Априорная оценка и разрешимость третьей двухточечной краевой задачи для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Быстрецкий, Михаил Васильевич

• Быстрецкий, Михаил Васильевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Быстрецкий, Михаил Васильевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Априорные оценки

§1.1 Основные результаты

§1.2 Оценка производной

§1.3 Априорная оценка: случай одной гиперповерхности

§1.4 Априорная оценка: случай двух гиперповерхностей

Глава 2. Разрешимость краевых задач в п-мерном случае

§2.1 Основные результаты

§2.2 Инвариантность свойства разрешимости

§2.3 Свойства систем вида т! = \г\т~1Сг

§2.4 Гомотопическая классификация невырожденных квадратных

матриц

§2.5 Доказательство теорем о разрешимости

Глава 3. Разрешимость краевых задач в двумерном случае

§3.1 Основные результаты

§3.2 Автономные системы с положительно однородной нелинейностью. 99 §3.3 Гомотопическая классификация и разрешимость: случай одной

гиперповерхности

§3.4 Разрешимость в случае двух гиперповерхностей

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Априорная оценка и разрешимость третьей двухточечной краевой задачи для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка»

Введение

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию априорной оценки и разрешимости третьей двухточечной краевой задачи вида

г" = + 0<£<1, геЯп, (1)

¿(0) = Л)(.г(0), 2(1)) + Лой, ^(1) = Аг(г(0), *(1)) + /г^), (2) где отображения

Р: [0,1Г, /: [0,1] х Еп х Еп ^ Еп,

А0, Аг: Еп х Еп ^ Еп, /г0, /ц : Сг([0,1]; Еп) ^ Еп непрерывны и удовлетворяют условиям:

1) Л^х, А^) = АТОР(£, ^1,^2) Для всех Л > 0 и фиксированного т > 1;

2) Aj(Xzl, Л^г) = ЛАг(2:1,2:2) для всех Л > 0, = 0,1;

3) тах\/{г,гиг2)\(\г1\ + Ы)~т 0 при \гг\ + |2г2| оо;

4) \Ну(г)\ —У 0 при Н-гЦс1 оо, ^ = 0,1.

Здесь через С1([0,1];ЕП) обозначено пространство непрерывно-дифференцируемых на отрезке [0,1] вектор-функций с нормой

|Ыи = \\г\\с + \и'\\с — шах \ги)\ + тах \г'и)\.

1 " ....... 1

В краевой задаче (1), (2) положительно-однородные отображения Р, Ло, А\ являются главными нелинейными членами, а отображения /, До, — возмущениями. Априорная оценка и разрешимость краевой задачи (1), (2) исследуются

в терминах свойств главных нелинейных членов Р, Ао, А\. Если множество решений краевой задачи (1), (2) ограничено по норме пространства С1 ([0,1]; Еп) или пусто, то будем говорить, что задача (1), (2) допускает априорную оценку.

Исследованию априорной оценки и разрешимости двухточечных краевых задач для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка посвящены многочисленные работы. Среди них отметим классические и фундаментальные работы С. Н. Бернштейна [4-6], М.Нагумо [27], а также работы Ю.А. Клокова [17,18], К.Шрёдера [44], Н.И.Васильева [8], А. Я. Ленина [20], А. И. Перова [16], М. А. Красносельского [14,15,19], В. В. Филиппова [39-41], Э. М. Мухамадиева [22-26], А. Н. Наимова [28-31]. В последние годы двухточечные краевые задачи исследовались в работах R. Agarwal [1], Y. An [2], В. Ahmad [3], F. Geng [9], R.Du [10], Y. Ermachenko [12], Z.Zhou [13], Z. Han [7], P. Cerda [38], X. Chang [43].

В указанных работах С. Н. Бернштейна, Н. Нагумо, Ю.А. Клокова, К. Шрё-дера, А. Я. Лепина, Н. И. Васильева в основном исследована первая краевая задача для скалярных уравнений второго порядка у" = /(¿, у, у'), в случае когда правая часть / относительно у' имеет порядок роста не больше, чем 2. Доказано, что в случае порядка роста больше 2 первая краевая задача не всегда разрешима. В связи с этим представляет интерес выделение широкого класса сильно нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых разрешима краевая задача не с первыми краевыми условиями, а с третьими. При этом актуально применение методов нелинейного анализа таких, как метод априорной оценки, метод направляющих функций, методы вычисления вращения бесконечномерных вполне непрерывных векторных полей.

В работах Э. М. Мухамадиева, А. Н. Наимова [26, 28,30,31] краевая задача (1), (2) исследована в скалярном и векторном случаях. В них разрешимость краевой задачи исследуется методом априорной оценки и эффективным вычислением вращения вполне непрерывного векторного поля, порожденного краевой задачей, в случае, когда множество нулей P(t,x,y) = 0 состоит лишь из поверхности у — 0. Основная проблема состоит в согласовании множества

нулей Р(1;,х,у) = 0 с отображениями Ао, участвующими в краевых условиях. В настоящей диссертационной работе краевая задача (1), (2) исследуется в случаях, когда множество нулей Р(1,х, у) — 0 состоит из одной нетривиальной гиперповерхности у = В{Ь, х) или из двух гиперповерхностей у = В^, х), у = В2^,х). В этих случаях необходимо развить методы априорной оценки и вычисления вращения, так как вышеуказанные методы непосредственно неприменимы.

Цель работы. Нахождение новых условий существования априорной оценки и разрешимости краевой задачи (1), (2) в случаях, когда главная нелинейная часть системы (1) обращается в ноль на одной или двух нетривиальных гиперповерхностях.

Методы исследования. В работе применяются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и линейной алгебры, методы нелинейного анализа: метод априорной оценки, метод направляющих функций, методы вычисления вращения векторных полей.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми:

1. Для краевой задачи (1), (2) доказана оценка производной решения через само решение х{Ь).

2. Доказаны новые достаточные условия существования априорной оценки для решений краевой задачи (1), (2) в терминах свойств главных нелинейных членов в случаях, когда главная нелинейная часть системы уравнений обращается в ноль на одной или двух нетривиальных гиперповерхностях.

3. В условиях априорной оценки доказана инвариантность свойства разрешимости краевой задачи (1), (2) при непрерывном изменении Р, Ао, А\ и при любых возмущениях /, /го,

4. Доказаны новые достаточные условия разрешимости краевой задачи (1), (2) в условиях априорной оценки в случаях п = 2 и п ^ 2.

5. При п — 2 в отдельных случаях разрешимость краевой задачи (1), (2) исследована посредством решения задачи гомотопической классификации.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. В ней применяются и развиваются методы исследования краевых задач для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Результаты работы могут быть использованы при исследовании нелинейных краевых задач для дифференциальных уравнений.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались в ряде выступлений на научном семинаре по актуальным проблемам математики и ее приложений в Вологодском государственном техническом университете (руководитель — профессор Э. Мухамадиев, 2008-2011 г.г.), на научном семинаре кафедры прикладной математики Вологодского государственного педагогического университета (руководитель — профессор А. И. Зейфман, 20082010 г.г.), на конференциях Воронежской зимней и весенней математических школ (Воронеж, 2008-2011 г.г.), на шестой и седьмой Всероссийской научно-технической конференции «Вузовская наука — региону» (Вологда, февраль 2008 г., 2009 г.), на шестой международной научно-технической конференции «Инфос-2011» (Вологда, 24-25 июня 2011 г.), на международной научной конференции «Современные проблемы математики и её приложения» (посвященной 70-летию член-корреспондента Академии наук Республики Таджикистан Э. Мухамадиева, Душанбе, 28-30 июня 2011 г.).

Публикации. Основные результаты опубликованы в 9 работах [В1]-[В9]. Из совместных публикаций [В2], [ВЗ], [В5], [В9] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работы [В5] и [В9] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, библиографического списка, содержащего 44 наименования. Общий объем работы — 125 страниц.

Содержание работы

Первая глава посвящена исследованию условий существования априорной оценки у третьих нелинейных двухточечных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Найдены достаточные условия существования априорной оценки как в случае, когда главная

нелинейная часть системы уравнений обращается в ноль на одной нетривиальной гиперповерхности, так и в случае двух нетривиальных гиперповерхностей.

Во второй главе для n-мерного случая в условиях существования априорной оценки изучены условия разрешимости для третьей нелинейной краевой двухточечной задачи. Доказана инвариантность свойства разрешимости. С помощью топологических методов вычислено вращение вполне непрерывных векторных полей, порождаемых конкретными краевыми задачами.

В третьей главе для краевой задачи на плоскости изучены достаточные условия разрешимости третьей нелинейной краевой двухточечной задачи. Решена задача гомотопической классификации в отдельных случаях. Вычислено вращение вполне непрерывных векторных полей, порождаемых конкретными краевыми задачами.

Изложим отдельно по главам содержание основных результатов диссертационной работы.

В первой главе рассматриваются нелинейные краевые задачи вида

z" = P(t,z,z') + f{t,z,z'), 0<t<l, ze Rn, (1)

2;(0) = Л0(2(0), 2(1)) + h0(z), z'(\) = Ai(*(0), 2(1)) + hx(z), (2) где отображения

P: [0,1] x ЕГ x Rn н» Rn, /: [0,1]хГхГ4 Rn,

A0; ЛьГхЕМ IT, h0, h: ^([0,1]; ЕГ) ^ Rn непрерывны и удовлетворяют условиям:

1) P(t, Xzi, Xaz2) = XmP(t, 21,22) для всех Л > 0 и фиксированных т, а таких, что 0 < а ^ 1 < т;

2) Aj(Xzi, Л22) = XAi(z\, Z2) для всех Л > 0, j = 0,1;

3) max \f{t, 2Ь z2)\{\z1\ + \z2\)-m'a ^ 0 при Н + Ы-^сю;

4) \\z\\^\hj(z)\ 0 при ||21|(71 ОО, j = 0, 1.

Здесь через С1 ([0,1]; Rn) обозначено пространство непрерывно-дифференцируемых на отрезке [0,1] вектор-функций с нормой

\\z\W = \\z\\c + \\A\c = max \z(t)I + тах \z'{t)\.

м II II II 0^1

Будем говорить, что задача (1), (2) допускает априорную оценку, если множество решений задачи либо пусто, либо ограничено по норме пространства ^([0,1]; К/1)-

В отличие от линейных систем, для доказательства нелокальной продолжимости решений систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений необходимо оценить производную их решений. Для системы (1), если решения, выпущенные из точки t = 0, непродолжимы до точки t = 1, то естественно решение краевой задачи (1), (2) не существует, поэтому необходимо исключить такие случаи. Справедлива следующая теорема.

Теорема 1.1. Пусть при любых То £ [0,1] система

V/= Р(г0,0,w)

не имеет ненулевых ограниченных на промежутке (—оо,оо) решений. Тогда существует постоянное М\ такое; что для любого решения z(t) задачи (1), (2) справедлива оценка

\z'{t)\ ^ Mi(l + \z{t)\) для всех t е [0,1]. (4)

Теорема 1.1 является обобщением аналогичной теоремы, сформулированной и доказанной в работе [30], где рассматривается лишь случай а = 1.

Приведенная теорема является первым шагом к нахождению условий, при которых задача (1), (2) допускает априорную оценку. В работах Нагумо [27], Шрёдера [44], Клокова и Васильева [8] было доказано, что для систем сильно нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка первая краевая задача не всегда допускает априорную оценку. В работах [26,28,30,31] впервые доказано, что для краевых задач вида (1), (2), в отличие от первой краевой задачи, при более общих условиях имеет место априорная оценка. При этом установлено, что наличие априорной оценки зависит от структуры множества нулей главной нелинейности Р и согласованности данного множества с краевыми условиями. Это связано с качественным

исследованием решений семейства сингулярно возмущенных систем нелинейных уравнений вида

екик = P(t,y0(t),uk) +о(1), 0<£<1,

удовлетворяющих краевым условиям

ик(0) = Ао(уо,ик) + о(1), ик(1) = Ai(y0,uk) + о(1),

когда к —У оо. Необходимо найти предельный объект, к которому приближаются решения (в каком-то смысле), и в терминах данного объекта сформулировать условия априорной оценки. Такой способ вывода априорных оценок применялся в работах [22-24] при исследовании периодических и ограниченных решений для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, а для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в работах [26,28]. В работе [30] приведены общие условия априорной оценки для краевых задач вида (1), (2), они сформулированы в терминах специально введенной системы понятий и обозначений. Некоторые из использованных методов исследования задач с малым параметром описываются в работе [21].

В первой главе выделены конкретные группы задач вида (1), (2) для которых априорная оценка не следует из указанных общих условий, но можно сформулировать более простые и содержательные условия, обеспечивающие априорную оценку. В условиях априорной оценки можно исследовать разрешимость краевой задачи (1), (2). Проводимое исследование хотя идейно и методологически близко к работам [26,28,30], получаемые результаты оттуда не следуют.

Дальше рассматривается случай, когда множество нулей главной нелинейности Р состоит из одной гиперповерхности, и выясняется, как должны быть согласованы краевые условия, чтобы имела место априорная оценка.

Рассмотрена краевая задача:

z" = Q(t,z' -C(t,z)) + f(t,z,z'), 0 < ¿ < 1, zeRn, (5)

2/(0) = 4,(z(0), 2(1)) + ho(z), z'( 1) = 4l(z(0), ^(1)) + fci(z), (6)

где отображения

<Э, С: [0,1] Е", /: [0,1] хГхКМ Еп,

А0, Ац ГхГн) КД к0, кг: ^([0,1]; Еп) ^ Еп непрерывны и удовлетворяют условиям 2)-4), а также условиям:

5) Хг) = ХтС2(1, 2) для всех Л > 0 и фиксированного т > 1;

6) С(£, Хг) = АС(£, для всех Л > 0;

7) при любых фиксированных £0 С [0,1] автономная система

v' = Q(to,v) (7)

не имеет ненулевых ограниченных решений;

8) для всякого ненулевого решения системы г' = С{р, г) если

АоШ,2(1)) - С(о,2(0)) е ь+(д(0, •)),

то

Л1(2(0),2(1))-С(1,2(1))^^№(1,-)),

где через Ь+(<3(0, •)), 1, •)) обозначено множества точек из Ип, для

которых выпущенные из них траектории систем г/ = (^(0, г»), г/ = г;) ограничены при £ > 0, £ < 0.

Верна следующая теорема.

Теорема 1.2. Пусть выполнены условия 2)-8), тогда задача (5), (6) допускает априорную оценку.

Далее рассмотрена краевая задача

2" = <2(1, (2' - В^, г))^(г> - В2{1, г)Г2) + Ж А ^

2'(0) = л0(2(0), 2(1)) + V*), ^(1) = А1(г(0),г(1)) + Ь(г), (9)

где С — комплексная плоскость, тх, т2 — фиксированные натуральные числа, отображения

Я,ВЪВ2: [0,1] х С ^ С, /: [0,1] х С х С ^ С,

Ао, ЛьСхСнС, ho, h : С1 ([0,1]; С) ^ С

непрерывны и удовлетворяют условиям:

9) существует т > 1/{т\ + т2) такое, что Q(t,Xz) = ЛmQ(t,z) для всех Л > 0;

10) Bj(t, Xz) = ЛBj(t, z) для всех Л > 0, t G [0,1], j = 1, 2;

11) Aj(Xzi, Xz2) = XAj(zi, z2) для всех Л > 0, t G [0,1], j = 0,1;

12) max \f(t, zi, z2)\(\z1\ + \z2\)~n -> 0 при l^il + l^l ->■ oo, где n = тЦ+ш2);

X

13) 11*11 cl\hj(z)\ —0 при И* oo, j = 0,1;

14) 2) = B2(t, 2) или 2) ^ 2) для всех t G [0,1], 2 G C\{0};

15) при любых фиксированных to G [0,1], zq G С система

v' = Q(to, (v - Si(i0,20))mi(^ - B2(io, zo))m2) не имеет нестационарных ограниченных решений;

16) при j = 1,2 для всякого ненулевого решения z(t) систем z! = Bj(t, 2) либо л0(2(0),2(1)) £ L+(Q,2(0)), либо ^(2(0), 2(1)) g £_(Q,z(l)).

Через L+(Q,20) обозначено множество точек из С, для которых выпущенные из них траектории системы

v' = Q(0, (v - Bi(0,2o)))mi(v - B2(0, 20)))W2)

ограничены при t > 0. Через L-(Q, zi) — множество точек из С, для которых выпущенные из них траектории системы

v' = Q(l, (V - Вг(1, Zl)r (v - В2{ 1, 2^))777,2 )

ограничены при i < 0. Справедлива теорема.

Теорема 1.3. Если для задачи (8), (9) выполнены условия 9)-16), то для ее решений верна априорная оценка.

В завершении главы рассмотрены краевые задачи вида

г" = {г1 - М)™1 (У - Ъ2г)т* + /(¿, г'), 0 <t <1, г е С, (10)

/(0) = а002(0) + а01г(1) + к0(г), г'{1) = а10г( 0) + апг( 1) + Н^г), (11)

где т1, — натуральные числа, 61, Ь2, аоо, аоъ аю, ап ~~ заданные комплексные числа, /, /го, /11 — непрерывные отображения, удовлетворяющие условиям 12) и 13) при ш = 777-1 + тг. Введено обозначение

£(г>1, б2) = {б е С : ъ = (1 - + /Л>2, /х е [о, 1]|.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 1.4. Пусть для любых го 6 С \ {0} и 6 £ .8(61,62) выполняется хотя бы одно из двух условий:

1) решение задачи

у' = (у- Ьгго)т^и - Ъ2го)т\ и(0) = а00г0 + а0хе%, ^еС, неограничено при Ь > 0; 2) решение задачи

г/ = (у - Ь1еьго)т^{у - Ь2еьго)т\ г;(0) = а10г0 + аце%, ибС, неограничено при £ < 0.

Тогда задача (10), (11) допускает априорную оценку.

Условие 1) выполняется, если имеют место следующие импликации

1т3(612:0, а0020 + ао1в62о, 6120, Ь2г0) = 0 =>> => Яе3(6120, а0020 + ао1е620,6120,6220) > 0,

1тд(6220, а0020 + ао1бь20, 6120, Ь2г0) = 0 => Яе 3(6220, а0020 + а01еь20, 6120, 6220) > 0, где 3(21, 22, С1,с2) = — Сх)7711 (5 — с2)т2 йв. Аналогично, условие 2) выполняется, если имеют место следующие импликации

1т з(б1еь20, аю20 + ацеьгь, 6^20, 62еЬ20) = 0

=>- Яез(б1е62о, аю^о + аце62о, Ьгеьго, Ъ2еъго) < 0,

12

1тд(Ъ2еьхо, 0 + апеьг0, Ъгеьг0, Ь2еьг0) = 0 11ед(Ь2еь2о, аю^о + апеь20, б^6^, Ь2еьг0) <0. Таким образом, задача (10), (11) допускает априорную оценку, если при любых

£ С \ {0}, 6 е 5(61,62), имеют место либо импликации (12), (13), либо импликации (14), (15).

Основные результаты первой главы опубликованы в работах [В1-В5].

Во второй главе в случае п ) 2 и в условиях существования априорной оценки изучены условия разрешимости третьей нелинейной двухточечной краевой задачи. Доказана инвариантность свойства разрешимости. С помощью топологических методов вычислено вращение вполне непрерывных векторных полей, порождаемых конкретными краевыми задачами.

Вначале рассматривается разрешимость краевых задач вида (5), (6). Задача (5), (6) называется разрешимой, если при любых /, /г0 и /¿ь удовлетворяющих условиям 3), 4), существует хотя бы одно решение задачи (5), (6).

Через 71т обозначено множество всех троек (/, /"¿о, /¿1), удовлетворяющим условиям 3) и 4), через Тт — множество всех четверок (ф, С, Аь ^1), удовлетворяющих условиям 5)-8). На множестве Рщ можно задать метрику:

р^\С\а1А\)}(Я\С\А1А\)) =

= тах^М) -<2%г)\ + ¡С1^ г) - г)|) +

1ЙЙ

+ ,, ,рах (\АЪ{х,у)-А${х,у)\ + \А\(х,у)-А1(х,у)\).

1М1+1МИ4 '

Два элемента метрического пространства Рт называются гомотопными, если их можно соединить линией, целиком лежащей в Рт, такая линия называется гомотопией.

Схема и методы исследования рассматриваемого класса задач берет свое начало из основополагающих работ [22-25]. В них рассматривается системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений вида

х'= Р(^х) + f(t,x), ¿е (-00,00), X е Еп,

с главной положительно однородной нелинейностью Р(£,яг), где Р(£, Ах) = = ЛтР{1,х), т > 1, и с краевыми условиями периодичности или ограниченности по Ь.

В последующих работах МухамадиеваЭ. М. и НаимоваА. Н. была предложена следующая схема исследования краевых задач для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений:

1) выделение класса главных нелинейных членов и класса возмущений, допускающих априорную оценку для решений краевой задачи;

2) доказательство инвариантности свойства разрешимости краевой задачи в каждой связной компоненте выделенного класса главных нелинейных членов;

3) описание связных компонент выделенного класса главных нелинейных членов — задача гомотопической классификации;

4) определение разрешимых гомотопических классов и нахождение необходимых и достаточных условий разрешимости краевой задачи.

Предложенная схема была полностью реализована при исследовании третьей двухточечной краевой задачи

х" = Р{х,х) + /(*,£, а/), 0 < * < 1, х е Р,

ж'(0) = к0х( 0) + ко(х), х'(1) = кхх(1) + (х),

где Р(Хх,Ху) = ХтР(х,у), т > 1, ко, к\ — числа, ¡(Ь,х,у) = о(\х\т + \у\т),

N + \у\ 00 равномерно по £, \1го(х)\ + 1^1(^)1 — °(11сс11с1)5 И^Ис1 Результаты исследования опубликованы в работе [26].

Для задачи (5), (6) классы главных нелинейных членов и классы возмущений, допускающих априорную оценку были определены в первой главе. Далее рассмотрен вопрос об инвариантности разрешимости задачи в каждой связной компоненте этих классов. В предположении, что гомотопия С\, А^д), Л € [0,1], соединяет четверки (фо, Со, А),о? А,о)? (Я и С\, Л),ъ -^гд) в пространстве Рт, доказана следующая теорема.

Теорема 2.1. Пусть задача (5), (6) разрешима при = С}о, С = Со, А0 = Л0)о, = ^1,0 и любых (/, Но, из Ит. Тогда задача (5), (6) разрешима и при $ = (^1, С = С\, А0 = Аод, А\ = А\д и любых (/, /г0, Дх) из 71т.

При доказательстве теоремы используются так называемые коэрцитивные оценки. А именно, имеет место лемма.

Лемма 2.1. Пусть в пространстве Рт определены гомотопии Ц\,С\, Аоу\, А Е [0,1]. Тогда существуют положительные гиг такие, что для любой функции г(Ь) € С2([0,1], Еп)7 удовлетворяющей условию ||-г||с1 > г, верно неравенство

V - <Эл(-, т! - СА(-, г))\\с + 1^(0) - Л,л(2(0), 2(1))Г+

для всех А е [0,1].

Лемма 2.1 легко обобщается для задач (8), (9) и (10), (11).

На этапе исследования разрешимости краевых задач основной упор делается на вычисление вращения бесконечномерных вполне непрерывных векторных полей, порожденных краевыми задачи. Техника вычисления вращения основывается на общих свойствах вращения и идеи гомотопии (деформации) исходного поля к более простому полю. В конечном итоге выводятся формулы для вычисления вращения через свойства главного члена (3 системы (5). И если вращение окажется не равным нулю, то согласно принципу ненулевого вращения краевая задача разрешима (см. [15]). Таким образом, «вращая главный член находятся условия разрешимости краевых задач для систем вида (5) при любом возмущении /.

Дальше рассматривается разрешимость краевых задач следующего вида

х" = д(я') + /(г,х,х'), о < t < 1, (16)

а/(0) = А(ж(0)) + к0(х), ж'(1) - А(ж(0)) + Ь(х), (17)

где непрерывные отображения (¿,А:11п !-» Еп, /: [0,1] х Еп х Еп н- Еп, /¿о, : С1 ([0,1]; Еп) Еп удовлетворяют условиям:

17) (¿(\х) = \т(^(х) для всех Л > 0 и фиксированного т > 1;

18) А(Хх) = \А(х) для всех Л > 0;

19) (/,/ю

Задача (16), (17) в пространстве О = С([0,1];ИП) х С([0,1];ЕП) с нормой \\(х,у)\\ = Ц^Цс + \\у\\с, где (ж,у) е(?, х,у е С([0,1];КП), порождает вполне непрерывное векторное поле

Ф(х, у) = (х, у) - I ж(0) + кг{х) - Н0{х) - I(д(г/) + /(¿, ж, у)) дз + ^ у(з) (¡в,

V о о

А(х(0)) + Ы(х) + I(<2(у) + /(*, х, у)) ¿з| .

А именно, если х — решение краевой задачи (16), (17), то пара (х,х') € С будет особой точкой поля Ф, т.е. Ф(х,х') = 0. И обратно, если пара (х,х') 6 С является особой точкой поля Ф, то у = х' и х будет решением краевой задачи. Отсюда можно сделать два вывода:

1) если краевая задача допускает априорную оценку, то определено вращение 7оо(Ф) поля Ф на сферах достаточно больших радиусов в пространстве С (см., например, [15]);

2) если определено вращение 7оо(Ф) и 7оо(Ф) 0> т0 краевая задача имеет хотя бы одно решение.

Для положительно однородных отображений фи А, невырожденных на единичной сфере в Еп, через у((<)), у (А) обозначены их вращения на данной сфере. Справедлива следующая теорема. Теорема 2.2. Пусть система

не имеет ненулевых ограниченных решений и пусть отображение А невырождено на единичной сфере в Ип. Тогда имеет место равенство

7оо(Ф)=7(<Й7И),

16

следовательно, если ^((^^(А) ф- О, то краевая задача (16), (17) имеет хотя бы одно решение.

Аналогичная теорема доказана в работе [29], но там рассматривалось другое вполне непрерывное векторное поле. Приведенное доказательство теоремы 2.2 отличается от доказательства теоремы, приведенной в работе [29].

Далее рассмотрены краевые задачи вида

х" = \х' - Р^П"1 «/(ж - Их) + /(£, х,х'), 0 < г < 1, х е Еп, (18) ж'(0) = В00х(0) + В01х(1) + ко(х), х'(1) = В10х( 0) + Впх( 1) + ^{х), (19)

где Б, <7, Воо, Д)ъ Бю, Вц ~ постоянные квадратные матрицы порядка п, отображения /: [0,1] хГхГи Еп, ко, 1ц: (^([0,1]; Еп) Еп лежат в пространстве Ит. Здесь отображения Ао, А\ имеют вид (¿(г) = \г\т~~13г, А^(х,у) = В^х + В^у, ] = 0,1. В работе [29] рассматривался случай, когда И, Во 1 и Вю являются нулевыми матрицами.

Для задачи (18), (19) теорема 2.2 не может применяться непосредственно. Используя теорему 2.1, задачу (18), (19) можно свести к задаче, для которой это возможно. При доказательстве разрешимости используется следующие леммы.

Лемма 2.2. Система

у' = \у\т~^у> У£ Еп,

не имеет ненулевых ограниченных решений тогда и только тогда, когда матрица 3 не имеет чисто мнимых собственных значений. В этом случае

£+(7)0^(7) = ЕП.

Лемма 2.3. Пространство невырожденных квадратных вещественных матриц порядка п ^ 1 состоит из двух связных компонент: там, где определитель матрицы больше нуля и там, где он меньше нуля.

Лемма 2.3 доказывалась ранее, например, в [11]. В настоящей работе приведен другой вариант доказательства.

Через П+, П_ обозначены проекторы из Еп в подпространства £+(</), £-(«/)• Имеет место следующая теорема.

Теорема 2.3. Пусть матрица J не имеет чисто мнимых собственных значений и пусть матрица

Е = 11- (В00 + B0ieD -D)+ П+ (В10 + BneD - DeD)

невырождена. Тогда задача (18), (19) разрешима.

Вторая глава завершается рассмотрением краевой задачи

z" = Q0(z'-Dz) + f(t,z,z'), О < £ < 1, zeRn, (20)

z!( 0) = Лоо2(0) + A01z(l) + ho(z), z!{l) = A10z{0) + Auz(l) + h(z). (21)

Здесь D, Aqq, Aqi, Лю, Ац — квадратные матрицы порядка п, отображения /, /го, hi образуют тройку из 7£то, автономная система и' = Qq(u) не имеет ненулевых ограниченных решений, а вращение j(Qo) конечномерного поля Qo : ^ отлично от нуля.

Теорема 2.4. Пусть матрица F = Лоо +Ane-0 — D невырождена и имеет место равенство

Лю + AQ1eD — D = Аю + AueD - De°.

Тогда задача (20), (21) разрешима.

Основные результаты второй главы опубликованы в работах [В5, В9].

В третьей главе изучены достаточные условия разрешимости третьей нелинейной двухточечной краевой задачи на плоскости. Решена задача гомотопической классификации в отдельных случаях. Вычислено вращение вполне непрерывных векторных полей, порождаемых конкретными краевыми задачами. Глава начинается с рассмотрения разрешимости краевой задачи

z" = (z' -bz)m + f{t,z,z'), 0 < £ < 1, z G С, (22)

z'{0) = аоо^(0) + aoiz(l) + ho{z), z\ 1) - ai0z(0) + auz( 1) + h^z), (23)

где аоо, а-oi, аю, «il — комплексные числа, m — целое число, большее единицы, (/,/го,/гх) G 7Zm. Вводится метрическое пространство Мт — множество векторов (6, аоо, aoi, аю, ац) G С5, удовлетворяющих условиям:

20) число (аоо + ßoieö — b)(aw + ацеь — Ьеь) не равно нулю;

21) arg [(а00 + а01еъ - 6)/(а10 + апеь - бе6)] ф ^^ к = 0,1,..., т. Метрику в пространстве Мт можно определить следующим образом:

р((Ъ1, а\0, а^, а}0, а^), (б2, а^о, ah, ah)

= ¡b1 - b21 + |aj0 - al0| + |а\г - a201\ + |ajx - ftoil + laoi - aoil-Для задачи (22), (23) при каждом элементе (6, аоо, аоь аю, о-и) € Мт имеет место априорная оценка и в каждой связной компоненте пространства Мт свойство разрешимости краевой задачи (22), (23) сохраняется. Доказана следующая теорема.

Теорема 3.1. Любой элемент из Мт можно гомотопировать к элементу (0,1,0, а, 0), где а — (aoo+aoieö—^/(аю+аце0—Ьеь). Множество Мт состоит ш 77г -Ь 1 связной компоненты, каждая связная компонента определяется принадлежностью числа а к одному из множеств

Л0 = (аес\{ + j = 0,1,... ,т.

{ 777 + 1 \m-\~l 777+ 1 J)

В силу теоремы 3.1 достаточно исследовать разрешимость краевой задачи (22), (23) для элементов (0,1, 0, а,0) G Мт. Для этого вводится вполне непрерывное векторное поле

/ t

Ф а(у, 2) = (у, г) - У (Г + Ж г/)) + z(0) + h0(z),

\о

t i J у ds + az(0) + /гх(2) - h0(z) - J\ym + f(t, z, y)) ds

о 0

где (у, z) — пара функций из пространства Е = С([0,1]; С) х С([0,1]; С). Всякая особая точка поля Фа является решением задачи (22), (23) для элемента (0,1, 0, а, 0) 6 Мт и наоборот. Имеет место теорема.

Теорема 3.2. Вращение 7оо(Фа) поля Фа на сферах достаточно большого радиуса пространства Е определено и справедлива следующая формула

. . —777, если а € Nq,

Тоо(Фа) = <| ^

1, иначе. 19

Следовательно, для любого элемента (6, аось аоъ йм> ац) £ Мт краевая задача (22), (23) разрешима.

Далее рассмотрена краевая задача

z" = (z> - biz)m^(z' - b2z)m^ + f(t, z, У), 0 < t < 1, zeC, (24)

/(0) = aoo^(0) + aoiz(l) + Ло(г), = ai0z(0) + anz(l) + h{z), (25)

где bi,b2,akj G C, k,j = 0,1, mi, Ш2 — натуральные числа, (f,ho,hi) G 7£m, m = mi + m2. Введено обозначение

£(6Ь b2) = {b G С : b = (1 - rib! + /¿62, M G [о, 1]}

и доказана

Теорема 3.3. Пусть при любых b2 G B(bi,b2), b G Л(61,62) следующие числа отличны от нуля

aoo+aoie6 аю+ацеь

Fi= J {t-bi)mi{t-b2)m2dt, Ех= J (t — 6ieb)mi(i — l)2eb)m2 dt,

61 Ьгеь

«oo+aoie6 аю+ацеь

F2= J (t-bif^t-bzf^dt, E2 = J (t - he^it-b2eb)m2 dt,

b2 b2eb

и выполнены условия

Ей

arg-^(2/ + l)7r, h,j = 1,2, le Z. (26)

3

Тогда краевая задача (24), (25) разрешима.

Дальше рассмотрена гомотопическая классификация краевых задач вида

z" = 7m + f(t,z,z'), 0 <t <1, z£ С, (27)

/(0) = z( 0) + h0{z), z'[l) = Az( 0) + /11 (z). (28)

Здесь m — целое число, большее единицы, тройка (/, h0, hi) G 1Zm, линейное отображение Л: С С удовлетворяет условию:

22) Az0 Ф 0, arg(Azo) ф 2ктт/(т + 1), к = 0,1,..., т для любого ненулевого zo G С, argz0 = (2п + l)7r/(m + 1), п = 0,1,..., т.

Из теоремы 1.2 следует, что задача (27), (28) допускает априорную оценку. Через Рт обозначено множество линейных отображений А: С (->• €, удовлетворяющих условию 22). На множестве Рт определена метрика

р(АА2) = тах ¡Агг - А2гI Ы=1

Введено обозначение

^ = (2бС\{0}:И8ге 3=0,1,..„т.

[ \т +1 т+1 ))

Каждому А £ Р2 соответствует тройка {з1,з2,3ъ)-, 31)32,3з £ {ОД, 2}, если Ае0 е Ае\ € -А(е0 + ех) е где е0 = ег7г/3, ех = е5"^3. Справедлива следующая теорема.

Теорема 3.4. Метрическое пространство Р2 состоит из 24 связных компонент, где каждая связная компонента однозначно определяется какой-нибудь тройкой чисел 3ъ32,3ъ £ {0,1,2}, за исключением троек

(0,0,0), (1,1,1), (2,2,2).

Введены обозначения /о = ег7Г/4, /1 = е7пг/4. Каждому А € Рз соответствует пара (^1,^2)5 31,32 е {0,1, 2, 3}, если А/0 £ АД е

Теорема 3.5. Метрическое пространство Р3 состоит из 16 связных компонент, где каждая связная компонента однозначно определяется какой-нибудь из пар {31,32), 3ъ32 € {0,1,2,3}.

Рассмотрено вполне непрерывное векторное поле

/ *

Ф А,т(У>*) = (У>*)- [{Ут + 1(^г,у))с1з + г(0) + 110(г),

\о

г 1 \

! уйз + Аг^ + Н^-к оИ- 1(ут + /(Ь,г,у))с1з .

о о /

Здесь пара (т/, 2) лежит в пространстве £ = С([0,1];С) х С([0,1]; С). Всякая особая точка поля Фдт является решением задачи (27), (28) и наоборот, всякое решение задачи (27), (28) является особой точкой поля ФА,т- Краевая задача (27), (28) допускает априорную оценку, поэтому определено вращение 7оо(Фдт) поля ФА,т на сферах достаточно большого радиуса в пространстве Е.

Из результатов работы [31] вытекает следующая формула для вычисления вращения 700(ФДт):

т

7оо(Фдт) = 1 - ^Хк,

/с=О

где х/с полагается равным 1, если = ег(1+2^)7Г/(™+1) и лежат в одном из множеств 50> ..., и равным нулю в остальных случаях.

Далее рассмотрена краевая задача

z" = (z> - Bi(z))mi(z' - B2(z))™* + f(t, z,z'), 0<t<l, 2 G C, (29)

/(0) = 4,(2(0), 2(1)) + h0(z), 2'(1) = AMO), 2(1)) + hx{z), (30)

где mi, 777-2 — фиксированные натуральные числа, m — mi+m2, (/, ho,h{) G 1Zm, непрерывные отображения Bi,B2'- С н-> €, Aq, Ai : С x С н-> € удовлетворяют условиям:

23) Bj(Xz) = XBj(z) для всех Л > 0, j = 1, 2;

24) Aj(Xzi, Xz2) = XAj(zi, z2) для всех Л > 0, j = 0,1.

Доказана теорема 3.6 о равносильности разрешимости краевой задачи (29), (30) и краевой задачи

г" = (г'-В(г))т + /{г,г,г'), 0 < * < 1, 2 С С, (31)

2'(0) = Л(2(0), 2(1)) + Ы*), 2'(1) = А(^(0), 2(1)) + ^(2), (32) где В = В\, если выполнены следующие условия:

1) неравенство 1тд{в^), В2(г0), В^о), В2(г0)^ ф 0, где д(гг, 22,сьс2) = = 1г2(3 ~ С1)т1($ — С2)т2 с1б, верно для любого 2о ф 0;

2) для любых Л G [0,1], 2о ф 0, 21 G Рд(1, 2о), где

Рд(1, 20) = {2 С С : 2 = Рх(1, 2о) ИЛИ 2 = рЛ(1, 20), } ,

Рд(£, ¿о) ~~ решение системы У = ХВ^г) + (1 — Х)В2(г) с начальным условием рд (0, го) = 2д,

имеет место одна из пар импликаций: либо

1тд^В1(20),А0(г0,г1),В1(20),ХВ1(г0) + (1 - Л)Б2(^)) = 0

Я^д(в1(го),Ао(го,г1),В1(го),ХВ1(го) + (1 - А)Б2Ы) < О, 1тд(хВ1(г0)Ц1-Х)В2(г0),А0(г0,г1),В1(го),ХВ1(го)+(1-Х)В2(го)) = 0=^ ^Кед^ХВ1{г0)Ц1-Х)В2(го),Ао{го,г1),В1(го),ХВ1Ы+^-^В2Ы) < 0,

либо

Ъпд^^А^г^В^ХВ^) + (1 - А)Я2М) = 0

Ъвд(в1(г1),А1(2ъ,г1),В1(г1),\В1(г1) + (1 - А> 0, 1тд(кХВ1{г1)+(1-Х)В2(г1),А1(го,г1))В1(21),ХВ1(21Щ1-Х)В2(г1)^ = 0

В теореме 3.7 показано, что задача (31), (32) разрешима при выполнении следующих условий:

1) при любом ^о Е С существует единственное решение о) автономной системы г' = В (г), удовлетворяющее начальному условию ув{ 0, го) = го;

2) при любом ненулевом го € € точки

Л(г0, ув( 1, г0)) - ВЫ, Л(20, ув( 1, г0)) - В^Ув^, г0)) лежат в одном секторе 0 ^ ]о ^ т, Зо =

3) вращение поля Ао{г,ув{1, г)) — В\(г): С С на окружности \г\ = 1 отлично от нуля.

Основные результаты третьей главы опубликованы в работах [В6-В8].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Быстрецкий, Михаил Васильевич, 2012 год

Литература

1. AgarwalR. Positive Solutions in the Sense of Distributions of Singular

Boundary Value Problems / R. Agarwal, K. Perera, D.O'Regan // Proceedings of the American Mathematical Society. — 2008. — Vol. 136. — №. - P. 279-286.

2. AnY. Exact multiplicity of solutions for a class of two-point boundary

value problems / Y. An, R. Ma. // Electronic Journal of Differential Equations. - Vol. 2010. - №27. - P. 1-7. - ISSN: 1072-6691. - URL: http://ejde.math.txstate.edu/Volumes/2010/27/an.pdf (дата обращения: 04.02.2012).

3. Ahmad В.. Existence of solutions for second-order nonlinear impulsive

boundary-value problems / B.Ahmad. // Electronic Journal of Differential Equations. - Vol. 2009. - №68. - P. 1-7. - ISSN: 1072-6691. - URL: http://ejde.math.txstate.edu/Volumes/2009/68/ahmad.pdf (дата обращения: 04.02.2012).

4. БернштейнС. H. Об уравнениях вариационного исчисления. / С.Н.Берн-

штейн // Успехи математических наук. — 1941. — Т. 8. — С. 32-74.

5. Бернштейн С. Н. Собрание сочинений, том I. / С. Н. Бернштейн. — М.: Изд.

АН СССР, 1952.

6. Бернштейн С. Н. Собрание сочинений, том III. / С. Н. Бернштейн. — М.:

Изд. АН СССР, 1960.

7. WangS. Mixed two-point boundary-value problems for impulsive differen-

tial equations / Z.Han, S.Wang // Electronic Journal of Differential Equations. - Vol. 2011. - №35. - P. 1-14. - ISSN: 1072-6691. - URL:

http://ejde.math.txstate.edu/Volumes/2011/35/han.pdf (дата обращения: 04.02.2012).

8. ВасильевН. И. Основы теории краевых задач для обыкновенных диф-

ференциальных уравнений. / Н.И.Васильев, Ю. А. Клоков. — Рига, 1978. - 189 с.

9. GengF. Solving singular nonlinear two-point boundary value problems in the

reproducing kernel space / F.Geng //J. Korean Math. Soc. — 2008. — Vol. 45. - №3. - P. 631-644.

10. DuR. Existence of solutions for nonlinear second-order two-point boundary-

value problems / R. Du // Electronic Journal of Differential Equations. — Vol. 2009. - №159. - P. 1-7. - ISSN: 1072-6691. - URL: http://ejde.math.txstate.edu/Volumes/2009/159/du.pdf (дата обращения: 04.02.2012).

11. Дубровин Б. А. Современная геометрия. / Б.А.Дубровин, С.П.Новиков,

А.Т.Фоменко. - М., 1979.

12. Yermachenkol. Types of solutions and multiplicity results for second order

nonlinear boundary value problems / I. Yermachenko, F.Sadyrbaev // Nonlinear Analysis. - 2005. - Vol. 63. - P. 1725-1735.

13. ZhouZ. A Second-Order Boundary Value Problem with Nonlinear and Mixed

Boundary Conditions: Existence, Uniqueness, and Approximation / Z. Zhou, J. Shen // Abstract and Applied Analysis. - Vol. 2010. - Article ID 287473, 20 pages, 2010. - DOI: 10.1155/2010/287473.

14. ЗабрейкоП. П. Векторные поля на плоскости. / М. А. Красносельский,

А. И. Перов, А. И. Поволоцкий, П. П. Забрейко. — М.: Физматгиз, 1963.

15. ЗабрейкоП. П. Геометрические методы нелинейного анализа. /

М. А. Красносельский, П. П. Забрейко. — М.: Наука, 1975.

16. КибенкоА. В. Об одном общем методе исследования краевых задач /

А. И. Перов, А. В. Кибенко // Известия АН СССР. - 1966. - Т. 30. -С. 249-264.

17. Клоков Ю. А. Одна предельная краевая задача для уравнения х+х/(х, х) +

+ <рх = 0 / Ю. А. Клоков // Известия вузов. Математика. — 1959. — №6. - С. 72-80.

18. Клоков Ю. А. Об одном методе решения краевых задач с условием на беско-

нечности / Ю. А. Клоков // Математический сборник. — 1965. — Т. 67. — №2. - С. 161-166.

19. Красносельский М. А. Потенциальные оценки в непотенциальных краевых

задачах / М. А. Красносельский, Р. Менникен, Д. И. Рачинский // Доклады РАН. - 1998. - Т. 363. - №3. - С. 295-297.

20. ЛепинА. Я. Необходимые и достаточные условия существования решения

двухточечной краевой задачи для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка / А. Я. Лепин // Дифференциальные уравнения. - 1970. — Т. 6. — №8. - С. 1384-1388.

21. Мищенко Е. Ф. Дифференциальные уравнения с малым параметром и ре-

лаксационные колебания. / Е.Ф.Мищенко, Н.Х.Розов. — М.: Наука, 1975.

22. МухамадиевЭ. М. К теории периодических решений систем обыкновенных

дифференциальных уравнений. / Э. М. Мухамадиев // ДАН СССР. — 1970. - Т. 194. - №3. - С. 510-513.

23. МухамадиевЭ. М. К теории ограниченных решений обыкновенных диф-

ференциальных уравнений / Э. М. Мухамадиев // Дифференциальные уравнения. - 1974. - Т. 10. - №4.

24. Мухамадиев Э. М. О периодических и ограниченных решениях системы

двух нелинейных дифференциальных уравнений. / Э. М. Мухамадиев // ДАН Таджикской ССР. - 1976. - Т. 19. - №3.

25. Мухамадиев Э. М. Об одной формуле для вычисления вращения векторных

полей / Э. М. Мухамадиев // ДАН Таджикской ССР. - 1977. - Т. 20. -№5.

26. МухамадиевЭ. М. К теории двухточечных краевых задач для дифферен-

циальных уравнений второго порядка / Э. М. Мухамадиев, А. Н. Наймов // Дифференциальные уравнения. — 1999. — Т. 35. — №10. — С. 1372— 1381. - РАН ISSN: 0374-0641.

27. NagumoM. Uber die Differentialgleichung у" = f(x,y,y'). / M. Nagumo //

Proc. Phys. Math. Soc., Japan. - 1937. - Vol. 19. - P. 861-866.

28. Наймов A.H. К теории двухточечных краевых задач для систем нелиней-

ных обыкновенных дифференциальных уравнений. / А. Н. Наймов // Доклады АН РТ. - 1998. - Т. 41. - №9. - С. 30-34.

29. Наймов А. Н. О вычислении вращения одного вполне непрерывного вектор-

ного поля / А. Н. Наймов // Доклады АН РТ. - 1998. — Т. 41. — №10. -С. 56-61.

30. Наймов А. Н. Об априорной оценке решений нелинейной двухточечной кра-

евой задачи. / А. Н. Наймов // Ученые записки ХГУ. Естественные науки. — Худжанд, 1998. — №2. — С. 142-150 (соавтор Мухамадиев Э.М.).

31. Наймов А. Н. О разрешимости третьей нелинейной двухточечной краевой

задачи на плоскости / А. Н. Наймов // Дифференциальные уравнения. - 2002. - Т. 38. - №1. - С. 132-133. - РАН ISSN: 0374-0641.

32. Наймов А. Н. Об оценке производных решений одного семейства сингуляр-

но возмущенных краевых задач / А. Н. Наймов // Дифференциальные уравнения. - 2002. - Т. 38. - №7. - С. 994. - РАН ISSN: 0374-0641.

33. Наймов A.H. Об ограниченных траекториях одного класса автономных

систем / А. Н. Наймов // Материалы четвертой всероссийской научно-технической конференции «Вузовская наука — региону». — Вологда: ВоГТУ, 2006. - С. 260-262.

34. Наймов А. Н. Априорная оценка и существование периодических решений

для одного класса систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на плоскости / А. Н. Наймов // Дифференциальные уравнения. - 2007. - Т. 43. - №7. - С. 998-1001. - РАН ISSN: 0374-0641.

35. Наймов А. Н. О числе нестационарных ограниченных траекторий одного

класса автономных систем на плоскости / А. Н. Наймов // Дифференциальные уравнения. - 2008. - Т. 44. - №8. - С. 1050-1055. - РАН ISSN: 0374-0641.

36. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных

уравнений. / И.Г.Петровский. — М.: Издательство МГУ, 1984.

37. ПлиссВ. А. Нелокальные проблемы теории колебаний. / В. А. Плисс. — М.:

Наука, 1964.

38. UbillaP. Nonlinear Systems of Second-Order ODEs / P. Cerda, P. Ubilla //

Boundary Value Problems. - Vol. 2008. — Article ID 236386, 9 pages, 2008. - DOI: 10.1155/2008/236386.

39. Филиппов В. В. Пространства решений обыкновенных дифференциальных

уравнений. / В. В. Филиппов. - М.: Изд. МГУ, 1993.

40. Филиппов В. В. Топологическое строение пространств решений обыкновен-

ных дифференциальных уравнений / В. В. Филиппов // Успехи математических наук. - 1993. - Т. 48. - №1. - С. 103-154.

41. Филиппов В. В. О гомологических свойствах множеств решений обыкно-

венных дифференциальных уравнений / В.В.Филиппов // Математический сборник. - 1997. - Т. 188. - №6. - С. 139-160.

42. ХартманФ. Обыкновенные дифференциальные уравнения. /

Ф. Хартман. — М.: Мир, 1970.

43. ChangX. Two-Point Boundary Value Problems for Duffing Equations across

Resonance / X. Chang, Q. Huang // Journal of Optimization Theory and Applications. - Vol. 140. - №3. - P. 419-430. - DOI: 10.1007/sl0957-008-9461-8.

44. SchraderK. Existence theorem for second order boundary value problems /

K. Schrader // Diff. equations. - 1969. - Vol. 5. - №3. - P. 572-584.