Изучение отношений на числовом множестве как средство формирования элементов математической логики у младших школьников тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 13.00.02, кандидат педагогических наук Магомедов, Насрудин Гитихмаевич

• Магомедов, Насрудин Гитихмаевич
• кандидат педагогических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат педагогических наук Магомедов, Насрудин Гитихмаевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Теоретические основы изучения элементов математической логики в начальной школе.

§ 1. Отношения на множестве объектов.

§ 2. Законы логики.

§ 3. Высказывания, предикаты и операции над ними

ГЛАВА И. Психолого-педагогические и методические основы изучения элементов математической логики в начальной школе.

§ 1. Психолого-педагогические основы изучения элементов математической логики в начальной школе

§ 2. Методические основы изучения элементов математической логики в начальной школе.

ГЛАВА III. Практическая реализация методики по изучению элементов математической логики в начальной школе

§ 1. Система упражнений при изучении элементов математической логики в 1-4 классах.

§ 2. Организация и результаты педагогического эксперимента

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Изучение отношений на числовом множестве как средство формирования элементов математической логики у младших школьников»

В настоящее время в стране ведутся интенсивные поиски путей усовершенствования математического образования, его перестройка. Важнейшие общие идеи и положения, ее изложены в основах "Концепции непрерывного образования" и "Концепции общего среднего образования как базового в системе непрерывного образования". В связи с этим происходят пересмотр общих целей обучения математике и в начальной школе, усиление развивающей и воспитывающей роли математики в общем образовании младших школьников.

Вклад начального этапа математического образования в реализацию общих целей обучения должен состоять в том, чтобы создать необходимые условия для воспитания у учащихся математического стиля мышления, характеризующегося такими качествами, как доминирование логической схемы рассуждения, лаконизм, четкая расчлененность хода аргументации, точность использования символики при овладении научными понятиями. Овладение ими необходимо влечет за собой формирование у учащихся элементарных знаний по математической логике, а также пропедевтики развития основ математического языка. Умение пользоваться математическим языком в процессе познания законов окружающей действительности составляет смысл понятия "математическая культура" - важнейшего компонента математического образования (Х.Ш.Шихалиев).

В работах математиков А.Н. Колмогорова, А.И. Маркушевича А.С. Столяра, A.M. Пышкало, П.М. Эрдниева и др. освещены принципиальные вопросы совершенствования школьного математического образования, в частности вопросы, связанные с усилением логической основы школьного курса, включением в него элементов математической логики.

Проблема введения элементов логики при обучении математике состоит не в том, чтобы изучить специально и обособленно логику, как отдельный учебный предмет, а в том, чтобы необходимые элементы стали неотъемлемой частью самого преподавания математики, важным инструментом, повышающим его эффективность и влияние на логическое развитие учащихся. "Необходима мыслительная, логическая программа, которая должна быть реализована в начальных и средних классах школы" (А.А.Столяр).

Отношения, включающие математические операции над выражениями, и отношения (эквивалентности, порядка, функциональные), приводящие к предложениям (высказываниям и высказывательным формам, равенствам и неравенствам, уравнениям, тождествам), должны выступать в качестве самостоятельной логической единицы содержания школьного курса математики, поскольку они являются основой выявления истинности или ложности наших суждений. Поэтому изучение различных отношений между объектами, и в частности, отношений на числовом множестве, может стать важным средством формирования элементов математической логики у младших школьников в процессе обучения математике.

Практика показывает, что изучение отношений на числовом множестве происходит крайне односторонне, акцентируя основное внимание на один вариант отношения - "равно", хотя в устной форме косвенно затрагиваются и другие варианты: "больше", "меньше". Это придает процессу формирования элементов математической логики стихийный, не целенаправленный характер, что в конечном итоге отрицательно сказывается на уровне развития логического мышления учащихся.

Исследования психологов и педагогов В.В. Выготского, Д.Б. Леонтьева, С.Л.Рубинштейна, Л.В.Занкова, В.В. Давыдова, Н.М. Скатки-на и др. показывают, что при определенных условиях можно достичь не только высокого уровня ЗУН, но и общего развития. В традиционном обучении развитие выступает как желательный, но далеко не предсказуемый продукт обучения.

Выдвинутый Л.В.Занковым принцип "обучение на высоком уровне трудности" заставил методистов по-новому оценить реальные познавательные возможности младших школьников. Это повлекло за собой пересмотр содержания обучения по всем учебным предметам с точки зрения его доступности.

Идея повышения роли теоретических знаний в обучении младших школьников была выдвинута одновременно в ряде научных исследований (В.В.Давыдов, Л.В.Занков, А.И. Маркушевич, К.И. Нешков, A.M. Пышкало, П.М. Эрдниев и др.). Так, сформулированный Л.В.Занковым принцип "ведущей роли теоретических знаний в начальном обучении" и его реализация при отборе содержания обучения позволил увеличить долю теоретических знаний по сравнению с эмпирическими. В учебниках появились нетиповые, нестандартные задания и упражнения, приводящие к ряду обобщений теоретического характера. Однако степень разработанности и обоснованности этого принципа привели к недооценке необходимости формирования элементов математической логики в процессе обучения математике.

В психолого-методической литературе проблема формирования элементов математической логики у учащихся рассмотрена частично, применительно к обучению математике в старших классах. Специальных исследований, посвященных реализации этой проблемы в процессе обучения математике в начальных классах, нам не удалось обнаружить. Их отсутствие отрицательно сказывается на программно-методическом обеспечении процесса обучения в начальной школе, при подготовке будущих учителей в вузе и педколледжах, и в конечном итоге на уровне развития математической культуры учащихся - важнейшего компонента общечеловеческой культуры.

Таким образом, числовое множество, начиная с первых же классов общеобразовательной школы, представляет ту лабораторию, где можно более отчетливо формировать у учащихся навыки рассуждений, являющихся основой выяснения истинности или ложности того или иного подхода, той или иной постановки задачи. Возникает вопрос: "Является ли такая задача главной целью процесса обучения математике в школе и какая доля этой проблемы приходится на начальную школу"? Ответ на этот вопрос может быть получен только после тщательного анализа программы и учебников по математике для I - IV классов.

Все сказанное обосновывает актуальность проблемы совершенствования содержания обучения математике в начальных классах с целью формирования элементов математической логики у младших школьников.

Целью исследования являются обоснование необходимости и возможности изучения отношений на числовом множестве как средство формирования элементов математической логики при обучении математике в 1-4 классах и разработка учебно-методических средств для ее реализации.

Объект исследования - процесс изучения отношений при обучении в начальной школе, а его предмет - методы и средства формирования у учащихся 1-4 классов элементов математической логики.

Гипотеза исследования. Мы исходили из предположения о том, что если усовершенствовать методику изучения числовых равенств и неравенств с позиции их истинности или ложности и сконструировать соответствующую систему упражнений, удовлетворяющих определенным требованиям с учетом возрастных особенностей учащихся, то это будет способствовать формированию элементов математической логики в едином процессе с изучаемым материалом.

Для достижения поставленной цели и реализации гипотезы были определены следующие задачи исследования:

1. Выявить психолого-педагогические и методические основы формирования у детей элементов математической логики в процессе обучения математике в начальных классах.

2. Обосновать необходимость совершенствования практического материала при обучении математике в начальных классах с целью формирования у учащихся элементов математической логики.

3. Определить требования к упражнениям для целенаправленного формирования у учащихся элементов математической логики.

4. Разработать и экспериментально проверить систему упражнений и методику формирования элементов математической логики и на основе этого подготовить методические рекомендации.

Методологической основой исследования являются: основные положения диалектико-материалистической философии и разработанное на их основе учение о личностно-деятельном подходе в обучении (А.С.Выготский, А.Н.Леонтьев, С.Л.Рубинштейн и др.); исходные положения теории развивающего обучения (В.В.Давыдов, Л.В.Занков, Н.А.Менчинская, Д.Б.Эльконин, Н.С.Якиманская и др.); основополагающие идеи методистов-математиков (А.М.Пышкало, П.М.Эрдниев, Х.Ш.Шихалиев и др.).

Для решения поставленных задач и проверки гипотезы применялись следующие методы исследования: изучение и аналитический обзор философской, психолого-педагогической и методической литературы; анализ существующих программ, учебников и методических пособий по математике для начальных классов; наблюдение за деятельностью учителей и учащихся, индивидуальные собеседования с учащимися, учителями, анкетирование, тестирование; педагогический эксперимент; методы математической статистики.

Научная новизна и теоретическая значимость исследования состоит в том, что обоснована необходимость и возможность формирования элементов математической логики в процессе обучения математике в начальных классах, определены пути и средства формирования элементов математической логики на основе изучения отношений на числовом множестве, разработана система упражнений по формированию элементов математической логики и определены требования к ним.

Практическая значимость состоит в том, что результаты исследования и разработанная система упражнений могут быть использованы в практике работы учителей и методистами при совершенствовании программ, учебников и методических пособий для школы, педколледжей и институтов.

Апробация и внедрение результатов исследования проводились в течение ряда лет как в сельской, так и в городской школах Дагестана, в частности: в Шамильском районе (с. Кахиб, с. В. Колоб, с. Хебда), в поселке Ленинкент (СШ), в г. Махачкале школы №№ 50, 29, 5, 46 , в Казбековском районе с. Гуни. Всего 10 школ, около 20 классов, более 450 учащихся. Решение поставленной задачи выполнялись в течение 7 лет (1992 - 1997 гг.) в три этапа.

На первом этапе (1992 - 1994 гг.) были определены предмет, цель и задачи исследования, проводились наблюдения, изучение и анализ психолого-педагогической и методической литературы; готовились и выборочно проверялись экспериментальные методические рекомендации.

На втором этапе (1994-1996 гг.) разработаны и определены основные положения предлагаемой методики, а также материал для более широкой экспериментальной проверки.

На третьем этапе (1996-1998 гг.) проводился педагогический эксперимент, в котором проверялись наши предположения и рекомендации. На этом этапе обобщались его результаты и вносились коррективы в требования к отбору содержания, в систему упражнений, в методические рекомендации.

Основные положения, результаты и материалы исследования докладывались и обсуждались: на заседаниях кафедры методики начального обучения факультета начальных классов ДГПУ (г. Махачкала, 1993-1996 гг.); в ходе педагогической практики студентов этого университета и на инструктаже групп студентов-участников нашего эксперимента; на августовских совещаниях учителей начальных классов школ Шамильского района РД (с. Хебда, 1993, 1995 гг.); на методическом совете Буйнакского педколледжа по итогам проверки профессиональных качеств у учащихся и преподавателей (г. Буйнакск, 1996г.); в цикле лекций для учителей в Дагестанском институте повышения квалификации педагогических кадров (г. Махачкала, 1997-1998 гг.); на заседаниях кафедры теории и методики обучения математике и информатике ДГПУ; внутри университета на научно-практических конференциях (1996-1999 гг.).

Результаты исследования частично внедрены в форме методических разработок и учебных материалов для начальных классов школ.

По результатам исследования были опубликованы следующие материалы:

1. Об упражнениях с числовыми равенствами и неравенствами в начальных классах. //Махачкала, ДГПУ, 1998. - С.33-34. (2 стр.).

2.Альтернативный подход к решению уравнений и неравенств в начальной школе. \\ В кн.: Проблемы и тенденции развития высшего образования в Республике Дагестан. \\ Махачкала, ДГПУ, 1998. - С.42-43. (3 стр.).

3. Учебно-тренировочный материал по формированию у учащихся элементов математической логики в 1-4 классах. - Махачкала, ДГПУ, 1998.- (17стр.).

4. Игровые формы усвоения элементов математической логики в начальных классах - принята к печати и будет опубликована в одном из номеров (4-6).- Начальная школа. М.: 2000. - (4стр.).

На защиту выносятся:

1). Обоснование необходимости и возможности формирования элементов математической логики в процессе изучения отношений на числовом множестве в 1-4 классах.

2). Система упражнений и методика, обеспечивающие целенаправленное формирование элементов математической логики на уроках математики в начальных классах.

Достоверность и обоснованность полученных в диссертации результатов и выводов обеспечивается:

- многообразием и полнотой изученного фактического материала;

- широким набором методов исследования, соответствующих поставленным задачам; опорой на результаты фундаментальных психолого-педагогических и методических исследований;

- поэтапным повторением и данными эксперимента, включающим повторную проверку полученных результатов;

- внедрением в практику разработанных автором системы упражнений и методических рекомендаций и их положительной оценкой преподавателями школ.

Задачи исследования определили структуру диссертации, которая состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы и приложения.

Заключение диссертации по теме «Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования)», Магомедов, Насрудин Гитихмаевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Обоснована необходимость и возможность формирования элементов математической логики в процессе обучения математике в начальных классах.

2. Установлено, что изучение элементов математической логики можно рассмотреть в едином контексте сформированием понятия числа и действий над числами.

3. Выявлено, что изучение отношений на числовом множестве и рассмотрение соответствующих числовых равенств и неравенств с позиции их истинности или ложности способствуют формированию элементов математической логики, развитию вычислительных навыков, осознанному решению уравнений и простейших неравенств.

4. Определено, что объем изучаемых понятий из математической логики в начальных классах целесообразно в основном ограничить вокруг понятий "верная запись", "неверная запись", понимаемые как истинные или ложные высказывания.

5. Выделены принципы отбора содержания практического материала, где больший акцент делается на научность, осознание процесса обучения, укрупнение дидактических единиц, связь изучаемого материала с окружающей действительностью, и разработаны требования к системе упражнений по формированию элементов математической логики.

6. В процессе формирования понятия числа целесообразно изучать не каждое число в отдельности, а несколько последовательных чисел одновременно, что создает благоприятные условия для формирования элементов математической логики в тесной связи с изучаемым материалом.

7. Процесс формирования элементов математической логики закладывает основу для воспитания у учащихся самостоятельности мышления, проявляющегося в умениях ученика понимать и устанавливать простейшие причинно-следственные связи и отношения между математическими объектами, используя элементы математического языка и его символики.

8. Включение элементов математической логики в содержание обучения математике в начальных классах дает возможность более гибче и ярче реализовать внутрипредметные связи, раскрыть опосредованную связь с другими школьными дисциплинами, рассмотреть пропедевтику введения некоторых понятий информатики, в частности, языка "Лого", базирующегося на понятиях математической логики.

Список литературы диссертационного исследования кандидат педагогических наук Магомедов, Насрудин Гитихмаевич, 2000 год

1. Александров П.С. Понятие множества. - ДЭ, том 3, изд. 1.

2. Андронов И.К. Арифметика. Развитие понятия числа и действиянад ними. М.: 1962.

3. Андронов И.К. и другие. Множества, числа, фигуры, операции (пробный учебник для 8-го класса). М.: 1969.

4. Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах (сборник докладов , под ред. Моро М.И. и Пышкало A.M.).- М.: Просвещение. 1977.

5. Арнольд И.В. Теоретическая арифметика. М.: 1939.

6. Андронов И.К. Проблемы логики и методологии познания.1. М.: Наука. 1972.

7. Баранова И.В. Учение о числе в 4-м классе. Л.: 1969.

8. Баранов С. П. Сущность процесса обучения. -М.: Просвещение. 1981.

9. Берман Г.Н. Число и наука о нем. М.: 1960.

10. Бурбаки Н. Теория множеств. М.: 1965.

11. Бурбаки Н. Очерки по истории математики.- М.: 1962.

12. Верченко С.Б. Реализация межпредметных связей при формировании пространственных представлений учащихся 4-5-х классов. МШ. №5. 1985.

13. Всероссийский съезд учителей. М.: 1978. М.: 1979.

14. Виленкин Н.Я. Математика (учебник для 4-го класса).- М.: 1970.

15. Вопросы психологии учебной деятельности младших школьников (сборник докладов).- М.: АПН-РСФСР. 1962.

16. Возрастные возможности усвоения знаний (под. ред, Д. Б. Элько-нина и В. В. Кдавидова).- М.: Просвещение. 1966.

17. Гусев В. А. и др. Изучение величин на уроках математики и физики.- М.: Просвещение. 1981.

18. Гибш И. А. Вопросы перестройки обучения математике в школе.-М.: 1963.

19. Гонин Е.Г. Теоретическая арифметика. М.: 1959.

20. Гнеденко Б.В. Введение в специальность математика. -М.: Просвещения. 1987.

21. Горский Д.П. Логика. М.: 1958.

22. Горбач В.И. Проблемы диалектических противоречий. -М.: Наука. 1972 г.

23. Гранатов Г.Г. Методы дополнительности в педагогическом мышлении. Журнал. Педагогика №1.- М.: 1995.

24. Гарунов Э. Г. Педагогические проблемы функционирования в школе со смешанным составом учащихся. Махачкала. ДГПУ. 1995.

25. Галанин Д.Д. Методика арифметики (первый год обучения). -М.: 1970.

26. Готманова А.Д. Логика. М.: Высшая школа. 1986.

27. Дуглас А. Насколько важно изучать математику. М.: Перспективы. Вопросы образования №4. 1983.

28. Диалектика процесса познания (сборник статей). М.: МГУ. 1985. (3-я книга).

29. Давыдов В.В. Анализ строения счета как предпосылка построения программ по арифметике (сб. Вопросы психологии учебной деятельности младших школьников).- М.: АПН. РСФСР. 1962.

30. Дорофеев Г.В. Математический язык и язык преподавания математики и физики (современные проблемы преподавания математики. М.: Просвещение. 1985.

31. Дорофеев Г.В. О принципах отбора содержания школьного математического образования.- М Ш. 1990, №6.

32. Дорофеев Г. В. О принципах отбора содержания школьного математического образования.- М.: Просвещение. 1985.

33. Занков Л.В. Новое в обучении арифметике в 1-м классе.- М.: 1964.

34. Занков Л.В. О начальном обучении. М.: 1963.

35. Закон РФ об образовании. Махачкала. 1993.

36. Историко -математические исследования (выпуск XXX).- М.: Наука. 1986.

37. Индуктивная логика и формирование научного знания (сб. докладов). М.: Наука. 1897.

38. Карри X. Основания математической логики. М.: 1969.

39. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей (том 1,2).-М-Л.: 1965.

40. Колмогоров А.Н. Научные основы школьного курса математики. М Ш. № 3, 5. 1969 и №2. 1970.

41. Клини С.К. Введение в математическую логику. М.: 1957.

42. Крутецкий В.А. Психология обучения и воспитания школьников. -М.: Просвещение. 1976.

43. Клишенко З.А. Методическое руководство к учебнику "Математика для подкласса". Махачкала. Дагучпедгиз. 1985.

44. Кондаков Н.И. Логический словарь справочник.- М.: Наука. 1976.

45. Колягин Ю.М. Множества предметов как основа формирования понятий числа и арифметический действий. Начальная школа, №6. 1963.

46. Курант Р. и Роббинс Г. Что такое математика (сб. ст.).- М.: Наука. 1972.

47. Колягин Ю. М. И Луканкин Г. Л. Основные понятия современного школьного курса математики.- М.: Просвещение. 1974.48. Ленин В.Л. Сочинения.

48. Люсьен Ф. Элементарная математика в современном изложении. -М.:Просвещение. 1967.

49. Люблинская А. А. Некоторые особенности учебной деятельности младших школьников.- Ж. Советская педагогика. 1983, №5.

50. Маркс К. Энгельс Ф. Сочинения.

51. Маковельский И.К. Древнегреческие атомисты. Фрагменты и ко-ментарии.- Баку. 1946.

52. Макарычев Ю.Н. и Нешков К.И. Математика в начальных классах. -М.: Просвещение. 1970.

53. Максимова В.Н. Межпредметные связи в учебном процессе. -М.: Просвещение. 1988.

54. Маркушевич А.И. Математика и школьное образование. Советская педагогика, № 5. 1965.

55. Математическая подготовка детей в дошкольных учреждениях (составитель Данилова В.В.). М.: Просвещение. 1987.

56. Математика в школе (сборник нормативных документов). М.: Просвещение. 1988.

57. Менчинская Н.Я. М. И. Моро. Вопросы методики и психологии обучения арифметике в начальных классах. -М.: Просвещение. 1988.

58. Методы начального обучения математике (сборник докладов). -М.: Просвещение. 1965.

59. Моро М.И. и Пышкало A.M. Методы обучения математике в начальных классах. М.: Просвещение. 1978.

60. Моро М.И. и др. Математика в 1-м классе. -М.: Просвещение. 1973.

61. Моро М.И. и Пышкало A.M. О совершенствовании методов обучения математике. М.: Просвещение. 1978.

62. Маслова Г.Г. и Янгибаева Э. Занимательные задачи и игры с математическим содержанием в 4-м 5-м классах и современные проблемы методики преподавания математики. - М.: Просвещение. 1985.

63. Методические проблемы современной науки (сборник докладов). -М.: Политиздат. 1979.

64. Математическая энциклопедия (том 4). М.: 1984.

65. Магомедов Н. Г. Составление числовых равенств и неравенств в начальных классах, как средство активизации и развития мышления учащихся. Махачкала. ДГПУ. 1997.

66. Магомедов Н.Г. Альтернативный подход к решению уравнений и неравенств в начальной школе. -Махачкала. ДГПУ. 1999.

67. Магомедов Н.Г. Учебно-тренировочный материал по формированию у учащихся элементов математической логики в 1 4 классах. -Махачкала. ДГПУ. 1999.

68. Магомедов Н.Г. Игровые формы усвоения элементов математической логики в начальных классах. Ж. Начальная школа, (№4-6). -М.: 2000.

69. Нешков К М. И Пышкало A.M. Математика в начальных классах. М.: Просвещение. 1968.

70. Новая система начального обучения (под ред. J1.B. Занкова). -М.: Просвещение. 1967.

71. Новиков П. С. Основы математической логики. -М.: Наука. 1965.

72. Нурк Э.Р. и Тельгма «Математика» (учебник 5 класса).

73. Невалинна Р. Реформа в преподавании математики.- М Ш. №1. 1968.

74. Нурмагомедов Д.М. Методика формирования пространственных представлений у младших школьников (автореферат, Кандидатская диссертация). -М.: 1989.

75. Основы методики начального обучения (под ред. А.С. Пчелко). -М.: Просвещение. 1965.

76. Пойя Д. Математические открытия. М.: Наука. 1970.

77. Пойя Д. Математика и правдоподобные рассуждения. -М.: Наука. 1979.

78. Потоцкий М.В. О психологических основах методики обучения математике. Ж Ш., №6. 1961.

79. Потоцкий М.В. О педагогических основах обучения математике. -М.: Просвещение. 1963.

80. Попова Н.С. Обучение детей арифметике в 1-м классе. Первоначальное обучение и воспитание детей в 1-м классе.-М.: АПН. Сфера. 1958.

81. Программы по математике для начальной и средней школы.

82. Пчелко А.С. О содержании начального образования.- Начальная школа. 1967.

83. Пышкало A.M. Новая программа обучения младших школьников. -Начальная школа,№4. 1969.

84. Репьев В.В. и др. О преподавании математики в 4-м классе.- Горький. 1967.

85. Робетр Р., Столл Множества. Логика. Аксиоматические теории. -М.: Просвещение. 1968.

86. Российский стандарт математического образования (проект). -М.: 1993.

87. Рузавин Г.И. О природе математического знания. -М.: Мысль. 1968.

88. Рупасов К. А. К вопросу о школьном изложении теории рациональных чисел.- МШ., №6. 1965.

89. Развитие учащихся в процессе обучения 1-2 классах (под ред. Л.В.Занкова). М.: Просвещение. 1982.

90. Саранцев Г.И. Теоретические основы методики упражнений по математике в средней школе (автореф. докторской диссертации). Л., 1987.

91. Свечников А.А. и Сорокин П.И. Числа, фигуры, задачи. -М.: Просвещение. 1977.

92. Семушин А.Д. и др. Активизация мыслительной деятельности учащихся при изучении математики. -М.: 1978.

93. Скаткин Л.Н. Элементы теории множеств. -М Ш., №6. 1969.

94. Совершенствование образования в школе (под ред. И.Д. Зверева, А.И. Кашина).-М.: 1983.

95. Совершенствование учебно-воспитательной работы в начальных классах с многонациональным составом учащихся (матер, конф. 1983 г.). -Махачкала. Дагучпедгиз. 1986.

96. Столяр А.А. Педагогика математики. -Минск. 1986.

97. Столяр А.А. Формирование теоретико-множественных понятий у учащихся 4-х классов. -М Ш., №10. 1964.

98. Совершенствование методов обучения в начальных классах (сборник докладов). Рязань. 1980.

99. Скаткин Л.Н. Лекции по методике начального обучения. -М.: МПГУ. 1971.

100. Смирнов А.А. Развитие и состояние психологической науки в СССР. М.: Педагогика. 1975.

101. Сойер У.У. Прелюдия к математике. -М.: Просвещение. 1972.

102. Степанов Ю.С. Имена . Предикаты. Предложения. -Наука. 1981.

103. Средства обучения математике (составитель Пышкало A.M.). -М.: Просвещение. 1980.

104. Стрезикозин В.П. Актуальные проблемы начального обучения. -М.: Просвещение. 1976.

105. Тесленко И.Ф. Формирование диалектико-материалистического мировоззрения учащихся при изучении математики. -М.: Просвещение. 1979.

106. Талызина Н. Ф. Управление процессом усвоения знаний (психологические основы). -М.: МГУ. 1984.

107. Урбанская О.Н. Работа с родителями младших школьников. -М.: Просвещение. 1986.

108. Уткина Н.Г. Материалы к урокам математики в 1-3-х классах. -М.: Просвещение. 1984.

109. Успенский В.А. К преподаванию математики в начальной школе. -МШ., №3. 1967.

110. Формирование элементарных математических представлений у дошкольников (сборник статей). -М.: Просвещение. 1988.

111. Фройденталь Г. Математика или новое образование. -М.:Перспективы, № 1,2. 1982.

112. Фройденталь Г. Математика как наука педагогическая задача. -М.: Просвещение. 1982.

113. Философские основания естественных наук (собрание докладов). -М.: Наука. 1968.

114. Фридман Л.И. Учись учиться математике. -М.: Просвещение. 1985.

115. Хинчин А .Я. Основные понятия математики в средней школе. М Ш., №4. 1939.

116. Холл М. Комбинаторика. -М.: Мир. 1970 .

117. Чеснокова И.И. Проблема самосознания в психологии. -М.: Наука. 1976.

118. Число и мысль (сборник статей). М.: Знание. 1973.

119. Шенфилд Д. Математическая логика. М.: Наука. 1975.

120. Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок. -М.: Наука. 1971.

121. Шихалиев Х.Ш. Теоретические основы разработки альтернативной системы обучения математике в основной школе и ее практическая реализация в условиях Дагестана (автореферат докторской диссертации). -М.: МПГУ. 1994.

122. Шихалиев Х.Ш. Единый подход к решению уравнений и неравенств. Начальная школа, №8. 1989.

123. Шихалиев Х.Ш. Интенсификация обучения математике в школе. -Махачкала. ДГПУ. 1992.

124. Шихалиев Х.Ш. Математика 5-6. -Махачкала. ДГПУ. 1997.125.1Нихалиев Х.Ш. Принцип краеведения при обучении математике. -Начальная школа, №9. 1990.

125. Шихалиев Х.Ш. Больше внимания формированию математической культуры учащихся. -МШ., №2. 1994.

126. Эрдниев П.М. Взаимно обратные действия в арифметике (2-4 классы). -М.: Просвещение. 1969.

127. Эрдниев П.М. Методика упражнений по математике. -М.: Просвещение. 1970.

128. Эрдниев П.М. Обучение математике в начальных классах. -М.: Просвещение. 1977.

129. Эльконин Д.Б. Психология игры. М.: Педагогика. 1979 .