История формирования метода тригонометрических сумм в работах И.М. Виноградова по распределению целых точек в областях трехмерного пространства тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Бурлакова, Екатерина Анатольевна

• Бурлакова, Екатерина Анатольевна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бурлакова, Екатерина Анатольевна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. О ЖИЗНЕННОМ ПУТИ АКАДЕМИКА И.М.ВИНОГРАДОВА, СОЗДАТЕЛЯ МЕТОДА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ.

1.1 жизнь и общественная деятельность и.М.виноградова.

ГЛАВА 2. ОБ ИСТОКАХ ФОРМИРОВАНИЯ4 МЕТОДА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ.

ГЛАВА 3. ОБ ОСНОВНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ АКАДЕМИКА И.М.ВИНОГРАДОВА.

3.1 Распределение целых точек в областях евклидова пространства. Формула обращения для замены тригонометрической суммы на другую с меньшим промежутком суммирования.

3.2 Оценка сумм характеров и рациональных тригонометрических сумм с заданным свойством индекса переменной суммирования

3.3 Аддитивные проблемы варинговского типа.

3.4 Распределение дробных долей арифметических функций.

3.5' Оценки тригонометрических сумм Вейля.:.

3.6 Оценки линейных тригонометрических сумм с простыми числами. Проблема Гольдбаха.

3.7 Суммы Г. Вейля с простыми числами и проблема Варинга-Гольдбаха.

3.8 Суммы характеров Дирихле по сдвинутым простым числам.

ГЛАВА 4. ПРОБЛЕМЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕЛЫХ ТОЧЕК В ОБЛАСТЯХ

4.10 начальном периоде исследований по классическим проблемам распределения целых точек в плоских областях.

4.2 Проблемы распределения целых точек в областях в работах И.М.Виноградова.

ГЛАВА 5. О ПРОБЛЕМЕ ВАРИНГА В ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «История формирования метода тригонометрических сумм в работах И.М. Виноградова по распределению целых точек в областях трехмерного пространства»

Изучение развития аналитической теории чисел следует рассматривать как составную часть> исследований по истории математики XX века. К числу наиболее ярких ее-достижений вообще и теории чисел в частности, следует отнести создание метода тригонометрических сумм И.М.Виноградова.

Настоящая- диссертация посвящена, в основном, истории разработки И.М.Виноградовым той части его метода, которая касается проблем распределения точек целочисленной решетки в трехмерном евклидовом пространстве. При этом впервые рассматривается вопрос о классификации его математических работ по отдельным научным направлениям.

Самостоятельным научным результатом данной диссертации, относящегося к аналитической теории чисел, является теорема о том, что1 последовательность, порожденная фиксированной степенью простых чисел, образует базис конечного порядка во< всем множестве натуральных чисел. Данную теорему можно рассматривать, как некоторый шаг в, развитии» исследований И.М.Виноградова по знаменитой проблеме Варинга-Гольдбаха.

Диссертация'состоит из введения, пяти глав и заключения.

Заключение диссертации по теме «Математическая логика, алгебра и теория чисел», Бурлакова, Екатерина Анатольевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Завершающим этапом исследований отраженных в настоящей диссертации является краткая формулировка ее результатов.

I. В диссертации дана новая классификация всех математических работ И.М.Виноградова, основанная на их научной тематике. В ней выделено восемь научных направлений, каждое из которых содержит краткую характеристику той проблемы, которая в ней рассматривается.

II. Проведен научный анализ истории разработки метода Виноградова-Корпута и определение роли каждого из этих ученых в создании метода.

III. Исследованы основные особенности формирования метода тригонометрических сумм в цикле работ И.М.Виноградова по проблеме распределения целых точек в шаре и в проблеме оценки остатка асимптотики для среднего значения числа классов форм отрицательного дискриминанта. При этом рассмотрено появление новых идей и их реализации в виде технических приемов. Проведено сравнение результатов с достигнутыми ранее как самим Иваном Матвеевичем, так и другими учеными, включая его предшественников и современников. Так же дан обзор полученных ранее научных результатов, по данному направлению, начиная с работ К.Гаусса и Л.Дирихле до начала исследований И.М.Виноградова.

IV. Доказано существование постоянной V(n), такой, что любое достаточно большое натуральное число N может быть представлено в виде суммы п-х степеней простых чисел в количестве, не превышающем значения этой постоянной.

Схема доказательства теоремы в основном соответствует рассуждениям И.М.Виноградова при оценке функции G(n) в проблеме Варинга в главе 4 книги «Избранные труды»[212] (с. 278). Кроме того, используются условия разрешимости для системы уравнений варинговского типа в простых числах, указанные в докторской диссертации В.Н.Чубарикова [213] лемма 21 (с.98).

164

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бурлакова, Екатерина Анатольевна, 2008 год

1. Po'lya G. Über die Verteilung der quadratischen Reste und Nichtigste, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen (1918), 21-29.

2. Венков Б.А. Об арифметике кватернионов. I-V. // Изв-я Российской АН, 1922, т. 16, с.205-220, 221-246. Изв. АН СССР, отделение физ-мат. наук, 1929, №5, с. 489-504, №6, с. 535-562, №7, с. 607-622.

3. Виноградов И.М. Sur un theoreme general de Waring // Мат. сб., 1922—1924, г. 31, с. 490—507. Рез. на рус. яз.

4. Виноградов И: М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. -М., Наука, 1971'.

5. Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел. Общая редакция ак. И.М.Виноградова, перевод к.ф-м.н. В.Б.Демьянова. Изд-во АН СССР. -М.,1959, стр.967-976.

6. Weyl H. Über die Gleichverteilung von Zahlenmod. Eins, Mathematische Annalen, 7,1916,313-352.

7. Карацуба А. А. Иван Матвеевич Виноградов (к девяностолетию со дня рождения) // УМН, т.36, вып. 6(222), 1981. с. 2-15.

8. Hardy G. H., Littlewood J.E. A new solution of Waring's problem. Gött. Nachar. 1920, 33-54.

9. Карацуба A. A. И. M. Виноградов и его метод тригонометрических сумм // Труды математического института РАН, т. 207, 1994, стр. 3-23.

10. Вороной Г. Ф. Собрание сочинений в 3-х томах. Т. 2. Изд-во АН УССР, Киев, 1952.

11. Виноградов И.М. Новый способ для получения асимптотических выражений арифметических функций // Изв. РАН, 1917, т. 11, № 16, 5. 1347— 1378.

12. Виноградов И.М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. М., «Наука», 1976, 120 с.

13. Arkhipov G.I., Chubarikov V.N. On some applications of Vinogradov's method // Bonner mathematische scriften. Nr. 360, Bonn, 2003.

14. Виноградов И.М.О среднем значении числа классов чисто коренных форм отрицательного определителя // Сообщ. Харьк. мат. о-ва, 1918, т. 16, № 1-2, с. 10—38.

15. Виноградов И.М. Об одном асимптотическом равенстве теории квадратичных форм // Журн. Физ.-мат. о-ва при Перм. ун-те, 1918, вып. 1, с. 18—28.

16. Виноградов И.М. Об асимптотических равенствах в теории чисел // Изв. РАН, 1921, т. 15, с. 158—160.

17. Виноградов И.М. Demonstration elementarle d'un theorem de Gauss // Журн. Ленингр. физ.-мат. о-ва, 1927, т. 1, вып. 2, с. 187—193. Рез. на рус. яз.

18. Виноградов И.М. О числе целых точек внутри круга // Изв. АН СССР. ОМЕН, 1932, № 3, с. 313—336.

19. Виноградов И.М. О некоторых новых проблемах теории чисел // Докл. АН СССР, 1934, т. 3, № 1, с. 1—6. Текст на рус. и англ. яз.

20. Виноградов И.М Новый вариант вывода теоремы Варинга // Тр. Мат. ин-та, 1935, т. 9, с. 5-15.

21. Виноградов И.М. Улучшение остаточного члена одной асимптотической формулы // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1949, т. 13, № 2, с. 97—110.

22. Виноградов И.М. Улучшение асимптотических формул для числа целых точек в области трех измерений // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1955, т. 19, №1, с. 3-10.

23. Виноградов И.М. К вопросу о числе целых точек в заданной области // Изв. АН СССР. Сер. мат, 1960, т. 24, № 6, с. 777—786.

24. Виноградов И.М. О числе целых точек в области трех измерений // Изв. АН СССР. Сер. мат, 1963, т. 27, № 1, с. 3—8.

25. Виноградов И.М. К вопросу о числе целых точек в шаре // Изв. АН СССР. Сер мат, 1963, т. 27, № 5, с. 957—968.

26. Fernando Chamizo, Henryk Iwaniec, On some sphere problem // Revista Mathematica Iberoamericana Yol. 11, №2, 1995.

27. Виноградов И.М. Sur la distribution des residus et des non- residus des puissances // Журн. Физ.-мат. о-ва при Перм. ун-те, 1918, вып. 1, с. 94—98.

28. Виноградов И.М. О' распределении квадратичных вычетов и невычетов // Журн. Физ.-мат. о-ва при Перм. ун-те, 1919, вып. 2, с. 1 — 16.

29. Виноградов И.М. Элементарное доказательство одной общей теоремы аналитической теории чисел // Изв. РАН, 1925, т. 19, № 16-17, с. 785— 796.

30. Виноградов И.М.Элементарное доказательство одного общего предложений из аналитической теории чисел // Изв. Ленингр. политехи, ин-та, 1925. т. 29, с. 3—12.

31. Виноградов И.М. О границе наименьшего невычета n-й степени // Изв. АН СССР, 1926. т. 20, № 1-2, с. 47—58.

32. Виноградов И.М. О распределении индексов // Докл. АН СССР-А, 1926, № 4, с. 73—76.

33. Виноградов И.М. On a general theorem concerning the distribution of the residues and non- residues of powers // Bull. Am. math. Soc., 1926, v. 32, № 6, p. 596.

34. Виноградов И.М. On a general theorem concerning the distribution of the residues and non- residues of powers // Trans. Am. math. Soc., 1927, v. 29, №1, p. 209-217.

35. Виноградов И.М. On the bound of the least non-residue of n-th powers // Ibidem, p. 218-226.

36. Виноградов И.М. О наименьшем первообразном корне // Докл. АН СССР-А, 1930. № 1, с. 7—11.

37. Виноградов И.М. Об одной тригонометрической сумме и ее приложениях в теории чисел // Докл. АН СССР, 1933, № 5, с. 195—204.

38. Виноградов И.М. О некоторых тригонометрических суммах и их приложениях // Докл. АН СССР, 1933, № 6, с. 249—255.

39. Виноградов И.М. Новые приложения тригонометрических сумм // Докл. АН СССР, 1934, т. 1, № 1, с. 10—14. Рез. на англ. яз.

40. Виноградов И.М. Новые асимптотические выражения // Докл. АН СССР, 1934, т. 1, № 2, с. 49—51. Рез. на англ. яз.

41. Виноградов И.М. Тригонометрические суммы, зависящие от составного модуля // Докл. АН СССР, 1934, т. 1, № 5, с. 225—229.

42. Виноградов И.М. Новые теоремы о распределении квадратичных вычетов // Докл. АН СССР, 1934, т. 1, № 6, с. 289—290. Рез. на франц. яз.

43. Виноградов ым. Новые теоремы о распределении первообразных корней // Докл. АН СССР, 1934, т. 1, № 7, с. 366—369.

44. Виноградов И.М. Некоторые теоремы аналитической теории чисел // Докл. АН СССР; 1934, т. 4, № 4, с. 185—187. Рез. на англ. яз.

45. Виноградов-ИМ'. Некоторые теоремы о распределении индексов-и первообразных корней // Тр. Физ.-мат. ин-та, 1934, т. 5, е.87—93.

46. Виноградов И:М. Арифметический метод в применении к вопросам-распределениям чисел с заданным'свойством-индекса // Изв. АН. СССР. Сер мат., 1951, т. 15, № 4, с. 297—308.

47. Виноградов И.М. О теореме Варинга// Изв. АН СССР. ОФМН, 1928, № 4, с. 393-400.

48. Виноградов И.М.О представлении* числа целым многочленом от нескольких переменных // Изв. АН СССР. ОФМН, 1928, № 4; с. 401—414.

49. Виноградов И.М.Об одном классе совокупных диофантовых уравнений // Изв. АН СССР. ОФМН, 1929, № 4, с. 355—376.

50. Виноградов И.М. О верхней границе G(n) в,проблеме Варинга // Изв. АН СССР. ОМЕН, 1934, № 10, с. 1455—1469. Рез. на англ. яз.

51. Виноградов И. М. Новое решение проблемы Варинга // Докл. АН СССР, 1934, т. 2, № 6, с. 337—341. Рез. на англ. яз.

52. Виноградов И.М. Новая оценка G(n) в проблеме Варинга // Докл. АН СССР, 1934, т. 4, № 5-6, с. 249—253. Текст на рус. етангл. яз.

53. Виноградовым. Sur quelques nouveaux résultats en theorie-analytique des nombres // C. r. hebd. Seans. Acad. Sci., Paris, 1934, t. 199, № 3, p. 174-175.

54. Виноградов И.М. Новый вариант вывода теоремы Варинга // Тр. Мат. ин-та, 1935, т. 9, с. 5-15.

55. Виноградов И.М. An asymptotic formula for the number of representations in. Waring's problem // Мат. Сб., 1935, т. 42, вып. 5, с. 531—534. Рез. на рус. яз.

56. Виноградов И.М. Une nouvelle variante de la demonstration- du theoreme de Waring // С. r. hebd. Seanc. Acad: Sci., Paris, 1935,t. 200, №3, p. 182—184.

57. Виноградов И.М. On Waring's problem // Ann. Math., 1935, v. 36, № 2, p. 395— 405.

58. Виноградов И.МС A new method of resolving of certain general questions of the theory of numbers // Мат. Сб. Нов. Сер., 1936, т. 1, выт 1, с. 9-— 20.

59. Виноградов; И.М. On asymptotic formula in Waring's problem // Мат. сб., Нов, сер., 1936, т. 1, вып. 2, с. 169—174. Рез. на рус. яз,

60. Виноградов И:М. Некоторые общие, леммы и их применение к оценке тригонометрических сумм // Мат. сб; Нов. сер., 1938, т. 3, вып. 3; с. 435—471. Рез. на англ. яз.

61. Виноградов И.М. Две теоремы, из аналитической теории чисел // Тр. Тбил. мат. ин-та, 1938, т. 5, с. 153—180. Текст на рус. и нем. яз.

62. Виноградов И.М. Об одном кратном интеграле// Изв. АН СССР. Сер. мат., 1958, т. 22, № 5, с. 577—584.

63. Виноградов И.М. К вопросу о верхней границе для G(n) // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1959, т. 23, № 5, с. 637-642.

64. Виноградов И.М; О дробных частях целого многочлена // Изв. АН СССР, 1926, т. 20, № 9, с. 585—600.

65. Виноградов И;М: К вопросу о распределении дробных долей значений функций?одного переменного // Журн. Ленингр. физ.-мат. о-ва, 1926, т. 1, вып. 1, с. 56—65. Рез. на франц. яз.

66. Виноградов И.М. Аналитическое доказательство теоремы о распределении дробных частей целого многочлена // Изв. АН СССР, 1927, т. 21, №7-8, с. 567—578.

67. Виноградов- И.М. О распределении дробных долей значений функций двух переменных // Изв. Ленингр. политехи, ин-та, 1927, т. 30, с. 31—52. Рез. на франц. яз.

68. Виноградов И.М. Применение конечных тригонометрических сумм к вопросу о распределении дробных долей целого многочлена // Тр. Физ.-мат. ин-та, 1933, т. 4, с. 5—8.

69. Виноградов И.М. О приближениях посредством рациональных дробей, имеющих знаменателем точную степень // Докл. АН СССР, 1935, т. 2, № 1, с. 1—5. Рез. на франц. яз.

70. Виноградов И.М. О некоторых рациональных приближениях // Докл. АН СССР, 1935, т. 3, №1, с. 3—6.

71. Виноградов И.М. On some rational approximations // С. r. Acad. Sci. URSS, 1935, v. 3, № 1, p. 3 6.

72. Виноградов И.М. О дробных частях многочленов и других функций // Докл. АН СССР, 1935, т. 3, № 3, с. 99-100.

73. Виноградов И.М. On fractional terms of polynomials and of other functions // C. r. Acad. Sci. URSS, 1935, v. 3, № 3, p. 99—100.

74. Виноградов И.М. On approximation to zero with help of numbers of certain general form // Мат. сб, 1935, т. 42, вып. 2, с. 149—156. Рез. на рус. яз.

75. Виноградов И.М. Новые результаты в вопросе о распределении дробных частей многочлена // Докл. АН СССР, 1936, т. 2, № 9, с. 355—357.

76. Виноградов И.М. New results concerning the distribution of fractional parts of a polynominal // С. r. Acad. Sci. URSS, 1936, v. 2, № 9, p. 361 — 364.

77. Виноградов И.М. On the number of fractional parts of a polynom lying in a given interval // Мат. сб. Нов. сер, 1936, т. 1, вып. 1, с. 3—8. Рез. на рус. яз.

78. Виноградов И.М. Approximation by mean of fractional parts of a polynomial // Мат. Сб. Нов< Сер., 1936, т. 1, вып. 1, с. 21—27. Рез. на рус. яз.

79. Виноградов И.М. Supplement to the paper «On the number of fractional parts of a polynom lying in a given interval» // Мат. сб. Нов. сер., 1936; т. 1, вып. 3, с. 405—408.

80. Виноградов И.М. Approximation with help of certain fractions // Ann. Math., 1936, v. 37, № 1, p. 101 — 106.

81. Виноградов И.М. On fractional parts of certain functions // Ann. Math., 1936, v. 37, № 2, p. 448-455.

82. Виноградов И.М.' Распределение дробных частей значений многочлена при условии; что аргумент пробегает простые числа арифметической прогрессии // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1937, № 4, с. 505— 514. Рез. на англ. яз.

83. Виноградов И.М. Улучшение оценки одной тригонометрической суммы, содержащей простые числа// Изв. АН СССР.1 Сер. мат., 1938, № 1, с. 15—21. Рез. на англ. яз.

84. Виноградов И.М. Распределение по данному модулю простых чисел, принадлежащих арифметической прогрессии // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1940, т. 4, № 1, с. 27—36. Рез. на англ. яз.

85. Виноградов И.М. Некоторое общее свойство распределения простых чисел // Мат. сб. Нов. сер., 1940, т. 7, вып. 2, с. 365—372. Рез. на англ. яз.

86. Виноградов И.М. Некоторый общий закон распределения дробных частей значений многочлена, когда аргумент пробегает простые числа // Докл. АН СССР, 1946, т. 51, № 7, с. 489^190.

87. Виноградов И.М. A general distribution law for the fractional parts of values of a polynomial with the variable running over the primes // С. r. Acad. Sci. URSS, 1946, v. 51, № 7, p. 491—492.

88. Виноградов И.М. Некоторый общий закон теории простых чисел // Докл. АН СССР, 1947, т. 55, № 6, с. 475—476.

89. Виноградов И.М. A general law of the theory of primes // С. r. Acad. Sci. URSS, 1947, V. 55, № 6, p. 471—472.

90. Виноградов И.М. Элементарное доказательство одной теоремы теории простых чисел// Изв. АН СССР. Сер. мат., 1953 , т. 17, № 1, с. 3—12.

91. Виноградов И.М. Распределение по простому модулю простых чисел с заданным значением символа Лежандра // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1954, т. 18, №2, с. 105-112.

92. Виноградов И.М' К вопросу о распределении дробных частей значений многочлена //Изв. АН СССР." Сер. мат., 1961, т. 25, № 6, с. 749-754.

93. Виноградов И.М. О распределении систем дробных .частей от значений нескольких многочленов' // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1962, т. 26, № 6, 793-796.

94. Виноградов И.М. Новые оценки» сумм Вейля // Докл. АН СССР, 1935, т. 3, №5, с. 195-198.

95. Виноградов И.М. Nouvelles evaluations des sommes de Weyl // С. r. Acad. Sci. URSS, 1935, v. 3, №5, p. 195—198.

96. Виноградов И.М. On Weyl's sums // Мат. сб., 1935, т. 42, вып. 5, с. 521—530. Рез: на рус. яз.

97. Виноградов И.М. Sur les sommes de M. H. Weyl // С. г. hebd. Seanc. Acad. Sci., Paris, 1935, t. 201, № 13, p. 514—516.

98. Виноградов И.М. Новое улучшение оценок тригонометрических сумм // Докл. АН СССР, 1936, т. 1, № 5, с. 195—196.

99. Виноградов И.М. A new improvement, of the estimation' of trigonometrical sums // С. r. Acad. Sci. URSS, 1936, v. 1, № 5, p. 199—200:

100. Виноградов И.М. A new method of estimation of trigonometrical sums// Мат. сб., Нов, сер., 1936, т. 1, вып. 2, с. 175—188. Рез. на рус. яз.

101. Виноградов И.М. Оценки тригонометрических сумм // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1938, № 5-6, с. 505—524. Рез. на англ. яз.

102. Виноградов И.М. Улучшение оценок тригонометрических сумм // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1942, т. 6, № 1-2, с. 33—^0: Рез. на англ. яз.

103. Виноградов И.М. Об оценках тригонометрических сумм//Докл. АН СССР, 1942. т. 34, № 7, с. 199—200.

104. Виноградов И.М. On the estimation of trigonometrical sums // С. r. Acad. Sei. URSS, 1942, V. 34, № 7, p. 182—183.

105. Виноградов И.М. Общие теоремы об оценках тригонометрических сумм // Докл. АН СССР, 1944, т. 43, № 2, с. 51—52.

106. Виноградов И.М. General theorems of the estimation of trigonometric sums // С. r. Acad. Sei. URSS , 1944, v. 43, № 2, p. 47—48.

107. Виноградов И.М. Верхняя граница модуля тригонометрической суммы // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1950, т. 14, № 3, с. 199—214.

108. Виноградов И.М. Общие теоремы о верхней границе модуля тригонометрической суммы // Изв. АН ¡ СССР. Сер. мат., 1951, т. 15, № 2, с. 109—130.

109. Виноградов И.М. Особые случаи оценок тригонометрических сумм // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1956, т. 20, № 3, с. 289-302.

110. Виноградов И.М. Некоторые проблемы аналитической теории чисел.— В кн.: Труды Третьего Всесоюзного математического съезда. Москва, июнь — июль 1956 г. Т. 3. Обзорные доклады. М., Изд-во АН СССР, 1958, с. 3—13.

111. Виноградов И.М. Новая оценка функции Ç(I + it) // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1958, т. 22, № 2, с. 161—164. Библиогр. с. 164.

112. Виноградов И.М. О функции Ç{s) И Докл. АН СССР, 1958, т. 118, №4, с. 631.

113. Виноградов ИМ. 193. Об оценках тригонометрических сумм. Приложение 1.— И кн.: Хуа JIo-ген. Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел. М., «Мир», 1964, с. 169—170.

114. Виноградов И.М. Representation of an odd number as a sum of three primes // С. r. Acad. Sci. URSS, 1937, V. 15, № 6-7, p. 291—294.

115. Виноградов И.М: Некоторые новые проблемы теории- простых чисел // Докл. АН СССР, 1937, т. 16; № 3, с. 139—141.

116. Виноградов. И.М. Некоторые новые, оценки, относящиеся к аналитической теоришчисел // Докл. АН СССР, 1938, т. 19,№ 5; с. 339—340.

117. Виноградов И.М. Элементарные оценки одной тригонометрической суммы с простыми числами // Изв. АН СССР. Сер.,мат, 1939, №>2, с. 111 — 122. Рез. на англ. яз.

118. Виноградов И.М. A new improvement of the method of estimation of trigonometrical sums with primes // С. r. Acad. Sci. URSS, 1939, V. 22, № 2, p. 59.

119. Виноградов И.М. Две теоремы, относящиеся к теории распределения простых чисел // Докл. АН СССР, 1941, т. 30, № 4, с. 285— 286.

120. Виноградов И.М. Two theorems relating to the theory of distribution of prime numbers//С. r. Acad. Sci. URSS, 1941, v. 30, №4, p. 287—288.

121. Виноградов И.М. Some general property of distribution of products of prime numbers// С. r. Acad. Sci. URSS, 1941, V. 30, № 8, p. 681—682.

122. Виноградов, И.М. Уточнение некоторых теорем теории простых* чисел. // Докл. АН СССР, 1942, т. 37, № 4, с. 135-137.

123. Виноградов И.М. Improvement of some theorems in the theory of primes // С: r. Acad. Sei. URSS, 1942; V. 37, №-4, p. 115—117.

124. Виноградов И.М: Аддитивные'проблемы теории простых чисел.— В» кн.: Юбилейный» сборник, посвященный тридцатилетию- Великой. Октябрьской социалистической'революции. Ч. 1. М-.— Л:, Изд-во -АН СССР, 1947, с. 65—79.

125. Виноградов И.М. Аддитивные проблемы теории простых чисел.— В кн.: Общее-собрание Академии наук СССР, посвященное тридцатилетию1 Великой Октябрьской социалистической революции. М.— Л., Изд-во АН СССР, 1948, с. 458-464.

126. Виноградов И.М. О распределении произведений простых чисел и значений функций Мебиуса // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1948, т. 12, № 4, с. 341 —350.

127. Виноградов И.М. Some new problems of the theory of primes // С. r. Acad. Sei. URSS, 1937, v. 16, №3, p. 131-132.

128. Виноградов И.М. New estimations of trigonometrical sums containing primes // С. r. Acad. Sei. URSS, 1937, v. 17, № 4, p. 165-166.

129. Виноградов И.М. Новая оценка одной суммы, содержащей-простые числа// Мат. сб; Нов. сер., 1937, т. 2, вып. 5, с. 783—792'. Рез: на англ. яз.

130. Виноградов-И.М. Новая оценка одной тригонометрической» суммы, содержащей простые числа// Изв. АН СССР. Сер. мат., 1938; № 1, с. 3—14.

131. Виноградов И.М. Оценка некоторых сумм, содержащих простые числа // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1938, № 4, с. 399—416. Рез. на англ. яз.

132. Виноградов И.М. Some new estimations of the analytical theory of numbers // С. r. Acad. Sei. URSS, 1938, V. 19, № 5, p. 339—340.

133. Виноградов И.М£. Некоторые общие теоремы, относящиеся к теории простых чисел //Тр. Тбил. мат. пн-та, 1937, т. 3, с. 1—67.

134. Виноградов И.М: Оценки некоторых простейших тригонометрических сумм с простыми числами // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1939, № 4, с. 371—398. Рез. на англ. яз.

135. Виноградов И:М. Новое усовершенствование метода оценки тригонометрических сумм с простыми числами // Докл. АН.СССР, 1939, т. 22, № 2, с. 591—60.

136. Виноградов ИМ. Простейшие тригонометрические суммы с простыми числами // Докл. АН СССР, 1939, т. 23, № 7, с. 615—617.

137. Виноградов И:М. Simplest trigonometrical sums with primes // С. г. Acad. Sei. URSS, 1939, V. 23, № 7, p. 615-617.1*45. Виноградов И.М. Некоторое общее свойство распределения произведений простых чисел // Докл. АН СССР, 1941, т. 30, № 8, с. 675—676.

138. Виноградов И.М. Об оценке тригонометрических сумм с простыми числами // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1948, т. 12, № 3, с. 225—248.

139. Виноградов И.М. Тригонометрические суммы, содержащие значения многочлена // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1957, т. 21, № 2, с. 145-170.

140. Виноградов И.М. Особый случай оценки тригонометрических сумм с простыми: числами // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1958, т. 22, № 1, с. 3—14.

141. Виноградов И.М. Оценка одной тригонометрической суммы по простым числам // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1959, т. 23", № 2, с. 157—164.

142. Виноградов* И.М. Распределение квадратичных вычетов и невычетов вида (р+к) по простому модулю // Мат. сб. Нов. сер., 1938, т. 3, вып. 2, с. 311—319. Рез. на англ. яз.

143. Виноградов И.М. Уточнение метода оценки сумм с простыми числами // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1943, т. 7, № 1, с: 17—34. Рез. на англ. яз.

144. Виноградов И.М. Аналитическая теория чисел // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1945, т. 9; № 3, с. 159—168. Рез. на англ. яз.

145. Виноградов И.М. Новое усовершенствование метода оценки двойных сумм // Докл. АН СССР, 1950, т. 73, № 4, с. 635-638.

146. Виноградов И.М. Новый подход к оценке суммы значений %(р + к) II Изв. АН СССР. Сер. мат., 1952, т. 16, № 3, с. 197—210:

147. Карацуба А. А. Суммы характеров с простыми числами // Изв-я АН СССР, серия математическая, 34(1970), 299-321.

148. Липшиц и Мертенс. Ueber einige asymptotische* Gesetze der Zahlentheorie // Crelle's Journal; B. 78,1865.

149. Делоне Б.Н. Петербургская школа теории чисел. М-Л: Изд-во АН СССР, 1947.

150. Виноградов И.М. Основы теории чисел. Учебник для университетов. Изд. 8-е, испр. М., «Наука», 1972, 168 с.

151. Van der Corput J.G. Verschärfung der abschatzung beim Teilerproblem // Math. Ann. 87, 1922. c.39-65.

152. Г.И.Архипов. Лекции по математическому анализу: Учеб. Для вузов/ Г.И.Архипов, В.А.Садовничий, В.Н.Чубариков; под ред. В.А.Садовничего. 3-е изд., перераб. И доп. - М.: Дрофа, 2003. - 640'с.

153. Van der Corput J. G. Neue Zahlentheoretische Abschätzungen // Mathem. Zeitschr., 29 Band (1929), Satz 4, 397-426.

154. Карацуба A.A. Теория чисел одна, но пламенная страсть // Вестник АН СССР, №9, 1991.

155. Чубариков B.H. Многомерные проблемы теории простых чисел. Диссертация на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук. МГУ им. Ломоносова, М. -1985. (на правах рукописи)

156. Архипов. Г.И., Чубариков В.Н. О числе слагаемых в-аддитивной проблеме Виноградова и ее обобщениях. IV Международная конференция «Современные проблемы теории чисел и ее приложения». Тула, 10-15 сентября 2002, Актуальные проблемы, с.5-38.

157. Иван Матвеевич Виноградов (некролог) // Изв-я АН СССР, мат-ка; т.47, №4, 1983. с. 691-706.

158. Линник Ю. В., Постников А. Г. Математическая жизнь в СССР. Иван Матвеевич Виноградов (к 70-летию со дня рождения) // УМН, Т. 17. Вып. 2 (104), 1962.

159. Кочина П. Я. Наука. Люди. Годы. М., Наука, 1988.

160. Кочина П.Я. Воспоминания. М., Наука, 1974, с. 96-102. 1171'. Иван Матвеевич Виноградов. К 80-летию со дня-рождения // Изв. АН СССР. 1971. Т. 35. Вып. 5.

161. Иван Матвеевич Виноградов. Материалы к библиографии ученых СССР. Серия математики, вып. 14 -М.: Наука, 1978.

162. Постников А.Г. К семидесятилетию Ивана Матвеевича Виноградова // Известия АН СССР, сер. мат., 25 (1961), 621-628.

163. Ожигова Е. П. Развитие теории чисел в России. Л., Наука, 1972.

164. Ожигова Е. П. Математика в Академии наук в первые годы советской власти // Истор.- матем. исследования, вып. 17. М., 1986.

165. Марков А. А., Стеклов В. А., Крылов А. Н. Записка об ученых трудах- профессора Петроградского университета Якова*. Викторовича Успенского // Известия Российской АН, VI серия, том XV, 1921'.

166. Математика в СССР за 15 лет / под ред. П.* С. Александрова; М: Л. Выгодского, В. И. Гливенко М-Л., Гос. тех. теор: изд-во, 1932, с.240.

167. Юшкевич А. П. Жизнь- и математическое творчество' Л.Эйлера //Успехи мат. Наук, т. 12, вып. 4,1957, стр. 3-28.

168. Юшкевич А. П. JL Эйлер. М, ЗнаниеД982.

169. Hardy G.H, Littlewood J.E. Some problems of "Partitio Numerorum":III On the expression of a number as a sum of primes // Acta Math, 44, 1923, 1-70.

170. Сегал1 Б. И. Тригонометрические суммы и некоторые их применения в теории чисел // Успехи мат. наук т.1, вып 3-4 (13-14), 1946, стр. 146-193.

171. Успенский Я.В. Записка об ученых трудах проф. И.М.Виноградова. В кн.: Записки об ученых трудах действительных членов АН СССР по Отделению физико-математических наук, избранных 12 января 1929 года: JI, Изд-во АН СССР, 1930, с.41-43.

172. Burgess D, The distribution of quadratic residues and nonresidues, Mathematica, 4, p. 2, № 8 (1957), 106-112.

173. Карацуба А. А. Об оценке сумм характеров // Известия АН СССР, серия математическая, 34 (1970); 20-30:

174. Gauss С. F. De nexu inter multitudinem classium etc, Werke, 2, 1863, 269-291.

175. Lejeune Dirichlet P.G,Über die Bestimmung der mittleren Werte in der Zahlentheorie, Abh. Akad. Berlin (Werke, 2, 49-66), 1849, Math. Abh, 69-83.

176. История отечественной математики. В 4-х томах. Глав. ред. И.З.Штокало. Т. 2 Киев, Наукова думка, 1967.

177. Hardy G. Н. On Dirichlet's divisor problem, Proc. London, math. Soc, 15 (1916), 1-25.

178. Вороной Г. Ф. Собрание сочинений в 3-х томах. Т. 3. Изд-во АН УССР, Киев,1953.

179. Вороной Г, Ф. Собрание сочинений в 3-х томах. Т. 1. Изд-во АН УССР, Киев, 1951.

180. Voronoi G, Sur on probleme du calcul des fonctions aszmptotiques, J, für Math, 126 (1903), 241-282. (См. также Вороной Г.Ф, Собрание сочинений, том 1, стр. 5, Изд. АН СССР, Киев, 1952. Прим. перев.).

181. Sierpinskii. Sur un ргоЬГете du calcul des fonctions asymptotiques // Prace matematzcyno-fizicne, t. 17,1906.

182. Littlewood J., Walfisz A. the lattice points of a circle // Proc. roy. Soc. Lond. Ser(A). 1925, v. 106, p. 478-488.

183. Walfisz A. Teileprobleme //Math. Z. 1927, b. 26, s. 66-88.

184. Nieland L. W. Über das Kreisproblem // Math. Ann. ß 1928, b. 98, s. 717-736.

185. Titchmarsh E. C. The lattice points in a circle // Proc. Lond. Math. Soc. (2).-1935, v. 38, p. 96-115.

186. Chin Т. T. The Dirichlet's divisor problem // Science Report of Tsing Hua Univ. 1950, p. 402-427.

187. Усольцев JI. П. Новый метод оценки тригонометрических сумм в приложении к задачам аналитической теории чисел. Изд-во Самарского научного центра Российской АН, Самара, 2001.

188. Jarnik V. Uber die gitterpukte auf konvexen kurven // Math. Zeitschrift, 24, 1925.

189. Марджанишвили K.K. Иван Матвеевич Виноградов (к шестидесятилетию со дня рождения). Математическая жизнь в СССР // УМН, т. 6, вып. 5(45), 1951.

190. Делоне Б.Н. К шестидесятилетию Ивана Матвеевича Виноградова // Известия АН СССР, серия математическая, 15, 1951, с. 385-394.

191. Хуа Ло-Ген. Метод тригонометрических сумм и его применение в теории чисел. М.: Мир, 1964.

192. Graham S.W. and Kolesnik G. Van der Corput's method of exponential sums. London mathematical society lecture note series, 126, Canbridge University Press, 1991.

193. Van der Corput J. G. Neue Zahlentheoretische Abschätzungen //Mathem. Zeitschr., 29 Band (1929), Satz 4, 397-426.

194. Voronoi G. Об одной трансцендентной функции и ее приложениях к суммированию некоторых рядов // Annales scientifiques del'Ecole normale supérieure (3) XXI, 207-267, 1904.

195. Hardy G. H: and Littlewood J. E. The trigonometrical series associated with the elliptic 0 function // Acta Math. 37, 193-239, 1914.

196. Menchoff D: Sur les séries de functions orthogonales, I // Fund. Math, 1923, t. 4, p. 82-105.

197. Chen, Jing-Run. Improvement on the asymptotic formulas for the number of lattice points in a region of the three dimensions. Sci. Sinica. 12 (1963), 751-764.

198. Burgess D. On character sums and L-series, II, Proc. London Math. Soc. 13 (1963), 524-536. (See also Burgess D. The character sum estimate with r=3. J. London Math. Soc 33 (1986), 219-226).

199. Waring E. Meditationes algebraicae; Cambridge, 1770, 204-205, Gp. Dickson L. E. History of the theory of numbers, v. 2, New York, 1934, 717-729.

200. Hilbert D. Beweis fur die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl «-ter Potenzen // Math. Ann., 67 (1909), 281-300.

201. Виноградов И.М. Избранные труды. Ответственный редактор доктор физ.-мат. наук Ю.В.Линник. М., Изд-во АН СССР, 1952, 436 с. Библиогр. с. 428—433.

202. Чубариков В.Н. Многомерные проблемы теории простых чисел. Диссертация на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук. МГУ им. Ломоносова, М. -1985.

203. Нечаев В.И. Академик Иван Матвеевич Виноградов, (к 80-летию со дня рождения) // Мат. в шк., 1971, №6, с.79.

204. Шидловский А.Б. Старейшина математиков // Веч. Москва, 1971, 14/IX, № 217.

205. Юшкевич А.П. История математики в России до 1917 года. М., Наука, 1968, с.95-96, 377-379.

206. Heath-Brown D.R. Lattice points in the sphere. Elementary and analytic number theory. Berlin: de Gruyter: 883-892, 1999:

207. Huxley M.N. Area,, lattice points and exponential sums. College of Cardiff University of Wales. Glarendon Press. Oxford, 1996.

208. Бурлакова Е.А. О проблеме Варинга-Гольдбаха // Чебышевский сборник. Том 9. Выпуск 1(25) Тула: Издательство Тульского государственного педагогического университета им. Л.Н.Толстого,.2008: - С. 5-20. ' ' '