Триангулированные категории в коммутативной и некоммутативной геометрии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Бондал, Алексей Игоревич

• Бондал, Алексей Игоревич
• доктор физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Бондал, Алексей Игоревич

0 Введение

1 Триангулированные категории, полуортогональные разложения и зеркальная симметрия.

1.1 Триангулированные категории, исключительные последовательности, группа Гротендика, действия группы кос.

1.2 Зеркальная симметрия для многообразий с исключительными последовательностями.

2 Свойства триангулированных категорий коммутативных и некоммутативных многообразий.

2.1 Генераторы и резольвенты в триангулированных категориях.

2.1.1 Генераторы.

2.1.2 Сильные генераторы

2.1.3 Резольвенты.

2.1.4 Конструкция резольвент.

2.1.5 Контрпример.

2.2 Генераторы и сильные генераторы для схем.

2.2.1 Формулировка результатов.

2.2.2 Поднятие компактных объектов

2.2.3 Компактные генераторы для производных категорий квазикогерентных пучков.

2.2.4 Сильные генераторы для гладких схем.

2.2.5 Производные категории аналитических поверхностей.

2.3 Производные категории градуированных колец.

2.3.1 Общие сведения.

2.3.2 Насыщенность.

2.3.3 Случай когерентного R

3 Симплектический группоид треугольных билинейных форм.

3.1 Действие группы кос и инварианты.

3.1.1 Полуортонормальные базисы и группа кос.

3.1.2 Инварианты.

3.2 Алгебраический группоид Ли и его алгеброид Ли.

3.2.1 Общие сведения об алгебраических группоидах.

3.2.2 Группоид верхне-треугольных билинейных форм.

3.2.3 Алгеброид Ли. 3.2.4 Гладкость группоида.

3.2.5 Флаги и билинейные формы.

3.2.6 Случай п = 2.

3.2.7 Общие уравнения для матриц перехода.

3.3 Симплектическая структура.

3.3.1 Общие сведения о симплектических группоидах.

3.3.2 Формулы для симплектической структуры.

3.3.3 Замкнутость формы.

3.3.4 Невырожденность формы.

4 Скобка Пуассона, центр алгеброида Ли, гамильтонианы кос.

4.1 Скобка Пуассона на Л. ф 4.1.1 Формулы для скобки Пуассона.

4.1.2 Функции Казимира.

4.1.3 Пуассонова пара.

4.1.4 Симплектические листы нулевой размерности и еще одна пуассонова пара.

4.1.5 Слои группоида и описание симплектических листов.

• 4.1.6 Размерность симплектических листов.107ч

4.1.7 Пласты.

4.2 Центр алгеброида.

4.3 Лагранжевы бисечения и гамильтонианы кос.

4.3.1 Реализация группы кос лагранжевыми бисечениями.

4.3.2 Гамильтонианы кос.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Триангулированные категории в коммутативной и некоммутативной геометрии»

Важная часть исследований в гомологической алгебре посвящена изучению свойств триангулированных категорий. Введенные сначала Вердье [81] с целью поставить на твердую почву подход Гротендика к алгебраической геометрии, триангулированные категории оказались платформой объединяющей различные области математики. Причина этого кроется в том, что производные категории от абелевых категорий различной природы оказываются эквивалентны как триангулированные категории.

В применениии к алгебраической геометрии триангулированные категории возникают в следущем контексте. Геометрия и топология алгебраического многообразия может быть описана производной категорией подходящих пучков на нем. Для изучения топологии многообразия удобно использовать конструктивные пучки, а для изучения геометрии многообразия в классическом смысле итальянской школы начала 20-го века - когерентные пучки.

В работах А. Гротендика и его учеников (Дж.-Л. Вердье, JL Иллюзи и др.) были исследованы формальные свойства производных категорий пучков различной природы и даны важные приложения построенной теории, среди которых можно отметить доказательство общей формулы Римана-Роха. Венцом этого периода исследований можно считать доказательство П. Делинем гипотез Вейля. Успех П. Делиня предопределил то обстоятельство, что в течение десяти и более лет большинство гомологических исследований алгебраических многообразий были посвящены производным категориям пучков топологической природы.

Изучение производных категорий когерентных пучков было предпринято для конкретных классов гладких алгебраических многообразий представителями моековской школы в 80-е годы. Были получены описания производных пучков для проективных пространств [8],[7], квадрик и многообразий флагов [41],[42], [43].

В работе [11] было введено понятие исключительной последовательности в триангулированной категории и его обобщение - понятие полуортогонального разложения. Было установлено, что на множестве полуортогональных разложений действует группа кос. Далее, в работе [14] было исследовано при каких условиях действие группы кос можно распространить на множество полуортогональных разложений. Для того, чтобы объяснить свойство спиральности, в [14] было введено понятие функтора Серра, которое впоследствии получило широкое применение.

При наличии полной исключительной последовательности доказывается эквивалентность триангулированной категории с производной категорией модулей над конечномерной алгеброй этой последовательности [11]. Таким образом вся информация о геометрии многообразия кодируется соответствующей конечномерной алгеброй. Проективные пространства, квадрики, флаговые многообразия обладают исключительными последовательностями. Вопрос о том для каких многообразий существуют полные исключительные последовательности и как строить такие последовательности тесно связан с гипотезой о гомологической зеркальной симметрии в формулировке М. Концевича [54] и в настоящее время является предметом интенсивных исследований.

Важнейшей составляющей частью алгебраической геометрии является бирацио-нальная геометрия. Современные исследования по бирациональной геометрии сфокусированы вокруг так называемой программы минимальных моделей, сформулированной в работах С. Мори и М. Рида. Двумерный случай был известен еще итальянской школе алгебраической геометрии начала 20-го столетия. Минимальные модели для трехмерных многообразий были построены в 80-х годах в результате усилий многих выдающихся математиков, среди которых С. Мори, В. Шокуров, М. Рид, Я. Коллар, Ю. Кавамата и др. Была обнаружена важность специальных типов бира-циональных преобразований, таких как флип и флоп. Существенный прогресс был достигнут в последнее время в размерности 4 в работах В. Шокурова и Ю. Ка-ваматы. Однако для многомерных многообразий программа минимальных моделей остается открытой.

В работе [16] был предложен новый подход к программе минимальных моделей через производные категории когерентных пучков. Было обнаружено на классе примеров, что при флопах производные категории многообразий эквивалентны, а при флипах имеется строго полное вложение одной категории в другую. Было вскрыто значение функтора Серра и поведение канонического класса при эквивалентностях производных категорий. В частности было доказано (см. [17]), что если канонический класс обилен или анти-обилен, то многообразие однозначно восстанавливается по своей производной категории.

В результате удалось придать новый смысл программе минимальных моделей как мминимизации"производной категории когерентных пучков (как триангулированной категории) в бирационалыюм классе многообразия. Причем в процессе минимизации от категории отщепляются слагаемые ее полуортогональных разложений. Флопы и флипы были интерпретированы как трансформации триангулированных категорий и t -структур в них. Были сформулированы общие гипотезы о поведении производных категорий при флопах и флипах, а также гипотеза обобщающая соответствие Маккея (см. [18]).

Эквивалентность производных категорий когерентных пучков при флопах 3-мерных многообразий была доказана Т. Бриджландом [24]. В настоящее время активно ведутся дальнейшие исследования по теме эквивалентностей производных категорий при бирациональных преобразованиях (см. свежий обзор Р. Рукье на семинаре Бурбаки [73]).

В последнее время триангулированные категории приобрели особое значение в физике. В теории струн объекты триангулированных категорий интерпретируются как D-браны, т.е. граничные условия для распространяющихся струн. При более широком взгляде, сами топологические теории поля можно понимать как триангулированные категории с подходящими условиями на функтор Серра.

Несмотря на несомненную пользу, которую принесла аксиоматика триангулированных категорий для развития теории, она оказалась недостаточной для решения многих вопросов, что отмечалось еще на раннем этапе (ср. [9]). В течении долгого времени стоял вопрос о подходящем усилении этой аксиоматики. В работе [15] была предложена аксиоматика так называемых оснащенных триангулированных категорий - дифференциально-градуированных категорий с подходящими свойствами. На практике, категории, удовлетворяющие этой аксиматике являются модельными категориями, из которых некоторой "выжимкой"можно получить триангулированную категорию. Новый технический аппарат (вместе со своей вариацией - -категориями) оказался достаточно гибким и нашел многочисленные применения как в математике так и в физике, где он приобрел струнную интерпретацию.

Триангулированные категории оказались также полезны в некоммутативной геометрии. В работе [13] был сформулирован новый подход к проблеме некоммутативных деформаций алгебраических многообразий через деформации производных категорий когерентных пучков и вычислено касательное пространство к таким деформациям в когомологических терминах. В случае многообразий Фано такие деформации описываются в полном согласии с классической теорией голоморфными скобками Пуассона на многообразии. Были предложены гипотезы относительно свойств многообразий вырождения скобок Пуассона и доказаны в размерности 2 и 3.

В докладе [18] обрисованы перспективы категорной некоммутативной геометрии в бирациональной геометрии, в частности введено понятие некоммутативного разрешения особого коммутативного многообразия и сформулирована гипотеза о существовании минимального категорного разрешения.

Цель данной работы — определить важнейшие гомологические свойства производных категорий многообразий как триангулированных категорий, изучить триангулированные категории с такими свойствами в рамках некоммутативной геометрии, а также исследовать численные характеристики триангулированных категорий, обладающих полной исключительной последовательностью в дифференциально-геометрических терминах.

Мы разрабатываем теорию генераторов в триангулированных категориях и определяем подходы к исследованию триангулированных категорий посредством сим-плектических группоидов.

Основные результаты диссертации кратко можно сформулировать следующим образом.

• Построена теория генераторов в триангулированных категориях. Доказано, что существование сильного генератора в категории влечет представимость всех точных функторов со значениями в производной категории векторных пространств.

• Построен генератор в категории совершенных комплексов на произвольной квазикомпактной квазиотделимой схеме. Доказано, что гладкость схемы влечет существование сильного генератора. Доказано существование сильного генератора для гладкой проективной некоммутативной схемы.

• Построен симплектический группоид треугольных билинейных форм. Установлена его связь с пространством флагов. Исключительным объектам в триангулированной категории соотнесены соответствующие сечения естественного расслоения над группоидом.

• Построена новая реализация группы кос лагранжевыми сечениями группоида. Определены гамильтонианы кос.

• Описаны симплектические листы скобки Пуассона на треугольных билинейных формах. Описана структура центра соответствующего алгеброида Ли. Построены две пуассоновых пары, включающие скобку Пуассона на треугольных билинейных формах и определены соответствующие интегрируемые системы.

• Дана интерпретация группоида треугольных форм в терминах теории групп Пуассона-Л и.

Теперь опишем содержание и структуру диссертации.

Во введении обоснована актуальность темы исследования, кратко рассмотрена история задач и их современное состояние, сформулированы основные результаты и описано содержание работы.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Бондал, Алексей Игоревич, 2005 год

1. L. Alonso Tarrfo, A. Jeremfas L6pez, and J. Lipman, Local homology and cohomology on schemes, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4) 30 (1997), no. 1, 1-39.

2. A.Yu. Alexeev and A.Z. Malkin, Symplectic structures associated to Lie-Poisson groups, Comm. Math. Phys., vol.162, 1994, p.147-173.

3. V.I. Arnold, S.M. Gusein-Zade, A.N. Varchenko, Singularities of differential maps, Monographs in Mathematics, vol.83, 1983, Birkhauser.

4. M. Artin and J. J. Zhang, Noncommutative projective schemes, Adv. in Math. 109 (1994), no. 2, 228-287.

5. D. Baer, Tilting sheaves in representation theory of algebras, Manuscripta Math. 60 (1988), no. 3, 323-347.

6. M. Barr, P. A. Grillet, and D. H. van Osdol, Exact categories and categories of sheaves, vol. 236, Springer Verlag, 1971.

7. Бейлинсон А. А., Когерентные пучки на P™ и проблемы линейной алгебры, Функ. Анализ и его Прил., т.12, N3 (1978) 68-69.

8. Бернштейн И., Гельфанд И., Гельфанд С., Алгебраические векторные расслоения на Р™ и проблемы линейной алгебры, Функ. Анализ и его Прил., т.12, N3 (1978) 66-67.

9. Beilinson A., Bernstien J., Deligne P., Faisceaux pervers, Asterisque 100 (1982).

10. M. Bockstedt and A. Neeman, Homotopy limits in triangulated categories, Compositio Math. 86 (1993), 209-234.

11. Боидал А., Представления ассоциативных алгебр и когерентные пучки, Изв. АН СССР, Сер. Матем., т.53, N1 (1989) 25-44.

12. A.I. Bondal, Квадратичные алгебры и когерентные пучки, Дис. канд. физ.-мат. наук М.:, МИ АН СССР, 1989.

13. A.I. Bondal, Non-commutative deformations and Poisson brackets on projective spaces, Max-Planck-Institut, 1993, №67.

14. А.И. Бондал, M.M. Капранов, Представимые функторы, функторы Серра и перестройки, Изв. АН СССР, Сер. Матем., т.53, N6 (1989) 1183-1205.

15. A.I. Bondal and M.M. Kapranov, Enhanced triangulated categories, Math. USSR Sbornik, vol.70, 1991, p.93-107.

16. Bondal A., Orlov D., Semiorthogonal decomposition for algebraic varieties, Max Planck Institut fur Mathematik, Bonn, 1995, p.55.

17. Bondal A., Orlov D., Reconstruction of a variety from the derived category and groups of autoequivalences, Compositio Mathematica, 125 (2001) 3, 327-344.

18. Bondal A., Orlov D., Derived categories of coherent sheaves, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, vol. 2 (Beijing 2002), 47-56, Higher Ed. Press, 2002.

19. Bondal A., Van den Bergh M., Generators and representability of functors in commutative and noncommutative geometry , Moscow Math. J., 3 (2003) 1-36.

20. А.И. Бондал, Симплектический группоид треугольных билинейных форм и группа кос. Известия РАН, 2004, сер. матем. т. 68, N2 4. стр. 19-74.

21. А.И. Бондал, Симплектические группоиды, связанные с группами Пуассона-Ли, Тр. матем. ин-та им. В.А. Стеклова РАН, 2004, т. 246, стр. 43-63.

22. К. Bongartz, Schichten von Matrizen sind rationale Varietaeten, Math. Ann., vol.283, 1989, p.53-64.

23. W. Borho, Ueber Schichten halbeinfacher Lie-Algebren, Invent. Math., vol.65, 1981, p.283-317.

24. Bridgeland Т., Flops and derived categories, preprint math.AG/0009053.

25. E. Brieskorn, Automorphic sets and braids and singularities, in 'Braids', Santa-Cruz/California 1986, Contemp. Math., vol.78, 1988, p.45-115.

26. G.E. Bredon, Introduction to compact transformation groups, New York, London: Academic press, 1972.

27. J.W.S. Cassels, An introduction to Diophantine approximation, Cambridge University Press, Cambridge, 1957.

28. S. Cecotti, C. Vafa On classification of N = 2 Supersymmetric theories, Commun. Math. Phys., vol.158, 1993, p.569-644.

29. J. D. Christensen, B. Keller, and A. Neeman, Failure of Brown representability in derived categories, Topology 40 (2001), no. 6, 1339-1361.

30. A. Coste, P. Dazord and A. Weinstein, Groupoides Symplectiques, Publ. du Dept. de Math, de I'Universite de Lyon 1.

31. C. De Concini and C. Procesi, Quantum groups, Lecture Notes in Math., Springer Verlag, vol.1565, 1993,p.31-140.

32. P. Deligne, Action de groupe des tresses sur une categorie, Invent. Math., vol.128, f. 1, 1997, p.159-175.

33. J. Diximier, Polarisation dans les algebres de Lie semi-simples complexes, Bull. Sci. Math., vol.99, 1975, p.45-63.

34. V.G. Drinfeld, Hamiltonian structures on Lie groups, Lie bialgebras and the geometric meaning of the classical Yang-Baxter equations, Soviet Math. Dokl., vol.27, no. 1, 1983, p.68-71.

35. V.G. Drinfeld, Quantum groups, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Berkeley, California, USA, 1986, p.798-820.

36. A. Durfee, Fibred knots and algebraic singularities, Topology, vol.13, 1974, p.47-59.

37. V.V. Fock, Dual Teichmueller spaces, ^-5a/9702018.

38. R. Hartshorne, Residues and duality, Lecture notes in mathematics, vol. 20, Springer Verlag, Berlin, 1966.

39. L. Illusie, Existence de resolutions globales, SGA6, Lecture Notes in Math., vol. 225, Springer Verlag, 1971.

40. M. Jurchescu, Theory of categories, topology, Categories, Riemann Surfaces (Romanian), Editura Acad. Republicii Socialiste Romania, Bucharest, 1966, pp. 73-240.

41. Капранов M., Производная категория когерентных пучков на многообразии Гроссмана, Изв. АН СССР, Сер. Матем., т.48, N1 (1984) 192-202.

42. Капранов М., Производ'ная категория когерентных пучков на квадрике, Функц. Анализ и его Прил., т.20, N2 (1986) 67.

43. Kapranov М., On the derived categories of coherent sheaves on some homogenious spaces, Invent. Math.,v.92, N2 (1988) 479-508.

44. M. Kapranov, On the q -analog of homological algebra, available as q-alg/9611005.

45. Kapustin A., Orlov D., Vertex algebras, mirror symmetry and D-branes: case of complex tori, submitted in Comm. Math. Phys., hep-th/0010293.

46. M.V. Karasev, Analogues of objects of the theory of Lie groups for non-linear Poisson brackets, Math. USSR Izvestiya, vol.28, 1987, p.497-527.

47. M. Kashiwara and P. Schapira, Sheaves on manifolds, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 292, Springer Verlag, 1994.

48. P. Katsylo, The rationality of moduli spaces of hyperelliptic curves, Math. USSR Izvestiya, vol.25, 1984, p.45-50.

49. B. Keller, Aoo algebras and triangulated categories, in preparation.

50. B. Keller, Deriving DG-categories, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4) 27 (1994), 63-102.

51. В. Keller,Introduction to A -infinity algebras and modules, Homology Homotopy Appl. 3 (2001), no. 1, 1-35 (electronic).

52. F. Knop, Ueber die Glattheit von Quotientenabbildungen, Manuscripta Math., vol.56, 1986, p.419-427.

53. B. Kostant, Lie group representations in polynomial rings, Amer. J. Math., vol.85, 1963, p.327-404.

54. M. Kontsevich, Homological algebra of mirror symmetry, Proceedings of ICM, Zurich, 1995, p.120-139, Basel: Birkhauser.

55. H. Kraft, Parametrisierung von Konjugationsklassen in sln , Math. Ann, vol.234, 1978, p.209-220.

56. J. Lipman, Notes on derived categories and derived functors, available from http://www.math.purdu/~1ipman.

57. J-H. Lu and A. Weinstein, Groupoides symplectic doubles des groupes de Lie-Poisson, C. R. Acad. Sci., Paris, t.309, Serie 1, 1989, p.951-954.

58. D. Luna, Slices etales, Bull. Soc. Math. France, memoire 33, 1973, p.81-105.

59. W. Magnus, Rings of Fricke Characters and Automorphism Groups of Free Groups, Math. Z., vol.170, 1980, p.91-103.

60. A.A. Markov, Sur les formes binaires indefenies, Math. Ann, vol.17, 1980, p.379-399.

61. K.C.H. Mackenzie, P. Xu, Lie bialgebroids and Poisson groupoids, Duke Math. J., vol.73, 1994, p.415-452.

62. A. Neeman, The derived category of an exact category, J. Algebra 135 (1990), no. 2, 388-394.

63. A. Neeman, The connection between the К -theory localization theorem of Thomason, Trobaugh and Yao and the smashing subcategories of Bousfield and Ravenel, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4) 25 (1992), no. 5, 547-566.

64. A. Neeman, T/ie Grothendieck duality theorem via Bousfield's techniques and Brown representability, J. Amer. Math. Soc. 9 (1996), 205-236.

65. D.Y. Nogin, Helices on some Fano threefolds: constructivity of semi-orthogonal bases of K0 , Ann. Scient. Ec. Norm. Sup., vol.27, 1994, p.1-44.

66. I. Nakamura, VIIo surfaces and a duality of cusp singularities, Classification of algebraic and analytic manifolds (Katata, 1982) (Boston, MA), Birkhauser Boston, Boston, MA, 1983, pp. 333-378.

67. D.I. Panyushev, Regular elements in spaces of linear representations of reductive algebraic groups, Math. USSR Ivestiya, vol.24, 1985, p.383-390.

68. D. Peterson, Geometry of the Adjoint Representation of a Complex Semisimple Lie-Algebra, Ph.D. Thesis, Harvard University, 1978.

69. Ping Xu, Dirac submanifolds and Poisson involution, math.SG/0110326, 2001.

70. D. Quillen, Higher algebraic К -theory. I, Algebraic К -theory, I: Higher К -theories (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972) (Berlin), Springer, Berlin, 1973, pp. 85-147. Lecture Notes in Math., Vol. 341.

71. I. Reiten and M. Van den Bergh, Noetherian hereditary abelian categories satisfying Serre duality, J. Amer. Math. Soc. 15 (2002), no. 2, 295-366 (electronic).

72. J. Rickard, Morita theory for derived categories, J. London Math. Soc. (2) 39 (1989), 436-456.

73. Rouquier R., Categories derivees et geometrie birationnelle d'apres Bondal, Orlov, Bridgeland, Kawamata.], Seminaire Bourbaki, 57eme annee, 2004-2005, №947.

74. P. Seidel, Vanishing cycles and mutations, Proceedings of the 3rd European Congress of Mathematics, Barcelona, 2000.

75. P. Seidel, More about vanishing cycles and mutations, math/0010032, 2000.

76. M.A. Semenov-Tian-Shansky, Dressing transformations and Poisson group actions, Publ. RIMS, Kyoto Univ., vol.22, no. 6, 1985, p.1237-1260.

77. N. Spaltenstein, Resolutions of unbounded complexes, Compositio Math. 65 (1988), no. 2, 121-154.

78. B. Stenstrom, Rings of quotients, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen, vol. 217, Springer Verlag, Berlin, 1975.

79. R. Thomason and T. Trobaugh, Higher algebraic К -theory of schemes and of derived categories, The Grothendieck Festschrift, vol. 3, Birkhauser, 1990, pp. 247435.

80. M. Ugaglia, On a Poisson structure on the space of Stokes matrices, matfi/9902045.

81. J.-L. Verdier, Categories derivees, SGA , Lecture Notes in Math., v.569, Springer-Verlag, 1977, p. 262-311.

82. A. Weinstein, Symplectic groupoids and Poisson manifolds, Bull. Amer.Math.Soc., vol.16, 1987, p.101-104.

83. A. Weinstein, The symplectic 'category', Lecture Notes in Math., Springer Verlag, vol.905, 1982, p.45-51.

84. A. Weinstein, Ping Xu, Classical solutions of the Quantum Yang-Baxter Equation, Commun. Math. Phys., vol.148, 1992, p.309-343.

85. S. Zakrzewski, Quantum and classical pseudogroups. Part 1. Union pseudogroups and their quantization. Commun. Math. Phys., vol.134, 1990, p.347-370.

86. S. Zakrzewski, Quantum and classical pseudogroups. Part 2. Differential and symplectic pseudogroups. Commun. Math. Phys., vol.134, 1990, p.371-395.

87. S. Zakrzewski, On relations between Poisson and quantum groups. Lecture Notes in Math., Springer Verlag, vol.1510, 1992, p.326-334.Отдел Алгебры, Математический Институт им. Стеклова РАН, ул. Губкина 8, Москва, 117966 Россия.