Развитие динамических межотраслевых моделей и математические методы их анализа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Петлина, Елена Михайловна

• Петлина, Елена Михайловна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Петлина, Елена Михайловна

Введение.

Глава 1. Математические модели макроэкономики.

1.1. История развития моделей общественного производства.

1.2. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.

1.3. Модель Леонтьева-Форда.

1.4. Динамическая модель Леонтьева.

1.5. Двойственные задачи линейного программирования.

1.6. Двойственная модель к модели Леонтьева.

Выводы по главе 1.

Глава 2. Обобщенная динамическая балансовая модель с дискретным временем, учитывающая выделение вредных отходов.

2.1. Постановка задачи. Понятие решения модели.

2.2. Свойства решения динамической модели с учетом экологического состояния окружающей среды.

2.3. Условие разрешимости динамической модели.

2.4. Динамическая модель, учитывающая возможность утилизации вредных отходов.

2.5. Двойственная модель к динамической модели с дискретным временем.

2.6. Обобщенная модель для двойственной модели с дискретным временем.

Выводы по главе 2.

Глава 3. Динамическая модель с непрерывным временем, учитывающая выделение вредных отходов, и математический аппарат ее исследования.

3.1. Динамическая модель с непрерывным временем, учитывающая выделение вредных отходов.

3.2. Свойства динамической модели с непрерывным временем, учитывающей выделение вредных отходов.

3.3. Метод последовательных приближений для решения динамической межотраслевой балансовой модели.

3.4. Двойственная модель для случая с непрерывным временем.

3.5. Свойства двойственной модели с непрерывным временем.

Выводы по главе 3.

Глава 4. Априорные оценки решения динамической балансовой модели.

4.1. Оценка решения динамической модели многоотраслевой экономики.

4.2. Метод ускорения сходимости двусторонних оценок к решению динамической модели.

4.3. Метод ускорения сходимости векторных оценок к решению динамической балансовой модели.

4.4. Метод ускорения сходимости уточненных двусторонних оценок к решению динамической модели.

4.5. Метод построения двусторонних приближений к решению динамической балансовой модели с учетом утилизации вредных отходов.

Выводы по главе 4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие динамических межотраслевых моделей и математические методы их анализа»

Актуальность темы исследования. На современном этапе экономического развития общества продолжают оставаться актуальными задачи эффективного прогнозирования, планирования и управления крупными экономическими системами. При построении математических моделей таких систем получают статические и динамические модели, по-разному учитывающие фактор времени. Статика изучает состояния экономических объектов, относящиеся к определенному моменту времени или периоду времени. Изменения параметров состояния изучаемых объектов во времени при этом не учитывается. В динамических моделях учитывается не только зависимость параметров и переменных от времени, но и изменение их взаимосвязей с течением времени. Например, динамика инвестиций определяет динамику величин основного капитала, что, в свою очередь, является важнейшим фактором изменения объема выпуска.

Большинство современных моделей, имеющих практическую направленность и предназначенных для прогноза основных показателей экономики, построены на расширенных моделях межотраслевого баланса. Наиболее важной и интересной из первых таких моделей является модель Леонтьева х = Ах + у, (0.1) где А - технологическая (неотрицательная) матрица, х - валовой выпуск полезного продукта (неизвестный элемент), / - вектор чистого выпуска полезного продукта (заданный элемент). При неотрицательном векторе/экономический смысл имеют только неотрицательные решения х' модели (0.1).

Исследования Леонтьева способствовали развитию новых направлений экономических исследований и активное развитие экономико-математических методов. Учет технологических особенностей производства, инвестиционной деятельности, экологической ситуации и ряда других особенностей производственной и социальной сфер требуют постоянного развития моделей многоотраслевой экономики. Такого рода исследованиям посвящены работы зарубежных и отечественных ученых: В.В. Леонтьева, Д.

Форда, Дж. фон Неймана, П.А. Самуэльсона, P.M. Солоу, Дж. Р. Хикса, М. Моришима, В.Я. Стеценко, Е.В. Рюминой, E.JI. Торопцева и др. [3; 12; 16; 1921; 24; 32; 35; 46-49; 51-53; 58; 76; 88-90; 92].

Подавляющее большинство известных технологий производств связано с появлением в процессе их реализации побочных продуктов, в том числе приводящих к загрязнению окружающей среды. Учитывая объемы производства, масштабы загрязнения носят угрожающий характер. В этой связи правительствами стран принимаются все более жесткие меры по предотвращению деградации природы, переработке вредных отходов и сведению антропогенного влияния к минимуму.

Борьба с загрязнением окружающей среды требует постоянно возрастающих затрат. Это приводит к созданию новых производств по переработке и уничтожению вредных отходов. В результате расширяется сама сфера общественного производства: она включает не только создание материальных благ, но и разные виды деятельности, связанные с уменьшением загрязнения окружающей среды и возобновления природных ресурсов.

Первая межотраслевая модель, охватывающая взаимосвязи экономики и окружающей среды предложена В. Леонтьевым и Д. Фордом [49]: x = Anx + Any + fx, y = A2Xx + A22y-f2, где х - вектор валового выпуска полезного продукта; у — вектор вредных отходов в окружающей среде, возникающих, в частности, в процессе производства и подлежащих уничтожению; /х - вектор чистого выпуска полезного продукта; /2 - вектор остаточного уровня вредных отходов; Ап — технологическая матрица; Ап - матрица, характеризующая затраты полезного продукта; А1Х — матрица, соответствующая количеству вредных отходов, создаваемых при выпуске полезного продукта; А22 - матрица, характеризующая уровень вредных отходов в окружающей среде при уничтожении других вредных отходов.

По сравнению с моделью (0.1) модель Леонтьева-Форда охватывает не только две группы отраслей (отрасли материального производства и отрасли, которые уничтожают вредные отходы), но и обладает некоторыми свойствами, существенно отличающимися от свойств модели межотраслевого баланса. Это связано, в первую очередь, с тем, что модель (0.2) содержит величины, измеренные в натуральных единицах (отходы производства по каждому виду загрязнения) наряду с величинами, выраженными в стоимостной форме (векторы валового и конечного продукта, технологическая матрица и т.д.).

Приведенные модели являются статическими. Однако при изучении реальной экономики можно выделить такие ее элементы, в которых причина переходит в следствие не мгновенно, а с некоторым запозданием [31-32]. Поэтому динамические модели, как правило, являются более адекватными изучаемым экономическим явлениям.

В работе [47] для модели Леонтьева построена динамическая модель с дискретным х = Ах + В X'+h ~Х> + f "S+A ~ U . ^ J t+h ' п и непрерывным временем x(t) = Ax(t) + Bx(t) + f(t).

Последняя модель стала классическим примером использования систем дифференциальных уравнений в исследовании проблем экономического роста. Со времени своего появления модель Леонтьева претерпела значительное развитие и модификации. Здесь следует отметить работы таких авторов как Дж. фон Нейман, П.А. Самуэльсон, В.Я. Стеценко, Е.Л. Торопцев, A.C. Мараховский, Т.Г. Гурнович, М.В. Бойчук и др. [3; 12; 51-52; 55; 88-90].

Озабоченность экологической ситуацией заставляет правительство разных стран субсидировать новые достаточно «чистые» технологии, выделять дополнительные инвестиции на переработку вредных отходов и борьбу с загрязнением окружающей среды. Все это влияет на отдельные производства и экономическую ситуацию в целом. Поэтому при построении межотраслевой динамической модели, учитывающей экологическое состояние окружающей среды, необходимо внести коррективы как в балансовые уравнения выпуска полезного продукта, так и в уравнения, связанные с вектором вредных отходов. Основное отличие таких моделей состоит в том, что, используя новые современные технологии, в ряде случаев удается снизить выделение побочных продуктов до уровня ниже экологически допустимого. При этом уравнение, соответствующее второму уравнению модели (0.2) логичнее записать в виде неравенства, что влечет за собой множественность решения. В основе модели проведения прогнозных расчетов таких задач лежит принцип оптимальности, позволяющий при многовариантном прогнозировании выбрать решение поставленной задачи наилучшим образом, т.е. с наименьшими затратами трудовых ресурсов и средств производства. Эта идея реализована в построенной автором динамической модели, учитывающей экологическое состояние среды и возможную переработку выделяемых в эту среду в процессе производства вредных отходов с целью понижения уровня их содержания до экологически допустимого. Рассматриваемая модель и полученные при ее исследовании результаты являются развитием идей доктора физико-математических наук, профессора Стеценко В .Я.

В общей постановке эта модель описывается в виде операторной системы неравенств: а) в случае дискретного времени

У 1+11 — СХ!+>1' У/+И > ' УI ) /'2,1+1, •> где ^, - линейные монотонные операторы, х,, у,, , /2 ,+й - заданные элементы, х1+/1, у,+11 - неизвестные элементы, к — период прогноза; б) в случае непрерывного времени х1+/1

0.3) х>Г1(х,у,х,у) + у>Р2(х, у,х,у)~/2

0.3') где ^ - нелинейные монотонные операторы, =/(/)> /2 = /2(0 - заданные элементы, зависящие от времени I, х = , = ХО — неизвестные функции.

Пару элементов {х(1),у(()}, удовлетворяющих системе неравенств'(0.3) или (0.31), будем называть планом соответствующей задачи. Множество всех планов задачи, следуя Стеценко В.Я. [79; 88], будем обозначать через П. Если множество планов задачи не пустое, то оно содержит бесконечное множество элементов. Положим х(0 = тфСО}, /(/) = и*{у(0}, (0-4) где точная нижняя грань вводится по всем {х^),у(1)}еП. Вектор {х*(/),1у*(/)}, определенный согласно (0.4), если он существует, назовем решением рассматриваемой задачи.

Полученные в работе модели является дальнейшим развитием моделей Леонтьева и Леонтьева-Форда. Принципиальное отличие предложенных моделей связано с введением в модель нового типа операторов.- Более того, модель (0.3') с непрерывным временем описывается системой дифференциальных уравнений-неравенств; проблема отыскания положительного решения модели (0.3') сводится к отысканию положительного решения операторного уравнения с дифференциальным оператором при наличии заданных неотрицательных и отрицательных величин.

Изучение динамической модели межотраслевого баланса с учетом экологического состояния окружающей среды проводится в двух интерпретациях, поскольку время в экономической динамике может рассматриваться как непрерывное или как дискретное. Непрерывное время удобно для моделирования, так как позволяет использовать аппарат дифференциального исчисления и дифференциальных уравнений. Дискретное время удобно для приложений, поскольку статистические данные всегда дискретны и относятся к конкретным единицам времени. Для модели с дискретным временем представляется возможность воспользоваться аппаратом разностных уравнений.

Заметим, что большинство известных моделей экономической динамики существуют как в непрерывном, так и дискретном вариантах. В обоих вариантах для них могут быть получены, как правило, аналогичные результаты, уровень сложности самих моделей примерно одинаков [25].

Объект исследования — математические модели макроэкономики. Предмет диссертационной работы - динамические модели многоотраслевой экономики, учитывающие внесение инвестиций на развитие производства и утилизацию вредных отходов.

Цель диссертационной работы - построение и изучение математических моделей, описывающих балансовые соотношения производства с учетом выделения вредных отходов в окружающую среду, возможности их переработки и внесение инвестиций.

В соответствии с поставленной целью в ходе исследования решались следующие задачи:

- построить обобщенную динамическую балансовую модель с учетом-инвестиций и экологического состояния окружающей среды;

- построить двойственную модель, дать экономическую интерпретацию модели;

- изучить свойства построенных моделей;

- предложить методы решения рассмотренных моделей;

- указать способ выбора оптимального решения в случае многовариантности способов достижения заданного уровня производства и ограничений на загрязнение окружающей среды.

Методы исследований. Для решения поставленных в работе научных задач использованы методы классического функционального анализа и теории операторов, действующих в полуупорядоченных банаховых пространствах, теория неотрицательных матриц, методы оптимизации, теория дифференциальных уравнений и численные методы вычислительной математики.

Научная новизна исследования состоит в построении и изучении математических моделей, описывающих многоотраслевое производство:

1. Разработана динамическая модель с дискретным и непрерывным временем с учетом выделения вредных отходов на основе аппарата разностно-дифференциальных уравнений, отличающаяся от существующих введением дополнительных коэффициентов в уравнение образования вредных отходов, что увеличивает информативность модели и позволяет получить более точный прогноз о выбросах вредных отходов в окружающую среду при выборе данной технологии.

2. Построена двойственная модель для динамической модели с учетом выделения вредных отходов, позволяющая прогнозировать розничные цены на полезные продукты, что необходимо для экономистов-аналитиков, занимающихся прогнозом цен на производимую продукцию. Предложенные алгоритмы базируются на применении теории двойственности и операционного исчисления.

3. Предложен инструментарий исследования динамической модели, описываемой системой дифференциальных уравнений, на основе теории операторов и функционального анализа, что позволяет, не решая системы, определить, является ли построенная модель продуктивной.

4. Для динамической модели адаптированы методы построения двусторонних и векторных оценок решения, предложен метод улучшения двусторонних оценок. В отличие от методов поиска точного решения, применение метода двусторонних оценок способствует успешному решению задач с большой размерностью обрабатываемых моделей, не прибегая к непосредственному интегрированию.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая ценность работы заключается в дальнейшем развитии математических моделей многоотраслевой экономики, позволяющих точнее описывать производственную, инвестиционную и природосберегающую деятельность.

Практическая ценность работы определяется возможностью применения полученных результатов исследования при решении конкретных задач математики, экономики, биологии и других задач, сводящихся к системе дифференциальных уравнений, и заключается в применении обоснованного метода выбора оптимального решения в условиях его многовариантности. Отдельные результаты могут быть использованы при чтении специальных курсов и подготовке учебных пособий.

Достоверность полученных результатов исследования вытекает из математической строгости постановки и решения исследуемых задач, а также из совпадения ряда полученных результатов в частных случаях с известными в литературе.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Обобщенная динамическая модель многоотраслевой экономики с дискретным временем, учитывающая внесение инвестиций, выделение и переработку вредных отходов.

2. Модификация динамической модели с непрерывным временем, учитывающей выделение вредных отходов в процессе производства.

3. Двойственная модель для динамической балансовой модели с учетом экологического состояния окружающей среды с дискретным и непрерывным временем.

4. Двусторонние и векторные оценки решения динамической межотраслевой балансовой модели, учитывающей выделение и переработку вредных отходов, метод улучшения двусторонних оценок.

Апробация работы. Основные результаты диссертации представлялись на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Ростов-на-Дону, 2006); XIV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, 2007); VIII и IX Всероссийских конференциях молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2007 и Кемерово, 2008); VI Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодежь и современные информационные технологии» (Томск, 2008); IV научно-практической конференции «Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий»

Сочи, 2008); V Международном семинаре «Физико-математическое моделирование систем» (Воронеж, 2008); IX Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике, (Волгоград-Волжский, 2008); научно-методических конференциях преподавателей и студентов Ставропольского государственного университета «Университетская наука — региону» (Ставрополь, 2006, 2007, 2008, 2009) и неоднократно на научных семинарах кафедры математического анализа Ставропольского государственного университета.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 13 работ, из которых 2 в ведущих рецензируемых журналах. Часть результатов диссертации получена совместно с кандидатом физико-математических наук, доцентом Павловой М.Н., при этом в соответствующих результатах ей принадлежат постановка задачи и общие рекомендации относительно методов ее решения, а автору диссертации - реализация этих рекомендаций и доказательства соответствующих результатов.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка используемой литературы и приложения.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Петлина, Елена Михайловна

Выводы по главе 4:

1. Получена оценка решения динамической модели многоотраслевой экономики с учетом выделения вредных отходов.

2. Предложены приемы ускорения сходимости двусторонних и векторных монотонных приближений к решению модели.

3. Разработан метод ускорения сходимости уточненных двусторонних оценок к решению предлагаемой модели.

4. Предложен метод построения двусторонних приближений к решению динамической модели с учетом утилизации вредных отходов.

122

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе рассматривается развитие динамической межотраслевой балансовой модели, учитывающей экологический фактор с дискретным и непрерывным временем, а также двойственные к ним модели. Все рассмотренные модели можно представить в виде операторного уравнения: где С - неразложимый или монотонно разложимый оператор, а / - заданный, не обязательно положительный элемент.

Для каждой модели поставлены и решены следующие задачи:

1) для данного операторного уравнения указать условия существования положительного решения при соответствующем обобщении понятия решения этой модели;

2) построить двойственную модель;

3) сформулировать и доказать свойства рассматриваемой модели;

4) предложить методы построения достаточно близких приближений к решению модели.

Таким образом, в диссертационной работе:

1. Построена обобщенная динамическая модель многоотраслевой экономики с дискретным временем на основе аппарата разностных уравнений, в которой введены дополнительные коэффициенты в уравнение образования вредных отходов, что позволяет получить более точную информацию о выбросах.

2. Изучена динамическая модель с непрерывным временем с учетом выделения вредных отходов в процессе производства, описываемая системой дифференциальных уравнений.

3. Построена двойственная модель для динамической модели многоотраслевой экономики с учетом экологического состояния окружающей среды с дискретным и непрерывным временем, сформулированы ее свойства.

4. Получены двусторонние и векторные оценки решения динамической модели, предложен метод улучшения двусторонних оценок, что позволяет анализировать модель, не прибегая к непосредственному интегрированию.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Петлина, Елена Михайловна, 2009 год

1. Bonsall F.F. Linear operators in complete positive cones // Proc. London Math. Soc. 8.- 1958.- P. 53-75.

2. Karlin S. Positive operators // T. Math. Mech. 1995. - №8. - P. 907-938.

3. Samuelson P.A. An Extension of the LeChatelier Principle // Econometrica. -XXVIII. 1960. - P. 368-379.

4. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория нелинейных операторов в гильбертовом пространстве. -М.: Наука, 1966. 136 с.

5. Баранов А.О., Гильмундинов В.А., Павлов В.Н. Исследование экономики России с использованием межотраслевых моделей. М.: Наука, 2001. -352 с.

6. Баранов Э.Ф. Межотраслевой баланс: методическая база моделирования народнохозяйственных процессов. М.: Экономика, 1973. - 232 с.

7. Бахтин И.А. Исследование уравнений с положительными операторами: дис. . д-ра физ.-мат. наук. Л., 1967. - 102 с.

8. Бахтин И:А., Красносельский М.А. Метод последовательных приближений в теории уравнений с вогнутыми операторами // Сибирский, математический журнал. 1961.-Т. 2-№3.-С. 313-330.

9. Бахтин И.А., Красносельский М.А., Стеценко В.Я. О непрерывности положительных операторов // Сибирский математический журнал. 1962. -Т. 3 - № 1. - С. 8-17.

10. Ю.Беленький В.З., Арутанян И.И., Трофимова H.A., Френкин Б.Р. Полипродуктовая динамическая межотраслевая модель народного хозяйства с оптимизируемым блоком внешней торговли // Экономика и математические методы. 2001. - Т. 37. — Вып. 2.

11. П.Бергман А.К. Экономико-математическое моделирование произвольных систем. М.: МАДИ, 1987. - 198 с.

12. Бойчук М.В., Шмурыгина Н.М. Динамическая обобщенная модель межотраслевого баланса с учетом контроля над загрязнением с лагами // Вестник МСУ. Экономические науки. 2006. - T. IX. - № 2. - С. 78-84.

13. Волков И.К., Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление: учебник для вузов / под ред. B.C. Зарубина, А.П. Кри-щенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1996. - 228 с.

14. М.Воркуев Б.Л., Грачева М.В., Лукаш E.H. Математические методы анализа экономики. Модели межотраслевого баланса. — М.: МГУ, 1990. 250 с.

15. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. — М.: Наука, 1961.-407 с.

16. Галкина В.А., Омарова А.Д. Еще раз о существовании неотрицательного решения модели Леонтьева-Форда // Известия Северо-Кавказского технического университета. Серия физико-химическая. 2005. - Вып. 6. -С. 74-79.

17. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. -М.: Наука, 1966. 576 с.

18. Гейл Д. Замкнутая линейная модель пространства. М.: Иностранная литература, 1959. -197 с.

19. Гранберг А.Г. Динамические модели народного хозяйства. М:: Экономика, 1985. - 274 с.

20. Гранберг А.Г. Моделирование социалистической экономики. М.: Экономика, 1988.-487 с.

21. Гурман В.И., Рюмина Е.В. Моделирование социо-эколого-экономической системы региона. -М.: Наука, 2001. 175 с.

22. Дорнбуш Р., Фишер С. Макроэкономика. М: Изд-во МГУ, 1997. - 495 с.

23. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз, 1959. - 684 с.

24. Канторович Л.В., Вулих Б.З., Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. М.: Физматгиз, 1959. - 684 с.

25. Канторович Л.В., Горстко А.Б. Оптимальное решение в экономике. -М.: Наука, 1972.-234 с.

26. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Физматгиз, 1962. - 907 с.

27. Кенэ Ф. Избранные экономические произведения. М.: Соцэкгиз, 1980. -195 с.

28. Колемаев В.А. Математическая экономика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. -356 с.

29. Колемаев В.А. Математические модели макроэкономической динамики. -М.: ГАУ им. С. Орджоникидзе, 1996. 265 с.

30. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. -М.: Мир, 1969.-421 с.

31. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968. - 544 с.

32. Коробова М.В. Динамические оптимизационные и балансовые модели взаимодействия экономики и окружающей среды: дис. . канд. физ.-мат. наук. Киев, 2002. - 102 с.

33. Костенко Т.А., Петлина Е.М. Динамическая модель межотраслевого баланса, учитывающая выделение вредных отходов, и двойственная к ней модель // Известия' вузов. Северокавказский регион. Естественные науки.-2008. №2.-С. 11-16.

34. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962. - 396 с.

35. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Сте-ценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.-455 с.

36. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Покорный В.В., Стеценко В.Я. Положительно обратимые линейные операторы и разрешимость линейных уравнений // ДАН Тадж. ССР. 1974. - Т. XVII. - № 1. - С. 12-15.

37. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев A.B. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов. М.: Наука, 1985. - 256 с.

38. Крейн М.Г., Рутман М.А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха // Успехи математических наук. -1948. № 3 - Вып. 1. - С. 3-95.

39. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: учебник для вузов / под ред. проф. Н.Ш. Кремера -2-е изд., перераб. и доп. М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1999. - 471 с.

40. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Исследование операций в экономике: учебное пособие для вузов / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. - 407 с.

41. Курс переходной экономики / под ред. акад. Л.И. Абалкина. М.: Фин-стинформ, 1997. - 572 с.

42. Курс экономики: учебник / под ред. Б.А. Райзберга. М.: ИНФА-М, 1997.-657 с.

43. Леонтьев В. Будущее мировой экономики. М.: Международные отношения, 1979.-375 с.

44. Леонтьев В.В. Межотраслевая экономика / пер. с англ. / автор предисловия и научный редактор Гранберг А.Г. М.: ОАО Издательство «Экономика», 1997. - 479 с.

45. Леонтьев В.В. Экономические эссе. М.: Изд-во полит, лит-ры, 1990.

46. Леонтьев В.В., Форд Д. Межотраслевой анализ воздействия структуры экономики на окружающую среду // Экономика и математические методы. 1972. - Т. 8. - Вып. 3. - С. 370-400.

47. Моришима М. Равновесие, устойчивость, рост. — М.: Наука, 1972. — 179 с.

48. Мухтаров С.Н., Стеценко В.Я. О некоторых свойствах уравнений с неразложимыми операторами // ДАН Тадж. ССР. 1965. - Т. 8. - № 2 - С. 1927.

49. Нейман Дж., Моргенштейн О. Теория игр и экономическое поведение. -М.: Наука, 1970.

50. Немчинов B.C. Экономико-математические методы. -М.: Мысль, 1965. — 298 с.

51. Островский А.Ю. О сходимости монотонных итерационных процессов // Вычислительная математика и математическая физика. 1977. - Т. 17. — № 1.-С. 233-238.

52. Университетская наука региону». - Ставрополь: Изд-во СГУ, 2008. -С. 68-70.

53. Петлина Е.М., Павлова М.Н. Динамическая модель многоотраслевой экономики с учетом выделения вредных отходов в процессе производства // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2009. - Т. 16. -Вып. З.-С. 551-552.

54. Радченко В.В., Стеценко В.Я. Применение метода Ньютона-Канторовича для расчета нелинейного межотраслевого баланса // Модели и методы экономических целенаправленных систем. Новосибирск, 1977. - С. 160— 166.

55. Рюмина Е.В. Экологический фактор в экономико-математических моделях.-М.: Наука, 1980.

56. Сакс Дж., Ларрен Ф. Макроэкономика. Глобальный подход. М.: Дело, 1995.-285 с.

57. Сергеева Т.С. Исследование систем линейных и нелинейных уравнений-неравенств, связанных с моделью Леонтьева-Форда: дис. . канд. физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону, 2000. - 83 с.

58. Стеценко В.Я. Исследования по теории линейных и нелинейных положительных операторов в пространстве с конусом: дис. . д-ра физ.-мат. наук. Воронеж, 1968. - 307 с.

59. Стеценко В.Я. О неизвестных точках нелинейных отображений // Сибирский математический журнал. 1969. - Т. 10. - № 3. - С. 642-652.

60. Стеценко В.Я. Об одном методе ускорения сходимости итерационных процессов // ДАН СССР. 1968. - Т. 178. - № 5. - С. 1021-1024.

61. Стеценко В.Я., Галкина И.А. Элементы теории полуупорядоченных пространств. Приближенное решение операторных уравнений: учебное пособие. Ставрополь: СГУ, 1998. - 168 с.

62. Стеценко В.Я., Имомназаров Б. Об одном принципе неподвижной точки // ДАН Тадж. ССР. 1967. - Т. 10. - № 2. - С. 3-11.

63. Стеценко В.Я., Павлова М.Н. О сходимости монотонных итерационных процессов для нелинейных операторов. Современные методы в теории краевых задач // Понтрягинские чтения XII: Тезисы доклада. Воронеж:1. ВГУ, 2001.-С. 145-146.

64. Стеценко В.Я., Павлова М.Н., Кубекова Б.С. Об одном методе построения двусторонних приближений к решению операторного уравнения с монотонно разложимым оператором // Вычислительная математика и математическая физика. 2001. - Т. 41. - № 6. - С. 846-854.

65. Стеценко В.Я., Сергеева Т.С., Павлова М.Н. Модель межотраслевого баланса, учитывающая выделение вредных отходов и их утилизацию.' Математическое развитие модели: учебное пособие. Ставрополь: Изд-во СГУ, 2004. - 127 с.

66. Торопцев E.JI. Моделирование процессов экономической динамики макросистем. Монография. — СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского государственного университета экономики и финансов, 2001. — 135 с.

67. Торопцев E.JL, Гурнович Т.Г. Прикладной анализ балансовых моделей В. Леонтьева. Ставрополь: Кн. изд-во, 1999. - 154 с.

68. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. — М.: Физматгиз, 1963. 612 с.

69. Чернухина И.С. Об одном итерационном методе решения линейной модели Леонтьева-Форда // Успехи современного естествознания. 2002. -№6.-С. 10-11.