Квантовая механика связанных состояний в осциллярном представлении тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, доктор физико-математических наук Динейхан Минал

• Динейхан Минал
• доктор физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Динейхан Минал

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава 1 Осцилляторное представление

1.1 Основная идея осцилляторного представления

1.2 Осцилляторное представление в

1.2.1 Осциллятор в К1

1.2.2 Представление гамильтониана в нормальной

форме

1.2.3 Условия осцилляторного представления

1.2.4 Поправки к спектру и волновой функции

1.2.5 Общий случай

1.3 Сферически симметричные потенциалы

1.3.1 Радиальное уравнение Шредингера

1.3.2 Большие расстояния

1.3.3 Малые расстояния

1.3.4 Формулировка задачи

1.3.5 Энергия основного состояния в нулевом

и втором приближении

1.3.6 Радиальные возбуждения

1.3.7 Оценка сверху на энергию основного состояния

1.3.8 Параметр И и осцилляторный базис

1.4 Аксиально симметричные потенциалы

1.4.1 Формулировка задачи

1.4.2 Представление гамильтониана в правильной

форме

1.5 Основные соотношения в осцилляторном представлении

1.5.1 Тождество для операторов а^ ж а^

1.5.2 Определение нормировочных коэффициентов для волновых функций

1.5.3 Вычисление поправок к энергетическому спектру

1.5.4 Краткие выводы

Глава 2 Двухтельные квантовые системы

2.1 Различные режимы взаимодействия в осцилляторном представлении

2.1.1 Ангармонический потенциал

2.1.2 Потенциал воронки

1 В

2.1.3 Потенциалы---(- —- • е~сг

г 2 г

2.2 Квантовомеханические потенциалы

2.2.1 Степенные потенциалы

2.2.2 Логарифмический потенциал

2.2.3 Молекулярный потенциал

2.2.4 Нерелятивистский кварковой потенциал

2.2.5 Точность ОП

2.2.6 Краткие выводы

Глава 3 Атом водорода

3.1 Атом водорода без внешних полей

3.1.1 Формула Бальмера

3.1.2 Радиальная часть собственной функции дискретного спектра

3.1.3 Определение среднего значения величины га

3.1.4 Вычисление матричных элементов дипольного перехода

3.1.5 Экранированный кулоновский потенциал

3.1.6 Критическая длина экранировки

3.2 Эффект Штарка

3.2.1 Проблемы суммирования рядов теории возмущений

3.2.2 Атом водорода в слабом электрическом поле

3.2.3 Атом водорода в сильном электрическим поле

3.2.4 Определение критического поля

3.2.5 Определение ширин уровней

3.2.6 Представление интенсивностей в параболических координатах

3.2.7 Обсуждение

3.3 Атом водорода во внешнем магнитном поле

3.3.1 Введение

3.3.2 Эффект Зеемана

3.3.3 Квадратичный эффект Зеемана

3.3.4 Атом водорода в сильном магнитном поле

3.4.1 Краткие выводы

Глава 4 Кулоновские системы трех тел

4.1 Введение

4.2 Гамильтониан трех тел для состояния с полным

угловым моментом J

4.2.1 Гамильтониан в осцилляторном представлении

4.3 Энергия связи трехтельной кулоновской системы

4.3.1 Энергия связи трехтельной кулоновской системы с J=0

4.3.2 Энергия связи трехтельной кулоновской системы с J=1

4.3.3 Точность нулевого приближения

4.4 Граница стабильности

4.4.1 Граница стабильности кулоновской трехтельной системы в основном состоянии

4.4.2 Граница стабильности для J — 1

4.5 Мезомолекулы легких ядер в осцилляторном представлении

4.5.1 Энергия связи мезомолекулы легких ядер

4.5.2 Стабильность мезомолекул легких ядер

4.5.3 Краткие выводы

Глава 5 Квантовая точка

5.1 Низкоразмерные, малочастичные системы

5.2 Гамильтониан квантовой точки

5.3 Двухэлектронная квантовая точка

5.4 Определение энергетического спектра двух-

электронной КТ

5.4.1 Вычисление Er

5.4.2 Вычисление er

5.4.3 Двумерная квантовая точка

5.4.4 Энергетические переходы в КТ

5.4.5 Трехмерная квантовая точка

5.4.6 Краткие выводы

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квантовая механика связанных состояний в осциллярном представлении»

Введение

Одной из основных проблем нерелятивистской квантовой механики является задача вычисления собственных значений и собственных функций заданного гамильтониана, т.е. основной математической задачей нерелятивистской квантовой механики является решение уравнения Шредингера (УШ) для достаточно произвольных потенциалов. Однако точные решения УШ известны только для очень узкого класса потенциалов [1]-[4], таких как потенциал гармонического оцсиллятора, кулоновский потенциал и некоторые другие. Аналитические решения УШ для большинства интересных с физической точки зрения потенциалов не известны. Поэтому при исследовании реальных физических систем приходится прибегать к приближенным методам вычисления собственных значений и собственных функций заданного гамильтониана.

С развитием электронных вычислительных машин большое значение приобрели численные методы решения задач квантовой механики, и в этом направлении достигнуты большие успехи. Однако, важное место на практике по-прежнему отводится аналитическим методам, поскольку они позволяют исследовать качественные закономерности, присущие данной системе, и являются базой для создания алгоритмов численных расчетов.

Аналитические методы реализуются в виде различного рода разложений по теории возмущений, в которых проблема сводится к представлению полного гамильтониана системы в форме Н — Н^ + Н^ причем предполагается, что уравнение в нулевом приближении = Е^°)ф(°) решается точно и поправки к нулевому приближению Е^ и могут быть вычислены. Физическая и математическая идея поиска приближенного метода состоит в том, чтобы найти такое представле-

ние гамильтониана, что в аналитическом решении нулевого приближения ухвачены основные динамические свойства данной системы, а поправки, связанные с гамильтонианом взаимодействия малы.

Вкратце остановимся на основных аналитических методах, применяемых в случае связанных состояний, уделяя особое внимание их недостаткам, подразумевая достоинства хорошо известными .

1) Теория возмущений Рэлея-Шредингера. Этот подход является одним из наиболее известных и широко применяется [1]-[4]. В этом подходе разложение теории возмущений проводится по константе связи или по отклонению от точно решаемого случая. Особенность этого подхода состоит в использовании всего спектра невозмущенной задачи и всех матричных элементов, что вынуждает выбирать в качестве нулевого приближения точно решаемые задачи. Получаемые ряды в большинстве случаев расходятся и для применения методов суммирования [5, б] необходимо вычислять поправки высоких порядков, что в данном подходе является весьма трудоемким процессом.

2) Модифицированная теория возмущений [7, 8]. Наиболее популярным представителем этого подхода является логарифмическая теория возмущений (ТВ) [9], [10]. В отличие от теории Рэлея-Шредингера, она использует решение невозмущенной задачи только для рассматриваемого состояния. Кроме того, замена волновой функции ее логарифмической производной, как преобразование Беклунда в теории нелинейных волновых уравнений [11], приводит к уравнению Риккати [12, 13, 14], для решения которого можно построить рекуррентные соотношения. Однако данный формализм, допуская простые рекуррентные формулы для основного состояния, становится очень громоздким и мало пригодным для вычисления поправок высокого порядка даже в случае первых возбужденных уровней.

3) Квазиклассическое приближение (метод В КБ) [15, 16, 17]. Следует отметить, что в практике часто встречаются задачи, в которых разбиение потенциала взаимодействия на точно решаемую часть и возмущение либо нежелательно, либо вообще невозможно. Поэтому большой интерес представляют так называемые непертурбативные методы, использующие в качестве параметра разложения величины, не входящие явно в потенциал. Первым, по сути, непертурбативным методом

явилось квазиклассическое разложение по постоянной Планка, получившее название метода Вентцеля - Крамерса - Бриллюэна (ВКБ-приближения) [15, 16, 17]. В общем случае применимость этого приближения оправдана только для высоко возбужденных состояний, соответствующих большим значениям радиального квантового числа пг, при которых волновые функции становятся быстро осциллирующими. Исследование в рамках этого подхода низколежащих уровней требует учета поправок высокого порядка по Н и сопряжено с большими трудностями.

4) 1 /Ы-разложения. При изучении спектроскопии связанных состояний в последнее время был предложен и интенсивно развивался метод разложения [18]—[25]. Будучи непертурбативным, так как разложение проводится по обратным степеням размерности пространства ТУ, этот метод относится также и к полуклассическим, в том смысле, что в качестве нулевого приближения при разложении энергии выбирается ее значение, соответствующее минимуму классического гамильтониана [26]. Тогда последующие члены разложения учитывают квантовые флюктуации возле этого положения равновесия [25].

С точки зрения техники вычислений, данный метод является логарифмической теорией возмущений по малому параметру с присущими ей недостатками. Кроме того, хотя полуклассическа природа такого подхода [18, 26] и его дополнительность ВКБ-приближению [18]-[26] вполне очевидны, его явная полуклассическая трактовка в виде К - разложения до сих пор не была дана, и связь с методом ВКБ не исследована.

5) Вариационный принцип и различные его модификации [1]-[4]. Вариационной подход - единственный инструмент при решении сколько-нибудь сложных многомерных задач, в частности задач атомной физики. Основным его недостатком является отсутствие оценки точности получающихся результатов. Всевозможные оценки снизу вариационных расчетов, типа оценки Темпля [27], обычно очень грубы. Уточнение их - сложная задача. Кроме того, отсутствуют достаточно строгие критерии выбора пробных функций, которые бы максимально быстро приводили к требуемым точностям. Более того, трудности могут возникать при построении пробных функций возбужденных состояний (про-

блема ортогональности).

На этом завершим краткий обзор стандартных и общеизвестных подходов к решению стационарного УШ. Естественно, существует большое количество разнообразных модификаций этих подходов, как обладающих достаточной общностью, так и приспособленных для решения конкретных задач, о которых мы не упомянули.

Таким образом, можно утверждать, что построение удобной процедуры нахождения решений квантово-механических уравнений для связанных состояний по-прежнему остается насущной задачей. Особенно актуальной является разработка непертурбативных методов, позволяющих оценивать точность вычисления и содержащих эффективный алгоритм расчета поправок как для основных, так и для возбужденных состояний. Построению такого рода метода и его применению к различным задачам и посвящена настоящая работа.

В данной диссертации основное внимание будет уделено изложению техники решения квантомехаических задач на собственные значения в методе осцилляторного представления. Метод, названный осцилля-торным представлением (ОП) [28, 29], основан на идеях и методах квантовой теории скалярного поля и состоит в следующем:

Во-первых, в уравнении Шредингера для радиальной части волновой функции производится замена переменных таким образом, чтобы получить для преобразованной волновой функции асимптотическое поведение на больших и малых расстояниях, соответствующее асимптотическому поведению осцилляторного базиса.

Во-вторых, преобразованное радиальное уравнение Шредингера отождествляется с уравнением для основного состояния в некотором вспомогательном пространстве, размерность которого определяется видом потенциала и является параметром преобразования.

В-третьих, гамильтониан системы во вспомогательном пространстве записывается в "правильной форме", т.е. таким образом, что в представлении операторов рождения а+ и уничтожения а осцилляторного базиса свободный гамильтониан имеет стандартную форму Но = и)а+а, а гамильтониан взаимодействия, записанный в нормальной форме по а и а+, не содержит линейных и квадратичных членов по этим операторам. Из этого условия определяется частота осциллятора.

Диссертация состоит из введения, пяти основных глав и заключения. В начале каждой главы кратко сформулировано существо проблемы, а в конце - приведены основные результаты.

В первой главе изложен метод ОП. Во ведении сформулирована основная идея метода. Следующие пункты в основном посвящены реализации этой идеи в квантовой механике. Изложены детали представления различных потенциалов в нормальной форме по оператором рождения а+ и уничтожения а в (¿-мерном вспомогательном пространстве. Получено основное уравнение для частоты ¿-мерного осциллятора. В ОП гамильтониан взаимодействия рассматривается как возмущение. Получены формулы для волновых функций и поправок к спектру, связанных с гамильтонианом взаимодействия. В ОП орбитальное или азимутальное квантовые число включены в размерность вспомогательного пространства, и поэтому во вспомогательном пространстве рассматривается только основное состояние. Радиальные возбуждения определяются как высшие осцилляторные состояния. На примере радиального УШ для сферически симметричного потенциала продемонстрирован переход к «¿-мерному пространству. Многие квантово-механические системы (атомы во внешнем поле, деформированные ядра и металлические кластеры, и т.д.) описываются УШ с аксиально симметричным потенциалом [1]-[4]. Техника вычисления УШ с аксиально симметричным потенциалом в ОП также приведена. В конце первой главы изложены детали вычисления энергетических спектров для основного и возбужденного состояний, а также учета поправок связанным с гамильтонианом взаимодействия.

Вторая глава посвящена построению самосогласованной эффективной непертурбативной теории ангармонического осциллятора. Если потенциал системы состоит из нескольких слагаемых и относительная интенсивность каждого определяется внешними параметрами, то асимптотическое поведение пробной волновой функции может быть представлено через параметр, который зависит от внешних параметров потенциала. Таким образом в ОП вводится новый вариационной параметр, обеспечивающий переход от одного режима взаимодействия к другому. В рамках ОП определены энергетические уровни одномерного ангармонического осциллятора для произвольных значений пара-

метра ангармоничности. Рассмотрен также трехмерный ангармонический осциллятор. Вычислены уровни энергии потенциалов: кулон плюс воронка и кулон плюс юкава. Во второй главе также рассмотрены традиционные потенциалы: степенные, логарифмический потенциал, молекулярный потенциал и потенциал кваркони.

В третьей главе исследуется атом водорода. Прежде всего рассмотрен кулоновский потенциал, получена формула Бальмера и вычислены средние значения любых степеней радиуса. Вычислен матричный элемент дипольного перехода. Рассмотрен экранированный кулоновский потенциал и определена критическая длина экранировки. Для атома водорода во внешнем электрическом поле аналитически получены уровни энергии основного и возбужденного состояний. Вычислены уровни энергии при пороговом значении внешнего электрического поля. Определены ширины уровней для основных и возбужденных состояний. ОП описывает универсальным образом ширины и спектр атома водорода во внешнем электрическом поле как в случае слабых, так и сильных внешних полей. Одной из старых проблем квантовой механики является эффект Зеемана. Энергетический спектр в основном определяется численным образом, даже для слабых полей аналитический расчёт громоздок. В настоящей работе для квадратичного эффекта Зеемана аналитически определены энергетические поправки и сдвиг для разных энергетических уровней. Вычислен спектр основного и возбужденных состояний при любом значении напряженности поля. Рассмотрен атом водорода с потенциалом Ван дер Ваальса. Определен спектр энергии для любых значении параметра /3 в интервале 0 < [3 < 2. Переход от одного режима взаимодействия к другому контролируется параметром р, который связан с асимптотическим поведением волновой функции на больших расстояниях.

Четвертая глава посвящена рассмотрению проблемы кулоновской трехтельной системы в рамках ОП. Предложена схема представления трехтельного кулоновского гамильтониана с орбитальным моментом I в "правильной" форме и обеспечена эрмитовость гамильтониана. Вычислен энергетический спектр трехтельной кулоновской системы с полным моментом / = 0, 1. Установлены границы стабильности трехтельной кулоновской системы частиц с единичными зарядами в зависи-

мости от масс частиц. Для систем (ре~С+), (£>е~е+), (А+А~е+) и (рВ~е+) с полным моментом 3 = 0 = 1) вычислено значение критической массы: Мс = 1.945те (2.11те), Мр = 4.35гае (4.15те), МА = 2.45те (2.22те) ж Мв = 1.575гае (1.49те). Показано, что при увеличении полного орбитального момента J область стабильности трехтельной кулоновской системы уменьшается. Вычислены энергии основных состояний мезомолекул состоящих из изотопов водорода (Н = с1, ¿) и ядра Л^ с зарядом Z = 2,3,4,... и с массой Мг = 2Zmp. Получена зависимость энергии связи мезомолекул от заряда ядра Z.

В пятой главе исследуется двухэлектронная квантовая точка. Показано, что при формировании квантовой точки важную роль играет кулоновское взаимодействие между электронами. Аналитически определен энергетический спектр двухэлектронной квантовой точки в двух-и трехмерном пространстве. Найдена зависимость энергетического " спектра от напряженности магнитного поля. Учет кулоновского взаимодействия между электронами приводит к энергетическому переходу между уровнями с различными азимутальными квантовыми числами. Аналитически рассчитана намагниченность двухэлектронной КТ в зависимости от внешнего магнитного поля. Из синглет-триплетного и триплет-трип летного перехода определен размер двухэлектроной квантовой точки при любых значениях магнитного поля. Установлено, что размер КТ, определенный из синглет-триплетного перехода в сильном магнитном поле, в основном определяется спиновым взаимодействием между электронами. При сильном магнитном поле или большом азимутальном числе га >> 1 размер КТ, определенный из синглет-триплетного перехода, не зависит от радиального квантового числа. Энергетические переходы в трехмерном пространстве происходят при более сильных магнитных полях, чем в двухмерном случае.

В заключении подведены итоги исследований, представленных в диссертации.

Основные материалы диссертации опубликованы в работах [28, 29, 34, 43, 48, 65, 73, 81, 85, 88, 92, 105, 115, 148, 161, 177, 205, 217] и неоднократно докладывались на семинарах Лаборатории теоретической физики ОИЯИ и Теоретического отдела Института молеку-

лярной физики РНЦ "Курчатовский институт", а также в ФИРАН, НИИЯФ МГУ, ИТФ (Киев, Украина), ИЯФ (Алма-Ата, Казахстан) ТГУ(Ташкент, Узбекистан). Материалы диссертации были представлены и докладывались на конференциях: Sacharov Memorial Lectures in Physics, Moscow 1991. Few-Body Problems in Physics: Kharkov-92; Алма-ата-93; Amesterdam-94; Peniscola-95. Progress in current few-body problems, Dubna 1997. Critical Stability of Quantum Few-Body Systems, ETC, Trento 1997. 8 International Conference on Symmetry Methods in Physics, Dubna 1997.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Динейхан Минал

Заключение

Ниже представлены основные результаты диссертации, выдвигаемые для защиты.

1. Разработан непертурбативный метод (метод осцилляторного представления) для аналитического вычисления спектра и волновых функций связанных состояний в малочастичных квантовомехани-ческих системах.

Метод ОП позволяет единым образом описывать основное и возбужденные состояния широкого класса сферически- и аксиально-симметричных потенциалов, допускающих существование связанных состояний. ОП дает возможность единообразно описывать режимы слабой и сильной связи, а также переход из одного режима в другой. Он обладает достаточно высокой точностью нулевого приближения (с ошибкой менее одного процента для спектра) и содержит регулярный алгоритм вычисления поправок к этому приближению.

Метод применен для решения ряда принципиальных задач квантовой механики связанных состояний.

2. На примере ряда модельных потенциалов (степенной, логарифмический, кулоновский, потенциал Юкавы, молекулярные потенциалы и др.) продемонстрирована универсальность метода и апробирована точность вычислений.

3. Множество квантовых систем (атом во внешнем поле, деформированные атомные ядра, металлические кластеры и т.д.) описываются "составными" потенциалами, являющимися суммой потенциалов, для которых асимптотики волновых функций на больших расстояниях различны. Оказывается, что если провести замену переменных таким образом, чтобы размерность вспомогательного пространства соответствовала промежуточной асимптотике и считать эту размерность вариационным параметром, то удается вычислить уровни энергии в режиме слабой, сильной и, что существенно, промежуточной связи. Таким образом, данный метод кардинально упрощает вычисление энергетического спектра в режиме сильной и промежуточной связи. Детально исследованы различные режимы по константе связи для одномерного и трехмерного ангармонических осцилляторов.

4. Подробно рассмотрена задача об атоме водорода во внешних электрическом и магнитном полях. Уровни энергии атома и их ширины рассчитаны для произвольной напряженности электрического поля вне ТВ. Аналитически найден спектр атома при пороговом значении электрического поля. Энергетический спектр атома водорода для основного и возбужденных состояний определен при любых значениях напряженности магнитного поля. Для квадратичного эффекта Зеемана аналитически вычислены уровни энергии и сдвиг уровней. Определена радиальная часть волновой функции атома водорода и получены аналитические выражения для среднего значения любой степени радиуса и для матричного элемента дипольного перехода. Для экранированного кулоновского потенциала определена критическая длина экранировки.

5. Вычислен энергетический спектр трехтельной кулоновской системы с полным моментом <7 = 0, 1. Установлены границы стабильности трехтельной кулоновской системы частиц с единичными зарядами в зависимости от масс частиц. Расчет показал, что система (ре+е~~) является нестабильной. Для систем (ре~С+), (£)е~е+), (А+А~е+) и (рВ~~е+) с полным моментом / = 0(/ = 1) вычислено значение критической массы: Мс = 1.945те (2.11те), Мд = 4.35гае (4.15те), МА = 2.45гае (2.22т,е) и Мв = 1.575те (1.49гае). Показано, что при увеличении полного орбитального момента / область стабильности трехтельной кулоновской системы сужается.

6. Спектр атома водорода с обобщенным потенциалом Ван дер Ваальса вычислен аналитически в низшем порядке ТВ по внешнему полю для любых значений параметра несферичности 0 < (5 < 2.

7. Вычислены энергии основных состояний мезомолекул (.Н/л/У^), состоящих из изотопов водорода (Н — р, с1, и ядра Иг с зарядом Z = 2,3,4,. и с массой М^ = 2Zmp. Получена зависимость энергии связи мезомолекул от заряда ядра Z.

8. Аналитически определен спектр двухэлектронной квантовой точки в двух- и трехмерном пространстве. Найдена зависимость энергетического спектра от напряженности магнитного поля. Учет кулоновского взаимодействия между электронами приводит к энергетическому переходу между уровнями с различными азимутальными квантовыми числами. Аналитически рассчитана намагниченность двухэлек-тронной КТ в зависимости от внешнего магнитного поля. Из синглет-триплетного и триплет-триплетного переходов определен размер двухэ-лектронной квантовой точки при любых значениях напряженности магнитного поля. Установлено, что размер КТ, определенный из синглет-триплетного перехода в сильном магнитном поле, в основном определяется спиновым взаимодействием между электронами. При сильном магнитном поле или большом азимутальном числе rn 1 размер КТ, определенный из синглет-триплетного перехода, не зависит от радиального квантового числа. Энергетические переходы в трехмерном пространстве происходят при более сильных магнитных полях, чем в двумерном случае.

Автор считает своим приятным долгом выразить искреннюю признательность профессору Г.В. Ефимову за сотрудничество и постоянный интерес к работе. Выражаю глубокую благодарность моему соавтору Р.Г. Назмитдинову. Автор искренне признателен своим коллегам С.Б. Герасимову, В.Б. Беляеву, J1. Богдановой, С.И. Ви-ницкому, Г.Я. Коренману, В. Мележику, А. Мотовилову, С.П. Не-делько, Ф. Пенькову, Л.И. Пономарёву, B.C. Попову, М.А. Смонды-реву, В.Я. Файнбергу, и М.П. Файфману за многочисленые ценные обсуждения, а также всем участникам семинаров ЛТФ ОИЯИ и РНЦ " Курчатовский Институт".

Мне приятно поблагодарить Дирекцию ЛТФ ОИЯИ за предоставленную возможность в течение долгих лет работать в замечательных условиях и дружеской атмосфере Лаборатории теоретической физики.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Динейхан Минал, 1998 год

Литература

[1] Ландау Л.Д., Лифшищ Е.М., Квантовая механика. М.: Наука, 1989.

[2] Блохинцев Д.И., Квантовая механика, М., Атомиздат, 1981.

[3] Мессиа А., Квантовая механика, Пер. с англ. М.: Наука, 1978.

[4] Fröman N., and Fröman Р.О, JWKB Approximation, North-Holland, Amsterdam, 1965.

[5] Харди Г., Расходящиеся ряды. Пер. с англ. М.: ИЛ, 1951.

[6] Бейкр Дж., Грейвс-Моррис П., Аппроксимации Ладе, Пер. с англ. М.: Мир, 1986.

[7] Кумар К., Теория возмущений и проблема многих тел для атомного ядра. Пер. с англ. М.: Мир, 1964.

[8] Марч Н., Янг У., Сампантхар С.,Проблем, многих тел в квантовой механике. Пер. с англ. М.: Мир, 1969.

[9] Турбинер A.B., УФН, 144, с.35(1984).

[10] Dolgov A.D., Popov V.S., Phys. Lett., Ь79, p.403(1978).

[11] Уиезм Дж., Линейные и нелинейные волны, Пер. с англ. М.: Мир, 1977.

[12] Rogers G.M., J. Math. Phys., 26, p.567(1985).

[13] Fernandez F.M., Castro E.M., J Phys. A20, p.5541(1987).

[14] Arteca G.A., Fernandez F.M. and Castro E.A. Large order perturbation theory and summation methods in quantum mechanics LNC, V.53. В.: Springer, 1990.

[15 [16 [17 [18

[19

[20 [21 [22 [23 [24

[25

[26 [27 [28

[29

[30 [31 [32

Wentzel G., Z. Phys.,38, p.518(1926).

Kramers H.A., Z. Phys.,39, p.24(1926).

Brillouin L., C.R. Acad. Sei. Paris, 183 p.24(1926).

Mlodinow L., and Papanicolaou N., Ann. Phys. (N.Y.)128, p.314(1980).

Bander C., Mlodinow L., and Papanicolaou N., Phys. Rev. A25, p.1305(1983).

Ader J., Phys. Lett.,A97, p.178(1983).

Yaffe L., Rev. Mod. Phys.,54, p.497(1982).

Witten E., Nucl. Phys., B160, p.57(1979).

Sukhatme U., Imbo Т., Phys. Rev.D28, p.418(1983).

Imbo Т., Pagnamenta A. and Sukhatme U., Phys. Rev. D29, p.1669(1984).

Вайнберг B.M., Мур В.Д., Попов B.C., Сергеев A.B., ТМФ 74, с.399(1988).

Papp E., Phys. Rev. A36, p.3550(1987).

Hill R.N., J. Math. Phys. 21, p.2182(1980).

Dineykhan M., Efimov G.V., Sacharov Conf. 1 Proceed. 2, p.963(1991).

Dineykhan M., Efimov G.V., Ganbold G. and Nedelko S.N., Oscillator Representation in Quantum Physics, Lecture Notes in Physics, m 26 Springer-Verlag, (1995).

Caswell W.E., Ann. Phys. 123, p,153(1979).

Feranchuk I.D. and Komarov L.I., Phys.Lett. A88, p.211(1982).

Schrödinger E., Proc.R.Irish Acad. 46, p.183(1941).

[33] Kustaanheimo P.and Stiefel E., J. Reine Angew.Math.,218, p.204(1965).

[34] Динейхан M., Ефимов Г.В., ЭЧАЯ т26, с.651(1995).

[35] Dura I.H. and Kleinert H., Fortsch. der Phys. 30, p.401 (1982).

[36] Mlodinow L.D., Papanicolaow N., Ann. Phys.,131, p.1(1981),

[37] Сергеев A.B., ЯФ, 50, c.945(1989).

[38] Johnson R., J.Math.Phys.21, p.2640(1980).

[39] Papp E., Phys. Rev., A38, p.5910(1988).

[40] Bohr A. and Mottelson B.R., Nuclear Structure, Benjamin, New York, (1975), vol.2.

[41] de Heer W.A., Rev. Mod. Phys.65, p.611(1993).

[42] Brack M., Rev. Mod. Phys.65, p.677(1993).

[43] Динейхан M., Ефимов Г.В., ЯФ, 57, c.220 (1994).

[44] Комаров И. В., Пономарев Л.И., Славянов С.Ю., Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции. М., Наука, 1976.

[45] Starace,A.F. and Webster,G.L.: Phys. Rev.,A19, 1629(1979).

[46] Flammer,С., Spheroidal Wave Functions, Stanford University, Stanford, Calif., 1957.

[47] Fano,U., Colloq. Int. CNRS 272, p,127(1977).

[48] Dineykhan M., : Zeitsch. Für. Phys., D41, p.77-87,(1997).

[49] Dyson F.J., Phys. Rev. 85. P.631,(1952).

[50] Bender C.M., and Wu T.T., Phys. Rev. bf 184, p.1231,(1969); Phys. Rev., D7, р.1620,(1973).

[51] Simon В., Ann. Phys., 58, p.79,(1970).

[52] Попов B.C., Елецкий В.Л., Турбинер A.B.: Письма ЖЭТФ, 26, с.193,(1977); ЖЭТФ, 74, с.445,(1978).

[53] Shirkov D.V., Lett. Nuovo Cimento, 18, p.4521977.

[54] Казаков Д.И., Тарасов O.B., Ширков Д.В., ТФМ, 38, с.15,(1979).

[55] Kazakov D.I., Shirkov D.B., Fortschr. Phys., 28, p.465,(1980).

[56] Graffi S., Grecchi V., Simon В.: Phys. Lett.,B32, p.631,(1970).

[57] Криворученко M. И. ЯФ 39, c..747(1984).

[58] Hioe F.Т., Don Mae Millen and Montrall E.W., Phys. Rep., C43, p.307(1978).

[59] Stevenson P.M., Nucl. Phys.,B231, p.65(1984).

[60] Seetharaman M., Raghavan S., and Vason S., J. Phys.AI5, p.1537(1982); J. Phys.,A17, p.2493(1984); J. Phys., A18, p.1041(1985).

[61] Yukalov V.l. , Theor. Math. Phys., 28, p.652(1976).

[62] Killingbeck J., J. Phys.,A14, p.1005(1981).

[63] Stevenson P.M., Phys. Rev., D23, p.2916(1981).

[64] Koudinov A.V., and Smondyrev M.A., Czech. J.Phys. 32, p.556(1982); ТМФ, 56, c.357(1982).

[65] Dineykhan, M. and Efimov, G.V.: Report. Math. Phys., 36, p.287 (1995).

[66] Banerjee K., et al.:, Proc. Roy. Soc. London 360, p.575(1978).

[67] Eichten E., Feinberg F.,: Phys. Rev., D23, p.2724(1981); Sebastian J., Phys. Rev., D26, p.2295(1982).

[68] Fernandez F. Phys. Lett. A203, p.275.

[69] Gomez F.J. and Sesma J. Phys. Lett.A219, p.187.

[70] Попов B.C., и др. ЯФ., 44, с.1103(1986); ДАН СССР, 272, с.336(1983).

[71] Карнахов Б.М., МУР В.Д., Попов B.C., ЖЭТФ 106, с.976(1994).

[72] Popov V.S., Karnakov В.М. and Mur V.D.: Phys.Lett.A224, p.15(1996).

[73] Dineykhan M. and Nazmitdinov R.G.: Preprint JINR, E-97-283, Dubna (1997).

[74] Popov V.S. and Weinberg V.M.: Preprint ITEP-101 M., 1982.

[75] Eichten E., Gottfried K., Kinoshita Т., Lane K.D. and Yan T.M., Phys.Rev., 1978. D17, P.3090(1978).

[76] Hellmann H.: Acta Physicochim. URSS, 1, p.913,(1934).

[77] Callaway J.: Phys.Rev., 1958. 112, p.322,(1958); Quantum Theory of the Solids State N.Y.: Academic, 1974.

[78] Haken H.: Z.Phys. 146, p.527(1956).

[79] Pollmann J., Büttner H.: Solid State Commum. 17, p.1171(1975); Phys. Rev., B16, p.4480(1977).

[80] Adamowski J., Phys.Rev., A31, p.43,(1985); ibid A33, p.4384,(1986).

[81] Dineykhan, M. and Efimov, G.V., Preprint JINR, E4-94-75, Dubna(1994).

[82] Quigg C., and Rosner J., Phys. Rep.,56, p.206(1979).

[83] Richardson J., and Blankenbecier R., Phys. Rev. D19, p.496(1979).

[84] Dumont-Le Page M., et al., J. Phys. A13, p. 1243(1980).

[85] Dineykhan, M. and Efimov, G.V.: Yad. Fiz., 58, p. 1614,(1995).

[86] Kratzer A.: Z. Phys., 3, p.289(1920).

[87] Morse P.M. : Phys. Rev., bf 34, p.57(1929).

[88] Dineykhan, M., Preprint JINR, E4-96-92, Dubna(1996).

[89] Flügge S., Walger P. and Weiguny A., J. Mol. Spec., 23, p.243(1967).

[90] Fabre M7: Phys. Lett., B205, p.97(1988).

[91] Schoberl F. et al., Phys. Revports, 200,p.172(1991).

[92] Dineykhan, M., Efimov G.V., Few-Body Systems 16, p.59(1994).

[93] Мошинский M., jГармонический осциллятор в современной физике: от атома до кварков М., Мир, 1972.

[94] Bethe,H.A., Salpeter,Е.Е., Quantum Mechanics of one- and two-electron atoms. Springer-Verlag, 1957.

[95] Harris M., Phys. Rev., 125, p.1131(1962).

[96] Iafrate G.J., and Mendelsohn L.B., Phys.Rev., 182, p.244(1969).

[97] de Mayer H., et al., J. Phys., A18, L849(1985).

[98] Rogerc F.J., et al.:, Phys. Rev., Al, p.1577(1970).

[99] Belyaev V.B., Kartavtsev O.I.:, J. Comput. Phys., 59, p.493(1985).

[100] Gerry C.C., and Laub J., Phys. Rev.A30, p.1229(1984).

[101] Lam C.S., and Varshni Y.P., Phys.Rev.A6, p,139(1972).

[102] Becher A., Ann. Phys.,108, p.49(1977).

[103] Dutt R., et al., J. Phys.A18, p.1379(1985).

[104] Sever R., Tezcan C., Phys. Rev. A36,p.1045(1987).

[105] Dineykhan, M., Efimov G.V., Yad. Fiz,. 56, p.89(1993).

[106] Hehenberger M., Mclntoch H.V., Brändas E.:, Phys. Rev. A12, p.1(1975).

[107] Damburg R. J., Kolosov V.V., J. Phys. 1978. B9,P.3149; 1979. ВН. P.1921; 1979. B12. P.2637.

[108] Dolgov A.D., Turbiner A.V., Phys. Lett. 1980. AT7, P.15.

[109] Benassi L., Grecchi V., Silverstone H.J., J. Phys. 1980. B13 p.911.

[110] Вайнберг B.M. и др., ЖЭТФ 1987. 93. С.450.

[111] Popov V.S., et al., Phys. Lett. A224, p.15 (1996).

[112] Аллилуев С.П., Малкин И.А., ЖЭТФ, 66, с.1283(1978)

[113] Silverstone Н., J., Phys. Rev., A18, p.1853(1978).

[114] Hoe N., D'Etat В., Couland G. Phys. Lett. A85, p.327(1981).

[115] Динейхан M., Препринт ОИЯИ, P4-97-173, Дубна(1997).

[116] Fernandez F.M., Phys. Rev., A54, p.1206(1996).

[117] Popov V.S., et all., Phys. Lett. A149, p.418(1990).

[118] Popov V.S., et all., Phys. Lett., A124. p.77(1987).

[119] Shaeshaft R., Potvliege R.M., Dorr M. et all., Phys. Rev. A42, p.1656(1990).

[120] Ng K, Yao D. and Nayfeh M.N., Phys. Rev. A35, p.2508(1987).

[121] August S., Strickland D., et al., Phys. Rev. Lett. 63, p.2212(1989).

[122] Gipson G., Luk T.S. and Rhodes C.K., Phys. Rev. A41, p.5049(1990).

[123] Попов B.C., и др., Письма в ЖЭТФ, 59, с.150 (1994); ЖЭТФ, 106, с.1001(1994).

[124] Handy C.R., Bessis D., Sigimondi G. and Morley T.D., Phys. Rev. Lett.60, p.253(1988).

[125] Liu C. and Starace A.F., Phys. Rev.A35, p.647(1987).

[126] Либерман M.A., Йоханссон В.: УФН, 165, с.121(1995).

[127] Elliott R.J., Loudon R.: J. Phys. Chem. Solids 15, p. 196(1960).

[128] Hasegawa H., Haward R.E.:J. Phys. Chem. Solids 21, p.179(1961).

[129] Горьков Л.П., Дзялошинский И.Е.: ЖЭТФ, 53, c.717(1967).

[130] Korolev A.V., Liberman M.A.: Phys. Rev. Lett., 72, p.270(1994); Phys. Rev., B50, P.257(1994).

[131] Кадомцев Б.Б., Кудрявцев B.C.: Письма в ЖЭТФ, 13, с.61(1971);

ЖЭТФ, 62, с.144(1972).

[132] Baade W., Zwicky F., Proc. Nat. Acad. Sci., 20, p.254(1934).

[133] Oppenheimer J.R., Volkoff G., Phys. Rev., 55, p.374(1934).

[134] Хьюиш Э. УФН 97, c.715(1969).

[135] Garstang R.H., Rep. Prog. Phys., 40, р.105(1977).

[136] Ruderman M., J. Phys. (Paris) Colloq.41, p.C2-125(1980).

[137] W.Rosner, G.Wunner, H.Herold and H.Rudner, J.Phys. B17, p.29(1984).

[138] M.V.Ivanov, J. Phys B21, p.447(1988).

[139] M.S.Kaschiev, S.I.Vinitsky and F.R.Vukajlovic Phys, Rew. A22,557(1980).

[140] J.Shertzer Phys. Rev. A39, p.3833(1989).

[141] P.C.Rech, M.R.Gallas and J.A.Gallas J.Phys. B19, L215(1986).

[142] J.C.Le-Guillou and Zinn-Justin Ann. Phys. (N.Y.) 147, p.57(1983).

[143] Z.Chen and S.P.Goldman Phys. Rev.A45, p.1722(1992).

[144] J.Xi, L.Wu, X.He and B.Li Phys. Rev. A46, p.5806(1992).

[145] C. Liu and A.F. Starace, Phys. Rev. A35, p.647(1987).

146

147

148

149

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160 161 162

A.F. Starace and G.L. Webster Phys. Rev. A19, p. 1629(1979).

Ruder,H., Wunner,G., Herold,H. and Geyer,F., Atoms in Strong Magnetic Fields Springer, Berlin, (1994).

Dineykhan M., and Efimov G.V., Yad. Fiz.,59, p.862(1996).

Hamada T., Publ. Astron. Soc. Japan, 23, p.271(1971).

Hamada T. and Nakamura Y., Publ. Astron. Soc. Japan, 25, p.527(1973).

I.S. Gradshteyn and I.M. Ryzhik Table of Integrals, Series, and Products Corrected and enlarged edition Academic, San Diego, (1980).

Ganesan, K. and Lakshmanan, M., Phys. Rev. A42, p.3940(1990); A45, p.948(1992); A48, p.964(1993).

Melezhik,V.S., Phys. Rev., A48, p.4528(1993).

Lakshmanan M. and Senthil M.: J. Math.Phys., 33, p.4068(1992).

Farrelly, D. and Howard, J.E., Phys. Lett. A178, 62(1993).

Alhassid, Y., Hinds, E.A. and Meschede, D., Phys. Rev. Lett. 59, 1545(1987).

Pauling,L. and Wilson,E.B., Introduction to Quantum Mechanics, McGraw-Hill, New York, 1935.

Krantzman,K.D. et. all, Phys. Rev. A45, 3093(1992).

Silva,J.R. and Canuto,S., Phys. Lett. A101, 326(1984).

Chhajlany,S.C. and Letov,D.A., Phys. Rev.,A44, 4725(1991).

Dineykhan M., Mod. Phys. Lett. A12, p. 1193(1997).

Fock V.A. Izv. Aked. Nauk. SSSR ser. Fiz. 18, P.161(1954)[ Norsk. Vidensk. Selsk. Forh. 31,p.138(1958)].

163] Беляев В.Б. и др., ЖЭТФ 37, с.1652(1959).

164] Масек J., Jour. Phys. Bl, р.831(1968).

165] Виницкий С.И., Пономарёв Л.И. ЭЧАЯ 13, с.1336(1982).

166] Gusev V.V. et al., Few-Body Systems 9, p. 137(1990).

167] Kohn W., Phys. Rev., 71, p.902(1947).

168] Bishop D.,CHeung L., Phys. Rev., 16,p.640(1977).

169] Alexander S.A.,Monkhorst H.J.: Phys. Rev. 38, p.26(1988).

170] Bhatia A.K.,Drachman R.J. Phys. Rev., A30,p.2138(1984).

171] Hu C.Y. Phys. Rev., A32, p.1245(1985).

172] Фролов A.M., Эфрос В.Д. Письма в ЖЭТФ 39, с.449(1984); ЯФ 41, с.41(1985); J. Phys. В18, р.265(1985).

173] Halpern A. Phys. Rev. Lett. 13, p.660(1964).

174] Виницкий С.И., и др., ЖЭТФ,91, с.705(1986); Phys. Lett.,B196, p.272(1987).

175] Варшалович Д.А., Москалев А.Н., Херсогский В.К., Квантовая теория углового момента Л., Наука, 1975.

176] Пономарёв Л. И., Файфман М.П.: ЖЭТФ, 71, с. 1689(1976); ЖЭТФ, 65, с.28(1973); ЖЭТФ, 68, с.437(1975).

177] Dineykhan М., and Efimov G.V., Few-Body Systems 21, p.63(1996).

178] Martin A., et al., Phys. Rev., A46, p.3697(1992).

179] Korobov V.l., Vinitsky S.I., Phys. Lett. B288, p.21(1989); Preprint JINR, E4-90-436, Dubna 1990.

180] Thirring W., A Course in Mathematical Physics, V.3 (SpringerVerlag, 1981).

181] Bhatia A.K. and Drachman R.J., Phys. Rev.A35, p.4051(1989).

[182] Papovic Z.S. and Vukajlovic F.R., Phys. Rev.,A36, p. 1936(1987).

[183] Hill R.N., J.Math. Phys., 18, p.2316(1977).

[184] Cohen S., Hiskes J.R. and Riddell R.J., Phys. Rev. 119, p.1025(1960).

[185] Wind H., Chem J., Phys. 42, p.2371(1965); 43, p.2956(1965).

[186] Kolos W., Acta Phys. Acad. Sei. Hung. 27, p.241(1969).

[187] Beckel C.L., Hausen B.D. and Peek J.M., J. Chem. Phys. 53, p.3681(1970).

[188] Struensee M.C., Cohen J.S. and Pack R.T., Phys. Rev.A34, p.3605(1986).

[189] Fonseca A.C. and Pena A., Phys. Rev.A38, p.4967(1988).

[190] Mills A.P., Phys. Rev. Lett. 46, p.717(1981).

[191] Wightman A.S., Thesis, Princeton University (1949).

[192] Poshusta R.D., J. Phys. B18, р.1887(1985).

[193] Rotenberg M. and Stein J., Phys. Rev. 182, p. 1(1969).

[194] Armour E.A.G. and Schräder D.M., Can. J. Phys.60, p.581(1982).

[195] Glaser V., et al.,in Mathematical Problems in Theoretical Physics, Proc.Int. Conf.Math.Phys. Lausanne(1979), ed.K.Osterwalder ( Lectures Notes in Physics, 116, Springer-Verlag, Berlin,1980).

[196] Gershtein S.S., Ponomarev L.l.Mesomolecular processes induced by and mesons: In Muon Physics. Hughes V., Wu C.S. (eds), Vol 3, p.141 N.Y.(1975).

[197] Аристов Ю.А. и др.: ЯФ, 336 с.1066(1981).

[198] Matsuzaki I., Ishida К., Nagamine К., Hirata Y., and Kadono R. Muon Catalyzed Fusion2, p.217(1988).

[199] Н. P. Von Arb et al, Muon Catalyzed Fusion 4, p.61(1989).

[200] Gershtein S.S., Gusev V.V., Preprint IHEP 92-129, Protvino (1992).

[201] Kravtsov A.V., Mikhailov A.I., Savichev V.I.Preprint 1819, St.Petrsburg(1992).

[202] Niinikoski T.O.Progres in polarized targets in high-energy physics with polarized beams and polarized targets. Jeseph C., Soffer J. (eds.) p.191 (1981) Besal Birhauser.

[203] Kravtsov A.V., Popov N.P., Solyakin G.E. Sov. J. Nucl. Phys. 35, p.876(1982).

[204] Belyaev V.B., et al., Few-Body Systems, Suppl.6, p.332(1992).

[205] Dineykhan M., and Efimov G.V.: Mod. Phys. Lett. A9, p.2083(1994).

[206] Hara S., Ishihara T. Phys. Rev., A 39, p.5633(1989).

[207] Алферов Ж.И., и др. УФН, 165, с.224(1995).

[208] Кулаковский В.Д., Бутов Л.Д., УФН, 165, с.229(1995).

[209] Ashoori R.C., et al.: Phys. Rev. Lett. 71, p.613(1993); Surf. Sci. 305, p.558(1994).

[210] Johnson А.Т., et al.: Phys. Rev. Lett. 69, p.1592(1992).

[211] Hawrylak P.: Phys. Rev. Lett. 71, p.3347(1993).

[212] Macdonald A.H. and Johnson M.D.: Phys. Rev. Lett. 70, p.3107(1993).

[213] Bayer M., Reinecke T.L., Schmidt A. et al., in Proc. 22th int. Conf. Semi. Phys. Vancouver, Canada(1994).

[214] Chakraborty Т., Cooments Condens. Matter. Phys., 16, p.35(1992).

[215] Kastner M.A., Cooments Condens. Matter. Phys., 17, p.349(1996).

[216] Johnson N.F., J. Phys., Condens. Matter., 7, p.965(1995).

[217] Dineykhan M. and Nazmitdinov R.G. Phys.Rev. B55, p.13707(1997).

[218] Kohn W., Phys. Rev., 123, p.1242(1961).

[219] Bery L., Johnson N.F. and Halperin B.I., Phys. Rev. B40, p.10647(1989).

[220] P.A. Maksym and T. Chakraborty, Phys.Rev.Let. 65, 108 (1990); Phys.Rev. B45, 1947 (1992).

[221] Heitmann D. and Kotthaus J., Phys. Today 46, p.56 (1993).

[222] Taut M.„ J.Phys.A: Math.Gen. 27, p.1045 (1994).

[223] Kinaret J.M., Meir Y., Wingreen N.S., Lee P. and Wen X.G. Phys. Rev. B46, p.4681(1992).

[224] Quiroga L., Ardila D. and Johnson N.F. Solid State Commun. 86, p.775 (1993).

[225] M. Wagner, U. Merkt and A.V.Chaplik, Phys.Rev. B45, p.1951 (1992).

[226] Oh J.H., Chang K.J., Ihm G. and Lee S.J. Phys.Rev. B50, p.15397(1994).