Краевые задачи для семейств линейных функционально-дифференциальных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор наук Бравый Евгений Ильич

• Бравый Евгений Ильич
• доктор наук
• 2018

Оглавление диссертации доктор наук Бравый Евгений Ильич

Введение

Глава 1. Краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений

в семействах §>(р+,р-)

1.1. Определение рассматриваемых семейств уравнений

1.1.1. Предварительные сведения. Фредгольмовы краевые задачи

1.1.2. Задачи для семейств функционально-дифференциальных уравнений

1.2. Однозначная разрешимость

1.2.1. Размерность к ^

1.2.2. «Резонансный» случай к =

1.2.2.1. Пример для «резонансного» случая

1.2.3. «Нерезонансный» случай к =

1.2.3.1. Пример для «нерезонансного» случая

1.3. Задача о знакоопределенности решения однозначной разрешимой задачи

1.3.1. «Резонансный» случай к =

1.3.1.1. Пример для «резонансного» случая

1.3.2. «Нерезонансный» случай к =

1.3.2.1. Пример для «нерезонансного» случая

1.4. Задача об оценках решений

1.4.1. Пример для «резонансного» случая

1.4.2. Пример для «нерезонансного» случая

1.5. Положительные решения уравнения первого порядка

1.6. Периодическая краевая задача для уравнений второго порядка

1.6.1. Утверждения об однозначной разрешимости

1.6.2. Доказательства утверждений об однозначной разрешимости

1.6.3. Положительные решения периодической краевой задачи для уравнений второго порядка

1.6.4. Примеры существования знакоопределенных решений

1.6.5. Доказательства утверждений о положительных решениях

Глава 2. Уравнения первого порядка

2.1. Общие утверждения для уравнения первого порядка

2.1.1. Основная лемма

2.1.2. Разрешимость задач с двумя постоянными аргументами

2.2. Краевые задачи периодического типа

2.3. Краевые задачи с положительными функционалами

2.3.1. Общие утверждения о задачах с положительными функционалами

2.3.2. Утверждения о положительных функционалах

2.3.3. Условие разрешимости задачи с монотонным функционалом

2.3.4. Обобщенная антипериодическая краевая задача

2.3.5. Задача Коши-Николетти

2.3.6. Задача с интегральным краевым условием

2.3.7. Вспомогательные утверждения о монотонных решениях

2.3.8. Задача Коши с возмущением в виде вольтеррова оператора

2.3.8.1. Основные результаты

2.3.8.2. Доказательства и вспомогательные результаты

Глава 3. Уравнения второго и более высоких порядков

3.1. Второй порядок, общие утверждения

3.1.1. Основная лемма

3.2. Периодическая задача

3.2.1. Периодическая задача для второго порядка

3.2.2. Периодическая задача для третьего порядка

3.3. Задача Неймана

3.4. Уравнения без операторов при производной

3.4.1. Общие утверждения

3.4.1.1. Положительные функционалы

3.4.1.2. Произвольные функционалы краевых условий

3.4.2. Задача Коши

3.4.3. Задача Дирихле

3.4.4. Смешанная задача

3.4.5. Антипериодическая задача

3.4.6. Краевые условия ж(0) = ¿(1), ¿(0) =

3.5. Уравнения с промежуточной производной

3.5.1. Задачи с производными. Общие утверждения

3.5.1.1. Примеры

3.5.1.2. Эквивалентные функционалы, г - и ^-свойства

3.5.1.3. Множество однозначной разрешимости

3.5.1.4. Общее условие разрешимости

3.5.1.5. Свойства множества однозначной разрешимости для функционалов с г -и ^-свойствами

3.5.1.6. Свойства функции Грина

3.5.1.7. Необходимые и достаточные условия разрешимости при заданных значениях действия операторов на единичной функции

3.5.1.8. Необходимые и достаточные условия разрешимости при заданных нормах операторов

3.5.2. Эффективные условия разрешимости

3.5.2.1. Двухточечная задача. Монотонный оператор

3.5.2.2. Смешанная задача. Отрицательный оператор

3.5.2.3. Смешанная задача. Положительный оператор

3.5.2.4. Смешанная задача. Произвольный оператор

3.5.2.5. Периодическая задача е операторами при производной

3.6. Задача Коши

3.6.1. Общие утверждения для задачи Коши

3.6.2. Разрешимость несингулярной задачи Коши

3.6.3. Разрешимость сингулярной задачи Коши

3.6.4. Доказательства теорем о разрешимости задачи Коши

3.7. Резонансные задачи

3.7.1. Основной результат для резонансных задач

3.7.2. Наилучшие константы в условиях разрешимости периодической задачи

3.7.3. Вспомогательные утверждения для резонансных задач

3.7.4. Доказательство основных теорем

3.7.5. Доказательство утверждений о резонансных задачах

3.7.6. Доказательство утверждения о периодической задаче

3.8. Поточечные ограничения

3.8.1. Разрешимость периодической задачи при операторах Т+, Тзначения которых на единичной функции являются постоянными функциями

3.8.2. Разрешимость периодической задачи с поточечными ограничениями

на операторы Т + и Т-

3.8.3. Замечания о наилучших константах

3.8.4. Оценка минимального периода непостоянного решения

Глава 4. Системы двух уравнений

4.1. Общие утверждения для систем

4.2. Задача Коши

4.2.1. Общие утверждения

4.2.2. Задача Коши. «Трудные» случаи

4.2.2.1. Задача Коши. Положительные операторы на диагонали

4.2.2.2. Задача Коши. Отрицательные операторы на диагонали

4.2.2.3. Задача Коши. Операторы на диагонали имеют разные знаки

4.3. Антипериодическая задача

4.4. Периодическая задача

4.5. Двухточечная задача

Глава 5. Монотонность оператора Грина

5.1. Условия монотонности оператора Грина

5.2. Различные краевые задачи

5.2.1. Задача Коши

5.2.2. Периодическая задача

5.2.3. Задача Неймана

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Краевые задачи для семейств линейных функционально-дифференциальных уравнений»

Введение

Актуальность темы исследования. Задача о существовании и единственности решений краевых задач — одна из важнейших в теории обыкновенных дифференциальных уравнений [45, 63]. Для уравнений высших порядков и даже в линейном неавтономном случае нахождение эффективных условий существования решения краевой задачи представляет значительную проблему и требует информации о фундаментальной системе решений однородного уравнения [67, 91], без знаний которой нахождение необходимых и достаточных условий разрешимости, по-видимому, невозможно. Основным методом получения достаточных условий существования решений краевой задачи в линейном и нелинейном случаях стали различного вида априорные оценки [68] в сочетании с методом верхних и нижних решений [45]

Математические модели различных явлений, использующих дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом [175, 192, 260] начали широко применяться уже с середины XX века. В первых работах, как правило, отклонение аргумента было постоянным [105, 108], но впоследствии стали применяться произвольные непрерывные или измеримые отклонения [87], а также функционально-дифференциальные уравнения [5, 175, 260], в которых значения старшей производной могут зависеть от поведения исследуемого процесса на всем заданном промежутке времени.

Важнейшей задачей теории функционально-дифференциальных уравнений, наряду с изучением устойчивости решений [8, 76], является исследование краевых задач [10, 98-101], которые оказываются значительно сложнее аналогичных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений из-за того, что, вообще говоря, отсутствует локальность операторов, входящих в уравнения, например, в краевых задачах, возникающих в теории управления и в вариационных задачах, и, кроме того, даже в простейших случаях неизвестна размерность фундаментальной системы решений однородного уравнения [76, 108].

Общие методы априорных оценок [4, 189] вместе с применением метода положительных операторов [5, 233] и теорем о неподвижных точках [74, 154] (в частности, метода сжимающих отображений) стали основными при исследовании краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений.

Во многих работах, например [5, 154], выделяется линейное «модельное» уравнение, допускающее достаточно полное исследование, включающее вопросы разрешимости краевой задачи, знакоопределенности решения и оценки решения. Результаты для «модельного» уравнения используются при изучении краевой задачи для более общих уравнений [5, 154, 181]. Это исследование краевой задачи для «модельного» уравнения, предшествующее применению метода априорных оценок и теорем о неподвижных точках, — один из основных элементов исследования общих краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений [5, 8, 181, 233]. В качестве модельных используются не только обыкновенные дифференциальные уравнения [181, 198], но и функционально-дифференциальные (обычно с постоянными или линейными [95] отклонениями). Функционально-дифференциальные уравнения с произ-

вольным отклонением в качестве «модельных» применяются редко [231], так как их изучение само представляет нетривиальную проблему. Однако природе рассматриваемой задачи может соответствовать и более сложное «модельное» функционально-дифференциальное уравнение со сложным (или неизвестным) законом отклонения аргумента.

Таким образом, актуальна общая проблема — исследование краевых задач для линейных функционально-дифференциальных уравнений, имея в виду использование такого уравнения в качестве «модельного», то есть нахождения необходимых и достаточных условий разрешимости и сохранения знака решений краевой задачи. Актуальность этой проблемы определяется всё большим распространением функционально-дифференциальных моделей [241] и необходимостью применения методов неподвижных точек, которые требуют полной информации о свойствах линейной части краевой задачи.

По-видимому, для широкого круга уравнений исследование с нахождением необходимых и достаточных условий разрешимости краевой задачи и сохранения знака решений невозможно. В абсолютном большинстве работ о существовании решений краевой задачи результаты получены в условиях сжатия для некоторого оператора или непосредственного применения теорем о неподвижной точки (Шаудера, Красносельского и т.д.) [72, 78] В распространенном случае, когда краевая задача может быть сведена к уравнению второго рода с оператором, спектральный радиус которого меньше единицы [5], это условие дает и условие существования решения, и оценки решения, а при некоторых дополнительных условиях могут быть получены и условия знакоопределенности решений. Однако это условие на спектральный радиус часто не является необходимым для присутствия требуемого свойства (например, разрешимости).

В то же время, известны новые априорные оценки [170, 205-207], дающие возможность получать условия существования решений краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения, не прибегая к поиску условий сжатия (или к оценке спектрального радиуса некоторого оператора), причем эти оценки в некоторых случая дают возможность в несколько раз улучшить известные ранее условия разрешимости. Оказалось также, что условия разрешимости, полученные с помощью этих оценок [170, 205-207] неулучшаемы в некоторых семействах уравнений. По-видимому, большинство применяемых в настоящее время условий разрешимости для линейных краевых задач можно улучшить при использовании аналогичных априорных оценок. Но для большинства актуальных краевых задач и уравнений (особенно уравнений высших порядков, систем уравнений, уравнений с промежуточными производными) такого рода условия еще не получены из-за трудностей в построении соответствующих априорных оценок. Универсального алгоритма получения таких оценок не существует (вообще, за редким исключением [86], общие методы получения априорных оценок решений неизвестны).

Мы предлагаем рассматривать краевую задачу для семейств уравнений (набор семейств гораздо более широкий, чем семейства, соответствующие условиям разрешимости работ [170, 205-207]), и предлагаем для таких семейств метод нахождения необходимых и достаточных условий разрешимости краевой задачи для всех уравнений семейства. Более того, этот ме-

тод также дает необходимые и достаточные условия знакоопределенности решений краевой задачи для всех уравнений семейства и неулучшаемые в данном семействе уравнений оценки решений. Тем самым решается задача получения всей информации, требуемой для модельного уравнения, и находятся оптимальные в заданных семействах границы выбора таких модельных уравнений, так как найденные условия изучаемых свойств являются необходимыми и достаточными.

Актуальность работы определяется еще и тем, что необходимые и достаточные условия условия разрешимости краевых задач для естественным образом заданных семейств функционально-дифференциальных уравнений с регулярными операторами до сих пор неизвестны и имеют самостоятельное теоретическое значение [5].

Степень разработанности темы исследования. Уже к 1962 году работ по функционально-дифференциальным уравнениям было достаточно много. В обзоре [53] библиографический список состоит из 388 работ, авторы отмечают, что не включали работы чисто прикладного характера, работы по интегро-дифференциальным уравнениям, а также по уравнениям в частных производных, а основная часть работ до 1953 года включена в предыдущие обзоры.

Исследованиям краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений посвящено очень много работ: в том или ином виде в большинстве работ присутствуют утверждения о свойствах решений краевой задачи для линейных уравнений. В то же время неулуч-шаемым условиям разрешимости краевых задач для семейств функционально-дифференциальных уравнений уделено значительно меньшее внимание. Мы восполняем этот пробел, получая для многих краевых задач необходимые и достаточные условия наличия исследуемого свойства у всех уравнений рассматриваемого семейства.

Первой монографией, посвященной теории функционально-дифференциальных уравнений, была книга А.Д. Мышкиса об уравнениях с запаздывающим аргументом [89]. Как отмечает К. Кордуняну [144], именно эта книга положила начало литературе по нетрадиционным функциональным уравнениям (non-traditional functional equations). Значительным продвижением в теории уравнений с запаздыванием, в частности, в теории устойчивости и в нелинейных задачах было введение Н.Н. Красовским [76] метода «функционалов Ляпунова», известных теперь как функционалы Ляпунова-Красовского.

В одном из первых обзоров работ, посвященных дифференциальным уравнениям с отклоняющимся аргументом, написанным А.Д. Мышкисом и Л. Э. Эльсгольцем в 1967 г. [90], авторы посвятили отдельный параграф краевым задачам для уравнений с отклоняющимся аргументом. Источником краевых задач, в основном, были вариационные задачи [59, 60]. Так как вариационные задачи с отклоняющимся аргументом приводят к краевым задачам для аналога уравнения Эйлера и с запаздыванием и с опережением, то уже тогда краевые задачи, в первую очередь, ставились именно для классов уравнений без специальных предположений о запаздывании. В упомянутом обзоре особо отмечались трудности, связанные с постановкой краевой задачи и установлением для нее свойства фредгольмовости. Эти трудности впоследствии удалось преодолеть, в частности, с помощью подхода, разработанного

Н.В. Азбелевым и его учениками (см., например, монографию [5]). Для этого пришлось пожертвовать «непрерывной стыковкой» и отказаться от рассмотрения зависимости решения от «начальной» функции как от главной задачи исследования. В результате появилась возможность применения классических методов функционального и операторного анализа. При этом в линейном случае стало возможным записывать краевую задачу в виде линейного уравнения в соответствующей паре функциональных пространств. Оказалось, что при естественных предположениях для линейных уравнений с «фредгольмовой главной частью» [5] размерность фундаментальной системы решений однородного уравнения конечна и не меньше порядка дифференциального уравнения.

Одним из первых, кто также свел задачи для функционально-дифференциальных уравнений к стандартным задачам функционального анализа, по-видимому, был Дж. Хейл [107, 174]. Подход Н.В. Азбелева дает возможность рассматривать линейное функционально-дифференциальное уравнение как стандартный объект с «фредгольмовой главной частью», что снимает множество трудностей, с которыми сталкивались исследователи ранее, в частности, позволяет рассматривать произвольные измеримые отклонения, а не только гомеоморфизмы [10].

Общие теоремы функционального анализа стали основным инструментом при исследовании функционально-дифференциальных уравнений. Как отмечают Дж. Хендерсон и Р. Лука в предисловии к монографии по краевым задачам [176], «центральными результатами каждой главы являются применения теоремы Гуо-Красносельского о неподвижной точке для нерастягивающих и несжимающих конус операторов», «при доказательстве многих главных результатов применялись также теорема Шаудера, нелинейная альтернатива Лере-Шаудера и другие теоремы о неподвижных точках».

Результаты, полученные М.А. Красносельским и его сотрудниками [73, 75], по настоящее время являются основополагающими для современных исследований краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений.

Возможность применения универсальных методов функционального анализа оказалась решающей при исследовании краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений.

Для применения общих методов неподвижных точек требуются, как правило априорные оценки решения, то есть оценки в предположении, что решение существует. Существует множество методов построения априорных оценок. Вид априорной оценки определяет и вид окончательного результата. Часто требуется только факт априорной ограниченности множества решений. Однако априорные оценки могут использоваться и для доказательства отсутствия нетривиальных решений линейной задачи, например, если показать, что если решение существует, то оно тривиально, таким образом, доказывается существование и единственность решений краевой задачи при произвольных правых частях в случае фредгольмовости. Насколько известно автору, алгоритма построения априорной оценки в сколько-нибудь общем случае не существует.

С 1970-х годов в работах И.Т. Кигурадзе и его учеников для исследования краевых

задач для обыкновенных и, позднее, функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ) стали использоваться априорные оценки (в том числе и односторонние) [63, 65, 69, 70]. С помощью одного нового вида априорных оценок удалось перенести некоторые результаты о периодической краевой задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений [194] на периодическую задачу для ФДУ, сохранив при этом наилучшие константы в условиях разрешимости [205]. Затем подобные неулучшаемые условия были получены и для двухточечной задачи [206, 207] и для задачи Коши [133, 134]. Известные на то время условиях разрешимости этих задач для ФДУ были ослаблены в несколько раз. После этого подобные оценки были использованы и при исследовании других краевых задач для ФДУ [83, 163, 163, 170, 208], а также для ФДУ в частных производных [211, 212]. Эти оценки явно учитывали знаковую ассиметрию входящих в функционально-дифференциальное уравнение функциональных операторов. Полученные результаты значительно улучшили известные условия существования и единственности. Однако построение соответствующей априорной оценки было связано со значительными техническими трудностями. Не всегда удавалось получить априорную оценку, приводящую к неулучшаемым условиям существования (см., например, работу [251], где получены только достаточные, но не необходимые условия разрешимости, и [172, 173], где доказаны условия разрешимости только для младших порядков). Построение оценок в случае систем уравнений, уравнений с промежуточными производными, оценок при поточечных ограничениях на операторы, было сопряжено с техническими трудностями. Может быть поэтому таких работ очень мало, хотя подобные оценки могут существенно улучшить результаты многих современных работ по краевым задачам для функционально-дифференциальных уравнений, использующих итерационную технику монотонных операторов [180-182, 202, 218, 231, 232, 234, 235, 266]. В настоящее время такие аналоги оценок из работ [170, 211, 212] пока неизвестны из-за технических трудностей их получения.

Отметим наиболее крупную российскую школу по исследованию краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений. Работы школы А.Л. Скубачевского (см., например, монографии [98-101]) посвящены краевым задачам для функционально-дифференциальных уравнений, возникающих в различных приложениях математической физики и других наук. Как правило, рассматриваются уравнения в частных производных и не ставится задача получения коэффициентных признаков разрешимости. Доказано существование решений и исследованы свойства решений многих неклассических краевых задач для актуальных классов функционально-дифференциальных уравнений.

Важные результаты по теории краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений и близким вопросам получены в работах Р. Агарвала, В.В. Власова, С.А. Гу-саренко, В.Я. Дерра, Е.С. Жуковского, Г.А. Каменского, С.А. Кащенко, И.Т. Кигурадзе, В.Б. Колмановского, М.Ю. Кокурина, Дж. Мовена, С. Мухигулашвили, С.М. Лабовского, А.Г. Ломтатидзе, В.П. Максимова, С.Б. Норкина, В.Г. Пименова, Б. Пужи, Л.Ф. Рахма-туллиной, А. Ронто, Л.Е. Россовского, А.Л. Скубачевского, А.Н. Сесекина, Е.Л. Тонкова, Дж. Хейла, Р. Хакла, Р.В. Шамина, Ю. Шремра, Л.Э. Эльсгольца и др.

Цели и задачи диссертационной работы. Цель диссертационной работы — изуче-

ние краевых задач для семейств линейных функционально-дифференциальных уравнений на конечном отрезке.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

I. Разработка метода получения неулучшаемых в данном семействе уравнений условий разрешимости краевой задачи для всех уравнений семейства;

II. Нахождение необходимых и достаточных условий существования и единственности решения краевой задачи для всех уравнений семейства;

III. Разработка метода получения неулучшаемых в данном семействе уравнений условий сохранения знака решения краевой задачи для всех уравнений семейства;

IV. Нахождение необходимых и достаточных условий условий сохранения знака решения краевой задачи для всех уравнений семейства;

V. Разработка методов построения оценок решений краевой задачи, неулучшаемых в данном семействе уравнений.

Методология и методы исследования. При исследовании краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений автор опирается, в первую очередь, на подход к функционально-дифференциальным уравнениям профессоров Н.В. Азбелева, Л.Ф. Рахма-туллиной [110] и их учеников, изложенный, в частности, в монографии [5].

При этом на операторы функционально-дифференциального уравнения накладываются только минимальные требования «регулярности» (представимости в виде разности двух операторов, положительных в смысле соответствующих конусов неотрицательных функций).

Второй основополагающий момент работы — использование семейств операторов. Регулярность позволяет в заданном семействе найти оператор самого плохого поведения, например такого, для которого разрешимость краевой задачи влечет разрешимость данной краевой задачи для всех уравнений семейства. Оказывается, что такой оператор часто обладает простой структурой, а именно, является конечномерным. Условия разрешимости краевой задачи для таких операторов могут быть получены точно в явном виде (или приближенно с любой заданной точностью, давая тем самым хорошие достаточные условия разрешимости).

Метод позволяет свести основные проблемы, связанные с краевыми задачами (однозначная разрешимость, положительность решений, оценки решений, описание спектра) к рассмотрению семейств простых задач, имеющих решение в явном виде.

Основной элемент оригинальности и новизны предлагаемого подхода заключается в том, что возможность нахождения в семействе элемента с наихудшими свойствами оказалась для краевых задач неожиданной и систематически никем ранее не применялась. По-видимому, такой подход к изучению краевых задач ранее не использовался. В некоторых случаях наилучшие условия разрешимости (которые эквивалентны необходимым и достаточным условиям разрешимости краевой задачи для семейств уравнений) были с получены с помощью построения априорных оценок решения. Однако стандартного метода построения нужной оценки

не существует. В диссертации во всех случаях предлагается алгоритм решения задачи. Этот алгоритм сводит проблему, связанную с краевыми задачи для функционально-дифференциальных уравнений, к стандартной задаче конечномерной оптимизации.

Краткое содержание работы. Предварим изложение содержания описанием простейшего примера, иллюстрирующего идею предлагаемого подхода. Пусть задана неотрицательная суммируемая функция р : [а,Ь] ^ К. Определим семейство операторов §(р) — множество всех линейных положительных операторов Т : С[а,Ь] ^ Ц[а,Ъ], действующих из пространства непрерывных функций в пространство суммируемых функций и обладающих свойством Т1 = р, где 1 — единичная функция. Рассмотрим начальную задачу для уравнения первого порядка

' х(г) = (Тх)(г) + f (г), г е [а,Ъ], х(а) = с,

где Т е ЗД, / е Ца,Ь], с е К.

Для этой задачи устанавливается следующий результат: для того чтобы для каждого оператора Т из семейства §(р) задача (1) имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы начальная задача для подсемейства уравнений

I

{

х(г) = Рг^х^г) + Р2(Ь)х(Ь2) + /г е [а,Ь], х(а) = с,

имела единственное решение при всех ¿г, ¿2 е [а,Ь] и всех функциях рг, р2 е Ъ[а,Ь], удовлетворяющих условиям

Рг(1)+ Р2(1)= р(1), рг(1) > 0, р2(1) > 0, I е [а,Ъ]. (3)

Решение задачи (1) является положительным (отрицательным) при каждом операторе Т семейства §(р) тогда и только тогда, когда решение задачи (2) положительно (отрицательно) при всех ¿1, ¿2 е [а, Ь] и всех рг, р2 е Ц[а, Ь], удовлетворяющих условиям (3).

Для того чтобы получить оценки решений задачи (1), неулучшаемые в семействе всех уравнений при Т е §(р), следует получить оценки решений задач (2) при всех параметрах, удовлетворяющих условию (3).

Задача (2) имеет единственное решение при всех ¿г, ¿2 е [а,Ь] и всех рг, р2 е Ц[а,Ъ], удовлетворяющих условиям (3), тогда и только тогда, когда

¿2 ¿2 ¿1

1 + 1 — I I > о

0 0

при всех таких ¿г, ¿2, что а ^ ^ ¿2 ^ Ь. Таким образом, задача (1) однозначно разрешима при всех операторах Т е §>(р) тогда и только тогда, когда ^ р(з) ¿8 е [0, 3). Другим методом близкий результат получен в [134].

Так различные вопросы о краевых задачах для функционально-дифференциальных

уравнений сводятся к исследованию задач вида (2). Такого рода исследования составляют основу диссертационной работы.

В первой главе описан основной объект исследования работы — краевая задача

(¿0*)(*) = Еи(ТгХ(г-1)т = /(I), г е [а,ъ], (4)

1гХ = аг, % = 1, ... ,п,

где решение х : [а, Ь] ^ Е принадлежит пространству ЛСп—1[а,Ь] функций с абсолютно непрерывными на [а,Ь] производными вплоть до порядка п — 1; Т^, г = 1,... ,п, линейные ограниченные операторы из пространства непрерывных функций С[а,Ь] в пространство суммируемых функций Ь[а,Ь] (со стандартными нормами); С0 — обыкновенный дифференциальный оператор, определенный равенством

п— 1

(Сох)(г) = х(п)(г) + ^Рг(г)х^(г), г е [а,Ъ],

г=0

'Рг е Ь[а, Ь], г = 0,... ,п — 1; I : ЛСга—1[а, Ь] ^ Е, г = 1,... ,п, — линейно независимая система линейных ограниченных функционалов; £ е Ь[а,Ь], а^ е Е, г = 1,... ,п.

Утверждения работы во многом базируются на фредгольмовости краевой задачи (4) [84] (см. также работу [115]).

Также в первой главе описан метод выбора семейств функционально-дифференциальных уравнений и метод получения необходимых и достаточных условий наличия некоторых свойств краевых задач для всех уравнений из этих семейств. Определяются семейства функционально-дифференциальных уравнений, для которых ставятся три проблемы: об однозначной разрешимости общей краевой задачи для всех уравнений семейства, о знакоопределенности решений общей краевой для всех уравнений семейства, о неулучшаемых в данном семействе уравнений оценках решений краевой задачи. Эти проблемы решены в общем виде для одного вида семейств. Получены общие необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости (§ 1.2), положительной разрешимости краевых задач для всех функционально-дифференциальных уравнений из заданного семейства (§ 1.3), неулучшаемые в данном семействе оценки решений (§ 1.4). Приведены примеры, иллюстрирующие применение общих теорем. Отдельно представлены результаты о периодической задаче для уравнений первого (§ 1.5) и второго порядков (§ 1.6).

Положительным называется линейный оператор, отображающий каждую неотрицательную функцию из С[а,Ь] в почти всюду неотрицательную функцию из Ь[а,Ь]. Как известно, такой оператор ограничен и норма такого оператора Т : С[а,Ь] ^ Ь[а,Ь] определена равенством || Т= §а(Т 1 )(з) йз, где 1 (I) = 1 — единичная функция.

Пусть р+, р~ е Ь — неотрицательные функции, V +, V— е Е — неотрицательные числа. Семейство линейных регулярных операторов §>(р+,р—) определим равенством

§(р+,р—) = {Т = Т+ — Т— : Т+,Т— е £+[а,Ь], Т+1 = р+, Т—1 = р-} ,

где £+[а,Ь] — множество всех линейных положительных операторов, действующих из пространства С[а,Ь] в пространство Ъ[а,Ь].

Также исследованы краевые задачи в объединениях семейств §>(р+ ,р-), в частности, в семействах 81 (V +, V-),

^(Т+, V-) = и Нр+,р-).

II Р+Нч =Р+, Р+>0, IIР-Ньх =т-, р-^о

В главе 1 рассматривается частный случай задачи (4), а именно, задача

{

(Сох)(1) = (Тх)(1) + /(г), г е [а,Ъ],

1, ^ 1, . . . ,

при всех операторах Т из заданного семейства *В(р+,р-). Ставятся вопросы об отыскании всех семейств §(р+ ,р-), для которых задача (5) имеет единственное решение при всех Т е §>(р+ ,р-), об отыскании всех семейств §(р+ ,р-), для которых решения задачи (5) сохраняют знак при всех Т е 1В(р+ ,р-), о наилучших в данном семействе *В(р+,р-) оценках решений задачи (5). Приводимая ниже лемма 1.1 позволяет сводить вопросы о задаче (5) для всех операторов семейства Е>(р+,р-) к более простой задаче. Далее, в теоремах 1.1, 1.6, 1.13, 1.15 показано, что первые два вопроса, об разрешимости и знакоопределенности, сводятся к нахождению минимума и максимума вещественной функции двух переменных. В § 1.4 показано, что вопрос о наилучших оценках также сводится к конечномерной оптимизации.

Лемма 1.1. Функция у является решением краевой задачи (5) при некотором операторе Т е Е>(р+,р-) тогда и только тогда, когда у является решением краевой задачи

!

(Сох)(г)= Р1(г)х(ь)+ Р2(г)х(Ь2) + f(г), г е [а,Ъ],

1, ^ 1, . . . ,

при некоторых функциях р1, р2 и некоторых точках ¿^ Ь2, удовлетворяющих условиям

Р1, Р2 е Ца,Ь], (7)

Р1 + Р2 = р+ - р-, (8)

-р-^) < Рг(1) ^ р+(1), I е [а,Ъ], г = 1, 2, (9)

а ^ г1 ^ г2 ^ Ь. (10)

В работе основная Лемма 1. 1 последовательно применяется к различным краевым задачам для функционально-дифференциальных уравнений. Все результаты работы в той или иной мере являются результатом такого применения. Лемма 1.1 объясняет преимущества введения семейств операторов §>(р+,р-) и рассмотрения краевой задачи для семейства операторов. Благодаря этой лемме, изучение множества решение краевой задачи для весьма общего вида функционально-дифференциальных уравнений заменяется изучением решений

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Бравый Евгений Ильич, 2018 год

Список литературы

1. Азбелев Н. В. О нулях решений линейного дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения. 1971. Т. 7, № 7. С. 1147-1157.

2. Азбелев Н. В., Алвеш М. Ж., Бравый Е. И. О сингулярных краевых задачах для линейного функционально-дифференциального уравнения второго порядка // Известия вузов. Математика. 1999. № 2. С. 3-11.

3. Азбелев Н. В., Домошницкий А. К вопросу о дифференциальных неравенствах. // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, № 3. С. 376-385.

4. Азбелев Н. В., Максимов В. П. Априорные оценки решений задачи Коши и разрешимость краевых задач для уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, № 10. С. 1731-1747.

5. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М. : Наука, 1991.

6. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Методы современной теории линейных функционально-дифференциальных уравнений. Москва, Ижевск : Регулярная и хаотическая динамика, 2000.

7. Азбелев Н. В., Максимов В. П., Рахматуллина Л. Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. М. : Институт компьютерных исследований, 2002.

8. Азбелев Н. В., Симонов П. М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. Пермь : Изд-во Перм. ун-та, 2001.

9. Арнольд В. И. Исчисление змей и комбинаторика чисел бернулли, эйлера и спрингера групп кокстера // УМН. 1992. Т. 47, № 1(283). С. 3-45.

10. Бекларян Л. А. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений и их приложений. групповой подход // СМФН. 2004. Т. 8. С. 3-147.

11. Бравый Е. И. О регуляризации сингулярных функционально-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30, № 1. С. 26-34.

12. Бравый Е. И. Об однозначной разрешимости периодической краевой задачи для линейного функционально-дифференциального уравнения // Материалы научной конференции-семинара «Теория управления и математическое моделирование». Ижевск, 4-9 мая 2008 г. Ижевск : ИжГТУ, 2008. С. 8-11.

13. Бравый Е. И. О неединственности решений периодической краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения // Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения-ХХ». г. Воронеж, 3-9 мая 2009 г. Воронеж : Воронежский государственный университет, 2009. С. 28-29.

14. Бравый Е. И. О разрешимости периодической краевой задачи для линейного функционально-дифференциального уравнения // Вестник Удмуртского университета. Математика. 2009. № 3. С. 12-24.

15. Бравый Е. И. О разрешимости резонансных краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений // Материалы Воронежской весенней математической школы. Воронеж, 3-9 мая 2008 г. Воронеж : Воронежский государственный университет, 2009. С. 55-56.

16. Бравый Е. И. Разрешимость резонансных краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений // Международная конференция по математической теории управления и механике. Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, г. Суздаль. 3-7 июня 2009 г. Суздаль : Владимирский государственный университет, 2009. С. 46-47.

17. Бравый Е. И. Разрешимость резонансных краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений с монотонными операторами // Шестая Всероссийская конференция «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара. 1-4 июня 2009 г. Самара : Самарский государственный технический университет, 2009. С. 55-57.

18. Бравый Е. И. On the solvability of resonance boundary value problems for functional differential equations with monotone operators // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2009. Т. 14, № 4. С. 665-667.

19. Бравый Е. И. Об однозначной разрешимости периодической краевой задачи для системы функционально-дифференциальных уравнений // «Современные методы теории краевых задач». Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения-XXI». Воронеж : Воронежский государственный университет, 2010. С. 43-44.

20. Бравый Е. И. Разрешимость краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений // Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием «Актуальные проблемы механики, математики, информатики — 2010», г. Пермь, 12-15 октября 2010. Пермь : Пермский государственный университет, 2010. С. 52.

21. Бравый Е. И. О разрешимости периодической краевой задачи для линейных функционально-дифференциальных уравнений // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2011. Т. 16, № 3. С. 1029-1032.

22. Бравый Е. И. О разрешимости периодической краевой задачи для систем функционально-дифференциальных уравнений с циклической матрицей // Известия вузов. Математика. 2011. № 10. С. 17-27.

23. Бравый Е. И. Об однозначной разрешимости возмущений резонансной краевой задачи для функционально-дифференциальных уравнений второго порядка // «Современные методы теории краевых задач». Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения-XXII». Воронеж : Воронежский государственный университет, 2011. С. 35-36.

24. Бравый Е. И. Разрешимость краевых задач для линейных функционально-дифференциальных уравнений. Москва-Ижевск : Регулярная и хаотическая динамика, 2011.

25. Бравый Е. И. Задача Коши для линейного сингулярного функционально-дифференциального уравнения с невольтерровым оператором // «Современные методы теории краевых задач». Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения-XXIII». Воронеж : Воронежский государственный университет, 2012.

С. 33-34.

26. Бравый Е. И. Новые результаты об однозначной разрешимости линейных краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений // Изв. ИМИ УдГУ. 2012. № 1(39). С. 15-16.

27. Бравый Е. И. О наилучших константах в условиях разрешимости периодической краевой задачи для функционально-дифференциальных уравнений высших порядков // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48, № 6. С. 773-780.

28. Бравый Е. И. О разрешимости задачи Коши для линейных функционально-дифференциальных уравнений высших порядков // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48, № 4. С. 459-470.

29. Бравый Е. И. Минимальные периоды непостоянных периодических решений и константы Бора-Фавара // Современные методы теории краевых задач. Материалы весенней математической школы «Понтрягинские чтения-ХХ1У». 6-11 мая 2013 г. Воронеж : Воронежский государственный университет, 2013. С. 36-39.

30. Бравый Е. И. Минимальные периоды решений неавтономных функционально-дифференциальных уравнений с липшицевыми нелинейностями // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2013. Т. 18, № 5-2. С. 2453-2455.

31. Бравый Е. И. О минимальных периодах решений функционально-дифференциальных уравнений высших порядков // Известия вузов. Математика. 2013. № 12. С. 77-82.

32. Бравый Е. И. О минимальных периодах решений функционально-дифференциальных уравнений высших порядков // Тезисы докладов Четвертой Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН Л.Д. Кудрявцева. Москва. 25-29 марта 2013 г. Москва : РУДН, 2013. С. 170-171.

33. Бравый Е. И. О неулучшаемых условиях разрешимости периодической краевой задачи для линейных функционально-дифференциальных уравнений второго порядка // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2013. № 3. С. 3-19.

34. Бравый Е. И. О положительных периодических решениях функционально-дифференциальных уравнений // «Устойчивость и процессы управления». Материалы III международной конференции, посвященной 85-летию со дня рождения профессора, чл.-корр. РАН В. И. Зубова. Санкт-Петербург, 05-09 октября 2015 г. Санкт-Петербург : Санкт-Петербургский государственный университет, 2015. С. 265-266.

35. Бравый Е. И. О положительных периодических решениях функционально-дифференциальных уравнений первого порядка // Известия Института математики и информатики УдГУ. 2015. № 2 (46). С. 21-28.

36. Бравый Е. И. О разрешимости двухточечной задачи для линейных функционально-дифференциальных уравнений второго порядка // «Современные методы теории краевых задач». Материалы Международной конференции Воронежская весенняя математическая школа «Понтрягинские чтения — XXVI». 3 мая - 9 мая 2015. Воронеж : Издательский дом ВГУ, 2015. С. 47-49.

37. Бравый Е. И. О разрешимости краевых задач для линейных функционально-дифференциальных уравнений второго порядка // Теория управления и математическое моделирование. Тезисы докладов Всероссийской конференции с международным участием, посвященной памяти профессора Н.В. Азбелева и профессора Е.Л. Тонкова. Ижевск, 09-11 июня 2015 г. Ижевск : УдГУ, 2015. С. 35-37.

38. Бравый Е. И. О разрешимости периодической задачи для линейных функционально-дифференциальных уравнений высших порядков // Дифференц. уравнения. 2015. Vol. 51, no. 4. P. 563-577.

39. Бравый Е. И. О разрешимости периодической краевой задачи и задачи Дирихле для функционально-дифференциальных уравнений второго порядка // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2015. Т. 20, № 5. С. 1084-1086.

40. Бравый Е. И. Об условиях разрешимости периодической краевой задачи для функционально-дифференциальных уравнений второго порядка в условиях неопределенности // Труды международной конференции «Динамика систем и процессы управления», посвященной 90-летию со дня рождения академика Н.Н. Красовского, Екатеринбург, Россия, 14-20 сентября 2014 г. Екатеринбург : ИММ УрО РАН, 2015. С. 103-110.

41. Бравый Е. И. Краевые задачи для семейств функционально-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52, № 11. С. 1576-1577.

42. Бравый Е. И. О периодических краевых задачах для систем функционально-дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. Сто лет математической науке Урала. Материалы симпозиума, проводимого в рамках форума «Математика и глобальные вызовы XXI века», посвященного столетию Пермского государственного национального исследовательского университета (г. Пермь, 16-21 мая 2016 года). Пермь : ПНИПУ, 2016. С. 18-21.

43. Бравый Е. И. О периодических краевых задачах для систем функционально-дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2017. Т. 132. С. 17-20.

44. Бравый Е. И., Макагонова М. А. О задаче Коши для уравнений высших порядков // «Современные методы теории краевых задач». Материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения-XXI». Воронеж : Воронежский государственный университет, 2010. С. 44-45.

45. Васильев Н. И., Клоков Ю. Основы теории краевых задач обыкновенных дифференци-ональных уравнений. Рига : Зинатне, 1978.

46. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Теория вольтеровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения. Москва : Наука, 1967.

47. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Государственное изд-во физ.-мат. литературы, 1963.

48. Гульден Я., Джексон Д. Перечислительная комбинаторика. М. : Наука, 1990.

49. Гусаренко С. А., Домошницкий А. И. Об асимптотических и осцилляционных свой-

ствах линейных скалярных функционально-дифференциальных уравнений первого порядка // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25, № 12. С. 2090-2103.

50. Данфорд Н., Шварц Д. Т. Линейные операторы. Общая теория. Т. 1. Москва : Издательство иностранной литературы, 1966.

51. Дейфт В. А. Условия неосцилляции для линейного однородного дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10, № 11. С. 1956-1963.

52. Дерр В. Я. Неосцилляция решений линейных дифференциальных уравнений // Вестник Удмуртского университета. Серия 1: Математика. Механика. Компьютерные науки. 2009. № 1. С. 46-89.

53. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом / А. М. Зверкин, Г. А. Каменский, С. Б. Норкин, Л. Э. Эльсгольц // УМН. 1962. Т. 17, № 2(104). С. 77-164.

54. Домошницкий А. И. Условия неосцилляции для линейного однородного дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, № 9. С. 1475-1482.

55. Жуковский Е. С., Алвеш М. Ж. Абстрактные вольтерровы операторы // Известия вузов. Математика. 2008. № 3. С. 3-17.

56. Забрейко П. П., Кошелев А. И., Красносельский М. А. Интегральные уравнения. М. : Наука, 1966.

57. Зевин А. А. Точные оценки периодов и амплитуд периодических решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Доклады Академии Наук. 2007. Т. 415, № 2. С. 160-164.

58. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций / М. А. Красносельский, П. П. Забрейко, Е. И. Пустыльник, П. Е. Соболевский. М. : Наука, 1966.

59. Каменский Г. А. Вариационные и краевые задачи с отклоняющимся аргументом // Дифференц. уравнения. 1970. Т. 6, № 8. С. 1349-1358.

60. Каменский Г. А., Мышкис А. Д., Скубачевский А. Л. О минимуме квадратичного функционала и о линейных краевых задачах эллиптического типа с отклоняющимися аргументами // Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, № 8. С. 1469-1473.

61. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М. : Наука, 1977.

62. Канторович Л. В., Вулих В. З., Пинскер А. Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. М., Л. : ГИТТЛ, 1950.

63. Кигурадзе И. Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Тбилиси : Изд-во Тбил. ун-та, 1975.

64. Кигурадзе И. Т. О периодических решениях линейных дифференциальных уравнений высших порядков // УМН. 1983. Т. 38, № 5. С. 129-130.

65. Кигурадзе И. Т. Об априорных оценках решений нелинейных дифференциальных неравенств высших порядков // Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21, № 2. С. 198-213.

66. Кигурадзе И. Т. Об ограниченных и периодических решениях линейных дифференциальных уравнений высших порядков // Математические заметки. 1985. Т. 37, № 1.

С. 48-62.

67. Кигурадзе И. Т. Краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. 1987. Т. 30. С. 3-103.

68. Кигурадзе И. Т., Б.Л. Сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. 1987. Т. 30. С. 3-103.

69. Кигурадзе И. Т., Кусано Т. О периодических решениях неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений высших порядков // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, № 1. С. 72-78.

70. Кигурадзе И. Т., Кусано Т. Об условиях существования и единственности периодического решения у неавтономных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, № 10. С. 1301-1306.

71. Кобяков И. И. Условия отрицательности функции грина двухточечной краевой задачи с отклоняющимся аргументом // Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8, № 3. С. 443-451.

72. Короткий Д. А. Системы с опережением и запаздыванием: численное решение // Изв. ИМИ УдГУ. 2006. № 2(36). С. 185-188.

73. Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений. М. : Физмат-гиз, 1962.

74. Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. М. : Наука, 1975.

75. Красносельский М. А., Лифщиц Е. А., Соболев А. Позитивные линейные системы. М. : Наука, 1985.

76. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М. : Физматгиз, 1959.

77. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М. : Наука, 1971.

78. Курпель Н. С., Шувар Б. А. Двусторонние операторные неравенства и их применения. Киев : Наук. думка, 1980.

79. Лабовский С. М. О сохранении знака вронскиана фундаментальной системы, функции Коши и функции грина двухточечной краевой задачи для уравнения с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения. 1975. Т. 11, № 10. С. 1780-1789.

80. Лабовский С. М. О положительных решениях двухточечной краевой задачи для линейного сингулярного функционально-дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, № 10. С. 1695-1704.

81. Левин В., Стечкин С. Дополнения к книге Харди Г., Литтльвуд Дж., Полиа Г. Неравенства. М.: Иностранная литература, 1948.

82. Лихачева Н. Н. Теорема Валле-Пуссена для одного класса функционально-дифференциальных уравнений // Известия вузов. Математика. 1997. № 5. С. 30-37.

83. Ломтатидзе А. Г., Пужа Б., Хакл Р. О периодических краевых задачах для функци-онально-дифференциональных уравнений первого порядка // Дифференц. уравнения.

2003. Т. 39, № 3. С. 320-327.

84. Максимов В. П. Нетеровость общей краевой задачи для линейного функционально-дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10, № 12. С. 2288-2291.

85. Максимов В. П. Вопросы общей теории функционально-дифференциальных уравнений. Пермь : Изд-во ПГУ, 2003. С. 305.

86. Митидиери Э., Похожаев С. И. Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных // Тр. МИАН. 2001. Т. 234, № 2. С. 3-383.

87. Мокейчев В. С. Об интегрировании дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Известия высших учебных заведений. Математика. 1977. № 10. С. 109-121.

88. Мухигулашвили С. В. Об одной задаче с нелинейными краевыми условиями для систем функционально-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46, № 1. С. 47-58.

89. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.-Л. : Гостехиздат, 1951.

90. Мышкис А. Д., Эльсгольц Л. Э. Состояние и проблемы теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // УМН. 1967. Т. 22, № 2(134). С. 21-57.

91. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

92. Никольский С. М. Линейные уравнения в линейных нормированных пространствах // Известия АН СССР. Серия математическая. 1943. № 7. С. 147-166.

93. Осечкина Т. А. Однозначная разрешимость и знакопостоянство функции грина периодической краевой задачи для линейного уравнения с отклоняющимся аргументом // Известия вузов. Математика. 1993. № 5. С. 86-94.

94. Плаксина В. П. Условия знакопостоянства функции грина одной двухточечной задачи для функционально-дифференциального уравнения п-го порядка // Деп. в ВИНИТИ 16.05.89. 1989. № 3280-В89. С. 1-43.

95. Россовский Л. Е. Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения со сжатием и растяжением аргументов неизвестной функции // Современная математика. Фундаментальные направления. 2014. Т. 54. С. 3-138.

96. Симонов П. М., Чистяков А. В. О некоторых признаках сохранения знака функции грина для дифференциального уравнения второго порядка с отклонением аргумента // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики / МФТИ. Москва, 1999. С. 179-191.

97. Симонов П. М., Чистяков А. В. Неулучшаемость некоторых признаков сохранения знака функции грина двухточечной краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка с отклонением аргумента // Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика. 2000. № 3. С. 3-12.

98. Скубачевский А. Л. Нелокальные краевые задачи со сдвигом // Матем. заметки. 1985. Т. 38, № 4. С. 587-598.

99. Скубачевский А. Л. Неклассические краевые задачи. I // СМФН. 2007. Т. 26. С. 3-132.

100. Скубачевский А. Л. Неклассические краевые задачи. II // СМФН. 2009. Т. 33. С. 3-179.

101. Скубачевский А. Л. Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений и их приложения // УМН. 2016. Т. 71, № 5(431). С. 3-112.

102. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовиц, И. Стегун. М.: Наука, 1973.

103. Трубников Ю. В., Перов А. И. Линейные дифференциальные операторы. Минск: Наука и техника, 1986.

104. Функциональный анализ / Под ред. С. Г. Крейна. Москва : Наука, 1972.

105. Хан В. Обзор теории дифференциально-разностных уравнений с постоянными и переменными отклонениями // Математика. 1961. Т. 5, № 6. С. 73-98.

106. Харди Г., Литтльвуд Д., Полиа Г. Неравенства. Москва : Иностранная литература, 1948.

107. Хейл Д. Теория функционально-дифференциальных уравнений. Москва : Мир, 1984.

108. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Москва : Наука, 1971.

109. Azbelev N. V., Maksimov V. P., RakhmatuHina L. F. Introduction to the theory of functional differential equations: Methods and applications. 2007. Vol. 3 of Contemporary Mathematics and its Applications. P. 1-318.

110. Azbelev N. V., Rakhmatullina L. F. Theory of linear abstract functional differential equations and applications // Mem. Differ. Equ. Math. Phys. 1996. Vol. 8. P. 1-102.

111. Bai D., Xu Y. Existence of positive solutions for boundary-value problems of second-order delay differential equations // Applied Mathematics Letters. 2005. Vol. 18, no. 6 spec. iss. P. 621-630.

112. Bates F. W., Ward Y. R. Periodic solutions of higher order systems // Pacific J. Math. 1979. Vol. 84, no. 2. P. 275-282.

113. Berezansky L., Braverman E., Domoshnitsky A. First order functional differential equations: nonoscillation and positivity of Green's functions // Funct. Differ. Equ. 2008. Vol. 15, no. 1-2. P. 57-94.

114. Bonanno G., D'Agui G. A Neumann boundary value problem for the sturm-liouville equation // Appl. Math. Comput. 2009. Vol. 208, no. 2. P. 318-327.

115. Bravyi E. A note on the Fredholm property of boundary value problems for linear functional differential equations // Mem. Differ. Equ. Math. Phys. 2000. Vol. 20. P. 133-135.

116. Bravyi E. On the solvability of the Cauchy problem for systems of two linear functional differential equations // Mem. Differ. Equ. Math. Phys. 2007. Vol. 41. P. 11-26.

117. Bravyi E. On the solvability of the Cauchy problem for a first order linear functional differential equation // Funct. Differ. Equ. 2008. Vol. 15, no. 1-2. P. 95-109.

118. Bravyi E. On the solvability of the Neumann problem for second order linear functional differential equations // Funct. Differ. Equ. 2009. Vol. 16, no. 2. P. 201-212.

119. Bravyi E. On the solvable sets for boundary value problems for functional differential equa-

tions // Equadiff 12. International Conference on Differential Equations. July 20-24, 2009. Brno, Czech Republic, 2009. P. 67.

120. Bravyi E. On the solvability of linear boundary value problems for functional differential equations // Functional Differential Equations and Applications. Research Workshop of The Israel Science Foundation. Ariel University Center of Samaria, 29.8-2.9.2010. Ariel : Ariel University, 2010. P. 17.

121. Bravyi E. On the solvability of linear boundary value problems for functional differential equations with intermediate derivatives // Funct. Differ. Equ. 2011. Vol. 18, no. 1-2. P. 101-110.

122. Bravyi E. On the solvability of perturbations of linear boundary value problems at resonance for functional differential equations // Nonlinear Anal.-Theor. 2011. Vol. 74. P. 6387-6396.

123. Bravyi E. On the solvability of the periodic problem for systems of linear functional differential equations with regular operators // Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations. 2011. no. 59. P. 1-17.

124. Bravyi E. On the solvable sets of boundary value problems for linear functional differential equations // Mathematica Bohemica. 2011. Vol. 136, no. 2. P. 145-154.

125. Bravyi E. On the best constants in the solvability conditions of the periodic problem // "Functional Differential Equations and Applications-2012". Deducated to the memory of Professor Nikolai V. Azbelev (1922-2006). Research Workshop of The Israel Science Foundation. Ariel : Ariel University, 2012. P. 9.

126. Bravyi E. Conditions for the solvability of the Cauchy problem for linear first-order functional differential equations // Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations.

2013. no. 66. P. 1-9.

127. Bravyi E. On conditions for the solvability of the periodic problem for second order functional differential equations under uncertainty // Systems Dynamics and Control Processes. SDCP

2014. Abstracts of International Conference dedicated to the 90th Anniversary of Academician N. N. Krasovskii. Ekaterinburg, Russia. September 15-20, 2014. Ekaterinburg : IMM UB RAS, 2014. P. 230-231.

128. Bravyi E. On estimates of solutions of the periodic boundary value problem for first-order functional differential equations // Boundary Value Problems. 2014. Vol. 2014:119. P. 1-12.

129. Bravyi E. On solvability of periodic problem for second-order functional differential equations // The Seventh International Conference on Differential and Functional Differential Equations. Moscow, Russia, August 22-29, 2014. International Workshop "Spatio-temporal dynamical systems". Moscow, Russia, August 26-28, 2014. M. : Peoples' Friendship University of Russia, 2014. P. 24-25.

130. Bravyi E. On solvability of periodic boundary value problems for second order linear functional differential equations // Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations. 2016. Vol. 5. P. 1-18.

131. Bravyi E. On periods of non-constant solutions to functional differential equations // Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations. 2017. no. 14. P. 1-10.

132. Bravyi E. On positive periodic solutions of second order functional differential equations // Georgian Mathematical Journal. 2017. no. 1. P. 3-13.

133. Bravyi E., Hakl R., Lomtatidze A. On Cauchy problem for the first order nonlinear functional differential equations of non-Volterra's type // Czechoslovak Mathematical Journal. 2002. Vol. 52 (127), no. 4. P. 673-690.

134. Bravyi E., Hakl R., Lomtatidze A. Optimal conditions on unique solvability of the Cauchy problem for the first order linear functional differential equations // Czechoslovak Mathematical Journal. 2002. Vol. 57 (127), no. 3. P. 513-530.

135. Bravyi E., Lomtatidze A., Puza B. A note on the theorem on differential inequalities // Georgian Mathematical Journal. 2001. Vol. 4, no. 4. P. 627-631.

136. Bravyi E. I. On conditions for the solvability of the periodic problem for second order linear functional differential equations // International Workshop on the Qualitative Theory of Differential Equations. QUALITDE - 2014. December 18-20, 2014. Tbilisi, Georgia, 2014. P. 22-25.

137. Bravyi E. I. On conditions for the solvability of the periodic problem for second order linear functional differential equations // International Workshop on the Qualitative Theory of Differential Equations. QUALITDE — 2015. December 27-29, 2015. Tbilisi, Georgia, 2015. P. 36-39.

138. Bravyi E. I. On a four-point boundary value problem for second order linear functional differential equations // International Workshop on the Qualitative Theory of Differential Equations. QUALITDE - 2016. December 24-26, 2016. Tbilisi, Georgia, 2016. P. 51-54.

139. Bravyi E. I., Plaksina I. M. On the Cauchy problem for singular functional differential equations // Advances in Difference Equations. 2017. no. 2017:91. P. 1-14.

140. Calamai A., Infante G. Nontrivial solutions of boundary value problems for second-order functional differential equations // Annali di Matematica Pura ed Applicata. 2016. Vol. 195, no. 3. P. 741-756.

141. Chang C.-H., Ha C.-W. Norm inequalities of periodic functions and their derivatives // Archiv der Mathematik. 2003. Vol. 81, no. 3. P. 327-334.

142. Chang C.-H., Ha C.-W. The Green functions of some boundary value problems via the Bernoulli and Euler polynomials // Archiv der Mathematik. 2011. Vol. 76, no. 5. P. 360365.

143. Chen X. R., Pan L. J. Existence of periodic solutions for n-th order differential equations with deviating argument // Int. Journal of Pure and Applied Mathematics. 2009. Vol. 3, no. 55. P. 319-333.

144. Corduneanu C., Li Y., Mahdavi M. Functional differential equations. Advances and applications. Hoboken, NJ : John Wiley & Sons, 2016.

145. Dilnaya N., Ronto A. Multistage iterations and solvability of linear Cauchy problems // Miskolc Mathematical Notes. 2003. Vol. 4, no. 2. P. 89-102.

146. Dilnaya N., Ronto A. General conditions guaranteeing the solvability of the Cauchy problem for functional differential equations // Mathematica Bohemica. 2008. Vol. 133, no. 4.

P. 435-445.

147. Domoshnitsky A. Nonoscillation interval for n-th order functional differential equations // Nonlinear Anal.-Theor. 2009. Vol. 71. P. e2449-e2456.

148. Domoshnitsky A., Drakhlin M., Litsyn E. Nonoscillation and positivity of solutions to first order state-dependent differential equations with impulses in variable moments // Journal of Differential Equations. 2006. Vol. 228, no. 1. P. 39-48.

149. Domoshnitsky A., Hakl R., Sremr J. Component-wise positivity of solutions to periodic boundary problem for linear functional differential system // Journal of Inequalities and Applications. 2012. Vol. 2012.

150. Erbe L. H., Kong Q. Boundary value problems for singular second-order functional differential equations // Journal of Computational and Applied Mathematics. 1994. Vol. 53, no. 3. P. 377-388.

151. Existence of periodic solutions for a class of even order differential equations with deviating argument / Ch. Guo, D. O'Regan, Y. Xu, R. P. Agarwal // Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations. Spec. Ed. I. 2009. no. 12.

152. Fu X., Wang W. Periodic boundary value problems for second-order functional differential equations // Journal of Inequalities and Applications. 2010. Vol. 2010.

153. Fuchik S., Mawhin J. Periodic solutions of some nonlinear differential equations of higher order // Casopis. Pest. Mat. 1975. Vol. 100, no. 2. P. 276-283.

154. Gaines R. E., Mawhin J. L. Coincidence Degree and Nonlinear Differential Equations. Lecture Notes in Mathematics. Springer, 1977.

155. Gritsans A., Sadyrbaev F. Nonlinear spectra: the Neumann problem // Math. Model. Anal. 2009. Vol. 14, no. 1. P. 33-42.

156. Hakl R. On periodic-type boundary value problems for functional differential equations with a positively homogeneous operator // Miskolc Math. Notes. 2004. Vol. 5, no. 1. P. 33-55.

157. Hakl R. On a periodic type boundary value problem for functional differential equations with a positively homogeneous operator // Mem. Differ. Equ. Math. Phys. 2007. Vol. 40. P. 17-54.

158. Hakl R. Periodic boundary-value problem for third-order linear functional differential equations // Ukrainian Mathematical Journal. 2008. Vol. 60, no. 3. P. 481-494.

159. Hakl R., Lomtatidze A. On the Cauchy problem for first order linear differential equations with a deviating argument // Archivum Mathematicum. 2002. Vol. 38. P. 61-71.

160. Hakl R., Lomtatidze A., PuSa B. On nonnegative solutions of first order scalar functional differential equations // Mem. Differ. Equ. Math. Phys. 2001. Vol. 23. P. 51-84.

161. Hakl R., Lomtatidze A., PuSa B. On periodical solutions of first order nonlinear functional differential equations of non-volterra's type // Mem. Differ. Equ. Math. Phys. 2001. Vol. 24. P. 83-105.

162. Hakl R., Lomtatidze A., PuSa B. New optimal conditions for unique solvability of the Cauchy problem for first order linear functional differential equations // Mathematica Bohemica. 2002. Vol. 127, no. 4. P. 509-524.

163. Hakl R., Lomtatidze A, Puza B. On periodical solutions of first order linear functional differential equations // Nonlinear Anal.-Theor. 2002. Vol. 49. P. 929-945.

164. Hakl R., Lomtatidze A., Puza B. On a boundary value problem for first-order scalar functional differential equations // Nonlinear Anal.-Theor. 2003. Vol. 53, no. 3-4. P. 391-405.

165. Hakl R., Lomtatidze A., Stavroulakis I. P. On a boundary value problem for scalar linear functional differential equations // Abstract and Applied Analysis. 2004. Vol. 2004, no. 1. P. 45-67.

166. Hakl R., Lomtatidze A., Srernr J. On a periodic type boundary value problem for first order linear functional differential equations // Nelinijni Kolyvannya. 2002. Vol. 5, no. 3. P. 416432.

167. Hakl R., Lomtatidze A., Sremr J. On an antiperiodic type boundary value problem for first order linear functional differential equations // Archivum Mathematicum. 2002. Vol. 38. P. 149-160.

168. Hakl R., Lomtatidze A., Sremr J. On constant sign solutions of a periodic type boundary problems for first order functional differential equations // Mem. Differ. Equ. Math. Phys. 2002. Vol. 26. P. 66-90.

169. Hakl R., Lomtatidze A., Sremr J. Solvability and the unique solvability of a periodic type boundary value problem for first order scalar functional differential equations // Georgian Math. J. 2002. Vol. 9, no. 3. P. 525-547.

170. Hakl R., Lomtatidze A., Sremr J. Some Boundary Value Problems For First Order Scalar Functional Differential Equations. Folia Facult. Scien. Natur. Masar. Brunensis. Mathe-matica, 10. Brno : Masaryk University, 2002.

171. Hakl R., Lomtatidze A., Sremr J. On nonnegative solutions of a periodic type boundary value problem for first-order scalar functional differential equations // Functional Differential Equations. 2004. Vol. 11, no. 3-4. P. 363-394.

172. Hakl R., Mukhigulashvili S. On one estimate for periodic functions // Georgian Math. J. 2005. Vol. 12, no. 1. P. 97-114.

173. Hakl R., Mukhigulashvili S. A periodic boundary value problem for functional differential equations of higher order // Georgian Math. J. 2009. Vol. 16, no. 4. P. 651-665.

174. Hale J. K. Theory of Functional Differential Equations. New York : Springer-Verlag, 1977.

175. Hale J. K., Lunel S. M. V. Introduction to functional differential equations. Springer Science & Business Media, 2013. Vol. 99.

176. Henderson J., Luca R. Boundary Value Problems for Systems of Differential, Difference and Fractional Equations. Positive Solutions. Amsterdam : Elsevier, 2016.

177. Hou X., Wu Z. Existence and uniqueness of periodic solutions for a kind of Lienard equation with multiple deviating arguments // Journal of Applied Mathematics and Computing. 2012. Vol. 38, no. 1-2. P. 181-193.

178. Hutson V. C. L. Boundary-value problems for differential difference equations // Journal of Differential Equations. 1980. Vol. 36, no. 3. P. 363-373.

179. Ignat'ev A. O. Bounds for the periods of periodic solutions of ordinary differential equa-

tions // Ukrainian Mathematical Journal. 2016. Vol. 67, no. 11. P. 1773-1777.

180. Jankowski T. Solvability of three point boundary value problems for second order differential equations with deviating arguments // J. Math. Anal. Appl. 2005. Vol. 312, no. 2. P. 620636.

181. Jiang D., Nieto J. J., Zuo W. On monotone method for first and second order periodic boundary value problems and periodic solutions of functional differential equations // J. Math. Anal. Appl. 2004. Vol. 289, no. 2. P. 691-699.

182. Jiang D., Wei J. Monotone method for first- and second-order periodic boundary value problems and periodic solutions of functional differential equations // Nonlinear Anal.-Theor. 2002. Vol. 50, no. 7. P. 885-898.

183. Karakostas G. L., Mavridis K. G., Tsamatos P. C. Multiple positive solutions for a functional second-order boundary value problem // J. Math. Anal. Appl. 2003. Vol. 282, no. 2. P. 567577.

184. Kiguradze I. The Neumann problem for the second order nonlinear ordinary differential equations at resonance // Functional Differential Equations. 2009. Vol. 16, no. 2. P. 353371.

185. Kiguradze I., Kiguradze T. On solvability of boundary value problems for higher order nonlinear hyperbolic equations // Nonlinear Anal.-Theor. 2008. Vol. 69. P. 1914-1933.

186. Kiguradze I., Lomtatidze A. Periodic solutions of nonautonomous ordinary differential equations // Monatsh. Math. 2010. Vol. 159. P. 235-252.

187. Kiguradze I., Mukhigulashvili S. On periodic solutions of two-dimensional nonautonomous differential systems // Nonlinear Anal.-Theor. 2005. Vol. 60, no. 2(A). P. 241-256.

188. Kiguradze I., Partsvania N., Pûza B. On periodic solutions of higher-order functional differential equations // Boundary Value Problems. 2008. Vol. 2008:389028. P. 1-18.

189. Kiguradze I., Pûza B. On boundary value problems for systems of linear functional differential equations // Czechoslovak Mathematical Journal. 1997. Vol. 47, no. 2. P. 341-373.

190. Kiguradze I., Pûza B. Boundary Value Problems For Systems of Linear Functional Differential Equations. Folia Facult. Scien. Natur. Masar. Brunensis. Mathematica, 12. Brno : Masaryk University, 2003.

191. Kiguradze I., Sokhadze Z. Positive solutions of periodic type boundary value problems for first order singular functional differential equations // Georgian Mathematical Journal. 2014. Vol. 21, no. 3. P. 303-311.

192. Kolmanovskii V., Myshkis A. Introduction to the theory and applications of functional differential equations. Springer. Mathematics and Its Applications, 2013. Vol. 463.

193. Kuzmych O., Mukhigulashvili S., Pûza B. An optimal condition for the uniqueness of a periodic solution for systems of higher order linear functional differential equations // Miskolc Mathematical Notes. 2010. Vol. 11, no. 1. P. 63-77.

194. Lasota A., Opial Z. Sur les solutions periodiques des equations differentielles ordinaires // Annales Polonici Mathematici. 1964. Vol. 16, no. 1. P. 69-94.

195. Leela S., Oguztoreli M. N. Periodic boundary value problem for differential equations with

delay and monotone iterative method // J. Math. Anal. Appl. 1987. Vol. 122, no. 2. P. 301-307.

196. Lehmer D. H. On the maxima and minima of Bernoulli polynomials // The American Mathematical monthly. 1940. Vol. 47, no. 8. P. 533-538.

197. Li J., Luo J., Cai Y. Periodic solutions for prescribed mean curvature Rayleigh equation with a deviating argument // Advances in Difference Equations. 2013. Vol. 2013:88. P. 1-11.

198. Li Q., Li Y. Existence and multiplicity of positive periodic solutions for second-order functional differential equations with infinite delay // Electronic Journal of Differential Equations. 2014. Vol. 2014, no. 93. P. 1-14.

199. Li X., Lu S. Periodic solutions for a kind of high-order p-Laplacian differential equation with sign-changing coefficient ahead of the non-linear term // Nonlinear Anal.-Theor. 2009. Vol. 70, no. 2. P. 1011-1022.

200. Li Z., Kong F. Positive periodic solutions for p-Laplacian neutral differential equations with a singularity // Boundary Value Problems. 2017. Vol. 2017, no. 54. P. 1-17.

201. Liu Y. Periodic boundary value problems for first order functional differential equations with impulse // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2009. Vol. 223, no. 1. P. 27-39.

202. Liz E., Nieto J. J. Periodic boundary value problems for a class of functional differential equations // J. Math. Anal. Appl. 1996. Vol. 200, no. 3. P. 680-686.

203. Lomtatidze A. On a nonlocal boundary value problem for second order nonlinear equations // Mem. Differ. Equ. Math. Phys. 1997. Vol. 10. P. 115-118.

204. Lomtatidze A., Malaguti L. On a nonlocal boundary value problem for second-order nonlinear singular differential equations // Georgian Math. J. 2000. Vol. 7, no. 1. P. 133-154.

205. Lomtatidze A., Mukhigulashvili S. On periodic solutions of second order functional differential equations // Mem. Differ. Equ. Math. Phys. 1995. Vol. 5. P. 125-126.

206. Lomtatidze A., Mukhigulashvili S. On a two-point boundary value problem for second-order functional-differential equations. I // Mem. Differ. Equ. Math. Phys. 1997. Vol. 10. P. 125-128.

207. Lomtatidze A., Mukhigulashvili S. On a two-point boundary value problem for second-order functional-differential equations. II // Mem. Differ. Equ. Math. Phys. 1997. Vol. 10. P. 150-152.

208. Lomtatidze A., Mukhigulashvili S. Some two-point boundary value problems for second-order functional-differential equations. Folia Facult. Scien. Natur. Masar. Brunensis. Mathemat-ica, 8. Brno : Masaryk University, 2000.

209. Lomtatidze A., Oplustil Z., Sremr J. Solvability conditions for a nonlocal boundary value problem for linear functional differential equations // Fasc. Math. 2009. Vol. 41. P. 81-96.

210. Lomtatidze A., VodrsSil P. On nonnegative solutions of second order linear functional differential equations // Mem. Differ. Equ. Math. Phys. 2004. Vol. 32. P. 59-88.

211. Lomtatidze A., Sremr J. On the Cauchy problem for linear hyperbolic functional-differential equations // Czechoslovak Mathematical Journal. 2012. Vol. 62, no. 2. P. 391-440.

212. Lomtatidze A., Sremr J. Caratheodory solutions to a hyperbolic differential inequality with a non-positive coefficient and delayed arguments // Boundary Value Problems. 2014. no. 52.

213. Lomtatidze A., Stëpankova H. On sign constant and monotone solutions of second order functional differential equations // Mem. Differ. Equ. Math. Phys. 2005. Vol. 35. P. 63-90.

214. Lomtatidze A. G., Hakl R., Pûza B. On the periodic boundary value problem for first-order functional-differential equations // Differential Equations. 2003. Vol. 39, no. 3. P. 344-352.

215. Lu S., Ge W. Sufficient conditions for the existence of periodic solutions to some second order differential equations with a deviating argument // J. Math. Anal. Appl. 2005. Vol. 308, no. 2. P. 393-419.

216. Ma R., Lu Y. Existence of positive periodic solutions for second-order functional differential equations // Monatshefte fur Mathematik. 2014. Vol. 173, no. 1. P. 67-81.

217. Maksimov V. P., Rumyantsev A. N. Constructive methods in the theory of functional differential equations and their computer aided implementation // Functional Differential Equations. 1997. Vol. 4, no. 1-2. P. 133-141.

218. McRae F. A. Monotone iterative technique and existence results for fractional differential equations // Nonlinear Anal.-Theor. 2009. Vol. 71, no. 12. P. 6093-6096.

219. Mukhigulashvili S. On a two-point boundary value problem for second order functional differential equations // Mem. Differ. Equ. Math. Phys. 1995. Vol. 6. P. 124-126.

220. Mukhigulashvili S. Two-point boundary value problems for second order functional differential equations // Mem. Differ. Equ. Math. Phys. 2000. Vol. 20. P. 1-112.

221. Mukhigulashvili S. On the unique solvability of the Dirichlet problem for a second-order linear functional-differential equation // Differential Equations. 2004. Vol. 40, no. 4. P. 515-523.

222. Mukhigulashvili S. Two-point boundary value problems for second order functional differential equations // Boundary Value Problems. 2005. no. 3. P. 247-261.

223. Mukhigulashvili S. On a periodic boundary value problem for cyclic feedback type linear functional differential systems // Arch. Math. 2006. Vol. 87, no. 3. P. 255-260.

224. Mukhigulashvili S. On the solvability of the periodic problem for nonlinear second-order function-differential equations // Differential Equations. 2006. Vol. 42, no. 3. P. 380-390.

225. Mukhigulashvili S. On a periodic boundary value problem for third order linear functional differential equations // Nonlinear Anal.-Theor. 2007. Vol. 66, no. 2(A). P. 527-535.

226. Mukhigulashvili S., Partsvania N., Pûuzza B. On a periodic problem for higher-order differential equations with a deviating argument // Nonlinear Anal.-Theor. 2011. Vol. 74, no. 10. P. 3232-3241.

227. Mukhigulashvili S., Pûuzza B. On a periodic boundary value problem for cyclic feedback type linear functional differential systems // Mem. Differ. Equ. Math. Phys. 2007. Vol. 40. P. 67-75.

228. Mukhigulashvili S., Pûuzza B. On a periodic boundary value problem for third order linear functional differential equations // Functional Differential Equations. 2007. Vol. 14, no. 3-4. P. 347-362.

229. Mukhigulashvili S., HHremr J. On the solvability of the Dirichlet problem for nonlinear second-

230

231

232

233

234

235

236

237

238

239

240

241

242

243

244

245

order functional-differential equations // Differential Equations. 2005. Vol. 41, no. 10. P. 1425-1435.

Mukhigulashvili S., Sremr J. On a two-point boundary value problem for the second order linear functional differential equations with monotone operators // Functional Differential Equations. 2006. Vol. 13, no. 3-4. P. 519-537.

Nieto J. J., Rodriguez-Lopez R. Remarks on periodic boundary value problems for functional differential equations // Journal of computational and applied mathematics. 2003. Vol. 158, no. 2. P. 339-353.

Nieto J. J., Rodriguez-Lopez R. Monotone method for first-order functional differential equations // Computers and Mathematics with Applications. 2006. Vol. 52, no. 3-4. P. 471-484. Nieto J. J., Rodriguez-Lopez R. Periodic boundary value problem for non-lipschitzian impulsive functional differential equations // J. Math. Anal. Appl. 2006. Vol. 318, no. 2. P. 593-610.

Nieto J. J., Rodriguez-Lopez R. New comparison results for impulsive integro-differential equations and applications // J. Math. Anal. Appl. 2007. Vol. 328, no. 2. P. 1343-1368. Nieto J. J., Rodriguez-Lopez R. Boundary value problems for a class of impulsive functional equations // Computers & mathematics with applications. 2008. Vol. 55, no. 12. P. 27152731.

Nonoscillation theory of functional differential equations with applications / R.P. Agarwal, L. Berezansky, E. Braverman, A. Domoshnitsky. Springer Science Business Media, 2012. On the lambertw function / R. M. Corless, G. H. Gonnet, D. E. Hare et al. // Adv. Comput. Math. 1996. Vol. 5. P. 329-359.

Pylypenko V., Ronto A. On a singular Cauchy problem for functional differential equations with non-increasing non-linearities // Funkcialaj Ekvacioj. 2010. Vol. 50. P. 277-289. Rachunkova I., Stanek S., Tvrdy M. Solvability of nonlinear singular problems for ordinary differential equations. Hindawi Publishing Corporation, 2008.

Ren J., Cheung W., Cheng Z. Existence and Lyapunov stability of periodic solutions for generalized higher-order neutral differential equations // Boundary Value Problems. 2011. Vol. 2011:635767. P. 1-21.

Richard J.-P. Time-delay systems: an overview of some recent advances and open problems // Automatica. 2003. Vol. 39, no. 10. P. 1667-1694.

Ronto A. On the initial value problem for systems of linear differential equations with argument deviations // Miskolc Mathematical Notes. 2005. Vol. 6, no. 1. P. 105-127. Rumyantsev A. N. The reliable computing experiment in the study of boundary value problems for functional differential equations // Functional Differential Equations. 2002. Vol. 9, no. 3-4. P. 499-519.

Saker S. H., Agarwal S. Oscillation and global attractivity in a nonlinear delay periodic model of respiratory dynamics // Computers and Mathematics with Applications. 2002. Vol. 44, no. 5-6. P. 623-632.

Shaikhet L. Lyapunov functionals and stability of stochastic functional differential equations.

Springer International Publishing, 2013.

246. Song B., Pan L., Cao J. Periodic solutions for a class of n-th order functional differential equations // International Journal of Differential Equations. 2011. no. 916279. P. 1-21.

247. Sremr J. On the initial value problem for two-dimensional systems of linear functional differential equations with monotone operators // Mathematical Institute, Academy of Sciences of the Czech Republic. Preprint. 2005. no. 126. P. 1-53.

248. Sremr J. On the Cauchy type problem for systems of functional differential equations // Nonlinear Anal.-Theor. 2007. Vol. 67, no. 12. P. 3240-3260.

249. Sremr J. On the initial value problem for two-dimensional systems of linear functional differential equations with monotone operators // Fasciculi mathematici. 2007. no. 37. P. 87-108.

250. Sremr J. Solvability conditions of the Cauchy problem for two-dimensional systems of linear functional differential equations with monotone operators // Math. Bohem. 2007. Vol. 132, no. 3. P. 263-295.

251. Sremr J., Hakl R. On the Cauchy problem for two-dimensional systems of linear functional differential equations with monotone operators // Nonlinear Oscillations. 2007. Vol. 10, no. 4. P. 569-582.

252. Sremr J., Sremr P. On a two point boundary problem for first order functional differential equations with deviating argument // Mem. Differ. Equ. Math. Phys. 2003. Vol. 29. P. 75-124.

253. Stepânkovâ H. A note on the theorem on differential inequalities // Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ. 2015. no. 7. P. 1-8.

254. Wang G, Zhang L., Song G. Boundary value problems for systems of nonlinear integro-differential equations with deviating arguments // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2010. Vol. 234, no. 5. P. 1356-1363.

255. Wang H. Positive periodic solutions of functional differential equations // Journal of Differential Equations. 2004. Vol. 202, no. 2. P. 354-366.

256. Wang H. Periodic solutions for higher order delay functional differential equation with complex deviating argument // Int. Journal of Math. Analysis. 2009. Vol. 3, no. 9. P. 413-418.

257. Wang W., Shen J., Nieto J. J. Periodic boundary value problems for second order functional differential equations // Journal of Applied Mathematics and Computing. 2011. Vol. 36, no. 1-2. P. 173-186.

258. Weng P., Jiang D. Existence of positive solutions for boundary value problem of second-order fde // Computers and Mathematics with Applications. 1999. Vol. 37, no. 10. P. 1-9.

259. Wong F. H., Wang S., Chen T. Existence of positive solutions for second order functional differential equations // Computers and Mathematics with Applications. 2008. Vol. 56, no. 10. P. 2580-2587.

260. Wu J. Theory and applications of partial functional differential equations. Springer Science & Business Media, 2012. Vol. 119.

261. Wu J., Wang Z. Two periodic solutions of second-order neutral functional differential equations // J. Math. Anal. Appl. 2007. Vol. 329, no. 1. P. 677-689.

262. Wu Y. Existence of positive periodic solutions for a functional differential equation with a parameter // Nonlinear Anal.-Theor. 2008. Vol. 68, no. 7. P. 1954-1962.

263. Wu Y. Existence nonexistence and multiplicity of periodic solutions for a kind of functional differential equation with parameter // Nonlinear Anal.-Theor. 2009. Vol. 70, no. 1. P. 433443.

264. Yorke J. Periods of periodic solutions and the Lipschitz constant // Proc. Amer. Math. Soc. 1969. Vol. 22. P. 509-512.

265. Zevin A. A., Pinsky M. A. Minimal periods of periodic solutions of some Lipschitzian differential equations // Appl. Math. Lett. 2009. Vol. 22, no. 10. P. 1562-1566.

266. Zhang Z., Wang J. The upper and lower solution method for a class of singular nonlinear second order three-point boundary value problems // Journal of computational and applied mathematics. 2002. Vol. 147, no. 1. P. 41-52.

267. Zhu Y. Periodic solutions for a higher order nonlinear neutral functional differential equation // Int. Journal of Computational and Mathematical Sciences. 2011. Vol. 5, no. 1. P. 8-12.