Изучение формы поверхности тяжелой магнитной жидкости, ограниченной пластинами, в неоднородных магнитных полях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Волкова, Татьяна Игоревна

• Волкова, Татьяна Игоревна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Волкова, Татьяна Игоревна

Содержание

Основные обозначения

Введение

1. Общая характеристика работы

2. Обзор современного состояния исследований по магнитным жидкостям

1. Теоретическое исследование равновесной формы поверхности магнитной жидкости между горизонтальными пластинами в магнитном поле линейного горизонтального проводника с током без учета поверхностного натяжения

1.1. Уравнения, описывающие равновесную форму поверхности раздела намагничивающихся жидкостей в неоднородном магнитном поле

1.2. Теоретическая постановка задачи

1.3. Аналитическое решение задачи в случае малых магнитных полей

1.4. Различные способы образования и разрушения магнитожидкостной перемычки между горизонтальными пластинами при квазистатическом увеличении и уменьшении тока в проводнике

1.5. Вычисление критического расстояния между горизонтальными пластинами, при котором существует магнитожидкостная перемычка

1.6. Выводы

2. Теоретическое исследование формы поверхности магнитной жидкости между горизонтальными пластинами в магнитном поле линейного горизонтального проводника с током с учетом поверхностного натяжения

2.1. Теоретическая постановка и численное решение задачи

2.2. Вариационная задача о минимуме энергии конечного объема магнитной жидкости

2.3. Влияние поверхностного натяжения на разрушение магнитожидкостной перемычки между горизонтальными пластинами

2.4. Выводы

3. Экспериментальное исследование формы поверхности магнитной жидкости между горизонтальными пластинами в магнитном поле электромагнитной катушки

с сердечником

3.1. Описание и структурная схема лабораторной установки

3.2. Параметры экспериментальной установки

3.3. Порядок проведения эксперимента

3.4. Экспериментальные результаты

3.4.1. Поведение магнитной жидкости в ступенчато возрастающем и убывающем магнитном поле

3.4.2. Разрушение магнитожидкостной перемычки при достижении критических значений тока

3.5. Выводы

4. Теоретическое исследование формы поверхности магнитной жидкости между горизонтальными пластинами в магнитном поле электромагнитной катушки с сердечником

4.1. Теоретическая постановка задачи

4.2. Вариационная задача о минимуме свободной энергии конечного объема магнитной жидкости

4.3. Моделирование поля электромагнитной катушки с сердечником

4.4. Численный расчет статической формы поверхности

4.4.1. Сравнение экспериментальных и теоретических результатов

4.4.2. Результаты расчета для постоянного значения угла смачивания

4.5. Выводы

Заключение

Список литературы

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Основные обозначения

Латинские символы

В - магнитная индукция,

с - скорость света,

(1 - расстояние между горизонтальными пластинами,

^ - энергия системы,

д - ускорение свободного падения,

Н - напряженность магнитного поля,

/, .1 - сила тока,

К - средняя кривизна поверхности,

к - постоянная Больцмана,

I - натуральный параметр,

М - намагниченность вещества,

Мз - намагниченность насыщения,

т - магнитный момент частицы,

п - нормаль к поверхности,

п - численная концентрация ферромагнитных частиц,

р - давление,

Я,о - внутренний радиус катушки,

г,ф,г - цилиндрические координаты,

Т - температура,

V - скорость,

V - объем,

х, у, г - декартовы координаты.

Греческие символы

5 - характерная длина,

6*о - угол смачивания.

//, - магнитная проницаемость вещества.,

£ - параметр Ланжевена,

/У - плотность вещества,

а - коэффициент поверхностного натяжения,

X - магнитная восприимчивость вещества.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Изучение формы поверхности тяжелой магнитной жидкости, ограниченной пластинами, в неоднородных магнитных полях»

Введение

1. Общая характеристика работы

Диссертация посвящена теоретическому и экспериментальному изучению равновесных форм поверхности тяжелой магнитной жидкости, ограниченной горизонтальными пластинами, в неоднородных внешних магнитных полях. Рассмотрены неоднородные магнитные поля линейного проводника с током и электромагнитной катушки с сердечником.

Предмет исследования

Магнитная жидкость представляет собой коллоидный раствор ферромагнитных частиц, находящихся во взвешенном состоянии в немагнитной несущей жидкости. Ферромагнитные частицы имеют размер порядка 3-15 нм и находятся в броуновском тепловом движении, препятствующем их осаждению. В типичной магнитной жидкости содержится 1018 частиц на кубический сантиметр, и она не прозрачна для видимого света. Для стабилизации магнитных жидкостей используют поверхностно-активные вещества, которые образуют тонкую оболочку вокруг частиц, тем самым препятствуя слипанию. Вследствие этого магнитные жидкости не расслаиваются под действием силы тяжести и магнитных сил долгие годы. Частицы ферромагнетика наноразмера обладают спонтанной намагниченностью и дипольным магнитным моментом. При наложении магнитного поля магнитные моменты частиц ориентируется вдоль вектора напряженности магнитного поля, в результате чего суммарный магнитный момент перестает быть равным нулю, то есть магнитная жидкость намагничивается. Таким образом, магнитная жидкость — это уникальная искусственно синтезированная среда, обладающая одновременно текучестью и суперпарамагнитными свойствами. Сочетание этих свойств, которое не встречается в известных природных материалах, открыло широкие перспективы для создания новых технических устройств и технологий в различных областях науки и техники.

Поведение магнитных жидкостей в электромагнитных полях изучается наукой феррогидродинамика, разделе механики сплошных сред.

Актуальность темы

Магнитные жидкости начали впервые синтезировать в 60-е годы ХХ-го столетия. Первоначально предполагалось использовать намагничивающиеся среды для управления подачи топлива в двигатели космических ракет в условиях невесомости и для создания термомагнитных систем управления на спутниках, но по различным причинам магнитные жидкости не нашли применения в этой области. Однако открылись многочисленные новые приложения магнитных жидкостей в технике, приборостроении и медицине.

Существует ряд перспективных направлений использования магнитных жидкостей для широкого спектра прикладных задач в акустике. В частности, это разработка и совершенствование звукопроводов на основе магнитной жидкости для передачи акустической энергии в щелевых зазорах между источниками и объектами воздействия. Эти системы применяются при ультразвуковом контроле поверхностей и дефектоскопии. Управление объемами магнитной жидкости происходит с помощью неоднородных магнитных полей. В таких системах при наложении магнитного поля в щелевом зазоре может возникнуть неустойчивость объема магнитной жидкости, проявляющаяся в изменении формы границы объема, появлении полостей и приводящая к разрушению звукопровода.

Управление с помощью магнитного поля формой поверхности магнитной жидкости позволяет конструировать клапаны, затворы, дозиметры и другие устройства для работы с газами или жидкостями. Преимущества подобных устройств заключаются в возможности бесконтактного управления течением и отсутствии твердых механических объектов внутри рабочей области, что позволяет не нарушать структуру окружающей среды. Возможность управления течениями магнитных жидкостей и синтезированных на их основе лекарственных препаратов является основой для новых методов лечения в медицине.

Упомянутые приложения основаны на возможности удерживать магнитную жидкость в заданном месте с помощью приложенного неоднородного магнитного поля. В связи с этим расчет формы поверхности магнитной жидкости в узких зазорах в неоднородных магнитных полях является в настоящее время актуальной проблемой и может быть использован в разработках конкретных устройств на основе магнитных жидкостей.

Цели диссертационной работы

Целью работы является теоретическое и экспериментальное изучение равновесных форм поверхности конечного объема тяжелой магнитной жидкости между горизонтальными пластинами в неоднородных магнитных полях с учетом гравитационных и капиллярных сил, исследование скачкообразных изменений и гистерезиса формы поверхности магнитной жидкости. Для достижения указанной цели были поставлены следующие задачи:

• Теоретическое исследование статической формы поверхности конечного объема магнитной жидкости между горизонтальными пластинами в магнитном поле линейного горизонтального проводника с током, расположенного над верхней пластиной. Исследование возможности существования нескольких статических форм поверхности при заданном токе в проводнике.

• Экспериментальное изучение поведения конечных объемов магнитной жидкости между горизонтальными пластинами в магнитном поле электромагнитной катушки с сердечником при квазистатически меняющемся токе. Экспериментальное подтверждение существования гистерезиса статической формы поверхности, определение крити-

ческих значений тока в катушке, при которых происходят скачкообразные изменения формы поверхности магнитной жидкости.

• Теоретическое исследование статической формы поверхности магнитной жидкости между горизонтальными пластинами в осесимметричном неоднородном магнитном поле электромагнитной катушки с сердечником, расположенной над верхней пластиной. Сравнение теоретических и экспериментальных результатов.

• Исследование условий разрушения и восстановления магнитожидкостной перемычки между горизонтальными пластинами в неоднородных магнитных полях. Определение параметров и диапазонов приложенных магнитных полей, при которых существует магнитожидкостная перемычка.

Научная новизна

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:

• Теоретически исследованы и численно рассчитаны статические формы поверхности конечного объема тяжелой магнитной жидкости между горизонтальными пластинами в магнитном ноле линейного горизонтального проводника с током с учетом силы тяжести и поверхностного натяжения. Показано, что в случае линейной зависимости намагниченности магнитной жидкости от напряженности магнитного поля и отсутствия поверхностного натяжения в некоторых диапазонах токов решение для магнитожидкостной перемычки определяется однозначно, и оно единственно. Показано, что учет поверхностного натяжения приводит к существованию нескольких односвязных решений в некоторых диапазонах токов в проводнике.

• Решена вариационная задача о минимуме энергии заданного объема магнитной жидкости с учетом смещения концевых точек объема на поверхности горизонтальных пластин в неоднородном магнитном поле. Задача решена с учетом силы тяжести и поверхностного натяжения. Сформулированы условия для определения решений, на которых достигается локальный минимум энергии.

• В случае линейного горизонтального проводника с током и в случае электромагнитной катушки с током численно определены односвязные решения заданного объема, не удовлетворяющие условиям локального минимума энергии и неустойчивые относительно плоских или осесимметричных возмущений поверхности.

• Проведены эксперименты с различными объемами магнитной жидкости при фиксированном расстоянии между горизонтальными пластинами и квазистатически изменяющемся токе в электромагнитной катушке с сердечником. Экспериментально показано, что существуют несколько разных способов образования и разрушения

магнитожидкостной перемычки между пластинами, определены критические значения тока в катушке, при которых происходят скачкообразные изменения формы поверхности магнитной жидкости.

• Разработана программа, и проведен численный расчет статической осесимметрич-ной формы поверхности магнитной жидкости между горизонтальными пластинами в неоднородном магнитном поле катушки с током. Проведено моделирование магнитного поля катушки с сердечником. Численно определены возможные статические формы поверхности магнитной жидкости, удовлетворяющие условиям локального минимума энергии. Показано, что экспериментальные и теоретические результаты согласуются.

• Теоретически предсказано и экспериментально подтверждено существование скачкообразных изменений и гистерезиса формы поверхности магнитной жидкости между горизонтальными пластинами при квазистати чески изменяющемся токе в источнике магнитного поля. Экспериментально обнаружен гистерезис угла смачивания при увеличении и уменьшении тока в электромагнитной катушке.

• Теоретически и экспериментально получены немонотонные зависимости критического тока в источнике от расстояния между горизонтальными пластинами, при котором происходит разрушение магнитожидкостной перемычки заданного объема.

Достоверность результатов

Достоверность результатов, представленных в диссертации, обеспечена использованием известных математических моделей, строгих аналитических методов исследования, надежных численных процедур и согласованностью полученных экспериментальных и теоретических данных. Достоверность экспериментальных результатов подтверждена использованием стандартных приборов и оборудования при проведении измерений. Для контроля точности численных методов проводилось сравнение результатов, полученных различными программами для численного расчета. Основные результаты и выводы диссертации опубликованы в рецензируемых изданиях, докладывались и обсуждались на международных и всероссийских конференциях.

Научная и практическая ценность работы

Получены фундаментальные результаты в области феррогидродинамики. Обнаружены новые явления, и разработаны новые экспериментальные и теоретические методики исследования равновесных форм поверхности магнитной жидкости между горизонтальными пластинами в неоднородных магнитных полях. Проведенное исследование может являться основой для расчета и конструирования устройств на основе магнитной жидкости: звукопроводов, клапанов и затворов. Такие устройства могут быть использованы для

передачи акустического сигнала между поверхностями, прерывания течений и регулирования расхода жидкостей или газов с помощью приложенного магнитного поля.

Личный вклад автора

Автором создана экспериментальная установка, и проведены все экспериментальные исследования и обработка результатов измерений. Автором разработаны теоретические методики исследования, проведены численные расчеты, сформулированы результаты исследования. Основные выводы и положения диссертационной работы сформулированы лично автором.

Соответствие диссертации паспорту научной специальности

В соответствии с областью исследования специальности 01.02.05 — «Механика жидкости, I'аза, и плазмы» диссертация включает в себя теоретическое и экспериментальное изучение поведения магнитной жидкости в неоднородных магнитных полях. Полученные результаты соответствуют пунктам 16 и 17 паспорта специальности.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и трех приложений. Общий объем диссертационной работы составляет 159 страниц (из них приложения занимают 8 е.), включая 76 рисунков, три таблицы и список литературы из 61 наименования.

В главе 1 из уравнений движения и динамического соотношения на поверхности сильного разрыва выведено уравнение для определения статической формы поверхности раздела намагничивающихся жидкостей в неоднородном магнитном поле с учетом гравитационной, капиллярной и магнитной сил. Рассмотрено упрощение полученного уравнения в безындукционном приближении, когда намагничивающиеся жидкости не искажают напряженность приложенного магнитного поля. Теоретически исследована статическая форма поверхности конечного объема магнитной жидкости между горизонтальными пластинами в неоднородном магнитном поле линейного горизонтального проводника с током, расположенного над верхней пластиной. Рассмотрен случай малых магнитных полей, когда намагниченность магнитной жидкости линейно зависит от напряженности магнитного поля, без учета поверхностного натяжения. Аналитически предсказано несколько качественных процессов образования и разрушения магнитожидкостной перемычки произвольного объема при квазистатическом изменении тока в проводнике. Показано, что при отсутствии поверхностного натяжения м агн и тож ид костная перемычка между горизонтальными пластинами определяется однозначно значением тока в линейном горизонтальном проводнике. Вычислена зависимость критического расстояния между горизонтальными пластина-

ми, при котором происходит разрушение магнитожидкостной перемычки, от параметра, характеризующего ток в проводнике.

В главе 2 теоретически исследована статическая форма поверхности конечного объема магнитной жидкости между горизонтальными пластинами в неоднородном магнитном поле линейного горизонтального проводника с током с учетом поверхностного натяжения и в случае произвольных магнитных полей, когда намагниченность магнитной жидкости зависит от напряженности магнитного поля по формуле Ланжевена. Показано, что при учете поверхностного натяжения существуют диапазоны токов, при которых существуют несколько односвязных решений. Рассмотрена вариационная задача о минимуме энергии заданного объема магнитной жидкости с учетом смещения концевых точек объема на поверхности горизонтальных пластин в поле линейного горизонтального проводника с током. Обнаружены односвязные решения формы поверхности, не удовлетворяющие условиям локального минимума энергии. Показано, что при учете поверхностного натяжения в некоторых диапазонах токов существуют несколько односвязных решений, на которых достигается локальный минимум энергии, удовлетворяются граничные условия и условия сохранения объема магнитной жидкости. Проведен расчет критического расстояния между пластинами, при котором происходит разрушение магнитожидкостной перемычки, от параметра, характеризующего ток в проводнике, с учетом поверхностного натяжения.

В главе 3 дано описание экспериментальной установки, созданной для изучения формы поверхности магнитной жидкости между горизонтальными пластинами в магнитном поле электромагнитной катушки с сердечником. Описаны результаты экспериментальных исследований с различными объемами магнитной жидкости при фиксированном расстоянии между горизонтальными пластинами в квазистатически увеличивающемся и уменьшающемся токе в катушке. Экспериментально рассмотрены процессы образования и разрушения магнитожидкостной перемычки между горизонтальными пластинами. Обнаружены скачкообразные и гистерезисные изменения формы поверхности магнитной жидкости. Обнаружен гистерезис статического угла смачивания при квазистатически увеличивающемся и уменьшающемся токе. В эксперименте измерены кривые устойчивости магнитожидкостной перемычки между горизонтальными пластинами: зависимости критического тока в катушке, при котором происходит разрушение перемычки заданного объема, от расстояния между пластинами.

В главе 4 теоретически исследована статическая форма поверхности конечного объема магнитной жидкости между горизонтальными пластинами в осесимметричном неоднородном магнитном поле с учетом поверхностного натяжения и в случае произвольных магнитных полей, когда намагниченность магнитной жидкости зависит от напряженности магнитного поля по формуле Ланжевена. Рассмотрена вариационная задача о минимуме

энергии заданного объема магнитной жидкости с учетом смещения концевых точек объема на поверхности горизонтальных пластин в осесимметричном неоднородном магнитном поле. Проведено численное моделирование магнитного поля осесимметричной электромагнитной катушки с сердечником. Вычислены осесимметричные формы поверхности магнитной жидкости в поле катушки с сердечником, расположенной над верхней горизонтальной пластиной. Проведено сравнение статических форм поверхности, полученных в эксперименте и при численном решении в случае увеличения и уменьшения тока в катушке. Показано, хорошее совпадение теоретических и экспериментальных результатов. Получены численные результаты для вариационной задачи о минимуме энергии конечного односвязного объема в поле катушки с током, определены решения, на которых не достигается локальный минимум энергии.

В заключении диссертации подведены итоги работы и сформулированы основные результаты и выводы.

В приложении 1 находятся материалы, относящиеся к главе 2. Приведен текст программы в пакете Maple для расчета формы поверхности капли магнитной жидкости на нижней горизонтальной пластине в поле линейного горизонтального проводника с током с учетом поверхностного натяжения и для проверки достаточных условий локального минимума энергии.

В приложении 2 находятся материалы, относящиеся к главе 4. Приведена программа расчета магнитного поля осесимметричной электромагнитной катушки с сердечником в пакете ANSYS.

В приложении 3 находятся материалы, относящиеся к главе 4. Приведен текст программы для расчета осесимметричной формы поверхности капли магнитной жидкости на нижней горизонтальной пластине в поле электромагнитной катушки с сердечником и для проверки достаточных условий локального минимума энергии в пакете MATLAB.

Апробация работы

Основные материалы и результаты диссертации докладывались и получили положительную оценку на следующих конференциях:

1. XII и XIII Международные конференции по магнитным жидкостям (Сендай, 2010 г. и Ныо-Дели, 2013 г.)

2. IX и X Международные конференции «Современные проблемы электрофизики и электродинамики жидкостей» (Санкт-Петербург, 2009 и 2012 гг.)

3. Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, 2009, 2010, 2011, 2012 и 2013 гг.)

4. Научная конференция «Ломоносовские чтения» (Москва, 2012 г.)

5. Конференция-конкурс молодых ученых НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова (Москва, 2010, 2012 и 2013 гг.)

Результаты работы докладывались и обсуждались на семинаре по механике сплошных сред под руководством академика А.Г. Куликовского, профессора В.П. Карликова и члена-корреспондента РАН О.Э. Мельника в НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова (Москва, 2010 и 2013 гг.).

Публикации

Основное содержание диссертации опубликовано в 26 научных публикациях, из которых 9 - статьи в журналах и сборниках и 17 - тезисы докладов. Статьи [1]-[3] опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК на момент публикации. Часть работ написана совместно с научным руководителем В.А. Налетовой и научным консультантом В.А. Турковым. Во всех работах соискателю принадлежит участие в постановке задачи, проведение экспериментов, разработка теоретических методик, численное решение, анализ результатов. Список литературы приведен на с. 144.

Благодарности

Автор выражает благодарность своим научным руководителям — Вере Арсеньевне Налетовой и Владимиру Андреевичу Туркову, без постоянной поддержки и личного участия которых не произошло бы становления автора как молодого ученого. Их доброжелательное отношение и конструктивные замечания дали автору возможность для самореализации и помогли при написании данной работы.

Автор благодарен преподавателям кафедры гидромеханики механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова и коллегам по лаборатории физико-химической гидродинамики НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова.

Данная диссертация посвящена родителям автора — Элеоноре Валериановые и Игорю Дмитриевичу Волковым. Автор признателен родителям и сестре Ольге за огромную поддержку, помощь и чуткое руководство.

Отдельное спасибо Анне Коробковой за совместные годы учебы и верную дружбу. Спасибо Феликсу Беккеру за помощь в технических вопросах и терпение.

Автор признателен факультету машиностроения Технического университета Иль-менау за предоставленную возможность использовать пакеты А-МБУв и МАТЬАВ.

2. Обзор современного состояния исследований по магнитным жидкостям

Исследования взаимодействия сплошных сред с электромагнитным полем представляют большой интерес. В классических работах [26, 34, 35] изложены основы электродинамики сплошных сред и построена общая модель среды, взаимодействующей с электромагнитным полем с учетом ее намагничивания и поляризации. Исследования разных типов взаимодействия поля и жидкости можно разделить на три основных направления: электрогидродинамика, магнитная гидродинамика и феррогидродинамика. В электрогид-родикамике изучаются процессы движения слабопроводящих, диэлектрических жидкостей, помещённых в электрическое поле. Различные модели электрогидродинамики приведены в [13, 17]. В работе [25| изложены основы магнитной гидродинамики как науки о взаимодействии электромагнитного поля с хорошо проводящими жидкими средами.

Поведение магнитной жидкости, которая является предметом исследования данной диссертации, описывается различными моделями феррогидродинамики. Магнитная жидкость — это коллоидный раствор ферромагнитных частиц нанометровых размеров, находящихся во взвешенном состоянии в немагнитной несущей жидкости. Для обеспечения устойчивости такой жидкости ферромагнитные частицы связываются с поверхностно-активным веществом, образующим защитную оболочку вокруг частиц и препятствующем их слипанию. Различные математические модели для магнитных жидкостей и других намагничивающихся сред приведены в работах [11, 33, 40, 57]. В обзоре [16], посвященном исследованию взаимодействия магнитных жидкостей с магнитным полем, обсуждаются результаты, полученные в этой области до 1981 года. В [16] основное внимание уделено построению моделей, описывающих движение широкого класса жидкостей, обладающих магнитными свойствами, подробно излагаются задачи гидростатики магнитных жидкостей. В работе [19] исследовано влияние магнитного поля на поверхностное натяжение границы раздела магнитных жидкостей, построена модель, в которой наряду с объемной намагниченностью вводится намагниченность единицы площади поверхности раздела, получены соотношения определяющие зависимость поверхностной намагниченности и тензора поверхностных натяжений от магнитного поля. Монография [32] обобщает проведенные ее автором исследования гидродинамики магнитных жидкостей со свободной поверхностью. Монографии [29, 37, 39, 45, 53, 58] посвящены ¡методам получения и техническим приложениям магнитных жидкостей. В работе [30] рассматриваются акустические свойства магнитных жидкостей. Книга |3| посвящена использованию магнитных жидкостей со свободной поверхностью в различных приложениях технической акустики. В ней представлены данные научных исследований по акустическим свойствам магнитных жидкостей, описаны возможности их практического применения, в частности, создание зву-копроводов между различными поверхностями.

Неограниченная свободная поверхность магнитной жидкости в однородном магнитном поле. Во многих работах рассматривалась устойчивость неограничен-

пой свободной горизонтальной поверхности покоящихся объемов магнитных жидкостей в однородном приложенном магнитном поле. В пионерской работе |46] впервые экспериментально показано, что при достаточно большом однородном магнитном поле, нормальном к плоской горизонтальной поверхности покоящейся магнитной жидкости, поверхность становится неустойчивой. Выписан критерий устойчивости с учетом поверхностного натяжения и силы тяжести в предположении, что намагниченность нелинейно зависит от магнитного поля, найдено критическое значение магнитного поля. Во многих работах, например в [46, 60], экспериментально наблюдалось нарушение устойчивости плоского слоя я возникновение гексагональных структур с пиками на поверхности магнитной жидкости. В связи с этим в работе [14| теоретически исследована устойчивость свободной поверхности покоящейся магнитной жидкости в перпендикулярном свободной поверхности однородном магнитном поле относительно малых возмущений. Показано, что при небольшом превышении значения критического поля плоская поверхность трансформируется скачком, эта неустойчивость может привести к наблюдаемой в эксперименте шестиугольной картине с выделенными пиками на поверхности жидкости. В работе |47] с помощью принципа минимума энергии исследуются формы равновесия свободной горизонтальной поверхности магнитной жидкости в перпендикулярных поверхности полях больших критического. Показано, что при полях много больше критических пики на свободной поверхности имеют квадратную структуру.

Конечный объем магнитной жидкости в однородном магнитном поле. Конечные объемы магнитной жидкости в любом однородном поле деформируются. Это связано с неоднородным искажением приложенного магнитного поля границами магнитной жидкости. Экспериментальное исследование формы капли намагничивающейся жидкости, находящейся на твердой горизонтальной поверхности в вертикальном однородном магнитном поле, проведено в работах [2, 5|. Отмечено, что до наступления неустойчивости капля имеет вид конусообразного пика с вертикальной осыо симметрии, и обнаружен гистерезис формы капли при увеличении и уменьшении величины приложенного однородного магнитного поля. Экспериментальное исследование такой капли в [4] показало, что для любого значения магнитного поля существует предельный критический объем такой, что капля с объемом больше критического делится в направлении, перпендикулярном оси симметрии, на две примерно одинаковые по величине капли, располагающиеся на некотором расстоянии друг от друга. Также экспериментально обнаружена неустойчивость горизонтального тонкого плоского слоя магнитной жидкости. Показано, что при достижении некоторого критического значения магнитного поля возникает поверхностная неустойчивость, приводящая к развитию гексагональных пиков. Дальнейшее возрастание магнитного поля приводит к разрыву сплошности при некотором другом критическом значении магнитного поля, при этом слой распадается на отдельные капли.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Волкова, Татьяна Игоревна, 2013 год

Список литературы

1. Архипенко В.И., Барков Ю.Д., Баштовой В.Г. Исследование формы капли намагничивающейся жидкости в однородном магнитном поле // Магнитная гидродинамика. 1978, № 3, с. 131-134.

2. Архипенко В.И., Барков Ю.Д., Баштовой В.Г. Некоторые особенности, поведения капли намагничивающейся жидкости в магнитных полях // Магнитная гидродинамика. 1980, № 3, с. 3-10.

3. Баев А.Р., Коновалов Г.Е., Майоров A.J1. Магнитные жидкости в технической акустике и неразрушающем контроле / Под ред. П.П. Прохоренко. — Мн.: Тэхналогия. 1999, 299 с.

4. Барков Ю.Д., Берковский Б.М. Распад капли намагничивающейся жидкости // Магнитная гидродинамика. 1980, № 3, с. 11-14.

5. Баштовой В.Г., Архипенко В.И., Барков Ю.Д. Поведение капли намагничивающейся жидкости в неоднородных и нестационарных полях. В сб.: Тепло- и массоперенос: физические основы и методы. Минск. 1979, с. 70-72.

6. Баштовой В.Г., Будник A.M., Полевиков В.К., Рекс А.Г. Исследование двусвязных равновесных форм магнитной жидкости в магнитном поле вертикального проводника // Магнитная гидродинамика. 1984, № 2, с. 47-53.

7. Баштовой В.Г., Рекс А.Г., Тайц Е.М. Влияние однороного магнитного поля на форму капли магнитной жидкости. Прикладная механика и реофизика: Сб. — Мн: ИТМО. 1983, с. 40-45.

8. Берковский Б.М., Каликманов В.И. Одно точное решение уравнений равновесной поверхности намагничивающейся жидкости в кольцевом зазоре // Магнитная гидродинамика. 1984, № 1, с. 10-14.

9. Берковский Б.М., Орлов Л.Г. К исследованию формы свободной поверхности и аналога понч-эффекта в намагничивающихся жидкостях // Магнитная гидродинамика. 1973, № 4, с. 38-44.

10. Берковский Б.М., Смирнов H.H. Некоторые решения уравнения поверхности намагничивающейся жидкости II Магнитная гидродинамика. 1984, Л"'-' 1, с. 15-20.

11. Блум Э.Я., Майоров М.М., Цеберс А.О. Магнитные жидкости. — Рига.: Зинатне. 1989, 386 с.

12. Борисов И.Д. О равновесных формах поверхности намагничивающейся жидкости II Магнитная гидродинамика. 1976, АГа 4, с. 11-18.

13. Ватажин A.B., Грабовский В.И., Лихтер В.А., Шульгин В.И. Электрогазодинамические течения. — М.: Наука. 1983, 344 с.

14. Гайлитис А. Форма поверхностной неустойчивости ферромагнитной жидкости // Магнитная гидродинамика. 1969, № 1, с. 68-70.

15. Гельфанд И.M., Фомин C.B. Вариационное исчисление. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы. 1961, 228 с.

16. Гогосов В.В., Налетова В.А., Шапошникова Г.А. Гидродинамика намагничивающихся жидкостей // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Сер. Механика жидкости и газа. 1981, том 16. с. 76-208.

17. Гогосов В.В., Полянский В.А. Электрогидродинамика: задачи и приложения, основные уравнения, разрывные решения // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Сер. Механика жидкости и газа. 1976, том 10, с. 5-85.

18. Голубятников А.Н. Определение магнитной восприимчивости, плотности и поверхностного натяжения магнитной жидкости. — Институт механики МГУ. Отчет № 2238. Москва, 1979.

19. Голубятников А.Н., Субханкулов Г.И. О поверхностном натяжении магнитной жидкости // Магнитная гидродинамика. 1986, № 1, с. 73-78.

20. Исаев C.B., Кашевский Б.Э., Фертман В.Е. Свободная поверхность ферромагнитной жидкости в магнитном поле проводника с током. В сб.: Исследование конвективных и волновых процессов ферромагнитных жидкостях. Минск. 1975, с. 80-87.

21. Кирюшин В.В., Назаренко A.B. Взаимодействие магнитной жидкости с проводником с током и постоянным магнитом // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа 1988, № 2, с. 176-181.

22. Кирюшин В.В., Параскевопуло O.P. Форма поверхности капли магнитной э/сидко-сти вблизи острия магнитного клина // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1992, № 4, с. 113-119.

23. Кирюшин В.В., Чыонг За Бинь. Фигуры равновесия намагничивающейся жидкости в магнитном поле // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа 1980, № 4, с. 123— 128.

24. Коровин В.М., Райхер Ю.Л. Увлечение магнитной жидкости движущейся границей плоскопараллельного слоя // Магнитная гидродинамика. 1987, № 1, с. 49-52.

25. Куликовский А.Г., Любимов Г.А. Магнитная гидродинамика. — М.: Логос. 2005, 328 с.

26. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Том VIII. Электродинамика сплошных сред — М.: Наука. 1982, 620 с.

27. Налетова В.А., Кирюшин В.В., Турков В.А. Подъем магнитной жидкости из цилиндрического сосуда по проводнику с тюком. В сб.: 12-я Международная Плесская конференция по магнитным жидкостям, Плес. 2006, с. 220-225.

28. Налетова В.А., Рекс А.Г., Савчук Е.Л., Тайнова A.A., Двирко М.И. Устойчивость капли магнитной жидкости в неоднородном магнитном поле. В сб.: 13-я Международная плесская конференция по нанодисперсным магнитным жидкостям, Плес. 2008, с. 269-274.

29. Орлов Д.В., Михалев Ю.О., Мышкин Н.К., Подгорков В.В., Сизов А.П. Магнитные жидкости в приборостроении. — М.: Машиностроение. 1993, 272 с.

30. Полунин В.М. Акустические свойства нанодисперсных магнитных жидкостей. — М.: ФИЗМАТЛИТ. 2012, 383 с. 256 с.

31. Райхер Ю.Л., Соснин П.А., Коровин В.М., Пшеничников А.Ф. Равновесие капли магнитной жидкости в поле прямоугольного магнита // Магнитная гидродинамика.

1992, JVs 4, с. 24-30.

32. Рекс А.Г. Некоторые вопросы механики магнитожидкосгпных систем со свободной поверхностью: монография / А.Г. Рекс. — Мп.: БИТУ. 2005, 256 с.

33. Розенцвейг Р. Феррогидродинамика: Пер. на русский, — М.: Мир. 1989, 356 с.

34. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Том 1, 2. — М.: Наука. 1970.

35. Седов Л.И. О поидеромоторных силах взаимодействия электромагнитного поля и ускоренно движущегося материального континуума с учетом кон,ечности деформаций // Прикладная математика и механика. 1965, № 1, том 29, с. 4-17.

36. Сумм Б.Д., Горюнов Ю.В. Физико-химические основы смачивания и растекания. — М.: Химия. 1976, 232 с.

37. Такетоми С., Тикадзуми С. Магнитные жидкости: Пер. на русский, — М.: Мир.

1993, 272 с.

38. Таранов И.Е. Некоторые вопросы гидростатики иамагничиваюш,ихся и поляризующихся сред // Изв. АН СССР Механика жидкости и газа. 1974, № 5, с. 141-144.

39. Фертман В.Е. Магнитные жидкости. — Мп.: Вышэйшая школа. 1988, 184 с.

40. Шлиомис М.И. Магнитные жидкости // Успехи физических наук. 1974, том 112, вып. 3, с. 427-458.

41. Alexiou С., Jurgons R. Magnetic drug targeting, in Magnetism in Medicine: A Handbook (Eds. W. Andra and H. Howak). - Wiley-VCH. 2007, 631 p.

42. Bacri J.-C., Frenois C., Perzynski R. and Salin D. Magnetic drop-sheath wetting transition of a, ferro fluid on a wire // Revue Ph.ys. Appl. 1988, 23, pp. 1017-1022.

43. Bacri J.-C., Perzynski R., Salin D. and Tourinho F. Magnetic wetting transition of a ferrofluid on a wire // Europhysics Letters. 1988, 5(6). pp. 547-552.

44. Bacri J.-C. and Salin D. Instability of ferrofiuid magnetic drops under magnetic field // Journal de Physique - Lettres. 1982, 43, pp. 649-654

45. Berkovsky B.M., Bashtovoi V.G. (Eds.) Magnetic fluids and applications handbook. — Begell House. 1996, 831 p.

46. Cowley M.D., Rosensweig R.E. The mterfacial stability of a ferromagnetic fluid // J. Fluid Mech. 1967, vol. 30, part 4, pp. 671-688.

47. Gailitis A. Formation of the hexagonal pattern on the surface of a ferromagnetic fluid in an applied magnetic field // J. Fluid Mech. 1977, 82, № 3, pp. 401-413.

48. Gitter K., Odenbach S. Experimental investigations on a branched tube model in magnetic drug targeting // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 2011, 323, pp. 14131416.

49. Hartshorne H., Backhouse C.J., Lee W.E. Ferrofl/uid-based microchip pump and valve // Sensors and Actuators B: Chemical. 2004, 99, pp. 592-600.

50. Hatch A., Kamholz A.E., Holman G., Yager P.. Bohringer K.F. A ferrofluidic magnetic micropump // J. Microelect.romechan. Syst. 2001, vol. 10, № 2, pp. 215-221.

51. King J.A. Method for m,aking loudspeaker with, magnetic fluid enveloping the voice coil. U.S. Patent 4,017,694, issued April 12, 1977.

52. Krueger D.A., Jones T.B. Hydrostatic profile of ferrofluid around a vertical current-carrying wire // Phys. Fluids. 1974, vol. 17, № 10, pp. 1831-1833.

53. Nakatsuka K. Trends of magnetic fluid applications in Japan // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 1993, 122, pp. 387-394.

54. Naletova V.A., Kiryushin V.V., Reks A.G., Suvchuk E. Hysteresis of the shape of a magnetic fluid volume near a line conductor // Magnetohydrodynamics. 2008, vol. 44, № 2, pp. 167-174.

55. Naletova V.A., Turkov V.A., Pelevina D.A., Rozin A.V., Zimmermann K., Popp J., Zeidis I. Behavior of a free surface of a magnetic fluid containing a magnetizable cylinder // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 2012, 324, pp. 1253-1257.

56. Naletova V.A., Turkov V.A., Vinogradova A.S. A magnetic fluid bridge betiueen coaxial cylinders with a line conductor // Physics Procedia. 2010, vol. 9, pp. 68-73.

57. Neuringer J.L., Rosensweig R.E. Ferrohydrodynamics // Phys. Fluids. 1964, 7, No 12, pp. 1927-1937.

58. Odenbach S. (Ed.) Colloidal magnetic fluids: basics, development and application of ferrofluids. Series: Lecture notes in Physics. — Springer. 2009, 763 p.

59. Rosensweig R.E., Tsuda S. Ferrofluid centered voice coil speaker. U.S. Patent 7,729,504 B2, issued June 1, 2010.

60. Zahn M. Magnetic fluid and nanoparticle applications to nanotechnology // Journal of Nanoparticle Research. 2001, 3, pp. 73-78.

61. Yamahata C., Chastellain M., Parashar V.K., Petri A., Hofmann H., Gijs M.A.M. Plastic micropump with ferrofluidic actuation //J. Microelectromechan. Syst. 2001, vol. 14, № 1, pp. 96-102.

Текст программы расчета формы поверхности магнитной жидкости в поле линейного горизонтального проводника с током в пакете Maple 10

> restart;

> Ld:=3;

> dr:=1;

> epsr:=0.1;

> L:=Ld/dr;

> eps:=epsr/dr;

> V0:=0.5;

> с:=3*10~(10) ;

> rho_l:=1.2;

> rho_2:=1.1;

> g:=980;

> phi:=0.07;

> V_p:=evalf(4*Pi*R_P~3/3):

> R_P:=d_P/2:

> d_P:=10~(-6) :

> n:=phi/V_p:

> M_F:=500:

> M_s:=M_F*phi;

> m:=M_s/n:

> T:=300;

> k:=1.38*10~(-16):

> I_A:=100;

> J:=I_A*(3*10~(9));

> theta_0:=40;

> sigma:=20.7;

> G:=(rho_l-rho_2)*g*dr~2/sigma;

> P:=n*k*T*dr/sigma;

> H_0:=evalf(2*J/(c*epsr));

> ksi_0:=m*H_0/(k*T);

> С:=-3.633521648;

> hO:=-0.525;

> nzO:=1:

> H:=eps/((x(l))~2+(h(l)-eps)~2)~(l/2):

> sys:=diff(h(l),l)=-sin(theta(l)),

diff(x(l),l)=cos(theta(l)),

diff(theta(l),l)=nz0*(C-G*h(l)+P*log(sinh(ksi_0*H)/(ksi_0*H))):

> fens:={h(l),x(l),theta(l)}:

> ini:=[h(0)=h0,x(0)=0,theta(0)=0]:

> F:=dsolve({sys,h(0)=h0,x(0)=0,theta(0)=0}, fens, type=numeric, output=listprocedure):

> X:=subs(F,x(1)): H:=subs(F, h(l)): THETA:=subs(F, theta(l)):

> plot([X,H,0..2.5], x=0..L, h=-1.0..0.0, axes=boxed, thickness=2, color=blue,

numpoints=1000);

> l_per:=fsolve(H(l)=-1.0, 1, 0..2.5);

> F(l_per);

> theta_per:=evalf(180*THETA(l_per)/Pi);

> hO:=-0.525;

> theta_l:=1000: 1_1:=0:

> for CI from -3.6 by -0.0001 while theta_l>theta_0 and Cl>=-3.7

> do

> H:=eps/((x(l))~2+(h(l)-eps)~2)~(l/2):

> sys:=diff(h(l),1)=-sin(theta(l)),

diff(x(l),l)=cos(theta(l)),

diff(theta(l),l)=nz0>KCl-G*h(l)+P*log(sinh(ksi_0*H)/(ksi_0*H))):

> fcns:={h(l),x(l),theta(l)};

> ini:=[h(0)=h0,x(0)=0,theta(0)=0];

> F:=dsolve({sys,h(0)=h0,x(0)=0,theta(0)=0}, fens, type=numeric, output=listprocedure):

> X:=subs(F,x(l)): H:=subs(F, h(l)): THETA:=subs(F, theta(l)):

> 1_1:=fsolve(H(l)=-1.0, 1, 0.0..1.5):

> theta_l:=evalf(180*THETA(1_1)/Pi):

> C_c:=Cl;

> end do: C1:="C1";

> C_c:=C_c; theta_l:=theta_l; 1_1:=1_1;

> C:=C_c;

> H:=eps/((x(l))~2+(h(l)-eps)~2)~(1/2):

> sys:=diff(h(l),1)=-sin(theta(l)),

diff(x(l),l)=cos(theta(l)),

diff(theta(l),l)=nz0*(C-G*h(l)+P*log(sinh(ksi_0*H)/(ksi_0*H))):

> fcns:={h(l),x(l),theta(l)>;

> ini: = [h(0)=h0,x(0)=0,theta(0)=0] ;

> F:=dsolve({sys,h(0)=h0,x(0)=0,theta(0)=0}, fens, type=numeric, output=listprocedure);

> X:=subs(F,x(l)): H:=subs(F, h(l)): THETA:=subs(F, theta(l)):

> plot([X,H,0..2.5], x=0..L, h=-l.0..-0.0, axes=boxed, thickness=2,color=blue,

numpoints=100);

> l_perr:=fsolve(H(l)=-1.0, 1, 0..2.0);

> F(l_per);

> evalf(180*THETA(l_perr)/Pi);

> V1_0:=0: N2_0:=100: al_0:=0: bl_0:=l_perr:

> for kO from 0 by 1 while k0<N2_0

> do

> 11_0:=(bl_0-al_0)*k0/N2_0;

> hl_0:=H(11_0) ;

> h2_0:=H(11_0-(bl_0-al_0)/N2_0);

> V1_0:=V1_0-(hl_0-h2_0)*X(11_0);

> end do: k0:="k0";

> V1_0:=2*V1_0; 11_0:=evalf(11_0):

> C:=C;

> V1_1:=0: N2_l:=100: al_l:=0: bl_l:=l_perr:

> for kl from 1 by 1 while kl<=N2_l

> do

> 11_1:=(bl_l-al_l)*kl/N2_l;

> hl_l:=H(11_1);

> h2_l:=H(11_1-(bl_l-al_l)/N2_l);

> Vl_l:=Vl_l-(hl_l-h2_l)*X(ll_l);

> end do: kl:="kl";

> V1_1:=2*V1_1; 11_1:=evalf(11_1):

> C:=C;

> V:=(V1_0+V1_1)/2;

> V-V0;

Текст программы расчета магнитного поля электромагнитной катушки с сердечником в пакете ANSYS (версия 14.5)

finish $ /cle а1=0.004 а3=0.00 а2=0.01 а4=0.05 а5=0.005 Ы=0.046 Ь2=0.048 а7=65е-3 vl=40e-3

acoil=(a2-al-a3)*bl

n=270

i=0.5

idens=n*i/acoil gamkupf=57e6 /prep7

et,1,plane53,,,1 et,3,infinllO,,,1 mp,murx,1,1 mp,murx,3,1 mp,rsvx,3,1/gamkupf mp,murx,2,400 r, 1, acoil,n,,1,fill rectng,,al,,a7 ! rectng,al,al+a3,,a7 rectng,al+a3,a2,,a7 rectng,a2,a4,,a7 rectng,,a4,b2/2,a7 rectng,a4,a4+a5,,a7 rectng,,a4,a7,a7+a5 lsel,s,ext lsel,u,loc,x,0 lsel,u,loc,y,0 nsll,s,1

emodif,all,type,3

sf,all,inf

allsel,all

lsel,s,loc,x,0

nsll,s , 1

d,all,az,0

aovlap.all

/pnum.area,1

asel,s,loc,x,al+a3,a2

asel,r,loc,y,,bl/2

alls

asel,s,loc,x,0,al asel,r,loc,у,,b2/2 aatt,2,,1,0 alls

esize,0.0005 amesh.all allsel,all

!/pnum.area,0 $ /pnum,mat,l $ /rep

alls

/solu

! time,l

! kbc,0

! deltim,0.02,0.02,0.02

! outres,all,all

esel,s,mat,,3 bfe,all,js,1, , ,idens save f 1111 /postl plf 2d

plvect.b,,,,vect,elem,on plnsol,h,sum !nlist alls

nsel,s,loc,x,0,vl nsel,r,loc,y,b2/2+le-3,a7 nsel.r,h,sum,0,lOelO ! nplot ! nlist alls

!prnsol,h !/pnum.node,1 ! /rep

!/pnum.node,0 ! /rep

*get, n_anzahl, node, 0, count ♦get, nmm, node , 0, num, min narb=nmm

*dim,ausgabe,array,n_anzahl,4

♦do,l,1,n_anzahl

♦get,x_pos,node,narb,loc,x

♦get,y_pos,node,narb,loc,y

♦get,h_fleld,node,narb,h,sum

ausgabe(l,1)=narb

ausgabe(i,2)=x_pos

ausgabe(i,3)=-y_pos+0.025

ausgabe(i,4)=h_fleld

narb=ndnext(narb)

♦enddo

♦create,ausgabe1

♦cfopen,FieldIntensity_0.5A,txt,, 1=1

♦vwrite,'Node No. ','r Coord.','z Coord.','Sum of H Field' (al2';'al2';'al2';'al2)

♦vwrite,ausgabe(l,1),ausgabe(l,2),ausgabe(l,3),ausgabe(l,4) (3x,F15.6';',3x,F12.6';',3x,F12.6';',3x,F15.6) ♦cfclos ♦ end

♦use,ausgabe1

Текст программы расчета формы поверхности магнитной жидкости в поле электромагнитной катушки с сердечником в пакете MATLAB (версия R2012b)

clear; clc; close all;

V=load('Fieldlntensity.O.9A.txt');

r_table=V(:,2); h_table=V(:,3); H_table=V(:,4); L_table=length(r_table); "¿Parameters

global rhol rho2 grav sigma T nk Ms RO thetaO;

global С G P ksiO HO d;

rhol=l.1;

rho2=0.913;

grav=980;

sigma=20;

T=300;

nk=(138.06488*6/pi)*0.02;

Ms=12;

R0=0.4;

theta0=80*pi/180; dr=l.2; d=dr/R0;

'/.Magnetic field in the point (0,0) H0=16989.867162/79.6; '/«Dimensionless parameters G=(rhol-rho2)*grav*R0"2/sigma; P=nk*T*R0/sigma; ksi0=Ms*H0/(nk*T); '¿initial conditions r0=l.e-12; h0=-0.2488 phi0=0; TT=100;

C=-2.80803

options=odeset('events', @forumevents, 'abstol', l.e-8, 'reltol', l.e-6); [l,y,g_events,val_events,i_events]=ode45(@odeforum,[0 TT] , [rO hO phiO], options, ... r_table,h_table,H_table,L_table); '/, cycle for constant С dphi=ones(201,1) ; C0=-2.8; dd=0.01; c=[CO-dd:dd/100:CO+dd]; for index=l:length(c) C=c(index);

options=odeset('events', @forumevents, 'abstol', l.e-8, 'reltol', l.e-6); [l,y,g_events,val_events,i_events]=ode45(@odeforum,[0 TT], [rO hO phiO], options, ... r_table,h_table,H_table,L_table); phi=180/pi*y(:,3) ; ww=phi(length(phi));

dphi(index)=abs(phi(length(phi))-thetaO*180/pi); clear 1; clear y; clear g_events; clear val_events; clear i_events; clear phi; clear hh;

end

[dphimin_val,dphimin_index]=min(dphi); C=c(dphimin_index)

options=odeset('events', Qforumevents, 'abstol', l.e-8, 'reltol', l.e-6); [l,y,g_events,val_events,i_events]=ode45(@odeforum,[0 TT] , [rO hO phiO], options, ... r_table,h_table,H_table,L_table); r=y(:,1); h=y(:,2);

phi=180/pi*y(:,3) ;

p=length(r); global rlO; rlO=y(p,l)

volumel=-sum(pi*diff(h),*(r(2:p)). ~2); volume2=-sum(pi*diff(h).*(r(l:(p-1))).~2);

figure('Units','centimeters','Position',[5,17,10,8],'Color','white') ;

plot(r,h, r,0, r,-d, 5,h);

axis([0, 5, -d, 0]);

'/.legend ( 'h(r) ') ;

hold on;

xlabel('r'); ylabel('h'); h_T=h(p); phi_T=phi(p)

dphi_T=abs(phi_T-thetaO*180/pi);

volumecr=(volumel+volume2)/2;

vol_ram=volumecr*R0~3

global hpol;

hpol=polyfit(r,h,12);

stuetze=min(r):0.001:max(r)+0.1;

f=polyval(hpol,stuetze);

plot(stuetze,f,'r')

axis(t0, 3, -d, 0]);

'/.------EMF-------

close

figure('Units','centimeters','Position',[2,2,12,6.1],'Color','white'); "/.Position: Startingpomt (from down left display corner: x0=4cm, y0=5cm "/»Position: width of the figure 12 cm (xl) , height 15 cm (yl) plot(r*R0,h*R0,'k-','LineWidth',2); hold on; plot(-r*R0,h*R0,'k-' ,'LineWidth',2); RGB=255;

area(r*R0,h*R0,-1.2,'FaceColor',tl39/RGB 137/RGB 137/RGB]); area(-r*R0,h*R0,-1.2,'FaceColor',[139/RGB 137/RGB 137/RGB]); plot(h*0,h*R0,'Color',tl39/RGB 137/RGB 137/RGB],'LineWidth',2); grid on; "/, dotted lines ;-)

xxx= t-2.5;2.5]; yyy=tR0+0.1;R0]; area(xxx,yyy,0,'FaceColor',tl 1 1]); xxx=-R0:0.01*R0:R0; yyy=xxx*0; for i=l:length(xxx)

yyy(i)=(0.05*sin(xxx(i)*12)+0.92)*R0;

end

"/.xxx= t0;R0] ; yyy= tRO;R0] ;

area(xxx,yyy,R0/4,'FaceColor',tl39/RGB 137/RGB 137/RGB]); xxx=R0:0.01*R0:2.5*R0; yyy=xxx*0; for i=l:length(xxx)

yyy (i) = (0. 05*sm(xxx(i) *12)+0 .92) *R0;

end

"/.xxx= tRO;2.5*R0]; yyy= tRO;R0];

area(xxx,yyy,R0/2,'FaceColor',t205/RGB 205/RGB 210/RGB]); xxx=-R0:-0.01*R0:-2.5*R0; yyy=xxx*0; for i=l:length(xxx)

yyy(i)=(0.05*sin(xxx(i)*12)+0.92)*R0;

end

7,xxx= [R0; 2 . 5*R0] ; yyy= tRO; R0] ;

area(xxx,yyy,R0/2,'FaceColor',t205/RGB 205/RGB 210/RGB]); °/,http: //www. tayloredmktg. com/rgb/ set(gca,'FontSize',14,'FontName', 'times-roman','FontAngle', 'italic'); axis(t-2.2, 2.2, -1.2, R0]); set(gca,'ytick',(-1.2:0.4:0)); title( ' I = 0.9 A, h_0 = -0.09952 cm'); "/.legend ('h(r) ' ) ; xlabel('r, cm'); ylabel('z, cm');

function rd=odeforum(t,y,r_table,h_table,H_table,L_table);

global C G P ksiO HO RO;

rc=y(1)*ones(L_table,1)*RO/100;

hc=y(2)*ones(L_table,1)+R0/100;

[dl,l]=min(abs(rc-r_table)+abs(hc-h_table));

Hc=H_table(i,1)/(H0*79.6);

rd=[cos(y(3)); -sm(y(3)); -sin(y(3))/y(1)+(C-G*y(2)+P*log(sinh(ksiO*Hc)/(Hc*ksiO)))] ;

function [value, isterminal,direction]=eventsfunction(t,y,r_table,h_table,H_table,L_table); global d;

value=[y(l), y(2)+d, y(l)-5, y(3)+2*pi, y(3)-2*pi]; isterminal=[1, 1, 1, 1, 1]; direction=[0, 0, 0, 0, 0];

close all;

V=load('FieldIntensity_0.9A . txt' ) ,

r_table=V(:,2); h_table=V(:,3); H_table=V(:,4); L_table=length(r_table); "¿Parameters

global rhol rho2 grav sigma T nk Ms R0 thetaO;

'¿Dimensionless parameters

global rlO rrO;

global C G P ksiO HO d;

rr0=rl0+0.1;

"¿initial conditions

ttc=rl0*ones(L_table,1)*R0/100;

hhc=-d*ones(L_table,1)*R0/100;

[ddd, m] =mm(abs (ttc-r_table)+abs (hhc-h_table) ) ; HHc=H_table(m , 1) / (HO+79 .6) ;

w20=cos(thetaO)-rlO/tan(thetaO)*(C+G*d+P*log(sinh(ksiO*HHc)/(HHc*ksi0))) wl0=0;

options=odeset('abstol', l.e-6, 'reltol', l.e-3);

[RR1,WW1]=ode23(Oodeomega, [10"(-8), rrO], [wlO], options, r_table,h_table, ... H_table,L_table);

[RR2,WW2]=ode23(Sodeomega, [rlO, 10~(-8)], [w20], options, r_table,h_table, ... H_table,L_table);

figure('Units','centimeters','Position',[2,2,12,8],'Color','white'); plot(RR2*R0,WW2,'k-','LineWidth',2); axis( [0, rl0*R0, -60, 60]); hold on; grid on;

plot(RRl*R0,WWl,'k-.','LineWidth',2);

set(gca,'FontSize',14,'FontName', 'times-roman','FontAngle', 'italic');

y,*************************************************^

function difw=odeomega(t,w,r_table,h_table,H_table,L_table);

global C G P ksiO HO R0;

hr=functionhpol(t);

difhr=functiondifhpol(t);

tc=abs(t)*ones(L_table,1)*R0/100,

hci=hr*ones(L_table,1)*R0/100,

[ddd,l]=min(abs(tc-r_table)+abs(hci-h_table));

Hci=H_table(i,1)/(HO+79.6);

hcil=(hr*R0/100+0.0005)*ones(L_table,1),

[ddd,ll]=min(abs(tc-r_table)+abs(hcil-h_table));

Hcil=H_table(ll,1)/(H0*79.6);

hci2=(hr*R0/100-0.0005)*ones(L_table,1);

[ddd,i2]=min(abs(tc-r_table)+abs(hci2-h_table));

Hci2=H_table(i2, 1) /(H0*79.6);

hil=h_table(il,1)*100/R0;

hi=h_table(l,1)*100/R0;

hi2=h_table(i2,1)+100/R0;

aa=-((hi2-hil)*Hci+(hi-hi2)*Hcil+(hil-hi)*Hci2)/((hi-hil)*(hi2-hil)*(hi2-hi)); bb= ((hi2~2-hil~2)*Hci+(hi~2-hi2~2)*Hcil+(hil~2-hi~2)*Hci2)/((hi-hil)* ... (hi2-hil)*(hi2-hi)); dHpodh=2*aa*hr+bb;

difw=(l+difhr~2)"(3/2)*w~2/t-G*t+P*t/Hci*dHpodh*(ksiO*Hci*coth(ksiO*Hci)-1); '/t **************************************************************

function hpol_f=functionhpol(t) global hpol rrO; if t>=-rrO && t<0

hpol_f=hpol(l)*t~12-hpol(2)*t~ll+hpol(3)*t"10-hpol(4)*t~9+hpol(5)*t~8-hpol(6)*t~7+ ..

hpol(7)*t~6-hpol(8)*t~5+hpol(9)*t~4-hpol(10)*t~3+hpol(11)*t~2-hpol(12)*t+hpol(13) elseif t>=0 && t<=rr0

hpol_f=hpol(l)*t~12+hpol(2)*t~ll+hpol(3)*t"10+hpol(4)*t~9+hpol(5)*t~8+hpol(6)*t~7+ .. hpol(7)*t~6+hpol(8)*t~5+hpol(9)*t~4+hpol(10)*t~3+hpol(ll)*t~2+hpol(12)*t+hpol(13)

else

disp('Value of t is out of range'); f_bool=false; end; end

%***********************************************************************

function difhpol_f=functiondifhpol(t) global hpol rrO; if t>=-rr0 && t<0

difhpol_f=12*hpol(1)*t~ll-ll*hpol(2)*t~10+10*hpol(3)*t~9-9*hpol(4)*t~8+8*hpol(5)*t~7-7*hpol(6)*t~6+6*hpol(7)*t~5-5*hpol(8)*t~4+4*hpol(9)*t~3-3*hpol(10)*t~2+ ... 2*hpol(11)*t-hpol(12); elseif t>=0 && t<=rr0

difhpol_f=12*hpol(1)*t"ll+ll*hpol(2)*t~10+10*hpol(3)*t~9+9*hpol(4)*t~8+8*hpol(5)*t~7+ 7*hpol(6)*t~6+6*hpol(7)*t~5+5*hpol(8)*t~4+4*hpol(9)*t~3+3*hpol(10)*t~2+ .. 2*hpol(ll)*t+hpol(12);

else

disp('Value of t is out of range');

f_bool=false;

end;

end