Кольца псевдоалгебраических чисел и модули над ними тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Зиновьев, Егор Геннадьевич

• Зиновьев, Егор Геннадьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Зиновьев, Егор Геннадьевич

Список обозначений

Введение

1 Основные свойства колец псевдоалгебраических чисел и модулей над ними

§1. Кольца псевдоалгебраических чисел.

§2. Общие результаты о модулях над кольцами псевдоалгебраических чисел.

2 Некоторые классы модулей над кольцами псевдоалгебраических чисел

§3. Делимые и инъективные Л-модули

§4. Приведенные Д-модули.

§5. Конечно порожденные проективные Д-модули.

§6. Связи конечно порожденных Д-модулей с некоторыми условиями типа конечности.

§7. Категория W.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Кольца псевдоалгебраических чисел и модули над ними»

Актуальность темы. Теория абелевых групп не является замкнутой в том смысле, что важно изучать не только абелевы группы сами по себе, но также конструкции, с помощью которых они появляются или исследуются. Так, исключительно важным и полезным оказывается модульный подход. Например, каждая абелева группа является модулем над своим кольцом эндоморфизмов. Такая точка зрения отражена в книге П.А. Крылова, А.В. Михалева, А.А. Туганбаева [6].

В последние годы появилось значительное число работ, посвященных смешанным абелевым группам. И по сей день данная тематика остается актуальной и интересной.

Одним важным классом смешанных абелевых групп является класс Q, введеный в работе [22]. Этот класс состоит из самомалых групп G таких, что G/t(G) — делимая группа конечного ранга [13]. Изучению класса Q посвящено большое число работ [1], [2], [13], [19], [20], [22]. В работе [19] А.А. Фомин для изучения групп из класса Q вводит кольцо псевдорациональных чисел. Оказалоссь, что группы из класса Q — это конечно порожденные модули над таким кольцом. Обратное утверждение с некоторыми ограничениями также имеет место. Кольцом псевдорациональных чисел R называется подкольцо в ]JZP такое, р что R — (1,0ZP)*, где р пробегает все простые числа [9]. р

Для изучения 5^-групп (от слов «сумма» и «произведение»), независимо от А.А. Фомина, П.А. Крылов [4] вводит и использует, то же кольцо псевдорациональных чисел. Редуцированная смешанная абе-лева группа А называется зр-группой, если естественное вложение ф Ар —> А продолжается до сервантного вложения А —> JJ Ар, где реР реР

Ар — р-компонента, т. е. наибольшая подгруппа в А, являющаяся ргруппой. Автор показал, что каждая sp-rpynna является модулем над таким кольцом, и это обстоятельство оказалось полезным при их исследовании [1], [2].

Широкий класс смешанных абелевых групп, а именно, класс факторно делимых групп, определили А.А. Фомин и У. Уиклесс в работе [21] в 1998 г. Он содержит факторно делимые группы без кручения конечного ранга Р. Бьюмонта и Р. Пирса [15] и класс Q. Группа G называется факторно делимой, если G не содержит ненулевых делимых периодических подгрупп, но содержит свободную подгруппу F конечного ранга такую, что G/F — периодическая делимая группа. Авторы установили двойственность между категорией абелевых групп без кручения конечного ранга QTT и категорией факторно делимых смешанных групп QV, где морфизмы — это квазигомоморфизмы. Это говорит о богатстве данного класса смешанных групп. Отметим, что каждая группа G G Q есть прямая сумма факторно делимой и конечной группы [18]. Найдена тесная связь между факторно делимыми группами и конечно порожденными модулями над кольцом псевдорациональных чисел [10], [18].

А.А. Фомин [19] и П.А. Крылов [4] вместе с кольцом псевдорациональных чисел R (1999 г.) определили класс колец Rx. В данный класс, например, попадает кольцо R. Они рассмотрели основные свойства колец Rx и применили конечно порожденные ^-модули для изучения смешанных абелевых групп. В своих более ранних работах А.А. Фомин, для изучения абелевых групп без кручения конечного ранга, использует кольцо универсальных чисел и кольца т-адических чисел [17]. Далее используя матрицы с т-адическими элементами, автор построил категорию 7ZM, которая эквивалентна категории QV и двойственна категории QTT [11].

Изучение кольца псевдорациональных чисел и модулей над ним имеет и самостоятельный интерес. В статьях [4], [19] приведены основные свойства этого кольца. Описаны инъективные, проективные, плоские и образующие модули над таким кольцом [12], [9]. Там же найдена полная и независимая система инвариантов проективного модуля.

В диссертации вводится понятие кольца псевдоалгебраических чисел. Такие кольца — это естественное обобщение класса колец Rx и, в частности, кольца псевдорациональных чисел. Идея такого обобщения принадлежит П.А. Крылову. Заметим, что согласно принятой точки зрения кольцо псевдорациональных чисел одно, а колец псевдоалгебраических чисел бесконечно много. Надо отметить, что в частных случаях кольца псевдоалгебраических чисел появились раньше, чем кольцо псевдорациональных чисел. В книге Фукса [8] с помощью колец Rx исследуется ^-регулярность колец, они также используется в статье [13].

Кольца псевдоалгебраических чисел и модули над ними имеют много связей с классическими понятиями. Например, строение колец псевдоалгебраических чисел зависит от свойств полей алгебраических чисел. Всякий регулярный модуль есть модуль над некоторым таким кольцом (пример 1.5.).

Диссертация посвящена изучению колец псевдоалгебраических чисел и модулей над ними. Изучение проводилось по следующей схеме. Сначала рассматриваются различные свойства колец псевдоалгебраических чисел. Затем изучаются модули над такими кольцами. Интересно, что, как и в теории абелевых групп, произвольный модуль над таким кольцом раскладывается в прямую сумму инъективного модуля и в некотором смысле «редуцированного» модуля, а строение «редуцированной» части похоже на строение sp-группы. А.А. Фомин установил справедливость подобного разложения для случая кольца псевдорациональных чисел [19].

Цель работы. Изучить основные свойства колец псевдоалгебраических чисел. Исследовать основные классы модулей над ними.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Перечислим основные результаты.

• Описаны инъективные и делимые модули, инъективная оболочка модуля, конечно порожденные проективные модули.

• Изучение конечно порожденных модулей сведено к изучению приведенных модулей (модулей со специальными системами образующих).

• Установлены связи конечной порожденности модуля с другими условиями типа конечности (малость, самомалость модуля, дискретность кольца эндоморфизмов в конечной топологии).

• Получены основные результаты о категории W (категория W введена подобно категории Уокера Walk).

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы для исследования абелевых групп.

Апробация результатов. По основным результатам диссертации были сделаны доклады на конференциях: «Международная конференция по математике и механике» (Томск, 2003 г.), «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2004 г.), «Ломоносов 2007» (Москва, 2007 г.), «Алгебра и ее приложения» (Красноярск, 2007 г.), «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2007 г.), «Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша» (Москва, 2008 г.) и двух Всероссийских симпозиумах по абелевым группам (Вийск, 2005 г. и 2006 г.). Кроме того, результаты диссертационной работы докладывались на семинарах кафедры алгебры Томского государственного университета. По теме диссертации опубликовано 9 работ ([23]-[31]).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, списка обозначений, двух глав и списка литературы. Глава 1 состоит из двух параграфов, а глава 2 — из пяти параграфов. Работа изложена на 61 странице.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Зиновьев, Егор Геннадьевич, 2009 год

1. Крылов П.А. Наследственные кольца эндоморфизмов смешанных абелевых групп // Сиб. матем. ж. — 2002. — Т. 43, — № 1. — С. 108-119.

2. Крылов П.А. Смешанные абелевы группы как модули над своими кольцами эндоморфизмов // Фундам. и прикл. матем. — 2000. — Т. 6, № 3. - С. 793-812.

3. Крылов П.А. Абелевы группы и регулярные модули / П.А. Крылов, Е.Г. Пахомова // Матем. заметки. — 2001. — Т. 69, № 3. — С. 402-411.

4. Крылов П.А. Об одном классе смешанных абелевых групп / П.А. Крылов, Е.Г. Пахомова, Е.И. Подберезина // Вестник ТГУ. — Томск. 2000. - Т. 269. - С. 29-34.

5. Крылов П.А. Модули над областями дискретного нормирования / П.А. Крылов, А.А. Туганбаев — М.: Факториал Пресс, 2007. — 384 с.

6. Крылов П.А. Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов / П.А. Крылов, А.В. Михалев, А.А. Туганбаев. — М.: Факториал Пресс, 2006. 512 с.

7. Фейс К. Алгебра : кольца, модули и категории. / К. Фейс. — Т. 1. М.: Мир. 1977. 688 с.

8. Фукс J1. Бесконечные абелевы группы : в 2 т. / JI. Фукс. — М.: Мир.- Т. 2 1977. -335 с.

9. Царев А.В. Проективные и образующие модули над кольцом псевдорациональных чисел // Матем. заметки. — 2006. — Т. 80. — № 3.- С. 437-448.

10. Царев А.В. Модули над кольцом псевдорациональных чисел и факторно делимые группы // Алгебра и анализ. — 2006. — Т. 18. — № 4.- С. 198-214.

11. Фомин А.А. Категория матриц, представляющая две категории абелевых групп // Фундам. и прикл. математика. — 2007. — Т. 13. — № 3. — С. 223-244.

12. Чеглякова С.В. Ипъективные модули над кольцом псевдорациональных чисел // Фуидам. и прикл. математика. — 2001. — Т. 7. — № 2.- С. 627-629.

13. Albrecht U.F. The flat dimension of mixed abelian groups as E-modules / U.F. Albrecht, H.P. Goeters, W. Wickless // Rocky Mountain J. Math.- 1995. V. 25. - P. 569-590.

14. Arnold D.M. Abelian groups, A, such that Hom(A, —) preserves direct sums of copies of A / D.M. Arnold, C.E. Murley // Pacific J. of Math.- 1975. V. 56. № 1. - P. 7-20.

15. Beaumont R. Torsion free rings / R. Beaumont, R. Pierce // 111. J. Math. 1961. - V. 5. - P. 61-98.

16. Files S. Direct sums of self-small mixed groups / S. Files, W. Wickless // J. Algebra. 1999. - V. 222. - P. 1-16.

17. Fomin A. A. Finiteli presented modules over the ring of universal numbers // Cont. Math. 1994. - V. 171. - P. 109-120.

18. Fomin A.A. Quotient divisible mixed groups // Cont. Math. — 2001. — V. 273. P. 117-128.

19. Fomin A.A. Some mixed abelian groups as modules over the ring of pseudo-rational numbers // Trends in Math. — 1999. — P. 87-100.

20. Fomin A.A. Self-small mixed abelian groups G with G/T(G) finite rank divisible / A.A. Fomin, W. Wickless // Comm. in Algebra. — 1998. — V. 26. 11. P. 3563-3580.

21. Fomin A.A. Quotient divisible abelian groups / A.A. Fomin, W. Wickless // Proc. Amer. Math. Soc. 1998. - V. 126. - P. 45-52.

22. Glaz S. Regular and principal projective endomorphism rings of mixed abelian groups / S. Glaz, W. Wickless // Comm. in Algebra. — 1994. — V. 22. № 4. - P. 1161-1176.

23. Зиновьев Е.Г. Об одном обобщении колец псевдорациональных чисел // Вестник Томского государственного университета. — 2006. — № 290. С. 46-47.

24. Зиновьев Е.Г. csp-кольца, как обобщение колец псевдорациональных чисел // Фундам. и прикл. математика. — 2007. — Т. 13. № 3. -С. 35-38.

25. Зиновьев Е.Г. Инъективные и делимые модули над csp-кольцами // Вестник Томского государственного университета. — 2007. — № 299.- С. 96-97.

26. Зиновьев Е.Г. Об одном обобщении колец псевдорациональных чисел // тезисы докладов Международная конференция по математике и механике. Томск, 2003. — С. 46-47.

27. Зиновьев Е.Г. Моногенные sp-кольца и модули над ними // Абелевы группы : труды Всероссийского симпозиума. — Бийск : РИО БПГУ им. В.М. Шукшина, 2005. С. 17-18.

28. Зиновьев Е.Г. Строение делимых и инъективных модулей над csp-кольцами // Абелевы группы : труды Всероссийского симпозиума.- Бийск : РИО БПГУ им. В.М. Шукшина, 2006. С. 21-23.

29. Зиновьев Е.Г. Конечно порожденные модули над кольцами псевдоалгебраических чисел // Материалы Международной алгебраической конференции, посвященнная 100-летию со дня рождения А.Г. Куро-ша. — Москва : Изд-во Московского гос. ун-та, 2008. — С. 104-105.