных слоях у = 0, у = 1.

Значительное место в современной теории динамических систем занимает изучение аттракторов. При этом выделяется две задачи: исследование топологической структуры аттрактора (см. работы [17], [18], [19], [20], [21], [22]) и изучение динамики на аттракторе ([23], [24], [25], [26], [27]).

В связи с обнаружением нехаотических аттракторов укажем работы, посвящённые различным аспектам структуры и динамики систем на такого рода аттракторах [28], [29], [30], [31], [32]. Традиционно существует обширная библиография, посвящённая изучению хаотических аттракторов (см., например, [33], [34], [35]). Особое место в исследованиях хаотических аттракторов дискретных динамических систем занимает изучение аттракторов-континуумов, размерность которых либо меньше размерности фазового пространства [20], [27], [30], либо совпадает с размерностью фазового пространства динамической системы [26], [36], [37], [38], [39]).

Завершая библиографический обзор, отметим, что динамические системы класса косых произведений возникают, например, при изучении математических моделей биологических систем [40], развитой турбулентности [41], теории сигналов [42], физики квазикристаллов [43], [44].

Таким образом, исследование свойства топологической транзитивности косых произведений, заданных на компактах, и построение примеров топологически транзитивных аттракторов, размерность которых совпадает с размерностью фазового пространства, является актуальной.

Методы исследования. В работе применяются методы теории дискретных динамических систем и, в частности, одномерной динамики, методы функционального анализа и топологии.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в настоящей работе, могут быть использованы для изучения случайных динамических систем (см., например, в [45], [46]), интегрируемых динамических систем (см., например, в [44], [47], [48]).

Методы данной работы могут применяться для исследования других классов топологически транзитивных динамических систем и построения новых примеров топологически транзитивных многомерных аттракторов.

Содержание работы. Диссертация состоит из введения и трёх глав.

Во введении приводится библиографический обзор, даются основные определения, описываются результаты работы.

Основным понятием данной работы является понятие топологической транзитивности.

Определение 0.1 [49, §1.4]. Пусть X — топологическое пространство. Отображение <р : X —>■ X называется топологически транзитивным, если существует такая точка хо £ X, что её траектория 01р(х) = фп{х)пеН плотна в X. При этом точка с плотной траекторией называется транзитивной точкой отображения (р.

В работе будет использован классический критерий топологической транзитивности отображения.

Предложение 0.2 [49, §1.4]. Отображение ip : X —> X топологически транзитивно тогда и только тогда, когда для любых двух непустых открытых подмножеств U, V с X существует такое натуральное число п = n(U, V), что V П ipn(U) Ф 0.

Дадим определение косого произведения, заданного на п-мерной

п

клетке In (п > 2), где 1п = П Ij, a Ij = [Œj, bj] (1 < j < n) —

з=i

произвольные отрезки числовой прямой. Отображение F : In —> 1п вида

F(x ! , Х2, ■■■уХп ) = (Л(Жl), ЯхД^), ...,/п Ы), (0.1)

где fi,zuX2,...,Xi-i{xi) = fi{xi,X2,...,Xi-i,Xi) (2 < i < n), будем называть косым произведением, действующим на n-мерной клетке Iй.

Для любого натурального п > 2 введём следующие обозначения n-1

1П — П Ijl fn-1 = (/l) •••) fn-l,Xi,X2,---,Xn-2)l Хп-1 = (^1) •••> Xn-l), 3=1

(я-'i, . . . , Xn) = (in_i, З/'гг)-

Л Л Л

Отображение /п_i : /п —» /п будем называть факторотобра-

Л 1

жением косого произведения F : In —>■ 1п. При любом хп-\ G / отображение fn,xn-]_{%n) '■ In In называется отображением в слое над точкой

Хп—1'

Для любых хп £ în и к > 2 имеем:

Fk(xn-ихп) = (/*_l(£»-l), fn&,-uk(Xn)) , (0.2)

где

1п,Хп-икЫ = fn,f*z{{x„-i) ° fnjknz\{xn^) ° ••• 0 fn,xn-Axn)-

Заметим, что при любом 2 < г < п отображение fi (fn = F) также представляет собой косое произведение, заданное на г-мерной клетке Ь.

Возьмём произвольно и зафиксируем 2 < % < п. Пусть — периодическая точка отображения /¿_i (наименьшего) периода к.

Обозначим через следующую композицию о ... о Д£г_ь2 о

Основным результатом главы I является динамический критерий топологической транзитивности (теорема 1) косых произведений из класса Т^(/п) (определение класса Т*(1п) см. далее). Этот критерий связывает свойство топологической транзитивности со свойствами равномерной аппроксимируемости фазового пространства периодическими орбитами (определение 0.3) и свойством всюду плотности в фазовом пространстве множества периодических точек (теорема 2).

Пусть Р — произвольное разбиение замкнутой п-мерной (п > 2) клетки 1п координатными (п — 1)-мерными гиперплоскостями на тп замкнутых п-мерных клеток 3^ любые две из которых либо не пересекаются, либо имеют общую вершину, общее ребро или общую

тп

к-мерную грань (2 < к < п — 1), при этом 1п = и Зу

Вопросы равномерной аппроксимируемости ^-предельных множеств непрерывных отображений отрезка периодическим орбитами, по-видимому, впервые были рассмотрены в работах [50], [51]. Далее приведено обобщение этого определения на случай п-мерных клеток.

Определение 0.3. Будем говорить, что фазовое пространство Iй отображения Р равномерно аппроксимируется периодическими орбитами, если для любого е > 0 и любого разбиения Р п-мерной клетки 1п с параметром А(Р) < е, найдётся ^-периодическая орбита ОгЬр{х), пересекающаяся с внутренней частью подклетки 3^ при каждом 1 < э < т.

В §1 главы I рассматривается взаимосвязь свойств топологической транзитивности и равномерной аппроксимируемости фазового пространства периодическими орбитами для произвольного непрерывного отображения, заданного на п-мерной клетке.

Пусть Т^(1п) класс С3-гладких косых произведений вида (0.1),

удовлетворяющих следующим условиям:

(С. 1) при любом 2 < г < п и хг-\ Е Р~1 шварциан отображения /гД.Д^г); определенный в силу равенства

о//- / \\ д^Ах.-А^) (дx^fг,xí-l{xi) О (кхг-Л^)) =

отрицателен при всех Х{ е таких, что О/

(С.2) при каждом 2 <1<п ихг~\ Е /г_1 отображение ¡гЛг-\{хг) '■ /г —>■ /г, как функция переменной Хг, имеет не более одной критической точки на интервале (а{,Ьг), причём эта точка невырожденная1;

(С.3) ^ где <9(/г) — граница отрезка при

А Л 1

всех 2 < г < п; жг_1 Е Р~ .

Пример, построенный при доказательстве теоремы 3.5, показывает, что класс Т^(1п) непуст.

В §2 главы I рассматриваются общие свойства топологически транзитивных косых произведений из класса Т^(/п), доказанные в работах [52] и [53]. В частности, доказывается сюръективность отображений в слоях ) 2 < г < п, Хг-\ е /г-1, косых произведений из класса Т^(/п).

Определение 0.4 [54]. Непрерывное отображение (р : [а, Ь] —» [а, 6] называется унимодальным (мультимодалъным), если отрезок [а, 6] представим в виде объединения двух промежутков [а, с{\ и (сь Ь] ((к + 1)-го промежутка [а, сх], (сх, Сг),..., (с&, Ь] (к > 2)), на каждом из которых (р является гомеоморфизмом, <р(а) — <р(Ь) = а (ср(а) = </?(&) = 6), <^(сг) е {а, 6} при всех г = 1,к (теория унимодальных (мультимодальных) отображений изложена, например, в книгах [54], [55], [56]).

1 Критическая точка с отображения называется невырожденной, если

^ 0 [54, гл.2]

—а?

Важную роль в теории унимодальных (мультимодальных) отображений отрезка играет понятие комбинаторной эквивалентности, выделяющее унимодальные (мультимодальные) отображения, всевозможные (соответствующие) итерации которых имеют «одинаковую схему складок».

Определение 0.5 [54, гл. 2]. Пусть даны два мультимодальных (унимодальных) отображения д\, д2 'h —>► h с множествами критических точек C(gi) и С{д2) соответственно2. Говорят, что эти отображения комбинаторно эквивалентны, если существует сохраняющая

ориентацию биекция h : |J gi(C(g\)) |J 92(^(92)) такая, что

nez nez

h о 9\{z) = g2 о h{z) при всех z <E \J g?(C{gi)) и h{C{gl)) = C{g2),

nez

здесь Z - множество целых чисел.

С точностью до комбинаторной эквивалентности существует отображение специального вида, которое описывает поведение любого унимодального отображения.

Предложение 0.6 [56, гл.6, п.6.1.5]. Однопараметрическое семейство квадратичных унимодальных отображений д\(у) = А (у — Яг){Ьг — у) '■ h h (Il = [&г> &г] — ОтреЗОК Числовой Прямой) ЯвЛЯется полным в пространстве унимодальных отображений.

Свойство полноты означает, что для любого унимодального отображения iç : 1г —> /г, существует A Е R такое, что g\(y) = А (у — <2г) (6г — у) комбинаторно эквивалентно <р(х).

В §3.1 главы I формулируются утверждения, указывающие на взаимосвязь комбинаторной эквивалентности с топологической для унимодальных отображений.

В §3.2 главы I доказывается, что отображения в слоях /г,жг_п

/ч Л 1

2 < г < 71, хг-1 Е / топологически транзитивных косых произведений из класса Т%(1п) являются унимодальными (см. определение

2В случае унимодальных отображений каждое из множеств С{д{) и С{д2) является одноточечным.

0.4) сюръекциями. Кроме того, используя понятия комбинаторной эквивалентности и предложение 0.6, получаем основной результат §3.2.

Лемма 1.27. Пусть F Е Т^(1п) удовлетворяет условию (А1).

А' 1

Тогда при каждом 2 < г < п, Х{-\ Е Р~ и к > 1 отображение /г,х7_ь/с(^г) и и комбинаторно эквивалентно отображению дкх : 1г и при А = (^г.

Наряду с комбинаторной эквивалентностью рассматривают и более сильный вариант эквивалентности — топологическую эквивалентность.

Определение 0.7 [49, §2.3]. Говорят, что отображения (р : X —>■

X и ф : У У (X, У — многообразия) топологически эквивалентны, если существует гомеоморфизм И : X —>■ У такой, что <р = Ьг1 О ф о И.

В параграфе §3.3 главы I доказывается, что отображение

: 1г ~> и не только комбинаторно, но и топологически эквивалентно отображению д\ : Ц при А = ^ ^ ^.

Далее доказывается критерий топологической транзитивности косых произведений из класса Т3(/п).

Теорема 1. Для отображения Р Е Т%(1п) (п > 2) следующие утверждения эквивалентны:

(А1) Р топологически транзитивно;

{А.2) фазовое пространство 1п равномерно аппроксимируется периодическими орбитами косого произведения Р.

Теорема 1 доказана в работах [37], [57].

Отметим, что теорема 1, в частности, означает, что для хаотичности по Девани3 косых произведений из класса Т3(/п) достаточно

3 Непрерывное отображение ф : X —> X (X — многообразие) называется хаотичным по Девани, если ф топологически транзитивно, имеет плотное в X множество периодических точек и сенситивно [58, §1.8]. В [59] доказано, что топологическая транзитивность и плотность множества периодических точек влекут за собой свойство сенситивности.

лишь выполнения свойства топологической транзитивности.

Прежде чем сформулировать теорему 2, введём необходимые понятие и дополнительное условие {СЛ):

Определение 0.8 [49]. Правосторонним (левосторонним) неустойчивым многообразием периодической точки х* периода к отображения ip : I I (I — отрезок числовой прямой) называется множество

Wl{x\ ipk) = {xel\ VU+{x*) 3leN:xe iplk(U+{x*))}

= W~(x*) 31еП:хе<р1к(и~(х*))}),

где U+(x*) — произвольная правосторонняя окрестность точки х* (U~(x*) — произвольная левосторонняя окрестность точки х*).

Теорема 2. Пусть F е Т*{1п) ( п>2) удовлетворяет дополнительному условию

(С.4) существует точка х* = х*2,..., х*п) Е Per{F) (наименьшего) периода k (Per(F) — множество всех периодических точек отображения F) такая, что:

a) если х\ G Inth, то W^{x\, f[) = Ix, W"(xl, f[) = h, где I — период точки относительно fi (I — делитель k), Int(-) — внутренность множества;

b) если х\ = ах (илих* = Ь\), тогда f[) — h (W^xl, f[) = h).

Тогда каждое из условий (А1) или (А2) эквивалентно условию

(А.3) множество Per(F) периодических точек отображения F всюду плотно в 1п.

Теорема 2 доказана в работах [37], [57].

Сформулированные теоремы проясняют природу топологической транзитивности отображений из Т^(1п): топологическая транзитивность здесь равносильна возможности равномерно аппроксимировать фазовое пространство рассматриваемой динамической системы

её периодическими орбитами с любой наперёд заданной степенью точности.

Сформулируем определение полной топологической транзитивности и выделим класс косых произведений отличный от Т3(/п).

Определение 0.9. Говорят, что отображение .Р : / —> I обладает свойством полной топологической транзитивностиесли для любого натурального к отображение Гк топологически транзитивно.

Обозначим через Т^ь(1п) пространство С3 -гладких отображений (0.1), удовлетворяющих условиям (С. 1), (С.2) и

(С.3') аг < ¡г^-Мг) < ьг и (Ьг) = аг при всех 2 < г < п,

Хг-1 £ р-\

Пример, построенный при доказательстве теоремы 3.10, показывает, что класс Т^ь(1п) непуст.

Основными результатами второй главы являются достаточные условия неполной топологической транзитивности (теорема 3) и достаточные условия полной топологической транзитивности (теорема 4) косых произведений из класса Т^ь(1п).

В §1 главы II содержатся утверждения, необходимые для доказательства теоремы 3. В частности, показывается (лемма 2.3), что отображение /п,хп-1{хп), косого произведения из класса Т|ь(/П), удовлетворяющего условиям (У.1)-(У.4) (см. далее) с топологически транзитивным и обладающим плотным множеством периодических точек факторотображением /п-ь имеет неподвижную точку с одной и той же координатой хп при всех хп-\ £ I .

Обозначим черезрг{хг-\) единственную неподвижную точку отображения /г,х,_! (хг), 2 < г < п, хг-1 £ /г_ 1 косого произведения

г е т%{1п).

Следующее утверждение является центральным в §2 главы II и доказывается в работах [53], [57], [60], [61].

4В литературе используют и другие термины, например, «топологическая эргодичность» (см. [14]).

Теорема 3. Пусть косое произведение Р Е Т|ь(/П) удовлетворяет следующим условиям:

(У. 1) при всех 2 < г < п и хг-\ Е Рег(/г-\) справедливы следующие равенства

Рг{Хг-\) = р,(/,_1(х,_1)) = рг(/г2_1(тг_1)) = . . . = Р»(/Й(®г-1))

где I — (наименьший) период точки хг-\;

(У.2) при любых 2 < г < п и хг-\ Е /г_1 точка рг(хг-1) — отталкивающая неподвижная точка отображения

(УЗ) отображение /1 обладает свойством полной топологической транзитивности;

(У4) при любых 2 < г < п и хг-\ Е /г_1 отображение сюръективно и Дг,_г(аг) = рг(жг-1)-

Тогда косое произведение Р является топологически транзитивным отображением, не обладающим свойством полной топологической транзитивности, и имеет плотное в 1п множество периодических точек.

В отличие от косых произведений из класса Т3 (7П), где неполная топологическая транзитивность может реализоваться лишь в случае неполной топологической транзитивности отображения /1, в классе Т|6(/п) неполная топологическая транзитивность реализуется в силу свойств отображений в слоях ¡г,хг_х{хг).

В §3 главы II найден ещё один тип топологической транзитивности отображений из класса Т^ь{1п). В отличие от рассмотрений предыдущего раздела, в данном параграфе будем предполагать, что косые произведения .Р Е Т^ь(1п) имеют сюръективные отображения в слоях /г,х7_1 такие, что их значения в левых граничных точках отрезка 1г совпадают не с неподвижной точкой, а с некоторой отталкивающей периодической точкой ггд нечётного периода Бг > 1

Л 1

отображения не зависящей от выбора точки хг-\ Е / . Бу-

дем обозначать через ¿г,2, • •, ¿г,в,} орбиту точки хг ь

Сформулируем основное утверждение данного параграфа (доказано в работе [57])

Теорема 4. Пусть косое произведение .Р 6 Т^ь(1п) удовлетворяет следующим условиям:

(4.1) отображение /х топологически транзитивно;

Л.

(4.2) при всех 2 < г < п, хг—1 € 1г отображение сюръек-тивНО, и ¡г,хг.Мг) =

Тогда косое произведение Р топологически транзитивно и имеет плотное на 1п множество периодических точек.

Также, как и в случае отображений из класса Т„(/п), свойство полной топологической транзитивности косых произведений из §3 главы II может быть реализовано только в случае полной топологической транзитивности отображения /х.

Доказательство теоремы 4 разбито на ряд шагов. На первом шаге устанавливается отсутствие притягивающих периодических точек (лемма 2.8) и блуждающих интервалов (лемма 2.9) у отображений

Л ^

Л-1Д_1,а(я») :/»->/» при любых 2 < г < п, хг-\ € Р~1 и к 6 N. Это свойство позволит исследовать расположение точек экстремума у отображений {кх,-ик}к>1 (лемма 2.10).

На втором шаге (лемма 2.12, следствие 2.13 и лемма 2.14) показывается, что для любого интервала {жг_х} х <7, 2 < г < п,

А А 1

хг-1 Е / , «7 С 1г существует натуральное число к* такое, что /г ({^г-1} х 7) = ^/^(з^-х) ^ х гг1Тпах], где

%1,тгп = ^г,2> ■• > -^г^,}; %гтах ~ д, Zг^2^ ■ , ^г^,}-

Л ~ 1

В лемме 2.15 показывается, что при любых 2 < г < пи хг-\ Е / существует /С** Е N Такое, ЧТО Да,.^*« ((^.тшп, ¿г,таг)) = Л-

Указанные свойства позволяют доказать, что что при любых 2 < ? < п, хг-\ € /г_1 и 7 С /г существует /с*** Е N такое, что //с*"({жг_1}х •Л = {/г- '(£г_х)} х /г. Последнее свойство существенно используется при доказательстве топологической транзитивности косых про-

изведений рассматриваемого вида.

Отметим, что в отличие от рассмотренных ранее случаев, в §3 главы II рассматривается принципиально «n-мерная» топологическая транзитивность. Последнее означает, что отображения в слоях, топологически транзитивных косых произведений из теоремы 4, могут не быть топологически транзитивными отображениями, несмотря на то, что само косое произведение топологически транзитивно.

В главе III с использованием теорем 1 и 3 доказываются теоремы существования С3-гладких косых произведений, заданных на n-мерных клетках5, каждое из которых обладает n-мерным топологически транзитивным аттрактором, представляющим собой единичную n-мерную клетку (теоремы 3.5 и 3.10).

Теорема 3.5. Существует косое произведение FitTl : [0,1] х [-0,25, 1,05]—1 -> [0,1] х [-0,25, ^Об]»"1, Л>П|[0Д]» 6 ТЦГ), обладающее транзитивным аттрактором — [0,1]п.

Теорема 3.10. Существует косое произведение F2<п : [0, 1] х [-0,5, 1,21я-1 [0, 1] х [-0,5, 1,2Г\ F%n |[од]п е Т%{1п) с транзитивным, но не обладающий свойством полной топологической транзитивности аттрактором А2:П = [0,1]п.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [37], [38], [52], [53], [57], [60], [61], [63], [64], [65], [66], [67], [68], [69], [70], [71], [72], [73], [74], [75]. Личным вкладом автора в опубликованные совместно с научным руководителем JI. С. Ефремовой работы являются формулировки и доказательства всех основных результатов, построение примеров. JI. С. Ефремовой принадлежат постановка задачи и общее руководство работой.

5Построению примера косого произведения, заданного на трёхмерной клетке со специальным видом ^-предельного множества посвящена статья [62].

I. Топологически транзитивные косые произведения с инвариантной границей относительно отображений в слоях

Основным результатом главы I является динамический критерий топологической транзитивности косых произведений из класса ТЦП (теорема 1). Этот критерий связывает свойство топологической транзитивности со свойством равномерной аппроксимируемости фазового пространства периодическими орбитами (определение

0.3) и свойством всюду плотности в фазовом пространстве множества периодических точек (теорема 2).

1. Топологическая транзитивность и равномерная аппроксимируемость фазового пространства периодическими орбитами

В данном параграфе рассматривается взаимосвязь свойств топологической транзитивности, равномерной аппроксимируемости фазового пространства периодическими орбитами и плотности множества периодических точек для произвольного непрерывного отображения С, действующего на п-мерной клетке 1п.

Покажем, что свойство равномерной аппроксимируемости п-мерной клетки периодическими орбитами динамической системы влечет за собой свойство топологической транзитивности динамической системы.

Лемма 1.1. Пусть 1п — п-мерная клетка, С : I71 —» 1п — непрерывное отображение, периодические орбиты которого равномерно аппроксимируют клетку 1п. Тогда С топологически транзитивно. Доказательство. Возьмём в 1п два произвольных непустых от-

крытых подмножества U и V. В силу свойства равномерной аппроксимируемости фазового пространства периодическими орбитами найдётся разбиение Р клетки 1п на т замкнутых подклеток (I =

т

IJ Ji) и натуральные числа 0 < q,p < т такие, что U D Jq,V D Jp.

i=1

При этом, существует G—периодическая точка х* = (х{,..., ж*) такая, что каждая клетка J^, 1 < % < т содержит точки периодической орбиты, порождённой х*. Поэтому, существуют натуральные числа 1 < г, I < т(х*), т(х*) — (наименьший) период х* такие, что GT(x*) 6 ¡7, а Gl(x*) € V. Для определённости, будем считать, что г < I. Тогда Gl~r{U) п V ф 0. Таким образом, в силу критерия топологической транзитивности, G топологически транзитивно.

Из определения 0.3 непосредственно следует

Лемма 1.2. Пусть 1п — п-мерная клетка, G : 1п —> /п — непрерывное отображение периодические орбиты которого равномерно аппроксимируют клетку 1п. Тогда периодические точки G всюду плотны в 1п.

Покажем, что свойство топологической транзитивности вместе со свойством плотности периодических точек влечёт за собой свойство периодических орбит равномерно аппроксимировать фазовое пространство.

Теорема 1.3. Пусть G : 1п Iй (Iй — п-мерная клетка) — непрерывное топологически транзитивное отображение периодические точки которого плотны в 1п. Тогда периодические орбиты отображения G равномерно аппроксимируют клетку 1п.

Доказательство. Возьмём произвольно и зафиксируем действительное число е' > 0 и построим по нему разбиение Р п-мерной клетки 1п на т замкнутых n-мерных подклеток 4 1 < i < m с параметром разбиения Л(Р) < е'. Рассмотрим произвольную транзитивную точку х* отображения G. Введём следующие обозначения:

ki = min {l\Gl(x*) е intJ11, k2 = min {l\Gl(x*) E intJ2}, ... ,

km = min {l\Gk{x*) € intJm} Положим fco = max {ki}. Пусть p — метрика в Iй согласованная с

1<г<т

топологией произведения в /п, т. е. для любых точек х{х\,х2, ■■■,хп)

и ?/(2/i,2/2, •••, Уп) р(х, у) = max {- уг\, \х2 - 2/21, \хп - уп\}-Пусть p(Gki(x*),dJj) — расстояние от точки Gki(x*) до границы под-клетки Ji, а d! = min {p(Gki(x*), dJi), 1 < i < т]. Тогда d! > 0. Положим e = min je', с?'}. В силу равномерной непрерывности косого произведения G на 1п по числу е укажем число 6 > 0 такое, что

max p(Gk{x*),Gk(x)) < ^ Vre е U((x*),ö), 0<к<к0 4 У 2

где U((x*),ö) — окрестность точки х* радиуса 6. Тогда произвольная точка хо Е Per(G) f]U(x*, 6) (такая точка существует в силу плотности множества периодических точек отображения G) за первые fco шагов попадёт во внутренность каждой из подклеток разбиения Р, то есть орбита точки хо аппроксимирует клетку 1п с точностью до е. Таким образом, периодические точки отображения G равномерно аппроксимируют клетку 1п.

2. Общие свойства факторотображения и отображений в слоях, вытекающие из топологической транзитивности косого произведения.

В данном параграфе приведены утверждения, использующиеся при доказательстве теорем 1 и 2 (см. Введение), в частности, устанавливающие взаимосвязь свойства топологической транзитивности, со свойствами его факторотображений и отображений в слоях. Начнём со свойств множества периодических точек.

Лемма 1.4. Пусть F : 1п —)• 1п — непрерывное отображение вида (0.1). Тогда для множеств Рег(Р) и Per(/n_i), периодических

точек Р и /п_1 соответственно, справедливо следующее равенство

рг^Рег^) = Рег(/;_!),

гдерг^п-1 — естественная проекция п-мерной клетки 1п на (п — 1)-л 1

мерную клетку 1п~.

Доказательство. Докажем справедливость сформулированного утверждения для клетки произвольной размерности п Е N.

Пусть (х1, х2,..., £*) — периодическая точка косого произведения Р (наименьшего) периода к. Тогда для неё справедливы следующие равенства:

!2,х\,к{х*2) = Х*2] < ...

Таким образом, рг|„_Да:*,.... ж*) — периодическая точка отображения /п_1.

Пусть теперь (а^,^, •••)а:'п-1) — периодическая точка отображения /п-1 (наименьшего) периода Из непрерывности косого произведения Р следует непрерывность отображение ¡п,х\,х*2,...,х*п-1,к '■ 1п 1п. Следовательно ¡П,х\,х*2,...,х*п_х,к, имеет хотя бы одну неподвижную точку, обозначим её через х*п.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Фильченков, Андрей Сергеевич, 2015 год

Литература

1] Пуанкаре А. О кривых определяемых дифференциальными уравнениями. ОГИЗ M.-JI. 1947.

2] Биркгоф Дж. Динамические системы. - Ижевск: Издат. дом "Удмуртский университет 1999, 408 с.

3] Шнирельман Л. Г. Пример одного преобразования плоскости. Известия донского политехнического института в Новочеркасске. Научный отдел, физмат часть, 14, 1930, 64-77.

4] Besikovitch A. S. A Problem on Topological Transformations of the Plane. Fund. math. 28, 1937, 61-65.

5] Крылов H. К., Боголюбов H. H. Общая теория меры в нелинейной механике. H.H. Боголюбов избранные труды т.1. Наукова думка, Киев, 1969, 411-463.

6] Anzai Н. Ergodic Skew Product Transformations on the Torus. Osaka Math. J. -1951. - V. 3 - P. 83-99.

7] Сидоров E. А. Гладкие топологически транзитивные динамические системы. Матем. заметки, 1968, т. 4, вып. 6, 751-759.

8] Сидоров Е. А. Топологически транзитивные цилиндрические каскады. Матем. заметки, 14:3, 1973, 441-452.

9] Сидоров Е. А. Топологически транзитивные динамические системы. Диссертация. ГГУ. 1973.

[10] Gottschalk W. H., Hedlund G. A. Topological Dynamics, Amer. Math. Soc. Colloquium Publications, v.36, Providence, 1955.

[11] Проблемы Гильберта, Сб. под ред. П. С. Александрова, М., «Наука», 1969.

[12] Diaz L. J., Pujals Е., Uras R. Partial hyperbolicity and robast transitivity// Acta Mathematica, 1999, 183, p. 1-43.

[13] Nitica V., Pollicott M. Transitivity of Euclidean extensions of Anosov diffeomorphisms. Ergod. Th. and Dynam. Sys. — 2005. — V. 25. - P. 257-269.

[14]Alseda LI., Del Rio M. A., Rodriguez J. A. A Survey on the Relation Between Transitivity and Dense Periodicity for Graph Maps. JDEA. - 2003. - 9:3-4, P. 281-288.

[15] Kolyada S., Snoha L. Some Aspects of Topological Transitivity -A Survey. Iteration theory (ECIT 94)(Opava). Grazer Math. Ber., Karl-Franzens-Univ. Graz. - 1997. - V. 334. - P. 3-35.

[16] Alseda LI., Kolyada S., Llibre J., Snoha L. Entropy and Periodic Points for Transitive Maps// Trans. Amer. Math. Soc. — 1999. - V. 351 - P. 1551-1575.

[17] P. В. Плыкин О геометрии гиперболических аттракторов гладких каскадов. УМН. - 1986. - №39, В. 6(240). - С. 75-113.

[18] Plykin R. V., Klinshpont N. Е. Strange attractors. Topologic, geometric and algebraic aspects. Regul. Chaotic Dyn. — 2010. — V. 15, № 2-3 - P. 335-347.

[19] Ильяшенко Ю. С. Многомерные костистые аттракторы. Функц. анализ и его прил. — 2012. — Т. 46, № 4 — С. 1-13.

[20] Efremova L. S. Example of the Smooth Skew Product in the Plane with the One-dimensional Ramified Continuum as the Global Attractor. ESAIM: Proceedings, April 2012, Vol. 36, p. 15-24.

[21] Жужома E. В. , Исаенкова H. В. О классификации одномерных растягивающихся аттракторов. Мат. заметки. — 2009. — Т. 86, В. 3 - С. 360-370.

[22] Кудряшов Ю. Г. Костистые аттракторы. Функ. анал. и его прил. - 2010. - Т. 44, № 3 - С. 73-76.

[23] Smale S. Differentiable dynamical systems. Bull. Amer. Math. Soc.

- 1967. V. 73 - P. 747-817.

[24] Сатаев E. А. Стохастические свойства сингулярно гиперболических аттракторов. Нелинейная динам. — 2010. — № 6:1 — С. 187-206.

[25] Ilyashenko Y. Thick attractors of boundary preserving diffeomorphisms. Indagationes Mathematicae. — 2011. — V. 22(3-4) - P. 257-314.

[26] Viana M. Multidimensional Nonhyperbolic Attractors. Publications Mathématiques de L'IHES. - 1997. - V. 85(1)

- P. 63-96.

[27] Volk D. Persistent Massive Attractors of Smooth Maps Ergodic Theory and Dynamical Systems. Ergodic Theory and Dynamical Systems. - 2014 -V.34, Is.02 - P. 693-704.

[28] Jager T. H. On the Structure of Strange Non-chaotic Attractors in Pinched Skew Products. Ergodic Theory Dynam. Systems. — 2007.

- V. 27:2 - P. 493-510.

[29] Бежаева 3. И., Оселедец В. И. Об одном примере «странного нехаотического аттрактора». Функц. анализ и его прил. — 1996. - Т. 30. Вып. 4 - С. 1-9.

[30] Ефремова JI. С. Дифференциальные свойства и притягивающие множества простейшего косого произведения отображений интервала. М.: Матем. сб. - 2010. - Т. 201. №6 - С. 93-130.

[31] Ефремова JI. С. Об интегральном условии существования одномерных притягивающих множеств простейшего косого произведения отображений интервала. ТРУДЫ МФТИ. — 2010. — Том 2, №- 3 - С. 9-15.

[32] Pikovsky A. S., Feudel U. Characterizing Strange Nonchaotic Attractors. Chaos 5. - 1995. - 1. P. 253-260.

[33] Странные аттракторы. Ред. Синай, Я. Г., Шильников, J1. П. М.: Мир. Серия: Новое в зарубежной науке. Математика. — 1981. — Вып. 22 - 254 с.

[34] Тураев Д. В., Шильников JI. П. Пример дикого странного аттрактора. Матем. сб. - 1998. - Т. 189, №2 - С. 137-160.

[35] Белых В. Н. Хаотические и странные аттракторы двумерного отображения. Матем. сб. - 1995. - Т. 186, №-3 - С. 3-18.

[36] Bamon R., Kiwi J., Rivera-Letelier J., Urzua R. On the

Topology of Solenoidal Attractors of the Sylinder. Annales de l'Institut Henri Poincare. Non Linear Analysis. — 2006. — V. 23, Is. 2 - P. 209-236.

[37] Ефремова JI. С., Фильченков А. С. Топологическая транзитивность косых произведений в плоскости с отрицательным шварцианом семейства отображений в слоях. Труды МФТИ. — 2012. - Том 4, № 4 - С. 82-93.

[38] Фильченков А. С. Пример гладкого косого произведения на плоскости, имеющего топологически транзитивный, но не топологически эргодический аттрактор. Труды 56-й всероссийской научной конференции МФТИ. Актуальные проблемы фундаментальных и прикладных наук в современном информационном обществе. Тезисы докладов. — Москва-Долгопрудный. — Управление и прикладная математика. — т. 1. — 2013. — С. 26-27.

[39] Фильченков А. С. Косое произведение на n-мерной клетке (п > 2), имеющее n-мерный топологически транзитивный аттрактор, не обладающий свойством полной топологической транзитивности. Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. Суздаль. - 2014. - С. 171-172.

[40] Gukenheimer J., Oster G., Ipaktchi A. The dynamics of density dependent population models. Journ. Math. Biology. — 1977. - V. 4 (2) - P. 8-147.

[41] Beck C. Chaotic Cascade Model for Turbulent Velocity Distributions. Phys. Rev. - 1994. - E. 49. - P. 3641-3652.

[42] Davies M. E., Campbell К. M. Linear Recursive Filters and Nonlinear Dynamics. Nonlinearity. - 1996. - V.9 - P. 487-499.

[43] Belmesova S. S., Efremova L. S., Fournier-Prunaret

D. Invariant Curves of Quadratic Maps of the Plane from the One-parameter Family Containing the Trace Map. ESAIM: PROCEEDINGS AND SURVEYS - 2014. - V.46. - P. 96-108.

[44] Belmesova S. S., Efremova L. S. On the Concept of Integrability for Discrete Dynamical Systems. Investigation of Wandering Points of Some Trace Map, Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. - 2015. - V. 112. Ch. 7.

[45] Бланк М. JI. Асимптотические свойства случайных отображений. УМН. - 1988. - №43:4 (262) - С. 201-202.

[46] Клепцын В. А., Нальский М. Б. Сближение орбит в случайных динамических системах на окружности. Функциональный анализ и его приложения. — 2004. — Т. 38. Вып. 4. — С. 36-54.

[47] Веселов А. П. Интегрируемые отображения. УМН. — 1991. — Т. 46, № (281) - С. 3-43.

[48] Grigorchuk R.I., Zuk A. The Lamplighter Group as a Group Generated by a 2-state Automaton, and its Spectrum. Geometriae Dedicata. - 2001. - V. 87 - P. 209-244.

[49] Каток А., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. Факториал. М. — 1999.

[50] Шарковский А. Н. О притягивающих и притягивающихся множествах. ДАН СССР. - 1966. - Т. 170, №6, С. 1276-1278.

[51] D'Aniello Е., Steele Т. Approximating w-limit Sets With Periodic Orbits. Aequationes Math. - 2008. - V. 75. P. 93-102.

[52] Ефремова JI. С., Фильченков А. С. О простейших топологически транзитивных косых произведениях в плоскости. Современная математика и её приложения. — 2012. — Т.85 — С. 64-72.

[53] Ефремова JI. С., Фильченков А. С. Граничные условия для отображений в слоях и топологическая транзитивность косых произведений отображений интервала. Проблемы математического анализа. - 2015. - №79. - С. 107-112.

[54] de Melo W., van Strien S. One-Dimensional Dynamics. Springer. - 1996.

[55] Шарковский А. Н., Майстренко Ю. JL, Романенко Е.

Ю. Разностные уравнения и их приложения. Киев. Наукова думка. — 1986.

[56] Брур X. В., Дюмортье Ф., ван Стрин С., Такенс Ф.

Структуры в динамике. Москва-Ижевск. — 2003.

[57] Фильченков А. С. Некоторые топологически транзитивные косые произведения на клетках в Мп (п > 2). Деп. в ВИНИТИ 18.12.2014, Ж341-В2014. - 2014. - 63 с.

[58] Devaney R. An introduction to chaotic dynamical systems. Addison-Wesley. - 1989. - 336 p.

[59] Banks J., Brooks J., Cairns G., Davis G., Stacey P.

On Devaney's Definition of Chaos. The American Mathematical Monthly. - 1992. - Vol. 99, No. 4. - P. 332-334.

[60] Фильченков А. С. Пример топологически транзитивного, но не топологически эргодического гладкого косого произведения отображений интервала. Материалы XX международной молодёжной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2013». Секция «Математика и механика». Подсекция «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление». — Москва. — 2013.

[61] Filchenkov A. S. Boundary Conditions for Fiber Maps and Topological Transitivity of skew Products of Interval Maps. International Conference «Dynamics, Bifurcations and Strange Attractors», dedicated to the memory of L.P.Shil'nikov (Nizhni Novgorod, July 1-5, 2013). Book of Abstracts. - 2013. - P. 39-40.

[62] F. Balibrea, J. L. Garcia Guirao, J. I. Munoz Casado On

w-limit Sets of Triangular Maps of the Unit Cube. J. Difference Equ. Appl. - 2003. - V. 9 N. 3-4. - P. 289-304.

[63] Efremova L. S., Filchenkov A. S. On the Simplest Topologically Transitive Skew Products in the Plane. Journal of Mathematical Sciences (N. Y.). - 2014. - V. 200. N. 1. - P.71-81.

[64] Фильченков А. С. Пример топологически транзитивного, но не топологически эргодического гладкого косого произведения в плоскости// Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. - 2012. - №4 (1). - С. 193-201.

[65] Фильченков А. С. Об одном классе топологически транзитивных косых произведений. Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль. 27 июня - 2 июля 2008 г. Тезисы докладов. — 2008 г — С. 242-243.

[66] Фильченков А. С. Периодические точки и топологически транзитивные косые произведения в плоскости. Труды 51-й научной конференции МФТИ. Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук часть VII. Управление и прикладная математика. Тезисы докладов. — Москва-Долгопрудный. — т. 1 - 2008 г - С. 136-137.

[67] Ефремова JI. С., Фильченков А. С. Об одном примере топологически транзитивного косого произведения в плоскости// Проблемы фундаментальной и прикладной математики. — М.: МФТИ. - 2009. - С. 61-68.

[68] Ефремова JI. С., Фильченков А. С. Report of meeting of 13th International Conference of Functional Equations and Inequalities, Male Ciche, September 13-19. — 2009. Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia Mathematica. Abstracts. — VIII. - 2009. - P. 124-125.

[69] Ефремова Jl. С., Фильченков А. С. О критериях различения простейших топологически транзитивных косых произведений в плоскости. Труды 52-й научной конференции МФТИ. Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук часть VII. Тезисы докладов. — Москва-Долгопрудный. — Управление и прикладная математика. — т.2. — 2009 г — С. 169-171.

[70] Ефремова Л. С., Фильченков А. С. О простейших топологически транзитивных косых произведениях в плоскости. Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. — Суздаль. — 2010 г. -С. 81.

[71] Efremova L. S., Filchenkov A. S. The Uniform Approximability of the Phase Space by Periodic Orbits and the Topological Transitivity of Skew Products in the Plane. Europ. Conf. on Iter. Theor. Abstracts. - Nant, France. - 2010. - P. 22.

[72] Efremova L. S., Filchenkov A. S. Boundary Conditions for Fiber Maps and Topological Transitivity of Some Smooth Skew Products in the Plane. The Sixth International Conference on Dynamic Systems and Applications. Abstracts. — Atlanta, Georgia, U.S.A. - 2011. - P. 63.

[73] Фильченков А. С. Новый пример гладкого косого произведения, имеющего аттрактор с непустой внутренностью. Труды 54 -ой всероссийской научной конференции МФТИ. Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе. Тезисы докладов. — Москва-Долгопрудный. — Управление и прикладная математика. - т. 1. - 2011. - С. 42.

[74] Фильченков А. С. Пример топологически транзитивного, но не топологически эргодического гладкого косого произведения в плоскости. Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов.

- Суздаль. — 2012.

[75] Фильченков А. С. Пример топологически транзитивного гладкого косого произведения в плоскости, не являющегося топологически эргодическим. Труды 55-й всероссийской научной конференции МФТИ. Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе. Тезисы докладов. — Москва-Долгопрудный. — Управление и прикладная математика. — т. 1. — 2012. — С. 15.

[76] Шарковський О. М. Неблукаюч1 точки та центр неперевного воображения прямо1 в себе. Доп. АН УРСР. 1964. 7. С. 865-868.

[77] Denjoy A. Sur les courbes defines par les equations differentielles a la surface du tore. J. Math. Punes et. Appliq. vol. 11(9). — 1932.

- P. 333-375.

[78] Denjoy A. Les trajectories a la surface du tore. C. R. Acad. Sci. — Vol. 223. - 1946. - P. 5-8.

[79] Denjoy A. Theorie des functions sur les characteristiques a la surface du tore. C. R. Acad. Sci. - Vol. 194. - 1932. - P. 830833.

[80] Guckenheimer J. Sensitive dependence on initial conditions for one dimensional maps. Commun. Math. Phys. 1979, V. 70, P. 133160.

[81] Singer D. Stable orbits and bifurcations of maps of the interval. SIAM J.-Appl.Math. 35. - 1978. - P. 260-267.

[82] Еругин Н. П. Неявные функции. JL: Изд-во Ленингр. университета. — 1956. — 60 стр.

[83] Сухинин М. Ф. Избранные главы нелинейного анализа. М.: РУДН. - 1992. - 299 стр.

[84] Block L., Guckenheimer J., Misiurewicz M., Young L. S.

Periodic Points and Topological Entropy of One Dimensional Maps. Lecture Notes in Mathematics - 1980. - V. 819. - P. 18-34.

[85] Дьяконов В. П. Энциклопедия компьютерной алгебры. М.: ДМК-Пресс - 2009. - 1264 с.

[86] Курош А. Г. Курс высшей алгебры. Наука. Москва. 1968.

[87] Зорич В. А. Математический анализ. Фазис. Москва. 1997.