Самосопряженные гамильтонианы Дирака с сингулярными внешними потенциалами в 2+1 измерениях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Ли Киын

• Ли Киын
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ли Киын

Введение

1 Сингулярный дираковский гамильтониан в кулоновских и Ааро-нова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях

1.1 Общие и частные решения уравнения Дирака при различных значениях параметров гамильтониана.

1.2 Самосопряженные расширения симметрических операторов. Самосопряженные граничные условия.

1.3 Однопараметрические семейства самосопряженных радиальных гамильтонианов и их области определения.

1.3.1 Первая некритическая область д <

1.3.2 Вторая некритическая область ци < Ц < Цс.

1.3.3 Критические эффективные заряды ц - дс.

1.3.4 Сверхкритические эффективные заряды д >

1.4 Дискретные и непрерывные спектры самосопряженных гамильтонианов

2 Самосопряженные расширения гамильтониана Дирака в векторном кулоновском и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях

2.1 Решения радиального уравнения Дирака.

2.2 Спектр самосопряженного радиального гамильтониана

2.3 Неустойчивость основного состояния фермионов.

2.4 Собственные функции связанных состояний.

3 Самосопряженные расширения гамильтониана Дирака в скалярном кулоновском и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях

3.1 Решения радиального уравнения Дирака. Спектры.

3.2 Собственные функции связанных состояний.

3.3 Самосопряженные расширения гамильтониана Дирака в потенциале Ааронова-Бома. Спектры.

3.4 Физические эффекты в 2+1 измерениях: связанное состояние и задача рассеяния.

3.5 Рассеяние спин-поляризованных электронов на потенциале Ааронова-Бома.

4 Электрически заряженные ферм ионы нулевой массы в куло-новских и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях

4.1 Решения радиального уравнения Дирака.

4.2 Спектры самосопряженного радиального гамильтониана. Квазидискретные состояния.

4.3 Локальная плотность состояний фермионов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Самосопряженные гамильтонианы Дирака с сингулярными внешними потенциалами в 2+1 измерениях»

Интерес к физическим явлениям в квантовых системах релятивистских фермионов в присутствии интенсивных внешних полей в пространствах пониженных размерностей, проявляемый в последние годы, вызван открытием ряда эффектов физики конденсированных сред [1], возможностью применения полученных для этих моделей результатов для изучения эффекта Ааронова-Бома [2], квантового эффекта Холла [3-5] и высокотемпературной сверхпроводимости [6,7]. Решения уравнения Дирака для фермионов нулевой массы в 2+1 измерениях описывают состояния фермионов в графене [8-10].

Эффект Ааронова-Бома, предсказанный в работе [2], - одно из наиболее интересных и интригующих явлений квантовой механики. Этот эффект был разносторонне изучен в многочисленных работах (см., например, работы [11-14], а также книгу [15]). Данный эффект возникает при движении электронов в магнитном поле цилиндрически-симметричной конфигурации, напряженность которого равна нулю везде, кроме оси г (г = 0), притом, что векторный потенциал поля отличен от нуля во всем пространстве. В этом случае магнитное поле можно считать сосредоточенным в цилиндрической трубке исчезающе малого радиуса. Поскольку при цилиндрически-симметричной конфигурации внешнего магнитного поля квантово-механическая система инвариантна относительно переноса вдоль оси г, она сводится к двумерной системе в плоскости ху [16]. Поэтому, в этом случае поведение заряженных фермионов в 3+1 измерениях удобно исследовать с помощью уравнения Дирака в 2+1 измерениях, что позволяет учитывать сопутствующие релятивистские эффекты. Кроме того, уравнение Дирака в 2+1 измерениях допускает получение точных решений в более широком классе полей по сравнению с обычным случаем 3+1 измерений. В частности, в работах [17-19] было показано, что решения уравнения Дирака в потенциале Ааронова-Бома в 2+1 измерениях совпадают с решениями того же уравнения для фермионов в поле космической струны в 3+1 измерениях. Впервые эти решения были получены в работе [17]; там же был рассмотрен процесс рождения частиц нестатическим полем движущейся космической струны. Эффект вакуумной поляризации в этих полях изучался в работах [20,21].

Одной из проблем квантового описания физических систем и его правильной интерпретации является задача корректного определения наблюдаемых как самосопряжённых операторов в подходящем гильбертовом пространстве. Самосопряженный характер физического оператора необходим для того, чтобы соответствующий оператор эволюции был унитарным и единственно определенным в гильбертовом пространстве. Собственные значения самосопряженных операторов также всегда вещественны, и, стало быть, наблюдаемы.

В большинстве физически интересных задач квантовой механики гамильтонианы являются сингулярными операторами, а в ""естественных областях" определения, которые допускают соответствующие дифференциальные операции в данном гильбертовом пространстве, - только симметрическими операторами. Поэтому возникает задача расширить соответствующий симметрический оператор до самосопряженного оператора и тем самым сделать его настоящим наблюдаемым. Но, как известно [22], задача построения самосопряженного гамильтониана по заданному симметрическому оператору имеет не единственное решение. С физической точки зрения, это означает, что существует множество квантово-механических описаний одной и той же нетривиальной физической системы. Любое расширение является некоторым предписанием для поведения рассматриваемой физической системы возле сингулярностей. Выбор корректного расширения должен быть найден путем анализа конкретного физического случая. Истоки теории расширения симметрических операторов восходят к работе Дж. фон Неймана [23]. Её развитию и многочисленным приложениям посвящено многочисленные работы, см., например [24-28] и монографию [29-31].

Впервые в работе [32] самосопряженное расширение гамильтониана уравнения Шредингера в потенциале Ааронова-Бома выделялось однозначно с помощью физического условия "минимальной сингулярности", т.е. требования того, чтобы область определения гамильтониана содержала только регулярные в нуле функции. В работе [18] был построен самосопряженный гамильтониан уравнения Дирака для того же поля. Там было показано, что область определения самосопряженного расширения может содержать также сингулярные, квадратично интегрируемые в нуле функции, и было найдено решение, описывающее связанное состояние фермиона в космической струне. Физическая причина включения в область определения самосопряженного расширения гамильтониана сингулярных, но квадратично интегрируемых функций состоит в учете взаимодействия спинового магнитного момента фермиона с магнитным полем конфигурации Ааронова-Бома, что было показано в работе [33]. В ней изучалось рассеяние массивного нейтрального фермиона с аномальным магнитным моментом электрическим полем тонкой заряженной нити.

Решения уравнения Дирака в 2+1 измерениях не описывают две проекции спина фермиона, так как они представляют собой спинор, верхняя и нижняя компоненты которого интерпретируются как положительно- и отрицательно-частотные состояния. Для описания спина фермиона в задаче рассеяния электронов потенциалом Ааронова-Бома в работе [34] в двухкомпонентном уравнении Дирака был введен спиновый параметр, и полученные решения были использованы для вычисления амплитуды и поперечного сечения рассеяния электронов магнитным полем Ааронова-Бома. Задача рассеяния потенциалом Ааронова-Бома спин-поляризован-ных электронов с учетом взаимодействия спинового магнитного момента электрона с магнитным полем бесконечно тонкой цилиндрической трубки рассмотрена в работе [35], где получены решения уравнения Паули. Кроме того, в работе [36] найдены точные решения уравнения Дирака, описывающие связанные состояния фермиона в потенциале Ааронова-Бома в 2+1 измерениях, а также в неявном виде получена энергия связанного состояния. Для этого были найдены все самосопряженные расширения гамильтониана уравнения Дирака, и затем выделена область значений параметра самосопряженного расширения, соответствующая связанным состояниям фермионов. Излучательные процессы в системе двумерного кулоновского и Ааронова-Бома потенциалах, а также поляризуемость электрона этой системы были исследованы в работах [37,38].

Другой интересный с точки зрения физики случай - случай сингулярного дираковского гамильтониана в сильном кулоновском поле точечного заряда (источника). Построение самосопряженного гамильтониана в этом поле во всей области позволит ответить на вопрос о стабильности вакуума квантовой электродинамики в присутствии сильного кулоновского поля. Важнейший вопрос о стабильности вакуума был всесторонне изучен в многочисленных работах (см. работы [39-46] и ссылки в них) в 3+1 измерениях и в работах [47-49] в 2+1 измерениях. Во всех этих работах вместо точечного источника рассматривался кулоновский потенциал, обрезанный на малом расстоянии К от источника, что фактически эквивалентно постановке граничного условия в точке Я. Физически постановка такого граничного условия означает учет конечных размеров источника поля. Такой способ определения самосопряженного гамильтониана называют физической регуляризацией [32].

Напомним, что энергия электрона в основном состоянии в кулоновском поле, заданном 4-вектор потенциалом А0(г) = а/е^г, А = 0, а > 0 (е = -во < 0 - заряд электрона)

Е„ - т "VI - а2 о обращается в нуль при а = 1, а при а > 1 интерпретация этой формулы как энергии электрона вообще теряет смысл. В кулоновском потенциале, обрезанном на малом расстоянии К, с увеличением а низший уровень энергии электрона становится отрицательным при а > 1 и при дальнейшем увеличении а может достичь границы нижнего континуума (отрицательных) энергий -т, а значение а = асг, при котором низший уровень энергии электрона равен -ш, называют критическим зарядом для основного состояния. При таких значениях а нельзя определить самосопряженный гамильтониан системы с помощью введения радиуса обрезания Я. При а > асг, низший уровень энергии электрона пересекает границу нижнего континуума энергий, а вакуум квантовой электродинамики в сильном кулоновском потенциале перестраивается, так что в вакуумной оболочке кулоновского центра появляется новое состояние с энергией Е < -т и проекцией спина 5 - ±1. С точки зрения квантовой электродинамики, вакуум при а > асг становится неустойчивым, что приводит к рождению позитронов и одновременно вакуум приобретает отрицательный электрический заряд, который, очевидно, будет равен двум зарядам электрона [42-46]. В задаче о поведении электрона в сильном (обрезанном) кулоновском поле в 2+1 измерениях картина сходна, но энергия электрона в основном состоянии становится равной нулю при а - 1/2 [47-49].

В работе [50], для построения самосопряженных расширений гамильтониана Дирака в сильном кулоновском поле тотечного источника и его спектрального анализа был использован соответственно метод теории самосопряженных расширений симметрических операторов и направляющих функционалов Крейна [51], развитых в работах [29-31]. Это позволило авторам определить дираковский гамильтониан как самосопряженный оператор при произвольных значениях заряда кулоновского поля и избежать трудности с определением спектра при больших значениях заряда кулоновского поля.

В главах 1 и 2, мы находим все самосопряженные расширения ди-раковского гамильтониана в кулоновских и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях, а также спектры самосопряженного гамильтониана при различных значениях параметров, которые содержит гамильтониан.

В настоящей работе мы используем результаты статьи [50], в которой эти методы получили дальнейшее развитие. Мы покажем, что низшее энергетическое состояние может стать неустойчивым в так называемых областях сверхкритического заряда. Использование модели, описываемой уравнением Дирака в 2+1 измерениях в указанной конфигурации полей, позволило решить задачу о влиянии спина частицы и магнитного поля на устойчивость глубоких (релятивистских) связанных состояний.

В главе 3 мы изучаем движение заряженного фермиона в двумерном скалярном кулоновском и Ааронова-Бома потенциалах. Мы строим все самосопряженные гамильтонианы для этих комбинации полей и анализируем его спектры. Здесь также рассматривается задача рассеяния релятивистских фермионов потенциалом Ааронова-Бома с учетом взаимодействия спина фермиона с магнитным полем. Обсуждается вопрос, как физические величины, такие как амплитуда и сечение рассеяния, зависят от спина и параметра самосопряженного расширения. Здесь же изучается рассеяние спин-поляризованных электронов на тонком магнитном соленоиде в плоскости перпендикулярной оси соленоида, и сечение рассеяния для квантовых переходов с и без обращения спина электрона для трех пространственных измерений. Отметим, что движение релятивистского электрона в сингулярном магнитном поле, являющемся суперпозицией поля Ааронова-Бома и коллинеарного однородного магнитного поля в 2+1 измерениях. изучались в работах [52-54]. Самосопряженный гамильтониан Шредингера для заряженных квантовых частиц, движущихся в потенциале Ааронова-Бома и притягивающем г~2 потенциале, был построен в работе [55] и здесь же была рассмотрена задача упругого рассеяния и задача о связанных состояниях частицы.

Наконец, важно отметить, что интерес к различным эффектам двумерной системы значительно увеличился после успешного получения монослоя графита (графена) (см. работы [56-61] и обзоры [62. 63]) и графана, представляющего собой графен связанный с атомарным водородом [64-67]. Открытие таких структур позволяет надеяться на успешное их использование в различных областях современной электроники, оптоэлектроники, спинтроники и т.д. Как известно, при низких значениях энергии, динамика электрона в графене описывается безмассовым двухкомпонентным уравнением Дирака [68, 69], и поэтому безмассовые фермионы Дирака в графене [70] дают интересные реализации квантовой электродинамики в 2+1 измерениях [71,72]. В то же время "эффективная постоянная тонкой структуры" в графене велика, и появляется новая возможность изучения квантовой электродинамики в режиме сильной связи. Задачи, связанные с кулоновскими примесями в графене, в частности, задача о поляризации вакуума и экранировке, изучались в работах [73-78]. Индуцированный ток в графене в поле соленоида, перпендикулярный к плоскости образца (графена), оказался конечной периодической функцией магнитного потока соленоида [79]. Для безмассовых заряженных фермио-нов (т = 0) в кулоновском потенциале в спектре энергии нет дискретных уровней при а < 1 в связи с масштабной инвариантностью безмассового уравнения Дирака тем не менее при а > 1 возникают квазистационарные состояния [80-83]. Полные и локальные плотности состояний в двумерном электронном газе, как аналог графена, в присутствий Ааронова-Бома поля и однородного магнитного поля исследованы в работах [84,85].

В главе 4 мы решаем квантово-механическую задачу о движении безмассового фермиона в кулоновских и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях. Мы получаем уравнения, определяющие энергию и время жизни квазистационарных (резонансных) связанных состояний, и находим локальные плотности состояний (ЛПС) как функции от энергии, параметра самосопряженного расширения и спина фермиона при различных значениях параметров поля.

В работе используется система единиц, в которой с = Т\ = 1.

Основные результаты, представленные в диссертационной работе, опубликованы в следующих журнальных статьях :

1. Khalilov V.R., Lee К.Е. Bound fermion states in a vector 1 /г and Aharonov-Bohm potentials in (2 + 1) dimensions // Mod. Phys. Lett. A. — 2011. — Vol. 26. - P. 865.

2. Khalilov V.R., Lee K.E. Fermions in scalar Coulomb and Aharonov-Bohm potentials in 2 + 1 dimensions // J. Phys. A. — 201 1. — Vol. 44. — P. 205303.

3. Халилов В.P., Ли Ки Ын. Дискретные спектры дираковского гамильтониана в кулоновских потенциалах и потенциалах Ааронова-Бома в 2+1 измерениях // Теоретическая и математическая физика. — 2011. -Т. 169. -№3. - С. 368-390.

4. Khalilov V.R., Lee К.Е., Mamsurov I.V. Spin-polarized fermions in an Aharonov-Bohm field // Mod. Phys. Lett. A. — 2012. — Vol. 27. - P. 1250027. сборниках тезисов конференций :

5. Киын Ли, Фермионы в кулоновских и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях, XVIII международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-201Г', секция физика, подсекция теоретическая физика, Москва, МГУ имени М.В.Ломоносова, 2011.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Ли Киын

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. В работе дано физически и математически строгое квантово-меха-ническое описание движения фермиона в двумерных кулоновских (векторном и скалярном) и Ааронова-Бома потенциалах. Для этого построены самосопряженные расширения гамильтониана уравнения Дирака в кулоновских и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях с учетом спина частицы. Установлено, что при любых значениях параметров задачи, самосопряженные расширения гамильтониана являются однопараметрическими. Выведены уравнения, неявно определяющие спектры самосопряженных дираковских гамильтонианов, и построены собственные функции для всех самосопряженных дираковских гамильтонианов в указанных внешних полях при различных значениях параметров задачи.

2. Построены все самосопряженные дираковские гамильтонианы в векторном кулоновском и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях с учетом спина частицы. Выведены уравнения, которые неявно определяют спектры как функции параметра самосопряженного расширения, эффективного заряда, спина и других параметров связанных состояний фермиона, и найдены решения этих уравнений для физически интересных значений параметра самосопряженного расширения. Показано, что, когда так называемый эффективный заряд становится сверхкритическим, низшее энергетическое состояние фермиона пересекает границу нижнего континуума энергий Е = -т, становится неустойчивым и вакуум квантовой электродинамики перестраивается. Рассматриваемая квантовая система становится более стабильной в присутствии магнитного потока Ааронова-Бома. С увеличением эффективного заряда число состояний, погруженных в нижний континуум энергий, растет.

3. Построены все самосопряженные дираковские гамильтонианы в скалярном кулоновском и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях с учетом спина частицы. Выведены уравнения, неявно определяющие спектры связанных состояний фермиона и найдены решения этих уравнений для физически интересных значений параметра самосопряженного расширения. Спектр гамильтониана Дирака имеет две ветви энергий (частиц и античастиц) и для значения параметра самосопряженного расширения £ = 0 эти ветви симметричны относительно горизонтальной прямой Е - 0. Спектр рассматриваемого гамильтониана и положение уровня Ферми Ер, который отделяет состояния частиц и античастиц, зависят от параметра самосопряженного расширения.

4. Показано, что в поле Ааронова-Бома в области значений параметра самосопряженного расширения 2л" > в > л существует связанное состояние фермиона со спином 5 и получено уравнение, описывающее две ветви энергий (частиц и античастиц). Для 9 = З/г/2 эти ветви симметричны относительно горизонтальной прямой Е - 0. Две кривые пересекают в точке >3=1 /2 горизонталь Е = 0, и возникают ферми-онные состояния с нулевой энергией (нулевые моды). Следовательно, при адиабатическом изменении параметра ¡3 от 0 до 1/2, энергетическая щель между связанными состояниями частиц и античастиц исчезает, и задача о поведении уровней энергий связанных состояний при /3 > 1/2 не может быть решена в рамках одночастичной квантовой механики. В зарядово-симметричной теории, вследствие существования фермионных состояний с нулевой энергией, вакуум приобретает дробный фермионный заряд ±1/2. В рассматриваемой нами квантовой системе изолированные невырожденные решения уравнения Дирака (частицы и античастицы) с нулевой энергией не являются зарядово-сопряженными, поэтому дробный фермионный заряд не возникает. Однако, пересечение энергетических уровней частиц и античастиц может свидетельствовать о том, что рассматриваемая квантовая система становится неустойчивой.

5. Исследовано рассеяние релятивистских фермионов потенциалом Аа-ронова-Бома в 2+1 измерениях с учетом взаимодействия спина фер-миона с магнитным полем. Получены выражения для амплитуды и сечения рассеяния при различных значениях параметра самосопряженного расширения. Показано, что связанные состояния, которые возникают при некоторых значениях параметра самосопряженного расширения, оказывают влияние на состояния рассеяний. Задача рассеяния спин-поляризованных электронов на тонком магнитном соленоиде в плоскости перпендикулярной оси соленоида решена для реалистического случая трех пространственных измерений. Амплитуда рассеяния в этом случае рассматривается как оператор, действующий на пространственные и спиновые переменные волновой функции электрона в трехмерном пространстве. Получены выражения для амплитуды и сечения рассеяния с определенными значениями проекции спина в начальном и конечном состояниях. Показано, что спин электрона в начальном состоянии может влиять на процесс рассеяния, только если его проекция на плоскость рассеяния отлична от нуля.

6. Решена квантово-механическая задача о движении безмассового фер-миона в кулоновских (векторном и скалярном) и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях. Показано, что если так называемый эффективный заряд становится сверхкритическим, то возникают виртуальные (квазистационарные) связанные состояния. Рассмотрен эффект перестройки вакуума квантовой электродинамики. Выведены уравнения, определяющие спектры и "времена жизни" квазистационарных состояний, и найдены решения этих уравнений в физически интересных случаях. Экспериментально проверяемыми физическими величинами, например, с помощью метода сканирующей туннельной спектроскопии, являются локальные плотности состояний (ЛПС) как функции энергии и параметров задачи; ЛПС исследованы как аналитически, так и графически. Исследован вопрос о применении полученных результатов для описания фермионов в графене с кулоновской примесью в поле соленоида, ось которого перпендикулярна образцу.

Автор с глубоким уважением и признательностью выражает благодарность профессору Халилову Владиславу Рустемовичу за научное руководство, за неотступное внимание и терпение при выполнении диссертационной работы. Автор выражает благодарность Мамсурову Игорю Владиславовичу за тщательный анализ и полезные советы в процессе обсуждения диссертационной работы. Автор также признателен всем сотрудникам кафедры теоретической физики за ценные советы и обсуждения. Отдельную благодарность автор выражает Харланову Олегу Георгиевичу и Курбанову Сердару Гельдимуратовичу за оказанную помощь при оформлении диссертационной работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ли Киын, 2012 год

1. А. М. J. Schakel, G. W. Semenoff, Phys. Rev. Lett. 66, 2653 (1991).

2. Y. Aharonov, D. Bohm, Phys. Rev. 115, 485 (1959).

3. K. v. Klitzing, G. Dorda, M. Pepper, Phys. Rev. Lett. 45, 494 (1980).

4. P. Прендж, С. Гирвин, Квантовый эффект Холла, Мир, Москва (1989).

5. К. S. Novoselov, Z. Jiang, Y. Zhang, S. V. Morozov, H. L. Stormer, U. Zeitler, J. C. Maan, G. S. Boebinger, P. Kim, A. K. Geim, Science 315, 1379 (2007).

6. F. Wilczek, Fractional Statistics and Anyon Superconductivity, World Scientific, Teaneck New Jersey (1990).

7. A. Neagu, A. M. J. Schakel, Phys. Rev. D 48, 1785 (1993).

8. K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, M. I. Katsnelson, I. V. Grigorieva, S. V. Dubonos, A. A. Firsov, Nature 438, 197 (2005).

9. Z. Jiang, Y. Zhang, H. L. Stormer, P. Kim, Phys. Rev. Lett. 99, 106802 (2007).

10. I. F. Herbut, Phys. Rev. Lett. 104, 066404 (2010).

11. R. G. Chambers, Phys. Rev. Lett. 5, 3 (1960).

12. Y. Aharonov, D. Bohm, Phys. Rev. 123, 1511 (1961).

13. S. Olariu, I. I. Popescu, Rev. Mod. Phys. 57, 339 (1985).

14. N. Osakabe, T. Matsuda, T. Kawasaki, J. Endo, A. Tonomura, S. Yano, H. Yamada, Phys. Rev. A 34, 815 (1986).

15. M. Peshkin, A. Tonomura, The Aharonov-Bohm Effect, Springer-Verlag, Berlin (1989).

16. К. Хуанг, Кварки, лептоны и калибровочные поля, Мир, Москва (1985).

17. M. G. Alford, F. Wilczek, Phys. Rev. Lett. 62, 1071 (1989).

18. Ph. De Sousa Gerbert, Phys. Rev. D 40, 1346 (1989).

19. M. G. Alford, J. March-Pussel, F. Wilczek, Nucl.Phys. В 328, 140 (1989).

20. Yu. A. Sitenko, Phys. Rev. D 60, 125017 (1999).

21. Yu. A. Sitenko, Ann. Phys. 282, 167 (2000).

22. M. А. Наймарк, Линейные дифференциальные операторы, Наука, Москва (1969).

23. J. von Neumann, Math. Ann. 102, 49 (1929).

24. H. И. Ахиезер, И. М. Глазман, Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, Наука, Москва (1966).

25. M. H. Stone, Amer. Math. Soc. 15, (1932).

26. Ф. Рисс, Б. Сёкефальви-Надь, Лекции по функциональному анализу. Мир, Москва (1979).

27. Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц, Линейные операторы, том 2, Мир, Москва (1966).

28. В. Хатсон, Дж. Пим, Приложения функционального анализа и теории операторов, Мир, Москва (1983).

29. Б. Л. Воронов, Д. М. Гитман, И. В. Тютин, Изв. вузов. Физика 1, 3 (2007).

30. Б. J1. Воронов, Д. М. Гитман, И. В. Тютин, Изв. вузов. Физика 9, 32007).

31. Б. JI. Воронов, Д. М. Гитман, И. В. Тютин, Изв. вузов. Физика 2, 32008).32. 1. V. Tyutin, arXiv: 0801.2167v2 27 Jan 2008.

32. В. Р. Халилов, И. В. Мамсуров, ТМФ 161, 212 (2009).

33. С. R. Hagen, Phys. Rev. Lett. 64, 503 (1990).

34. V. R. Klialilov, C.-L. Ho, Ann. Phys. 323, 1280 (2008).

35. В. P. Халилов, ТМФ 163, 132 (2010).

36. H. Т. Т. Nguyen, P. A. Meleshenko, А. V. Dolgikh, A. F. Klinskikh, Eur. Phys. J. D. 62, 361 (2011).

37. X. Т. Т. Нгуен, П. А. Мелешенко, А. Ф. Клинских, Вестник ВГУ, Серия: Физика. Математика 1, 70 (2011).

38. Я. Б. Зельдович, В. С. Попов, УФН 14, 673 (1971).

39. К. М. Case, Phys. Rev. 80, 797 (1960).

40. А. М. Переломов, В. С. Попов, ТМФ 4, 48 (1970).

41. А. Б. Мигдал, Фермионы и бозоны в сильных полях, Наука, Москва (1978).

42. J. Rafelski, L. P. Fulcher, A. Klein, Phys. Rep. С 38, 227 (1978).

43. М. Soffel, В. Miiller, W. Greiner, Phys. Rep. С 85, 51 (1982).

44. Т. Cowan, H. Backe, K. Bethge, H. Bokemeyer, H. Folger, J. S. Greenberg, K. Sakaguchi, D. Schwalm, J. Schweppe, К. E. Stiebing, P. Vincent, Phys. Rev. Lett. 56, 444 (1986).

45. W. Greiner, J. Reinhardt, Quantum Electrodynamics, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, (2009).

46. В. Р. Халилов, ТМФ 116, 277 (1998).

47. В. Р. Халилов, ТМФ 158, 210 (2009).

48. V. R. Khalilov, C.-L. Ho, Chin. J. Phys. 47, 294 (2009).

49. Б. Л. Воронов, Д. M. Гитман, И. В. Тютин, ТМФ 150, 41 (2007).

50. Функциональный анализ, Ред. С. Г. Крейн, Наука, Москва (1972).

51. D. М. Gitman, A. A. Smirnov, I. V. Tyutin, В. L. Voronov, Phys. Scr. 85, 045003 (2012).

52. S. P. Gavrilov, D. M. Gitman, A. A. Smirnov, arXiv: 0210312v3 12 Sep 2003.

53. S. P. Gavrilov, D. M. Gitman, A. A. Smirnov, B. L. Voronov, arXiv: 0308093v2 16 Apr 2004.

54. J. Audretsch, V. Skarzhinsky, B. Voronov, J. Phys. A 34. 235 (2001).

55. K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, Y. Zhang, S. V. Dubonos, I. V. Grigorieva, A. A. Firsov, Science 306, 666 (2004).

56. Y. Zhang, Y. W. Tan, H. L. Stornier, P. Kim, Nature (London) 438, 201 (2005).

57. K. S. Novoselov, E. McCann, S. V. Morozov, V. I. Fal'ko, M. I. Katsnelson, U. Zeitler, D. Jiang, F. Schedin, A. K. Geim, Nature Phys. 2, 177 (2006).

58. S. V. Morozov, K. S. Novoselov, M. I. Katsnelson, F. Schedin, L. A. Ponomarenko, D. Jiang, A. K. Geim, Phys. Rev. Lett. 97, 016801 (2006).

59. Y. Zhang, Z. Jiang, J. P. Small, M. S. Purewal, Y.-W. Tan, M. Fazlollahi, J. D. Chudow, J. A. Jaszczak, H. L. Stornier, P. Kim, Phys. Rev. Lett. 96, 136806 (2006).

60. J. H. Chen, C. Jang, S. Adam, M. S. Fuhrer, E. D. Williams, M. Ishigami, Nature Phys. 4, 377 (2008)

61. A. H. Castro Neto, F. Guinea, N. M. Peres, K. S. Novoselov, A. K. Geim, Rev. Mod. Phys. 81, 109 (2009).

62. V. N. Kotov, B. Uchoa, V. M. Pereira, F. Guinea, A. H. Castro Neto, Rev. Mod. Phys. 84, 1067 (2012)

63. M. H. F. Sluiter, Y. Kawazoe, Phys. Rev. B 68, 085410 (2003).

64. J. O. Sofo, A. S. Chaudhari, G. D. Barber, Phys. Rev. B 75, 153401 (2007).

65. D. C. Elias, R. R. Nair, T. M. G. Mohiuddin, S. V. Morozov, P. Blake, M. P. Halsall, A. C. Ferrari, D. W. Boukhvalov, M. I. Katsnelson, A. K. Geim, K. S. Novoselov, Science 323, 610 (2009).

66. G. Savini, A. C. Ferrari, F. Giustino, Phys. Rev. Lett 105, 037002 (2010).

67. V. M. Pereira, J. Nilsson, A. H. Castro Neto. Phys. Rev. Lett. 99, 166802 (2007).

68. A. V. Shytov, M. 1. Katsnelson, L. S. Levitov, Phys. Rev. Lett. 99 236801 (2007).

69. A. K. Geim, K. S. Novoselov, Nat. Mater. 6, 183 (2007).

70. J. Gonzarlez, F. Guinea, M. A. H. Vozmediano, Nucl. Phys. B 424, 595 (1994).

71. F. Guinea, J. Gonzarlez, M. A. H. Vozmediano, J. Low Temp. Phys. 99, 287 (1995).

72. I. S. Terekhov, A. I. Milstein, V. N. Kotov, O. P. Sushkov, Phys. Rev. Lett. 100, 076803 (2008).

73. D. P. DiVincenzo, E. J. Mele, Phys. Rev. B 29, 1685 (1984).

74. K. Nomura, A. H. MacDonald, Phys. Rev. Lett. 98, 076602 (2007).

75. Т. Ando, J. Phys. Soc. Jpn. 75, 074716 (2006).

76. E. H. Hwang, S. Adam, S. Das Sarma, Phys. Rev. Lett. 98, 186806 (2007).

77. M. I. Katsnelson, Phys. Rev. В 74, 201401(R) (2006).

78. R. Jackiw, A. I. Milstein, S.-Y. Pi, I. S. Terekhov, Phys. Rev. В 80, 033413 (2009).

79. P. I. Fomin, V. P. Gusynin, V. A. Miransky, Yu. A. Sitenko, Riv. Nuovo Cimento 6, 1 (1983).

80. A. V. Shytov, M. I. Katsnelson, L. S. Levitov, Phys. Rev. Lett. 99, 246802 (2007).

81. О. V. Gamayun, E. V. Gorbar, V. P. Gusynin, Phys. Rev. В 80, 1654292009).

82. К. S. Gupta, S. Sen, Mod. Phys. Lett. A 24, 99 (2009).

83. A. O. Slobodeniuk, S. G. Sharapov, V. M. Loktev, Phys. Rev. В 82, 0753162010).

84. A. O. Slobodeniuk, S. G. Sharapov, V. M. Loktev, Phys. Rev. В 84, 125306 (2011).

85. Y. Hosotani, Phys. Lett. В 319, 332 (1993).

86. V. R. Khalilov, Phys. Rev. A 71, 012105 (2005).

87. V. R. Khalilov, C. L. Ho, Mod. Phys. Lett. A 13, 615 (1998).

88. В. Б. Берестецкий, E. M. Лифшиц, Л. П. Питаевский, Курс теоретической физики, том IV, Квантовая электродинамика, Наука, Москва (1980).

89. И. С. Градштейн, И. М. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, ГИФМЛ, Москва (1963).

90. М. Abramowitz, I.A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover, New York (1964)

91. B. L. Voronov, D. M. Gitman, I. V. Tyutin, arXiv: quant-ph/0603187 23 Mar 2006.

92. Г. Бейтмен, А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции, том 1, Наука, Москва (1973).94. 3. Флюгге, Задачи по квантовой механике, Мир, Москва (1974).

93. R. Jackiw, С. Rebbi, Phys. Rev. D 13, 3398 (1976).

94. R. Jackiw, P. Rossi, Nucl. Phys. В 190, 601 (1981).

95. R. Jackiw, S.-Y. Pi, Phys. Rev. Lett. 98, 266402 (2007).98. 1. F. Herbut, Phys. Rev. В 81, 205429 (2010).

96. C.-L. Но, V. R. Khalilov, Phys. Rev. D 63, 027701 (2000).

97. Л. Д. Ландау, E. M. Лифшиц, Курс теоретической физики, том III, Квантовая механика, Наука, Москва (1989).

98. А. Н. Castro Neto, V. N. Kotov, V. М. Pereira, J. Nilsson, N. M. Peres, B. Uchoa, Solid State Commun. 149, 1094 (2009).