Изучение спектральных характеристик одной несамосопряженной задачи с негладкими коэффициентами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Жвамер Карван Хама Фарадж

• Жвамер Карван Хама Фарадж
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Жвамер Карван Хама Фарадж

Введение.

Глава I. О непрерывной зависимости от весовой функции собственных значений, собственных функций задачи типа Т.Редже и асимптотическом поведении ее собственных значений

§ 1. Постановка задачи.

§ 2. Непрерывная зависимость собственных чисел и собственных функций от суммируемой весовой функции задачи #0.

§ 3. Лемма о множестве собственных значений.

§ 4. Вспомогательное утверждение 1.4.1 и теорема 1.4.1 и их доказательство.

Глава II. Получение верхних оценок для нормированных собственных функций задачи Н

§ 1. Верхние оценки для собственных функций задачи Н0.

§ 2. Формулировка основной леммы 2.2.1 и доказательство утверждения 2.2.1.

§ 3. Вспомогательные утверждения 2.3.1 и 2.3.2 и их доказательство.

§ 4. Доказательство утверждений 2.4.1 и 2.4.2.

§ 5. Доказательство основной леммы 2.2.1.

Глава III. Изучение асимптотического поведения нормированных собственных функций задачи Н0 для различных промежуточных классов весовых функций

§ 1. Достижимость верхних оценок нормированными собственными функциями задачи Я0 в случае суммируемой весовой функции.

§ 2. Асимптотическое поведение собственных функций задачи Н0 в случае непрерывной весовой функции.

§ 3. О возможной скорости роста нормированных собственных функций задачи Н0 для классов весовых функций, близких к весовым функциям из класса Гельдера.

§ 4. О равномерной ограниченности нормированных собственных функций задачи #0 в случае весовых функций, удовлетворяющих условию Липшица.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Изучение спектральных характеристик одной несамосопряженной задачи с негладкими коэффициентами»

Многочисленные проблемы теории колебаний пространственно-распределенных систем приводят к необходимости изучения собственных значений и соответствующих им собственных функций дифференциальных операторов, а также к вопросам, связанным с изучением различных функционалов от собственных чисел и собственных функций.

Особенно возрос интерес к проблеме спектрального анализа, когда выяснилось, что спектральный анализ самосопряженных дифференциальных операторов является основным математическим аппаратом при решении задач квантовой механики.

Как известно, многие задачи математической физики, механики, теории упругости, оптимального управления приводят к задаче изучения спектра дифференциальных операторов и разложения произвольной функции в ряд по собственным функциям такого оператора. Классические результаты в этом направлении принадлежат Ж. Лиувиллю [1], Ж. Штурму [2], В.А. Стеклову [3] - [4], Г.Д. Биркгофу [5] - [6], Я.Д. Тамаркину [7], М.Г. Крейну

8] - [9].

Не меньшее значение имеет изучение и общих эллиптических операторов [10], [11] - [12], спектральных краевых задач для таких операторов при различных краевых условиях.

Хотя к настоящему времени многие спектральные задачи изучены довольно хорошо [13], [14], [15] и общую теорию их можно считать завершенной, однако непосредственное применение этой теории к конкретным задачам в ряде случаев затруднительно. Поэтому изучение таких задач представляет интерес. Кроме того, многие классические результаты получены при очень жестких ограничениях на гладкость коэффициентов, в то время как коэффициенты задач, возникающих в современных приложениях, в большинстве своем не удовлетворяют требуемым условиям гладкости. К тому же некоторые классические результаты в общем случае неверны. В связи с этим возникла практическая и теоретическая необходимость в изучении задач с негладкими коэффициентами и рассмотрении их решений в обобщенном смысле.

Отметим, что для гладких весовых функций, а именно, при <у(х)еС[0 о], р(х)еС[о „] оценки собственных функций задачи Н0 получены в работах [16] — [17], где доказано, что нормированные собственные функции данной задачи равномерно ограничены, если р(а) ф 1 (регулярный случай) и растут как С • ,Jln|A,| в случае р{а) = 1 (нерегулярный случай).

Заметим, что для задачи Штурма — Лиувилля в случае гладких весовых функций собственные функции равномерно ограничены.

Настоящая диссертация примыкает к рассматриваемому кругу вопросов, к подробному изложению которых мы и переходим.

Пусть 0 < т < М < оо - фиксированные числа. Обозначим через Z|0 0] множество всех суммируемых функций р(х) на сегменте [0,я], удовлетворяющих условию т < р(х) < М.

В дальнейшем такие функции будем называть весовыми функциями.

На множестве Z,j"0 рассмотрим обычную L, — метрику.

Пусть д(х)е Z[0 o],p(x)e .Рассмотрим спектральную задачу Я0 :

-У + tf(-v)v(x) = Л2р(х)у(х) (0 < х < а)

0.1) у(0)=0, у'(а)-Пу(а) = 0

0.2) л/2 p{x\y(xfdx = 1, (0.3)

Vo У где X — спектральный параметр.

Обозначим через у(х,Л,р(х)) — решение задачи Н0 . Будем также пользоваться обозначениями >>(х) и у(х,Л), если непосредственно ясно, о какой весовой функции или параметре идет речь.

Эта задача впервые была рассмотрена для случая р(х) = 1 итальянским физиком Т. Редже [18], который показал, что система собственных функций задачи (0.1) — (0.2) полна и изучил асимптотику собственных чисел этой задачи.

А.О. Кравицкий [19] указал класс функций, которые допускают разложение в равномерно сходящиеся ряды по собственным и присоединенным функциям задачи Т. Редже (когда р(л-) = 1).

В работах М.М. Гехтмана, И.В. Станкевича [20] задача Т. Редже была обобщена на случай уравнения четвертого порядка.

Чтобы получить краевые условия, обобщающие условия излучения (0.2), вначале рассматривается некоторый самосопряженный в L2 (0, да) оператор с непрерывным спектром, а затем изучается аналитическое продолжение резольвенты этого самосопряженного оператора на риманову поверхность («нефизические листы»).

М.М. Гехтман [21] рассмотрел обобщение задачи Т. Редже в случае дифференциального оператора четного порядка. Более общий случай уравнения n-го порядка, когда все коэффициенты P,(x)(i = 1,2,., и) зависят от спектрального порядка X, рассмотрен в работах Шкаликова А.А. [22]

Укажем еще работы Г.А. Айгунова и Т.Ю.Гаджиевой [23]-[25] ,которые рассмотрели случай р(х) Ф1 задачи типа Т. Редже для уравнения 2п-го порядка.

В отличие от перечисленных работ настоящая работа посвящена не вопросу разложения определенных классов функций в ряды по собственным и присоединенным функциям, а вопросам оценки нормированных собственных функций задачи Я0 и достижимости верхних оценок в случае определенных «негладких» весовых функций р{х).

Результаты, установленные в диссертации, примыкают к кругу вопросов, относящихся к известной проблеме В.А. Стеклова об условиях ограниченности ( в терминах весовой функции р{х) ) ортонормированной системы многочленов Рп (х, р) на всем интервале ортогональности или ее части [26], где р(х) > 0. В последнее время значительно возрос интерес к этой проблеме. Сравнив результаты работ Геронимуса Я.Л [27], Рахманова Е.А [28] и Амброладзе М.У [29], можно заметить аналогию в асимптотическом поведении общих ортонормированных многочленов Рп (х, р) и нормированных собственных функций спектральных задач на конечном отрезке. Поэтому было бы интересно выяснить, справедливы ли утверждения теорем в случае общих ортонормированных полиномов. Заметим ,что и ортонормированные полиномы, и собственные функции спектральных задач обладают свойством ортогональности. В диссертации доказывается, что асимптотические свойства собственных функций не связаны непосредственно с ортогональностью, а обусловлены специальным характером колеблемости решений дифференциального уравнения,величина же максимально возможного роста последовательности нормированных собственных функций определяется только нормировочным условием (0.3).

Прежде чем перейти к изложению результатов диссертации, предварительно отметим, что получению аналогичных оценок собственных функций для задачи Штурма - Лиувилля посвящены работы [30]-[32] В.А Ильина, И.Йо,И.А Шишмарева, В.В Жикова [33],В .Я.Якубова [34]-[38],М.М. Гехтмана [39]- [41], Г.А.Айгунова[42]- [49]

Перейдем к изложению содержания диссертации .

В первой главе диссертации доказаны следующие теоремы:

Теорема 1.2.1. Собственные числа А,п непрерывно зависят от весовой функции р(х) в том смысле, что для любого s > О существует 8 > 0 такое, что для любого рх{х)<=Ь\йа\ из неравенства ||р(х)~p^.vl, <8 следует

I Лп{р)~Лп{р1]<£.

Теорема 1.2.2. Собственная функция у„(х) непрерывно зависит от весовой функции р(х) в том смысле, что для любого s > 0, существует 8 > О такое, что для любого из неравенства ||/о(х)- < $ следует

Уп(х,Р)-УП(х>РЛф,а]<в

Из этих двух теорем вытекает

Следствие 1.2.1, Для любого п е N и е > 0 существует 8 > 0 такое, что для всех P[(.v)eудовлетворяющих неравенству <8, справедливо неравенство

Е {|Л {Р) ~ Л, (а } +1у, (х. р) - у, (х, рх J|t f0 ,} < г. i

Для доказательства теорем 1.2.1 и 1.2.2 предварительно доказывается теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши от весовой функции и начальных условий.

Пусть х0 - произвольная точка из сегмента [0,а], у0 и у'0 произвольные комплексные числа.Рассмотрим задачу Коши:

• j"(x)+q(x)y(x) = Л2р(х)у(х) (о < х < а) v(x0)= V',, лФоЬХ

0.4)

0.5) и пусть у(х,х0,у0,у'0,р) - решение этой задачи.Имеет место следующая .

Теорема 1.2.3. Для любого s > 0 существует 8 > 0 такое, что для любых х0.у0,у'0 и р{ (х) е Z[0 a] справедливо неравенство

Slk'^*'-*о >Уо> Уо»й)~ У{,) *о • Уо >У' о' А ) /=0 q 0„] s, если

Xq XQ

Уо -Уо

O-jvoI+IIPM-AWL, <s

Доказательство данной теоремы разбивается на несколько частей и опирается на следующую лемму и вспомогательные утверждения 1.2.1 —1.2. 4.

Лемма 1.2.1. Решение задачи Коши (0.4) — (0.5) может быть представлено в виде со Х г ->-1 '»-!

Я*' *о> Jo».Уо = Уо + Уо(х - х0) + 2 J ) - ^p(s„, )J J J. = 1 X„ X xo r0 У&о -x0)]ds0dtlds1.dtfl^dsn1dtn

Утверждение 1.2.1. Пусть x0=x0, px (x) = p(x). Тогда справедливо утверждение теоремы 1.2.3.

Утверждение 1.2.2. Пусть х0 = х0, =>'0 и у'0 = у[. Тогда справедливо утверждение теоремы 1.2.3.

Утверждение 1.2.3. Пусть v0 = у0, y'0=y'Q и р,(х)=р{х). Тогда справедливо утверждение теоремы 1.2.3.

Утверждение 1.2.4. Если у{х,Л)~ решение задачи Коши (0.4) - (0.5), то у{хЛ) и у'(х,Л)~ аналитические функции аргумента X. Кроме того, коэффициенты разложения в ряд Тейлора функции У(а>^ + А;0 (очевидно, у(а,Л + АЛ) аналитической функции, если у(а,Л)* 0) по степеням АЛ непрерывно зависят от весовой функции р(х) (в норме L,).

Доказательство теорем 1.2.1 и 1.2.2 опирается также на утверждение

1.2.4.

Далее в I главе доказывается теорема 1.4.1, дающая возможность изучения поведения собственных значений задачи Я0 в случае негладких коэффициентов.

Теорема 1.4.1. Пусть p(x)^L\0a], #(x)eif0o], тогда для задачи Н0 справедливы следующие утверждения:

1) Задача Н0 имеет счетное множество собственных значений.

2) Для собственных значений задачи Н0 справедливо неравенство ТтЯ = о- < 0, причем если (я,^(х))- собственное число и собственная функция задачи и Re Я = 8 * 0, то \y(af = -2а.

Из утверждения 1.2.2, теоремы 1.4.1,учитывая, что max|><.\-)|2 >|v(o)|2, вытекает важное следствие 1.4.1.

Следствие 1.4.1. Собственные функции задачи Н0 удовлетворяют соотношению ||Х*)||С[о ] ^ д/2|1т Л\, где Я - собственное число , соответствующее собственной функции у(х).

Доказательство теоремы 1.4.1 основывается на лемме 1.3.1 и утверждении 1.4.1.

Лемма 1.3.1. Задача Н0 имеет счетное множество собственных значений.

Утверждение 1.4.1. Если (к, у(х)) - собственное число и соответствующая собственная функция задачи Н0 и 8ф 0, то справедливы соотношения а < О и|.Ка)|2 = -2ст,(а = IтЛ).

Асимптотика собственных значений и их распределение в комплексной плоскости задачи (0.1) - (0.2) в случае (/?(*) = 1) изучена в работах Т. Редже [18], А.О. Кравицкого [19]; а для уравнения 2п-го порядка -Гехтманом М.М. [13], в случае р(х)Ф\- в работах Айгунова Г.А. и Гаджиевой Т.Ю. [23]-[25].Во всех ранее известнных работах коэффициенты дифференциалных уравнений являются достаточно гладкими функциями, а в рассматриваемой диссертации они являются всего лишь суммируемыми и отделенными от нуля функциями.

Вторая глава посвящена получению верхних оценок для нормированных собственных функций задачи типа Т. Редже Н0 (теорема

2.1.1) и доказательству леммы 2.2.1, которая является основной леммой данной работы.

Теорема 2.1.1. Пусть р(х)е1[0д], д(х) е Х[0й] .Тогда существует константа С, не зависящая от q(x) и р{х), что для любого собственного числа А,п и соответствующей собственной функции уп (х) задачи Н0. maxjyn(x)<C.\An\U2.

Для р(х)Ф\ задача #0в случае гладких коэффициентов изучена в работе [16], где установлено, что при р(а) ф 1 (регулярный случай), то мнимые части собственных чисел Iш(Я„) и собственные функции уп{х) равномерно по neN ограничены (|1т(Я„)| < const ||.y„(*)||r < const), если же р{а) = 1 ( нерегулярный случай) мнимые части Гш(я„) собственных чисел задачи Я0 неограничены равномерно (lim|lm(2 )| = оо ), неограничены также и л-ко 1 собственные функции уп (х) (Jim||>'„ (*)||С[0 =оо).

В дальнейшем мы будем рассмотривать случай, когда |1ш(1„)| < const, который назовём регулярным, а соответствующую этому случаю функцию р(х) регулярной весовой функцией задачи Я0.

Пусть meN, 0 = х0 <.<хт = а. Тогда функцию р0(х) назовем кусочно-гладкой на [0,а], если р0(х) имеет ограниченные производные любого порядка на (х,,х(+1),/ = 0,1,.,т-1.

Лемма 2.2.1. Пусть даны q(x) = q> 0, кусочно-гладкая р0(х) <е Г[0а], а0 g [0, а) и достаточно малое s > 0, удовлетворяющие условиям р0 (а) ф 1, s < | pQ (a)-1| и s < /?0 (а). Тогда существует константа С = C(s) = С • s > 0 и номер щ = щ(a0,s) такие, что для любого п> п0 существует кусочно-гладкая весовая функция рп{х) такая, что \рп(х) - pQ(х)| < s, рп(х) = р0(х) если х е [0, а0 ] и справедливо неравенство

-^r>C, i/: причем С не зависит от q,£,a0u р0(х) , а п0 не зависит от q и р0(х) (Лп и v„ (л") собственные числа и собственные функции задачи Я0 соответствующие коэффициентам q и рп (х) ).

Из данной леммы вытекает следствие

Следствие 2.2.1. Если функция р0(х) непрерывна, то существуют непрерывные весовые функции рп (х), удовлетворяющие условиям леммы и равенству рп(а) = р0(а).

Введем обозначения: Л = 8 + га, w(x)-[cos^(x)+/'sin^(x)]=^(x) ,8 и а -действительние числа, и(х) = |>>(х)|, (р{х)=arg[y(x)].

Если записать задачу Н0, используя введенные обозначения, то после несложных преобразований, мы придем к задаче вида:

-и"(х) + {|УО)]2 +?0)}w(X> - (S2 -а2)р(х)и(х), р\х) + 2-^ • <р\х) = -25ар(х), ы(х) и '{а) + аи(а) = 0, м(0) = 0, ср'(а) -8 = 0, (0.7)

1/2 p(x)u2{x)dx =1. (0.8)

V0

Для доказательства леммы нам понадобятся некоторые утверждения, а именно:

Имеют место следующие утверждения:

Утверждение 2.2.1. Пусть q(x) = q, р(х) = р, С, и С2- произвольные комплексные числа, тогда: а) в некоторой окрестности точки система (0.6) имеет общее решение и(х) = ^С^е'2-1*+2\Cl\-\C2\cos(y +2 Rx)+\C2f \Cx\~Re~2Jx - 2|С, | • |С2 \J sin (у + 2Rx) - |C212 R e2Jx |C,\2e~2Jx + 2|C,| ■ |C21cos(r + 2Rx)+\C2\2 e2Jx где у = arg(C,) - arg(C2),

R= 2 + +°2)2- 2qp(S2 -cr2)W г ГР(д2-<T2) + q + ^p2(S2 + cr2)2 -2qp(S2-cr^Tq1 . j = -- sign (S .a). б) производные u'(x), u"(x) и ф"(x) при этом определяются формулами:

-1Cxfje~2Jx-2\СХ|-JC^sin(у + 2Rx)+ \C2f J e2Jx u\x): u\x) = j\Cl\2e-2Jx + 2\Cl\-\C2\cos(y + 2Rx)+\C2\2e2Jx \Сг\2 Re'2jx - 2|C, | ■ |C21J sin (y + 2 Rx) -\C2\2 Re2jx\ д/lQl2 e~2Jx + 2|C, | • |C2| cos (y + 2Rx)+\C212 e2jx J" r2 - J2 )[|C]|2 e~2jx + 2|Ct[ • |C21cos(y + 2Rx)+ |C212 e2,/jr ]2 д/|С, |2 e~2Jx + 2|C, | • \C21 cos (y + 2Rx)+\C2\2 e2jx J' р\х) = ■

- AJR\CX 1 • |с21 '(г R\ ---j\sm(y + 2Rx)+2cos(y + 2 Rx) с2|./я.| Jc, |2 e~2Jx + 2|С, | • |С21 cos (у + 2Rx)+\C ^ - ~ j sin (у + 2Rx) - 2 cos (у + 2Rx) 21 e e2JX\C. 2 *Г-41С.1

J С, I2 e~2JX + 2|С, | • |С21 cos (7 + 2&с)+\С212 e2jx f

IС I в) если и(х) — 0, (|Cj|+|с*2то cos(y + 2Je*) = -l и т—7 = <?

1^21

2.1х

Утверждение 2.3.1. Справедливы следующие утверждения: а) если [и(х),<р'(х)] какое -либо решение задачи (0.6)-(0.8), то для любого х е (О,а] справедливо неравенство S-<p'(x)> 0 (S и <р'(х) имеют одинаковый знак); б) если д(х) = q, р(х) = p,J.R<О и <р'(0) > 0, то (р\х) > 0 для любого х > 0; в) если q(x) = q, р(х) = р и (рп(х0) = 0, то Либо (p'{xQ) = Jctg -+RxQ ], Либо 2 p'(xQ) = -Jtg

Г у > ь Rxn 2 % где у, J и R определены в утверждении 1.2.1.

Утверждение 2.3.2, Пусть q(x) = q, р(х) = р, - kQ, ф\0) = Ж тогда, и{ 0) решение системы (0.6) дается формулами пункта а) утверждения 2.2.1, где постоянные IqI, \С2\ и у определяются соотношениями: если к0 = J, ср'0 = -R , то Сх = 0 и jw(x) = \C2\-eJx, <р'{х) = -7?}; если к0 = -J, <р'0 = R , то С2 = 0 и jw(x) = |С,| ■ e~Jx, <р\х) = i?}; если <p'0-R~k0J = 0, то С2 = CJ и кг> у = —2 arcsin—== , если кп < 0: г = = 0,и(0) = 2|с2|}, если к0 = 0; / = 2 . Л, Л п — arcsin 4

R2 + к2 если к0 > 0 > или у = л, г/(0) = 0, (р'0 = 0} \; в остальных случаях

И = Я2 +J2+ 2{(p'0R -к0./)+ U)2 + kl sin -2(<p'0J + k0R) \С2\ ^R2+J2-2(^R-k0j)+M2+kS ,8ШГ VQ cos у =-jMJ^--^, где л/^о

C0 = [r2 +J2+ 2 (<p'0R-k0J)+(<p'J+kl\\R2+r-- 2 (<p'0R - k0 J)+ (<p'0 f + k20 j.

Утверждение 2.4.1. Пусть q(x) = q, p(x) = p, {u(x),(p'(x)} - решение системы (0.6) и xux2,.,xn - нули уравнения и'(х) = 0 (последовательные) на [О,а]. Тогда справедливы утверждения: а) нули х{ для произвольных фиксированных |С,|,|С2| и / непрерывно зависят от р и q; б) рассмотрим задачу Коши с условиями <р'(0) = <р'0, = к0. Пусть и( 0) и{х),(р\х)} - решение этой задачи, тогда нули х, непрерывно зависят от р и в) если х'и х"- два последовательных нуля из набора {хг|,=)2 „}, то х"-х'| < — ,если х\х",хт- три последовательных нуля и R sin(/ + 2Rx'), sin(> + 2Rx"), sin(/ + 2Rxm) одного знака, то |xm - х'| > —;

2 R c,[ h + sir2 +j2 с , r + г) если -R-е -Еур" то У число нулей п > 2.

R-1

Я" где [ ] - целая часть).

Утверждение 2.4.2. Пусть q(x) = q, р(х) = р * 1, достаточно малое s> О и 0<£г<|/?-1|, b0 <b\ <Ъ2 <b3 <b4 {и0(х),(р'0(х)} - решение системы (1.4.6), удовлетворяющее условиям и'0 (Ь0 ) = и'0(Ь2) = и'0(Ь4) = 0 (b0,b2,b4 последовательные нули и'0(х), то есть точки экстремума и0(х)), ид(Ь0) <0(то есть Ь0 точка максимума и0(х)), и"0(Ь\) = z/q (63 ) = О (то есть Ьи Ь3 -последовательные нули uq(x) , точки перегиба и(х)). Тогда существуют константы кх > 0, = < bx < Ь2 < Ь3 < Ъ4 = Ь4 и рх,р2,ръ,р4 удовлетворяющие условиям 111111(6! - b0, Ь2 - Ъх, Ъъ - Ь2, Ъ4 - Ьъ) > кх (b4 - Ь0), \рх - р\ < £, \р2 - р\ < £, \ръ- р\<£ и | р4 - р\<£ такие, что решение системы (1.4.6) с весовой функцией р(х) =

Р\. если х е [Zj0 , ), р2 - если х е \bx, Ь2 ), Рз, если х е \b2, Ъ3 ), р4, если х е [63,64], и q(x) = q с начальными условиями u'(bQ) = 0, <р'(b0) = <po(b0), u(b0)-u0(b0) удовлетворяет соотношениям и'(Ь4) = 0, при этом Ь4 первая точка максимума и(х) правее Ь0 и

V ° u(bo) V 1 cp\bQ) 1 или u(b0) <p(bQ)

Константы С0, С0, С1з С],С2,С2,С3,С3 не зависят от Л, р,рх,р2,р3,р4, bQ,b{,bx,b2,b2,b3,b3,b4.

Отметим, что для случаев 1) и 2) константы, о существовании которых говорится в утверждении, разные, то есть существуют свои весовые функции р{х) (кусочно-постоянные) и свои С,- ,С;- , где /=0,1,2,3, а также своя константа кх.

Третья глава является основной и посвящена изучению асимптотического поведения нормированных собственных функций задачи Я0 для весовых функций различных промежуточных классов.

Заметим, что в III главе рассматривается регулярный случай.

В §1 III главы, используя лемму 2.2.1, доказывается достижимость верхних оценок нормированными собственными функциями задачи случае суммируемой весовой функции. Имеет место п в

Теорема 3.1.1. Для любой q{x) = q> 0 существует р{х) е такая, что \ш

Эта теорема доказывает не только достижимость верхних оценок собственными функциями задачи Я0 в случае суммируемой весовой функции, но и то, что их порядок роста - |AJ

1/2

В §2 III главы рассматривается асимптотическое поведение собственных функций задачи Я0 в случае непрерывной весовой функции. Справедлива

Теорема 3.2.1 . Для любой последовательности а*|(а* >0)limat = (П существует непрерывная весовая функция

-» СО J р{х) такая, что lim--—гттг > О

Доказательство этой теоремы основывается на следствии 1.4.1 из леммы2.2.1.

В §3 III главы изучается возможная скорость роста нормированных собственных функций задачи Н0 для классов весовых функций, близких к весовым функциям из класса Гельдера.

Рассмотрим класс функций р(х), удовлетворяющих условиям:

1) р(х) имеет не более счетного множества точек разрыва {х;}, причем все эти точки разрыва первого рода и множество {х;} может иметь только одну точку сгущения х = а;

2) на любом участке (х',х") не содержащем точек разрыва, р(х) удовлетворяет условию Гельдера |р(х') - р(х") < N ■ х' - х"", где х', х" е [х',х"], iV>0, 0<«<1;

3) скачки h, =lim/c(x)-limp(x) удовлетворяют неравенством h\ < iV-|x,+1 -x,|", при этом, если число точек разрыва конечно и равно i, то х,+1 = а .

Очевидно, в окрестности любой функции из класса существуют функции, удовлетворяющие условиям 1) — 3). Обозначим рассматриваемый класс функций через Ни. Класс функций Hn является расширением класса Н" .

LN

Справедлива следующая

Теорема 3.3.1. Пусть р0(х)еЯ"- весовая функция, s>0 и 0<а0<а. Тогда существует весовая функция р(х) е Hn , удовлетворяющая условиям М*) - Ра (*1С[0 а] < е> р(х) = А) М при х^а0 такая, что если {Лп, уп (х)} собственные значения и собственные функции нашей задачи с весом р(х), то

1 — ле V' ад , | 1 u

KI2

Замечание .Пусть уял = ( класс (J HN определяем как а обчедныение по всем допустимым а классов я" , тогда справедливо

Следствие 3.3.1. Для любого е > 0 существует весовая функция /?(х)еуЯд, такая, что если {Лп,уп(х)} -собственные значения и собственные

Функции нашей задачи с весом р(х), то lim-;—— = С0 > 0. W

I—е 2

Для доказательства данного следствия 3.3.1 достаточно взять а = и р(х) еЯ® с [J HN в теореме 3.3.1.

Таким образом, доказывается, что на весовых функциях, которые являются некоторыми промежуточными классами весовых функций между гладкими и суммируемыми, также возможен рост нормированных ,р ( 1Л собственных функций задачи Я0как |А,п| , где Р в 0,— . V

В §4 III главы получены равномерные оценки для нормированных собственных функций задачи Н0 в случае весовой функции, удовлетворяющих условию Липшица .Доказана следущая лемма 3.4.1.

Рассмотрим класс весовых функций р(х), удовлетворяющих условию Липщица.

Лемма 3.4.1. Для любого р(х) е Lip 1 и е>0 существует функция а а ps (х) е С2[ 0,а] такая,что р£ (а) = р(а), р£ (0) = р( 0), J Jpc(x)dx = jjp(x)dx , о о max \р{х) - ре (х)| < s , шах \р' (х)| < 2N и тах|//(х)|< —, где с- константа ,не ге[0,й]' 1 *е[0,и]' 1 л=[0,а]' £ зависящая от р(х) и £.

Пользуясь этой леммой, доказывается следующая

Теорема 3.4.1. Существует константа С0 = C0(Ql0>а]) (единая для всего ч \y(x,X,q)\ класса Q,0a,) такая, что max-!-1-г < С0 для всех достаточно

1 ' ле[0,а] а. 2 I p\y(x,X,q)\ dx)2 больших по модулю значений Л, где Q[0a] - класс непрерывных на [0,я]

Jq(x)dx Cq , С0 = const, функций q(x), удовлетворяющих неравенству

Из теоремы 3.4.1 и леммы 3.4.1 вытекает следствие 3.4.1

Следствие 3.4.1. Пусть q(x) - непрерывная функция , а р(х) е Lip\. Тогда решение задачи Коши

- У"(х) + д(х) v(x) = Л2ру(х) , х е (0, а), р(а) Ф1 Я0) = 0,/(0) = 1. удовлетворяет соотношению max-1-1-г < const < oo для всех достаточно р\у{х)[ dxy о больших значений X из полосы Im(2) < const.

Утверждение следствия 3.4.1 верно и для собственных функций задачи ^ \

Н0 так, как если уп(0,Лп) = 0, а у'п(0,Лп)*0, то функция п) является решением рассматриваемой задачи Коши.

Таким образом доказывается, что нормированные собственные функции задачи Н0 в случае весовых функций, удовлетворяющих условию Липшица, равномерно ограничены.

По материалам диссертации были сделаны сообщения на научно-теоретических конференциях, проводимых в Дагестанском государственном университете (2005 - 2009 гг.), на межвузовских конференциях «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения» (2007 -2009 гг.), на заседаниях семинара по спектральной теории кафедры дифференциальнных уравнений и математического анализа (2005 - 2009 гг.) при ДГУ, на семинаре проф. А.А. Шкаликова и проф. А.Г. Костюченко при механико-математическом факультете МГУ в 2009 г.

Основные результаты диссертации отражены в работах [50] - [ 57].

Пользуясь случаем, приношу искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Г.А. Айгунову за постоянное внимание и руководство работой.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Жвамер Карван Хама Фарадж, 2010 год

1. Sturm C. Sur les equations differentielles du second ordre // J.Math.Pures Appl., I(l).1836,-P. 106-186.

2. Стеклов В.А. Задача об охлаждении неоднородного твердого стержня // Сообщ. Харьков, матем. об-ваД 896.

3. Стеклов В.А. Об асимптотическом выражении некоторых функций, определяемых линейным дифференциальным уравнением второго порядка, и их применение к задаче разложения произвольной функции в ряд по этим функциям.-Харьков:Изд-во ХГУ, 1956.

4. Birkhoff G.D. On the asymptotic character of the solutions of certain linear differential equations containing a parameter // Trans.Amer. Mth.Soc.l908.№ 9.-P.219-231.

5. Birkhoff G.D. Boundary value and expansion problems of ordinary linear differential equations // Trans.Amer.Mth.Soc.l908.№ 9.-P.373-395.

6. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды.-Петроград,1917.

7. Крейн М.Г. Об обратных задачах для неоднородной структуры // ДАН СССР. 1951 ,Т.76.№.2-С.345-348.

8. Крейн М.Г. Определние плотности неоднородной симметричной струны по спектру ее частот // ДАН СССР.1952.Т.82.№.5-С.669-672.

9. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об общем простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка // ДАН СССР. 1953.Т.88.-С.593-596.

10. Бирман М.Ш. К теории общих краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений // ДАН СССР.1953.Т.32.№ 2.-С.205- 208.

11. Вишик М.И. Об общих краевых задачах для эллиптических дифференциальных уравнений // Труды Моск. мат. об-ва.1952.Т.1.- С.187-246.

12. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве.-М. :Наука, 1966.

13. Глазман И.М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов.- М.:Физматгиз,1963.

14. Садовничий В.А. Теория операторов.-М.:Изд. МГУ, 1979.

15. Айгунов Г.А., Гаджиева Т.Ю. Об оценке нормированных собственных функций задачи типа Т.Редже в случае гладких коэффициентов // Сб.: Функц.-диф.ур-я и их приложения, г. Махачкала, 2009. Вып.5.-С. 18-26.

16. Гаджиева Т.Ю. Об оценке нормированных собственных функций задачи Редже в случае постоянных коэффициентов // Сб.: Функц.-диф.ур-я и их приложения, г. Махачкала, 2009. Вып.5.-С.74-84.

17. Редже. Т. Аналитические свойства матрицы рассеяния. Математика (сб. переводов). 1963.Т. 7.№ 4,- С. 83-89.

18. Кравицкий. А.О. О разложении в ряд по собственным функциям одной несамосопряженной краевой задачи // ДАН СССР. 1966. Т. 170. №6. -С. 1255-1258.

19. Гехтман М.М., И.В.Станкевич. Изучение аналитических свойств ядра резольвенты обыкновенного дифференциального оператора четвертого порядка на римановои поверхности // ДАН СССР.1968.Т.182.№ 1 .-С.23-26.

20. Гехтман М.М. О некоторых аналитических свойствах ядра резольвенты обыкновенного дифференциального оператора четного порядка на римановой поверхности // ДАН СССР. г. М., 1971.Т. 201.№ 5.- С. 1025 -1028.

21. Шкаликов А.А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях // Функц. анализ и его приложения. 1982.Т.16.Вып.4.-С.92-93.

22. Айгунов Г.А., Гаджиева Т.Ю. Оценка ядра резольвенты одной регулярной краевой задачи, порожденной дифференциальным уравнением 2л го порядка на отрезке 0,а] // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки, г. Ростов-на-Дону, 2008. № 6(148).- С.5-7.

23. Гаджиева Т.Ю. Оценка ядра резольвенты одной нерегулярной краевой задачи, порожденной дифференциальным уравнением -п-го порядка на отрезке 0,а] // Изв. вузов Сев. Кав. р., г. Ростов-на-Дону, 2008.№ 6(148).-С.8-9.

24. Суетин П.К. Проблема В.А Стеклова в теории ортогональных многочленов.-М.:ВИНИТИ,математический анализ, 1977.Т. 15.

25. Геронимус Я.Л. Многочлены, ортогональные на окружности и на отрезке .-М.:Физматгиз,1958.

26. Рахманов Е.А. О гипотезе В.А.Стеклова // Матем.сб.1981.Т.114. № 2.-С.269-298.

27. Амброладзе М.У. О возможной скорости роста многочленов, ортогональных с непрерывным положительным весом // Матем.сб., 1991. Т. 182. №3.-С.322-332.

28. Ильин В.А., Шишмарев И.А. О точных оценках собственных функций в замкнутой области .Материалы к совместному Советско-американскому симпозиуму по уравнениям в частных производных .Новосибирск, август, 1963.

29. Ильин В.А., Шишмарев И.А. Равномерные в замкнутой области оценки для собственных функций эллиптического оператора и их производных.// Изв. АН СССР. Матем.1960.Т.24№ 6.-С.883-896.

30. Йо И., Ильин В.А. Равномерная оценка собственнных функций и оценка сверху числа собственных значений оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом из класса // Дифф. уравнения. 1979.Т.15. № 7.-С.1164-1174.

31. Жиков В.В.Об обратных задачах Штурма-Лиувилля на конечном отрезке.// Изв. АН СССР. Сер. матем.1967.Т.31.Вып.5-С.965-976.

32. Якубов В.Я. Оптимальный нагрев неоднородного стержня // Тезисы докладов конф. молодых научных работников. Секция физ.-мат. наук. Горький, 1966.

33. Якубов В.Я.Оценки для нормированных в Ь2 собственных функций эллиптического оператора // ДАН СССР.1984.Т.247.№1.-С.35-37.

34. Якубов В.Я. Различные порядки роста нормированных собственных функций задачи Штурма-Лиувилля с непрерывным весом // Дифф. уравнения 1993.Т.29. № 6.-С.982-989.

35. Якубов В.Я. Точные оценки для собственных функций задачи Штурма-Лиувилля // ДАН России. 1993 .Т.331.№ 2.-С.148-149.

36. Якубов В.Я. Ограниченность нормированных собственных функций задачи Штурма-Лиувилля при минимальных ограничениях на гладкость коэффициентов// Дифф. уравнения 1994.Т.30.№ 8.-С.1465-1467.

37. Гехтман М.М. О принципе предельной амплитуды // ДАН СССР. 1963 .Т. 153 .№ 1.-С.20-23.

38. Гехтман М.М., Загиров Ю.М., Якубов В.Я. Об асимптотическом поведении собственных функций спектральной задачи Штурма — Лиувилля //Функц. анализ и его приложения. 1983, Т. 17, №3.-С. 71- 72.

39. Гехтман М.М. Об асимптотическом поведении нормированных собственных функций спектральной задачи Штурма Лиувилля на конечном отрезке //Мат. сб. 1987.Т.133(175).№ 2.-С.184-199.

40. Гехтман М.М., Айгунов Г.А. К вопросу об оценке нормированных собственных функций оператора Штурма — Лиувилля с положительной весовой функцией на конечном отрезке // УМН, г. М., 1995.Т. 50 . № 4. -С. 157-158.

41. Айгунов Г.А. К вопросу об ограниченности совокупности ортонормированных собственных функций одного класса оператора Штурма- Лиувилля с весовой функцией неограниченной вариации на конечном отрезке //Матем. заметки.-М.,1996.Т.60.Вып.З.~С.434-436.

42. Айгунов Г.А. Об одном критерии равнормерной ограниченности нормированных собственных функций оператора Штурма Лиувилля с положительной весовой функцией на конечном отрезке // УМН.-М., 1997. Т.52. Вып.№ 2 .-С. 149-150.

43. Айгунов Г.А. Асимптотическое поведение нормированных собственных функций оператора Штурма — Лиувилля на конечном отрезке в зависимости от гладкости весовых функций // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естест. науки. 1998. № 4.-С.З-17.

44. Айгунов Г.А. Асимптотическое поведение нормированных собственных функций оператора типа Штурма Лиувилля для уравнений в частных произволдных в N-мерном шаре // Матем. заметки.-М., 1999. Т.65. Вып.№ 4.-С.622-625.

45. Айгунов Г.А. Об ограниченности ортонормированных собственных функций одного класса нелинейных операторов типа Штурма -Лиувилля с весовой функцией неограниченной вариации на конечном отрезке // УМН.-М., 2000.Вып.Т.55.№> 4.- С.213-214.

46. Айгунов Г.А. Об ограниченности ортонормированных собственных функций нелинейной краевой задачи типа Штурма — Лиувилля с неограниченной сверху весовой функцией на конечном отрезке // УМН.-М., 2002.Вып.Т.57.№ 1.-С.145-146.

47. Айгунов Г.А. Асимптотическое поведение нормированных собственных функций одного эллиптического оператора в N-мерном шаре // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естест. науки. 2002. № 3.-C.3-16.

48. Жвамер Карван X., Айгунов Г.А. Асимптотика собственных значений одной нерегулярной краевой задачи на отрезке 0,а] И Матем. сборник, г. Махачкала, 2007 ( Tom III).-C.49-54.

49. Жвамер Карван X. Получение верхних оценок собственных функций спектральной задачи Т. Редже с суммируемой весовой функцией на конечном промежутке // Матем. сборник, г. Махачкала, 2008 ( Tom IV).-C.45-50.

50. Жвамер Карван X. Асимптотическое поведение собственных функций задачи Т. Редже в случае непрерывной весовой функции // Сб.: Функц.-диф.ур-я и их приложения, г. Махачкала, 2009. Вып.№ 5. -С.84-87.

51. Айгунов Г.А., Жвамер Карван X. К вопросу о непрерывной зависимоти собственных чисел и собственных функций задачи типа Т.Редже от суммируемой весовой функции // Вестник ДГУ, Естеств. науки, г. Махачкала, 2009.Вып. 1.-С.36-43.

52. Айгунов Г.А., Жвамер Карван X. К вопросу о достижимости верхних оценок собственными функциями задачи типа Т.Редже // Вестник ДГУ, Естеств. науки, г. Махачкала, 2009 .Вып.6.-С.11-20.

53. Айгунов Г.А., Жвамер Карван X. Асимтотическое поведение ортонормированных собственных функций задачи типа Т. Редже с суммируемой положительной весовой функцией // УМН.- М., 2009. Вып.Т.64.№ 6.-С.169-170.

54. Айгунов Г.А., Жвамер Карван X. О возможной скорости роста нормированных собственных функций задачи Т. Редже в случае суммируемой и непрерывной весовых функций // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естест. науки, г. Ростов-на-Дону,2010. № 2(156).-С.8-12.f