Когерентные структуры в волновой турбулентности: теория и численный эксперимент тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Дремов Сергей Вячеславович

• Дремов Сергей Вячеславович
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Дремов Сергей Вячеславович

Цели и задачи работы

Методы исследования

Научная новизна

Теоретическая и практическая значимость

Положения, выносимые на защиту

Степень достоверности и апробация результатов

Структура и объём работы

Личный вклад автора

1 Солитонная турбулентность в модели суперкомпактного уравнения Дьяченко-Захарова

1.1 Суперкомпактное уравнение Дьяченко-Захарова

1.1.1 Приближение НУШ

1.1.2 Солитонное решение

1.2 Исследование солитонной турбулентности

1.2.1 Парное столкновение солитонов

1.2.2 Многократные столкновения пары солитонов

1.2.3 Многократные столкновения множества солитонов

1.3 Заключение главы

2 Би-солитонные структуры в уравнениях для волн на глубокой воде

2.1 Би-солитонное решение НУШ

2.2 Нахождение би-солитонных структур в уравнениях для волн на воде

2.2.1 Постановка численного эксперимента

2.2.2 Би-солитонные структуры в суперкомпактном уравнении

2.2.3 Би-солитонные структуры в рамках ЯУ-уравнений

2.3 Заключение главы

3 Применение МОЗР для анализа би-солитонных структур в уравнениях для волн на глубокой воде

3.1 Теоретический формализм МОЗР для НУШ

3.2 Анализ волновых полей би-солитонных структур с помощью МОЗР

3.2.1 Преобразование волновых полей суперкомпактного и ЯУ -уравнений к волновому полю НУШ

3.2.2 Метод Фурье-коллокаций

3.2.3 Анализ волновых полей би-солитонов суперкомпактного уравнения с помощью МОЗР

3.2.4 Анализ волновых полей би-солитонов ЯУ -уравнений с помощью МОЗР

3.3 Заключение главы

4 Обобщение одномерных моделей на случай двумерных волн на глубокой воде

4.1 Одномерные компактные формы уравнения Захарова

4.1.1 Уравнения в переменных Ь,Ь*

4.1.2 Уравнения в переменных с, с*

4.2 Обобщение компактных уравнений на двумерный случай

4.2.1 Двумеризация уравнений в переменных Ь,Ь*

4.2.2 Двумеризация уравнений в переменных с, с*

4.3 Численные эксперименты

4.3.1 Результаты численного моделирования в рамках уравнений

в переменных Ь,Ь*

4.3.2 Результаты численного моделирования в рамках уравнений

в переменных с, с*

4.4 Заключение главы

Заключение

Приложение А. Вывод системы суперкомпактных уравнений

Приложение Б. Вывод точных уравнений в конформных переменных. 106 Список литературы

Введение

История и современное состояние проблемы

Волновая турбулентность и возникновение в ней нелинейных когерентных структур является необъятным направлением исследований в современной нелинейной динамике. Возникновение таких структур и явление волновой турбулентности регулярно наблюдаются в различных областях физики: оптоволоконной оптике, физике плазмы, гидродинамике, биофизики и других областях. К причинам их возникновения можно отнести различные нелинейные эффекты, неустойчивости или внешние воздействия. Одним из самых известных и уже классических примеров когерентных структур являются солитоны — устойчивые решения нелинейных дифференциальных уравнений в виде уединённых волн. При изучении вопросов, связанных с солитонами и их взаимодействием, как правило говорят об изучении солитонной турбулентности.

Диссертационная работа посвящена изучению когерентных структур и волновой турбулентности, возникающих в гидродинамике потенциальных течений идеальной несжимаемой жидкости со свободной поверхностью. Эта классическая задача нелинейной гидродинамики известна как минимум с начала XIX века [1,2, 3] (см. также книгу [4]). Исторический очерк в этом направлении часто начинают с открытия уединённой волны - солитона - британским учёным и инженером-кораблестроителем Дж.С. Расселом в 1837 году, опубликованном им далее в своём отчёте [5], а также с последующими результатами известного английского физика и математика Дж.Г. Стокса, например работа [6], где были рассмотрены стационарные гравитационные волны, а также показано, что по мере увеличения их амплитуды, происходит заострение гребней волн, а предельная волна образует угол в 120 градусов при вершине. Тем не менее, не ограничиваясь только потен-

циальными течениями, важно отметить, что ещё в 1804 году Пражский физик и инженер Ф. Дж. фон Герстнер предложил точное решение нелинейной задачи в виде стационарной волны, известной теперь как волна Герстнера [7], что является выдающимся достижением даже для настоящего времени, не говоря уже о начале XIX века. Более подробно с историей волн Герстнера, а также их применении в современности, можно ознакомиться в заметках [8] и др.

Одни из первых попыток математического описания солитона, обнаруженного Дж.С. Расселом, были приведены в 1895 г. Нидерландскими математиками Д. Дж. Кортевегом и Г. де Вризом. Описание было представлено в рамках уравнения, названного впоследствии их именами [9] (уравнение КдВ), хотя известно, что за несколько лет до публикации этой работы это уравнение использовал французский учёный Дж.В. Буссинеск [10, 11]. Впоследствии, почти 70 лет уравнение КдВ не привлекало внимание исследователей в силу различных обстоятельств, о которых можно подробнее узнать, например, в [12].

Интерес к солитонам, и в частности к уравнению КдВ, повторно возник ближе к середине XX века. В 1955 г. группа исследователей во главе с Э. Ферми обнаружила любопытное явление при изучении статистических свойств нелинейной системы осцилляторов, названное позднее явлением Ферми-Паста-Улама (ФПУ) [13]. Коротко говоря, при накачке одной из мод в системе осцилляторов энергия этой моды не передавалась всем остальным модам, а только медленно перетекала в соседние моды, а затем возвращалась обратно в основную. Другими словами, наблюдалась квазипериодическая динамика с возвратом к первоначальному состоянию, что противоречило статистическим законам о равном распределении энергии по всем модам. В [14] было представлено объяснение некоторых аспектов явления ФПУ, а затем в [15] было обнаружено, что это явление очень тесно связано с динамикой столкновений солитонов в рамках уравнения КдВ, и что это уравнение обладает уникальным свойством.

Это свойство было обнаружено немного позднее, когда дальнейшие исследования различных нелинейных дифференциальных уравнений привели к созданию метода обратной задачи рассеяния (МОЗР) или так называемого нелинейного преобразования Фурье. Применённый к уравнению КдВ в [16] и затем более подроб-

но описанный в [17], МОЗР впоследствии приобрел значительную распространённость среди исследователей. В работах [18, 19] был представлен алгоритм, позволяющий построить целую иерархию нелинейных эволюционных уравнений, решаемых с помощью МОЗР. Такие уравнения теперь называются интегрируемыми в терминах МОЗР, и их интегрируемость тесно связана с существованием солитонных решений.

Возвращаясь к гидродинамике, следует отметить, что уравнение КдВ, а также его различные обобщения и модификации [10, 20, 21] описывают волны и соли-тоны, распространяющиеся на мелкой воде. Солитонная турбулентность в случае мелкой воды имеет свои особенности. Исследования солитонных решений, ансамблей солитонов и солитонного газа в рамках уравнений для мелкой воды можно найти, например, в [22, 23, 24, 25, 26, 27, 28] и множестве других работ. Приятной особенностью при исследованиях волн на мелкой воде является наличие относительно большого числа интегрируемых моделей [29, 30, 31, 32].

При рассмотрении волн на глубокой воде известна только одна интегрируемая модель — нелинейное уравнение Шрёдингера (НУШ) [33, 34]. Возможность использования НУШ для описания эволюции огибающей слабомодулированного волнового пакета была показана в [35]. НУШ содержит большое количество аналитических решений, например, солитон Перегрина [36], бризер Ахмедиева [37], солитон Кузнецова-Ма [38, 39], тёмные солитоны [33, 34, 40] и так далее. Однако на практике диапазон применимости НУШ ограничен. Использование этого уравнения может оказаться недостаточным для корректного описания различных нелинейных волновых явлений, таких как опрокидывание волны, поскольку оно получено в предположении узости спектральной ширины волнового пакета, которое может нарушаться при рассмотрении упомянутых явлений. Существуют различные модификации НУШ [41, 42], позволяющие учесть следующие порядки дисперсии и нелинейности и смягчить эти ограничения, но не избавиться от них полностью.

Кроме того, рассматривая солитонную турбулентность в рамках НУШ, необходимо учитывать и другие особенности. Как и в случае с уравнением КдВ, столкновения солитонов в НУШ являются полностью "упругими", то есть между ними

не происходит обмена энергией, их амплитуды и скорости не изменяются в процессах столкновения, и следовательно число солитонов остаётся постоянным. К изменяемым параметрам относятся только фаза и положение каждого из солито-нов. Численные и экспериментальные работы по столкновению солитонов КдВ и НУШ, а также изучению их фазовых и пространственных сдвигов, можно найти в [43], более современные исследования представлены в [44].

Относительная фаза солитонов в момент столкновения играет важную роль в динамике их взаимодействия, например от неё зависит максимальная амплитуда волнового поля при столкновении солитонов. В рамках НУШ максимальная амплитуда не может превышать сумму амплитуд каждого из солитонов. Влияние относительной фазы особенно интересно в рамках изучения вопроса о формировании волн экстремальной амплитуды. В недавних работах [45], [46] фазовая синхронизация в многосолитонных ансамблях была изучена аналитически. С помощью МОЗР авторы работы [47] показали, что статистические свойства плотного солитонного газа в НУШ хорошо описываются статистическими свойствами асимптотической стадии модуляционной неустойчивости, индуцированной шумом. Разреженный солитонный газ был также экспериментально воспроизведен в оптоволоконном кольцевом резонаторе с начальным волновым полем, взятым как арифметическая суперпозиция отдельных солитонов [48], и в волновом бассейне [49].

Одним из примеров, где НУШ может не охватить всех аспектов сложного нелинейного волнового взаимодействия, являются волны-убийцы — гигантские одиночные волны, возникающие, как правило, в океане и представляющие серьёзную опасность для морских сооружений и судов. Для таких очень крутых волн предположения НУШ о небольшой крутизне волн и узости спектра теряют смысл. Обзор физических механизмов возникновения волн-убийц можно найти, к примеру, в [50, 51, 52, 53]. В линейном приближении возникновение волн-убийц связывают с с фокусировкой за счёт дисперсионного сжатия волновых пакетов, однако хорошо известно, что волны-убийцы являются существенно нелинейным объектом. С позиции нелинейной динамики одной, но, по-видимому, не единственной, причиной возникновения таких волн является неустойчивость Бенджамина-Фэйра, наблю-

даемая в [54, 55] и затем теоретически обоснованная в [56] и, независимо, в [57]. Несмотря на то, что термин "волны-убийцы" пришёл из гидродинамики, аналоги таких объектов на сегодняшний день можно встретить во многих нелинейных системах: в плазме и атмосфере [58, 59], в оптике [60, 61], в Бозе-Эйнштейновских конденсатах [62], в биологических системах [63, 64] и даже в финансовой сфере [65, 66, 67]. Создать волны-убийцы в лабораторных условиях достаточно сложно, а получать данные из наблюдений в естественных условиях тем более, так как такие волны возникают внезапно. Поэтому, одним из наиболее эффективных методов изучения таких волн, в том числе и прогнозирования их появления, является прямое численное моделирование.

Нельзя недооценивать фундаментальное значение НУШ, благодаря которому было исследовано множество различных нелинейных явлений, как теоретически, так и численно и экспериментально. Тем не менее, в действительности НУШ не всегда годится для описания волновых эффектов на глубокой воде в силу перечисленных особенностей и ограничений. В связи с этим возникает необходимость использовать более точные модели.

Основу данной диссертации составляют уравнения потенциального движения идеальной несжимаемой бесконечно глубокой жидкости со свободной поверхностью в поле тяжести. В частности, это уравнение Лапласа с граничными условиями на поверхности: кинематическое условие — жидкость не протекает через поверхность и не отрывается от неё, частицы на поверхности остаются на ней всё время; динамическое условие — интеграл Коши-Лагранжа (нестационарное уравнение Бернулли). Как аналитическое, так и численное исследование этой задачи сопряжено с трудностями, так как свободная поверхность заранее неизвестна. Тем не менее, на данный момент исследователи используют различные подходы для её решения. Примеры численных методов для решения исходных уравнений можно найти, например, в [68, 69, 70, 71, 72, 73, 74], а также в обзоре [75], книге [76] и др.

Распространённым и эффективным методом решения исходной задачи является использование конформных преобразований. Начиная с классических работ [77, 78], конформные преобразования в дальнейшем неоднократно применялись

для решения задач гидродинамики со свободной поверхностью (например, книга [79]). О применении конформных преобразований для описания нестационарных поверхностных явлений можно подробнее узнать, например, в книге [80]. Для случая бесконечной глубины динамические уравнения в конформных переменных были впервые получены в [81], позднее — в [82]. Также, использование конформных преобразований для случая глубокой воды можно найти в [83, 84], где область, занимаемая жидкостью, отображалась во внутренность единичного круга, однако итоговые уравнения оказывались достаточно сложными для аналитического или численного анализа.

Один из подходов, используемых в диссертации, представлен в работах [85, 86, 87]. Он основан на использовании конформных преобразований в сочетании с гамильтоновым формализмом. Свободная поверхность "выправляется" путём конформного преобразования области, занимаемой жидкостью, в нижнюю полуплоскость новой комплексной переменной. Получаемые при этом уравнения могут быть записаны в явной и неявной форме относительно производных по времени от поверхности и потенциала на поверхности. Частный случай уравнений в неявной форме при рассмотрении стационарных волн можно также найти в [88]. Так как уравнения в неявной форме не разрешены относительно производной по времени от поверхности и потенциала на поверхности, это осложняет их численное моделирование. Уравнения в явной форме выглядят несколько сложнее, однако они более удобны с вычислительной точки зрения. Численное моделирование явных уравнений можно найти в [87], а также в [89, 90]. Позднее, в [91] были предложены переменные, позволяющие упростить явные уравнения. Численный алгоритм для решения итоговой системы нелинейных уравнений в форме Дьяченко, или ЯУ-уравнений, был разработан в [92]. В рамках этих уравнений рассматривалась неустойчивость волны Стокса и образование "волны-убийцы"

[93], была показана их корректность, а также существование гладких решений

[94]. Недавние работы по исследованию двумерной гидродинамики со свободной поверхностью при помощи ЯУ-уравнений, изучению вопроса их интегрируемости, наличие дополнительных интегралов движения, а также построению неканонического гамильтонового формализма и др. можно найти в [95, 96, 97]. Таким

образом, к преимуществам использования точных ЯУ-уравнений можно отнести высокую точность вычислений, однако использование такой системы требует серьёзных вычислительных затрат для расчёта реального профиля поверхности, а также значительное количество расчётных узлов для вычисления профиля волн большой крутизны. В связи с этим исследователи часто используют приближённые модели.

Среди приближённых моделей в диссертации используется теоретический подход, развитый в [35] и основанный на использовании гамильтонового формализма. Рассматриваемая система исходных уравнений является гамильтоновой, а свободная поверхность и потенциал на поверхности являются естественными гамиль-тоновыми переменными. Гамильтониан есть сумма кинетической и потенциальной энергии потока жидкости. В случае когда крутизна волны является малым параметром, гамильтониан можно разложить в ряд по степеням параметра. При рассмотрении гравитационных волн разложение производится до четвёртого порядка по естественным переменным включительно, так как доминирующим нелинейным процессом для таких волн является четырёхволновое взаимодействие. Уравнения движения в естественных переменных, соответствующие "усечённому" гамильтониану, применялись для численного моделирования в [98, 99, 100]. Однако эти уравнения не всегда оказываются удобными как для теоретического анализа (разделение дисперсии и нелинейности, резонансные взаимодействия волн и.т.д.), так и для численного моделирования из-за особенностей, связанных с неустойчивостью в коротковолновой части Фурье-спектра.

Дальнейшее упрощение гамильтониана возможно с помощью применения канонических преобразований к новым переменным, которые позволяют избавиться от всех нерезонансных взаимодействий волн. В случае гравитационных волн нерезонасным является весь третий порядок, а также часть слагаемых четвёртого порядка, отвечающих взаимодействиям 4 ^ 0,0 ^ 4 и 3 ^ 1,1 ^ 3. Единственным резонансным слагаемым является взаимодействие 2 ^ 2. После канонического преобразования упрощённый гамильтониан содержит только квадратичное слагаемое и резонансное слагаемое четвёртого порядка, а соответствующее такому гамильтониану динамическое уравнение теперь известно как уравнение Заха-

рова.

Уравнение Захарова активно использовалось для получения кинетических уравнений и развития теории слабой волновой турбулентности [101, 102], позволяющих предсказывать спектры турбулентности и исследовать статистические свойства волн в морях и океанах с ветровой накачкой [103, 104, 105, 106]. Теория слабой волновой турбулентности находила своё подтверждение во многих исследованиях [107, 108], тем не менее, её применение справедливо только в случае дополнительного предположения о случайности фаз, когда их когерентность и синхронизация не играют существенной роли в физическом процессе. Такое предположение справедливо далеко не всегда.

Поэтому при исследованиях волновой турбулентности более корректно напрямую использовать динамическое уравнение Захарова, учитывающее фазовые взаимодействия. В работах [109, 110] было показано, что в случае одномерных волн уравнение Захарова может быть записано в так называемой компактной форме в ж-пространстве путём применения соответствующего канонического преобразования к гамильтониану. Это оказалось возможным вследствие особенности коэффициента четырёхволнового взаимодействия в одномерном случае [111]. Физически это свойство заключается в том, что если изначально в системе были волны, направленные только в одну сторону (например "вправо"), то волн в противоположном направлении ("влево") не возникнет. Это в свою очередь приводит к расщеплению уравнения движения на систему двух уравнений для встречных волн, а также к возникновению дополнительных интегралов движения [112, 113]. Если рассматривать волны, направленные только в одну сторону, то система уравнений сводится к одному уравнению - суперкомпактному уравнению Дьяченко-Захарова [114].

Суперкомпактное уравнение можно назвать основной моделью в данной работе. Его можно использовать для численного моделирования, не прибегая при этом к каким-либо сложным и громоздким численным схемам, как и в случае НУШ. Однако, в отличие от НУШ, а также его модификаций, это уравнение было получено без каких-либо предположений о ширине спектра, поэтому оно обладает более широкой областью применимости. В [115] с помощью численного моделирования

была продемонстрирована схожесть динамики нелинейной стадии модуляционной неустойчивости и формирования волн-убийц, а также распространения бри-зеров с большой крутизной, в рамках суперкомпактного и точных ЯУ-уравнений. Сравнение результатов показало, что несмотря на приближённость суперкомпактного уравнения, оно достаточно хорошо описывает сильно нелинейные явления, возникающие на поверхности жидкости. Таким образом, суперкомпактное уравнение Дьяченко-Захарова с одной стороны обладает большей областью применимости по сравнению с НУШ, а с другой стороны не требует при этом значительных вычислительных затрат как точные ЯУ-уравнения.

Таким образом, НУШ, приближённое суперкомпактное уравнение Дьяченко-Захарова и точная система нелинейных ЯУ-уравнений в конформных переменных образуют своего рода иерархию нелинейных уравнений, и в совокупности являются оптимальным и эффективным инструментом для теоретического анализа и численного моделирования волновой турбулентности, возникающей на свободной поверхности идеальной несжимаемой глубокой жидкости в поле тяжести.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Когерентные структуры в волновой турбулентности: теория и численный эксперимент»

Актуальность темы исследования

Волновая турбулентность широко распространена в природе, возникновение в ней когерентных структур и их дальнейшее взаимодействие может играть значительную роль в том или ином явлении. Следовательно, в рамках конкретной физической задачи всегда необходимо понимать масштаб влияния таких структур на физическую систему, иметь представление об их устойчивости и учитывать условия, приводящие к их образованию и разрушению.

• Изучение волновой турбулентности и когерентных структур в океанах имеет ключевое значение для энергетических систем, использующих энергию прилива и отлива. Понимание когерентных структур в океанических потоках помогает оптимизировать дизайн морских энергетических установок.

• Волновая турбулентность также играет роль в сопротивлении корпуса судов и эффективности передачи энергии от корабельных винтов. Исследования в этой области помогают совершенствовать дизайн судов и улучшать их манев-

ренность.

• Когерентные структуры в океане могут влиять на транспорт тепла и веществ в океанической циркуляции, что в свою очередь оказывает влияние на климат, поэтому изучение таких структур и волновой турбулентности важно для моделирования и предсказания климатических изменений.

• Когерентные структуры в различных потоках могут вызывать колебания и вибрации, что важно при проектировании инженерных сооружений, таких как мосты, здания и морские платформы.

• Волновая турбулентность оказывает влияние на экосистемы океана и водных тел. Понимание этих процессов важно для охраны окружающей среды и биоразнообразия.

Таким образом, исследования в области волновой турбулентности и когерентных структур имеют практическую значимость для различных отраслей, способствуя более эффективному использованию ресурсов и разработке устойчивых технологий.

В частности, хорошо известным примером когерентных структур, возникающих в волновой турбулентности, выступают уже упомянутые волны-убийцы. Разработка аналитических и численных моделей для описания и предсказания возникновения таких волн на сегодняшний день является очень актуальной задачей.

Ещё одним интересным объектом для исследований являются Сейши (фр. Seiche) [116] — стоячие волны большой амплитуды и с большим периодом, возникающие в замкнутых водоёмах под воздействием внешних сил, к примеру ветровых явлений или сейсмической активности. Разработка модели для описания двумерных волн, распространяющихся на поверхности трёхмерной жидкости, полезна для моделирования и изучения подобных объектов.

Кроме того, с точки зрения фундаментальной науки чрезвычайно важным остаётся вопрос об интегрируемости уравнений 2D-гидродинамики идеальной несжимаемой жидкости со свободной поверхностью. Строгое обоснование интегрируемости привело бы к открытию целого класса интегрируемых систем. Выполнение задач в рамках данной работы позволит продвинуться в понимании этого вопроса.

Цели и задачи работы

Целью работы является разработка и развитие теоретических и численных методов исследования волновой турбулентности и, главным образом, образования в ней нелинейных когерентных структур, в рамках гидродинамики потенциальных течений идеальной несжимаемой бесконечно глубокой жидкости со свободной поверхностью в поле тяжести.

Задачи данной работы следующие:

1. Исследовать долговременную динамику солитонной турбулентности в рамках суперкомпактного уравнения Дьяченко-Захарова.

2. Разработать алгоритм для численного нахождения новых обнаруженных в ходе исследований би-солитонных структур в суперкомпактном уравнении, а также в полной системе нелинейных ЯУ-уравнений.

3. Провести анализ волновых полей обнаруженных би-солитонных структур суперкомпактного и ЯУ-уравнений с помощью формализма задачи рассеяния для одномерного фокусирующего нелинейного уравнения Шрёдингера.

4. На основе компактных форм уравнения Захарова для случая одномерных волн разработать приближённую аналитическую модель для описания динамики двумерных гравитационных волн, распространяющихся на свободной поверхности трёхмерной идеальной несжимаемой глубокой жидкости в поле тяжести.

Методы исследования

Одним из наиболее распространённых методов исследования волновой турбулентности на глубокой воде является прямое численное моделирование. Нелинейное уравнение Шрёдингера, приближённое суперкомпактное уравнение Дьяченко-Захарова и точная система ЯУ-уравнений в конформных переменных в совокупности представляются оптимальным и эффективным инструментом для исследований. Результаты, полученные первоначально в рамках простого с вычислитель-

ной точки зрения суперкомпактного уравнения, могут быть дополнительно проверены в точных ЯУ-уравнениях.

Численное решение задачи Коши для суперкомпактного уравнения производилось с помощью псевдо-спектрального метода Фурье с использованием быстрых преобразований Фурье библиотеки FFTW [117]. Для интегрирования по времени использовался метод Рунге-Кутты 4 порядка точности. В случае двумерных уравнений также производилось распараллеливание численного алгоритма при помощи инструментов ОрепМР, для параллельных Фурье-преобразований использовалась библиотека FFTW_threads. ЯУ-уравнения также решались с помощью псевдо-спектрального метода Фурье с интегрированием по времени методом Рунге-Кутты 4 порядка точности.

Касательно метода обратной задачи рассеяния, численное решение задачи Захарова-Шабата производилось с помощью метода Фурье-коллокаций, Фурье-преобразования вычислялись с помощью библиотек FFTPACK.

Научная новизна

В работе впервые исследована динамика разреженного солитонного газа и со-литонной турбулентности в рамках модели суперкомпактного уравнения Дьяченко-Захарова для однонаправленных гравитационных волн. Обнаружено, что вне зависимости от начального числа солитонов, а также их амплитуд, скоростей и относительной фазы, они сталкиваются и обмениваются энергией до тех пор, пока не останется только один солитон.

В суперкомпактном и точных ЯУ-уравнениях найдены новые периодические по времени би-солитонные структуры, напоминающие известные би-солитонные решения НУШ. Показано, что такие структуры стабильно существуют в течение сотен тысяч характерных периодов волн, не теряя при этом свою энергию. До настоящего момента в этих уравнениях были известны только решения в виде одиночного бризера.

В работе впервые проведён анализ волновых полей би-солитонных структур суперкомпактного и ЯУ-уравнений с помощью формализма задачи рассеяния для одномерного фокусирующего НУШ. Впервые получены данные рассеяния, вклю-

чающие в себя дискретный и непрерывный спектр, каждый из которых характеризует би-солитонную структуру. Показана стабильность данных рассеяния, а также периодический энергетический обмен между спектрами.

Разработаны две новые приближённые гамильтоновы модели для описания двумерных волн, распространяющихся по поверхности трёхмерной жидкости. Они основаны на обобщении одномерных компактных форм уравнения Захарова на случай двумерных волн, при этом в одномерном случае все модели физически эквивалентны между собой.

Теоретическая и практическая значимость

Исследования, проводимые в рамках данной работы, относятся к фундаментальным исследованиям. Изучение волновой турбулентности и взаимодействия солитонов в суперкомпактном уравнении, а также нахождение стабильных би-солитонных структур в суперкомпактном и точных уравнениях являются новыми фундаментальными результатами в рамках гидродинамики идеальной несжимаемой жидкости со свободной поверхностью.

Исследования би-солитонных структур с помощью МОЗР, представленные в работе, могут быть обобщёны на другие физические системы, например оптические волноводы, описываемые в главном порядке с помощью НУШ. Кроме того, данный подход может быть применён для анализа экспериментальных данных.

Математическое и численное моделирование гидродинамики двумерных волн, распространяющихся по поверхности трёхмерной идеальной несжимаемой глубокой жидкости, являются достаточно сложной задачей. Предложенная гамильто-нова модель для описания двумерных волн является эффективной с точки зрения численного моделирования, позволяет исследовать волновые явления в океанах и расширить общее понимание механизмов нелинейных явлений, происходящих с волнами на глубокой воде. С практической точки зрения это поможет при прогнозировании поведения морских и океанических волн, приливов, цунами и других волновых процессов, а также при разработке океанографических и климатических моделей.

Положения, выносимые на защиту

1. Динамика многократных столкновений солитонов не зависит от их изначального количества, начальной относительной фазы, крутизны и скорости. После многократных столкновений любого количества солитонов в периодической области останется только один солитон. При столкновении солитоны способны образовывать связанное состояние.

2. В рамках суперкомпактного и ЯУ-уравнений существуют би-солитонные структуры, напоминающие известные би-солитонные решения НУШ. Они стабильно распространяются по поверхности жидкости в течение сотен тысяч характерных периодов волн, не теряя при этом свою энергию.

3. Би-солитонные структуры суперкомпактного и ЯУ -уравнений характеризуются дискретным и непрерывным спектрами, ассоциированными с МОЗР для одномерного фокусирующего НУШ. Собственные значения, представляющие дискретный спектр, совершают периодическое движение вдоль стабильных траекторий на комплексной плоскости. Между дискретным и непрерывным спектром МОЗР происходит периодический обмен энергией.

4. Новые приближённые гамильтоновы модели, предложенные для описания динамики двумерных волн, распространяющихся по поверхности трёхмерной идеальной несжимаемой глубокой жидкости в поле тяжести, корректно описывают физические явления, связанные с устойчивостью и резонансным взаимодействием волн, не содержат неустойчивостей в высокочастотной части спектра и являются эффективными с точки зрения численного моделирования.

Степень достоверности и апробация результатов

Достоверность полученных результатов обосновывается надежностью и квалифицированным использованием аналитических и численных методов. Результаты диссертации согласуются с теоретическими и экспериментальными данными, а также результатами численного моделирования, полученными другими авто-

рами. Признание результатов работы отражено в публикациях в рецензируемых журналах, а также их представлении на различных российских и международных научных мероприятиях.

Результаты работы были опубликованы в следующих статьях:

A1. Gelash A., Dremov S., Mullyadzhanov R., Kachulin D. Bi-solitons on the surface of a deep fluid: an inverse scattering transform perspective based on perturbation theory // Physical Review Letters. - 2024. - Т. 132. - №. 13. - С. 133403. (Q1)

A2. Dremov S., Kachulin D., Dyachenko A. Two Models for 2D Deep Water Waves // Fluids. - 2022. - Т. 7. - №. 6. - С. 204. (Q2)

A3. Kachulin D., Dremov S., Dyachenko A. Bound coherent structures propagating on the free surface of deep water // Fluids. - 2021. - Т. 6. - №. 3. - С. 115. (Q2)

A4. Kachulin D., Dyachenko A., Dremov S. Multiple soliton interactions on the surface of deep water // Fluids. - 2020. - Т. 5. - №. 2. - С. 65. (Q2)

Кроме того, они были представлены на следующих научных мероприятиях:

1. IX-ая международная конференция "Солитоны, коллапсы и турбулентность -2019", 5-9 августа, 2019, Ярославль, Россия

2. XXVIII научная сессия Совета РАН по нелинейной динамике, 16-17 декабря,

2019, институт океанологии им. П.П. Ширшова, Москва, Россия

3. Международная научная школа-конференция "Нелинейные волны - 2020", 29 февраля - 6 марта, 2020, Нижний Новгород, Россия

4. Международная научная конференция EGU2020: Sharing Geoscience Online, 4 - 8 мая, 2020

5. XXIX научная сессия Совета РАН по нелинейной динамике, 14-15 декабря,

2020, Москва, Россия

6. Международная научная конференция vEGU21: Gather Online, 19-30 Апреля, 2021

7. XXX научная сессия Совета РАН по нелинейной динамике, 20 - 21 декабря,

2021, Москва, Россия

8. Международная научная конференция EGU2022: Sharing Geoscience Online, 23 - 27 мая, 2022, Вена, Австрия

9. Международная конференция "Дни Ландау - 2022", 27 - 30 июня, 2022, ИТФ им. Л.Д. Ландау, Черноголовка, Россия

10. Международная научная школа-конференция "Нелинейные волны - 2022", 7 - 13 ноября, 2022, Нижний Новгород, Россия

11. XXXI научная сессия Совета РАН по нелинейной динамике, 19-20 декабря,

2022, институт океанологии им. П.П. Ширшова, Москва, Россия

12. Семинар "Нелинейные волны" академиков В.Е.Захарова и Е.А.Кузнецова, 10 февраля, 2021

13. Заседание учёного совета ИТФ им. Л.Д. Ландау, 26 ноября, 2021, ИТФ им. Л.Д. Ландау, Черноголовка, Россия

14. Семинар "Нелинейные волны" академиков В.Е.Захарова и Е.А.Кузнецова, 25 мая, 2022

15. Семинар в лаборатории фотоники института автоматики и электрометрии СО РАН, 1 июня, 2023, Новосибирск, Россия

16. Заседание учёного совета ИТФ им. Л.Д. Ландау, 20 октября, 2023, ИТФ им. Л.Д. Ландау, Черноголовка, Россия

17. XXXII научная сессия Совета РАН по нелинейной динамике, 18-19 декабря,

2023, институт океанологии им. П.П. Ширшова, Москва, Россия

18. Семинар в лаборатории фотоники и квантовых измерений федеральной политехнической школы Лозанны, 16 января, 2024, Лозанна, Швейцария

19. Семинар в лаборатории фотоники института автоматики и электрометрии СО РАН, 28 марта, 2024, Новосибирск, Россия

20. Семинар в лаборатории нелинейной фотоники НГУ, 9 апреля, 2024, Новосибирск, Россия

21. Семинар в федеральном исследовательском центре информационных и вычислительных технологий, 14 мая, 2024, Новосибирск, Россия

Структура и объём работы

Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы из 233 наименований и двух приложений. В работе содержится 33 рисунка, общий объём работы составляет 120 страниц.

Во введении представлено современное состояние проблемы, обоснована актуальность исследования, сформулированы цели и задачи, описаны используемые в работе методы, отражена научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы, положения, выносимые на защиту, а также степень достоверности результатов исследований и личный вклад автора.

Глава 1 посвящена исследованию солитонной турбулентности в рамках суперкомпактного уравнения Дьяченко-Захарова. В начале главы представлен краткий вывод уравнения, приведены его основные свойства, переход к НУШ, решение в виде солитона и его характерные параметры, а также описание метода Петви-ашвили для нахождения подобных солитонных решений. Далее рассматривается парное столкновение солитонов и представлены соответствующие теоретические оценки. Затем приведено описание многократных столкновений пары и множества солитонов, представлены результаты численных экспериментов, а также проведено сравнение результатов с теоретическими предсказаниями. В конце главы представлено заключение.

Глава 2 посвящена нахождению связанных периодически осциллирующих би-солитонных структур, напоминающих известные би-солитонные решения НУШ, в рамках суперкомпактного уравнения Дьяченко-Захарова, а также точной системы нелинейных ЯУ-уравнений. В начале главы представлено би-солитонное решение НУШ, а также его определяющие параметры. Далее подробно описан численный алгоритм для нахождения аналогичных би-солитонных структур, приведены результаты численных экспериментов по нахождению таких структур в суперкомпактном уравнении и в ЯУ-уравнениях соответственно. В конце главы представлено заключение с кратким обсуждением результатов.

Глава 3 посвящена изучению обнаруженных ранее би-солитонных решений суперкомпактного и ЯУ-уравнений с помощью формализма задачи рассеяния для одномерного фокусирующего НУШ. В начале главы представлено теоретическое

описание задачи рассеяния для НУШ. Далее представлен метод Фурье-коллокаций для численного решения задачи Захарова-Шабата, а также преобразования, связывающие волновые поля суперкомпактного и ЯУ-уравнений с огибающей НУШ, затем представлены результаты численных экспериментов. Глава завершается заключительным разделом с обсуждением результатов.

Глава 4 посвящена построению приближённой аналитической модели для описания двумерных волн, распространяющихся по поверхности трёхмерной жидкости. В начале главы представлен вывод двух одномерных компактных форм уравнений Захарова. Далее представлено обобщение обеих моделей на случай двумерных волн. Затем, рассматривается задача о возмущённой стоячей волне в канале с гладкими вертикальными стенками в рамках обеих моделей, приводятся результаты численного моделирования, а также производится сравнение результатов. В конце главы также представлено краткое заключение.

В заключении диссертации отмечены основные результаты, выражены благодарности и указана финансовая поддержка.

В приложениях представлен подробный вывод используемых в работе моделей: суперкомпактного уравнения Дьяченко-Захарова и точной системы нелинейных ЯУ-уравнений в конформных переменных.

Личный вклад автора

Личный вклад автора в диссертационную работу заключался в проведении литературного обзора, реализации используемых методов и алгоритмов, выполнении численных экспериментов, анализе и обработке результатов, подготовке научных публикаций и представлении результатов на научных мероприятиях. Все результаты получены лично автором, либо при его непосредственном участии.

Вывод системы суперкомпактных уравнений, представленный в приложении А, и полных ЯУ-уравнений, представленный в приложении Б, был выполнен в работах [113] и [91] соответственно, тем не менее они с подробностями представлены в диссертации для удобства читателя.

Глава 1

Солитонная турбулентность в модели суперкомпактного уравнения Дьяченко-Захарова

Первым вопросом, который будет рассмотрен в данной диссертации, является исследование солитонной турбулентности, в частности многократных столкновений однонаправленных солитонов, в рамках неинтегрируемого суперкомпактного уравнения Дьяченко-Захарова.

Совершенно ясно, что при изучении солитонной турбулентности доминирующим процессом является парное столкновение двух когерентных структур, в нашем случае солитонов. Даже в интегрируемых уравнениях такой элементарный процесс играет ключевую роль в формировании динамических и статистических характеристик волнового поля [118].

Впервые компактная форма уравнения Захарова была получена в работе [109], в ней также было показано существования солитонных решений (бризеров), огибающая которых не меняется при распространении. Позднее, в [119, 120] в рамках компактного уравнения исследовались столкновения таких солитонов, которые находились с помощью метода Петвиашвили [121, 122]. В результате авторы заключили, что солитоны сталкиваются абсолютно упруго, без образования излучения (некогерентных волн), что являлось признаком интегрируемости уравнения Захарова. Однако, подобные исследования независимо были проведены и в [123], где было показано, что столкновения солитонов всё-таки не являются абсолютно упругими, что говорит в пользу неинтегрируемости уравнения Захарова. Оконча-

тельное доказательство неинтегрируемости этого уравнения было представлено в [124].

Ключевые особенности изучения солитонной турбулентности в рамках неин-тегрируемых моделей заключаются в том, что в отличие от интегрируемых уравнений, например НУШ, солитоны могут обмениваться энергией, их амплитуды, фазы и скорости при этом изменяются, общее количество солитонов тоже может измениться. В числе первых работ по исследованию солитонной турбулентности в неинтегрируемых системах находится работа [125]. Основное внимание было уделено возможности термодинамического равновесия между солитонами и спектром слабо-нелинейных волн с точки зрения системы "жидкость-пар", где солитоны играли роль капель жидкости. Было показано, что термодинамически выгодным является состояние, при котором амплитуда солитонов растет по мере уменьшения их числа, а "слабые" солитоны поглощаются "сильными".

В работе [126] изучалась динамика солитонной турбулентности в неинтегрируемых, но НУШ-подобных, уравнениях со степенной нелинейностью. Ограничение на тип нелинейности, выбранное в этой работе, позволило авторам использовать имеющиеся точные солитонные решения, чтобы получить аналитические оценки для изменения числа частиц солитонов при их парном взаимодействии. Основываясь на балансе числа частиц, импульса и энергии, это соотношение показывает, что после многочисленных взаимодействий в конце остается только один солитон. Несколько численных экспериментов подтвердили этот результат для различных неинтегрируемых уравнений с простой степенной нелинейностью. Как будет показано далее, суперкомпактное уравнение тоже можно в некотором смысле считать НУШ-подобным, а следовательно, подобную динамику можно ожидать и в нём — многочисленные столкновения солитонов приведут к формированию одиночного солитона. Кроме того, такое сходство между суперкомпактным уравнением и НУШ позволяет использовать последнее при получении оценок для изменения числа частиц, как это было сделано в упомянутой выше работе.

В работе [127] было продемонстрировано некоторое сходство результатов моделирования динамики волновых полей умеренной крутизны на небольших вре-

менах в рамках НУШ и суперкомпактного уравнения. Кроме того, в пределе малой крутизны и узости спектральной ширины суперкомпактное уравнение переходит в НУШ. Поэтому, в некотором роде, суперкомпактное уравнение можно назвать "почти интегрируемым".

Тем не менее, несмотря на такую схожесть, описание солитонной турбулентности в рамках этих моделей существенно отличается. Например, в работе [128] были продемонстрированы значительные различия в динамике столкновения пары однонаправленных солитонов на поверхности глубокой воды в модели суперкомпактного уравнения по сравнению с динамикой столкновений солитонов огибающей в модели НУШ. Было показано, что взаимодействие солитонов в суперкомпактном уравнении носит более сложный характер — в зависимости от их относительной фазы один из солитонов может забрать энергию у второго и наоборот, чего не наблюдается в модели НУШ (рисунок 1.1).

гм

Ш

<

ш"

<

20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20

1 2

/ \.................... \

✓ У / \ / V* Ч. / 4 \ N

у \/ \ ч

/" ч N )' 1 ✓

Ч. ч \ л / 1 /

\ % .У \ \ / >

\ у

-3

-2

-1

0

Аф, гаЬ

Рис. 1.1: Обмен энергией солитонов при столкновении в зависимости от их относительной фазы Аф. По оси ординат отложено изменение энергии АЕ1 и АЕ2 для каждого из солитонов (1 и 2) в процентах. Например, при Аф = 0 энергия солитона 1 после столкновения увеличилась на 15%, а солитона 2 - уменьшилась на 10%, остальную часть энергии составляет излучение, образовавшееся в процессе столкновения. Рисунок взят из статьи [128].

Таким образом, с одной стороны теория предсказывает, что после большого количества столкновений нескольких солитонов должен остаться только один. С другой стороны, известно, что солитоны способны как отдать свою энергию, так

1

2

3

и забрать её в зависимости от относительной фазы. Ожидаемый вопрос при этом — что же всё-таки произойдёт с системой при рассмотрении периодической области (бесконечная цепочка из солитонов), в которой происходит многократное столкновение таких солитонов? Окажется ли влияние относительной фазы существенным при большом количестве столкновений или на больших временах её влиянием можно пренебречь?

Глава построена следующим образом: в разделе 1.1 рассказывается о суперкомпактном уравнении, его солитонном решении, а также выводе из него НУШ. В разделе 1.2 будут представлены результаты исследования солитонной турбулентности: вначале будет рассмотрено однократное столкновение пары солитонов и получены соответствующие оценки для изменения их числа частиц (1.2.1), затем будут представлены многократные столкновения пары (1.2.2) и множества (1.2.3) солитонов. Заключительный раздел 1.3 будет посвящён обсуждению результатов.

1.1 Суперкомпактное уравнение Дьяченко-Захарова

Подробный вывод системы суперкомпактных уравнений представлен в приложении А (4.4). Здесь же для краткости представлены только основные этапы.

Уравнения, описывающие потенциальное течение идеальной несжимаемой жидкости бесконечной глубины со свободной границей n(x,t) в поле тяжести, хорошо известны. Это уравнение Лапласа для потенциала скорости жидкости ф(х,у,t) с кинематическим (жидкость не протекает через поверхность) и динамическим (нестационарное уравнение Бернулли) граничными условиями на свободной поверхности. Рассматриваются одномерные волны на поверхности двумерной жидкости (1+1):

фхх + фуу = 0, - уравнение Лапласа П + Пхфх = Фу \у=п, - кинематическое условие

Фt + о (ФХ + Фу) + 9П = 0 \у=п - динамическое условие (1.1)

1 2

Здесь х и у - горизонтальные и вертикальные координаты, t - время, g - ускорение свободного падения, n(x,t) - форма поверхности, ф(х,у ,t) - гидродинамический потенциал скорости внутри жидкости. Плотность выбирается единичной

Рис. 1.2: Постановка исходной задачи. Одномерный случай.

капиллярные эффекты отсутствуют. Кроме того, к перечисленной системе добавляется условие отсутствия движения жидкости на бесконечной глубине (фу ^ 0, у ^ —то), а также рассматриваются периодические условия по х.

Данная система уравнений является гамильтоновой [35], свободная поверхность п(х, £) и потенциал скорости на поверхности ф(х, £) = ф(х, у, 1)\у=п являются канонически сопряженными переменными:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Дремов Сергей Вячеславович, 2024 год

Список литературы

[1] L. Euler. «Principes généraux du mouvement des fluides». В: Mémoires de l'académie des sciences de Berlin (1757), с. 274—315.

[2] J. Lagrange. «Mémoire sur la théorie du mouvement des fluides». В: Acad. Roy. Sci. & Belles Lettres (1781), с. 151— 198.

[3] A. Cauchy. Théorie de la propagation des ondes à la surface d'un fluide pesant d'une profondeur indéfinie. Académie royale des sciences, (1816).

[4] H. Lamb. Hydrodynamics. University Press, (1924).

[5] J. Russell. Report on Waves: Made to the Meetings of the British Association in 1842-43. (1845).

[6] G. Stokes. «On the theory of oscillatory waves». В: Trans. Cam. Philos. Soc. 8 (1847), с. 441—455.

[7] F. Gerstner. Theorie der wellen: samt daraus abgeleiteten theorie der deichprofile. Gottlieb Haase, (1804).

[8] А.А. Абрашкин и Е.Н. Пелиновский. «Волны Герстнера и их обобщения в гидродинамике и геофизике». В: Успехи физических наук 192.5 (2022), с. 491—506.

[9] D. Korteweg и G. De Vries. «XLI. On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary waves». В: The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 39.240 (1895), с. 422—443.

[10] J. Boussinesq. «Théorie des ondes et des remous qui se propagent le long d'un canal rectangulaire horizontal, en communiquant au liquide contenu dans ce canal des vitesses sensiblement pareilles de la surface au fond.» В: Journal de mathématiques pures et appliquées (1872), с. 55—108.

[11] J. Boussinesq. Essai sur la théorie des eaux courantes. Impr. nationale, (1877).

[12] Н.А. Кудряшов. «Нелинейные волны и солитоны». В: Соросовский образовательный журнал 2 (1997), с. 85— 91.

[13] E. Fermi и др. Studies of the nonlinear problems. Тех. отч. Los Alamos National Lab.(LANL), Los Alamos, NM (United States), 1955.

[14] M. Kruskal и N. Zabusky. «Stroboscopic-perturbation procedure fortreating a class of nonlinear wave equations». В:

Journal of Mathematical physics 5.2 (1964), с. 231—244.

[15] N. Zabusky и M. Kruskal. «Interaction of'solitons"in a collisionless plasma and the recurrence of initial states». В: Physical review letters 15.6 (1965), с. 240.

[16] C. Gardner и др. «Method for solving the Korteweg-deVries equation». В: Physical review letters 19.19 (1967), с. 1095.

[17] P. Lax. «Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves». В: Communications on pure and applied mathematics 21.5 (1968), с. 467—490.

[18] M. Ablowitz и др. «Nonlinear-evolution equations of physical significance». В: Physical Review Letters 31.2 (1973), с. 125.

[19] M. Ablowitz h gp. «The inverse scattering transform-Fourier analysis for nonlinear problems». B: Studies in Applied Mathematics 53.4 (1974), c. 249—315.

[20] B.B. Kadomtsev h VI. Petviashvili. «On acoustic turbulence». B: DokladyAkademii Nauk. T. 208.4. Russian Academy of Sciences. (1973), c. 794—796.

[21] A. Davey h K. Stewartson. «On three-dimensional packets of surface waves». B: Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences 338.1613 (1974), c. 101—110.

[22] V E. Zakharov. «Kinetic equation for solitons». B: Soviet Physics JETP 33(1971), c.538.

[23] G. A. El h A. M. Kamchatnov. «Kinetic equation for a dense soliton gas». B: Physical Review Letters 95.20 (2005), c. 204101.

[24] D. Dutykh h E.N. Pelinovsky. «Numerical simulation of a solitonic gas in KdV and KdV-BBM equations». B: Physics Letters A 378.42 (2014), c. 3102—3110.

[25] G. A. El. «Critical density of a soliton gas». B: Chaos: An Interdisciplinary Journal ofNonlinear Science 26.2 (2016), c. 023105.

[26] E.G. Shurgalina h E.N. Pelinovsky. «Nonlinear dynamics of a soliton gas: Modified Korteweg-de Vries equation framework». B: Physics Letters A 380.24 (2016), c. 2049—2053.

[27] W. Hu, J. Ren h Y.A. Stepanyants. «Solitary waves and their interactions in the cylindrical Korteweg-de Vries equation». B: Symmetry 15.2 (2023), c. 413.

[28] Z. Zhang h gp. «Multi-lump formations from lump chains and plane solitons in the KP1 equation». B: Nonlinear Dynamics 111.2 (2023), c. 1625—1642.

[29] VE. Zakharov. «On stochastization of one-dimensional chains of nonlinear oscillators». B: Zh. Eksp. Teor. Fiz 65.1 (1973), c. 7.

[30] VE. Zakharov h A.B. Shabat. «A scheme for integrating the nonlinear equations of mathematical physics by the method of the inverse scattering problem. I». B: Funktsional. Anal. i Prilozhen 8.3 (1974), c. 43—53.

[31] D. Kaup. «A higher-order water-wave equation and the method for solving it». B: Progress of Theoretical physics 54.2 (1975), c. 396—408.

[32] R. Camassa h D. Holm. «An integrable shallow water equation with peaked solitons». B: Physical review letters 71.11 (1993), c. 1661.

[33] A.B. Shabat h VE. Zakharov. «Exact theory of two-dimensional self-focusing and one-dimensional self-modulation of waves in nonlinear media». B: Sov. Phys. JETP 34.1 (1972), c. 62.

[34] VE. Zakharov h S.V Manakov. «On the complete integrability of a nonlinear Schrodinger equation». B: Theoretical and Mathematical Physics 19.3 (1974), c. 551—559.

[35] VE. Zakharov. «Stability of periodic waves of finite amplitude on the surface of a deep fluid». B: Journal of Applied Mechanics and Technical Physics 9.2 (1968), c. 190—194.

[36] D. Peregrine. «Water waves, nonlinear Schrodinger equations and their solutions». B: The ANZIAM Journal 25.1 (1983), c. 16—43.

[37] N.N. Akhmediev, V.M. Eleonskii h N.E. Kulagin. «Generation of periodic trains of picosecond pulses in an optical fiber: exact solutions». B: Sov. Phys. JETP 62.5 (1985), c. 894—899.

[38] E.A. Kuznetsov. «Solitons in a parametrically unstable plasma». B: DoSSR 236 (1977), c. 575—577.

[39] Y. Ma. «The perturbed plane-wave solutions of the cubic Schrodinger equation». B: Studies in Applied Mathematics 60.1 (1979), c. 43—58.

[40] Y.S. Kivshar. «Dark solitons in nonlinear optics». B: IEEE Journal of Quantum Electronics 29.1 (1993), c. 250—264.

[41] K. Dysthe. «Note on a modification to the nonlinear Schrödinger equation for application to deep water waves». B: Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences 369.1736 (1979), c. 105—114.

[42] K. Trulsen h gp. «On weakly nonlinear modulation of waves on deep water». B: Physics of fluids 12.10 (2000), c. 2432—2437.

[43] D. Aossey h gp. «Properties of soliton-soliton collisions». B: Physical Review A 45.4 (1992), c. 2606.

[44] F. Copie, P. Suret h S. Randoux. «Space-time observation of the dynamics of soliton collisions in a recirculating optical fiber loop». B: Optics Communications (2023), c. 129647.

[45] Y. Sun. «Soliton synchronization in the focusing nonlinear Schrödinger equation». B: Physical Review E 93.5 (2016), c. 052222.

[46] A.A. Gelash. «Formation of rogue waves from a locally perturbed condensate». B: Physical Review E 97.2 (2018), c. 022208.

[47] A.A. Gelash h gp. «Bound state soliton gas dynamics underlying the spontaneous modulational instability». B: Physical Review Letters 123.23 (2019), c. 234102.

[48] A. Schwache h F. Mitschke. «Properties of an optical soliton gas». B: Physical Review E 55.6 (1997), c. 7720.

[49] I. Redor h gp. «Experimental evidence of a hydrodynamic soliton gas». B: Physical review letters 122.21 (2019), c. 214502.

[50] C. Kharif h E. Pelinovsky. «Physical mechanisms of the rogue wave phenomenon». B: European Journal ofMechanics-B/Fluids 22.6 (2003), c. 603—634.

[51] C. Kharif, E. Pelinovsky h A.V. Slunyaev. Rogue waves in the ocean. Springer Science & Business Media, (2008).

[52] M. Onorato h gp. «Rogue waves: from nonlinear Schrödinger breather solutions to sea-keeping test». B: PloS one 8.2 (2013), e54629.

[53] K. Dysthe, H. Krogstad h P. Müller. «Oceanic rogue waves». B: Annu. Rev. FluidMech. 40 (2008), c. 287—310.

[54] M. Lighthill. «Contributions to the theory of waves in non-linear dispersive systems». B: IMA Journal of Applied Mathematics 1.3 (1965), c. 269—306.

[55] J. Feir. «Discussion: some results from wave pulse experiments». B: Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences 299.1456 (1967), c. 54—58.

[56] T. Benjamin h J. Feir. «The disintegration of wave trains on deep water Part 1. Theory». B: Journal of Fluid Mechanics 27.3 (1967), c. 417—430.

[57] VE. Zakharov. «The instability of waves in nonlinear dispersive media». B: Sov. Phys. JETP 24.4 (1967), c. 740— 744.

[58] VI. Petviashvili h O.A. Pokhotelov. Solitary Waves in Plasmas and in the Atmosphere. Taylor & Francis, (1992).

[59] L. Stenflo hM. Marklund. «Rogue waves in the atmosphere». B: Journal of Plasma Physics 76.3-4 (2010), c. 293— 295.

[60] D. Solli h gp. «Optical rogue waves». B: Nature 450.7172 (2007), c. 1054—1057.

[61] M. TlidiuM. Taki. «Rogue waves in nonlinear optics». B: Advances in Optics and Photonics 14.1 (2022), c. 87—147.

[62] Y.V Bludov, VV Konotop h N.N. Akhmediev. «Matter rogue waves». B: Physical Review A 80.3 (2009), c. 033610.

[63] A. Seadawy h gp. «Lumps, breathers, interactions and rogue wave solutions for a stochastic gene evolution in double chain deoxyribonucleic acid system». B: Chaos, Solitons & Fractals 161 (2022), c. 112307.

[64] Z. Du h gp. «Vector multi-rogue waves for the three-coupled fourth-order nonlinear Schrödinger equations in an alpha helical protein». B: Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 67 (2019), c. 49—59.

[65] Z. Yan. «Financial rogue waves». B: Communications in Theoretical Physics 54.5 (2010), c. 947.

[66] Z. Yan. «Vector financial rogue waves». B: Physics letters a 375.48 (2011), c. 4274—4279.

[67] D. Jenks, T. Coates h L. Wald. Hyperwave Theory: The Rogue Waves of Financial Markets. Archway Publishing, (2020).

[68] G. Baker, D. Meiron h S. Orszag. «Generalized vortex methods for free-surface flow problems». B: Journal of Fluid Mechanics 123 (1982), c. 477—501.

[69] D. Dommermuth h D. Yue. «A high-order spectral method for the study of nonlinear gravity waves». B: Journal of Fluid Mechanics 184 (1987), c. 267—288.

[70] B. West h gp. «A new numerical method for surface hydrodynamics». B: Journal of Geophysical Research: Oceans 92.C11 (1987), c. 11803—11824.

[71] S. Grilli, J. SkourupuI. Svendsen. «An efficient boundary element methodfor nonlinear water waves». B: Engineering Analysis with Boundary Elements 6.2 (1989), c. 97—107.

[72] J. Dold. «An efficient surface-integral algorithm applied to unsteady gravity waves». B: Journal of Computational Physics 103.1 (1992), c. 90—115.

[73] B. Li h C. Fleming. «A three dimensional multigrid model for fully nonlinear water waves». B: Coastal Engineering 30.3-4 (1997), c. 235—258.

[74] D. Clamond h J. Grue. «A fast method for fully nonlinear water-wave computations». B: Journal of Fluid Mechanics 447 (2001), c. 337—355.

[75] W. Tsai h D. Yue. «Computation of nonlinear free-surface flows». B: Annual review of fluid mechanics 28.1 (1996), c. 249—278.

[76] L. Debnath. Nonlinear water waves. (1994).

[77] A.I. Nekrasov. «On waves of permanent type I». B: Izv. Ivanovo-Voznesensk. Polite. Inst. 3 (1921), c. 52—65.

[78] T. Levi-Civita. «Détermination rigoureuse des ondes permanentes d'ampleur finie». B: Mathematische Annalen 93 (1925), c. 264—314.

[79] J.J. Stoker. «Water Waves-The mathematical theory with applications». B: New York University, Interscience Publishers Inc., New York, USA, Card Nr. 56-8228, Printed in The Netherlands by L. Hoitsma Brothers, Groningen (1957).

[80] F. John. «Two-dimensional potential flows with a free boundary». B: Communications on pure and applied mathematics 6.4 (1953), c. 497—503.

[81] L.V. Ovsyannikov. «Dynamika sploshnoi sredy, lavrentiev institute of hydrodynamics». B: Sib. Branch Acad. Sci. USSR 15 (1973), c. 104.

[82] D. Meiron, S. Orszag h M. Israeli. «Applications of numerical conformal mapping». B: Journal of Computational Physics 40.2 (1981), c. 345—360.

[83] S. Tanveer. «Singularities in water waves and Rayleigh-Taylor instability». B: Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical and Physical Sciences 435.1893 (1991), c. 137—158.

[84] S. Tanveer. «Singularities in the classical Rayleigh-Taylor flow: formation and subsequent motion». B: Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical and Physical Sciences 441.1913 (1993), c. 501—525.

[85] E.A. Kuznetsov, M.D. Spector h V.E. Zakharov. «Surface singularities of ideal fluid». B: Physics Letters A 182.4-6 (1993), c. 387—393.

[86] A.I. Dyachenko h V.E. Zakharov. «Toward an integrable model of deep water». B: Physics Letters A 221.1-2 (1996), c. 80—84.

[87] A.I. Dyachenko h gp. «Analytical description of the free surface dynamics of an ideal fluid (canonical formalism and conformal mapping)». B: Physics Letters A 221.1-2 (1996), c. 73—79.

[88] M. Longuet-Higgins. «Some new relations between Stokes's coefficients in the theory of gravity waves». B: IMA Journal of Applied Mathematics 22.3 (1978), c. 261—273.

[89] D.V Chalikov h D.A. Sheinin. Numerical modeling of surface waves based on principal equations ofpotential wave dynamics. US Department of Commerce, National Oceanic h Atmospheric Administration ..., (1996).

[90] D.V. Chalikov h D.A. Sheinin. Advances in Fluid Mechanics. 1998.

[91] A.I. Dyachenko. «On the dynamics of an ideal fluid with a free surface». B: Doklady Mathematics. T. 63. 1. Pleiades Publishing, Ltd. (2001), c. 115—117.

[92] VE. Zakharov, A.I. Dyachenko h O.A. Vasilyev. «New method for numerical simulation of a nonstationary potential flow of incompressible fluid with a free surface». B: European Journal ofMechanics-B/Fluids 21.3 (2002), c. 283— 291.

[93] A.I. Dyachenko h V.E. Zakharov. «Modulation instability of Stokes wave^- freak wave». B: Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters 81 (2005), c. 255—259.

[94] R.V Shamin. «On the existence of smooth solutions to the Dyachenko equations governing free-surface unsteady ideal fluid flows». B: Doklady Mathematics. T. 73. Citeseer. (2006), c. 112—113.

[95] A.I. Dyachenko, P.M. Lushnikov h V.E. Zakharov. «Non-canonical Hamiltonian structure and Poisson bracket for two-dimensional hydrodynamics with free surface». B: Journal of Fluid Mechanics 869 (2019), c. 526—552.

[96] A.I. Dyachenko h gp. «Dynamics of poles in two-dimensional hydrodynamics with free surface: new constants of motion». B: Journal of Fluid Mechanics 874 (2019), c. 891—925.

[97] A.I. Dyachenko h gp. «Short branch cut approximation in two-dimensional hydrodynamics with free surface». B: Proceedings of the Royal Society A 477.2249 (2021), c. 20200811.

[98] A.O. Korotkevich h gp. «Numerical verification of the weak turbulent model for swell evolution». B: European Journal ofMechanics-B/Fluids 27.4 (2008), c. 361—387.

[99] A.O. Korotkevich. «Simultaneous numerical simulation of direct and inverse cascades in wave turbulence». B: Physical review letters 101.7 (2008), c. 074504.

[100] A.O. Korotkevich. «Inverse Cascade Spectrum of Gravity Waves in the Presence of a Condensate: A Direct Numerical Simulation». B: Physical Review Letters 130.26 (2023), c. 264002.

[101] VE. Zakharov h N.N. Filonenko. «Energy spectrum for stochastic oscillations of the surface of a liquid». B: Doklady Akademii Nauk. T. 170. 6. Russian Academy of Sciences. (1966), c. 1292—1295.

[102] VE. Zakharov h N.N. Filonenko. «Weak turbulence of capillary waves». B: Journal ofapplied mechanics and technical physics 8.5 (1967), c. 37—40.

[103] S.I. Badulin h gp. «Self-similarity of wind-driven seas». B: Nonlinear Processes in Geophysics 12.6 (2005), c. 891— 945.

[104] S.I. Badulin ugp. «Weakly turbulent laws of wind-wave growth». B: Journal of Fluid Mechanics 591 (2007),c. 339— 378.

[105] VE. Zakharov. «Analytic theory of a wind-driven sea». B: Procedia IUTAM 26 (2018), c. 43—58.

[106] VE. Zakharov h gp. «Weak-turbulent theory of wind-driven sea». B: Earth and Space Science 6.4 (2019), c. 540— 556.

[107] Y. Toba. «Local balance in the air-sea boundary processes: III. On the spectrum of wind waves». B: Journal of the Oceanographical Society of Japan 29 (1973), c. 209—220.

[108] P. Hwang h gp. «Airborne measurements of the wavenumber spectra of ocean surface waves. Part I: Spectral slope and dimensionless spectral coefficient». B: Journal of Physical Oceanography 30.11 (2000), c. 2753—2767.

[109] A.I. Dyachenko h V.E. Zakharov. «Compact equation for gravity waves on deep water». B: JETP letters 93.12 (2011), c. 701.

[110] A.I. Dyachenko h V.E. Zakharov. «A dynamic equation for water waves in one horizontal dimension». B: European Journal ofMechanics-B/Fluids 32 (2012), c. 17—21.

[111] A.I. Dyachenko h V.E. Zakharov. «Is free-surface hydrodynamics an integrable system?» B: Physics Letters A 190.2 (1994), c. 144—148.

[112] A.I. Dyachenko. «Equations for deep water counter streaming waves and new integrals of motion». B: Fluids 4.1

(2019), c. 47.

[113] A.I. Dyachenko. «Canonical system of equations for 1D water waves». B: Studies in Applied Mathematics 144.4

(2020), c. 493—503.

[114] A.I. Dyachenko, D.I. Kachulin h VE. Zakharov. «Super compact equation for water waves». B: Journal of Fluid Mechanics 828 (2017), c. 661—679.

[115] A.I. Dyachenko, D.I. Kachulin h V.E. Zakharov. «Freak-waves: compact equation versus fully nonlinear one». B: Extreme ocean waves. Springer, (2016), c. 23—44.

[116] F. Forel. Faune profonde du lac Léman. (1873).

[117] M. Frigo h S. Johnson. «The design and implementation of FFTW3». B: Proceedings of the IEEE 93.2 (2005), c. 216— 231.

[118] E.N. Pelinovsky h gp. «Two-soliton interaction as an elementary act of soliton turbulence in integrable systems». B: Physics Letters A 377.3-4 (2013), c. 272—275.

[119] F. Fedele h D. Dutykh. «Solitary wave interaction in a compact equation for deep-water gravity waves». B: JETP letters 95 (2012), c. 622—625.

[120] F. Fedele h D. Dutykh. «Special solutions to a compact equation for deep-water gravity waves». B: Journal of Fluid Mechanics 712 (2012), c. 646—660.

[121] VI. Petviashvili. «Equation of an extraordinary soliton». B: FizPl 2 (1976), c. 469—472.

[122] T. Lakoba h J. Yang. «A generalized Petviashvili iteration method for scalar and vector Hamiltonian equations with arbitrary form of nonlinearity». B: Journal of Computational Physics 226.2 (2007), c. 1668—1692.

[123] A.I. Dyachenko, D.I. Kachulin h VE. Zakharov. «Collisions of two breathers at the surface of deep water». B: Natural Hazards and Earth System Sciences 13.12 (2013), c. 3205.

[124] A.I. Dyachenko, D.I. Kachulin h V.E. Zakharov. «On the nonintegrability of the free surface hydrodynamics». B: JETP letters 98.1 (2013), c. 43—47.

[125] S.F. Krylov h V V Iankov. «The role of solitons in strong turbulence». B: Zhurnal Eksperimental'noi i Teoreticheskoi Fiziki 79 (1980), c. 82—86.

[126] A.I. Dyachenko ugp. «Soliton turbulence in nonintegrable wave systems». B: Sov. Phys.-JETP 69.6 (1989), c. 1144.

[127] D.I. Kachulin, A.I. Dyachenko h V.E. Zakharov. «Soliton turbulence in approximate and exact models for deep water waves». B: Fluids 5.2 (2020), c. 67.

[128] D.I. Kachulinu A.A. Gelash. «On the phase dependence of the soliton collisions in the Dyachenko-Zakharov envelope equation». B: Nonlinear Processes in Geophysics 25.3 (2018), c. 553—563.

[129] A.I. Dyachenko, D.I. Kachulin h V.E. Zakharov. «Envelope equationforwaterwaves».B: Journal of Ocean Engineering and Marine Energy 3.4 (2017), c. 409—415.

[130] N.N. Akhmediev, A.V. BuryakuM. Karlsson. «Radiationless optical solitons withoscillating tails». B: Optics Communications 110.5-6 (1994), c. 540—544.

131] N.N. Akhmediev и A.V. Buryak. «Interactions of solitons with oscillating tails». В: Optics communications 121.4-6 (1995), с. 109—114.

132] A.V. Buryak и N.N. Akhmediev. «Internal friction between solitons in near-integrable systems». В: Physical Review E 50.4 (1994), с. 3126.

133] A.V. Buryak и N.N. Akhmediev. «Stability criterion for stationary bound states of solitons with radiationless oscillating tails». В: Physical Review E 51.4 (1995), с. 3572.

134] D. Artigas и др. «Asymmetrical splitting of higher-order optical solitons induced by quintic nonlinearity». В: Optics communications 143.4-6 (1997), с. 322—328.

135] J. Besley, P. Miller и N.N. Akhmediev. «Soliton interactions in perturbed nonlinear Schrodinger equations». В: Physical Review E 61.6 (2000), с. 7121.

136] S.VDmitrievиT. Shigenari. «Short-lived two-solitonbound states in weakly perturbed nonlinear Schrodinger equation».

В: Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science 12.2 (2002), с. 324—331.

137] Y.S. Kivshar и B.A. Malomed. «Dynamics of solitons in nearly integrable systems». В: Reviews of Modern Physics

61.4 (1989), с. 763.

138] Ю.С. Кившарь. «Оптические солитоны». В: (2005).

139] D. Ambrose и J. Wilkening. «Computation of time-periodic solutions of the Benjamin-Ono equation». В: Journal of nonlinear science 20.3 (2010), с. 277—308.

140] J. Wilkening и J. Yu. «Overdetermined shooting methods for computing standing water waves with spectral accuracy».

В: Computational Science & Discovery 5.1 (2012), с. 014017.

141] A.I. Dyachenko и VE. Zakharov. «On the formation of freak waves on the surface of deep water». В: JETP letters

88.5 (2008), с. 307.

142] A.V. Slunyaev. «Numerical simulation of "limiting" envelope solitons of gravity waves on deep water». В: Journal of Experimental and Theoretical Physics 109.4 (2009), с. 676—686.

143] A.V. Slunyaev и др. «Simulations and experiments of short intense envelope solitons of surface water waves». В: Physics of Fluids 25.6 (2013), с. 067105.

144] A.V. Slunyaev, M. Klein и G. Clauss. «Laboratory and numerical study of intense envelope solitons of water waves: Generation, reflection from a wall, and collisions». В: Physics of Fluids 29.4 (2017), с. 047103.

145] D.I. Kachulin, A.I. Dyachenko и A.A. Gelash. «Interactions of coherent structures on the surface of deep water». В: Fluids 4.2 (2019), с. 83.

146] J. Yang, B.A. Malomed и D. Kaup. «Embedded solitons in second-harmonic-generating systems». В: Physical review letters 83.10 (1999), с. 1958.

147] J. Yang и др. «Embedded solitons: a new type of solitary wave». В: Mathematics and computers in Simulation 56.6 (2001), с. 585—600.

148] A.V. Buryak. «Stationary soliton bound states existing in resonance with linear waves». В: Physical Review E 52.1 (1995), с. 1156.

149] Y.S. Kivshar и др. «Multiple states of intrinsic localized modes». В: Physical Review B 58.9 (1998), с. 5423.

150] D.E. Pelinovsky и J. Yang. «A normal form for nonlinear resonance of embedded solitons». В: Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences 458.2022 (2002), с. 1469— 1497.

[151] Y. Tan, J. Yang и D. Pelinovsky. «Semi-stability of embedded solitons in the general fifth-order KdV equation». В: Wave Motion 36.3 (2002), с. 241—255.

[152] K.Y. Kolossovski h gp. «Multi-pulse embedded solitons as bound states of quasi-solitons». B: Physica D: Nonlinear Phenomena 171.3 (2002), c. 153—177.

[153] J. Yang. «Stable embedded solitons». B: Physical review letters 91.14 (2003), c. 143903.

[154] J. Boyd. Weakly nonlocal solitary waves and beyond-all-orders asymptotics: generalized solitons and hyperasymptotic perturbation theory. T. 442. Springer Science & Business Media, (2012).

[155] K.R. Khusnutdinova, Y.A. Stepanyants h M. Tranter. «Soliton solutions to the fifth-orderKorteweg-de Vries equation and their applications to surface and internal water waves». B: Physics of Fluids 30.2 (2018).

[156] W. Craig h M. Groves. «Hamiltonian long-wave approximations to the water-wave problem». B: Wave motion 19.4 (1994), c. 367—389.

[157] J. Hunter h J. Scheurle. «Existence of perturbed solitary wave solutions to a model equation for water waves». B: Physica D: Nonlinear Phenomena 32.2 (1988), c. 253—268.

[158] VE. Zakharov h E.A. Kuznetsov. «Solitons and collapses: two evolution scenarios of nonlinear wave systems». B: Physics-Uspekhi 55.6 (2012), c. 535.

[159] M. Remoissenet. Waves called solitons: concepts and experiments. Springer Science & Business Media, (2013).

[160] A. Ankiewicz h N.N. Akhmediev. Dissipative solitons: from optics to biology and medicine. Springer, (2008).

[161] J. Soto-Crespo h gp. «Bifurcations and multiple-period soliton pulsations in a passively mode-locked fiber laser». B: Physical Review E 70.6 (2004), c. 066612.

[162] U. Al Khawaja h H. Stoof. «Formation of matter-wave soliton molecules». B: New Journal of Physics 13.8 (2011), c. 085003.

[163] M. Stratmann, T. Pagel h F. Mitschke. «Experimental observation of temporal soliton molecules». B: Physical review letters 95.14 (2005), c. 143902.

[164] P. GreluuN.N. Akhmediev. «Dissipative solitons for mode-locked lasers». B: Nature photonics 6.2 (2012), c. 84—92.

[165] S.P. Novikov h gp. Theory of solitons: the inverse scattering method. Springer Science & Business Media, (1984).

[166] Y.S. Kivshar h B.A. Malomed. «Dynamics of solitons in nearly integrable systems». B: Reviews of Modern Physics 61.4 (1989), c. 763.

[167] L.D. Faddeev h L.A. Takhtajan. Hamiltonian methods in the theory of solitons. Springer Science & Business Media, Berlin, (2007).

[168] G. Berman h F. Izrailev. «The Fermi-Pasta-Ulam problem: fifty years of progress». B: Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science 15.1 (2005).

[169] VI. Karpman h V.V Solov'ev. «A perturbational approach to the two-soliton systems». B: Physica D: Nonlinear Phenomena 3.3 (1981), c. 487—502.

[170] K.A. Gorshkov h L.A. Ostrovsky. «Interactions of solitons in nonintegrable systems: direct perturbation method and applications». B: Physica D: Nonlinear Phenomena 3.1-2 (1981), c. 428—438.

[171] K.A. Gorshkov ugp. «On the existence of stationary multisolitons». B: Physics Letters A 74.3-4 (1979), c. 177—179.

[172] VS. Gerdjikov h gp. «Asymptotic behavior of N-soliton trains of the nonlinear Schrodinger equation». B: Physical review letters 77.19 (1996), c. 3943.

[173] J. Yang. «Interactions of vector solitons». B: Physical Review E 64.2 (2001), c. 026607.

[174] Y. Zhu h J. Yang. «Universal fractal structures in the weak interaction of solitary waves in generalized nonlinear Schrodinger equations». B: Physical Review E 75.3 (2007), c. 036605.

[175] A.V. Slunyaev h V.I. Shrira. «On the highest non-breaking wave in a group: fully nonlinear water wave breathers versus weakly nonlinear theory». B: Journal of Fluid Mechanics 735 (2013), c. 203—248.

[176] A. Tikan h gp. «Prediction and manipulation of hydrodynamic rogue waves via nonlinear spectral engineering». B: Physical Review Fluids 7.5 (2022), c. 054401.

[177] S. Randoux h gp. «Nonlinear spectral analysis of Peregrine solitons observed in optics and in hydrodynamic experiments». B: Physical Review E 98.2 (2018), c. 022219.

[178] I.S. Chekhovskoy h gp. «Nonlinear Fourier transform for analysis of coherent structures in dissipative systems». B: Physical review letters 122.15 (2019), c. 153901.

[179] S.K. Turitsyn, I.S. Chekhovskoy h M.P. Fedoruk. «Nonlinear Fourier transform for characterization of the coherent structures in optical microresonators». B: Optics Letters 45.11 (2020), c. 3059—3062.

[180] A. Osborne. «Nonlinear ocean wave and the inverse scattering transform». B: Scattering. Elsevier, (2002), c. 637— 666.

[181] A. Osborne. «Nonlinear Fourier methods for ocean waves». B: Procedia IUTAM 26 (2018), c. 112—123.

[182] A. Osborne. «Nonlinear fourier analysis: Rogue waves in numerical modeling and data analysis». B: Journal of Marine Science and Engineering 8.12 (2020), c. 1005.

[183] A.V. Slunyaev. «Nonlinear analysis and simulations of measured freak wave time series». B: European Journal of Mechanics-B/Fluids 25.5 (2006), c. 621—635.

[184] A.V. Slunyaev. «Analysis of the nonlinear spectrum of intense sea wave with the purpose of extreme wave prediction».

B: Radiophysics and Quantum Electronics 61 (2018), c. 1—21.

[185] S.P. Burtsev, R. Camassa h I. Timofeyev. «Numerical algorithms for the direct spectral transform with applications to nonlinear Schrodinger type systems». B: Journal of computational physics 147.1 (1998), c. 166—186.

[186] L.L. Frumin h gp. «Efficient numerical method for solving the direct Zakharov-Shabat scattering problem». B: JOSA B 32.2 (2015), c. 290—296.

[187] A. Vasylchenkova, J.E. Prilepsky h S.K. Turitsyn. «Contour integrals for numerical computation of discrete eigenvalues in the Zakharov-Shabat problem». B: Optics letters 43.15 (2018), c. 3690—3693.

[188] S.B. Medvedev h gp. «Conservative multi-exponential scheme for solving the direct Zakharov-Shabat scattering problem». B: Optics Letters 45.7 (2020), c. 2082—2085.

[189] S. Chimmalgi, P. Prins h S. Wahls. «Fast nonlinear Fourier transform algorithms using higher order exponential integrators». B: IEEE Access 7 (2019), c. 145161—145176.

[190] R.I. Mullyadzhanov h A.A. Gelash. «Direct scattering transform of large wave packets». B: Optics Letters 44.21

(2019), c. 5298—5301.

[191] A.A. Gelash h R.I. Mullyadzhanov. «Anomalous errors of direct scattering transform». B: Physical Review E 101.5

(2020), c. 052206.

[192] J. Yang. Nonlinear waves in integrable and nonintegrable systems. SIAM, (2010).

[193] W. Arnoldi. «The principle of minimized iterations in the solution of the matrix eigenvalue problem». B: Quarterly of applied mathematics 9.1 (1951), c. 17—29.

[194] A. Householder. «Unitary triangularization of a nonsymmetric matrix». B: Journal of the ACM (JACM) 5.4 (1958), c. 339—342.

[195] D. Sorensen. «Implicit application of polynomial filters in ak-step Arnoldi method». B: Siam journal on matrix analysis and applications 13.1 (1992), c. 357—385.

[196] VP. Ruban. «Water waves over a strongly undulating bottom». B: Physical Review E 70.6 (2004), c. 066302.

[197] VP. Ruban. «Quasiplanar steep water waves». B: Physical Review E 71.5 (2005), c. 055303.

[198] VP. Ruban h J. Dreher. «Numerical modeling of quasiplanar giant water waves». B: Physical Review E 72.6 (2005), c. 066303.

[199] VP. Ruban. «Breathing rogue wave observed in numerical experiment». B: Physical review E 74.3 (2006), c. 036305.

[200] VP. Ruban. «Conformal variables in the numerical simulations of long-crested rogue waves». B: The European Physical Journal Special Topics 185.1 (2010), c. 17—33.

[201] K. Hasselmann. «On the non-linear energy transfer in a gravity-wave spectrum Part 1. General theory». B: Journal of Fluid Mechanics 12.4 (1962), c. 481—500.

[202] A.N. Pushkarev h VE. Zakharov. «Turbulence of capillary waves». B: Physical review letters 76.18 (1996), c. 3320.

[203] A.I. Dyachenko, A.O. Korotkevich h V.E. Zakharov. «Weak turbulence of gravity waves». B: Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters 77 (2003), c. 546—550.

[204] A.I. Dyachenko, A.O. Korotkevich h VE. Zakharov. «Weak turbulent Kolmogorov spectrum for surface gravity waves». B: Physical review letters 92.13 (2004), c. 134501.

[205] VE. Zakharov h gp. «Mesoscopic wave turbulence». B: Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters 82 (2005), c. 487—491.

[206] Y.V Lvov, S.V Nazarenko h B. Pokorni. «Discreteness and its effect on water-wave turbulence». B: Physica D: Nonlinear Phenomena 218.1 (2006), c. 24—35.

[207] W. Hui h J. Hamilton. «Exact solutions of a three-dimensional nonlinear Schrodinger equation applied to gravity waves». B: Journal of Fluid Mechanics 93.1 (1979), c. 117—133.

[208] H. Yuen hB. Lake. «Nonlinear dynamics of deep-water gravity waves». B: Advances in applied mechanics 22 (1982), c. 67—229.

[209] S. Grilli, P. Guyenne h F. Dias. «A fully non-linear model for three-dimensional overturning waves over an arbitrary bottom». B: International journal for numerical methods in fluids 35.7 (2001), c. 829—867.

[210] T. Hou h P. Zhang. «Convergence of a boundary integral method for 3-D water waves». B: Discrete and Continuous Dynamical Systems Series B 2.1 (2002), c. 1—34.

[211] L. XuhP. Guyenne. «Numerical simulation ofthree-dimensional nonlinear water waves». B: Journal of Computational Physics 228.22 (2009), c. 8446—8466.

[212] A. Engsig-Karup, H. Bingham h O. Lindberg. «An efficient flexible-order model for 3D nonlinear water waves». B: Journal of computational physics 228.6 (2009), c. 2100—2118.

[213] D.V. Chalikov, A.V. Babanin h E. Sanina. «Numerical modeling of 3D fully nonlinear potential periodic waves». B: Ocean dynamics 64 (2014), c. 1469—1486.

[214] D.V. Chalikov. Numerical modeling of sea waves. Springer, (2016).

[215] M. Onorato, A. Osborne h M. Serio. «On the relation between two numerical methods for the computation of random surface gravity waves». B: European Journal ofMechanics-B/Fluids 26.1 (2007), c. 43—48.

[216] G. Ducrozetugp. «HOS-ocean: Open-source solver for nonlinear waves in open ocean based on High-Order Spectral method». B: Computer Physics Communications 203 (2016), c. 245—254.

[217] J. Touboul h C. Kharif. «Two-dimensional direct numerical simulations of the dynamics of rogue waves under wind action». B: Advances in numerical simulation of nonlinear water waves. World Scientific, (2010), c. 43—74.

[218] A.V. Slunyaev ugp. «Super-rogue waves in simulations based on weakly nonlinear and fully nonlinear hydrodynamic equations». B: Physical Review E 88.1 (2013), c. 012909.

[219] A.V. Sergeeva h A.V Slunyaev. «Rogue waves, rogue events and extreme wave kinematics in spatio-temporal fields of simulated sea states». B: Natural Hazards and Earth System Sciences 13.7 (2013), c. 1759—1771.

[220] K. Trulsen h gp. «Crossing sea state and rogue wave probability during the P restige accident». B: Journal of Geophysical Research: Oceans 120.10 (2015), c. 7113—7136.

[221] A. Alberello h gp. «Three dimensional velocity field underneath a breaking rogue wave». B: International Conference

on Offshore Mechanics and Arctic Engineering. T. 57656. American Society of Mechanical Engineers. (2017), V03AT02A009.

[222] O. Gramstad h gp. «Modulational instability and rogue waves in crossing sea states». B: Journal of Physical Oceanography 48.6(2018), c. 1317—1331.

[223] A.V. Kokorina h A.V. Slunyaev. «Lifetimes of rogue wave events in direct numerical simulations of deep-water irregular sea waves». B: Fluids 4.2 (2019), c. 70.

[224] A.V. Slunyaev h A.V Kokorina. «Account of occasional wave breaking in numerical simulations of irregular water waves in the focus of the rogue wave problem». B: Water Waves 2.2 (2020), c. 243—262.

[225] VV Geogjaev h V.E. Zakharov. «Numerical and analytical calculations of the parameters of power-law spectra for deep water gravity waves». B: JETP Letters 106.3 (2017), c. 184—187.

[226] O. Phillips. «Theoretical and experimental studies of gravity wave interactions». B: Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences 299.1456 (1967), c. 104—119.

[227] B. Wilson. «Seiches». B: Advances in hydroscience. T. 8. Elsevier, (1972), c. 1—94.

[228] G. Goudsmitugp. «Application of k-D turbulence models to enclosed basins: The role of internal seiches». B: Journal of Geophysical Research: Oceans 107.C12 (2002), c. 23—1.

[229] A.B. Rabinovich. «Seiches and harbor oscillations». B: Handbook of coastal and ocean engineering. World Scientific, (2010), c. 193—236.

[230] G. Cuomo h R. Guza. «Infragravity seiches in a small harbor». B: Journal of Waterway, Port, Coastal, and Ocean Engineering 143.5 (2017), c. 04017032.

[231] A.O. Korotkevich, A.I. Dyachenko hVE. Zakharov. «Numerical simulation of surface waves instability on a homogeneous grid». B: PhysicaD: Nonlinear Phenomena 321 (2016), c. 51—66.

[232] VE. Zakharov. Nonlinear waves and weak turbulence. T. 182. American Mathematical Soc., (1998).

[233] VE. Zakharov, V.S. L'vov h G.E. Falkovich. Kolmogorov spectra of turbulence I: Wave turbulence. Springer Science & Business Media, (2012).