Построение и исследование неконформного метода конечных элементов для решения задачи Стокса с разрывным коэффициентом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Рукавишников, Алексей Викторович

• Рукавишников, Алексей Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Рукавишников, Алексей Викторович

Введение .".

Глава 1. Построение неконформного метода конечных элементов для двумерной задачи Стокса с разрывным коэффициентом в эллиптическом операторе

1.1. Классическая постановка задачи Стокса.

1.2. Основные обозначения и определения пространств

1.3. Обобщенная постановка задачи Стокса

1.4. Существование и единственность обобщенного решения задачи Стокса

1.5. Схема метода конечных элементов

1.5.1. Триангуляция исходной области.

1.5.2. Определение конечно-элементных пространств на подобластях.

1.5.3. Определение мортарного конечно-элементного пространства на интерфейсе между подобластями

1.5.4. Свойства конечно-элементных пространств

1.5.5. Определение приближенного решения задачи Стокса

Глава 2. Получение оценок скорости сходимости задачи Стокса с разрывным коэффициентом

2.1. Аналог второй леммы Стрэнга

2.1.1. Существование и единственность приближенного решения задачи Стокса

2.1.2. Формулировка и доказательство аналога второй леммы Стрэнга.

2.2. Оценка скорости сходимости (w — w^) в норме Vh{^h) и (p-ph) в норме Xh(Qh).

2.2.1. Вспомогательные утверждения

2.2.2. Получение оценки скорости сходимости

2.3. Оценка нормы (w — wh) в Ь2(П/г).

Глава 3. Численная реализация неконформного метода конечных элементов для задачи Стокса с разрывным коэффициентом.

3.1. Постановка дифференциальной задачи

3.2. Конечно-элементное представление

3.2.1. Функциональный вид.

3.2.2. Алгебраический вид

3.2.3. Конечно-элементная аппроксимация.

3.2.4. Преобразование полученной системы линейных уравнений.

3.3. Построение итерационного процесса.

3.4. Численный эксперимент и анализ результатов . . . 127 Литература.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Построение и исследование неконформного метода конечных элементов для решения задачи Стокса с разрывным коэффициентом»

Настоящая диссертация посвящена разработке и исследованию неконформного метода конечных элементов для решения двумерной стационарной задачи Стокса с кусочно-постоянным коэффициентом в эллиптическом операторе с использованием мортарных склеек на линии его разрыва.

Изучению стационарной задачи Стокса уделено особое внимание математиками как у нас в стране, так и за рубежом. Интерес к ней связан, прежде всего, с возможностью эффективного применения предлагаемых алгоритмов и подходов для нахождения решения нелинейных уравнений Навье-Стокса.

Первоначально задача Стокса, в ее классической постановке, была решена методами теории потенциалов. Независимо друг от друга Ф. Одквист [91] и Л. Лихтенштейн [86], благодаря построению гидродинамических потенциалов, нашли классическое решение задачи.

Позднее, в работах Д. Лерэ [81]-[83] была дана вариационная формулировка для уравнений Стокса (в общем случае нелинейных) при изучении слабых решений задачи. Существование решения в такой интерпретации вытекает из классической проекционной теоремы (см., например, [28]), при этом само решение называется обобщенным, а вариационная формулировка — обобщенной постановкой задачи Стокса.

В работах Л. Катабриги [55], С. Агмона, А. Даглиса и Л. Нирен-берга [29], В.А. Солонникова [22]-[24], а также в [25], [2], [6], [76], [110], [87] и [7] разработаны различные подходы к исследованию регулярности как классического, так и обобщенного решений стационарной задачи.

Отметим, что при определенных условиях на исходные данные классическое решение задачи Стокса может не существовать, в то время как существование обобщенного решения имеет место. В диссертации рассмотрен один из таких случаев — разрывность коэффициента кинематической вязкости в дивергентно-градиентной части уравнения. Неоднородность этого характера возникает, например, при моделировании физического процесса, протекающего в химическом реакторе.

В связи с этим в настоящей работе (см. также работы автора [13], [14]) для задачи Стокса предложена-новая обобщенная постановка, основанная на разбиении области на подобласти, где коэффициент вязкости постоянен, и условиях согласования решения на интерфейсе между ними. Для того, чтобы найти обобщенное решение в такой вариационной формулировке, потребовалось разработать эффективный подход к дискретизации задачи с последующей ее численной реализацией.

Созданию и исследованию численных методов решения краевых задач посвящено большое количество работ, которые могут быть условно поделены на две части. К первой из них относятся публикации по аппроксимации задач методом конечных разностей, а ко второй — методом конечных элементов (М К Э).

В своей простейшей форме метод конечных элементов есть процесс построения конечномерных пространств, называемых конечно-элементными пространствами. Эти пространства состоят из . кусочно-полиномиальных функций, определенных на разбиении исходной области.

Впервые М К Э был предложен Р. Курантом в [61], но это важное исследование тогда осталось незамечанным. Затем в начале 50-х годов прошлого столетия метод независимо был переоткрыт инженерами. Наиболее ранние ссылки, широко встречающиеся в литературе, относятся к работам Д. Аргириса [31], [32], М. Тернера, Р. Клафа, X. Мартина и Л. Топпа [100]. Название метода было предложено Р. Клафом [60].

Позднее, в 60-ые годы математиками, начиная с работ С.Г. Мих-лина [10], [11], была показана значимость анализа метода Галеркина и метода Ритца при построении подхода нахождения приближенного обобщенного решения краевых задач. Хотя математикам в то время не были известны достижения инженеров, изучавшиеся ими приближенные методы, как показывают работы Р. Варги [101], Ж. Сеа [56] в одномерном случае и Д. Биркгофа, М. Шульца и Р. Варги [45] в многомерном случае, напоминали М К Э.

Более подробно теоретические результаты М К Э изложены в монографиях Ж. Деклу [3], Г. Стрэнга и Г. Фикса [26], Ф. Сьярле [27], Э. Митчелла и Р. Уэйта [9], Г.И. Марчука и В.И. Агошкова [8], в работах И. Бабушки и Э. Азиза [36], П. Равьяра [93], М. Зламала [106]. В [4], [20], [21] описаны применения М К Э к решению задач, возникающих в различных областях физики и техники.

По своей природе методы конечных элементов разделяются на два типа. Первый тип — согласованные (конформные) М К Э (см. [3], [27], [9], [8], [36], [93]) в том смысле, что

1) сеточное пространство Sh является подпространством исходного пространства 5;

2) используемые в определении дискретной задачи билинейные и линейные формы тождественно соответствуют формам исходной задачи.

Второй тип М К Э включает в себя методы, нарушающие хотя бы одно из условий согласованности. Из практики вычислений можно выделить три основных способа таких нарушений:

1) Численное интегрирование (численная квадратура, приближенное интегрирование, приближенная квадратура). При этом подходе все еще имеет место вложение Sh С S, но для вычисления коэффициентов результирующей системы линейных алгебраических уравнений используются квадратурные формулы. (Общее введение в предмет численного интегрирования представлено в работах С. Хабера [77], Ф. Дэ-виса и Ф. Рабиновича [64], дальнейшее его изучение проводилось Л. Мэнсфилдом [89], [90], П. Равьяром [93], Ф. Сьярле [58]).

2) Метод криволинейных конечных элементов. При этом подходе сеточное пространство Sh не содержится в исходном пространстве S. Такое нарушение встречается при аппроксимации краевой задачи, поставленной в области с криволинейной границей. Внутри области аппроксимация проводится с помощью прямолинейных конечных элементов (элементов с плоскими гранями), а вблизи границы — с помощью конечных элементов, имеющих по крайней мере одну криволинейную грань. Криволинейные конечные элементы используются для того, чтобы как можно лучше аппроксимировать границу области. Преимущественно применяются изопараметрические конечные элементы, впервые предложенные Д. Аргирисом и И. Фридом в [33], И. Ерга-тудисом, Б. Айроном и О. Зенкевичем в [66] и получившие развитие в работе [59]. Наряду с ними, рассматриваются и другие, отличные от изопараметрических, криволинейные конечные элементы. В связи с этим, прежде всего, необходимо отметить работы М. Зламала [107] -[109].

3) Неконформный метод конечных элементов. При этом подходе также не выполняется вложение Sh С 5, такое нарушение включения, например, для задач второго порядка вызвано тем, что конечно - элементные функции из пространства Sh при переходе через границы конечных элементов терпят разрыв, то есть не являются непрерывными. Метод был разработан и проанализирован Г. Стрэнгом в работах [98], [99].

Что касается задачи Стокса, то при ее конечно-элементной аппроксимации возникает дополнительная трудность — правильный учет условия несжимаемости. Существуют два способа для ее преодоления. Первый подход состоит в том, чтобы использовать такое конечно - элементное пространство, в котором предполагается, что дискретный аналог уравнения несжимаемости выполнен точно. Однако данный процесс, чаще всего, приводит к усложнению элементов. Методы этого подхода были изучены М. Фортэном в [70]. Второй подход, предложенный М. Крузеем и П. Равьяром, основан на аппроксимации условия несжимаемости. В работе [62] этими авторами были построены и изучены как конформные, так и неконформные конечно-элементные пространства. Дальнейшему исследованию методов конечно-элементной аппроксимации задачи Стокса посвящены также публикации [34], [43], [67] - [69], [72], [73], [102]. Одними из первых вопросами получения оценок погрешности аппроксимации, зависящих от гладкости обобщенного решения, занимались Р. Келлог и Д. Осборн [78], Д. Осборн [92] и Р. Темам [28]. Общий обзор по данной тематике изложен в монографии Ф. Брецци и М. Фортэна [53].

Первыми численными методами для решения стационарной задачи Стокса в переменных "скорость-давление"были итерационные методы К. Эрроу, Л. Гурвица и X. Удзавы, предложенные без обоснования на дифференциальном уровне в работе [35]. Несмотря на то, что с момента появления этих подходов прошло уже более сорока лет, они остаются основой для создания новых методов. Вопросы их применения для задач гидродинамики изучали Ж. Сеа, Р. Гловински и Д. Неделек [57], М. Фортэн [70], М. Фортэн, Р. Пейрэ и Р. Темам [71]. Одни из первых экспериментальных исследований проблемы оптимального выбора итерационных параметров р (или риа) были проведены Д. Бежи в [38] и М. Фортэном в [70]. Теоретическое решение этой проблемы для одного частного случая дано М. Крузеем в работе [63]. Отметим ряд публикаций [37], [50], [51], [65], [74], [95], [96], [103], [88] и [79], в которых предложены и изучены модернизированные подходы к построению итерационных методов решения системы линейных алгебраических уравнений, возникающей в результате дискретизации исходной задачи, как с использованием переобусловливающих матриц, так и без них.

В настоящей работе обобщенное решение задачи Стокса определяется независимо на подобластях, а на границе между ними производится его согласование с помощью интегральных соотношений (условий слабой непрерывности). Таким образом, возможно проведение независимой дискретизации задачи на подобластях и, более того, при разбиении каждой из подобластей на конечные элементы не требуется следить за тем, чтобы узлы аппроксимации конечно-элементных пространств совпадали на общем интерфейсе, то есть допустимо использование нестыкующихся сеток.

Тематика применения нестыкующихся сеток для приближенного решения краевых задач привлекает внимание многих исследователей с конца 80-х - начала 90-х годов минувшего столетия. Использование таких сеток неразрывно связано с разбиением, или декомпозицией, области и учетом условий согласования на линиях ее раздела. В связи с этим К. Бернарди, И. Мадей и А. Патерой [44] был предложен новый подход - метод мортарных конечных элементов, который значительно расширяет область допустимых аппроксимаций.

Во-первых, в разных подобластях возможно применение различных сеток, не связанных друг с другом, что позволяет:

- использовать разные формы сеточных ячеек;

- строить "скользящие"сетки, когда аппроксимация задачи с движущимися границами осуществляется за счет сдвига, или скольжения вдоль интерфейса, одной подобласти относительно другой, а не за счет трансформации всей сетки;

- генерировать сетки в подобластях независимо от генерации сеток в соседних подобластях;

- использовать сетки с сильным скачком шага при переходе через границу между подобластями, это необходимо в случае сильных скачков коэффициентов задачи;

- строить легко параллелизуемые методы решения возникающих систем линейных алгебраических уравнений.

Во-вторых, в разных подобластях допустимо применение различных типов метода конечных элементов: базисные функции могут зависить как от формы ячейки сетки, так и от степени полиномов и используемых в конечном элементе степеней свободы.

В-третьих, в разных подобластях возможно использование различных типов аппроксимаций, например, метода конечных элементов и метода конечных объемов.

В-четвертых, допустимо применение различных моделей в разных подобластях с минимальными условиями согласования решения на интерфейсе.

Метод мортарных элементов, основанный на выполнении условий слабой непрерывности функций на границах между соседними подобластями, оказывается неконформным. Важно отметить, что в первой версии метода, кроме этого, требовалось удовлетворение функций условиям сильной непрерывности в точках на концах интерфейса между подобластями. Во второй же версии мортарного метода, которая уже стала классической, Ф. Бен Велгасемом в [39] было предложено отказаться от этого требования. В работе [40] Ф. Бен Велгасемом и И. Мадей было показано, что использование второй версии метода дает ощутимое преимущество при исследовании трехмерных краевых задач эллиптического типа. Следует подчеркнуть, что на дискретном уровне подобные неконформные методы независимо от них изучали П. Ле Таллек [84], П. Ле Таллек и Т. Соши [85].

Существуют два подхода для построения метода мортарных элементов.

Первый подход (см., например, [48], [39]) основан на использовании: множителей Лагранжа в интегральном тождестве; дополнительного уравнения в обобщенной постановке задачи — условия слабой непрерывности решения на интерфейсе между подобластями.

При построении приближенного решения задачи получается система линейных алгебраических уравнений, матрица которой обладает седловой структурой и имеет аналогичный алгебраический вид, что и матрица системы при дискретизации задачи типа Стокса. В качестве итерационных процедур для решения вышеупомянутой системы уравнений используют неточный алгоритм Удзавы [50], метод сопряженных градиентов в подпространстве, где седловая матрица положительно определена [52], метод минимальных итераций Ланцоша с блочно-диагональным переобусловливателем [80], [1]. Кроме этого, возможно применение многосеточных методов непосредственно к задачам с сед-ловым оператором [105], [48].

Второй подход основан на отдельном учете условия слабой непрерывности решения на интерфейсе между подобластями. Итерационные методы решения задачи в такой интерпретации рассмотрены в [97], [75].

Отметим, что в случае разрывного множителя задачи второй подход, в отличие от первого, не позволяет качественно учитывать особенности решения на линиях его разрыва.

Методика получения оценок скорости сходимости приближенных по методу мортарных конечных элементов решений к точным решениям краевых задач эллиптического типа в нормах различных пространств разработана Д. Браессом в [49], Б. Волмус в [104], Ф. Бен Белгасемом в [39].

Решению задачи Стокса с постоянным коэффициентом кинематической вязкости на декомпозиционной области с нестыкующимися сетками на интерфейсе между подобластями посвящены публикации Ф. Бен Белгасема [41], [42], в которых применен второй подход, в качестве условия согласования на общей границе подобластей использовано условие слабой непрерывности вектора скоростей. Основная направленность первой статьи состоит в том, чтобы установить inf — sup неравенство (глобальную div - стабилизацию), в случае произвольного разбиения исходной области на непересекающиеся подобласти; во второй статье автором на границах между подобластями предложено использовать (для тетраэдральных сеток) метод с добавлением интерфейсных bubble функций [54].

В настоящей диссертации для двумерной стационарной задачи Стокса рассмотрен случай разрывного (кусочно-постоянного) коэффициента кинематической вязкости в эллиптической части уравнения. Исходная область разбивается на подобласти так, чтобы на каждой из них коэффициент вязкости был постоянен. На декомпозиционной области предложена новая вариационная постановка задачи, учитывающая условия согласования решения на интерфейсе между подобластями. Решение поставленной задачи определяется как обобщенное, что позволяет установить его существование и единственность в специальных пространствах. Вследствие специфики рассматриваемой задачи, а именно, разрыва коэффициента кинематической вязкости, неконформный метод конечных элементов характеризуется следующими особенностями: схема М К Э строится независимо на подобластях на основе определения обобщенного решения соответствующей задачи; при этом конечно-элементное пространство для вектор-функции скорости, не являясь подпространством исходного пространства, содержит непрерывные на конечных элементах и кусочно-линейные на подобластях (разрывные при переходе через границу соседних конечных элементов) вектор-функции, а конечно-элементное пространство для скалярной функции давления, являясь подпространством исходного пространства, состоит из непрерывных на конечных элементах и кусочно-постоянных на подобластях функций; сетки на подобластях имеют постоянные, но отличные друг от друга шаги, вследствие чего они не стыкуются на интерфейсе между подобластями; на общей границе двух подобластей введено мортарное конечно-элементное пространство для выполнения сеточных аналогов условий согласования решения.

Благодаря использованию такого подхода и выбору специальных пространств, для задачи Стокса с разрывным множителем в эллиптической части уравнения установлены степенные (по шагу сетки) оценки скорости сходимости приближенного по методу мортарных конечных элементов решения к точному решению. Кроме этого, для решения системы линейных алгебраических уравнений М К Э предложен способ преобразования при помощи исключения ряда неизвестных, в результате чего удается существенно уменьшить их число и количество уравнений, а также построить эффективный итерационный метод решения поставленной задачи с переобуславливаем, используя обобщенный метод минимальных невязок.

Перейдем к более подробному описанию полученных результатов. Диссертация состоит из введения и трех глав.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Рукавишников, Алексей Викторович, 2005 год

1. Василевский Ю.В. Методы решения краевых задач с использованием нестыкующихся сеток// Труды Математического центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань: Унипресс, 1999. - С. 94-121.

2. Ворович И.И., Юдович В.И. Стационарные течения вязкой несжимаемой жидкости// Матем. сб. 1961. - Т.53. - С. 393-428.

3. Деклу Ж. Метод конечных элементов. М.: Мир, 1976. - 92 с.

4. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. - 541 с.

5. Ильин В.П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений. Новосибирск: Изд - во Ин -та математики, 2000. - 345 с.

6. Кошелев А.И. Об ограниченности в Lp производных от решений эллиптических дифференциальных уравнений// Матем. сб. -1956. Т.38. - С. 359-372.

7. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970. - 288 с.

8. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981. - 416 с.

9. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир, 1981. - 216 с.

10. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. -М.: Наука, 1957. 476 с.

11. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966. - 432 с.

12. Рукавишников А.В. Численный метод решения задачи Стокса с разрывным коэффициентом// Вычислительные методы и программирование. 2005. - Т.6, Я 1. - С. 21-30.

13. Рукавишников А.В., Рукавишников В.А. Оценка скорости сходимости неконформного метода конечных элементов для задачи Стокса с разрывными коэффициентами. Хабаровск, 2003. -57 с. (Препринт N 71/ Вычислительный центр ДВО РАН).

14. Рукавишников А.В. Численный метод решения задачи Стокса с разрывными коэффициентами в прямоугольнике. Владивосток: Дальнаука, 2002, часть I, 38 с. (Препринт N 10/ Хабаровское отделение Ин-та прикладной математики ДВО РАН).

15. Рукавишников А.В. Численный метод решения задачи Стокса с разрывными коэффициентами в прямоугольнике Владивосток: Дальнаука, 2003, часть II, 20 с. (Препринт N 04/ Хабаровское отделение Ин-та прикладной математики ДВО РАН).

16. Рукавишников А.В. О дифференциальных свойствах решения задачи Стокса с разрывным коэффициентом. Владивосток: Дальнаука, 2004. - 36 с. (Препринт Я 09/ Хабаровское отделение Ин-та прикладной математики ДВО РАН).

17. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. - 392 с.

18. Сильвестер П. Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков. М.: Мир, 1986. - 229 с.

19. Солонников В.А. Оценки тензоров Грина для некоторых граничных задач// Докл. АН СССР. 1960. - Т.130. - С. 988-991.

20. Солонников В.А. Априорные оценки для некоторых граничных задач// Докл. АН СССР. 1961. - Т.138. - С. 781-784.

21. Солонников В.А. Об общих краевых задачах для систем эллиптических в смысле Даглиса Ниренберга, ч. 1 // Изв. АН СССР, сер. матем. - 1964. - Т.28. - С. 665-706.

22. Солонников В.А., Скадилов В.Е. О краевой задаче для стационарной системы Навье-Стокса// Тр. Мат. ин та им. В.А. Стек-лова. - 1973. - Т.125. - С. 196-210.

23. Стренг Г., Фикс Г. Теория метода конечных элементов. ~М.:Мир, 1977. 349 с.

24. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980. - 512 с.

25. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. М.: Мир, 1981. - 408 с.

26. Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic differential equations satisfying general boundary conditions. Part II// Comm. Pure Appl. Math. 1964. - V.17. -P. 35-92.

27. Agouzal A., Thomas J.-P. Une methode d'element finis hybrides en decomposition de domaines// RAIRO Math. Model. Anal. Numer. -1995. V.29. - P. 749-764.

28. Argyris J. Energy theorems and structural analysis. Part I: General theory// Aircraft engineering. 1954. - V.26. - P. 347-356.

29. Argyris J. Energy theorems and structural analysis. Part II: General theory// Aircraft engineering. 1955. - V.27. - P. 42-58.

30. Argyris J., Fried I. The LUMINA element for the matrix displacement method (Lagrangian interpolation)// The Aeron. J. the Royal aeronautical society. 1968. - V.72. - P. 514-517.

31. Arnold D., Brezzi F. Mixed and non-conforming finite element methods: implementation, postprocessing and error estimates// RAIRO Math. Model. Anal. Numer. 1985. - V.19. - P. 7-35.

32. Arrow K., Hurwicz L., Uzawa H. Studies in linear and non-linear programming. Stanford: Stanford Univ. Press, 1958. - 334 p.

33. Bank R., Welfert В., Yserentant H. A class of iterative methods for solving saddle point problems// Numer. Math. 1990. - V.55. -P. 645-666.

34. Begis D. Analyse numerique de l'ecoulement d'un fluide de bingham// These, Universite Paris VI. 1972.

35. Ben Belgacem F. The mortar finite element method with Lagrange multipliers// Numer. Math. 1999. - V.84. - P. 173-197.

36. Ben Belgacem F., Maday Y. The mortar element method for three dimensional finite elements// RAIRO Math. Model. Anal. Numer. -1997. V.31. - P. 289-302.

37. Ben Belgacem F. The mixed mortar finite element method for the incompressible Stokes problem: convergence analysis// SIAM J. Numer. Anal. 2000. - V.37, N 4. - P. 1085-1100.

38. Ben Belgacem F. A stabilized domain decomposition method with nonmatching grids for the Stokes problem in three dimensions// SIAM J. Numer. Anal. 2004. - V.42, N 2. - P. 667-685.

39. Bercovier M., Pironneau O. Error estimates for finite element method of the Stokes problem in the primative variables// Numer. Math. 1977. - V.33. - P. 211-224.

40. Bernardi C., Maday Y., Patera A. A New nonconforming approach to domain decomposition: the mortar element method// In: Nonlinear Partial Differential Equations and their Applications. Paris: Pitman, 1989. - P. 13-51.

41. Birkhoff G., Schultz M.H., Varga R.S. Piecewise Hermite interpolation in one and two variables with applications to partial differential equati- ons// Numer. Math. 1968. - V.ll. - P. 232-256.

42. Bjorstad P.E., Widlund O.B. Iterative methods for the solutions of elliptic problems on regions partitioned in substructured// SI AM J. Numer. Anal. 1986. - V.23, N 6. - P. 1097-1120.

43. Boland J.M., Nicolaides R.A. Stability of finite elements under divergence constraints// SIAM J. Numer. Anal. -1983. V.20, N 4. - P. 722731.

44. Braess D., Dahmen W., Wieners C. A multigrid algorithm for the mortar finite element methods// SIAM J. Numer. Anal. 1999. -V.37, N 1. - P. 48-69.

45. Braess D. Finite elements: Theory, fast solvers, and applications in solid mechanics. Cambridge: Cambridge University Press, 1997. -322 p.

46. Bramble J., Pasciak J., Vassilev A. Analysis of the inexact Uzawa algorithm for saddle point problems// SIAM J. Numer. Anal. 1997. -V.34. - P. 1072-1092.

47. Bramble J., Pasciak J., Vassilev A. Uzawa type algorithms for nonsy-mmetric saddle point problems// Math. Сотр. 2000. - V.69. -P. 667-689.

48. Bramble J., Pasciak J. A preconditioning technique for indefinite systems resulting from mixed approximations of elliptic problems// Math. Сотр. 1988. - V.50. - P. 1-17.

49. Brezzi F., Fortin M. Mixed and hybrid finite element methods. -N.Y.: Springer Verlag, 1991. - 350 p.

50. Brezzi F., Marini D. Error estimates for the three-field formulation with bubble stabilization// Math. Сотр. 2001. - V.70. - P. 911-934.

51. Cattabriga L. Su un problema al contorno relativo al sistema di equazioni di Stokes// Rend. Mat. Sem. Univ. Padova. -1961. V.31. -P. 308-340.

52. Cea J. Approximation variationnele des problemes aux limites// Ann. Inst. Fourier. 1964. - V.14. - P. 345-444.

53. Cea J., Glowinski R., Nedelec J. Minimization de fonctionelles non differentiables// Lecture Notes in Math. V.228. - Berlin: Springer -Verlag, 1971. - P. 19-38.

54. Ciarlet P., Raviart P. Interpolation theory over curved elements, with applications to finite element methods// Comput. J. Methods Appl. Mech. Engrg. 1972. - V.l. - P. 217-249.

55. Clough R.W. The finite element method in plane stress analysis// Proceedings of the Second ASCE Conference on Electronic Computation. Pittsburg, 1960. - P. 345-378.

56. Courant R. Variational methods for the solution of equilibrium and vibrations// Bull. Amer. Math. Soc. 1943. - V.49. - P. 1-23.

57. Crouzeix M., Raviart P.A. Comforming and non-conforming finite element methods for solving the stationary Stokes equations // RAIRO Anal. Numer. 1973. - V.7. - P. 33-76.

58. Crouzeix M. Sur 1'approximation des equations differentielles operati-onnelles lineaires par des methodes de Runge-Kutta// These, Universi-te Paris VI. 1975.

59. Davis P.J., Rabinowitz P. Methods of numerical integration. N.Y.: Academic Press, 1975. - 459 p.

60. Dyn N., Ferguson W. The numerical solution of equality — constrained quadratic programming problems// Math. Сотр. 1983. -V.41. - P. 165-170.

61. Ergatoudis I., Irons В., Zienkiewicz О. Curved, isoparametric, "quadrilateral "elements for finite element analysis// Internat. J. Solids and Structures. 1968. - V.4. - P. 31-42.

62. Palk R. An analysis of the finite element method using Lagrange multipliers for the stationary Stokes equations// Math. Сотр. 1976. - V.30. - P. 241-249.

63. Falk R. A finite element method for the stationary Stokes equation using trial functions which do not have to satisfy div v = 0// Math. Сотр. 1976. - V.30. - P. 698-702.

64. Falk R., King J. A penalty and extrapolation method for the stationary Stokes equations// SIAM J. Numer. Anal. 1976. - V.13. -P. 814-829.

65. Fortin M. Calcul numerique des ecoulements des fluides de Bingham et des fluides Newtoniens incompressible par la methode des elements finis// These, Universite Paris VI. 1972.

66. Fortin M., Peyret R., Temam R. Resolution numeriques des equations de Navier-Stokes pour un fluide in compressible// J. de Mecani-que. 1971. - V.18, N 3. - P. 357-390.

67. Girault V., Raviart P. Finite element approximation of Navier-Stokes equations// Lecture Notes in Math. V.749. - Berlin: Springer -Verlag, 1971. - 202 p.

68. Girault V., Raviart P. Finite element method for Navier-Stokes equations. Theory and Algorithms. Berlin: Springer - Verlag, 1986. -376 p.

69. Golub G., Wathen A. An iteration for indefinite systems and its application to the Navier-Stokes equations// SIAM J. Sci. Comput. -1998. V.19. - P. 530-539.

70. Gopalakrishnan J., Pasciak J. Multigrid for the mortar finite element method// SIAM J. Numer. Anal. 2000. - V.37, N 3. - P. 1029-1053.

71. Greco D. Nuove formola integrali di maggiorazione per le soluzioni di un'equazione lineare di tipo elliptico ed applicazioni alia teoria del potenziale// Ric. Mat. 1956. - V.5. - P. 126-149.

72. Haber S. Numerical evaluation of multiple integrals// SIAM Rev. -1970. V.12. - P. 481-526.

73. Kellog R., Osborn J. A regularity result for the Stokes problem in a convex polygon// J. Functional Analysis. 1976. - V.21. - R 397-431.

74. Kobelkov G.M. On numerical methods of solving the Navier-Stokes equations in "velocity-pressure"variables// In: Numerical Methods and Applications. Amsterdam: CRC Press Inc., 1994. - P. 81-115.

75. Kuznetsov Yu.A. Efficient iterative solvers for elliptic finite elements problems on nonmatching grids// Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1995. - V.10, N 3. - P. 187-211.

76. Leray J. Etude de diverses equations integrales nonlineaires et de quelques problemes que pose l'hydrodynamique// J. Math. Pures et Appl. 1933. - V.12. - P. 1-82.

77. Leray J. Essai sur les mouvements plans d'un liquide visqueux que limitent des parois// J. Math. Pures et Appl. 1934. - V.13. - P. 331418.

78. Leray J. Essai sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace// Acta Math. 1934. - V.63. - P. 193-248.

79. Le Tallec P. Domain decomposition methods in computational mechanics// Computational mechanics advances. 1994. - V.l, N 2. -P. 121-220.

80. Le Tallec P., Sassi T. Domain decomposition with nonmatching grids: augmented Lagrangian approach// Math. Сотр. 1995. - V.64. -P. 1367-1396.

81. Lichtenstein L. Uber einige existenzprobleme der hydrodynamik// Math. Zeit. 1928. - V.28. - P. 387-415.

82. Lions J.L., Magenes E. Non-homogeneous boundary value problems and applications. Part I. N.Y.: Springer-Verlag, 1972. - 357 p.

83. Little L., Saad Y. Block LU preconditioners for symmetric and nonsy-mmetric saddle point problems. Minnesota: Minnesota Supercompu-ting Inst., 1999. - 23 p.

84. Mansfield L.E. On the optimal approximation of linear functional in spaces of bivariate functions// SIAM J. Numer. Anal. -1971. V.8. -P. 115-126.

85. Mansfield L.E. On the variational characterization and convergence of bivariate splines// Numer. Math. 1972. - V.20. - P. 99-114.

86. Odqvist F. Uber die randwertaufgaben der hydrodynamik zaher flussi-gkeiten// Math. Zeit. 1930. - V.32. - P. 329-375.

87. Osborn J. Regularity of solution of the Stokes problem in a polygonal domain// In: Numerical Solution of Partial Differential Equations -III (SYNPADE 1975) (Hubbard B. eds.). N.Y.: Academic Press, 1976. - P. 393-411.

88. Raviart P.A. Methode des elements finis// These, Universite Paris VI. 1972.

89. Rusten Т., Winther R. A preconditioned iterative method for saddle point problems// SIAM J. Matrix Anal. Appl. 1992. - V.13. -P. 887-904.

90. Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems. New Jersey: PWS, 1996. - 450 p.

91. Shi Z., Xu X. Multigrid for the Wilson mortar element method// Сотр. Methods in Appl. Math. 2001. - V.l, N 1. - P. 99-112.

92. Strang G. Variational crimes in the finite element method// In: The Mathematical Foundations of the Finite Element Method with Applications to Partial Differential Equations (Aziz A. eds.). N.Y.: Academic Press, 1972. - P. 689-710.

93. Strang G. Approximation in the finite element method// Numer. Math. 1972. - V.19. - P. 81-98.

94. Turner M.J., Clough R.W., Martin H.C., Topp L.J. Stiffness and deflection analysis of complex structures// J. Aero Sci. 1956. - V.23. -P. 805-823.

95. Varga R.S. Hermite interpolation type Ritz methods for two-point boundary value problems// In: Numerical Solution of Partial Differential Equations (Bramble J.H. eds.). - N.Y.: Academic Press, 1966. -P. 365-373.

96. Verfurth R. Error estimates for a mixed finite element approximation of the Stokes equations// RAIRO Anal. Numer. 1984. - V.18. -P. 175-182.

97. Verfurth R. A combined conjugate gradient-multigrid algorithm for the numerical solution of the Stokes problem// IMA J. of Num. Anal. 1984. - V.4. - P. 441-455.

98. Wohlmuth B. Hierarchical a posteriori error estimators for mortar finite element methods with Lagrange multipliers// SIAM J. Numer. Anal. 1999. - V.36, N 5. - P. 1636-1658.

99. Wohlmuth B. A multigrid method for saddle point problems arising from mortar finite element discretizations// ETNA. 2000. - V.ll. -P. 43-54.

100. Zlamal M. On the finite element method// Numer. Math. 1968. -V.12. - P. 394-402.

101. Zlamal M. A finite element procedure of the second order of accuracy// Numer. Math. 1970. - V.14. - P. 394-402.

102. Zlamal M. Curved elements in the finite element method. Part I// SIAM J. Numer. Anal. 1973. - V.10. - P. 229-240.

103. Zlamal M. Curved elements in the finite element method. Part II// SIAM J. Numer. Anal. 1974. - V.ll. - P. 347-362.

104. Zygmund A., Calderon A. On the existence of certain singular integrals// Acta Math. 1952. - V.88. - P. 85-139.