Исследование временной эволюции волновой функции как метод решения различных задач квантовой механики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук в форме науч. докл. Казанский, Андрей Кронидович

• Казанский, Андрей Кронидович
• доктор физико-математических наук в форме науч. докл.
• 1998

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук в форме науч. докл. Казанский, Андрей Кронидович

В истории атомной физики можно выделить "героический" период, подготовивший развитие ядерной физики с ее впечатляющими приложениями, и период "зрелости", когда появление доступных и эффективных вычислительных средств породило очень много специализированных расчетных работ, имевших целью получение численных результатов, непосредственно сравниваемых с экспериментом. На наш взгляд, цена получаемых таким образом результатов оказывается настолько высокой, что воспроизведение этих расчетов крайне затруднительно, тогда как область применения самих результатов, как правило, ограничена кругом задач атомной физики. В тоже время, ожидать появления каких-либо новых эффективных практических приложений атомной физики, которые могли бы оправдать такие затраты, было бы сверхоптимистично. В такой ситуации особенно важно, параллельно с развитием изощренных методов расчета, область применения которых ограничена узким кругом задач внутри атомной физики, разрабатывать более универсальные методы исследования, применимые к более широкому кругу проблем. Уместно отметить, что такое развитие вычислительной квантовой механики основано на развитии и создании новых алгоритов вычислительной математики, область приложений которых может выходить далеко за пределы собственно квантовой механики.

Цель настоящей работы - представить достаточно гибкий и не ограниченный узким кругом решаемых проблем метод исследования. С формальной точки зрения, речь идет о численном интегрировании (нестационарных) уравнений в частных производных в задачах атомной физики. Метод оказывается весьма результативным в научном смысле. Однако, наиболее важным на наш взгляд является возможность использования схожих алгоритмов в задачах, традиционно считавшихся существенно различными (постольку, поскольку различными были методы анализа этих задач). Научная группа, использующая подобные алгоритмы, получает возможность исследовать разные задачи и достаточно гибко реагировать на потребности "научного рынка". Данный метод важен и для обучения: анализ проблемы начинается непосредственно с базисных понятий квантовой механики, промежуточные результаты могут быть "визуализированы" и тем самым способствуют формированию наглядных представлений при изучении квантовой механики. Студент, работающий с такими горитмами, может приобрести достаточно универсальный опыт, позволяющий ему I .переходить к работе в других областях физики без потери этого опыта. | Научная новизна работы. Практически все результаты, представленные в данной работе, являются новыми. Хотя сам метод исследования временной эволюции волновых пакетов не является новым, его приложение ко всем рассмотренным ниже ^задачам выполнено автором впервые. В ряде случаев аналогичные задачи исследовались ранее другими методами, и в этих случаях полученные результаты не являются новыми. Однако, основным результатом данной работы является демонстрация существования работоспособных алгоритмов, ориентированных одновременно на решение достаточно широкого круга проблем. Программы, реализующие эти алгоритмы, являются оригинальными.

Научная и практическая ценность работы. Данный метод позволил получить ряд новых результатов. Что значительно важнее, эти исследования создали основу проектов международного сотрудничества в области теории резонансных состояний ионов у поверхности металла, в области исследования межэлектронных корреляций в двойной фотоионизации вблизи порога и в теории столкновения медленных электронов с многоатомными молекулами. Более того, существование описываемых алгоритмов заметно стимулировало исследования в этих областях. Таким образом, данный метод может рассматриваться как существенно новое направление в теоретических исследованиях процессов атомных столкновений.

На защиту выносятся следующие крупные научные задачи, решенные методом исследования эволюции волновых пакетов:

1. Расчет динамики отрыва электрона от отрицательного иона водорода электронным ударом и сравнительный анализ различных подходов к этой задаче.

2. Исследование отрыва электрона при взаимодействии отрицательного иона водорода с поверхностью металлов.

3. Исследование распределения электронов по энергиям при однофотонной двойной фотоионизации атомов.

4. Расчет угловых распределений электронов при однофотонной двойной фотоионизации атомов в сравнении с экспериментальными данными.

5. Исследование процессов неупругого столкновения медленных электронов с молекулой СС>2 , включая диссоциативное прилипание, в двухмодовом приближении.

6. Метод дискретизации континуума резонансными псевдосостояниями в задачах нелокальной теории неупругих столкновений медленных электронов с молекулами.

Апробация работы и публикации: диссертационная работа содержит в основном результаты, полученные и опубликованные в течение последних 5 лет. Эти результаты докладывались на многочисленных семинарах за рубежом: в Институте физики и астрономии Университета штата Небраска (Линкольн, Небраска, США), в Институте Теоретической Атомной физики Гарвард-Смитсоньевского центра (Бостон, США), Лаборатории атомных и молекулярных столкновений Университета Париж-Юг {Орсэ, Франция), Лаборатории молекулярно-атомной динамики Университета Пьера и Марии Кюри (Париж, Франция), Интституте Физики и Астрономии Университета г.Аархус (Дания), Физического факультета Университета Копенгагена (Дания), Физического факультета Университета г.Биелефельд (Германия), Институте химической физики Университета г.Дюссельдорф (Германия).

Результаты работ были представлены на различных международаных совещаниях и конференциях, в том числе в форме приглашенных докладов: Workshop ori (е-2е) and Related Processes (Париж, 1992); XIX International Conference on Electron and Atom Collisions (Ристлер, Канада,1995); 15th International Conference on Atomic Physics (Амстердам, 1996); 17th International Conference on X-Ray and Inner-Shell Processes (Гамбург, 1996); International Workshop "Resonances and Fragmentation of Three -Body Systems (ITAMP, Harvard-Smithsonian Center for Astrophysics,1997); International Workshop on Electron Collisions with Molecules, Clusters and Swamps (Энгельберг, Швейцария, 1997); International Workshop on Photoionization (Daresbury Laboratory, Варингтон, Англия,1997); XX International Conference on Electron and Atom Collisions (Вена, Австрия,1997). В России, ввиду имеющих место объективных трудностей, состоялось лишь одно представление материала, связанного с данной диссертационной работой, на Interantional Workshop on Autoionization Phenomenon in Atoms ( Дубна, 1996).

Основные результаты работы представлены в 26 статьях. Ряд исследований, тематически связанных с данной работой, но не вошедших непосредственно в защищаемую диссертационную работу, был представлен в 23 статьях.

Содержание работы.

Работа состоит из четырех глав. Первая

глава носит вспомогательный характер и посвящена описанию метода. Вторая

глава содержит простые, но фундаментальные, принципиально важные и перспективные приложения метода к задаче об отрыве электрона от отрицательного иона электронным ударом и исследованию резонансных состояний отрицательного иона у поверхности металла. В третьей главе дано сжатое изложение большого объема результатов, полученных при описании корреляции электронов в состояниях двухэлектронного континуума вблизи порога. Четвертая

глава содержит изложение результатов, полученных в области столкновения медленных электронов с (много)атомными молекулами.

Цель данной работы - расширенный обзор выполненных исследований. Поэтому изложение сконцентрировано на концептуальных вопросах. Подробности, связанные с формальным обоснованием постановки задач и с деталями отладки численных алгоритмов, мы опускаем. Как правило, громоздкие работы, содержащие приложения изложенных алгоритмов будут только упомянуты, что ни в коем случае не должно умалить значение конкретных расчетов в развитии нашего подхода.

Глава 1. Метод исследования временной эволюции начального состояния в квантовой механике.

1.1 Исходная задача и методы ее решения.

Основной нашей задачей является исследование временной эволюции начального состояния (волнового пакета) (ВЭВП). Именно, мы будем рассматривать задачу Кошм для уравнения Шредингера (в работе используется атомная система единиц):

Ч'(а?0)=Ф„(

В общем случае Гамильтониан Н может зависитъ от времени явно.

Метод ВЭВП предполагает использование эффективного способа решения зада-чи (1.1) в предположении, что по пространственным координатам задача дискре-тизирована. В настоящее время метод ВЭВП используется достаточно широко, в частности, в связи с задачами химической физики и реакции систем на сверхкороткие лазерные импульсы.

Для решения нестационарной задачи (1.1) применялись разные методы:

1) прямое интегрирование системы уравнений с помощью различных адаптивных методов типа "предиктор - корректор", метод Бурлиша - Штоера [С1 ]1 и т.д.;

2) метод "расщепленной эволюции" [С2];

3) в случае нестационарных задач с стационарным Гамильтонианом широко используются методы, связанные с разложением оператора эволюции по полиномам Чебышева и метод Ланцоша [СЗ].

Выбор метода зависит от различных обстоятельств. Прямое интегрирование требует использования мощных компьютеров. Методы, основанные на разложении

Чебышева и методе Ланцоша, позволяя достигать очень высокой точности, пока не применялись эффективно к задачам с Гамильтонианом, зависящим от времени явно.

В наших расчетах мы использовали метод "расщепленной" эволюции. Он достаточно универсален и прост в работе, программы работают устойчиво и позволяют получать достаточно точные результаты.

Суть метода состоит в приближенном представлении оператора эволюции за Ввиду специфики данной работы, мы используем три независимые списка литературы: список А содержит работы, составляющие предмет диссертационного доклада, в список В включены ра-боты автора, не включенные в число работ, выносимых на защиту; список С содержит работы других авторов. Таким образом, [С1] означает ссылку на работу 1 из списка С. достаточно малый промежуток времени 6< + ¿¡г)=ехр |-/Н| * + 1 • Основная проблема связана с тем, что оператор Гамильтона является суммой, как минимум, двух некоммутирующих операторов: Н = А + В. Поэтому эффективное вычисление экспоненты от Гамильтониана предполагает какие-либо приближения. Одно из простейших приближений имеет следующий вид: ехр{-/(А +В)&} = ехр|-/А— |ехр{-гВй}ехр|-/Ау| +0{д1у). {1.2)

Существуют [С4] и более сложные формулы, содержащие большее число сомножителей и имеющие более высокую точность. Однако, их применение предъявляет более высокие требования к памяти компьютера и потому, на данном этапе нашей работы, мы ограничились простейшим представлением (1.2).

В конкретных задачах оператор В - оператор потенциальной энергии, и он диагоналей в координатном представлении. Поэтому действие соответствующего экспоненциального оператора на функцию координат тривиально и предполагает выполнение N операций умножения (где N - полное число узлов координатной сетки). Оператор А содержит операторы дифференцирования и соответствующая экспонента является в координатном представлении нетривиальной матрицей. Ее действие на функцию, заданную на координатном сетке, подразумевает в общем случае выполнение N2 операций умножения. Для реальных задач такое число операций настолько велико, что делает практически невозможным их решение. Однако, в двух случаях число операций при вычислении действия экспоненты кинетической энергии на функцию, заданную на координатной сетке, может быть радикально сокращено:

1) Оператор А содержит исключительно операторы дифференцирования, а оператор В не содержит сингулярностей.

2) Оператор А является трехдиагональной матрицей (например, когда для оператора второй производной используется трехточечное представление).

В первом случае сетка в координатном пространстве должна быть эквидистантной. Тогда можно, используя алгоритм быстрого преобразования Фурье. [С1, С5] перевести функцию в импульсное представление за СКЫ 1п А/) операций (умножения), подействовать на полученную функцию экспоненциальным оператором как оператором умножения и вернуть функцию к координатному представлению обратным быстрым преобразованием Фурье. (Отметим, что базисное быстрое преобразование Фурье предполагает, что N является степенью двойки.)

Во втором случае можно заменить, с соответствующей формуле (1.2) точностью, экспоненту от оператора А преобразованием Кэли этого оператора

Обращение трехдиагональной матрицы требует 0(М операций умножения. Схема (1.3) хорошо известна под названием метода Кранка - Никольсона [С1].

При использовании преобразования Фурье дифференцирование функции осуществляется максимально точно, тогда как "трехточечная" формула для второй производной имеет не очень высокую точность. Однако, во втором случае практически нет ограничений на форму оператора кинетической энергии, что особенно важно при рассмотрении задач с циллиндрической симметрией. Кроме того, второе представление позволяет использовать координатные сетки с неэквидистантно расположенными узлами (например, можно использовать сетки с узлами, связанными с квадратурными формулами Гауссовского типа, что дает значительно более точное представление для квадратичных форм с гладкими функциями). Расчеты со схемой Кранка - Никольсона несколько быстрее, чем расчеты с использованием преобразования Фурье, поэтому при тех же затратах времени, в расчетах по методу Кранка-Никольсона можно использовать более частую пространственную сетку, компенсируя тем самым неточность трехточечного приближения для оператора второй производной.

При всей внешней тривиальности, проблема аккуратного представления оператора эволюции допускающего его быстрое вычисление, не представляется в настоящий момент полностью решенной. Мы широко использовали оба метода и наш опыт показывает, что для одних и тех же задач результаты, полученные при достаточно плотных сетках, практически совпадают. Тем не менее, метод, основанный на представлении (1.3) выглядит более универсальным.

В дальнейшем мы не будем останавливаться на описании формальных аспектов вычислений, хотя в ряде случаев они были достаточно поучительными. Отметим лишь, что все расчеты предполагали рутинную процедуру проверки сходимости результатов по отношению к выбору координатной сетки и шага по времени. Как правило, в наших расчетах гарантированы 4 - 5 значащих цифр.

1.2. Возможные физические приложения.

Предположим, что достаточно надежный алгоритм решения нестационарной задачи Коши (1) разработан. Обсудим, насколько широкой может быть область его применения

В атомной физике есть несколько базисных проблем. 1. Проблема собственных состояний для независящего от времени Гамильтониана.

Для решения этой стандартной задачи квантовой механики разработаны очень ехр(-;А# );

Е-ИАмощные методы, и применение нестационарного подхода в данном случае выглядит достаточно экзотично. Тем не менее, возможны несколько вариантов такого приложения: а) Можно, начиная с некоторой задачи, для которой собственное состояние известно, медленным включением дополнительного взаимодействия, переходить к задаче, для которой разыскивается соственная функция, При этом собственное состояние будет оставаться собственным. б) Для определения волновой функции основного состояния можно рассматривать эволюцию системы, предполагая время мнимым. В этом случае вклады возбужденных компонент будут убывать со временем быстрее вклада основного состояния. в) Можно применить метод анализа задачи на кваэистационарные состояния, описанный в следующем пункте.

2. Проблема резонансных (квазистационарных) состояний для независящего от времени Гамильтониана.

При исследовании этой проблемы на решение уравнения Шредингера накладывается условие излучения. В нестационарном подходе это условие череэвычайно естественным способом вводится в расчет, если добавить к потенциалу вспомогательное чисто мнимое (поглощающее) слагаемое, сосредоточенное у краев координатной сетки. Этот потенциал необходимо подбирать так, чтобы результаты расчета не зависили от его конкретного вида. Во всех задачах, которые мы решали, подбор такого адсорбирующего потенциала не представлял существенных проблем.

Если задача (1.1) решена, параметры резонансных состояний могут быть найдены из анализа величины G(a):

Входящее в (1.4) состояние <Ф-| | произвольно, также как и начальное состояние |Фд > в задаче Коши (1.1). Резонансы проявляются в функции б(со) как Лоренцевские контуры. При этом найденные параметры резонансов не зависят ни от начального состояния Фо, ни от функции Ф-|, входящей в выражение (14), хотя магнитуды соответствующих вкладов от этих функций зависят. Мы применяли именно такой способ извлечения информации о резонансах из функции (3(е>) . Отметим, что в случае большого количества резонансов их извлечение из функции б(ю) становится нетривиальной задачей. Более удобным тогда становится метод прямого определения резонансов по функции (Ч'(/)|Ф2), предложенный в [С6] и существенно усовершенствованный в

3. Задачи стационарной теории рассеяния. Задачи стационарной теории возмущений Задачи стационарной теории возмущений предполагают решение стационарнаго уравнения Шредингера

Ве+\)\в)=К\в) где |в) = |Ч'41> + |3): Н0|^) = £|Ч'(„>;

Нв+У-^|3) = -У|^). (1.5)

При этом на состояние ¡Е) накладывается условие излучения. Отметим, что формально уравнение (1.5) совпадает с тем уравнением, которое возникает в теории возмущений. Как пример, упомянем здесь теорию однофотонного возбуждения и фотоионизации.

Имеет место следующее хорошо известное строгое утверждение: если (Н-£)|5) = |б} , то

Н) = |^ехр(/Л'0|Ч'(0>, (1-6)

0); И0)Н|е}. (1.7)

Таким образом, знание решения задачи Коши (1.7) при всех временах позволяет найти решение неоднородного стационарного уравнения Шредингера при всех энергиях.

4. Нестационарные задачи сами по себе возникают при анализе процессов столкновения тяжелых частиц при классическом описании их движения и при анализе реакции систем на короткие лазерные импульсы. Отметим, что реакция системы на периодическое возмущение обычно исследуется в рамках теории Флоке, что позволяет получать очень точные результаты. Развитие методов нестационарной теории в приложении к этим задачам является достаточно актуальным при исследовании сверхмощных лазерных импульсов.

Таким образом, мы приходим к следующим предположениям:

1. Существуют методы решения нестационарных задач, позволяющие решать численно достаточно нетривиальные физические задачи.

2. Круг задач, которые могут быть рассмотрены в рамках нестационарного подхода, достаточно широк.

Целью данного исследования и является подтверждение этих предположений.

Глава 2. Две "простые" задачи.

2.1 Отрыв электрона от иона Н" при электронном ударе. Процесс отрыва электрона от отрицательного иона рассматривался нами [А1,А2] в следующей постановке:

1) налетающий электрон рассматривался как классическая частица, движущаяся по кулоновской траектории;

2) вращением межъядерной оси в ходе столкновения пренебрегалось.

Будучи приближенной по существу, такая постановка задачи позволяет получить наглядное описание процесса и однозначно установить степень применимости различных приближений, использованных ранее. Метод ВЭВП дает уникальную возможность практически точно проанализировать проблему как в приближении закрепленного электрона, так и полную динамическую задачу.

Рис. 2.1 Контурное представление картины временной эволюции начального волнового пакета (изображена карта величины \п\Ш(г,р,1)\ ), совпадавшего с невозмущенной волновой функцией электрона, локализованного в состоянии отрицательного иона водорода, под действием неподвижного отрицательного заряда, располо-женного на расстоянии 6 а.и. от атомного кора.

В нашем расчете [А2] использовалось следующее представление для потенциала взаимодействия электрона и атома водорода:

Это представление является регуляризованной формой потенциала предложенного в [С8] (формула (2.1) при а = 0; = 1596 а.и). Исходное представление [С8] крайне просто устроено: наряду со электростатическим полем протона, экранированного внутренним электрона, учитывается поляризационное взаимодействие между внешним электроном и атомом водорода с поляризуемостью ан = 4.5а.и., регуляри-зованное таким образом, чтобы правильно воспроизводить уровень энергии иона Н"(Б= - 0.754 е\/). Использованный нами в данном расчете алгоритм требует регуляри-эации сингулярностей потенциала. Поэтому потенциал, введеный в [С8], был нами модифицирован (мы использовали а - 0.3, га = 1.389ам. ). При этом потенциал, действующий на внешний электрон, был изменен лишь вблизи протона, где представление о потенциальном характере взаимодействия внешнего электрона с атомом водорода вообще-то является спорным. Параметры регуляризации были подобраны так, чтобы воспроизвести положение уровня иона Н"; волновые функции внешнего электрона для регуляризованного и нерегуляризованного потенциалов при г > 1 а.е. практически неразличимы.

В отсутствие вращения межьядерной оси задача обладает аксиальной симметрией. В этом случае неприменимы методы, основанные на быстром преобразовании Фурье. Мы использовали метод полупрямого разложения по функциям Бесселя (детали см. в [А2] и [АЗ]).

Характер эволюции волнового пакета при закрепленном внешнем заряде показан на рис. 2.1. В начальный момент времени Г = О волновая функция связанного электрона совпадает с волновой функцией отрицательного иона. Внешний электрон помещен на расстоянии 6 а.и. На первой стадии эволюции внешняя часть волновой функции электрона изменяется очень сильно, тогда как изменение волновой функции во внутренней области происходит достаточно медленно. Некоторое время спустя резонансное состояние становится доминирующим в волновой функции: это состояние изменяется с сохранением своей формы.

Представляет интерес наличие двух режимов эволюции, хорошо видных также на рис.2.2а: начального, с более медленной эволюцией, и конечного, когда эволюция происходит более быстро. Первая стадия более существенна для быстрых процессов, например, при исследовании столкновений при больших скоростях, вторая стадия характерна для более медленных столкнвений. Поэтому первую стадию можно связать с

Рис 2.2. Представлены величины, необходимые для извлечения информации о резонансном состоянии при нескольких значениях расстояния до закрепленного электрона: временная зависимость проекции нестационарной волновой функции на начальное состояние и модуль преобразования Лапласа величины (Ф0 jYf/)). диабатической эволюцией волнового пакета, вторую - с адиабатической.

Как видно из рис.2.3, резонансный уровень смещен вниз по отношению к грубому приближению для этом величины: E(Jf) = Е0 , что очевидно связано с тем, что при нашем расчете точно учитываются все поправки, на поляризацию к о 1 и

8 11 РДШЕСПЬЕ DtSTANCE (e.u.)

О Oö 0. 001 я

PRDJlir.TIlj: IpISTANCE (п.п.)

Рис. 2.3. Характеристики резонанса, извлеченные непосредственно из Лоренцевских контуров рис. 2.26. Сплошные линии представляют результаты наших расчетов, (а) - положение уровня Е(И) , пунктирная линия - 'грубое* приближение Е(К) = Е0 + Л-'; (Ь) - "алмазами" показаны ширины, определенные нами по исходной стадии распада пакета; штриховая линия -классическое приближение (СЮ] и расчет, основанный на представлении о туннелировании электрона через барьер [С9], длинная штриховая линия - интерполяция результатов туннельных и классических расчетов, выполненое в [СЮ], отрицательного иона (подчеркнем: речь вдет именно о полной поправке, а не об ее асимптотике при больших Я). Присутствие этой поправки существенно уменьшает ширину резонансного состояния по сравнению с результатами расчета, основанного на методе потенциалов нулевого радиуса [СЭ]. Важно отметить, что зависимость ширины резонанса от Я качественно отличается от предложенной в [СЮ] интерполированной кривой (в [СЮ] отрыв электрона при малых Я учитывался в рамках классической механики): отрыв электрона от отрицательного иона является существенно квантовым процессом, в котором большую роль играет та часть волновой функции, которая находится вне классически разрешенной области. Тем не менее, в наиболее существенном интервале расстояний Я точная и интерполированная ширины оказываются численно близкими, что и определяет пригодность интерполированной классической ширины для расчета сечений отрыва при малых скоростях столкновения.

На рис.2.4 представлены зависимости приведенных вероятностей отрыва электрона от прицельного параметра. Из рис.2.4а можно сделать вывод о качественном сходстве результатов, полученных при использовании точной и интерполированной ширин в расчетах, основанных на стандартных методах адиабатической теории. Однако, результаты полного динамического расчета, приведенные на рис. 46, ясно показывают, что стандартная адиабатическая теория не дает надежного описания процесса: во-первых, приведенные вероятности заметно различаются при малых прицельных параметрах, а, во-вторых, что значительно более существенно, при больших прицельных параметрах приведенная вероятность, полученная в точном расчете, убывает много медленнее, нежели результаты стандартного расчета. Физически это связано с тем,

INTACT PARAMETER, b (a.'j.) IKPACT PARAMET3R, ! (a.u.)

Рис. 2.4 На рис. 2.4.а представлены приведенные вероятности отрыва электрона, вычисленные в стандартном адиабатическом приближении. Энергии, при которых выполнялся расчет Е=5, 10, 15 eV . Сплошные линии показывают результаты стандартного адиабатического подхода с использованием динамической ширины, вычисленной в рамках данного расчета. Штриховая линия показывает результаты такого же адиабатического расчета с интерполированной шириной [СЮ]. Рисунок (Ь) представляет результаты полного динамического расчета в рамках данного метода. что при больших прицельных параметрах отрыв электрона происходит с периферической части электронного облака отрицательного иона, и потому процесс носит существенно неадиабатический характер.

Рис. 2.5 Сравнение экспериментальных данных (квадраты), представленных в [С11], с результатами расчетов: сплошная линия - полный динамический расчет методом ВЭВП; ¡г- 20штрих-пунктир - расчет на основе стандарт-ной адиабатической теории с параметрами, рассчитанными методом ВЭВП; штриховая линия - результаты расчета [СЮ]

О й 10 15 Яй

На рис.2.5 приведены результаты расчета полного сечения электронного отрыва в сравнении с интерполяционным расчетом Островского и Талберга [СЮ] и экспериментом [С11]. Видно, что полученная методом ВЭВП кривая находится в отличном качественном соответствии с экспериментальными данными. По мнению авторов работы [С11], точность их эксперимента около 20%, поэтому и количественно наш расчет может быть квалифицирован как вполне удовлетворительный.

Данный раздел демонстрирует все основные преимущества метода ВЭВП;

1) расчет выполняется практически точно (в нашем случае, как правило, гарантированы четыре значащие цифры, но реально точность может быть повышена);

2) промежуточные результаты расчета имеют значительную научную ценность и позволяют критически оценить использованные ранее приближения.

Нужно отметить, что данная задача является частным случаем исследования задачи столкновения при участии одной активной квантовой частицей. К числу таких задач относится, напрмер, задача о перезарядке при столкновениях положительных ионв с атомом водорода, задача об отрыве электрона от атома водорода антипротонами и т.д. Наш подход позволяет решать эти задачи, пренебрегая вращением межъядерной оси. Учет такого вращения не представляет затруднений при расчетах на суперкомпьютерах, но при некоторых ухищрениях доступен и для рабочих станций Мы, однако, решили не проводить в дальнейшем работ в этом направлении. Тому есть несколько причин;

• Такие работы предполагают выполнение большого объема вычислений, сканируя процесс как по прицельному параметру, так и по энергии.

• Одновременно с нашей работой подобные расчеты выполнялись в США. Расчеты выполнялись группами из нескольких исследователей, группы обеспечены мощной вычислительной техникой и конкурировать с ней можно только располагай радикально новыми идеями. • С другой стороны - на наш взгляд ■ такие расчеты являются в основном прикладными и не содержат новой физики, поскольку эти задачи исследовались в течение долгого времени в рамках различных приближений. Поэтому анализ получаемых результатов предполагает путешествие через джунгли различных приближений, использованных ранее.

Конечно, эти соображения носят весьма субъективный характер. В числе проблем, которые пока, кажется, не были всерьез рассмотрены в этом классе задач, следует указать анализ энергетического и углового распределений выбитых электронов. Предварительный анализ энергетического распределения был дан в [А1] при анализе одномерной задачи.

2.2. Определение характеристик резонасного состояния отрицательного иона вблизи поверхности металла.

При столкновениях атомных частиц с поверхностями появляется возможность переходов электрона между атомной частицей и поверхностью. Эти процессы широчайшим образом исследуются сейчас в связи с нанотехнологиями: захват электрона или его потеря приводят к разным процессам, таким как фрагментация адсорбированных молекул, химические реакции на поверхности, локальное изменению реакции поверхности на излучение, и т.д. В тех случаях, когда это возможно, наиболее эффективным каналом взаимодействия является резонансная перезарядка. Теоре-ически этот процесс описывается моделью Андерсона-Ныонса. После некоторых усилий эта теория может быть трансформирована к форме кинетического уравнения в которое входят ширины и уровни резонансных состояний электрона, локализованного на атомной частице.

Нужно, однако, сразу отметить, что обсуждаемые процессы часто носят существенно неодночастичный характер, в основном из-за наличия заполненной Ферми-поверхности металла и возникающих в этой связи правилами запрета на переход электрона в занятые состояния ниже уровня Ферми. Тем не менее, содержательная картина этих процессов может быть получена и при одночастичном их описании, в рамках следующих приближений:

1) взаимодействие отдельного электрона с поверхностью металла описывается с помощью хорошо известного модельного потенциала Дженнингса [С12];

2) параметры резонансного состояния иона у поверхности металла рассчитываются в рамках одноэлектронного приближения;

3) многоэлектронные процессы, связанные с наличием заполненной поверхности Ферми металла, описываются в рамках кинетического уравнения.

Этот подход идейно прост и поэволет полунить достаточно разумное описание процессов при столкновениях атомных частиц с поверхностью твердого тела [С13].

При обсуждении данной задачи мы остановимся прежде всего на вычислении параметров резонансного состояния иона у поверхности металла. Такая задача рассматривалась ранее двумя методами [С14, С15]. Были получены результаты, находящиеся в качественном соответствии друг с дуругом, но заметно различающиеся количественно. Метод ВЭВП позволил подтвердить оба результата и связать причину их численного расхождения с различием в описании взаимодействия электрона с атомным кором [АЗ].

Все предыдущие исследования задачи рассматривали металл без зонной структуры (так называемая "модель желе"). Метод ВЭВП является в настоящее время единственным подходом, который позволяет исследовать задачу с учетом зонной структуры.

Мы начнем представление наших результатов с рассмотрения случая бесструктурного металла (модель "желе"). Будем рассматривать случай иона Н", взаимодействующего с поверхностью алюминия. Потенциал в котором движется электрон, является суммой потенциала, использованного ранее (2.1) и потенциала Дженнингса [С12]:

К.лЦ-^^1 2>0 (2.2)

-4ф + Лехр(Вг)]~', z < 0. Ось z направлена из металла перпендикулярно к нему. Параметры для AI таковы:

Уа =0.54 а.и., а=1а.и., а параметры А и В

Рис. 2.6. Контурные карты волнового пакета в случае, когда расстояние от атома до ловерхнос-тм металла Т=В а.и. для четырех значений временной переменной. Изображаемая величина 1п | , нормализованной на ноль в вершине волнового пакета, Шаг контуров равен-1. а) штриховая линия отвечает ? =20 а.и., сплошная - ? =100 а.и.; Ь) штриховая линия отвечает (=150 а.и., сплошная - (=200 а.и. ала и его производной на поверхности металла z=0.

Метод ВЭВП применялся стандартным образом: в качестве исходного волнового пакета использовалась начальная волновая функция электрона в ионе водорода, положение уровней определялось по соответствующим Лоренцевским контурам в образе Лапласа от скалярного произведения нестационарной волновой функции и волновой функции электрона в ионе водорода. Как и ранее, задача обладает циллинд-рической симметрией, что не позволяет непосредственно использовать метод быстрого преобразования Фурье в расчетах. Как и в рассмотренном выше случае, мы использовали здесь полупрямое разложение по функциям Бесселя (детали см. в [A3]).

Представление наших результатов начнем с картины эволюции волнового пакета. На этих рисунках заслуживает внимания формирование резонансного состояния в окрестности атома. Именно, контуры приведенного волнового пакета в значительной по размеру области пространства крайне слабо зависят от времени.

Возможность прямого изучения динамики переходов электрона между ионом и поверхностью металла методом ВЭВП открывает новые возможности исследования процессов перезарядки на металлы с учетом их реальной зонной структуры. Здесь мы сформулируем лишь постановку задачи и приведем некоторые полученные результаты [А4].

Основой задачи является изменение потенциала внутри металла с постоянного значения 1/д входящего в потенциал Дженнингса ( 2.2), на модулированный слоями атомов Си (рассматривается поверхность (111)) потенциал в форме

V(z) - У0 + Va cos(Gz + ф). (2.3)

Конечно, расчет с таким потенциалом остается модельным, но если взять параметры V„ = -11.91 eV, Va =2.55eV , a G положить равным вектору обратной решетки, то подобрав параметр ф, можно очень хорошо воспроизвести зонную структуру поверхности Си(111). Именно, система будет иметь запрещенную зону при -5.85 eVТаммовское состояние при Е = -5.25 eV и состояние, связанное с Ридберговским сгущением при Е~— 0.96eV (см. вставку в левом рисунке 3.8), При этом движение электрона вдоль поверхности остается свободным - если, конечно, отсутствует атом водорода. Поскольку работа выхода из меди £0 = 4.94йК превосходит энергию связи электрона в атоме водорода Ен= 0.754еК, то пока ион находится дальше, чем ZF =0.25(Еа-Еи)~1 « 1.5а.и. , перезарядка сводится к переходу электрона с иона в металл.

Кратко перечислим недавно полученные [А4] в данной задаче результаты. • На рис.2.7 приведены результаты расчета зависимости положений резонансных уровней и их ширин от расстояния между атомом водорода и металла (Си) в рамках модели "желе" с помощью двух методов - метода ВЭВП и метода САМ (Coupled Angular Momentum) [С15]. Результаты совпадают с очень высокой точностью.

• В случае металла с зонной структурой единственный метод расчета - метод ВЭВП.

С физической точки зрения, при достаточно большом расстоянии между атомом и металлом уровень иона оказывается в запрещенной зоне для одномерного движе-ния вдоль оси г. В трехмерном случае ионное состояние может распадаться как в двумерный континуум, соответствующий параллельному движению электрона вдоль поверхности, оставаясь в поверхностном состоянии по 2-переменной (дно зоны -5.25 е\/) , так и трехмерный континуум, связанный с движением вдоль поверхности (дно валентной зоны -13.8 еУ). В обоих случаях распад связан с испусканием

Рис. 2.7. Зависимость энергии и ширины резонансного уровня иона водорода перед поверх-ностью меди в рамках модели "желе" в зависимости от расстояния от центра атома водорода до поверхности металла. Сплошная линия - результат САМ-расчета, точки -результаты расчета методом ВЭВП.

При 2. > 5 а.и. как положение уровня, так и его ширина (рис. 2.7) соответствуют кривым, полученным в рамках модели "желе". В окрестности 7 = 2 + 4 а.и. уровень энергии приближается к дну зоны поверхностного состояния, что приводит к сложной структуре в резонансном спектре: кажется, что резонансный уровень испытывает псевдопересечение с поверхностным уровнем и исчезает, в то время как другое состояние появляется снизу соответствующего континуума. В результате возникает картина с разрывом на рис. 2.7. (В настоящий момент ясно, как нужно описывать эту структуру, но это описание совсем нетривиально и далеко выходит за пределы темы данной работы.) Отметим, что ширина уровня после разрыва оказывается много меньше соответствующей ширины в модели "желе", что связано с тем, что резонансный уровень не может распадаться в запрещенную зону с испусканием электрона в металл по нормали к поверхности. Эти результаты, полученные в приближении закрепленного у поверхности иона, как оказывается, нередко имеют мало общего с динамической задачей.

Метод ВЭВП представляет уникальную возможность исследования динамической задачи столкновения иона с поверхностью (однако, пока в одноэлектронном приближении). Именно, решалась следующая задача: ион Н" налетал с бесконечности на металл, двигаясь до некоторой точки 2д, в которой испытывал упругое от

V0 Vго 2 4 8 8 10 12 с^апсе (а.и.)

2 4 6 8 10 12 сеансе (а.и.)

Рис. 2.8. Положение и ширина резонансного уровня в зависимости от расстояния атома водорода от поверхности металла. Сплошные линии - полученные в рамках модели "желе", Точки, соединенные пунктирной линией, представляют расчет для модели металла с зонной структурой. Слева показана схема зонной структуру используемой модели металла. ражение. Скорость движения атома v считалась постоянной. Вычислялась величина связанная с фактором выживания Рпг1 ионного состояния в зависимости от точки поворота. Если эволюция определяется обычным адиабатическим распадом, то интеграл берется вдоль траектории иона), и функция 0(2,,) окажется независящей от скорости.

Результаты этого расчета приведены на рис.2.9. В случае металла, описываемого в рамках модели "желе", при рассмотренных скоростях динамический расчет дал результаты, находящиеся в очень хорошем соответствии с формулой (2.5).

В случае же металла с зонной структурой наблюдается сходимость результатов к двум (сплошным) кривым на рис. 2.9. При относительно большой нормальной к поверхности металла скорости столкновения обсуждаемая функция достаточно близка к кривой, полученной в рамках модели "желе". С уменьшением скорости столкновения кривые сходятся к другому пределу, который может быть описан формулой (2.5), но с шириной, рассчитанной для металла с зонной структурой (см. рис. 2.8).

Рис. 2.9. Функция (2.4) для различных нормальных скоростей столкновения иона с металлом. Точки - результат динамического расчета для модели "желе" при \/=0.1 а.и. Сплошные линии -результаты расчетов по формулам (2.4) и 2.5) для модели "желе" -верхняя линия и для модели с зонной структурой - нижняя линия.

3 4 5 6 7 8 9 turning point (а0)

Причина такой смены режимов процесса достаточно очевидна: при столкновении с большой нормальной скоростью электрон за время столкновения не успевает проникнуть глубоко в металл и интерференция электронных волн, формирующих запрещенную зону, за время столкновения не успевает сформироваться. Поэтому при больших скоростях столкновения процесс происходит так, как он происходит и в металле - "желе".

Резюмируем: приложение метода ВЭВП к данной задаче позволяет воочию наблюдать явления, содержащие новую физику, которая соединяет особенности, характерные для теории твердого тела и теории атомных столкновений. Такое развитие теории атомных столкновений представляется очень перспективным.

Исследование межэлектронной корреляции в сплошном спектре вблизи порога было начато работой Ванье [С16] в 1953 году. Довольно долго работы в этой области носили чисто теоретический характер, поскольку экспериментальные исследования в

Глава 3. Исследование межэлектронных корреляций в процессах однофотонной двухэлектронной ионизации вблизи порога.