Внешняя аппроксимация стационарных задач динамики вязкой несжимаемой жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Шифрин, Борис Фридманович

• Шифрин, Борис Фридманович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шифрин, Борис Фридманович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ИХ ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ.

НЕКОТОРЫЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВБЩЕНИЯ.

§ I. Основные функциональные пространства

§ 2. Краевые задачи для стационарного течения вязкой несжимаемой жидкости

§ 3. Некоторые концепции метода конечных элементов

§ 4. Кусочно-полиномиальная аппроксимация

ГЛАВА II. ВНЕШНЯЯ АППРОКСИМАЦИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА

Введение

§ I. Понятие внешней аппроксимации. Схема внешней аппроксимации для уравнений Навье-Стокса

§ 2. Концепция дискретной сходимости

§ 3. Внешняя аппроксимация линейной задачи

§ 4. Аппроксимация нелинейной задачи с квадратичным оператором

§ 5. Оценки меры внешней аппроксимации для пространства J

ГЛАВА III. ПОСТРОЕНИЕ ВНЕШНИХ АППРОКСИМАЦИЙ 69 Введение

§ I. Внешняя аппроксимация в ортогональных криволинейных координатах

§ 2. Вспомогательные результаты

§ 3. Аппроксимационные свойства пространств к

§ 4. Внешняя аппроксимация повышенной точности

§ 5. Базис в пространстве квазисоленоидальннх функций

§ 6. Усиленно-квазисоленоидальный базис

ГЛАВА 1У. МЕТОД ИТЕРАЦИЙ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ТИПА НАВЬЕ-СТОКСА.

СВОЙСТВА ДИСКРЕТНОЙ ЗАДАЧИ.

Введение

§ I. Уравнения типа Навье-Стокса

§ 2. Операторное уравнение с нелинейностью второго порядка

§ 3. Неявные итерации для уравнений типа Навье-Стокса

§ 4. Возмущение уравнения с нелинейностью второго порядка

§ 5. Проекционная схема с параметром (абстрактный подход)

§ 6. Схема с параметром при условии соленоидальности в среднем

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Внешняя аппроксимация стационарных задач динамики вязкой несжимаемой жидкости»

Проблемы динамики вязкой несжимаемой жидкости, представляя большой теоретический и прикладной интерес, требуют развития эффективных численных методов. Известно, что задачи вязкого течения, как правило, могут решаться только приближенно. Предлагаемая работа посвящена вопросам обоснования и реализации для стационарной системы Навье-Стокса проекционного метода, использующего принцип внешней аппроксимации и конечно-элементную технику.

Практическое значение проекционных методов в математической физике ощутимо возросло в связи с возникновением их гибкого и эффективного варианта - метода конечных элементов (МКЭ). Развитие здесь, начиная со статьи Р.Куранта ^^, идет в сторону все более широкого понимания идей аппроксимации; появление "нестандартных" схем МКЭ сопровождается более общим взглядом на дискретизацию, отвечающим идеям общей теории приближенных методов (см. /17,1,2,6/^ эта тенденция нашла выражение в концепции внешней аппроксимации краевых задач (Cea, Плодотворность общего подхода, еще до работы Cea, выявили труды О.А.Ладыженской (см. которая выдвинула методику аппроксимации интегрального тождества в качестве универсального источника проекци-онно-разностных схем (ПРС). Разнообразные примеры ПРС рассмотрены в работах Л.А.Оганесяна Л.А.Оганесяна, В.Я.Ривкинда и Л.А.Руховца Ю.К.Демьяновича /12~13/, Е.Г.Дьяконова В.Г.Корнеева Г.И.Марчука и В.А.Огошкова /35/, А.А.Самарского и В.Б.Андреева М.М.Карчевского и А.Д.Ляшко /18/; сошлемся еще на книги Стренга и Фикса Сьярле

Численное исследование течения вязкой жидкости методом конечных элементов осуществляется сейчас для все более широкого круга задач. Первоначально в работах прикладного характера вводились в основном схемы МКЭ в терминах функции тока (или функции тока и завихренности). Между тем схемы в терминах исходных величин и и (о (скорость и давление жидкости) имеют целый ряд достоинств и весьма перспективны. Одна из характерных трудностей при численном моделировании течений в терминах и , ¡о - аппроксимация условия неразрывности (соленоидальности и ). Концепция внешней аппроксимации имеет здесь принципиальное значение, так как позволяет использовать проекционный метод с подпространствами функций, которые только квазисоленоидальны. Теоретическое исследование и практическая реализация этого метода в настоящий момент далеки от завершения и актуальны.

Состояние проблемы. При широком толковании конце1ЩИЯ внешней аппроксимации приложима ко многим проекционно-разностным схемам, в том числе весьма нестандартным (ситуации "несовместности элементов", "вариационных нарушений", "искажений функционала" Для вычислительной гидродинамики интерес к нестандартным вариантам МКЭ весьма показателен; укажем здесь на статьи В.Я.Ривкинда п.Равьяра /76»84Л Достоинства общего подхода к методам такого типа отчетливо выявляются уже при анализе достаточно характерных модификаций МКЭ. Поэтому в дальнейшем ограничимся концепцией внешней аппроксимации /94,65/^ Эффектив ной для целей данной работы.

Под методом внешней аппроксимации понимается обобщенный проекционный метод, при котором задача в пространстве V аппроксимируется с привлечением более широкого пространства Н э V , а именно, решается проектированием на СН (вообще говоря, ф V ). Условия сходимости метода (в частности, требования к ) рассматривались в ряде работ - как для вариационных задач, так и для некоторых операторных уравнений (см.'/74,40,94/^ Эти работы, однако, не касаются уравнений с фредгольмовым оператором или уравнений с "квадратичной нелинейностью" (характерной для системы Навье-Стокса). Вопрос о точности метода достаточно общо не ставился (для линейных эллиптических задач некоторые оценки даны в книге Обэна ). Чтобы прояснить проблему напомним, что точность обычного метода Галеркина зависит от качества аппроксимации элементов из V" элементами того подпространства, на которое проектируется уравнение. Возникает вопрос, можно ли в ситуации внешней аппроксимации наглядно выразить зависимость точности метода от внешне-аппроксимативных свойств подпространств

Ч.

Краевые задачи стационарного течения несжимаемой вязкой жидкости допускают обобщенную постановку, обладающую свойством эллиптичности (положительной определенности и самосопряженности) линейной части. Именно, скорость Ц. определяется интегральным тождеством в пространстве соленоидальных функций В рамках МКЭ возникла идея искать приближенное решение ¡¿^ среди функций, соленоидальных в среднем т.е. в пространстве ФУ Это означает, что сохранение массы жидкости предполагается не в любом бесконечно-малом объеме, а в малом элементе к. У^аУС). Обоснование некоторых схем с проектированием на впервые дал Фортен (см. его обзорные статьи тот же круг вопросов рассматривается для задачи Стокса в /И>,77,73/^а в нелинейном случае (задача Навье-Стокса) - в /92,84/^ с £0лее общей точки зрения трактует подобные схемы Темам /^1/. он эффективно использует некоторые общие условия сходимости внешних аппроксимаций. Однако широкий крут возникающих здесь проблем внешней аппроксимации остался в не затронутым; в частности

- вопрос об аппроксимации несингулярных решений нелинейной за-зе) /61/ дачи я'. Нет в ' ' и общего анализа точности метода. Сюда примыкает и вопрос об оценке аппроксимативных свойств "квазисоле-ноидальных" подпространств . В гидродинамике широко используется система криволинейных координат. В связи с этим весьма существенным представляется вопрос о распространении рассматриваемого варианта МКЭ на случай криволинейных координат.

Схемы с проектированием на У/, позволяют находить скорость независимо от давления. Особое достоинство этих схем в том, что они сохраняют Положительную определенность и самосопряженность, свойственные исходной задаче (в пространстве У ). Однако до последнего времени эти достоинства не реализовывались. Темам ст / ох ' объясняет это трудностью построения базиса локальных функций в У к . На практике квазисоленоидальное решение обычно искали в схеме, содержащей также давление (в линейном случае она представляет собой задачу с седяовой точкой). При

Для отдельных схем МКЭ этот вопрос изучали Жиро и Равьяр^^, для одной конечно-разносшной схемы - Н.К.Корнеев ' '. этом привлекались "алгоритмы седловой точки" (типа Удзавы-Гур-вица, смУ55'61/), имеющие ряд негативных сторон.

Таким образом, практические возможности схем с проектированием на ^ представляются мало изученными. Почти не разрабатывалась методика построения координатных систем локальных квазисоленоидальных функций (базисов в У к ). Отдельные примеры таких систем предложили Е.Н.Горовая, В.Я.Ривкинд основе кусочно-линейных функций. Привлечение координатных функций с улучшенными аппроксимативными свойствами позволяет ввести схемы повышенного порядка точности. Гриффите /85-86/ д^ дрШерЫ такого рода функций, используя кусочные полиномы степени не ниже третьей. В то же время усложнение координатных функций ухудшает вычислительные свойства проекционной схемы. Тем самым встает вопрос о поиске наиболее эффективных координатных систем.

В теоретическом плане вопросы итерационного решения дискре-тизированных уравнений Навье-Стокса исследованы лишь частично. Недостаточно выявлена и природа этих вопросов с точки зрения теории операторных уравнений /17,25,44/^ отдельные результаты для специальных внешне-аппроксимационных ПРО изложены в /84»96» 97/(.итерации для ПРС, содержащих давление,изучаются в /2°/)

Каждый шаг итераций требует решения линейной системы с разреженной матрицей. Проблема эффективного решения таких систем имеет обширную литературу; сошлемся на книги А.А.Самарского, Е.С.Николаева /54/, Г.И.Марчука Л.А.Оганесяна, Л.А.Руховца /43/; см.также /52Л

Выше мы ограничились обзором тех вариантов МКЭ, в которых условие несжимаемости (соленоидальности) аппроксимируется в среднем. Упомянем, однако, альтернативный способ штрафной аппроксимации /78,72,9£/^ КОТОрый представляется нам более косвенным. В основе этого способа лежит идея перехода к слабосжимаемой жидкости (Н.Н.Яненко /41/. см#также /4,61,28,15,57/^ до^щд еще, что обсуждаемые здесь методы представляют интерес и для. неньютоновских жидкостей (см. /7»32/^

Цель работы - развитие и обоснование метода внешней аппроксимации для операторных уравнений, реализация метода на основе конечно-элементной техники применительно к стационарной системе Навье-Стокса, анализ итерационных процессов решения соответствующих проекционно-разностных схем (ПРО).

Методика исследования. Краевые задачи для уравнений Навье-Стокса представляются в слабой форме (в виде интегральных тождеств) и уже после этого дискретизируются. Вопросы внешней аппроксимации краевых задач трактуются с общей точки зрения теории дискретной сходимости приближенных решений операторных уравнений, развитой Г.М.Вайникко. При исследовании внешней аппроксимации соленоидальных функций квазисоленоидальными привлекается прием введения специального интерполирующего оператора /79»76,

Построение координатных систем квазисоленоидальных функций стимулировано статьями Е.Н.Горовой и В.Я.Ривкинда. Для анализа итерационных методов решения дискрегазированных задач вводится некоторый вариант принципа мажоранты.

Содержание работы. Рассматривается стационарная система уравнений Навье-Стокса в ограниченной липшицевой области ( = 2 или 3). На границе "Эй ставятся условия прилипания или несколько более общие (на СЭЙ» ставятся условия, актуальные дня задач со свободной границей, см. Выбор именно таких условий (причем однородных) не исчерпывает возможности развиваемого здесь метода внешней аппроксимации.

Обобщенная постановка краевой задачи состоит в отыскании и = и.(х) такого, что ие7, а0(и,иг)+ \/иГеУс (I)

Здесь выделено из условием и.|г= О 9

Ц.-К1 ^ =0; У выделено из Л условием соленоидальности - -1 с(Ь/\1.^о ). Форма СС^*^) в (I) - билинейная симметрическая ограниченная и положительно-определенная в УС ; форма-&(•,%•) - трилинейная ограниченная и такая, что

Ш) - ~ Уи^Ф € ^ (2)

Задача (I) аппроксимируется в работе следующей дискретной задачей (с параметром оС ): ике\9 а0(и,м) + сю где оСе[0/з, ОС£(и&1лт)-(^¿(и&го)

При переходе от (I) к (1к) использовалось свойство (2). Вообще говоря, считаем У^ ф У . Это расширяет возможности реализации схемы ( 1О по сравнению с галеркинской (случай У^с У), нуждающейся в указании системы координатных соленоидальных функций. Разумеется, пространства У^ должны быть в определенном смысле близки к У . Допущения близости оказываются выполненными, если определять ^ на основе условия квазисоленоидальности /79,76,51/^ р^енн0) считая, что область разбита на элементы ), вводим Л так, что сЬуТХъО

V е о//, в следующем смысле: к

Jb\A* = О VfaePjjQ \/Ке6 . (з) К ^ (YL) - множество полиномов в К степени ^ т ). Основным для данной работы является следующее Определение.!) Пусть Н - гильбертово пространство,

- подпространства, Дг , Р - ортопроекторы из Н соответственно на V . Vu ( k elo А !)•

Т 7* т Г '

Мерой внешней аппроксимации V посредством V^ на элементе

UXeH. назовем число

II = H(Py-PrJlCrll„ . (4)

2) Пространства аппроксимируют V" внешним образом, если H^v^'h""^0 \/и?еИ , т.е. ш-еН. (5)

Охарактеризуем содержание глав диссертации.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Шифрин, Борис Фридманович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ВЫВОДЫ

Научные итоги данной работы состоят в следующем.

1. Проведено исследование внешней аппроксимации операторных уравнений. При этом получены наглядные оценки точности приближенных решений, приложимые к ряду краевых задач (как линейных, так и нелинейных). Показана эффективность этих оценок применительно к уравнениям Навье-Стокса.

2. Для стационарных задач динамики вязкой несжимаемой жидкости введены и исследованы ПРО первого и второго порядка точности, позволяющие находить скорость течения независимо от давления и использовать преимущества положительной определенности и самосопряженности (в пространстве У ), свойственной этим задачам. В предложенных схемах соленоидальные функции внешним образом аппроксимируются на основе конечно-элементной техники.

3. Развита методика построения координатных систем квази-соленоидальных функций с малыми носителями. Разработан метод конечных элементов для решения задач в ортогональных криволинейных координатах.

4. Предложены и обоснованы итерационные процессы решения введенных ПРО.

5. Оценено влияние численного интегрирования в ПРО на их точность.

6. При исследовании нелинейных ПРО установлены некоторые результаты общего характера, относящиеся к принципу мажоранты для операторных уравнений.

7. Результаты численного эксперимента (см. Приложение) свидетельствуют о возможности практического применения разработанных ПРО для решения с высокой точностью задач плоского течения. Отметим, что численное опробирование подтвердило теоретические оценки точности метода. Матрица (Ритца-Галеркина), порождаемая системой координатных функций, обладает типичными достоинствами матриц МКЭ (разреженность, "хорошая обусловленность" в смысле /43/) до данншл эксперимента, допускает эффективное применение итерационных методов для соответствующих систем уравнений.

Предложенные координатные квазисоленоидальные функции могут применяться при численном решении ряда других задач механики сплошной среды /З?»60!?0/.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шифрин, Борис Фридманович, 1984 год

1. Вайникко Г.М. Компактная аппроксимация операторов и приближенное решение уравнений. - Тарту: Изд-во Тартуск.ун-та, 1970.

2. Вайникко Г.М. Анализ дискретизационных методов. Тарту: Изд-во Тартуск.ун-та, 1976.

3. Вайникко Г.М. Регулярная сходимость операторов и приближенное решений уравнений. Итоги науки и техн. Мат.анализ, 1979, 16, с.5-53.

4. Владимиров H.H., Кузнецов Б.Г., Яненко H.H. Расчет обтекания пластинки потоком вязкой несжимаемой жидкости. В кн.: Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики. -Новосибирск: Наука, 1966, с.186-192.

5. Ворович И.И., Юдович В.И. Стационарное течение вязкой несжимаемой жидкости. Матем.сб., 1961, 53, 16 4, с.393-428.

6. Гавурин М.К. Лекции по методам вычислений. М.: Наука,1971. *

7. Гловински Р., Лионе Ж.Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. -М.: Мир, 1979.

8. Горовая E.H., Ривкинд В.Я. Явная и неявная проекционно-разностнне схемы для решений уравнений Навье-Стокса. В кн.: Проблемы мат.анализа. Вып.5. Л.: Изд-во Ленингр.ун-та, 1975, с.24-46.

9. Горовая E.H., Ривкинд В.Я. Упрощенная схема метода конечного элемента для уравнений Навье-Стокса. В кн.: Методы вычислений. Вып.II. Л.: Изд-во Ленингр.ун-та, 1978, с.142-159.

10. Дайковский А.Г., Ершов С.Ю., Полежаев В.И., Федосеев А.И. Применение метода конечных элементов в механике вязкой несжимаемой жидкости. Изв.АН СССР, MST, 1979, J& 4, с.189-—192.

11. Дайковский А.Г., Полежаев В.И., Федосеев А.И. Применение метода конечных элементов в механике вязкой жидкости. -Численные методы механики сплошной среды, 1980, П, № I, с.37-50.

12. Демьянович Ю.К. Метод сеток для некоторых задач математической физики, ДАН СССР, 1964, 159, JS 2, с.250-253.

13. Демьянович Ю.К. Об оценках скорости сходимости некоторых проекционных методов решения эллиптических уравнений. Ж. вычисл.матем. и матем.физ., 1968, 8, $ I, с.79-96.

14. Дьяконов Е.Г. Разностные методы решения краевых задач. Вып.1. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1971.

15. Дьяконов Е.Г., Каушилайте Д. Разностная схема с погрешностью 0(т1 +• (И4) Дяя системы Навье-Стокса. Матем. заметки, 1972, 12, J& I, с.59-66.

16. Канторович Л.В. Принцип мажорант и метод Ньютона. ДАН СССР 1951, 76, с.17-20.

17. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

18. Карчевский М.М., Ляшко А.Д. Разностные схемы для нелинейных задач математической физики. Казань: Изд-во Каз.ун-та 1976.

19. Кобельков Г.М. Об эквивалентных нормировках пространств- Anal Math , 1977, 3, № 3.

20. Кобельков Г.М. Об одном итерационном методе решения стационарного уравнения Навье-Стокса. Вест.Моск.ун-та, Вычисл. мат. и кибернет., 1980, № I, с.3-13.

21. Коннор Дж., Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости. Л.: Судостроение, 1979.

22. Коренев Н.К. 0 числе решений одной разностной схемы. Труды Мат.ин-та АН СССР, 1975, 127» с.20-26.

23. Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. Л.: Изд-во Ленингр.ун-та, 1977.

24. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральный уравнений. М.: Гостехиздат, 1956.

25. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутиц-кий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. -М.: Наука, 1969.

26. Крейн С.Г., Лаптев Г.И. К задаче о движении жидкости в открытом сосуде. Функц.анализ и его прил. 1968, 2, вып.1,с.40-50.

27. Ладыженская O.A. Метод конечных разностей в теории уравнений с частными производными. УМН, 1957, 12, Jfc 5, с.123--149.

28. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970.

29. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. -М.: Наука, 1970.

30. Ладыженская O.A., Солонников В.А. 0 некоторых задачах векторного анализа и обобщенных постановках краевых задач дляуравнений Навье-Стокса. Зап.научн.семинаров Ленингр.отд. Мат.ин-та АН СССР, 1976, 59, с.81-116.

31. Лионе Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

32. Литвинов В.Г. Движение нелинейно-вязкой жидкости. М.: Наука, 1982.

33. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука,1978.

34. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.

35. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. -М.: Наука, 1981.

36. Михлин С.Г. Проблема минимума квадратичного функционала. -М.: Гостехиздат, 1952.

37. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. -М.: Наука, 1970.

38. Михлин С.Г. Вариационно-сеточная аппроксимация. Зап. научн.семинаров Ленингр.отд. Мат.ин-та АН СССР, 48, с.32 -- 188.

39. Мосолов И.И., Мясников В.И. Механика жесткопластичных сред.- М.: Наука, 1981.

40. Обэн Ж.П. Приближенное решение эллиптических краевых задач.- М.: Мир, 1977.

41. Оганесян Л.А. Сходимость разностных схем при улучшенной аппроксимации границы. Ж.вычисл.матем. и матем.физ., 1966, 6, 16, с. 1029-1042.

42. Оганесян Л.А., Ривкинд В.Я., Руковец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. ч.1 и II.

43. В кн.: Дифференциальные уравнения и их приложения, 1973, вып.5, 1974, вып.8. Вильнюс: Ии-т физики и математики АН Лит.ССР.

44. Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнении. Ереван: Изд-во АН Арм. ССР, 1979.

45. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975.

46. Пухначев В.В. Лекции по динамике вязкой несжимаемой жидкости, ч.1. Новосибирск: Изд-во Новосиб.ун-та, 1969.

47. Ривкинд В.Я. Сеточный метод решения задач динамики вязкой несжимаемой жидкости. Труды МЙАН СССР, 1973, 12§, с.173-- 186.

48. Ривкинд В.Я. Метод конечного элемента с искажением функционала для нестационарных уравнений Навье-Стокса. Вестн. Ленингр.ун-та, 1974, № 19, с.157-161.

49. Ривкинд В.Я., Фридаан Н.Б. Об уравнениях Навье-Стокса с разрывными коэффициентами. Зап.научн.семинаров Ленингр. отд.Мат.ин-та АН СССР, 1973, 38, с.137-148.

50. Ривкинд В.Я., Шифрин Б.Ф. Метод конечных элементов в одной задаче со свободной границей для системы уравнений Навье-Стокса. Ленинград, 1980. Рукопись депонирована в ВИНИТИ 28.04.1980, № 1720-80. Деп. - 27с.

51. Ривкинд Б.Я., Шифрин Б.Ф. Применение метода конечных элементов в некоторых задачах для уравнений Навье-Стокса. -Учен.зап.Тартуск.ун-та, 1981, 580, с.38-51.

52. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1981.

53. Самарский A.A., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976.

54. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.

55. Cea Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1973.

56. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Изд-во Ленингр.ун-та, 1950.

57. Соболевский П.Е., Васильев В.В. Об одной -аппроксимации уравнений Навье-Стокса. Численные методы механики сплошной среды, 1978, 9, J® 5, с.115-139.

58. Солонников В.А., Щадилов В.Е. Об одной краевой задаче для стационарной системы уравнений Навье-Стокса. Труды Мат. ин-та АН СССР, 1973, 125, с.186-210.

59. Стренч Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.

60. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач.- М.: Мир, 1980.

61. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ.- М.: Мир, 1981.

62. Хаппель Дж., Бруммер Г. Гидродинамика при малых числах Рей-нольдса. М.: Мир, 1976 .

63. Шестопал O.E., Коняшко Е.А., Шестопал В.О. Решение осесим-метричной задачи Навье-Стокса для несжимаемой жидкости методом Галеркина. Численные методы механики сплошной среды, 1979, 10, В 2, с. I40-I5I

64. Шифрин Б.Ф. Одна оценка аппроксимации эллиптических задач и ее приложение к уравнениям Навье-Стокса. В кн.: Тезисы конференции "Теоретические и прикладные вопросы математики" Тарту: Изд-во Тартуск.ун-та, 1980, с.187-189.

65. Шифрин Б.Ф. О внешней аппроксимации одного класса нелинейных задач. В сб. "Численное решение краевых задач и интегральных уравнений", Тарту: Изд-во Тарууск.ун-та, 1981, с.39-41.

66. Шифрин Б.Ф. О методе итераций для уравнений Навье-Стокса.-В сб. "II республиканский симпозиум по методам решения нелинейных уравнений и задач оптимизации", Таллин, 1981, т.1, с.112-114.

67. Шифрин Б.Ф. Метод итераций и условия разрешимости для уравнений типа Навье-Стокса. Изв. АН ЭССР, сер.физ.-мат.1982, 31, с.249-259.

68. Шифрин Б.Ф. Об устойчивости решения операторного уравнения с нелинейностью второго порядка. Учен.зап.Тартуск.ун-та,1983, 633, с.75-87.

69. Шифрин Б.Ф. Конечно-элементная схема с параметром для уравнений Навье-Стокса. В кн.: Тезисы докладов конференции "Методы алгебры и анализа", Тарту: Изд-во Тартуск.ун-та, 1983, с.148-150.

70. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979.

71. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1966.

72. Bercovier М., Engelman М. A finite element for the numerical solution of viscous incompressible flows. J.Сотр. Phys., 1979, 30, U 2, p.181-201.

73. Bercovier M., Pirronnean 0. Eror estimates for finite element method solution of the Stokes problem in primitive variables. Uumer.Math., 1979, ¿3, 3ST 2, p.211-224.

74. Gea J. Approximation variationelle des problems aux limites. Ann.Inst.Fourier, Grenoble, 1964, li, N 2, p.345-444.

75. Courant R. Variotional methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations. Bull.Amer.Math.Soc., 1943, 49, И 1, p.1-23.

76. Crouzeix M., Raviart P.A. Conforming and non conforming finite element methods for solving the stationary Stokes equations I. Rev.franc.automat., inform.rech.oper., ser.rouge anal.numer., 1973, 1 - R3,p.33-76.

77. Palk R.S. An analysis of the finite element method using Lagrange multipliers for the stationary Stokes equation. -Math.Comput., 1976, ¿0, p.241-249.

78. Palks R.S. A finite element method for the stationary Stokes equation using trial function wich do not have to satisfydivTT-O , Math.Comput., 1976, ¿0, Я 136, p.698-702.

79. Fortin M. Approximation des fenctions a divergence nulle parla methode des elements finis. In Proc. 3-rd Int.Conf.Hum.

80. Meth. in Fluid Mech. 1 (H.Cabannes, R.Temam (Eds.)) Springer Verlag, 1972, p.99-103.

81. Fortin M. Utilisation de la methode des elements finis on mecanique des fluides I, II. Calcolo, 1976, JL2, N 4,p.405-441; 12, N 1, p.1-20.

82. Fortin M. Old and new finite elements for incompressible flow. Int.J. for Numerical meth. in fluids. 1981, 1, N 4, p.347-364.

83. Gartling D.K., Becker E.B. Finite element analysis of viscous incompressible flow I,II. Comp. Meth. Appl.Mech. Engng., 1976, 8, N 1, p.51-60, N 2, p.127-138.

84. Gartling D.K., Nickell R.E., Tanner R.I. A finite element convergence study for accelerating flow problems. Int.J. Num.Meth.Engng., 1977, H, p.1155-1174.

85. Girault V., Raviart P.A. Finite element approximation of the

86. Navier-Stokes equations. Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag, 1979, 749, p.1-200.

87. Griffiths D.F. Finite elements for incompressible flow. -Math.Meth.Appl.Sci., 1979, 1, p.16-31.

88. Griffiths D.F. An approximate divergence-free 9-node velocityelement (with variations) for incompressible flow. Int.J. for Numerical meth. in fluids, 1981, 2., n 4, p.323-346.

89. Hasinger J., Hlavacek I. Contact between elastic bodies.II. Finite element analysis. Aplicace mathematiky, 1981, 26, N 4, p.263-290.

90. Hood P., Taylor C. Navier-Stokes equations using mixedinterpolation. In: Finite element method in flow problems

91. J.T.Oden et al. (Eds.)) UAN Press, Hunts ville, 1974, p.57-64.

92. Haakorn P.S., Taylor C., Lee R.L., Gresho P.M. Acomparisonof various mixed-interpolation finite elements in the velocity-pressure formulation of the Navier-Stokes equations. -Computers and fluids, 1978, 6, 1 1, p.25-35.

93. Hutton S.G., Exeter M.K., Fussey D.E., Webster J.J. Primitive variable finite element formulations for steady viscous flows. Int.J.Num.Meth.Engng., 1980, N 2, p.209-223.

94. Hugnes T.J., Liu W.K., Brooks A. Finite element analysis of incompressible viscous flows by the penalty function formulation. J.Comp.Phys., 1979, ¿0, U 1, p.1-60.

95. Jamet R., Raviart P.A. Numerical solution of the stationary liavier-Stokes equations by finite element methods. Lecture Notes in Computes Science, Springer-Verlag, 1973, ,10, p. 193-223.

96. Kellogg R.B., Osborn J.E. A regularity result for the Stokes problem in convex polygon. J.Functional Analysis, 1976, 21, P.397-431.

97. Mosco U. An introduction to the approximate solution of variational inequalities. Instituto Matematico G. Castelnuovo, Universita degli studi di Roma. Roma: Edizioni "KLUi",1978.

98. Nickell R.E., Tanner R.I., Caswell B. The solution of viscous, incompressible jet and free-surface flows using finite element methods. J.Fluid Mech., 1974, 65, N 1, p.189-206.