Разработка и исследование итерационных методов в вычислительной малоракурсной томографии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Казанцев, Даниил Иванович

• Казанцев, Даниил Иванович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Казанцев, Даниил Иванович

Введение б

Глава 1. Томографические методы восстановления изображений с параллельной системой регистрации проекционных данных

1.1 Основные определения.

1.2 Аналитические алгоритмы на основе интегральных преобразованиях в задачах томографии.

1.2.1 Метод Фурье - синтеза.

1.2.2 Метод фильтрации и обратного проецирования

1.3 Итерационные томографические методы

1.3.1 Итерационный алгоритм алгебраической реконструкции

1.3.2 Методы максимума энтропии и мультипликативного АКТ.

1.3.3 Итерационный алгоритм Гершберга - Папулиса

1.3.4 Алгоритм реконструкции на основе разложения в ряд Неймана (ШЭЬ).

1.4 Некорректность задач томографии и методы их регуляризации

1.5 Выводы.

Глава 2. Численная реализация двух итерационных алгоритмов компьютерной томографии с параллельной системой сканирования 49 2.1 Параллельный итерационный алгоритм Гершберга-Папулиса 50 2.1.1 Библиотека элементарных фантомов для моделирования томографического эксперимента

2.1.2 Выбор метода интерполяции в алгоритме Г-П

2.1.3 Влияние ширины полосы влияния в полосовой интерполяции на сходимость алгоритма Г-П.

2.1.4 Выбор начальной ширины полосы влияния в полосовой интерполяции и комбинированная интерполяция

2.1.5 Влияние весовых коэффициентов на сходимость алгоритма Г-П.

2.1.6 Двумерная фильтрация проекционных данных в Фурье пространстве.

2.1.7 Критерии останова итерационного процесса по минимуму невязки.

2.1.8 Результаты алгоритма Г-П с использованием четвертого критерия останова итерационного процесса по минимуму невязки.

2.1.9 Одномерная фильтрация проекционных данных в Фурье пространстве.

2.2 Параллельный итерационный алгоритм Шеппа - Логана и численные результаты.

2.2.1 Сравнение итерационного алгоритма Г-П и классического алгоритма Шеппа - Логана

2.2.2 Итерационный алгоритм NDSL.

2.2.3 Выбор параметра релаксации для NDSL.

2.2.4 Реконструкции томограмм, полученные итерационными алгоритмами Г-П и NDSL.

2.3 Решение задачи стеганографии с помощью итерационного отделения возмущения на синограмме.

2.3.1 Алгоритм отделения возмущения от проекционных данных.

2.3.2 Эксперимент по отделению возмущения от фонового изображения.

2.3.3 Решение задачи стеганографии с помощью итерационного отделения возмущения от синограммы

2.4 Выводы.

Глава 3. Веерный итерационный алгоритм Гершберга - Папулиса

3.1 Двумерная задача томографии в веерной постановке

3.1.1 Примеры деформации.

3.1.2 Две модификации итерационного веерного алгоритма Гершберга - Папулиса.

3.1.3 Численная реализация итерационного веерного алгоритма Гершберга - Папулиса.

3.1.4 Сравнение результатов итерационного алгоритма Г

П для параллельной и веерной систем сбора данных

3.1.5 Численные результаты веерного Г-П при увлечении разрешения томограмм

3.2 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка и исследование итерационных методов в вычислительной малоракурсной томографии»

Актуальность работы. Во многих областях науки, таких как медицина, геофизика, астрофизика, промышленная дефектоскопия, диагностика плазмы и других, возникает проблема определения внутренней структуры объектов. Для решения данной задачи во многих случаях являются неприемлемыми прямые методы исследования, связанные с разрушением объекта, поэтому создаются специальные системы получения данных. Физический принцип этих систем состоит в использовании воздействия, представляющего собой физический процесс произвольной природы (излучение, волновое поле и.т.д.), и последующей регистрации отклика этого процесса на объект.

В некоторых важных случаях восстановление изображений является вообще практически единственным средством получения информации. Это относится, например, к томографии - получению изображения по набору проекций. Наиболее распространена томография в медицинской диагностике. Однако различные методы вычислительной томографии, позволяющие исследовать внутреннюю структуру объекта не разрушая его, применяются сейчас во многих областях, таких как электронная микроскопия, биохимия, физика Земли, радиоастрономия, исследования океана и космоса.

Вычислительная томография применима в тех случаях, когда внутренняя структура объекта может быть исследована с помощью некоторого вида излучения, которое распространяется с интенсивностью, убывающей по формуле: где /о - начальная интенсивность излучения луча Ь, до его прохождения через исследуемый объект, а Д - интенсивность после прохождения. Здесь д{х) - коэффициент ослабления. Решая задачу восстановления функции д(х) можно восстановить требуемые внутренние характеристики объекта. Например, при рентгеновском просвечивании коэффициент поглощения связан с плотностью биотканей, а при диагностике плазмы - с пространственным распределением температур, концентраций электронов и ионов.

Так как не существует точных формул восстановления по конечному набору проекций, решение задачи восстановления на практике ищется в виде приближенного решения. Для задач, когда число ракурсов мало, необходимым условием для нахождения такого решения является применение априорной информации о восстанавливаемом объекте. Использование методов регуляризации при наличии шумовых компонент в проекционных данных способствует нахождению устойчивого решения задачи. Так как в каждом конкретном случае имеем свою постановку задачи, то основной проблемой становится выбор наилучшего алгоритма для ее решения. Основными критериями качества алгоритма реконструкции являются качество восстановленного изображения и время его получения.

Целью работы является разработка и исследование новых итерационных методов в задачах малоракурсной вычислительной томографии, а также их применение в цифровой обработке изображений; создание и реализация интерактивного диалогового программного комплекса на универсальной ЭВМ.

В соответствии с поставленной целью в диссертационной работе решаются следующие задачи:

- модернизация и исследование итерационного алгоритма Гершберга -Папулиса для параллельной геометрии сбора данных. Введение в алгоритм новых, вспомогательных параметров, способных увеличить скорость сходимости итерационного процесса и уменьшить итоговую погрешность реконструкции. Подробное исследование вопросов регуляризации;

- для сравнения с алгоритмом Гершберга - Папулиса создание второго итерационного алгоритма для параллельной геометрии, направленного на применение в задачах малоракурсной томографии (разложение обратного оператора Радона в ряд Неймана). На основе полученного алгоритма решение задачи стеганографии (скрытие одного изображения в другом);

- вывод теоремы о центральном сечении для веерной геометрии сканирования с помощью деформирующего преобразования и ее численная проверка на тестовых моделях. На основе полученной теоремы: создание, разработка и исследование итерационного алгоритма Гершберга

Папулиса для веерной системы сбора данных. Сравнение между собой всех исследуемых в диссертации итерационных алгоритмов; - создание удобного в применении пользователем ЭВМ интерактивного диалогового приложения, в котором существует возможность проводить вычислительный эксперимент для любой из поставленных в диссертации томографических задач.

Методы исследования. Основные результаты работы получены с использованием интегральной геометрии и вычислительных методов, а также методов цифровой обработки изображений и математического моделирования. Для численного моделирования и программной реализации разработанных алгоритмов использовались методы прикладного программирования.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Разработана модифицированная версия алгоритма Гершберга - Папулиса для параллельной системы сбора данных. Посредством применения нового типа интерполяции (комбинированной) и применения весовых множителей удается ускорить сходимость и получать более точные результаты реконструкции. В итерационный процесс введены новые критерия его останова.

2. Представлена новая теорема о центральном сечении применительно к веерной геометрии сбора данных, на основе которой становится возможным перенос многих алгоритмов с параллельной геометрии на веерную, в частности впервые создан итерационный алгоритм Гершберга - Папулиса для решения томографической задачи с веерными проекционными данными.

3. Создан итерационный алгоритм отделения помехи от синограммы на основе разложения обратного оператора Радона в ряд Неймана, с помощью которого исследована задача стеганографии применительно к томографической постановке. Впервые осуществлено скрытие одного изображения в другом в пространстве Радона, а затем его итерационное восстановление.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Предложены модифицированные томографические методы для восстановления изображений с параллельной системой регистрации проекционных данных, направленные на задачи с малым числом ракурсов.

2. Разработан новый итерационный алгоритм Гершберга - Папулиса для веерной геометрии сбора данных.

3. Решена задача стеганографии с помощью математического аппарата томографии.

Практическая ценность работы. Предложенный в диссертации итерационный алгоритм Гершберга - Папулиса может быть применен для обработки экспериментальных данных в физической томографии с малым числом параллельных проекций. Впервые предложен новый алгоритм Гершберга - Папулиса для обработки веерных экспериментальных данных.

Достоверность результатов полученных результатов и выводов подтверждается анализом разработанных численных алгоритмов и проведением численных экспериментов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на международной конференции "Математические методы в геофизике - ММГ" (Новосибирск, 2003 г.), международном симпозиуме "International Symposium on Computed Tomography and Image Processing for Industrial Radiology" (Берлин, Германия, 2003 г.), международной конференции "Perspectives in Inverse Problems" (Хельсинки, Финляндия, 2004 г.), международной конференции "Applied Inverse Problems" (Сайренсэстэр, Англия, 2005 г.), 4-ом международном конгрессе "4-th World Congress on Industrial Tomography" (Эйзу, Япония, 2005 г.), международной конференции "Review of Progress in Quantitative NDE" (Брунсвик, США, 2005 г.), международной конференции "Обратные и некорректные задачи" (Новосибирск, 2007 г.), конференции молодых ученых ИВМиМГ СО РАН (Новосибирск, 2008 г.), международной конференции IEEE Region 8 Intl. Conf. SIBIRCON 2008 (Новосибирск, 2008 г.), международном конгрессе Nuclear Science Symposium, Medical Imaging Conference IEEE (Dresden, 2008г.), а также на семинарах лаборатории обработки изображений ИВМиМГ СО РАН, ИВТ СО РАН, ИМ им.С.Л. Соболева СО РАН и ИТПМ им. С.А. Христиановича СО РАН. Результаты исследований, проводимых в рамках работы над диссертацией, отмечены первой премией конференции молодых ученых ИВМиМГ СО РАН (2008г.).

Личный вклад автора. Основные научные и практические результаты диссертации получены автором лично. Вывод теоремы о центральном сечении для веерной геометрии принадлежит д.ф.-м.н. В.В. Пикалову и д.ф.-м.н. В.П. Голубятникову, автору принадлежит се численная проверка. Из печатных работ, опубликованных диссертантом в соавторстве, в диссертацию вошли только те результаты, в получении которых он принял непосредственное творческое участие.

Публикации. Результаты исследований по теме диссертационной работы опубликованы в 11 печатных работах.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 69 наименований и двух приложений. Содержание основного текста диссертации изложено на 170 страницах, содержит 74 иллюстрации, 2 таблицы и 2 блок-схемы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Казанцев, Даниил Иванович

Основные результаты работы

1. Разработаны модифицированные методы двумерной малоракурсной томографии с параллельной системой сбора данных. За счет модернизации алгоритма Г-П была улучшена его сходимость и итоговые погрешности реконструкции стали меньше. В итерационный алгоритм Г-П были успешно введены следующие методики улучшения качества реконструкции: новый тип интерполяции (комбинированная интерполяции), учет весовых коэффициентов в Фурье - пространстве, двумерная регуляризация, одномерная фильтрация проекционных данных, и критерии останова итерационного процесса по минимуму нормы невязки. Показано, что влияние 3-5% шумов не позволяет алгоритму разойтись, так как сам алгоритм обладает регуляризирующими свойствами.

2. Метод ИВБЬ показал более длительную сходимость итерационного процесса в отличие от алгоритма Г-П, однако конечные результаты реконструкций и итоговая погрешность не уступают по качеству результатам Г-П. Алгоритм КББЬ при использовании зашумленных данных дает результаты значительно худшие чем алгоритм Г-П, так как не обладает никакими регуляризирующими свойствами. Однако при применении одномерной фильтрации к зашумленным проекциям, N031; стремится к точности результатов алгоритма Г-П и в зависимости от выбранной модели, иногда превосходит их.

3. Предложен новый метод решения одной из задач стеганографии, в котором продемонстрирована возможность скрытия изображения с помощью методов томографии. Новый итерационный алгоритм, основанный на методе N0311, способен разделить наложение двух изображений - возмущения и синограммы (фона), с использованием прямого и обратного преобразований Радона. Полученные результаты демонстрируют возможность скрытия одного изображения в другом и разделения их в предложенном итерационном процессе.

4. Посредством переноса теоремы о центральном сечении на веерную геометрию разработан новый итерационный алгоритм Г-П для веерной системы сбора данных. Результаты восстановления томограмм, полученные при использовании веерного Г-П, являются лучшими среди алгоритмов рассмотренных в данной диссертации.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Казанцев, Даниил Иванович, 2009 год

1. Бремерман Г. Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье. -М.: Мир, 1968.

2. Василенко Г.И., Тараторин A.M. Восстановление изображений. -М.: Радио и связь, 1986.

3. Вишняков Г.Н., Гильман Г.А., Левин Г.Г. Восстановление томограмм при ограниченном числе проекций. Итерационные методы. // Опт. спектр. -1985. -Т. 58, №2. -С.406-413.

4. Вишняков Г. Н., Левин Г. Г., Сухоруков К. А. Итерационный метод улучшения качества реконструкции трехмерной поверхности. // Опт. спектр. -2005. -Т.99, №6, -С. 1052 1055.

5. Вишняков Г. Н., Левин Г. Г., Лощилов К. Е Сухоруков К. А. Фурье -синтез трехмерной поверхности по методу многоракурсной проекции полос. // Опт. спектр. -2005. Т.99, №4, -С.680 684.

6. Губарени Н. М. Вычислительные методы и алгоритмы малоракурсной компьютерной томографии. -Киев.: Наукова Думка, 1997.

7. Грибунин В.Г., Оков И.Н., Туринцев И.В. Цифровая стеганография. -М.: СОЛОН-Пресс, 2002.

8. Дьяконов В. MATLAB. Обработка сигналов и изображений. Специальный справочник. -СПб.: Питер, 2002.

9. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. -М.: Наука, 1980.

10. Конахович Г. Ф., Пузыренко А. Ю. Компьютерная стеганография. Теория и практика. -Киев: МК-Пресс, 2006.

11. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. -М.: Наука, 1974.

12. Лихачев A.B., Пикалов В.В. Новый метод определения неизвестного аддитивного фона в проекционных данных в задаче трехмерной томографии. // ЖВММФ. -2002. -Т.42, ЖЗ. -С.85-97.

13. Лихачев A.B., Пикалов В.В. Трехмерная эмиссионная томография оптически плотной плазмы при известном поглощении. // Опт. спектр. 2000. -Т. 88, №.5. -С.740-749.

14. Лихачев A.B., Пикалов В.В. Трехмерная эмиссионная томография рассеивающей плазмы. // Опт. спектр. 2002. -Т. 92, №.6. -С.988-999.

15. Лихачев A.B., Пикалов В.В. Частотная фильтрация в алгебраических алгоритмах трехмерной томографии. // Автометрия. -1995. -№.4. -С.83-89.

16. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. -М.: Наука, 1980.

17. Морозов В.А. Методы решения неустойчивых задач. -М.: Изд. МГУ, 1967.

18. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. -М.: Мир, 1990.

19. Пикалов В.В., Мельникова Т.С. Томография плазмы. Новосибирск.: Наука, 1995.

20. Пикалов В.В., Преображенский Н.Г. Реконструктивная томография в газодинамике и физике плазмы. -Новосибирск.: Наука, 1987.

21. Пикалов В.В., Лихачев A.B. Применение метода Гершберга-Папулиса в трехмерной доплеровской томографии. // Вычислительные методы и программирование. -2004. -Т.5, №2. -С.27-34.

22. Пикалов В.В., Казанцев Д.И. Свойства регуляризованного алгоритма Гершберга Папулиса в задаче веерной томографии. // Вычислительные технологии. -2008. -Т.13. No.6. -С. 121-133.

23. Пикалов В.В., Казанцев Д. И., Голубятников В.П. Обобщение теоремы о центральном сечении на задачу веерной томографии. // Вычислительные методы и программирование. -2006. -Т.7, №2. -С. 180184.

24. Пикалов В.В., Казанцев Д.И., Итерационное восстановление возмущения синограммы в пространстве Радона для задачи стеганографии. // Вычислительные методы и программирование. -2008. -Т.9. №.1. -С.1-9.

25. Пикал ob В.В., Непомнящий A.B. Итерационный алгоритм с вэйвлет-фильтрацией в задаче двумерной томографии. // Вычислительные методы и программирование. -2003. -Т.4. №.2. -С.75-84.

26. Пикалов В.В., Преображенский Н.Г. Вычислительная томография и физический эксперимент. // УФН. -1983. -Т.141, №3. -С.469-498.

27. Преображенский Н.Г., Пикалов В.В. Неустойчивые задачи диагностики плазмы. Новосибирск: Наука, 1982.

28. Скаддср Г.Дж. Введение в машинную томографию. //ТИИЭР. -1978. -Т.66, №5. -С.5-16.

29. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1986.

30. Хермен Г. Восстановление изображений по проекциям. Основы реконструктивной томографии. -М.: Мир, 1983.

31. Хелгасон С. Преобразование Радона. -М.: Мир, 1983.

32. Шафер Р. У., Мерсеро Р. М., Ричарде М. А. Итерационные алгоритмы восстановления сигналов при наличии ограничений. // ТИИЭР. -1981. Т.69, №4. -С.34-55.

33. Barrett H.H., Swindell W. Radiological Imaging. -New York: Academic Press, 1981.

34. Bracewell R. N. Strip integration in radio astronomy. //Aust. J. Phys. 1956. -Vol.9. -P.198-217.

35. Connolly T.J., Landman K.A., White L.R. On Gerchberg's method for the Fourier inverse problem // Austral math. Soc. Ser. 1995. Vol.69. -P.26-44.

36. Censor Y. Finite series-expansion reconstruction methods. // Proc. IEEE. 1983. -Vol.71, No.3. -P.409-419.

37. Chen G.-H., Leng S., Mistretta C.A. A novel extension of the parallel-beam projection-slice theorem to divergent fan-beam and cone-beam projections. // Medical Physics. 2005. -Vol.32, No.3. -P.654-665.

38. Chen G.-H., Leng S. A new data consistency condition for fan-beam projection data. // Medical Physics. 2005. -Vol.32, No.4. -P.961-967.

39. Chen G., Leng S., Mistretta C.A. A novel extension of the parallel -beam projection slice theorem to divirgent fan beam and cone - beam projections. // Med. Physiscs. 2005. -Vol.32, No.3. -P.654-665.

40. Defrise M., De Mol C. A regularized iterative algorithm for limited-angle inverse Radon transform. // Optica Acta. 1983. -Vol.30, No.4. -P.403-408.

41. Deans S.R. The Radon transform and some of its applications. -N.Y.: John Wiley, 1983.

42. Ficnup J.R. Phase retrieval algorithms a comparison. // Applied Optics. 1982. -Vol.21, No.15. -P.2758-2769.

43. Gerchberg R. W. Super rcsulotion through error energy reduction. // Opt. Acta., 1974., -Vol.21. -P.709 720.

44. Gerchberg R.W., Saxton W.O. A practical algorithm for the determination of phase from image and diffraction plane pictures. // Optik. 1972. -Vol.35. -P.237-246.

45. Gordon R., Bender R., Herman G.T. Algebraic reconstruction techniques (ART) for three-dimensional electron microscopy and X-ray photography. // J. Theor. Biol. 1970. -Vol.29, No.3. -P.471-481.

46. Hayes M.H., Lim J.S., Oppemheim A.V. Signal reconstruction from phase of magnitude. // IEEE Trans. Acoust. Speech and Signal Process. 1980. -Vol. 28. -P.672-680.

47. Herman G.T., Lent A. Iterative reconstruction algorithms. // Comput. Biol. Med. 1976. -Vol.6, No.4. -P.273-294.

48. Kak A.C., Slaney M. Principles of computerized tomographic imaging. -New York: IEEE Press, 1988.

49. Likhachov A.V., Pickalov V.V. Modification of Feldkamp algorithm for bifocal tomography. // Automation, Control, and Information Technology Proc. IASTED Int. Conf. -Novosibirsk, 2002. -P.474-479.

50. Marchand P., Holland T. Graphics and GUIs with Matlab. -N.Y.: CRC, 2003.

51. Mersereau R.M., Oppenheim A.V. Digital reconstruction of multidimensional signals from their projections. // Proc. IEEE. 1974. -Vol.62, No.10. -P.1319-1338.

52. Mersercau R.M. Direct Fourier transform techniques in 3-D image reconstruction. // Comput. Biol. Med. 1976. -Vol.6, No.4. -P.247-258.

53. Minerbo G. MENT: a maximum entropy algorithm for reconstructing a source from projection data. // Comput. Graph. Image Processing. 1979. -Vol.10, No.l. -P.46-68.

54. Natterer F., Wubbeling F. Mathematical Methods in Image Reconstruction. -Philadelphia: SI AM, 2001.

55. Pickalov V.V., Likhachov A.V. Iteration algorithm to correct absorption in PET. // IEEE Trans. Nucl. Sci. 2001. -Vol.48, No.l. Pt.I. -P.82-88.

56. Papoulis A., A new algorithm in spectral analysis and band limited extrapolation. // IEEE Trans. Circuits Syst. 1975 -Vol.22. -P.735-742

57. Press W.H., Flannery B.P., Teukolsky S.A., Vetterling W.T. Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing. -Cambridge University Press, 1997.

58. Ramachandran G.N., Lakshminarayanan A.V. Three-dimensional reconstruction from radiographs and electron micrograph application of convolutions instead of Fourier transforms. // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1971. -Vol.68, No.9. -P.2236-2240.

59. Radon J. On the determination of functions from their integral values along certain manifolds. // IEEE Trans. Med. Imag. 1986. -Vol.5, No.4. -P. 170-176.

60. Sato T., Norton S.J., Linzer M.J., Ikeda U., Hirama M. Tomographic image reconstruction from limited projections using iterative revisions in image and transform spaces. // Applied Optics. 1981. -Vol.20, No.3. -P.395-399.

61. Shepp L.A., Logan B.F. The Fourier reconstruction of a head section. // IEEE Trans. Nucl. Sci. 1974. -Vol.21, No.3. -P.21-43.

62. Smith P.R., Peters T.M., Bates R.H.T. Image reconstruction from finite numbers of projections. //J. Phys. A: Math. Nucl. Gen. 1973. -Vol. 6, No. 3. -P.361-382.

63. Tam K.C. The use of multispcctral imaging in limited-angle reconstruction. // IEEE Trans. Nucl. Sci. 1982. -Vol.29, No.l. -P.512-515.

64. Wu M.-Y., Ho Y.-K., Lee J.-H. An iterative method of palette-based image steganography. // Pattern Recognition Letters. 2004. -Vol.25, No.3. -P.301-309.

65. Yu H., Wang G. Data consistency based rigid motion artifact reduction in fan-beam CT. // IEEE Trans. Med. Imag. 2007. -Vol. 26, No. 2. -P.249-260.

66. Zhang T., Ping X. A new approach to reliable detection of LSB steganography in natural images. // Signal Processing. 2003. -Vol.83, No.10. -P.2085-2093.