Качественная теория преобразований квантовых систем в подходе обратной задачи тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.16, кандидат физико-математических наук Чабанов, Владимир Михайлович

• Чабанов, Владимир Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чабанов, Владимир Михайлович

Содержание

Введение

I. Одномерное уравнение Шредингера

1. Качественная теория управления локализацией отдельных

квантовых состоянии.

1.1. Элементы теории

обратной задачи

1.2. Трансформированные потенциалы

1.3. Выбрасывание уровня Ер как предел с^ -* О

(или М^ - 0)

1.4. Протаскивание сквозь барьер избранных состояний

1.5. Управление переходами

2. Прозрачные потенциалы

3. Преобразования периодических квантовых систем с сохра-

нением спектральной (зонной) структуры - неожиданная ин-вер сия исходного потенциала

3.1. Формализм

3.2. Результаты

4. Аннигиляция при вырождении уровней связанных состояний

4.1. Случай преобразования с сохранением симметрии по-

тенциала

«

4.2. Формулы сдвига уровней, не нарушающих симметрии потенциала на конечном отрезке

4.3. Асимметричный случай

II. Система сильно свяоанных уравнений Шредингера

5. Изменение приведенных ширин в рамках многоканального подхода

6. Беоотражательные многоканальные системы (неожиданные особенности

7. Преобразование супер симметрии в многоканальном случае

8. Заключение

Литература

I

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Качественная теория преобразований квантовых систем в подходе обратной задачи»

ВВЕДЕНИЕ

Суть квантовой теории, в самых общих чертах, - это установление связей характеристик взаимодействия со спектральными данными. Ежедневной работой для миллионов физиков является предсказание динамики системы частиц, если известны силы. Например, в ядерной физике, где на уровне описания атомного ядра как совокупности взаимодействующих частиц - нуклонов, хорошим приближением служит уравнение Шредингера, рассчитывают уровни энергии связанных состояний (спектры), положение и ширины резонансов и т. д., в зависимости от задаваемых феноменологически парных взаимодействий. Иногда это называют прямой задачей (V 5), в которой потенциалы взаимодействия V определяют различные свойства квантовой системы S -данные рассеяния, спектральные параметры и пр. Обратная же задача (5 —> V) состоит в том, чтобы по наблюдаемым данным, или данным рассеяния 5, найти потенциал V системы.

Возникнув в середине XX столетия, обратная задача (квантовомеха-ническая) привлекала и продолжает привлекать внимание многих физиков и математиков, однако для физиков она остается все еще не до конца освоеной стороной квантовой теории. Одной из причин здесь являлось то, что обратная задача является не корректно поставленной задачей - любые, сколь угодно малые вариации 6S входных параметров могут привести к не контролируемому росту 6V. Правда, эту трудность можно в значительной мере устранить, используя метод регуляризации Тихонова, - например, в DESY, Гамбург, успешно работает группа, возглавляемая профессором von Geramb'oM (см. напр. [30]), которая восстанавливает потенциалы по экспериментальным данным рассеяния с помощью алгоритмов регуляризации Тихонова. Другим препятствием служит пере определенность данных рассеяния в случае многомерных (многочастичных) квантовых систем: матрица рассеяния 5(к, к') зависит тогда от 2N - 1 независимых параметров (N - размерность системы, а единица вычитается из-за закона сохранения энергии к2 = к'2), но потенциал V(x) только от N параметров. Это приводит к "артефактам" в виде нелокальной зависимости от N - 1 переменных восстановленных потенциалов [9, 31].

Однако в формализме обратной задачи скрывается еще одна особенность, которая может помочь углубить наше понимание фундаменталь-

ных аспектов квантовой теории (связь данных рассеяния и потенциалов). Речь идет о том, что обратная задача позволяет конструировать потенциалы, спектры которых отличаются от спектров исходных (известных) потенциалов изменением произвольной конечной группы спектральных параметров, причем решения даются в виде замкнутых аналитических выражений (детали см. ниже в диссертации). Решающим обстоятельством является тот факт, что такие точно решаемые модели представляют собой полный набор, т. е. имеется возможность, в принципе, приблизиться к произвольным объектам с помощью изменения в пределе бесконечного числа спектральных параметров исходной системы, - при этом спектр изменится так, что новые спектральные данные совпадут со спектральными данными приближаемой произвольной системы.

Таким образом, обратная задача дает возможность изменять по желанию наблюдаемые величины соответствующими вариациями взамодей-ствия - а это хороший способ понять закономерности структуры микромира и процессов в нем. Вообще говоря, зачастую бавает полезно освободить себя от стесняющих ограничений рассматривать только "реальные" физические системы. Например,

Н.Н.Боголюбову в свое время удалось описать корреляции сверхпроводящего типа с помощью метода и -V преобразований, не сохраняющих постоянным число частиц в системе (атомном ядре). Однако в среднем число частиц остается неизменным, т. е. такое преобразование вводит статистический ансамбль ядер с разным числом нуклонов, распределение по которому имеет максимум (все более резкий с увеличением числа частиц) на интересующем нас ядре. Так и в нашем случае, - не ограничивая себя реальными квантовыми системами, составляющими множество меры нуль среди всех мыслимых объектов, можно навести между ними связующие мостики непрерывных переходов (точно решаемые модели).

Не вызывает сомнения, что новые, точно решаемые модели способствуют становлению единой квантовой теории. Кто-то удачно назвал их верстовыми столбами познания. Обычно физикам, знакомым в основном с прямой квантовой задачей, известно не больше десятка таких моделей: с прямоугольным, осцилляторным, кулоновским и пр. потенциалами. Кроме того, в прямой задаче затруднено направленное изменение наблюдаемых. В обратной же задаче ситуация совершенно иная, так как здесь произвольные изменения выбранной группы спектральных

параметров есть точно решаемые модели, и таких моделей - полный набор, что позволяет сколь угодно точно аппроксимировать произвольную квантовую систему. При этом компьютерная визуализация точных моделей дает возможность выявлять глубокие общие связи (и их физический смысл), скрытые в математическом формализме [10, 25, 28, 26]. Знакомство с некоторыми из моделей сопровождается в настоящей диссертации наглядными иллюстрациями, дополняющими известные "книги квантовых картинок" Брандта и Дамена [19] в традиционной теории (и в случае одномерного уравнения Шредингера).

Теперь, опираясь на графические иллюстрации, можно выработать собственные качественные правила, как, уже не прибегая к компьютеру и формулам, осуществлять качественное конструирование квантовых систем "на заказ", с желаемыми спектральными свойствами, причем делать это в самом общем случае. Речь идет, таким образом, о создании новой качественной теории управления квантовыми системами - свода универсальных правил получения квантовых систем с заранее заданными спектральными характеристиками. И благодаря такой теории в значительной мере устраняется асимметрия между двумя главными составными частями нерелятивистской квантовой теории - прямой и обратной задачами., Этому и посвящена данная работа.

В 1-й части настоящей диссертации будет изложена теория квантового "дизайна" для случая одного одномерного уравнения Шредингера

-ф"(х) + У(х)ф{х) = Еф(х),

где мы положили Ъ = 2т = 1 . Будет доступно, наглядно, с удивительно простыми качественными комментариями поучительных картинок рассказано:

- как устранить из дискретного спектра произвольный уровень, не трогая остальных, или породить на заданном месте новый,

- как сдвигать локализацию отдельных состояний в пространстве и на энергетической шкале, с помощью вспомогательных потенциальных ямок - "переносчиков" избранных состояний,

- как изменять скорости распадов отдельных квазистационарных состояний (резонансов), пронося квазисвязанные состояния сквозь потенциальные барьеры, управляя тем самым ширинами резонансов,

- как аналогично управлять переходами между дискретными состояниями, меняя интегралы перекрытия,

- как управлять прозрачностью в обычных пространствах и зонной структурой периодических потенциалов.

- как при сближении (вырождении) соседних уровней связанных состояний происходит "аннигиляция" этих уровней - волновые функции соответствующих состояний становятся отличными от нуля только в ограниченных областях действия специфических притягивающих потенциальных ямок, которые при вырождении уходят на бесконечность. Эти результаты позднее составили основу книги [5].

Вторая часть посвящена перестройке спектров в случае многоканальных квантовых систем. Реальный мир неизмеримо богаче и сложнее случаев, описываемых одним одномерным уравнением Шредингера. Здесь мы имеем уже многомерные и многочастичные объекты. И метод сильной связи каналов Фешбаха как раз является одним из универсальных способов описания ядерных, атомных и других квантовых систем со многими степенями свободы . Он интенсивно развивался в подходе прямой задачи (см. [3]). Позднее была написана и многоканальная обратная задача. Здесь тоже есть полный набор алгортмов направленных спектральных сдвигов. В диссертации приводятся примеры перестройки многоканальных систем при выборочной вариации спектральных весовых векторов (параметров, характеризующих поведение мультиканальной волновой функции на краю системы). Поняты особенности формы многоканальных потенциальных матриц не дающих отраженных волн при любых энергиях. Удивительно, что возникающие в потенциальные барьеры не портят прозрачности! Как ни парадоксально, они даже необходимы для 100-процентной проницаемости. И это не при отдельных значениях энергии, как в резонансном туннелировании, а во всем непрерывном спектре(!).

Таким образом, появилась возможность просто объяснить многое из того, что еще недавно скрывалось в черном ящике квантовых загадок. Хотя все это демонстрируется на точных моделях, но качественно верно и в общем случае. Так что дальше легко предсказывать многие результаты без формул и компьютеров.

Наконец, часть диссертации посвящена обобщению теории преобразования суперсимметрии (Дарбу) на многоканальный случай. Эта теория была развита для обычного уравнения Шредингера и, частично, для многоканального случая в работах [1, 17, 20, 36, 2, 40, 42, 43]. Преобразованием супер симметрии называется преобразование гамильтонина,

которое получается путем его факторизации на два дифференциальных оператора первого порядка, сохраняющее спектральную структуру, за исключением одного уровня связанного состояния, добавляемого или устраняемого из спектра системы при данном преобразовании. Сами по себе эти преобразования не являются новыми - они восходят еще к работам Дарбу, Имшенецкого и даже Эйлера. Но, начиная с работы Witten (1981) [42], где был впервые рассмотрен пример супер симметричной системы (движение нерелятивистской частицы со спином 1/2 в одном измерении), которая вообще уже не имела отношения к теории поля, вводится термин "суперсимметричная квантовая механика". Этот термин используется для описания систем, формальная математическая структура которых задается (или выводится из) алгеброй суперсимметрии, аналогичной таковой в полевой теории. Эти формально суперсимметричные квантовые системы представляют собой комбинацию (или "прямую сумму") обычных шредингеровских систем, переход между которыми осуществляется как раз при помощи преобразований Дарбу. В этом смысле название "суперсимметрия" есть имя собственное, оно сложилось исторически, и уже является вполне устоявшимся в литературе термином. Поэтому и мы пользуемся им только в этом смысле,

и в дальнейшем, при повторном упоминании преобразования суперсимметрии, мы будем всегда подразумевать именно это толкование термина.

В диссертации даются иллюстрированные примеры преобразования многоканальной супер симметрии для случая всей оси, демонстрируются соответствующие алгоритмы, в полном виде нигде ранее не упоминавшиеся в литературе, сравниваются эти трансформации и преобразования, получаемые в подходе обратной задачи. Оказывается, что итоговые формулы для двойного преобразования супер симметрии совпадают с таковыми в подходе обратной задачи. Но имеется и множество случаев, когда супер симметрия дает новые, отличные от обратной задачи, трансформации потенциалов. А это пополняет наш арсенал точно решаемых моделей, что, в свою очередь, делает более широкими перспективы квантового "управления".

Трудно переоценить значение квантового управления для современной микроэлектроники, лазерной техники, квантовой оптики и др. И дело не столько в перспективах практических приложений, сколько в переходе на новый уровень понимания закономерностей квантового мира. В процессе

интенсивного развития квантовой теории ("перманентная революция") идет не только накопление массы новых данных, но и сокращается разрыв между новейшими достижениями и тем, что известно широкому кругу специалистов и что преподается в вузах. В конечном счете цель всякой науки - сконцентрировать знания о природе в квинтэссенцию, своего рода интуицию, максимально экономную в смысле занимаемой памяти и необходимым усилиям при использовании в приложениях. Такая интуиция облегчит продвижение в океане нерешенных еще проблем ядерной, атомной и молекулярной физики. Каждому, кто имеет какое-то отношение к квантовой физике, полезно хотя бы раз взглянуть на приводимые здесь результаты и "квантовые" картинки.

I. ОДНОМЕРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

1 КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ ЛОКАЛИЗАЦИЕЙ ОТДЕЛЬНЫХ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ

Как наглядную иллюстрацию новой ситуации, сложившейся в квантовой механике, продемонстрируем в этом разделе деформации потенциалов при удалении из их спектров отдельных уровней и потенциальные возмущения, необходимые для пространственного сдвига избранных квантовых состояний [21]. Были получены такие картинки, которые удалось просто объяснить, и теперь можно говорить о том, что они восполняют ряд недостающих элементов квантовой грамоты.

Первыми, кто привел формулы для возмущений, убирающих уровни, были Абрагам и Мозес [15]. Строго говоря, одна тривиальная иллюстрация удаления основного состояния из осциллятора уже приводилась (в работе Сукумара [40]). Благодаря эквидистантности спектра, если не нарушать симметрию, в этом случае происходит сдвиг вверх по энергии на один межуровневый интервал кривой осцилляторного потенциала без каких-либо искажений ее формы. Но ответить на вопрос, какие изменения в той же бесконечной яме необходимы для исчезновения второго или следующих уровней, было затруднительно без компьютерной графики.

Была попытка использовать опыт деформации потенциалов для сдвига отдельных уровней (уже достигнута ясность [6, 4, 9], какая форма возмущений АV обеспечивает смещение избранных собственных значений энергии). Однако "уничтожение" уровня эквивалентно бесконечному(!) числу таких сдвигов. Действительно, сдвинув "нежелательный" уровень на место ближайшего соседа сверху, и того в свою очередь - на место верхнего соседа и т.д. до бесконечности, мы убеждаемся в том, что избранное состояние как бы пропало. Но сложно представить себе, как суммируется такое неограниченное число возмущений.

Суть преобразования потенциала оказалось проще объяснить так: в каждом из бесконечного числа состояний выше удаляемого пропадает по одному узлу. Для этого собственные функции нужно сделать "короче на полволны", что достигается сужением потенциальной ямы, напри-

мер сдвигом левой стенки вправо, как на рис.1. Можно добиться того же и сдвигом правой стенки. По-видимому, существует и соответствующее симметричное возмущение, форма которого предсказывается "симметризацией" кривых с рис.1.

Рис.1. Изменения формы осцилляторной и линейной ямы при исчезновении уровня: первого а), второго б)3-го и 4-го в),г)уровней. Сужение ям (а-в) вызвано сокращением на полколебания осцилляций собственных функций состояний, расположенных выше ликвидированного уровня.

Первые результаты расчетов (формулы см. ниже) даже показались неправдоподобными из-за нарушения симметрии потенциала при удалении уровня - Рис. 1. Ведь исходная яма была симметричной и модуль

"уничтожаемого" состояния симметричен. Форма же симметричного потенциала полностью задается своим спектром. Откуда же берется асимметрия? Дело здесь в том, что операция поглощения уровня является неоднозначной: свободными параметрами остаются нормировочные константы, которые, наряду со значениями уровней, являются фундаментальными спектральными данными. В подходе Марченко, которым мы воспользовались, нормировки фиксируют асимптотическое поведение собственных функций с одной из сторон, а мы для простоты оставляли их у всех сохраняемых уровней неизменными, и устремляли к нулю или к бесконечности нормировку избранного состояния, внося тем самым наблюдаемую асимметрию.

1.1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

Здесь мы даем краткое введение в формализм обратной задачи [9]. Рассмотрим некоторую потенциальную яму с лесенкой дискретных уровней энергии Еу связанных состояний с орт ©нормированными волновыми функциями которые мы рассматриваем как репер в бесконечномерном пространстве. Помимо уровней энергии есть еще фундаментальные спектральные параметры - нормировочные константы. Для задачи на полуоси [0,оо) это могут быть коэффициенты пропорциональности с„ ("нормировочные" константы) между нормированными на единицу функциями ф„(х) и так называемыми регулярными решениями <р»(х), имеющими в точке х=0 производную, равную единице:

ф„(х) = С„<р„(ж). (1)

Двойной набор спектральных параметров {Еи,си} полностью задает форму бесконечной потенциальной ямы. Те же функции при фиксированном значении координаты х и при всех значениях Еи можно рассматривать как другие вектора (в "энергетическом" пространстве - и играет роль индекса, нумерующего компоненты вектора, а координата х есть "номер" вектора) и тоже ортонормированные, только в этом случае свойство ор-тонормированности лучше известно как соотношение полноты (равенство Парсеваля):

12Мх)ФЛУ) = = 6(х - У)- (2)

V V

Это соотношение будем понимать как равенство нулю не обычного скалярного произведения, а с дополнительными весовыми факторами си за-

дающими геометрию нашего "энергетического пространства", или "меру" . Этому соотношению удовлетворяют решения как исходного, так и возмущенного потенциалов, только они взяты при значениях энергии разных спектров и ортонормированы с разным весом (или мерой) си2 и с£. И обратная задача перехода от исходного потенциала к возмущенному у-» V сводится к перенормировке ортов: при изменении весовой функции (меры) наше пространство "искривляется" и исходные собственные функции уже не будут ортогональны - их надо заново ортонормировать.

Напомним стандартную процедуру ортогонализации Грама-Шмидта на примере двух первоначально неортогональных (в смысле новой весовой функции) векторов (1), «/V (2), V = 1,2.

В качестве первого орта </>1/(1) новой системы возьмем первый невозмущенный орт фи (1), а второй построим из второго же невозмущенного, только вычтем из него все, что в нем имеется лишнего (параллельного </>„ (2)), для ортонормированности с новым весом:

^(1) =ф„ (1); <р„(2) =ч>„ (2) - К{21) Ф„ (1).

Коэффициент же К ищем из условия ортогональности новых векторов: </>!/(2) 1 </?1/(1) = Фи (1) • В результате получаем предельно упрощенный двумерный "прообраз" уравнения обратной задачи:

К( 2,1) + <Э(2,1) + К{ 2,1)<Э(1,1) = 0, (3)

где

2

С&щ га) = £ с? <р„ (п) фу (га) - (4)

¡/=1

2 2 о о

Е с^ (п) (га); п,т = 1,2.

О г \ (

В многомерном пространстве таких векторов много: <р„ (га) (га = 1,2,..., ^ = 1,2,...) и (ри(п) (п = 1,2,..., г/ = 1,2,...). Соответственно больше и коэффициентов К:

о П-1 о

<Ри{п) (п) + £ К(п, га) ^ (га), (5)

ш= 1

для которых в качестве условий отрогональности новых векторов ^„{г) (г = 1,2,...): </>!/(« /г) ± 01/(А;) получаются системы алгебраических уравнений для К - дискретный аналог уравнений ОЗ.

п-1

К(п,т) -\-Я{п,т) + К(п1Р)Я(Р1т) = га < п, (6)

Р= 1

где Q(n,m) определяется как в (5), только значения пишне огрничены 1 и 2.

Непрерывным аналогом этой процедуры, когда роль индексов-номеров ортов играют значения х, а ортонормирование ведется по энергетической переменной (роль условий ортогональности здесь играет соотношение полноты), является выражение

Мх) О) + /К(х,у) 4>у (у)о1у, (7)

где пределы интегрирования 0, х - в подходе Гельфанда-Левитана (Г-Л) и х, оо - в подходе Марченко (М). Коэффициенты К, связывающие функции исходного потенциала с функциями нового, определяются из условия ортонормировки сри(х) ко всем векторам </?„(х) - уже построенным новым ортам с "номерами" у (именно, у < х или у > х в подходах Г-Л или М, соответственно). И этими уравнениями для К как раз и являются уравнения обратной задачи (с пределами интегрирования, как и в (7)):

К(х1У)+<Э(х,У) + / - 0, (8)

а ядро строится из невозмущенных функций при старых и новых спектральных параметрах:

у) = £<2к (х) к (у)К (х) ^ (у)+ /••■>• (9) 1/ ¡1

В наших задачах изменений непрерывного спектра не будет, поэтому интеграл, отвечающий изменениям данных рассеяния, пропадает. Ядро построено из известных функций ф исходной системы с соответствующими спектральными параметрами Ец во второй сумме и новыми спектральными параметрами с/у; еи в первой. Таким образом в закладывается программа преобразования свойств системы. Ядро уравнения (9) - это как бы наш "пульт управления" квантовой перестройкой.

Если изменить спектральные параметры конечного числа связанных состояний, то для остальных соответствующие члены в левой и правой суммах взаимно сократятся, так что в останется конечное число членов, факторизованных по "номерам" х и у. С таким вырожденным

ядром уравнение обратной задачи сводится к системе конечного числа алгебраических уравнений. По найденному из них К определяется новый (возмущенный) потенциал.

у(х) =у (х) ± -^К(х,х), (10)

где выбор знака зависит от применяемого подхода ("+". для Г-Л и "-" для М).

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта можно начинать с любого исходного вектора. Поскольку в обратной задаче "номером" вектора служит координата, можно начинать ортогонализацию из асимптотики х = оо - это подход Марченко, или из начала координат - это подход Гельфанда-Левитана. В дальнейшем будем пользоваться следующими обозначениями для спектральных весовых векторов, характеризующих поведение /¿-той собственной волновой функции на границе системы (или асимптотическое поведение): Мц и есть спектральные весовые факторы (или нормировочные константы) в М и Г-Л подходах соответственно.

1.2 ТРАНСФОРМИРОВАННЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ

В данном разделе мы будем использовать в качестве исходных потенциалов бесконечные потенциальные ямы без непрерывного спектра. Тем не менеем полученные результаты будут справедливы и для более широкого класса квантовых систем. Еще раз запишем интегральное уравнение обратной задачи (8), рассмотрев для примера подход Марченко:

оо

к(х,у) + д(х,у) + 1к(х№(г,у)м = о. (п)

X

Оно является как бы "вывернутым наизнанку" уравнением Шредингера. Вместо процедуры прямой задачи, когда в обычное уравнение Шредингера вкладывается некоторый потенциал У{х) и после решения находятся физические свойства данной квантовой системы, мы можем в обратной задаче вложить желаемые спектральные параметры в ядро

N о о М О о

=Т,Ф {Кг,,х) ф -¿2ф (к^х) ф (Кц,у), (12)

V ц

где константы = Еу,^ — Е^ определяют уровни энергии в новой V и исходной v ямах (которых в нашем случае бесконечное число К=М=оо),

а интеграл (лишь символически помеченный в (9)) относится к состояниям непрерывного спектра, которого в бесконечных ямах нет. Решения

о

фу в первой сумме отвечают уравнению Шредингера с исходным потенциалом, но берутся при собственных значениях энергии для возмущенной ямы и с соответствующими новыми спектральными весовыми факторами. Если функции в левой сумме для сохраняемых уровней брать теми же, что и в правой, это будет означать выбор для них прежних нормировочных множителей. Тогда при удалении конечного числа уровней

" о .

из исходной ямы v в (12) остаются лишь отвечающие им члены второй суммы, поскольку параметры остальных уровней предполагаются неизменными и соответствующие члены в первой и второй суммах взаимно сокращаются. С этим вырожденным ядром уравнение обратной задачи сводится к алгебраическому. Его решить просто, т.е. найти К, которое, в свою очередь, является ядром интегрального оператора обобщенного сдвига, переводящего волновые функции исходной невозмущен° о

ной системы ф в функции с новым потенциалом У(х) =у (х) - 2К'(х,х).

При уничтожении одного уровня имеем

п*)1- (13)

1 - / ф^ (у¥у

На рис.1 для исходных осцилляторной (на всей оси) и линейной (на полуоси) ямы показаны возмущенные потенциалы при исчезновении первого, второго и третьего уровней.

Рельеф нижней части возмущенной ямы определяется тем, что после ее сужения поднимается вверх конечное число уровней под уничтожаемым, и их нужно сместить вниз согласно правилу, обсуждавшемуся в [6, 9]. Число локальных минимумов равно числу максимумов модуля функции состояния, ближайшего к "спектральной дыре" снизу, поскольку оно наиболее чувствительно к возмущениям там, где вероятность обнаружить частицу на данном уровне наибольшая. Опускание более низких состояний не так отчетливо отражается на форме возмущения (оно лишь "модулирует несущую частоту" наиболее энергичного из группы состояний под создаваемой спектральной дырой).

В случае удаления двух уровней сужение примерно вдвое сильнее. Теперь молено с большой степенью надежности предсказать, что для порождения нового уровня нужно расширять яму, а конечное число

расположенных ниже состоянии удерживать на старых местах, подталкивая снизу вблизи точек максимумов модулей их функций.

Возмущение потенциала стремится к нулю при больших в чем можно убедиться, используя правило Лопиталя при раскрытии неопределенности 0/0.

Результаты для потенциалов на полуоси имеют отношение и к трехмерным симметричным задачам. Нужно, правда, отметить, что в этом случае мы имеем дело лишь с уровнями, отвечающими определенному значению орбитального момента I: так при уничтожении з-уровня уровни с другими / > 0 будут смещаться. Чтобы не дать им двигаться нужно вводить в потенциал зависимость от дополнительных переменных: например, нелокальность по углам. Результаты на всей оси тоже применимы в трехмерном случае, только с потенциалами, независящими от двух из трех переменных.

Простое объяснение показанных выше результатов позволяет сделать довольно надежные предположения о качественных характеристиках потенциалов, которые должны получиться при других постановках задачи.

Если в формулах обратной задачи в подходе Марченко поменять пределы интегрирования по пространственной координате [ж,оо) на (-оо,ж], то полученные потенциалы и функции окажутся зеркально отраженными относительно точки х = 0.

В подходе Гельфанда-Левитана для осцилляторного потенциала на полуоси (с пределами интегрирования [0, х]) вертикальная потенциальная стенка в нуле должна оставаться неподвижной, а двигаться будет правый край бесконечной ямы. Это подтвердилось расчетами по формуле (см. рис.1 для случая линейной ямы):

о 2

+ ^о[Х) ]. (14)

(уУУ

Если симметрично продолжить на левую полуось возмущенную яму, то в полученных ямах лишь уровни с нечетными состояниями будут совпадать с уровнями симметричного осциллятора, поскольку только они являются одновременно и уровнями ямы на полуоси. Поэтому и форма правой стенки возмущенной потенциальной ямы на полуоси должна отличаться от случая выкидывания "того же" уровня в подходе Марченко

на всей оси, поскольку в игре на полуоси участвуют лишь нечетные состояния симметричной ямы.

Если вместо уничтожения имеющихся уровней порождать новые состояния, то следует, естественно, ожидать соответствующего расширения потенциальных ям. Случай рождения уровня в линейной яме У(г) = г показан на рис.2, (а) (а в конечной прямоугольной яме - на рис.2, (б)).

При этом в формулах для потенциала типа (13) в этом случае в знаменателе нужно заменить минус на плюс. Формулами типа (13) при добавлении уровня пользоваться сложнее, так как нужны нефизические решения в исходной яме при значениях энергии между связанными состояниями (для прямоугольной ямы это не сложно).

На рис.2 б показан пример порождения нового (шестого) уровня в конечной прямоугольной яме. Осцилляции возмущения плоского дна потенциала нужны, с одной стороны, для подъема на прежние места старых уровней, которые иначе опустились бы из-за расширения исходной ямы

о о

за счет дополнительной ямки справа. С другой стороны, нарастание осцилляций потенциала влево служит сгребанию порожденного состояния к началу координат, поскольку мы выбрали большую производную Ф'(£е,0). Барьер ("потенциальный зуб" на месте скачка исходной прямоугольной ямы) между основной и дополнительной ямами нужен для сохранения неизменной спектральной функции непрерывного спектра.

Рис. 2 Изменение формы линейной ямы при рождениии уровня между основным состоянием и первым возбужденным а). Изменение формы прямоугольной ямы конечной глубины с пятью уровнями при рождении шестого уровня б).

1.3 ВЫБРАСЫВАНИЕ УРОВНЯ Е^ КАК ПРЕДЕЛ ср - 0 (или Мц - 0)

Изменения величины нормировочного множителя см (или в подходе Марченко - коэффициента М'ц при затухающей экспоненте в асимптотическом поведении справа собственной функции /¿-го состояния) можно связать с устранением соответствующего энергетического уровня из спектра [21]. Казалось бы, невозможно представить себе, как с помощью непрерывного процесса изменения норм, конст., при неподвижных уровнях, можно добиться исключения уровня, совершаемого скачком. Тем не менее, рассмотрим выражение для ядра К(х,у) при изменении спектрального весового фактора одного выбранного собственного состояния при энергии Ец, которое получается из формул (9, 8), так же как это было сделано для случая уничтожения избранного уровня:

где £ и пределы интегрирования есть Сц, [0,ж] в Г-Л и М^, [ж,оо] в М подходах соответственно. Нетрудно видеть, что при £ = 0 имеем те же формулы, что и для уничтожения Ец. Это сразу наводит на мысль об устранении уровня как предельном случае вариации спектрального весового фактора.

Типичная картина при выборе близкой к нулю норм, конст.показана на рис.3 (а). В данном случае характерная "сосулька-ловушка" слева в возмущенном потенциале получается при сильном изменении норм: конст. Форма сосульки такова, что в ней создаются благоприятные условия для стоячей полуволны избранного состояния, а для всех других происходит самогашение за счет неконструктивной интерференции волн, многократно отраженных от стенок, и тем более сильное, чем дальше в сторону отодвинуть сосульку.

Это свойство "выскальзывания" (эШаЫШу) выбранного связанного состояния из "стопки" остальных при изменении соответствующей норм. констГ~ - характерная реакция квантовой системы (в случае одноуровневой системы двигается целиком вся яма). Вместе с тем вырастает барьер, сужающий исходную осцилляторную яму и уменьшающий число узлов состояний выше избранного в главной части ямы. Последние узлы (по одному для этих состояний) уходят под барьер, разделяющий

сосульку и основную яму. В пределе эти последние узлы удаляются на бесконечность.

При вариациях одного из полного набора спектральных параметров {Ец,М/л} или Сц меняются форма всех собственных функций, в том числе и тех состояний, спектральные параметры которых не трогались -результат не удивительный, коль скоро трансформируется потенциал, но еще раз подчеркнем, что собственное значение энергии (и сопряженный ему спектральный весовой фактор) меняется только у избранного состояния.

При уничтожении нескольких уровней (стремлении соответствующих с к нулю) появляются несколько сосулек, взаимное расположение которых зависит от соотношения величин нормировочных множителей. В частности, сосульки могут располагаться с одной или разных сторон от главной ямы. При больших Мц или малых с^ сосульки образуются справа.

Это пропивает дополнительный свет на, казалось бы, уже раньше полностью понятое возмущение потенциалов при изменении нормировок (см.[6, 9]). Например, изменение приведенных ширин в бесконечной прямоугольной яме дает возмущенный потенциал с "зародышами" сосулек, играющих одновременно роль корректировщиков положения нижних уровней на энергетической шкапе. В ямах с невертикальными стенками эти зародыши (один или несколько, см. рис.3 а, г) могут быть сдвинуты на любое расстояние. При этом каждый из них уносит с собой по одному узлу соответствующей функции.

На рис.3 б, в демонстрируется смещение вправо локализации состояния первого и второго уровня исходной конечной прямоугольной ямы с пятью связанными состояниями. Ямка-переносчик здесь имеет солито-нообразный вид (чтобы, благодаря своей безотражательности, не портить непрерывный спектр исходного потенциала). Характерный "потенциальный зуб" возник для компенсации сглаживания резкого края исходной прямоугольной ямы: чтобы в непрерывном спектре оставались прежние свойства рассеяния.

Формулы изменения нормировочных констант были получены и с помощью техники супер симметрии [2] в 1988, 1991,значительно позднее, чем в обратной задаче (делается это в два этапа подобно преобразованиям, обсуждавшимся Фаддеевым [13]), - об этом еще будет сказано

ниже в диссертации.

Рис.3. а) Трансформация осцилляторного потенциала при приближении к нулю спектрального весового фактора Мг в подходе Марченко (для состояния второго уровня): в возмущенном потенциале появляется узкая ямка ("сосулька-ловушка"), уносящая на минус бесконечность область локализации этого состояния при М2 —> 0, что можно рассматривать как его постепенное "устранение". Состояния, лежащие выше по энергии, остаются в основной яме и имеют по узлу под барьером, отделяющим сосульку от основной ямы. Внутри сосульки они делают последнее колебание с амплитудой, быстро убывающей при удалении сосульки, б) Удаление основного состояния из конечной прямоугольной ямы осуществляется с помощью солитоноподобной ямы. в) То же для первого возбужденного состояния. Дополнительный потенциальный пик обеспечивает неизменность асимптотики волнлвых функций непрерывного спектра, г) Удаление двух состояний из осцилляторной ямы с помощью двух сосулек.

1.4 ПРОТАСКИВАНИЕ СКВОЗЬ БАРЬЕР ИЗБРАННЫХ СОСТОЯНИЙ

Интуиция позволяет качественно предсказать свойства квантовых систем без использования формул и компьютеров [21]. Рассмотрим картину (см. рис.4) преобразования осцилляторной ямы в яму с конечным барьером вместо ее правой, неограниченно растущей ветви, при увеличении нормировочной константы - множителя М\ в асимптотическом поведении волновой функции справа. Вспомогательная узкая яма уносит избранное состояние тем дальше, чем сильнее изменено выбранное значение Мг-

Рис.4 Переход связанных состояний в распадные при загибе одной из бесконечных стенок для потенциала, аналогичного изображенному на Рис. 3 а (только теперь при уменьшении М второго связанного состояния слева) так, чтобы она превратилась в потенциальный барьер конечной величины. Таким образом, перенос связанного состояния становится уже "протаскиванием" избранного кваоистабильного состояния к краю барьера с увеличением вероятности его распада на заданную величину.

Если трансформировать одну из бесконечных стенок осцилляторной ямы в конечный потенциальный барьер, то связанные состояния превратятся в квазистабильные (резонансы). Хотя это кардинально меняет характер системы, свойство вспомогательной ямки - переносить избран-

ные состояния - при соответствующей подстройке ее формы не пропадает. Здесь нам помогает квантовая интуиция (без решения задачи на собственные значения для квазистационарных состояний требующего поиска резонансов в комплексной плоскости к). Ясно, что перенос состояния под барьером ближе к его внешнему краю облегчает распад и увеличивает ширину избранного резонанса, не меняя остальные. Естественно предположить, что при этом нижние состояния возмутятся не сильно. В качестве точной модели можно использовать случай дробно-рациональной Б-матрицы [30]. Вспомогательная узкая яма, сдвигающая локализацию избранного состояния, наводит на мысль, что это явление можно использовать для управления матричными элементами переходов между различными связанными состояниями.

1.5 УПРАВЛЕНИЕ ПЕРЕХОДАМИ

Понимание явления локализации волновых функций в ограниченной области системы потенциальных ям можно использовать для формирования желаемых интенсивностей переходов между уровнями1. Например, в предельном случае можно произвольно задать решетку уровней и потребовать, чтобы был переход лишь между ьм и _]-м состояниями: отличен от нуля только матричный элемент некоторого локального оператора О (< з\0\1 >). Такую квантовую систему легко построить, помещая выделенные уровни в одну парциальную ямку, а все остальные уровни -по одному в отдельные ямки, разделенные барьерами с пренебрежимой проницаемостью. Отсутствие перекрывания функций исключит нежелательные переходы. Подобную процедуру можно себе представить и в более общем случае, когда заданы определенные соотношения между вероятностями переходов произвольного дискретного спектра. Дополнительными рычагами влияния на величины матричных элементов являются "парциальные приведенные ширины" состояний в отдельных ямках, регулируемые по правилам изменения нормировочных спектральных параметров подбором формы этих парциальных ямок.

13десь уместно привести высказывание Томаса Дж. Питерса: "Меня постоянно обвиняют в том, что я открываю очевидное. Один .. .зашел так далеко, что назвал мою работу ослепляющей вспышкой очевидного. .. .я доволен этой характеристикой".

2 ПРОЗРАЧНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ

Широко известны без отражательные потенциалы солитонного типа [32]. Один способ создать их состоит в добавлении связанного состояния в спектр при помощи формализма обратной задачи, кроме того это можно сделать, используя супер симметричные (supersymmetrical - SUSY) преобразования [42, 1, 40, 18].

Для ямы с одним уровнем имеется семейство прозрачных потенциалов с двумя свободными параметрами. Это положение уровня Е и спектральный весовой фактор М - множитель при затухающей экспоненте в асимптотике волновой функции связанного состояния справа от ямы, фиксирующий место потенциальной ямы на оси х. Потенциал "скользит" по оси х при изменении М, поскольку в асимптотическом поведении функции связанного состояния ф(х) х~-Мехр(-кж) сдвиг по х на Ах эквивалентен перенормировке М Мехр(-кДж)).

Класс безотражательных потенциалов с двумя уровнями характеризуется уже четырьмя свободными параметрами (Е1,Е2,М1,М2). Здесь нормировки определяют не только общее положение потенциала на оси х, но и относительное расстояние между двумя его "составляющими". Правда, потенциалы на рис.5 симметричны относительно х=Ю и поэтому их форма задается лишь положениями уровней (без задания факторов М

И).

При сближении уровней отдельные солитонные ямы становятся все • более похожими друг на друга и расходятся в стороны, обеспечивая в пределе двух-кратное вырождение.

Поучительно еще познакомиться с картинками, показывающими, какие изменения нужно ввести, например, в прямоугольную, линейную и осцилляторную потенциальные ямы, чтобы сделать их прозрачными.

Именно, можно восстановливать бесконечные потенциальные ямы по нижней части дискретного спектра с помощью прозрачных ям конечной глубины - см. рис.6,7 [39, 41].

Из рис.6,7 следует, что чем резче меняется исходный потенциал или чем ближе уровень бесконечной ямы к непрерывному спектру прозрачной, тем большие поправки необходимы, чтобы придать ему прозрачность. Объяснить это можно так (см. [23]). При "отгибании" бесконечных потенциальных стенок уровни ниже образу-

ющегося непрерывного спектра должны опускаться и тем сильнее, чем ближе уровень к порогу. Чтобы вернуть уровни на прежние позиции, нужно воспользоваться алгоритмами управления, о которых говорилось выше (создать в местах максимумов модуля функции толкающие вверх бугорки). Можно еще сказать, что добавочные осцилляции как бы "залечивают" возмущения непрерывного спектра.

-1 >

=С—-'-Г—7--——■

а) ЕД_ / -

_ ^Г^-Х1/ -1

х"

- / у 1 >

ЕД /

Заключение диссертации по теме «Физика атомного ядра и элементарных частиц», Чабанов, Владимир Михайлович

8 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей диссертации получены следующие результаты, выносимые на защиту.

• Найдены правила преобразования потенциалов исходных систем при выборочном удалении из дискретного спектра произвольного уровня, без изменения положения других уровней, или при порождении на заданном месте нового уровня связанного состояния.

• Установлены алгоритмы сдвига локализации отдельных состояний в пространстве и на энергетической шкале, с помощью вспомогательных потенциальных ямок - "переносчиков" избранных состояний.

• Выяснены качественные аспекты управления скоростями распадов отдельных квазистационарных состояний (резонансов), пронося квазисвязанные состояния сквозь потенциальные барьеры, изменяя тем самым ширины резонансов.

• Сформулированы аналогичные правила управления переходами между дискретными состояниями, меняя величины интегралов перекрытия.

• Выявлены некоторые эвристические аспекты одноканальной прозрачности (аппроксимация произвольных потенциальных ям прозрачными ямами солитонного типа).

• Открыт эффект "переворота" потенциалов (изменение знака исходного потенциала) при преобразовании супер симметрии. На примере некоторых модельных периодических потенциалов продемонстрированы преобразования, порождающие уровень связанного состояния и нарушающие периодичность исходного потенциала, но сохраняющие неизменной зонную структуру спектра.

• Открыт эффект "аннигиляции" при сближении (вырождении) соседних уровней связанных состояний: распределение плотности вероятности каждого из уровней вырождаемого дублета становится отличным от нуля только в ограниченных областях действия - "разрывается" на две части, которые при вырождении уносятся на бесконечность специфическими притягивающими потенциальными ямками.

• Продемонстрированы примеры перестройки многоканальных систем при выборочной вариации спектральных весовых векторов (параметров, характеризующих поведение мультиканальной волновой функции на краю системы).

• Построены многоканальные квантовые системы (на всей оси), имеющие связанные состояния и не дающие отраженных волн при любых энергиях непрерывного спектра. Дано объяснение появлению в Vij(x) потенциальных барьеров, которые не портят прозрачности. Удивительно, что они даже необходимы для полной проницаемости.

• Обобщено на многоканальный случай преобразование суперсимметрии с полным изложением соответствующих алгоритмов. По сравнению с подходом обратной задачи это преобразование дает более широкий класс моделей. В диссертации приведен, в частности, пример абсолютно прозрачной 2-х канальной системы на всей оси без связанных состояний, которую невозможно построить в рамках формализма обратной задачи. Это открывает новые возможности для продолжения исследований в области многоканального квантового "дизайна".

Полученные результаты докладывались на семинарах ЛТФ ОИЯИ, многочисленных научных центров нашей страны и за рубежом (МФТИ, МИФИ, МГУ, Тв.ГУ, ФИАН, Курчат, центр, ИФВЭ, университет в Зигене и т. д.), на ряде международных конференций (напр. конференция по обратной задаче в Замарди, оз. Балатон, Венгрия - 1996, международные конференции по мат. физике в Париже - 1995, Брисбейне, Австралия - 1997). Содержание диссертации основывается на работах [7, 10, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28].

Выражаю благодарность моему научному руководителю Б. Н. За-харьеву за радости плодотворного научного сотрудничества и стимулирующие дискуссии, а также сотрудников ЛТФ ОИЯИ за благожелательный интерес, проявленный ими при обсуждении результатов, вошедших в настоящую диссертацию, и РФФИ за финансовую поддержку.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чабанов, Владимир Михайлович, 1998 год

Литература

[1] Андрианов A.A., Борисов Н.В., Иоффе М.В., ТМФ 61, 183, 1984; 72, 97,1987; Phys.Lett. А105, р.19, 1984; Письма ЖЭТФ 39, вып.1,1984.

A.A. Andrianov, M.V. Ioffe and V.P. Spiridonov, Phys.Lett. A174, 273,

1993.

[2] Березовой В.П., Пашнев А.И. ТМФ 70, 146, 1987; 74, 392-398, 1988; Z.Phys.C51, 525-529, 1991;

[3] Жигунов В. П., Захарьев Б. Н. Методы сильной связи каналов в квантовой теории рассеяния. М.Атомиздат.1974.

[4] Захарьев Б. Н. Дискретная и непрерывная квантовая механика, точно-решаемые модели (уроки квантовой интуиции II). ЭЧАЯ _23, N5, 1992.

[5] Захарьев Б.Н.Уроки квантовой интуиции, ОИЯИ, Дубна, 1996.

[6] Захарьев Б.Н., Костов Н., Плеханов Е.Б. Точно решаемые одно- и многоканальные модели (уроки квантовой интуиции I), ЭЧАЯ,1990, 21, с.914.

[7] Захарьев Б.Н., Нехамкин Л.И., Чабанов В.М. Сообщение ОИЯИ Р4-92-496, Дубна, 1992

[8] Захарьев Б.Н., Пашнев В.И. Сообщение ОИЯИ Р4-94-335, Дубна,

1994.

[9] Захарьев Б. Н., Сузько А. А. Потенциалы и квантовое рассеяние. Прямая и обратная задачи. Энергоатомиздат, М.1985. Переработанное английское издание: Springer-Verlag, Heidelberg, 1990.

[10] Захарьев Б. Н., Чабанов В. М. Качественная теория управления спектами, рассеянием, распадами., ОИЯИ, 25, с. 1561, 1994.

[11] Левитан Б. М., Обратные задачи Штурма-Лиувилля, М.: Наука, 1984.

[12] Марченко В. А., Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова думка, 1977.

[13] Фаддеев Л.Д. Успехи мат. наук 14, вып.4(88), с. 57-82, 1959.

[14] Фирсова Н.Е., ТМФ 62, 130, 1985; Матем. сборн. 58, 351, 1987.

[15] Abraham Р.В., Moses H.F. Phys.Rev.A22,1980, 1333.

[16] Albeverio S., Gestezy F., Hoegh-Krohn R. и Holden H., Solvable Models in Quantum Mechanics (Springer, Heidelberg, 1988).

[17] Amado R.D., CannataF., Dedonder J.P., Phys.Rev.Lett.61, 2901, 1988, Phys.Rev.A38, 3797, 1988.

[18] Baye D., Phys. Rev. Lett 58, 2738, 1987.

[19] Brandt S., Dahmen H. D. The Picture Book of Quantum Mechanics J.Wiley and Sons,NY,1985; Quantum Mechanics on the Personal Com-puter.Springer,Heidelberg,1990

[20] Cannata F., Ioffe M.V. , Phys.Lett.B278, 399, 1992.

[21] Chabanov V.M., Zakhariev B.N. Phys.Rev.A49,N5, R3159, 1994

[22] Chabanov V.M., Zakhariev B.N. Phys.Lett.B319, 13-15, 1993.

[23] Chabanov V.M., Zakhariev B.N. Phys.Rev. A50, 3948, 1994.

[24] Chabanov V.M. et al. Phys.Rev. A52, N5, R3389, 1995; Proc. Conf. "New Frontiers", 1995, Monteroduni, Hadronic Press, 1996.

[25] Chabanov V.M., Zakhariev B.N. in Inverse and Algebraic Quantum Scattering Theory, Vol. 488 of Lecture Notes in Physics, Eds. B. Apagyi, G. Endredi, P. Levay, pp. 30-44 (Springer-Verlag, Heidelberg, 1996)

[26] Chabanov V.M., Zakhariev B.N., и Sofianos S.A. Ann.Physik_6, 136, 1997

[27] Chabanov V.M., et al in Inverse and Algebraic Quantum Scattering Theory, Vol. 488 of Lecture Notes in Physics, Eds. B. Apagyi, G. Endredi, P. Levay, pp. 197-203 (Springer-Verlag, Heidelberg, 1996)

[28] Chabanov V.M., Zakhariev B.N. New situation in quantum mechanics (wonderful potentials from the inverse problem), обзорная статья, принята к публикации в журнал "Inverse Problems".

[29] Chadan К. and Sabatier P.C., Inverse Problems in Quantum Scattering Theory, Springer, New York, 1977.

Шадан К., Сабатье П. Обратная задача в квантовой теории рассеяния, М.: Мир, 1980.

[30] von Geramb H.V. et al, Phys.Rev.C40, 912, (1989).

[31] Kay I., Moses H.E. Nuovo Cim.22, N4, 689-705, 1961.

[32] G.L. Lamb Jr, Elements odf soliton theory (John Willey & Sons, New York, 1980).

[33] Leeb H., in Quantum Inversion Theory and Applications,Vol. 427 of Lecture Notes in Physics, ed. H.V. von Geramb, pp. 241-251 (SpringerVerlag, Berlin, 1994).

[34] Newton R.G., J. Math. Phys. 26 (1985) 311.

[35] Pöshel J., Trubowitz E. Inverse Spectral Theory. Academic, New York, 1987.

[36] Pursey D.L. Phys.Rev.D33,431;1048;2267,1986; ibid Ш6,1103,1987; D33, Ю48, 1986; ЩЗ, 2267, 1986.

[37] Roberts T.M., Inverse Probl. 6, 797, 1990.

[38] Serdyukova S.I., Zakhariev B.N., Phys.Rev. A46, 58, 1992, Phys.Rev. A47, N5, 3518, 1993.

[39] Schonefeld J.F. et al. Ann.Phys. 128, 1, 1980.

[40] Sukumar C.V. J.Phvs.A 18, 1985; 2917-2936; 2937-2946, 1985; Д21, N8, L455-L460, 1988. J.Phys.A18, 2917-2936, 2937-2955; AM, L57-L61; L697-L701, 1985; A19, 2297-2316, 1986; A20, 2461-2481, 1987

[41] Thacker H.B. et al. Phys.Rev. D18, 274, 1978.

[42] Witten E., Nucl. Phys. В 188, (1981) 513.

[43] Zhedanov A.S. Phvs.lett.A176, 300, 1993