Итерационные методы решения сеточных уравнений с седловым оператором тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, доктор физико-математических наук Чижонков, Евгений Владимирович

• Чижонков, Евгений Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Чижонков, Евгений Владимирович

Оглавление

Введение

1 Общие сведения и вспомогательные результаты

1.1 Краткие сведения о методах релаксации

1.1.1 Общие понятия

1.1.2 Метод Якоби

1.1.3 Метод SOR

1.1.4 Метод SSOR

1.2 Задачи, приводящие к системе сеточных уравнений с седловым оператором

1.2.1 Обобщенная задача Стокса

1.2.2 Уравнения Ламе в теории упругости и слабо-сжимаемая жидкость

1.2.3 Смешанный подход при решении эллиптических уравнений

1.2.4 inf - sup условие

1.3 Вспомогательные утверждения

1.3.1 Две задачи на собственные значения

1.3.2 Базис специального вида из собственных векторов

1.4 Резюме

2 Модифицированные методы релаксации для систе-

мы уравнений типа Стокса

2.1 Модифицированный метод Якоби (MJOR)

2.1.1 Построение метода

2.1.2 Спектр оператора перехода

2.1.3 Необходимое и достаточное условие сходимости

2.1.4 Задача асимптотической оптимизации

2.2 Модифицированный метод SOR (MSOR)

2.2.1 Построение метода

2.2.2 Спектр оператора перехода

2.2.3 Необходимое и достаточное условие сходимости

2.2.4 Задача асимптотической оптимизации

2.3 Модифицированный метод SSOR (MSSOR)

2.3.1 Построение метода

2.3.2 Спектр оператора перехода

2.3.3 Необходимое и достаточное условие сходимости

2.3.4 Задача асимптотической оптимизации

2.4 Трехпараметрический метод типа SOR (3MSOR)

2.4.1 Построение метода

2.4.2 Спектр оператора перехода

2.4.3 Задача асимптотической оптимизации

2.4.4 Частный случай— {¡3,т) - метод

2.5 Резюме

3 Оценки погрешности для методов MJOR и MSOR

3.1 Оценки погрешности из общей теории итерационных

методов

3.1.1 Оптимальный одношаговый метод

3.1.2 Метод Ричардсона с чебьппевскими параметрами

3.1.3 Полуитерационный метод Чебышева

3.1.4 Стационарный трехслойный метод

3.1.5 Методы сопряженных направлений

3.2 Оценка погрешности для метода MJOR

3.2.1 Преобразование формул

3.2.2 Начальное приближение

3.2.3 Оценка погрешности

3.3 Оценка погрешности для метода MSOR с постоянными параметрами

3.3.1 Преобразование формул

3.3.2 Начальное приближение

3.3.3 Полином ошибки

3.3.4 Оценка погрешности

3.4 Оценки погрешности для метода MSOR с переменными параметрами

3.4.1 Преобразование формул

3.4.2 Оценка погрешности для р типа метода Ричардсона

3.4.3 Наилучшая оценка погрешности для р

3.4.4 Наилучшая оценка погрешности для и

3.5 Резюме

4 Методы типа MSOR для системы уравнений с параметром

4.1 Явный метод MSOR (MSORe)

4.1.1 Построение метода

4.1.2 Спектр оператора перехода

4.1.3 Необходимое и достаточное условие сходимости

4.1.4 Задача асимптотической оптимизации

4.2 Неявный метод MSOR (iMSORe)

4.2.1 Построение метода

4.2.2 Спектр оператора перехода

4.2.3 Необходимое и достаточное условие сходимости

4.2.4 Задача асимптотической оптимизации

4.3 Резюме

5 Оценки погрешности для метода MSORe

5.1 Оценка погрешности для метода MSORe с постоянными параметрами

5.1.1 Преобразование формул

5.1.2 Начальное приближение

5.1.3 Полином ошибки

5.1.4 Оценка погрешности

5.2 Оценки погрешности для метода MSORe с переменными параметрами

5.2.1 Преобразование формул

5.2.2 Оценка погрешности для р типа метода Ричардсона

5.2.3 Наилучшая оценка погрешности для р

5.2.4 Наилучшая оценка погрешности для и

5.3 Резюме

6 Оптимизация в методах симметризации с предобу-словливанием

6.1 Оптимизация для системы уравнений типа Стокса

6.1.1 Спектр равносильной задачи

6.1.2 Минимизация числа обусловленности

6.1.3 Наилучшая оценка погрешности

6.2 Оптимизация для системы уравнений с параметром

6.2.1 Спектр равносильной задачи

6.2.2 Минимизация числа обусловленности

6.2.3 Наилучшая оценка погрешности

6.3 Оптимизация для системы, равносильной системе типа Стокса

6.3.1 Спектр равносильной задачи

6.3.2 Минимизация числа обусловленности

6.3.3 Наилучшая оценка погрешности

6.4 Резюме

I Оценки нижней границы спектра для оператора давления, ассоциированного с задачей Стокса

1.1 Область прямоугольной формы

1.1.1 Оценка сверху

1.1.2 Оценка снизу

1.1.3 Основной результат

1.2 Область типа многоугольника

1.2.1 Сингулярность собственных функций

1.2.2 Основной результат

1.3 Область кольцевой формы

1.3.1 Асимптотический анализ

1.4 Область типа кольцевой трубы

1.4.1 Асимптотический анализ

. 1.5 Резюме

II Численное исследование нижней границы спектра для оператора давления в областях прямоугольной

формы

II. 1 MAC - схемы для первой краевой задачи Стокса

11.1.1 Вычислительные аспекты

11.1.2 Схема 1

И.1.3 Схема 2

11.1.4 Схема 3

11.1.5 Результаты расчетов

11.2 МКЭ - схемы для первой краевой задачи Стокса

11.2.2 Схема 5

11.2.3 Результаты расчетов

11.3 Интегральное уравнение

11.3.1 Вывод уравнения

11.3.2 Построение формулы Грина

11.3.3 Метод решения и результаты расчетов

11.4 Резюме

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Итерационные методы решения сеточных уравнений с седловым оператором»

Введение

Применение различных приближенных методов для отыскания реи о ° -I

шении уравнении математической физики, как правило, приводит к необходимости решать системы линейных алгебраических уравнений, обладающих следующей спецификой: большая размерность вектора неизвестных, плохая обусловленность и ленточная структура матрицы системы. Отмеченные свойства порождают приоритетное развитие итерационных методов решения таких систем, называемых сеточными. Библиография работ по этой тематике не поддается учету, однако достаточно полное представление о современном состоянии теории итерационных методов решения сеточных уравнений можно получить из следующих изданий: Young D.M. Iterative Solution of Lager Linear Systems (1971) [100], Map-чук Г.И. Методы вычислительной математики (1977) [32], Самарский A.A., Николаев E.G. Методы решения сеточных уравнений (1978) [44], Hackbusch W. Multi - Grid Methods and Applications. (1985) [89], Дьяконов Е.Г. Минимизация вычислительной работы. Асимптотически оптимальные алгоритмы для эллиптических задач (1989) [12].

Решение сеточных уравнений с седловым оператором привлекло внимание исследователей в области численного анализа отно-

сительно недавно (с начала ТО-х годов) и поэтому нашло отражение только в последней из указанных книг. Такие системы в приложениях возникают достаточно часто, например, при численном решении линейных стационарных и нестационарных задач в гидродинамике и теории упругости, а также в смешанном подходе при решении эллиптических уравнений второго порядка и др. При этом сам термин "седловой оператор", или "оператор с седло-вой точкой", видимо, был заимствован из теории математического программирования [33].

Следует отметить, что большинство существующих итерационных методов решения предназначено для систем со знакоопреде-ленными симметричными матрицами. Специфика же симметричных матриц седловых систем состоит в незнакоопределенности, т.е. наличия собственных значений разных знаков. Поэтому традиционные подходы для решения систем с такими матрицами, вообще говоря, неприменимы.

Отметим в условно - хронологическом порядке авторов, внесших заметный вклад в построение и исследование алгоритмов решения седловых задач : Arrow К., Hurwicz L., Uzawa H., Crouzeix M., Temam R., Girault V., Raviart P.A., Langer U., Queck W., Bank R.E., Welfert B.D., Yserentant H., Bramble J.H., Pasciak J.E., Elman H., Golub G., Silvester D.J., Wathen A. за рубежом, Кобельков Г.M., Дьяконов Е.Г., Бахвалов H.С., Пальцев Б.В., Ольшанский М.А. в нашей стране. Однако, несмотря на представительность библиографии, следует обратить внимание на отсутствие до настоящего времени в литературе сколь - нибудь систематического изложения теории итерационных методов решения седловых систем, содержащей как анализ сходимости, так и сравнение вычислительной эффективности различных алгоритмов. Кроме того, отметим чрезвычайную редкость, не только решений, но и самих постановок

задач асимптотической оптимизации для этого случая. Все это делает представленную работу весьма актуальной.

Приведем краткое изложение основных идей построения алгоритмов в этой области, для единообразия будем использовать алгебраическую терминологию. Рассмотрим вещественную систему линейных алгебраических уравнений Ьгх = Р с параметром £ > О следующего вида

где А = Ат > О, С = Ст >0 — квадратные матрицы размеров 7Уи х и ТУр х Мр, а В — прямоугольная, в общем случае, матрица размера ]Уи х . Предполагается невырожденность матрицы Ь£ при любом г > 0, что делает ее седловым оператором [12]. Системой типа Стокса будем называеть наиболее важный частный случай задачи (0.1) — = Р (е = 0). Ограничимся при перечислении библиографии только им, как наиболее сложным и принципиальным (т.к. из е > 0 немедленно следует сЫ;(£е) ф 0).

С точки зрения приложений, самым распространенным подходом к решению задачи — Р является построение алгоритмов типа Удзавы (Цгад^а). В самой простой форме [66] его можно записать следующим образом:

Здесь ть — вещественный переменный итерационный параметр.

Для случая постоянного параметра г*. = г 11.Тетат [46] получил достаточное условие сходимости метода (0.2) в дифференциальной форме:

(0.1)

(0.2)

0 < т < 2.

Наличие здесь абсолютной постоянной, равной двум, связано с тем, что в дифференциальном случае спектр оператора ВТА~1В принадлежит отрезку [7,1],7 > 0.

Этот результат улучшил M.Crouzeix [80], получив также в дифференциальном случае достаточное условие сходимости следующего вида:

0 < Щтк) < sup(г*.) < 2 . * к

В этой же работе, видимо впервые, было отмечено, что алгоритм Удзавы (0.2) эквивалентен методу простой итерации для системы уравнений с симетричной положительно определенной матрицей А0 = ВТА~1В:

Р~-V- + A,Vk = BTA~1f + g = f (0.3)

п

Такая форма записи позволяет использовать результаты общей теории итерационных методов для знакоопределенных матриц: выбор оптимальных последовательностей параметров и соответствующие оценки скорости сходимости. В частности, в [80] приведены формулы для параметров и оценки погрешностей для оптимального одношагового метода, циклического ¿-шагового метода и полуитерационного метода Чебышева.

Далее V.Girault и P.A.Raviart в книге [87] доказали сходимость методов наискорейшего спуска и сопряженных градиентов для решения системы

Aöp = f (0.4)

в абстрактном банаховом пространстве, а U.Langer и W.Queck [92] получили оценки их скоростей сходимости для сеточных систем, возникающих при аппроксимации задачи Стокса в гидродинамике.

Дальнейшее развитие этого подхода заключается в построении различными способами для конкретных сеточных систем операто-

ров предобусловливания С таких, что отношение констант эквивалентности Г/7 в матричном неравенстве 7 С < А0 < ГС минимально. Следует отметить, что здесь в полной мере используется специфика конкретных задач, и, поэтому, эта тематика — неисчерпаема. Приведем несколько примеров. Для задачи Стокса с параметром

—Ди + gradp 4- а и = Г в О,

а1уи = 0 в П (0.5)

и = 0 на дО

возникающей при неявной дискретизации по времени нестационарной первой краевой задачи Стокса, ХСаЬох^ и Л.Р.СЬаЬаг^ [73] предложили, а М.А.Ольшанский [38] обосновал использование оператора предобусловливания с постоянными эквивалентности 7 и Г, не зависящими как от шагов сетки, так и от параметра а. Для различных дискретизаций классической задачи Стокса (а — 0) Н.С.Е1тап и С.Н.СоЫЬ [85] проанализировали диагональные и трехдиагональные операторы предобусловливания. Для классической задачи Стокса в области типа вытянутого прямоугольника М.А.Ольшанский [94] предложил оператор предобусловливания с постоянными, не зависящими как от шагов сетки, так и от отношения сторон прямоугольника. Различные варианты операторов предобусловливания многосеточного типа в сочетании с вариационными методами решения возникающих систем рассматривали Я-Уег^Ь [97] и Н.С.Е1тап [84].

Несмотря на успешное практическое использование, в теории алгоритмов типа Удзавы имеются, как минимум, две серьезные проблемы. Первая — связана с обобщением этого подхода на близкие, возможно нелинейные, задачи. Типичным примером здесь является первая краевая задача для уравнений Навье - Стокса при

малых числах Рейнольдса. Даже при решении линеаризованной задачи оператор перехода является несимметризуемым [86], и вся имевшаяся ранее теория выбора итерационных параметров и получения оценок скорости сходимости становится неприменимой. Вторая проблема связана с необходимостью обращения на каждой итерации оператора А. Хотя здесь трудность носит другой характер (трудоемкость этой операции может быть сравнима с трудоемкостью решения исходной задачи в целом, например, когда матрица А возникает при дискретизации бигармонического оператора), попытка ее преодоления за счет обращения спектрально

- эквивалентного оператора также приводит к несимметризуемо-сти оператора перехода в методах типа Удзавы. Наиболее продвинутые результаты в этих направлениях получили J.H.Bramble, J.E.Pasciak и A.T.Vassilev [70], [71], работы которых служат наилучшей иллюстрацией к сказанному. Приведенные в них оценки скорости сходимости получены в несколько искусственной метрике и весьма далеки от предельных.

Для преодоления первой из указанных проблем еще в книге К.Arrow, L.Hurwicz, H.Uzawa [66] был предложен алгоритм Эрроу

- Гурвица

А- + Аик + Врк =/

(0.6)

+ Вт ик+1 = д

т

содержащий два итерационных параметра и являющийся обобщением алгоритма Удзавы на случай т ф 1. Оператор перехода в этом методе является несимметризуемым, зависимость его собственных значений от итерационных параметров — нелинейной. Следствием этого является чрезвычайно малое количество работ по исследованию этого метода, при этом использование в них энер-

т

рк+1 _ рк а-:—

гетического подхода приводит к сильно завышенным оценкам.

Один из первых результатов получил M.Crouzeix [80], доказав в дифференциальном случае достаточное условие сходимости следующего вида:

0 < т < 1, 0 < т/а < 2.

Далее R.Temam [46] получил другое достаточное условие сходимости метода (0.6) в дифференциальной форме:

0 < т < 2а/(а + 1), Va > 0.

Наконец, W.Queck [95] попытался минимизировать оценку сверху для скорости сходимости в пред обусловленном методе Эрроу -Гурвица. В наших обозначениях оптимальные параметры выглядят так: Topt = 1/2, aopt = 1. Если обозначить погрешность решения на А;-ой итерации через ук = (vk,rk) = (ик — и,рк — р), где (и,р) — точное решение задачи Lqz = F, и определить норму погрешности как \\у\\2 = (г>,г>)/4 + (г,г), то метод (0.6) будет сходиться с оценкой погрешности

uuif^tfh

если спектр оператора ВТА~1В принадлежит отрезку [7,1],7 > 0.

Важным направлением исследований является также построение операторов предобусловливания для матрицы исходной системы L0. Диагональное и блочное предобусловливание анализировали в своих работах A.Wathen и D.Silvester [98], [99]. Многосеточный метод с диагональным предобуславливанием рассматривал В.В.Шайдуров [62]. В этом же ряду следует отметить работу J.H.Bramble, J.E.Pasciak [69], в которой для предобусловленной системы уравнений, равносильной исходной, удалось ввести искусственную метрику такую, что полученная матрица стала в ней симметричной и знакоопределенной.

Предпринимались попытки построения итерационных методов с модельными седловыми операторами. Видимо впервые, оценки скорости для их сходимости получены Е.Г.Дьяконовым [13]. Аналогичные исследования провели позднее R.E. Bank, B.D.Welfert, H.Yserentant Н. [68]. Сочетание модельных седловых операторов с итерациями в подпространстве и методом фиктивных областей проанализировано в работах Н.С.Бахвалова [6], [67].

По - видимому, первым удачным алгоритмом, допускающим обобщения на близкие, даже нелинейные, задачи был предложенный Г.М.Кобельковым (¡3, т) - метод, использующий блочно - треугольную факторизацию оператора исходной задачи [22], [23]. К сожалению, даже в линейном случае условия сходимости этого алгоритма носили неконструктивный характер, хотя эффективность этого метода при решении сложных с вычислительной точки зрения задач была впечатляющей [8], [18]. Позднее Е.Г.Дьяконов получил для такого рода методов оценки погрешности [12], но численные эксперименты в этом случае не проводились.

Самостоятельное значение для решения задач с седловыми операторами имеет идея сочетания симметризации и пред обусловливания, предложенная Е.Г.Дьяконовым [13]. Ценой увеличения спектрального числа обусловлености, уже не зависящего от сеточных параметров, здесь получается система с симметричной положительно определенной матрицей, для решения которой применяются хорошо известные алгоритмы. Оптимизация одного обобщения такого алгоритма была проведена П.П.Аристовым [1]. Позднее Е.Г.Дьяконовым [14] было предложено обобщение подхода на нелинейные задачи.

Существуют также методы, основанные на расщеплении граничных условий для исходных дифференциальных задач (в первую очередь, для задачи Стокса). Алгоритмы получения краевого усло-

вия для давления весьма эффективны, но сильно используют специфику задачи. Наиболее продвинутые результаты в этом направлении получил Б.В.Пальцев [39] - [42], построив в декартовых и сферических координатах в дифференциальном и конечномерном случаях методы полного и неполного расщепления граничных условий. Граничные значения для гармонической составляющей скорости предложили находить В.Д.Валединский и Е.В.Чижонков [96]. Сходимость итерационного метода в подпространстве гармонических функций для давления в дифференциальном случае обосновал А.Кожевников [91].

Приведем теперь краткое содержание диссертационной работы, состоящей из шести глав и двух приложений.

В первой главе, состоящей из трех параграфов, приводятся общие сведения из теории методов релаксации, формулируются дифференциальные задачи, при решении которых возникают системы вида (0.1) и доказываются вспомогательные результаты, играющие важную роль в дальнейшем анализе итерационных методов.

Параграф 1.1 содержит терминологию и формулы релаксационных алгоритмов, результаты по асимптотической оптимизации и сравнению эффективности методов Якоби, SOR и SSOR для случая блочных (2 х 2) линейных алгебраических систем с симметричной положительно определенной матрицей. Содержательной частью этого параграфа является перечень возможных обобщений методов, не используемых в знакоопределенном случае.

Параграф 1.2 посвящен формулировкам дифференциальных задач, дискретизация которых приводит к системам вида (0.1), и обсуждению inf — sup условия. В частности, формулируются стационарная и нестационарная первые краевые задачи Стокса для несжимаемой и слабосжимаемой жидкости в гидродинамике, пер-

вал краевая задача для стационарных уравнений Ламе в теории упругости, смешанная формулировка для эллиптического уравнения второго порядка. Анализируется щ£ — эир условие с точки зрения разрешимости и устойчивости возникающих алгебраических задач.

В параграфе 1.3 доказываются два вспомогательных результата, связанных с обобщенными задачами на собственные значения. Здесь вводится специальным образом спектральный параметр где £ € [7, Г] (или [7 4- е, Г + в]). В дальнейшем собственные значения всех возникающих матриц будут представлены в виде, зависящем от этого параметра. Оценки спектральных радиусов операторов перехода и нормы разрешающих операторов также будут сформулированы в терминах границ этого отрезка.

Отметим, что первая глава носит вспомогательный характер и обозначает источники идей, проблем и методов подробно анализируемых в диссертации.

Вторая глава, состоящая из четырех параграфов, занимает одно из центральных положений в диссертации. В ней в рамках идеи модифицированных релаксационных методов для системы типа Стокса построены четыре алгоритма, для которых рассмотрены необходимые и достаточные условия сходимости, сформулированы и решены задачи асимптотической оптимизации.

В параграфе 2.1 строится и анализируется модифицированный экстраполированный метод Якоби (метод МЮ11) для алгебраической системы типа Стокса. Принципиальным отличием от работы [99] здесь является использование двух итерационных параметров. В такой постановке вопросы о необходимых и достаточных условиях сходимости и об асимптотической оптимизации алгоритма ранее не рассматривались.

В параграфе 2.2 строится и анализируется модифицированный метод SOR (метод MSOR) для алгебраической системы типа Сток-са. Этот алгоритм является обобщением классического метода Эр-роу - ГУрвица. Полученное для него необходимое и достаточное условие сходимости усиливает известные ранее достаточные условия [80], [46]. Задача асимптотической оптимизации решена впервые. Напомним, что в работе [95] минимизировалась оценка сверху для погрешности, что приводит к заведомо худшим результатам в несимметризуемом случае.

В параграфе 2.3 строится и анализируется модифицированный метод SSOR (метод MSSOR) для алгебраической системы типа Стокса. Алгоритм такого типа для задач с седловыми операторами ранее в литературе автору не встречался. Видимо, вопросы о необходимых и достаточных условиях сходимости и об асимптотической оптимизации алгоритма рассматриваются здесь впервые.

В параграфе 2.4 строится и анализируется трехпараметриче-ский метод типа MSOR для системы уравнений, равносильной системе Стокса. В этом методе обобщена идея работ Г.М.Кобелькова (см. [20] и цитированную там литературу) о введении регуляриза-тора специального вида для улучшения спектральных свойств исходной задачи. Принципиальным отличием здесь является использование трех итерационных параметров. Решение задачи асимптотической оптимизации показывает, что в линейном случае введение регуляризатора не приводит к улучшению сходимости. Далее рассматривается важный частный случай анализируемого алгоритма — (/3, г) - метод [20], для которого получено необходимое и достаточное условие сходимости. Напомним, что ранее все имеющиеся для него условия носили неконструктивный характер, а при расчетах использовалось полуэмпирическое соотношение для параметров [8].

Перечислим основные результаты, полученные во второй главе: для алгебраической системы типа Стокса — Р построены модифицированные (с двумя и тремя итерационными параметрами) релаксационные методы МЛОК,, МБСЖ, МБвСЖ и ЗМБОЫ; для каждого метода получены единообразно параметризованные (через спектр матрицы С~1 А0) представления собственных значений оператора перехода; сформулированы и аналитически решены задачи асимптотической оптимизации методов; получены необходимые и достаточные условия сходимости методов.

Из результатов второй главы следует: метод МБОЯ среди рассмотренных алгоритмов имеет наивысшую асимптотическую скорость сходимости при одинаковых вычислительных затратах, и поэтому заслуживает более тщательного анализа; идея трехпараме-трического метода в данном случае является невостребованной, но может оказаться полезной при решении близких, возможно более сложных, задач.

Третья глава, состоящая из четырех параграфов, посвящена оценкам погрешности методов МЛСЖ и МБОЫ при наилучшем выборе итерационных параметров. Традиционными проблемами в теории методов релаксации являются неуниверсальность выбора оптимальных параметров и трудности в получении оценок скорости сходимости в каких - либо метриках [44]. В данном случае удается получить их решения. Отметим, что оценка погрешности оптимизированного метода МЛОИ, представляет интерес только в плане сравнения с оценками для МБОИ,, если учесть результаты асимптотической оптимизации.

Параграф 3.1 содержит формулы и оценки погрешностей из общей теории итерационных методов решения линейных систем с симметричными положительно определенными матрицами. Рас-

сматриваются оптимальный одношаговый метод, метод Ричардсона с чебышевскими параметрами, трехслойный метод с постоянными параметрами, полуитерационный метод Чебышева, методы сопряженных направлений (градиентов, невязок, поправок, погрешностей). Приведенные данные носят вспомогательный характер и используются в следующих разделах.

В параграфе 3.2 на примере метода МЮГ1 демонстрируется способ получения искомых оценок погрешности при асимптотически оптимальных параметрах. Важными моментами здесь являются вывод независимых трехчленных рекуррентных соотношений для каждой из компонент погрешности и специальный выбор начального приближения.

В параграфе 3.3 получена оценка погрешности метода МЭСЖ с асимптотически оптимальными параметрами. Важной спецификой оценки является наличие дополнительного, линейного относительно числа итераций, множителя. Это связано с тем, что асимптотически оптимальные параметры порождают в нормальной жорда-новой форме оператора перехода клетки второго порядка. Заметим, что широко используемая техника энергетических операторных оценок не приводит к подобным результатам.

В параграфе 3.4 анализируются оценки погрешности метода МБОЛ с переменными итерационными параметрами. Особенностью данного параграфа является выбор последовательности итерационных параметров, приводящий либо к наилучшей оценке погрешности для р, либо к наилучшей оценке погрешности для и. Из рассмотренных конструкций следует, что за счет удвоения объема вычислительной работы можно получить алгоритм, приводящий одновременно к обеим наилучшим оценкам погрешности. Следует отметить, что в литературе ранее не встречалось исследование сходимости методов с переменными итерационными параметрами

в несимметризуемом случае, приводящее к оценкам такого рода. Кроме этого, в параграфе приводится несколько лемм, в которых анализируется возможность применения и вычислительная устойчивость предложенных рекуррентных соотношений для итерационных параметров.

Перечислим основные результаты, полученные в третьей главе: для методов MJOR и MSOR с постоянными оптимальными параметрами получены асимптотически неулучшаемые оценки погрешности; для метода MSOR с переменными итерационными параметрами построены их последовательности, приводящие к наилучшим оценкам погрешности либо для р, либо для w, причем их выбор можно осуществлять как на основе имеющейся априорной информации, так и из вариационных принципов.

Четвертая глава, состоящая из двух параграфов, посвящена построению и анализу алгоритмов, обобщающих метод MSOR на случай системы уравнений Lez = F с параметром г > 0. Исследование таких задач имеет важное значение помимо обычного прикладного аспекта. Дело в том, что г - возмущение исходной системы часто применяется для повышения устойчивости (стабилизации) систем типа Стокса [72], поэтому знание, как при этом меняются спектральные характеристики, является весьма актуальным.

В параграфе 4.1 строится и анализируется модифицированный метод SOR (метод MSORe) для системы уравнений Lez = F с параметром е > 0. Для него впервые получено необходимое и достаточное условие сходимости, сформулирована и решена задача асимптотической оптимизации.

В параграфе 4.2 строится и анализируется неявный модифицированный метод SOR (метод iMSORe) для системы уравнений Lez = F с параметром е > 0. Метод такого типа автору ранее был

неизвестен. Для него также получено необходимое и достаточное условие сходимости, сформулирована и решена задача асимптотической оптимизации. Анализ этого метода свидетельствует о том, что возможное "повышение неявности" алгоритма здесь не приводит к увеличению скорости сходимости.

Перечислим основные результаты, полученные в четвертой главе: для системы уравнений с параметром построены модифицированные (явный и неявный) релаксационные методы типа МБОЫ; для каждого метода получены единообразно параметризованные (через спектр матрицы С~1А$) представления собственных значений оператора перехода; сформулированы и аналитически решены задачи асимптотической оптимизации методов; получены необходимые и достаточные условия сходимости методов.

Из результатов четвертой главы следует: оба алгоритма имеют одинаковую асимптотическую скорость сходимости при одинаковых вычислительных затратах, поэтому, в силу простоты конструкции и возможности обобщения, метод МБСЖе заслуживает более тщательного анализа. В частности, представляют интерес оценки погрешности, аналогичные полученным в третьей главе.

Пятая глава, состоящая из двух параграфов, посвящена оценкам погрешности метода М8011е при наилучшем выборе итерационных параметров.

В параграфе 5.1 получена оценка погрешности метода МБ СЖе с асимптотически оптимальными параметрами. Полученный здесь результат обобщает оценку из параграфа 3.3 и является новым.

В параграфе 5.2 анализируются оценки погрешности метода МБСЖе с переменными итерационными параметрами. Полученные результаты обобщают аналогичные из параграфа 3.4 и являются новыми.

Перечислим основные результаты, полученные в пятой главе: для метода МЭСЖе с постоянными оптимальными параметрами получена асимптотически неулучшаемая оценка погрешности; для метода МБСЖе с переменными итерационными параметрами построены их последовательности, приводящие к наилучшим оценкам погрешности либо для р, либо для и, причем их выбор можно осуществлять как на основе имеющейся априорной информации, так и из вариационных принципов.

Шестая глава, состоящая из трех параграфов, посвящена анализу перспектив построения алгоритмов, основанных на сочетании идей симметризации и пред обусловливания. Для задач, равносильных исходным, рассмотрены параметризованные представления собственных значений оператора равносильного уравнения, сформулированы и решены задачи оптимизации спектрального числа обусловленности.

В параграфе 6.1 анализируется симметризация и предобусло-вливание системы типа Стокса = ^ с помощью оператора П с параметром а > 0, здесь и далее имеющего вид

Изучается зависимость собственных значений от параметра а оператора Н равносильной задачи

Ранее в такой постановке задача не рассматривалась.

Поскольку оператор Я, является симметризуемым и положительно определенным по построению, то важным является вопрос о минимизации его спектрального числа обусловленности. Эта задача впервые сформулирована и аналитически решена.

Далее можно применить общую теорию итерационных методов для систем с симметризуемыми положительно определенными матрицами. В частности, явные двух и трехслойные схемы с оптимальными переменными параметрами гарантируют скорость сходимости с приводимыми в параграфе оценками.

В параграфе 6.2 анализируется симметризация и предобусло-вливание системы уравнений с параметром Ьег — .Р с помощью оператора И с параметром а > 0.

Изучается зависимость собственных значений от параметра а оператора Е равносильной задачи

Ранее в такой постановке задача не рассматривалась.

Поскольку оператор Я является симметризуемым и положительно определенным по построению, то важным является вопрос о минимизации его спектрального числа обусловленности. Эта задача впервые сформулирована и аналитически решена.

Далее можно применить общую теорию итерационных методов для систем с симметризуемыми положительно определенными матрицами. В частности, явные двух и трехслойные схемы с оптимальными переменными параметрами гарантируют скорость сходимости с приводимыми в параграфе оценками. Результаты настоящего параграфа обобщают материалы предыдущего.

В параграфе 6.3 анализируется симметризация и пред обусловливание задачи Ь^г = Рс параметром (3, равносильной системе типа Стокса,

А + /Щ, В

Вт

f + ¡ЗВС~1Втд 9

с помощью оператора Б с параметром а > 0.

Изучается зависимость собственных значений от параметров а, (3 оператора Я равносильной задачи

Яг ЕЕ = в-хив-хр

Поскольку оператор Я является симметризуемым и положительно определенным по построению, то важным является вопрос о минимизации его спектрального числа обусловленности. Здесь использование равносильной задачи приводит к его уменьшению, т.е. к положительному результату.

Далее можно применить общую теорию итерационных методов для систем с симметризуемыми положительно определенными матрицами. В частности, явные двух и трехслойные схемы с оптимальными переменными параметрами гарантируют скорость сходимости с приводимыми в параграфе оценками. Результаты настоящего параграфа обобщают материалы работы [1].

Перечислим основные результаты, полученные в шестой главе: для построения методов, основанных на сочетании идей симметризации с предобуславливанием блочно - диагональным оператором, проведена оптимизация спектра матрицы полученной эквивалентной задачи как для системы типа Стокса — .Р, так и для системы уравнений с параметром е > 0; получены априорные оценки скорости сходимости для такого рода алгоритмов; показана возможность ускорения сходимости при данном подходе за счет замены исходной системы типа Стокса на ей равносильную.

В диссертации имеется приложение, состоящее из двух частей. Первая часть приложения состоит из четырех параграфов и содержит оценки нижней границы спектра оператора давления, ассоциированного с первой краевой задачей Стокса (0.5) при а = 0:

А0р = сНу(Д)^гас1р = а1у(Д)^

где выражение (Д)0 ^ для §611 1 обозначает вектор - функцию v £ II такую, что Ду = g. Обозначения для пространств носят стандартный характер:

Здесь 5 — 2,3 — размерность задачи, ^ С . Оператор А0 : Р -> Р, как правило, называют дополнением по Шуру для оператора задачи, или оператором давления, ассоциированного с первой краевой задачей Стокса.

Ниже нас будут интересовать границы его собственных значений для областей различной формы, а именно: оценка их нижней границы, поскольку Лтах(А0) = 1. Эта тематика тесно примыкает к исследованиям спектра Коссера [34], [91], первые оценки для нижней границы которого получены для шара и шарового слоя в [78], [79]. Этот интерес обусловлен асимптотической связью ^тт(^о) ~ р 5 определяющей эффективность всех рассмотренных в диссертации методов. Все приведенные результаты являются новыми.

В параграфе 1.1 получена асимптотика величины Лтт(^-о) для области вытянутой прямоугольной формы. Этот результат получен совместно с М.А.Ольшанским.

В параграфе 1.2 получена оценка для плоских областей типа криволинейных многоугольников, возможно содержащих разрезы, но не имеющих самопересекающихся (т.е. с точками возврата) границ.

В параграфе 1.3 выводится формула Ат1П(А0) для области кольцевой формы

П = {(г,ср)< г < Л2, 0 < (р < 2тт} ,

^ ^ 1

в зависимости от величины отношения радиусов х = — > I .

Результат обобщает известный для круга [80].

В параграфе 1.4 выводится формула Атщ(А0) для осесимме-тричной области цилиндрической формы

П = {(>,г)|0 < г < Ь, 0 < г < Я}

с краевыми условиями

дщ

ог

щ ~ щ = 0, ди2

Щ = "ТГ" = 0,

г г

о я

дг

г = 0,Ь

7ГД

ь

в зависимости от величины £

Сформулируем основные результаты первой части приложения: для типичных вычислительных областей: прямоугольник, многоугольник, концентрическое кольцо и цилиндр получены формулы, оценки и асимптотики минимального собственного значения оператора давления, ассоциированного с краевой задачей Стокса. Из полученных результатов следует, что в тонких, длинных или содержащих малые углы областях возможно сильное замедление скорости сходимости рассмотренных в диссертации методов.

Вторая часть приложения состоит из трех параграфов и содержит результаты численных экспериментов по определению минимального собственного значения 7 = Атщ(Ло) дискретного аналога оператора давления Ао в областях прямоугольной формы. К сожалению, работы, содержащие систематические расчеты на эту тему, автору не встречались. В работе [84] приведены два сопоставимых результата (для схем типа 3 и 4), но вычисленные для грубых квадратных сеток /г 1 = /г2 ~ 1/32 .

В параграфе II. 1 приведены три дискретных аналога первой краевой задачи Стокса, построенные методом конечных разностей с постоянными шагами Н2 . Для каждого из них определен оператор Ад = ВТА~1В и методом итерирования подпространства вычислено его минимальное собственное значение. В таблице 1 приведена зависимость 7 = 7(/г) в квадратной области при }ц = /г2 = Н > 1/256 . Таблица 2 содержит значения 7 , полученные для прямоугольной области Ь х 1 при /гх — /г2 = 1/64 , и иллюстрирует тот факт, что с ростом отношения сторон Ь результаты расчетов для различных схем приближаются друг к другу. Таблица 3 содержит значения 7 также для прямоугольных областей Ь х 1, но сетка при этом подобна самой области (1ът-т = 1/256).

В параграфе II.2 методом конечных элементов построены два дискретных аналога первой краевой задачи Стокса. Для каждого из них определен оператор = ВТА~1В и методом итерирования подпространства вычислено его минимальное собственное значение. В таблице 5 приведена зависимость 7 = 7(Н) в квадратной области при = /г.2 = Ь > 1/256 . Таблица 6 содержит значения 7 , полученные для прямоугольной области Ь х 1 при Ъ\ = ¡12 — 1/64 . Таблица 7 содержит значения 7 также для прямоугольных областей Ь х 1, но сетка при этом подобна самой области (Нт[п = 1/256).

Анализ скорости сходимости к дифференциальному пределу для Атщ(Ао) показывает, что отвечающая ему собственная функция имеет слабые (интегрируемые) особенности, которые убывают с ростом Ь.

В параграфе II.3 методом граничных интегральных уравнений приближенно определялось минимальное собственное значение оператора А0 в области квадратной формы.

Сначала запишем эквивалентную спектральную задачу: найти

наименьшее Л, при котором интегральное уравнение

дО, "

имеет ненулевое решение. Здесь П — единичный квадрат, С(х,у) — функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа.

Далее методом квадратур получим линейную алгебраическую задачу на собственные значения, которая решается с помощью (^11-алгоритма со сдвигом. Результаты выполненных численных расчетов приведены в таблице 8.

Сформулируем основные результаты второй части приложения: в области прямоугольной формы для первой краевой задачи Сток-са приведены формулы 5 схем, построенных методами конечных разностей и конечных элементов; для каждой из них при различных значениях сеточных параметров вычислено минимальное собственное значение оператора = ВТА~1В; методом граничных интегральных уравнений для области квадратной формы на основе специально полученного уравнения были получены приближенные значения эквивалентной Атт(^-о) величины. Результаты численных экспериментов находятся в хорошем соответствии друг с другом, с расчетами, проведенными другими авторами и другими методами, и наглядно иллюстрируют теоретические утверждения из первой части приложения.

Основные результаты диссертации составляют:

1. Способ построения модифицированных релаксационных методов для систем сеточных уравнений с седловым оператором.

2. Способ параметрического представления собственных значений операторов перехода в построенных релаксационных методах.

3. Способ получения оценок погрешности построенных релаксационных методов.

4. Необходимые и достаточные условия сходимости, решения задач асимптотической оптимизации методов.

5. Оценки погрешности методов для постоянных и переменных оптимальных наборов итерационных параметров.

6. Способ параметрического представления собственных значений операторов равносильных задач, возникающих при построении методов, основанных на сочетании идей симметризации и предо-бусловливания блочно - диагональным оператором.

7. Оптимизация спектральных чисел обусловленности операторов равносильных задач, оценки погрешности для постоянных и переменных оптимальных наборов итерационных параметров.

Кроме того, в прикладном аспекте важными являются:

оценки нижней границы спектра оператора давления в дифференциальных задачах типа Стокса для типичных вычислительных областей, определяющие эффективность применения всех рассмотренных методов;

результаты численных экспериментов по определению нижней границы спектра оператора давления в прямоугольнике различными методами.

Основные результаты диссертации докладывались: на Российско — Голландском семинаре "Численные методы и их приложения" (Москва, 1993), на Чебышевских чтениях (Москва, 1994), на Ломоносовских чтениях (Москва, 1994), на Международной конференции "Алгебра и анализ", посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г.Чеботарева (Казань, 1994), на Международной конференции "Advanced Mathematics: Computations and Applications" (Новосибирск, 1995), на 4 Международной конференции "Advanced Numerical Analysis" (Москва, 1995), на Международном семинаре "Numerical Mathematics" (Nijmegen, The Netherlands, 1995), на Пер-

вом и Втором Всероссийских семинарах "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач" (Казань, 1996, 1998), на Международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошных сред", посвященной памяти Н.Н.Яненко (Новосибирск, 1996), на Международной конференции, посвященной 175-летию со дня рождения П.Л.Чебьпнева (Москва, 1996), на Международной конференции "Оптимизация численных методов", посвященной 90-летию со дня рождения С.Л.Соболева (Уфа, 1998), на объединенном семинаре НИИММ им.Н.Г.Чеботарева и факультета ВМК Казанского Государственного Университета, на научно - исследовательских семинарах Вычислительного центра РАН, Института вычислительной математики РАН, механико - математического факультета МГУ им.М.В.Ломоносова.

По теме диссертации опубликована 21 работа— [2], [3], [5], [50] -[61], [64], [65], [74] - [77]; при этом работы с соавторами относятся либо к приложениям ([3], [5], [64], [65]), либо приведены здесь в полностью переработанной форме ([2]).

Автор считает приятным долгом выразить искреннюю благодарность Н.С.Бахвалову и Г.М.Кобелькову, плодотворное общение с которыми оказало существенное влияние как на выбор научной тематики, так и на формирование общих принципов мировоззрения.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Чижонков, Евгений Владимирович, 1999 год

Литература

[1] АРИСТОВ П.П. Об ускорении сходимости одного итерационного метода решения задачи Стокса. // Известия вузов. Математика. - 1994. - No. 9. - С. 3-10.

[2] Аристов П.П., Чижонков Е.В. К оптимизации алгоритмов в гидродинамике. // Тезисы докладов международной конференции "Алгебра и анализ", посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г.Чеботарева. Казань, 1994 г., с. 20-21.

[3] Аристов П.П., Чижонков Е.В. О некоторых конечно-разностных аппроксимациях задачи Стокса. // Фундаментальная и прикладная математика, 1995, т.1, No.3, с. 573 -580.

[4] Арушанян И.О. О численном решении граничных интегральных уравнений второго рода в областях с угловыми точками // ЖВМ и МФ. - 1996. - Т. 36. - No. 6. - С. 101-113.

[5] Арушанян И.О., Чижонков Е.В. Численное исследование константы в inf-sup неравенстве методом граничных интегральных уравнений. // Пакеты прикладных программ. М.: Издательство Московского университета, 1997, с.49 - 59.

[6] Бахвалов Н.С. Эффективный итерационный метод решения уравнений Ламе для почти несжимаемых сред и уравнений Стокса. // Доклады АН СССР. - 1991. - Т. 319. - N0. 1. - С. 13-17.

[7] Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.

[8] Бахвалов Н.С., Кобельков Г.М., Чижонков Е.В. Эффективные методы решения уравнений Навье-Стокса. Численное моделирование в аэрогидродинамике. М.: Наука,

1986, с. 37-45.

[9] Бахвалов Н.С., Кобельков Г.М., Чижонков Е.В. Итерационный метод решения эллиптических задач со скоростью сходимости, не зависящей от разброса коэффициентов. - Препринт ОВМ АН СССР. - М., 1988, N0. 190.

[10] Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Киев: Наукова Думка, 1986.

[11] Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.

[12] Дьяконов Е.Г. Минимизация вычислительной работы. Асимптотически оптимальные алгоритмы для эллиптических задач. М.: Наука, 1989.

[13] Дьяконов Е.Г. О некоторых классах седловых градиентных методов. // Вычислительные процессы и системы. М.,

1987. Вып.5. С. 101-115.

[14] дьяконов Е.Г. О некоторых итерационных методах для нелинейных сеточных систем. // Вычислительные процессы и системы. М., 1991. Вып.8. С. 95-115.

[15] дьяконов е.г. Оценки вычислительной работы для краевых задач с оператором Стокса. // Известия вузов. Математика. - 1983. - No. 7. - С. 46-58.

[16] Зарубежные библиотеки и пакеты программ по вычислительной математике. Под ред. У. Кауэлла. М.: Наука, 1993.

[17] икрамов Х.д. Несимметричная проблема собственных значений. М.: Наука, 1991.

[18] Исаков А.Б., Кобельков Г.М. К численному решению задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости в кубической каверне. М.: Препринт ОВМ АН СССР No. 179, 1987.

[19] Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1965.

[20] Кобельков Г.М. О численных методах решения уравнений Навье-Стокса в переменных скорость-давление //Вычислительные процессы и системы. М., 1991. Вып.8. С. 204-236.

[21] Кобельков Г.М. Об эквивалентных нормировках подпространств Х/2. // Analysis Mathematica, 1977, No.3, p. 177-186.

[22] кобельков Г.М. О методах решения уравнений Навье -Стокса. // Доклады АН СССР. - 1978. - Т. 243. - No. 4. -С. 843-846.

[23] Кобельков Г.М. Решение задачи о стационарной свободной конвекции. // Доклады АН СССР. - 1980. - Т. 255. -No. 2. - С. 277-282.

[24] Кобельков Г.М. О решении эллиптических уравнений с сильно меняющимися коэффициентами. - Препринт ОВМ АН СССР. - М., 1987, No. 145.

[25] Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками. // Труды Московского Матем. общества, 1967, Т.16, р. 209-292.

[26] Кондратьев В.А., Олейник O.A. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях. // Успехи Матем. наук, 1983, Т.38, No. 2(230), р. 3-76.

[27] Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970.

[28] Лебедев В.И. Разностные аналоги ортогональных разложений, фундаментальных дифференциальных операторов и основных начально-краевых задач математической физики. // ЖВМ и МФ. - 1964. - Т. 4, No. 6. - С. 449-465.

[29] Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Нзд - во ВИНИТИ, 2-ое изд., 1994.

[30] Лебедев В.И., Финогенов С.А. О порядке выбора итерационных параметров в чебышевских циклических итерационных методах // ЖВМ и МФ. - 1971. - Т. И, No. 2. -С. 425-438.

[31] ЛоЙЦЯНСКИЙ Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973.

[32] МАРЧУК Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977.

[33] Математическая энциклопедия. - Т.З. - М.: Советская энциклопедия, 1984.

[34] михлин С.Г. Спектр пучка операторов теории упругости. // Успехи матем наук, 1973, т.28, No.3(171), с. 43-82.

[35] михлин С.Г. Дальнейшее исследование спектра Коссера. // Вестн. ЛГУ. Сер. Математика, 1967, No.7, вып. 2, с. 96-102.

[36] мокин Ю.И. Численное решение интегральных уравнений. М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1988.

[37] ольшанский М.а. Задача Стокса с модельными краевыми условиями. // Матем. Сборник, 1997, т.188, No. 4, с. 127-144.

[38] Ольшанский М.А. Об одной задаче типа Стокса с параметром. // ЖВМ и МФ. - 1996. - Т. 36. - No. 2. - С. 75-86.

[39] Пальцев Б.В. О быстросходящихся итерационных методах с расщеплением граничных условий для многомерной системы типа Стокса. Периодические "течения" между параллельными стенками. // Доклады Академии Наук. - 1992. - Т. 325. -No. 5. - С. 926-931.

[40] Пальцев Б.В. О быстросходящихся итерационных методах с неполным расщеплением граничных условий для многомерной сингулярно возмущенной системы типа Стокса. // Матем. сб. - 1994. - Т. 185. - No. 4. - С. 101-150.

[41] пальцев Б.в. о быстросходящихся итерационных методах с полным расщеплением граничных условий для многомерной сингулярно возмущенной системы типа Стокса. // Матем. сб. - 1994. - Т. 185. - No. 9. - С. 109-138.

[42] Пальцев B.B. Об условиях сходимости итерационных методов с полным расщеплением граничных условий для системы типа Стокса в шаре и шаровом слое. // ЖВМ и МФ. - 1995. - Т. 35. - No. 6. - С. 935-963.

[43] Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. М.: Мир, 1983.

[44] Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.

[45] Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1973.

[46] Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М., "Мир", 1981.

[47] Треффц Е. Математическая теория упругости. М.-Л.: ГТ-ТИ, 1934.

[48] уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970.

[49] Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.

[50] чижонков Е.В. О сходимости одного алгоритма для решения задачи Стокса. // Вестник Моск. Ун-та, Сер.15, вычисл. матем. и киберн., 1995, N 2, с. 12 - 17.

[51] чижонков е.В. к оптимизации алгоритмов решения задачи Стокса. // Вестник Моск. Ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 1995, No.6, с.93 - 96.

[52] чижонков е.в. к сходимости метода искусственной сжимаемости. // Вестник Моск. Ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 1996, n0.2, с.13 - 20.

[53] ЧИЖОНКОВ Е.В. К решению уравнений Стокса в областях с большим разбросом линейных размеров. // Материалы Всероссийского семинара "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач", Казань, Казанский фонд "Математика", 1996 г., с. 105 - 107.

[54] ЧИЖОНКОВ Е.В. О спектральных свойствах оператора давления, порожденного уравнениями Стокса. // Материалы международной конференции и Чебышевских чтений, посвященных 175-летию со дня рождения П.Л.Чебышева. Том 2. М.: Издательство механико-математического факультета МГУ, 1996, с.363 - 366.

[55] ЧИЖОНКОВ Е.В. Асимптотика нижней границы спектра оператора давления в задаче Стокса для некоторых областей. //"Математические модели и численные методы механики сплошных сред": Тез. докл. Межд. конференции. — Новосибирск, 1996 г. — с.507-508

[56] ЧИЖОНКОВ Е.В. О сходимости алгоритма Эрроу - Гурвица для алгебраической системы типа Стокса. // Доклады Академии Наук, 1998, т.361, N5, с.1 - 3.

[57] ЧИЖОНКОВ Е.В. Оптимизация модифицированного метода Якоби для решения алгебраической системы типа Стокса. // Тезисы докладов международной конференции "Оптимизация численных методов", посвященной памяти С.Л.Соболева, ИМВЦ УНЦ РАН, Уфа, 1998, с.88-90.

[58] чижонков Е.в. Оптимизация модифицированного метода SSOR для решения алгебраической системы типа Стокса. // Материалы Второго Всероссийского семинара "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач", Казань, Издательство УНИПРЕСС, 1998 г., с.74-76.

[59] Чижонков Е.В. О сходимости модифицированного метода SSOR для алгебраической системы типа Стокса. // Численный анализ: методы и программы. М.: Издательство Московского университета, 1998, с.83-91.

[60] Чижонков Е.В. Некоторые результаты о сходимости алгоритма Эрроу - Гурвица для алгебраической системы типа Стокса. // ЖВМ и МФ. - 1999. - Т. 39. - No. 3. - С.521-531.

[61] ЧИЖОНКОВ Е.В. О сходимости метода MSOR с переменными итерационными параметрами. // Препринт механико-математического ф-та МГУ им. Ломоносова N 1, 1999, 12 с.

[62] ШаЙДУРОВ В.В. Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука, 1989.

[63] Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1968.

[64] Aristov P.P., Chizhonkov E.V. On the Constant in the LBB condition for rectangular domains. // Report No.9534 (September 1995), Dept. of Math., Univ. of Nijmegen, The Netherlands, 17 p.

[65] Aristov P.P., Chizhonkov E.V. Effectiveness of some methods in linear hydrodynamics. // Russ. Journal of Numer. Analysis and Math.Modelling, 1994, v.9, N 4, pp. 337 - 347.

[66] Arrow K., Hurwicz L., Uzawa H. Studies ill Nonlinear Programming. - Stanford, CA: Stanford University Press, 1958.

[67] bakhvalov N.s. Solution of the Stokes nonstationary problems by the fictitious domain method. // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 1995, v.10, No.3, pp.163-172.

[68] Bank R.E., Welfert B.D., Yserentant H. A class of iterative methods for solving saddle point problems. // Numer. Math. 1990, No 56, p. 645-666.

[69] bramble J.H., pasciak J.E. A Preconditioning technique for indefinite systems resulting from mixed approximations of elliptic problems. // Math. Comp., 1988, v.50, No.181, pp.1-17.

[70] Bramble J.H., Pasciak J.E., Vassilev A.T. Analysis of the inexact Uzawa algorithm for saddle point problems. // SIAM Journ. Numer. Anal., 1997, v.33, No.4, pp.1072-1092.

[71] Bramble J.H., Pasciak J.E., Vassilev A.T. Inexact Uzawa algorithms for nonsymmetric saddle point problems. // Math. Comp., 1999 (to appear).

[72] Brezzi F., Fortin M. Mixed and Hybrid Finite Element Methods. New York: Springer - Verlag, 1991.

[73] Cahouet J., Chabart J.P. Some fast 3D finite element solvers for the generalized Stokes problem. // Internat. J. Numer. Methods Fluids, 1988, v.8, pp.869-895.

[74] chizhonkov E.V. Application of the Cossera spectrum to the optimization of a method for solving the Stokes Problem. // Russ. Journal of Numer. Analysis and Math.Modelling, 1994, v.9, N 3, pp.191 - 199.

[75] chizhonkov E.V. On a method for solving the Stokes problem for a weakly-compressible fluid. // Book of abstracts of AMCA-95, A-Kor, Novosibirsk, 1995, pp. 77 - 78.

[76] chizhonkov E.V. On the Constant in the LBB condition for ring domains. Report No.9537 (October 1995), Department of Mathematics, University of Nijmegen, The Netherlands. 12 p.

[77] chizhonkov E.V. On Methods for Solving the Stokes Problem for a Weakly-Compressible and Incompressible Fluids. In "Advanced Mathematics: Computations and Applications" (Editors: A.S.Alekseev, N.S.Bakhvalov). Proceedings of AMCA-95. NCC Publisher, Novosibirsk, 1995, pp. 167 - 171.

[78] Cosserat E. et F. Sur les equations de la theorie de lélasticite. // C.R. Acad. Sei. (Paris), 1898, v.126, pp.1089-1091.

[79] Cosserat E. et F. Sur la déformation infiniment petite d'une enveloppe sphérique élastique. // C.R. Acad. Sei. (Paris), 1901, v.133, pp.326-329.

[80] crouzeix M. Etude d'une methode de linearisation. Resolution des equations de Stokes stationaries. Application aux equations des Navier-Stokes stationäres. Cahiere de l'IRIA. 1974, No 12, p. 139-244.

[81] Daly B.J., Harlow F.H., Shannon J.P., Welch J.E. The MAC Method. Technical Report LA-3425, Los Alamos Scientific Lab., University of California, 1965.

[82] Dauge M. Stationary Stokes and Navier-Stokes Systems on Two- or Three-Dimensional Domains with Corners. Part I: Lin-

earized Equations. // SIAM J. Math. Anal., 1989, v.20, No.l, pp.74-97.

[83] De Vogelaere R. Over - relaxations. Abstract No. 539-53, Amer. Math. Soc. Notices. — 1958. - v.5, No.147 - p.273.

[84] ELMAN H.C. Multigrid and Krylov subspaces methods for the discrete Stokes equations. // Int. J. Numer. Methods Fluids, 1996, v.22, pp.755-770.

[85] Elman H.C., Golub G.H. Inexact and preconditioned Uzawa algorithms for saddle point problems. // SIAM Journ. Numer. Anal., 1994, v.31, No.6, pp.1645-1661.

[86] Elman H.C., Silvester D. Fast nonsymmetric iterations and preconditioning for Navier - Stokes Equations. // SIAM Journ. Sci. Comput., 1996, v.17, No.l, pp.33-46.

[87] glrault V., Raviart P. A. Finite element methods for Navier-Stokes equations. — Springer, Berlin, 1986, 375 p.

[88] Gunzburger M. Finite element methods for viscous incompressible flow: a guide to theory, practice and alghorithms. Academic Press, Boston, 1989.

[89] Hackbusch W. Multi - Grid Methods and Applications. Springer, Berlin, 1985.

[90] Heusser C. Conjugate gradient-type algorithms for a finite-element discretization of the Stokes equations //J. Comp. Appl. Math. - 1992. - v.39. - pp.23-37.

[91] Kozhevnikov A. The basic boundary value problems of static elasticity theory and their Cosserat spectrum. // Mathematische Zeitschrift, 1993, v.213, pp. 241-274.

[92] Langer U., Queck W. On the convergence factor of Uzawa's algorithm. // J. Comp. Appl. Math., 1986, v.15, pp.191-202.

[93] nlcolaides R.A. Analysis and convergence of the MAC scheme. The linear problem. // SIAM Journ. Numer. Anal. 29, No.6, 1992, p. 1579-1591.

[94] OL'shanskii M.A. On numerical solution of nonstationary Stokes equations. // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 1995, v.10, No.l, pp.81-92.

[95] queck W. The convergence factor of preconditioned algorithms of the Arrow - Hurwicz type. // SIAM Journ. Numer. Anal. 1989, v.26, No. 4, p. 1016-1030.

[96] Valedinsky V.D., Chizhonkov E.V. Structure of Solution to Stokes Problem and Efficient Numerical Method. // Sov. Journal of Numer. Analysis and Math.Modelling, 1990, v.5, N4/5, pp. 419-423.

[97] Verfurth R. A combined conjugate gradient-multigrid algorithm for the numerical solution of the Stokes problem. // IMA J. Numer. Anal., 1984, v.4, pp.441-455.

[98] Wathen A., Silvester D. Fast iterative solution of stabilized Stokes systems. Part I: using simple diagonal preconditioners. // SIAM Journ. Numer. Anal. 1993, v.30, No. 3, p. 630-649.

[99] Wathen A., Silvester D. Fast iterative solution of stabilized Stokes systems. Part II: using general block preconditioners. // SIAM Journ. Numer. Anal. 1994, v.31, No. 5, p. 1352-1367.

[100] young D.M. Iterative Solution of Lager Linear Systems. New York: Academic Press, 1971.