Киральный недиссипативный транспорт в квантовых теориях поля и в системах с индуцированной релятивистской инвариантностью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Абрамчук Руслан Алексеевич

• Абрамчук Руслан Алексеевич
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Абрамчук Руслан Алексеевич

Оглавление

Стр.

Глава 1. Введение

1.1 Киральные эффекты

1.2 Киральные системы и эксперимент

1.3 Инфракрасные свойства киральных эффектов......................И

1.4 Топология импульсного пространства

1.5 Содержание диссертации

1.6 Результаты, выносимые на защиту диссертации

Глава 2. Проводимость топологических полуметаллов в

однородном магнитном поле

2.1 Релятивисткие фермионы в Дираковских и Вейлевских полуметаллах

2.2 Уровни Ландау и решения уравнения Дирака

2.3 Квазиклассическое рассмотрение процесса Швингеровского рождения пар в магнитном поле

2.4 Точное рассмотрение процесса Швингеровского рождения пар в магнитном поле

2.5 Частота рождения пар и вероятность распада вакуума

2.6 Оценка вклада Швингеровского рождения в проводимость

2.7 Вклад в проводимость в модели холодной разрежённой электронно-дырочной плазмы

Глава 3. Киральный разделительный эффект для высших

спинов

3.1 Киральный разделительный эффект в топологических полуметаллах

3.1.1 Квазиклассическое рассмотрение

3.1.2 Точное рассмотрение

3.2 Киральный разделительный эффект в модели Рариты-Швингера-Адлера

3.2.1 Киральный разделительный эффект в приближении линейного отклика

3.2.2 Структура эффекта в модели Рариты-Швингера-Адлера

Стр.

Глава 4. Анатомия кирального вихревого эффекта

4.1 Вращение как добавка к действию

4.2 Решения уравнения Дирака в цилиндрических координатах

4.3 Спектр системы с граничными условиями типа MIT-bag

4.4 Вычисление аксиального тока в системе с цилиндрической границей

4.5 Вращение как эффективное калибровочное поле

4.6 Численные результаты

Глава 5. Заключение

5.1 Основные результаты

5.2 Открытые проблемы

Список терминов, обозначений и соглашений

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Киральный недиссипативный транспорт в квантовых теориях поля и в системах с индуцированной релятивистской инвариантностью»

Глава 1. Введение

В прошедшем десятилетии в мировой научной литературе по теоретической физике активно обсуждался так называемый киральный транспорт, эта тема даже стала входить в курсы теоретический физики в высших учебных заведениях.

Киральные эффекты оказались привлекательными с точки зрения теоретической физики как потенциально точно вычисляемые транспортные эффекты. Что даже более существенно, киральные эффекты существуют в термодинамическом равновесии, а значит их токи должны быть недиссипативными. Хотя отсутствие поправок к стандартным выражениям для кирального транспорта непосредственно не доказано, распространённым аргумент в пользу их отсутствия — кажущаяся очевидной связь киральных эффектов с киральной (аксиальной) аномалией. Выражение для киральной аномалии является исключительно редким примером точного результата в квантовой теории поля. К тому же, простота теории киральных эффектов обусловлена выбором специальных, иногда гипотетических, наблюдаемых, которые фигурируют в итоговых выражениях.

Активные теоретические исследования киральных эффектов развернулись в связи с развитием экспериментальной физики. Сразу в двух областях физики появились кандидаты в киральные системы — системы, в которых существуют безмассовые фермионы: в физике твёрдого тела были открыты топологические полуметаллы (Вейлевские и Дираковские, а потом и с высшими квази-спинами — Рариты-Швингера-Вейля), а в физике высоких энергий — кварк-глюонная плазма, вероятно возникающая при столкновениях тяжёлых ионов.

Открываемые в большом количестве топологические полуметаллы являются наиболее многообещающим классом систем для наблюдения киральных эффектов. Эффективные фермионные степени свободы в этих материалах при низких энергиях описываются уравнениями, подобными уравнениям квантовой теории поля. Таким образом, теоретические методы и модели из физики высоких энергий непосредственно переносятся в физику твёрдого тела. Возможность проверки моделей физики высоких энергий в сравнительно компактных экспериментах в физике твёрдого тела представляет интерес с точки зрения

фундаментальной физики. Изучение киральных эффектов в топологических полуметаллах (и других квантовых материалах) может способствовать построению новой элементной базы физической электроники. В частности, возможно, что киральный магнитный эффект уже наблюдался в топологических полуметаллах. Аксиальный ток может оказаться релевантной наблюдаемой в области спинтроники.

Таким образом киральные эффекты представляют большой интерес как новый класс эффектов, наблюдаемых в 'настольных' экспериментах в физике твёрдого тела и имеющих прикладной потенциал. С другой стороны — как связь между различными областями физики. Такая связь даёт возможность глубже разобраться в фундаментальных вопросах квантовой теории поля, которые раньше были исключительно умозрительными.

Для построения более реалистичных моделей может быть полезно подвергнуть эффекты кирального транспорта более тщательному теоретическому анализу: предложить альтернативные модели явлений переноса, исследовать их диссипативные свойства; исследовать зависимость от инфракрасных свойств в конкретных моделях; исследовать максимально широкий спектр киральных систем. Данная работа посвящена анализу киральных эффектов на микроскопическом уровне в конкретных моделях систем невзаимодействующих фермионов.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Абрамчук Руслан Алексеевич

Глава 5. Заключение 5.1 Основные результаты

В данной диссертации обсуждались три основных вида кирального транспорта — киральный магнитный, разделительный и вихревой эффекты, — в моделях квантовых материалов и квантовых теориях поля. Предпочтение отдавалось рассмотрению конкретных моделей и поиску отклонений от стандартных выражений, нежели рассмотрению абстрактных теорий и получению максимально общих результатов.

При изучении моделей квантовых материалов квантовая теория поля воспринималась как эффективная модель многочастичной квантовой механики. Поэтому, например, вопрос об устойчивости системы безмассовых заряженных фермионов не ставился, так как стабильность Ферми сферы в топологическом полуметалле — экспериментальный факт. Отдельно рассмотренная в разделе 3.2 квантовая теория поля — теория Рариты-Швингера-Адлера, — оказалась нетривиальной проверкой сформулированных утверждений (3.67) о топологической природе кирального разделительного эффекта. С другой стороны, эти утверждения помогли попять структуру пертурбативного ответа в этой сложной теории и утверждать, что полученный в результате пертурбативных вычислений в режиме сильной связи т ^ то, которые из-за этого могут показаться, к тому же, калибровочно-неинвариантными (в таком режиме, помимо значительного упрощения формул, духовые степени свободы теории подавле-

т

соотношение, выражающее топологический инвариант Аз киральной системы через спиральности безмассовых степеней свободы не удалось строго доказать или найти доказательство в литературе, но оно выполняется для всех рассмотренных киральных систем.

Эти утверждения возникли как обобщение (3.40) стандартного выражения (1.3) для кирального разделительного эффекта в ходе изучения модели идеального кристалла Р2Са — топологического полуметалла типа Рариты-Швин-гера-Вейля [31], в котором существуют эффективные фермионы с высшими (квази)спинами 5 = 1, |. Начав с вычисления кирального разделительного эф-

фекта для модели изолированной Ферми-точки, в которой касаются четыре ветви спектра, удалось сформулировать утверждение для класса моделей со всевозможными типами Ферми-точек. Также удалось сформулировать теорему об индексе (3.39) для операторов Дирака в открытом пространстве [93], связывающую число Черна гамильтониана, описывающего Ферми-точку, и "спектральную асимметрию" возмущённого гамильтониана.

Хотя показано, что киральный разделительный эффект "топологически защищен", то есть зависит только от значения топологического инварианта в импульсном пространстве, которое может совпадать для моделей с разными формами спектра при низких энергиях. "Топологическая защита", по видимому, обеспечивает независимость эффекта от температуры. В данном полуметалле эффект может нарушаться даже для небольших отрицательных значений химического потенциала из-за "малой глубины моря Дирака" в окрестности Ферми-точек. То есть понятие топологической защищённости требует дальнейшей разработки. В системах с щелью (например, массивные Дираковские фермионы) эффект также существует, но топологически не защигцён — появляется зависимость от температуры и конкретного вида спектра при низких энергиях (4.43).

Электрический ток от одной киральной Ферми точки при ненулевом химическом потенциале в однородном магнитном поле переносится квазичастицами под поверхностью Дирака, соответственно они не рассеиваются. В силу теоремы Нильсена-Ниномии (3.6) векторный ток от всех Ферми точек обращается в ноль, а аксиальный — удваивается. Таким образом, киральный разделительный эффект — недиссипативный транспортный эффект. Однако, диссипатив-ные процессы могут иметь место при включении магнитного поля. Открытым остаётся вопрос об экспериментальном наблюдении кирального разделительного эффекта.

Изучение теории (стационарного) кирального магнитного эффекта в Ди-раковских полуметаллах [22] вызвало вопрос о природе кирального химического потенциала. Одним из ключевых предположений этой теории является предположение о возникновении "киральной среды" — о термализации и дальнейшем существовании в термодинамическом равновесии двух видов киральных квазичастиц по отдельности (предполагается возникновение устойчивых поверхностей Ферми для частиц каждой киральности по отдельности во внешнем электрическом поле), созданных внешними однородными электрическим и магнитным полем за счёт киральной аномалии. В такой системе электрический ток

также переносится квазичастицами, находящимися под поверхностью Ферми, так что ток кирального магнитного эффекта должен быть недиссипативным.

В главе 2 рассмотрен альтернативный механизм возникновения добавочного электрического тока в Дираковском полуметалле при нулевом химическом потенциале во внешних однородных электрическом и магнитном полях. Вместо использования предположений о возникновении двух независимых Ферми-поверхностей, механизм основан на классическом в КТП эффекте Швингеров-ского рождения пар во внешних полях, и анализе дальнейшего движении рождённых пар квазичастиц вне термодинамического равновесия, хотя процесс для всей системы можно считать стационарным.

Эффективное квантово-полевое описание Швингеровского процесса сводилось к задаче рассеяния на потенциальном барьере (в пренебрежении взаимодействием между квазичастицами), то есть к задаче квантовой механики, коэффициент прохождения в которой пропорционален частоте рождения пар. Ранее эта проблема рассматривалась только для массивных Дираковских фермионов. Здесь были рассмотрены безмассовые частицы и показана корректность постановки задачи для безмассовых частиц.

Использование КТП как эффективного описание многочастичной квантовой механики привело на определённой стадии вычисления частоты рождения пар к частному случаю парадокса Клейна (2.57). В других работах аналогичные сложности разрешались либо манипуляциями с терминологией [79; 84], либо построением КТП с нестабильным во внешних полях вакуумом [81; 85] посредством специфического выбора ш- и ои^состояний и постулирования коммутационных соотношений так, чтобы подобные сложности не возникали вовсе. Вместо этого, парадокс разрешён путём рассмотрения наблюдаемых в конкретной постановке задачи, в данном случае — электрических токов (2.60). Суть парадокса оказывается в том, что переносимый плоской волной поток материи необязательно сонаправлен с волновым вектором.

Оценка вклада в проводимость основывалась на законе сохранения энергии — работа внешнего поля над добавочным током приравнена энергии, необходимой на создание создающих добавочный ток пар в единицу времени.

Оценка поправки к проводимости, обусловленной одной Дираковской точкой, при достаточно низких (но не нулевой) температурах и нулевом химическом потенциале представлена уравнением (2.74). Предложенный механизм нельзя назвать "киральным транспортом". Также не имеет смысла говорить о

'недессипативности' такого механизма проводимости. Увеличение проводимости обусловлено дополнительным механизмом возникновения переносчиков заряда, которые затем двигаются и рассеиваются как все остальные несверхпроводящие квазичастицы над поверхностью Ферми.

В силу специфической зависимости вклада (2.74) от внешних полей, этот вклад в принципе может быть выделен на фоне остальных механизмов проводимости. Таким образом, появляется возможность пронаблюдать Швингеровское рождение в трёхмерной системе в лабораторном эксперименте.

В главе 4 была рассмотрена наиболее простая аксиально-симметричная вращающаяся система релятивистких фермионов с граничными условиями MIT-bag [59], так что ИК-свойства системы определены явным образом. Основное свойство спектра при низких энергиях — наличие щели даже при нулевой Дираковской массе. Причём, ограничение на соотношение радиуса цилиндра и угловой скорости вращения приводят к достаточно широкой щели, чтобы ваку-умы покоящейся и вращающейся систем (4.27) соответствовали друг другу.

Ещё одной особенностью спектра системы с границей — возможность существования локализованных на границе возбуждений. Такие возбуждения возникают при больших значениях Дираковской массы, а сами обладают малой эффективной массой. Поэтому при большой Дираковской массе киралный вихревой эффект 'выдавливается' на границу, как показано на рис. 4.6.

Оказалось, что плотность аксиального тока всюду, кроме непосредственно оси вращения, отличается (Рис. 4.4, 4.5) от предсказываемой стандартным выражением (1.6). Неоднородность аксиального тока обусловлена принципиальной неоднородностью вращающейся системы, а не граничными эффектами от конкретных граничных условий.

Такой результат, по видимому, может соответствовать общим требованиям (4.49) (однако, фиксирована только часть эффекта, зависящая от химического потенциала), вытекающим из рассмотрения термодинамики киральной жидкости [106]. Эти требования каким-то образом оказываются заменой топологических аргументов, фиксирующих коэффициент в выражении для кирального разделительного эффекта. Интерес в этом смысле представляет явное рассмотрение задачи о киральном вихревом эффекте на вихре (или на протяжённом дефекте в кристалле квантового материала). В таком случае можно ожидать обусловленности эффекта соответствующими нулевыми модами, существование которых может быть топологически защигцённым.

При достаточно низкой температуре длина свободного пробега достигает поперечного размера системы, в результате чего зависимость теряет сколько-нибудь универсальный характер — начинает проявляться ((4.35), рис. 4.10) спектр поперечного движения (4.19).

В разделе 4.5 рассматривалось подобие макроскопического движения среды невзаимодействующих фермионов внешнему калибровочному полю в случае медленного вращения большой системы. Такое эффективное описание справедливо при достаточно большой температуре, чтобы длина свободного пробега частиц была микроскопической, но при относительно малой плотности числа температурных частиц Т ^ |ц| — М. В таком приближении киральный вихревой эффект оказывается формально аналогичным киральному разделительному эффекту, соответственно аксиальный ток однороден и не зависит от температуры, что противоречит выводам раздела 4.4 (см. также 4.6). о, что описание макроскопического движения посредством эффективного калибровочного поля не позволяет описать зависимость кирального вихревого эффекта от температуры (в таком подходе при нулевом химическом потенциале аксиальный ток формально равен нулю), показывает, что для получения надёжного эффективного описание следует строить непосредственно из разложения уравнений движения в искривлённом пространстве по параметрам малости (но и это может не уберечь от фактической недоопределённости ПК-сектора эффективной модели).

Эффективное описание в разделе 4.5 формально приводит к выводу о "топологической защищённости" коэффициента перед вкладом ~ ц2 в (1.6), а значит о независимости этого коэффициента от широкого класса взаимодействий (как минимум таких, включение которых не изменяет количество нулей и полюсов пропагатора фермиона в евклидовом пространстве). Но обязательное возникновение щели в спектре ограниченной системы исключает наличие нулевых мод. Топология импульсного пространства принципиально меняется, так что формально индекс обращается в ноль — определение топологического индекса требует обобщения. Кроме того, коэффициент перед вкладом ~ Т2 в (1.6) в любом случае изменяется при наличии калибровочного взаимодействия [3; 4].

Аксиальный ток кирального вихревого эффекта оказывается недиссипа-тивным. Но, опять же, не имеет известных экспериментально наблюдаемых проявлений.

Ожидалось, что киральиый вихревой эффект будет проявляться в экспериментах по столкновению тяжёлых ионов. Так как возникающие при нецентральных столкновениях вращающиеся сгустки кварк-глюонной плазмы имеют конечный размер, представленные в данной работе поправки к стандартному выражению (3.1) могут быть полезны при поиске эффекта в экспериментальных данных.

Подобный вихревому, киральный торсионный эффект [101], вызываемый полем кручения, может существовать в топологических полупроводниках — деформация кручения в кристалле вполне естественна. Кручение тоже имеет ось, так что производимый аксиальный ток может быть неоднородным. Таким образом, представленные здесь результаты для кирального вихревого эффекта могут быть перенесены в физику твёрдого тела.

5.2 Открытые проблемы

Несмотря на большое количество теоретических исследований киральных эффектов, остаются открытыми общие вопросы, среди которых хотелось бы выделить следующие

1. Неясна связь киральных эффектов с киральной аномалией. Совпадение коэффициентов в результате стандартных аналитических вычислений может носить случайный характер и быть обусловлено скорее линейностью спектра при низких энергиях в ходе вычисления киральных эффектов и релятивисткой инвариантностью (то есть линейностью спектра при высоких энергиях) в ходе вычисления киральной аномалии в квантовой теории поля. Одним из способов прояснить эту связь на уровне пертурбативных методов квантовой теории поля является проверка предложенного в [88; 95; 96] соотношения между поляризационным оператором, определяющим киральные проводимости по формуле Кубо, и "треугольной диаграммой", определяющей единственный неисчезакжций вклад в аномалию. Такая проверка осложнена громоздкостью вычислений.

2. Существуют противоречивые предсказания о наличии поправок к ки-ральным эффектам в результате взаимодействия. В работе [5] предска-

зывается наличие поправок к киральному разделительному эффекту в КЭД на основании явных аналитических вычисления (хотя определённый ответ не был получен). В тоже время на основании численного моделирования КХД на решётках [68] утверждается о защищённости эффекта даже от непертурбативных поправок (в том числе в режиме конфайнмента).

3. Принципиально интересна устойчивость киральных эффектов при перестройке вакуума модели.

4. Интерес представляют пояснения с математической точки зрения, по приложению теоремы об индексе к операторам Дирака, которые встречались в данной работе (представляется существенным, что рассматривались операторы на открытых пространствах). Например, существование нулевых мод, не дающих вклада в индекс оказалось неожиданным ввиду стандартной формулировки теоремы об индексе. Непонятно также как применить теорему об индексе к оператору Дирака с граничными условиями MIT-bag на цилиндрической границе: определён ли индекс в данном случае? Если да, то означает ли отсутствие нулевых мод, что индекс равен нулю? Особенный интерес представляет влияние взаимодействия в квантовой теории поля на индексы

В ходе подготовки текста диссертации стало ясно, что следующие задачи, которые могут быть исследованы использованными в данной работ методами, могут иметь не только академическое, но и прикладное значение в физике твёрдого тела

1. Более исчерпывающее рассмотрение вклада процесса Швингеровского рождения в тензор проводимости реальных топологических полуметаллов с учётом анизотропии и при произвольной ориентации полей с применением современных методов кинетики и электродинамики сплошных сред.

2. Изучение свойств контактов квантовых материалов с другими материалами. Так, рассмотренные граничные условия типа MIT-bag могут моделировать контакт квантового материала с диэлектриком.

3. Так как однородный постоянный ток в бесконечном объёме не имеет физического смысла, для установления экспериментально наблюдаемых явлений, связанных с аксиальным током, может быть полезно

а) продолжить изучение кирального разделительного эффекта в системах с дефектами и границами [103] (в том числе контакты с другими материалами), в особенности с поперечными магнитному полю;

б) изучить процессы, протекающие в топологическом полуметалле при изменении внешнего магнитного поля, в том числе процессы диссипации и процессы, связанные с изменением намагниченности;

в) строить и изучать модели "киральных волн" всевозможной природы в квантовых материалах [107].

Благодарности

В первую очередь я благодарю моего научного руководителя М.А.Зубкова за помощь, поддержку и внимание к моей работе. Благодарю моего соавтора З.В.Хайдукова, в том числе за регулярные обсуждения широкого круга научных вопросов.

Благодарю сотрудников кафедры теоретической астрофизики и квантовой теории поля МФТИ (на базе ИТЭФ) за высокий уровень научной и преподавательской работы. Особенно благодарю А.С.Горского за ценные замечания по содержанию диссертации, организационную помощь и за неизменную доброжелательность на протяжении многих лет.

Отдельно благодарю своих родителей, которые всегда поощряли моё стремление к образованию и освоению нового.

Список терминов, обозначений и соглашений

В данной работе в основном используется "естественная" система единиц, в которой приведённая постоянная планка, скорость света в вакууме и постоянная Больцмана равны единице, а заряд электрона — безразмерен и определён через постоянную тонкой структуры

е2

П = с = кв = 1, а = — « 1/137.

4п

Кроме того, заряд электрона во многих формулах 'поглощён' перенормировкой электромагнитного поля.

Для перехода к единицам СИ и проведения численных оценок обычно достаточно применения соотношений

е2

Пс « 197МеУ-Рт, 1 еУ « 11600 К, а =—— « 1/137,

4пПс '

и, возможно, табличных значений различных физических постоянных. Типичная по порядку величины скорость Ферми в топологическом полуметалле Vf ~ с/300.

При использовании явного вида гамма-матриц, используется базис Вей-ля (в киральный базис) уц, у5 ({у5,уц} = 0). В пространстве Минковского ц^, Лц^ = (+, , , )5 (греческие индексы пробегают значения 0,1,2,3 латинские — 1,2,3)

где — стандартные матрицы Паули

01=(10) • *=(0-=(; -) •

В Евклидовом пространстве {уц,уу} = 28цу (греческие индексы пробегают значения 1,2,3,4)

у = 1), у = ( 0 ), у5 = (-1 0),

0] 0 ) у 0 \)

— КТП — Квантовая теория поля; _ лк — Инфракрасный;

— КЭД — квантовая электродинамика;

— КХД — квантовая хромодинамика;

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Абрамчук Руслан Алексеевич, 2022 год

Список литературы

1. Vilenkin, A. Quantum field theory at finite temperature in a rotating system [текст] / A. Vilenkin // Phys. Rev. D. — 1980. — т. 21, вып. 8. — с. 2260-2269.

2. Vilenkin, A. Equilibrium parity-violating current in a magnetic field [текст] / A. Vilenkin // Phys. Rev. D. - 1980. - т. 22, вып. 12. - с. 3080-3084.

3. Golkar, S. (Non)-renormalization of the chiral vortical effect coefficient [текст] / S. Golkar, D. T. Son // Journal of High Energy Physics. — 2015. — т. 2015, № 2. - c. 1-12.

4. Ноц D.-f. Possible higher order correction to the chiral vortical conductivity in a gauge field plasma [текст] / D.-f. Hou, H. Liu, H.-c. Ren // Phys. Rev. D _ 2012. - т. 86, вып. 12. - с. 121703.

5. Radiative corrections to chiral separation effect in QED [текст] / E. V. Gorbar |n др.] // Phys. Rev. D. — 2013. — т. 88, вып. 2. — с. 025025.

6. Fukushima, К. The phase diagram of dense QCD [текст] / К. Fukushima, Т. Hatsuda // Reports on Progress in Physics. — 2010. — т. 74, № 1. — с. 014001.

7. Smilga, A. Physics of thermal QCD [текст] / A. Smilga // Physics Reports. — 1997. - т. 291, № 1. - c. 1—106.

8. RAJ AG OPAL, K. THE CONDENSED MATTER PHYSICS OF QCD [текст] / К. RAJAGOPAL, F. WILCZEK // At The Frontier of Particle Physics. — c. 2061—2151. — eprint: https://www.worldscientific.com/doi/ pdf/10.1142/9789812810458_0043.

9. Rischke, D. H. The quark-gluon plasma in equilibrium [текст] / D. H. Rischke // Progress in Particle and Nuclear Physics. — 2004. — т. 52, № 1. - c. 197-296.

10. Color superconductivity in dense quark matter [текст] / M. G. Alford |n др.] // Rev. Mod. Phys. — 2008. — т. 80, вып. 4. — с. 1455—1515.

11. Hay сто, R. S. Hadron properties in the nuclear medium [текст] / R. S. Hayano, T. Hatsuda // Rev. Mod. Pliys. — 2010. — т. 82, вып. 4. — с. 2949^2990.

12. Andersen,, J. О. Phase diagram of QCD in a magnetic field [текст] / J. O. Andersen, W. R. Naylor, A. Tranberg // Reviews of Modern Physics. — 2016. - т. 88, № 2. - c. 025001.

13. Fukushima, K. The phase diagram of nuclear and quark matter at high baryon density [текст] / К. Fukushima, С. Sasaki // Progress in Particle and Nuclear Physics. - 2013. - т. 72. - c. 99 154.

14. Miransky, V. A. Quantum field theory in a magnetic field: From quantum chromodynamics to graphene and Dirac semimetals [текст] / V. A. Miransky, I. A. Shovkovy // Physics Reports. — 2015. — т. 576. — с. 1 209. — Quantum field theory in a magnetic field: From quantum chromodynamics to graphene and Dirac semimetals.

15. Csernai, L. P. Flow vorticity in peripheral high-energy heavy-ion collisions [текст] / L. P. Csernai, V. K. Magas, D. J. Wang // Phys. Rev. C. — 2013. — т. 87, вып. 3. — с. 034906.

16. Experimental discovery of Weyl semimetal TaAs [текст] / В. Lv [и др.] // Physical Review X. - 2015. - т. 5, № 3. - с. 031013.

17. Observation of the chiral-anomaly-induced negative magnetoresistance in 3D Weyl semimetal TaAs [текст] / X. Huang [и др.] // Physical Review X. — 2015. - т. 5, № 3. - c. 031023.

18. Observation of Weyl nodes in TaAs [текст] / В. Lv [и др.] // Nature Physics. - 2015. - т. И, № 9. - с. 724^727.

19. Discovery of a Three-Dimensional Topological Dirac Semimetal, \"a sub 3 sub Bi [текст] / Z. K. Liu [и др.] // Science. — 2014. — т. 343, № 6173. - с. 864 867.

20. Observation of a three-dimensional topological Dirac semimetal phase in high-mobility Cd3As2. [текст] / M. Neupane [и др.] // Nature communications. — 2014. — т. 5. — c. 3786.

21. Experimental realization of a three-dimensional Dirac semimetal. [текст] / S. V. Borisenko [и др.] // Physical review letters. — 2014. — т. 113 2. — с. 027603.

22. Chiral magnetic effect in ZrTe5 [текст] / Q. Li [и др.] // Nature Physics. — 2016. - т. 12, № 6. - c. 550-554.

23. Optical spectroscopy study of the three-dimensional Dirac semimetal ZrTe 5 [текст] / R. Chen [и др.] // Physical Review B. — 2015. — т. 92, № 7. — с. 075107.

24. Kumar, D. Observation of n Berry phase in quantum oscillations of three-dimensional Fermi surface in topological insulator Bi2Se3 [текст] / D. Kumar,

A. Lakhani // physica status solidi (RRL)-Rapid Research Letters. — 2015. — т. 9, № 11. - c. 636-640.

25. Volovik, G. E. The universe in a helium droplet [текст], т. 117 / G. E. Volovik. - OUP Oxford, 2003.

26. Chernoduh, M. N. Chiral anomaly in Dirac semimetals due to dislocations [текст] / M. N. Chernodub, M. A. Zubkov // Phys. Rev. B. - 2017. - т. 95, вып. 11. — с. 115410.

27. Observation of Chiral Fermions with a Large Topological Charge and Associated Fermi-Arc Surface States in CoSi [текст] / D. Takane [и др.] // Phys. Rev. Lett. - 2019. - т. 122, вып. 7. - с. 076402.

28. Observation of unconventional chiral fermions with long Fermi arcs in CoSi [текст] / Z. Rao [и др.] // Nature. - 2019. - т. 567, № 7749. - с. 496-499.

29. Topological chiral crystals with helicoid-arc quantum states [текст] / D. S. Sanchez [и др.] // Nature. - 2019. - т. 567, № 7749. - с. 500-505.

30. Chiral topological semimetal with multifold band crossings and long Fermi arcs [текст] / N. Schröter [и др.] // Nature Physics. — 2019. — т. 15, № 8. — с. 759-765.

31. Observation and control of maximal Chern numbers in a chiral topological semimetal [текст] / N. В. M. Schröter [и др.] // Science. — 2020. — т. 369, до 6500. - с. 179-183.

32. Observation of multiple types of topological fermions in PdBiSe [текст] /

B. Q. Lv [и др.] // Phys. Rev. B. - 2019. - т. 99, вып. 24. - с. 241104.

33. Room-temperature chiral charge pumping in Dirac semimetals [текст] /

C. Zhang [и др.] // Nature communications. — 2017. — т. 8, № 1. — с. 1—9.

34. Ultrahigh mobility and giant magnetoresistance in the Dirac semimetal Cd3As2 [текст] / T. Liang [и др.] // Nature materials. — 2015. — т. 14, № 3. - с. 280-284.

35. Quantum transport evidence for the three-dimensional Dirac semimetal phase in Cd 3 As 2 [текст] / L. He [и др.] // Physical review letters. — 2014. — т. 113, № 24. - c. 246402.

36. Nielsen, H. The Adler-Bell-Jackiw anomaly and Weyl fermions in a crystal [текст] / H. Nielsen, M. Ninomiya // Physics Letters B. — 1983. — т. 130, № 6. - с. 389-396.

37. Probing the Chiral Anomaly with Nonlocal Transport in Three-Dimensional Topological Semimetals [текст] / S. A. Parameswaran [и др.] // Phys. Rev. X. _ 2014. - т. 4, вып. 3. - с. 031035.

38. Negative magnetoresistance in Dirac semimetal Cd3As2 [текст] / H. Li [и др.] // Nature Communications. — 2016. — т. 7, № 1. — с. 10301.

39. Sundaram, G. Wave-packet dynamics in slowly perturbed crystals: Gradient corrections and Berry-phase effects [текст] / G. Sundaram, Q. Niu // Phys. Rev. B. - 1999. - т. 59, вып. 23. - с. 14915-14925.

40. Nissinen, J. Emergent Spacetime and Gravitational Nieh-Yan Anomaly in Chiral p + ip Weyl Superfluids and Superconductors [текст] / J. Nissinen // Phys. Rev. Lett. - 2020. - т. 124, вып. И. - с. 117002.

41. Liang, L. Topological magnetotorsional effect in Weyl semimetals [текст] / L. Liang, T. Ojanen // Phys. Rev. Research. — 2020. — т. 2, вып. 2. — с. 022016.

42. Huang, Z.-M. Nieh-Yan anomaly: Torsional Landau levels, central charge, and anomalous thermal Hall effect [текст] / Z.-M. Huang, B. Han, M. Stone // Phys. Rev. B. - 2020. - т. 101, вып. 12. - с. 125201.

43. Imaki, S. Chiral torsional effect with finite temperature, density, and curvature [текст] / S. Imaki, Z. Qiu // Phys. Rev. D. — 2020. — т. 102, вып. 1. — с. 016001.

44. Condensed matter realization of the axial magnetic effect [текст] / M. N. Chernodub [и др.] // Phys. Rev. В. — 2014. — т. 89, вып. 8. — с. 081407.

45. Vazifeh, M. M. Electromagnetic Response of Weyl Semimetals [текст] / M. M. Vazifeh, M. Franz // Phys. Rev. Lett. — 2013. — т. Ill, вып. 2. — с. 027201.

46. Chen, Y. Axion response in Weyl semimetals [текст] / Y. Chen, S. Wu, A. A. Burkov 11 Phys. Rev. B. - 2013. - т. 88, вып. 12. - с. 125105.

47. Chen, Y. Weyl fermions and the anomalous Hall effect in metallic ferromagnets [текст] / Y. Chen, D. L. Bergman, A. A. Burkov // Phys. Rev в _ 2013. - т. 88, вып. 12. - с. 125110.

48. Ramamurthy, S. Т. Patterns of electromagnetic response in topological semimetals [текст] / S. T. Ramamurthy, T. L. Hughes // Phys. Rev. B. — 2015. — т. 92, вып. 8. — с. 085105.

49. Zyuzin, A. A. Topological response in Weyl semimetals and the chiral anomaly [текст] / A. A. Zyuzin, A. A. Burkov // Phys. Rev. B. — 2012. — т. 86, вып. 11. — с. 115133.

50. Goswami, P. Axionic field theory of (3 + 1)-dimensional Weyl semimetals [текст] / P. Goswami, S. Tewari // Phys. Rev. B. — 2013. — т. 88, вып. 24. — с. 245107.

51. Kinoshita, Т. Mass singularities of Feynman amplitudes [текст] / Т. Kinoshita // Journal of Mathematical Physics. — 1962. — т. 3, № 4. — с. 650-677.

52. Metlitski, M. A. Anomalous axion interactions and topological currents in dense matter [текст] / M. A. Metlitski, A. R. Zhitnitsky // Phys. Rev. D. — 2005. — т. 72, вып. 4. — с. 045011.

53. АтЬгщ, V. E. Rotating quantum states [текст] / V. E. Ambru§, E. Winstanley // Physics Letters B. - 2014. - т. 734. - с. 296 301.

54. Duffy, G. Rotating quantum thermal distribution [текст] / G. Duffy, A. C. Ottewill 11 Phys. Rev. D. - 2003. - т. 67, вып. 4. - с. 044002.

55. Chernoduh, M. N. Effects of rotation and boundaries on chiral symmetry breaking of relativistic fermions [текст] / M. N. Chernodub, S. Gongyo // Phys. Rev. D. - 2017. - т. 95, вып. 9. - с. 096006.

56. Iyer, В. R. Dirac field theory in rotating coordinates [текст] / В. R. Iyer // Phys. Rev. D. - 1982. - т. 26, вып. 8. - с. 1900-1905.

57. ВесаШщ F. The ideal relativistic spinning gas: Polarization and spectra [текст] / F. Becattini, F. Piccinini // Annals of Physics. — 2008. — т. 323, Л" 10. - с. 2452-2473.

58. Ambru §, V. E. Rotating fermions inside a cylindrical boundary [текст] / V. E. Ambru §, E. Winstanley // Phys. Rev. D. — 2016. — т. 93, вып. 10. — с. 104014.

59. Chernodub, M. Interacting fermions in rotation: chiral symmetry restoration, moment of inertia and thermodynamics [текст] / M. Chernodub, S. Gongyo // Journal of High Energy Physics. — 2017. — т. 2017, № 1. — с. 1—32.

60. Ebihara, S. Boundary effects and gapped dispersion in rotating fermionic matter [текст] / S. Ebihara, K. Fukushima, K. Mameda // Physics Letters

B. - 2017. - т. 764. - c. 94-99.

61. Analogy between rotation and density for Dirac fermions in a magnetic field [текст] / H.-L. Chen [и др.] // Phys. Rev. D. — 2016. — т. 93, вып. 10. — с. 104052.

62. Landau, L. D. Statistical Physics: Volume 5 [текст], т. 5 / L. D. Landau, E. M. Lifshitz. - Elsevier, 2013.

63. Culcer, D. Coherent wave-packet evolution in coupled bands [текст] / D. Culcer, Y. Yao, Q. Niu // Phys. Rev. B. - 2005. - т. 72, вып. 8. -с. 085110.

64. Volovik, G. E. The topology of the quantum vacuum [текст] / G. E. Volovik // Analogue Gravity Phenomenology. — Springer, 2013. — c. 343—383.

65. Zubkov, M. Wigner transformation, momentum space topology, and anomalous transport [текст] / M. Zubkov // Annals of Physics. — 2016. — т. 373. - c. 298-324.

66. Callias, C. Axial anomalies and index theorems on open spaces [текст] /

C. Callias // Communications in Mathematical Physics. — 1978. — т. 62, № 3. - с. 213-234.

67. Khaidukov, Z. V. Chiral separation effect in lattice regularization [текст] / Z. V. Khaidukov, M. A. Zubkov // Phys. Rev. D. — 2017. — т. 95, вып. 7. — с. 074502.

68. Puhr, M. Numerical Study of Nonperturbative Corrections to the Chiral Separation Effect in Quenched Finite-Density QCD [текст] / M. Puhr, P. V. Buividovich // Phys. Rev. Lett. - 2017. - т. 118, вып. 19. - с. 192003.

69. Gorbar, E. V. Chiral asymmetry of the Fermi surface in dense relativistic matter in a magnetic field [текст] / E. V. Gorbar, V. A. Miransky, I. A. Shovkovy // Phys. Rev. C. - 2009. - т. 80, вып. 3. - с. 032801.

70. Gorbar, E. V. Normal ground state of dense relativistic matter in a magnetic field [текст] / E. V. Gorbar, V. A. Miransky, I. A. Shovkovy // Phys. Rev. D _ 2011. - т. 83, вып. 8. - с. 085003.

71. Gorbar, E. Chiral asymmetry and axial anomaly in magnetized relativistic matter [текст] / E. Gorbar, V. Miransky, I. Shovkovy // Physics Letters B. - 2011. - т. 695, № 1. - c. 354-358.

72. Yamamoto, A. Chiral Magnetic Effect in Lattice QCD with a Chiral Chemical Potential [текст] / A. Yamamoto // Phys. Rev. Lett. — 2011. — т. 107, вып. 3. - с. 031601.

73. Fukushima, К. Chiral magnetic effect [текст] / К. Fukushima, D. E. Kharzeev, H. J. Warringa // Phys. Rev. D. - 2008. - т. 78, вып. 7. - с. 074033.

74. Cohen, Т. D. Schwinger mechanism revisited [текст] / Т. D. Cohen, D. A. McGady // Physical Review D. - 2008. - т. 78, № 3. - с. 036008.

75. Nielsen, H. A no-go theorem for regularizing chiral fermions [текст] / H. Nielsen, M. Ninomiya // Physics Letters B. - 1981. - т. 105. Л'° 2.

с. 219-223.

76. Zubkov, M. Emergent gravity and chiral anomaly in Dirac semimetals in the presence of dislocations [текст] / M. Zubkov // Annals of Physics. — 2015. — т. 360. - c. 655-678.

77. Zubkov, M. Momentum Space Topology and Non-Dissipative Currents [текст] / M. Zubkov, Z. Khaidukov, R. Abramchuk // Universe. — 2018. — т. 4, № 12.

78. Kim, S. P. Schwinger pair production in electric and magnetic fields [текст] / S. P. Kim, D. N. Page // Physical Review D. - 2006. - т. 73, № 6. -с. 065020.

79. Nikishov, A. Pair Production by a Constant External Field [текст] / A. Nikishov // SOVIET PHYSICS JETP. - 1970. - т. 30, № 4. - с. 660-662.

80. Nikishov, A. Barrier scattering in field theory. Removal of Klein paradox [текст] / A. Nikishov // Nuclear Physics B. — 1970. — т. 21. — с. 346—358.

81. Gavrilov, S. P. Vacuum polarization and particle creation in the presence of a potential step [текст] / S. P. Gavrilov, D. M. Gitman // International Journal of Modern Physics A. - 2016. - т. 31, 02n03. - c. 1641031.

82. Schwinger, J. The Theory of Quantized Fields. I [текст] / J. Schwinger // Phys. Rev. - 1951. - т. 82, вып. 6. - с. 914-927.

83. Abramchuk, R. A. Schwinger pair creation in Dirac semimetals in the presence of external magnetic and electric fields [текст] / R. A. Abramchuk, M. A. Zubkov // Phys. Rev. D. - 2016. - т. 94, вып. И. - с. 116012.

84. Hansen, A. Klein's Paradox and Its Resolution [текст] / A. Hansen, F. Ravndal // Physica Scripta. - 1981. - т. 23, № 6. - с. 1036-1042.

85. Quantum Electrodynamics: With Unstable Vacuum [текст] / E. Fradkin [и др.]. — Springer-Verlag, 1991.

86. Zubkov, M. A. Absence of equilibrium chiral magnetic effect [текст] / M. A. Zubkov // Phys. Rev. D. - 2016. - т. 93, вып. 10. - с. 105036.

87. Khaidukov, Z. V. Chiral separation effect for spin 3/2 fermions [текст] / Z. V. Khaidukov, R. A. Abramchuk // Journal of High Energy Physics. — 2021. - Vol. 2021, no. 7. - P. 183.

88. Adler, S. L. Analysis of a gauged model with a spin-2 field directly coupled to a Rarita-Schwinger spin-| field [текст] / S. L. Adler // Phys. Rev. D. — 2018. — т. 97, вып. 4. — с. 045014.

89. Boettcher, I. Interplay of Topology and Electron-Electron Interactions in Rarita-Schwinger-Weyl semimetals [текст] / I. Boettcher // Phys. Rev. Lett. - 2020. - т. 124, вып. 12. - с. 127602.

90. Son, D. T. Chiral anomaly and classical negative magnetoresistance of Weyl metals [текст] / D. T. Son, B. Z. Spivak // Phys. Rev. B. — 2013. — т. 88, вып. 10. — с. 104412.

91. Aji, V. Adler-Bell-Jackiw anomaly in Weyl semimetals: Application to pyrochlore iridates [текст] / V. Aji // Phys. Rev. B. — 2012. — т. 85, вып. 24. — с. 241101.

92. Berry phase correction to electron density in solids and "exotic"dynamics [текст] / С. Duval [и др.] // Modern Physics Letters B. — 2006. — т. 20, Л" 07. - с. 373-378.

93. Zhao, Y. X. Index Theorem on Chiral Landau Bands for Topological Fermions [текст] / Y. X. Zhao, S. A. Yang // Phys. Rev. Lett. - 2021. - т. 126, вып. 4. — с. 046401.

94. Velo, G. Propagation and Quantization of Rarita-Schwinger Waves in an External Electromagnetic Potential [текст] / G. Velo, D. Zwanziger // Phys. Rev. — 1969. — т. 186, вып. 5. — с. 1337—1341.

95. Adler, S. L. Chiral anomaly calculation in the extended coupled RaritaSchwinger model [текст] / S. L. Adler, P. Pais // Phys. Rev. D. — 2019. — т. 99, вып. 9. — с. 095037.

96. Adler, S. L. Analysis of an SU(8) model with a spin-1 2 field directly coupled to a gauged Rarita-Schwinger spin-3 2 field [текст] / S. L. Adler // International Journal of Modern Physics A. — 2019. — т. 34, № 33. — с. 1950230.

97. Alvarez-Gaume, L. Gravitational anomalies [текст] / L. Alvarez-Gaume, E. Witten // Nuclear Physics B. - 1984. - т. 234, № 2. - с. 269-330.

98. Landsteiner, К. Anomalous Transport from Kubo Formulae [текст] / К. Landsteiner, E. Megias, F. Pena-Benitez // Strongly Interacting Matter in Magnetic Fields / под ред. D. Kharzeev [и др.]. — Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 2013. — c. 433 468.

99. Kharzeev, D. E. Chiral magnetic conductivity [текст] / D. E. Kharzeev, H. J. Warringa // Phys. Rev. D. - 2009. - т. 80, вып. 3. - с. 034028.

100. Le Bellac, M. Thermal field theory [текст] / M. Le Bellac. — Cambridge university press, 2000.

101. Abramchuk, R. A. Chiral vortical and Chiral torsional effects [текст] / R. A. Abramchuk, Z. V. Khaidukov, M. A. Zubkov // Journal of Physics: Conference Series. - 2020. - т. 1435, № 1. - с. 012009.

102. Abramchuk, R. Anatomy of the chiral vortical effect [текст] / R. Abramchuk, Z. V. Khaidukov, M. A. Zubkov // Phys. Rev. D. — 2018. — т. 98, вып. 7. — с. 076013.

103. Chiral separation and chiral magnetic effects in a slab: The role of boundaries [текст] / E. V. Gorbar [и др.] // Phys. Rev. B. — 2015. — т. 92, вып. 24. — с. 245440.

104. Chernodub, M. N. Edge states and thermodynamics of rotating relativistic fermions under magnetic field [текст] /M.N. Chernodub, S. Gongyo // Phys. Rev. D. - 2017. - т. 96, вып. 9. - с. 096014.

105. Sadofyev, A. V. Notes on chiral hydrodynamics within the effective theory approach [текст] / A. V. Sadofyev, V. I. Shevchenko, V. I. Zakharov // Phys. Rev D _ 2011. - т. 83, вып. 10. - с. 105025.

106. Son, D. T. Hydrodynamics with Triangle Anomalies [текст] / D. T. Son, P. Surowka j j Phys. Rev. Lett. - 2009. - т. 103, вып. 19. - с. 191601.

107. Chernodub, M. N. Chiral sound waves in strained Weyl semimetals [текст] / M. N. Chernodub, M. A. H. Vozmediano // Phys. Rev. Research. — 2019. — т. 1, вып. 3. — с. 032040.