Кольца и модули, имеющие топологическую размерность Крулля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Тензина, Виктория Васильевна

• Тензина, Виктория Васильевна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тензина, Виктория Васильевна

1 Введение

2 Топологическая размерность Крулля

1 Необходимые определения и обозначения из теории топологических колец и модулей.

2 Определение топологической размерности Крулля и некоторые её свойства.

3 Топологическая //-размерность. Критические модули.

4 Бесконечная прямая сумма замкнутых подмодулей

5 Топологическое кольцо полиномов.

6 Топологический аналог леммы Леиагана

3 Топологический радикал Бэра и топологическая размерность Крулля

1 Определение топологического радикала Бэра.

2 Топологическая точность.

3 Сумма всех Е-нильпотентных идеалов топологического Р1-кольца, обладающего топологически точным топологически нетеровым модулем

4 Топологический радикал Бэра топологического Р/-кольца, обладающего топологически точным топологически нетеровым модулем.

5 Топологический радикал Бэра кольца с топологической размерностью Крулля.

6 Топологические Р/-кольца, обладающие топологически точными модулями с топологической размерностью Крулля.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Кольца и модули, имеющие топологическую размерность Крулля»

Областью исследования диссертационной работы является "теория топологических колец и модулей". Теории топологических колец посвящены такие работы как [1], [12], [13].

Цель работы — построение теории топологических колец и модулей, имеющих топологическую размерность Крулля, а также применение этой теории для изучения топологического радикала Бэра некоторых классов топологических колец.

Актуальность темы диссертации. Многие теоремы в теории топологических колец получены как результат обобщения соответствующих теорем из теории колец на топологический случай. Если что-то казалось содержательным в дискретном случае, то делалось предположение, что это может быть интересным и в общем, топологическом случае. Например, уже разработана общая теория топологических радикалов, на основе общей теории радикалов.

В [11], Ренчлер и Габриэль определили размерность Крулля для модуля как девиацию частично-упорядоченного множества всех подмодулей с упорядочением по включению. Все артиновы и нетеровы модули являются модулями с размерностью Крулля. Оказалось, что многие утверждения, справедливые для нетеровых модулей и колец, выполняются также и для модулей и колец с размерностью Крулля. Класс колец, имеющих размерность Крулля, строго больше, чем класс всех нетеровых колец даже в случае коммутативных колец. Методы, используемые при рассмотрении колец с размерность Крулля, аналогичны методам, используемым для получения результатов в теории артиновых колец. Обзор результатов по размерности Крулля можно найти, например, в работе Гордона и Робсон [3].

Теория размерности Крулля усилиями различных авторов (Ленаган, Рен-члер, Габриэль, Лемоньер, Гордон, Робсон и другие) получилась весьма содержательной. В теории кручений существует обобщение размерности Крулля на случай относительной размерности Крулля, например в [27]. Но это частный случай, так как топология относительно кручения является линейной топологией.

В данной работе автором предлагается обобщение понятия размерности Крулля на топологический случай. Топологическая размерность Крулля топологического модуля определяется как девиация частично упорядоченного множества всех замкнутых подмодулей с упорядочением по включению. Аналогичным образом определяется правая и левая размерность Крулля топологических колец.

В предлагаемой работе построена теория топологической размерности Крулля. В качестве проверки жизнеспособности этой теории в данной работе исследуется топологический радикал Бэра колец либо с топологической размерностью Крулля, либо Р1-колец, обладающих модулями с топологической размерностью Крулля.

Для изучения топологических колец используются различные нильрадикалы. Топологическому локально-нильпотептному радикалу посвящены работы Махарадзе [20], [21]. Водинчар рассматривал максимальный над-нильпотентиый радикал ([17]). Арнаутов ([14]) и Урсул исследовали топологический радикал Бэра.

В данной работе рассматривается только один радикал, а именно, топологический радикал Бэра, а также различные свойства Е-нильпотентных идеалов.

Научная новизна. Полученные результаты являются новыми. Среди них:

• Построение теории топологической размерности Крулля для топологических колец и модулей.

• Доказательство топологической нетеровости кольца коэффициентов, если соответствующее полиномиальное кольцо имеет топологическую размерность Крулля.

• Топологический аналог теоремы о конечности прямой суммы подмодулей модуля, имеющего размерность Крулля.

• Топологический аналог леммы Ленагана.

• Топологическая дуальная размерность Крулля.

• Определение топологически точного модуля. Исследование взаимосвязи между топологической точностью и обыкновенной точностью, а также свойств топологических модулей, являющихся топологически точными.

• Обобщение на топологический случай теоремы о том, что радикал Бэра Р1-кольца, обладающего точным нетеровым модулем, нильпотентен.

• Исследование топологического радикала Бэра колец с топологической размерностью Крулля.

• Обобщение на топологический случай теоремы о том, что радикал Бэра Р/-кольца, обладающего точным модулем с размерностью Крулля, нильпотентен.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в различных задачах теории топологических колец и модулей.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на семинаре "Кольца и модули", на международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию Московского университета и 75-летию кафедры высшей алгебры в Москве.

Список публикаций по теме диссертации из 3-х работ приведен в конце рукописи.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Нумерация лемм, предложений, утверждений и теорем привязана к своей главе, а нумерация примеров сквозная. Полный объем диссертации — 54 страницы, библиография включает 27 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тензина, Виктория Васильевна, 2005 год

1. Arnautov V.l., Glavatsky S.T., Mikhalev A.V., 1.troduction to the Theory of Topological Rings and Modules, Marcel Dekker, inc. New York, Basel, hong kong 1996, p.503.

2. L. Chambless, N-dimension and N-critical modules. Aplication to artinian modules, Comm. Algebra, 1980, V8, №16, p.1561-1592.

3. Robert Gordon and J.C. Robson, Krull dimension, Mem. Amer. Math. Soc., 1973, №133, p.1-78.

4. C.Hopkins, Nil-rings with minimal condition for admissable left ideals, Duke Math. J. 4(1938), 341-345.

5. G. Krause, On the Krull dimension of the left noetherian left Matlisrings, Math. Zeitschr. 118 (1970), 207-214.

6. B. Lemonnier, Déviation des ensembles et groupes abeliens totalement ordonnés, Bull. Sc. Math. 96, p.297-299.

7. Lenagan T.H. The nil radical of a ring with Krull dimension, Bull. London Math. Soc., v.5, №3, p.307-311. (1972), p.289-303.

8. Lenagan T.H. Reduced rank in rings with Krull dimension, 123-129.

9. J. Levitzki, Uber nilpotente Unterringe, Math. Annalen 105(1931), 620-627.

10. G. Michler, Primringe mit Krull-dimension eins, J. Reine Angew. Math. 239/240 (1970), 366-381.

11. R. Rentschier and R Gabriel, Sur la dimension des anneaux et ensembles ordonnés, С. R. Acad. Sei. Paris. 265 (1967), 712-715.

12. Арнаутов В.И., Водинчар М.И., Главацкий С.Т., Михалев A.B., Конструкции топологических колец, Кишинев: Штиинца, 1988, 168с.

13. Арнаутов В.И., Водинчар М.И., Михалев A.B., Введение в теорию топологических колец и модулей, Доклады Академии Наук Молдавской ССР, Кишенёв, Штиинца, 1981, 176с.

14. Арнаутов В.И, Топологический радикал Бэра и разложение кольца, Сибирский математический журнал, Т5, №6, 1964, 1209-1227с.

15. Арнаутов В.И, Топологический радикал Бэра и разложение кольца, Известия АН МССР, 1963, №11, 79-81с.

16. Арнаутов В.И., К теории топологических колец, Доклады Академии наук СССР, 1964, том 157, №1, 12-15с.

17. Водинчар М.И., О минимальном наднильпотентном радикале в топологических кольцах, Математические исследования, 1969, т.З, вып.4, 29-50с.

18. Марков В.Т., Точные нетеровы модули над PI-кольцами, Абелевы группы и модули, выпуск 8, 1989, 103-112с.

19. Марков В.Т., О PI-кольцах, имеющих точный модуль с размерностью Крулля, Фундаментальная и прикладная математика, М., 1995, т.1, №2, 557-559с.

20. Махарадзе Л.М., Локально нильпотентные идеалы в топологических кольцах, Мат. сборник, 1957, т.41(83), №3, 395-414с.

21. Махарадзе Л.М. Локально нильпотентный радикал в локально ограниченных топологических кольцах, Труды Выч. Центра АН Груз. ССР, 1962, т.2, 21-28с.

22. Ж. Дьедонне, Основы современного анализа, Мир, М., 1964, 430с.

23. Рудин, Уолтер Функциональный анализ, Пер. с англ. В.Я. Лина. Под ред. Е. А. Горина, М.,"Мир", 1975, 445с.

24. Тензина В.В., Некоторые свойства топологического радикала Бэра колец с топологической размерностью Крулля, Успехи математических наук, М., 2005, т. 60, вып. 2, стр. 175-176.

25. Тензина В.В., Свойства топологических колец и модулей с топологической размерностью Крулля, Международная алгебраическая конференция, посвященная 250-летию Московского университета и 75-летию кафедры высшей алгебры, 2004, тезисы докладов, стр. 123-125.

26. Тензина В.В., Топологические кольца и модули с топологической размерностью Крулля, Фундаментальная и прикладная математика, М., 2004, том 10(3), стр. 215-230.

27. Чернев, Относительная размерность Крулля, диссертация, Москва, мех-мат ф-т, 1997, 67с.