Физика взаимодействия ультрахолодного антиводорода с веществом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.16, доктор наук Воронин Алексей Юрьевич

• Воронин Алексей Юрьевич
• доктор наук
• 2016

Оглавление диссертации доктор наук Воронин Алексей Юрьевич

Введение

Глава 1. Взаимодействие водорода и антиводорода при ультра низких

энергиях

1.1 Кинематика реакции Н + Н ^ Рп + Рв

1.2 Качественная модель взаимодействия НН и характерные про-

С Т р сЬ Н С Т В 6 И И Ы 6 масштабы

1.3 Чувствительность модели взаимодействия НН к параметрам

1.3.1 Роль неупругости

1.3.2 Вблизипороговые квантовые состояния

1.3.3 Влияние сильного взаимодействия

1.3.4 Изотопический эффект

1.3.5 Детали взаимодействия НН в различных моделях

1.4 Модель связанных каналов взаимодействия НН в пределе низких энергий

1.5 Передача спина в столкновениях ультра холодных НН . ... 56 Глава 2. Взаимодействие ультрахолодного антиводорода с материальной поверхностью

2.1 Квантовое отражение и поглощение

2.2 Вероятность квантового отражения как функция расстояния

2.3 Ультрахолодный Н в волноводе

2.4 Учет свойств реальных поверхностей и отражение от тонких пленок

Глава 3. Атом антиводорода в гравитационном поле

3.1 Гравитационные состояния Н вблизи материальной поверхности

3.2 Интерференция гравитационных состояний антиводорода

3.2.1 Измерение гравитационной массы антиводорода

3.2.2 Пространственно-временные корреляции

3.2.3 Квантовый баллистический эксперимент

3.3 Резонансная спектроскопия гравитационных состояний .... 124 3.3.1 Динамический Штарк эффект

3.4 Реализуемость эксперимента по наблюдению ГрЕВИТсЩИОННЫХ состояний антиводорода

3.4.1 Ширина распределения временных событий падения

3.4.2 Формирование распределения по скоростям

Глава 4. Состояния шепчущей галереи атомов антиводорода

4.1 Рассеяние антиводорода на цилиндрической поверхности

4.1.1 Моды шепчущей галереи

4.1.2 Наблюдение эффекта ТТТ611 Ч^у^Т^бР! ГсЦТ6•

4.2 Интерференция состояний шепчущей галереи

4.3 Замкнутый резонатор шепчущей галереи

4.3.1 Учет гравитации

4.4 Полюса Редже в рассеянии на цилиндре

4.4.1 Формальное решен И6 • • • •

4.4.2 Уравнение для полюсов Редже

4.4.3 Асимптотическое выражение для полюсов Редже

4.4.4 Вычеты

4.4.5 Физический смысл полюсов Редже

Заключение

Приложение А

А.1 Построение базиса

А.2 Симметрии волновой функции

А.З Преобразования координат

А.4 Вклад различных конфигураций в базисные функции

А.5 Уравнения для амплитуд рассеяния

Приложение Б

Приложение В

Приложение Г

Приложение Д

Введение

Актуальность темы.

Интерес к атому антиводорода (H) обусловлен тем, что это простейшее стабильное связанное состояние антивещества, для которого возможно наиболее полное и точное теоретическое описание. Атом антиводорода представляет собой фундаментальную систему, дополняющую атом водорода с точки зрения симметрии между частицами и античастицами. Синтез атомов антиводорода требует значительных плотностей антипротонов низких энергий, поэтому практический интерес к лабораторному синтезу антиводорода и активное обсуждение возможных методов реализации такой задачи [1-3] оказалось связанным с развитием экспериментальной техники создания высоких плотностей антипротонов в фазовом пространстве [5], и прежде всего с запуском в 1982 г. накопительного кольца антипротонов низких энергий LEAR в европейском центре ядерных исследований CERN. Первые лабораторные атомы антиводорода были получены в эксперименте коллаборации PS210 при столкновении антипротонов с атомами Хе |4]. Энергия таких столкновении была достаточной, чтобы в поле Хе породить электрон-позитронную пару. Позитрон с некоторой вероятностью вылетал коллинеарно налетающему антипротону и оказывался захваченным в основное связанное состояние атома антиводорода. Полученые таким образом несколько атомов (11±2) антиводорода детектировались по одновременному появлению продуктов аннигиляции антипротона и позитрона в детекторах LEAR. Кинетическая энергия таких атомов была порядка 1 ГэВ, а время пролета через установку около 20 ns. К сожалению, указанного времени наблюдения явно недостаточно для достижения значительной точности при исследовании свойств изолированного атома антиводорода.

Синтез холодных атомов антиводорода в результате рекомбинации позитронов и антипротонов в специально сконструированной ловушке [6-8]

открывает гораздо большие возможности для прецизионных экспериментов. Целью таких экспериментов является возможно более точное сравнение свойств вещества и антивещества. Речь идет, прежде всего, о проверке СРТ теоремы, согласно которой структура уровней изолированных атомов антиводорода и водорода должна быть строго идентичной. Применение методов атомной спектроскопии к измерению частоты 1S-2S перехода в атоме антиводорода позволяет, во всяком случае в принципе, достигнуть рекордной точности, полученной для атома водорода [9].

Измерение гравитационной массы антиводорода является другим важным направлением сравнения свойств вещества и антивещества. Согласно принципу эквивалентности, ускорение свободного падения атомов в данной месте в гравитационном поле Земли должно быть одинако для атомов водорода и антиводорода (это утверждение с известными уточнениями может формулироваться как равенство инертной и гравитационной массы для любых тел). Из СРТ теоремы следует равенство инертной массы части-

Н^ВТ Ти[ СООТВбТСТВу^ТОХТДбИ^ QjfiTidr^HrQjCTidTXJI^iiT СJTC^J^C^BQjTeJTBThlC)j ДОЛЖНЫ С)ТЫ[ТТЬ) J3 iiBThl ВТ и

гравитационные массы последних. Стоит отметить, что измерение ускорения свободного падения заряженных античастиц чрезвычайно осложнено наличием неустранимых электромагнитных взаимодействий, многократно превышающих по интенсивности изучаемые гравитационные. Этим объясняется отсутствие среди измеренных фундаментальных физических величин гравитационной массы античастиц. Атом антиводорода, как стабильная электронейтральная система, представляется значительно более удобным объектом для таких измерений. Для целей исследования гравитационных свойств антиводорода необходимо достижение ультранизких температур, когда энергия вертикальной компоненты теплового движения антиатомов сопоставима с их потенциальной энергией в гравитационном поле внутри экспериментальной установки. Измерение ГрШЗИТсЩИОННЫХ СВОЙСТВ сШТИВО-дорода является целью экспериментов Gbar [10,11] и Aegis [12,13].

Однако исследование свойств изолированных атомов антиводорода не исчерпывает физически интересных задач, изучение которых становится возможным благодаря синтезу холодного антиводорода. Взаимодействие антиводорода с веществом при ультранизких энергиях обладает рядом уникальных свойств, ранее не исследованных в достаточной мере ни теоретически, ни экспериментально. Отметим некоторые из них.

Система, состоящая из атомов водорода и антиводорода, представляет собой фундаментальную молекулярную систему, свойства которой в значительной мере определяются симметрией между водородом и антиводородом. Очевидной особенностью молекулярных систем, состоящих из антиводорода и атомов вещества является отсутствие обменного взаимодействие в следствии отсутствия запрета Паули для пары электрон-позитрон. Это приводит к существенно иной роли лептонов в случае реакций взаимодействия Н и Н по сравнению с молекулярными системами, состоящими только из атомов вещества. В частности, вероятность реакции обмена спином между водородом и антиводородом в пределе нулевых энергий, в отличии от случая двух атомов водорода, определяется в основном сильным короткодействующим взаимодействием между нуклоном и антинуклоном. Сечение таких реакций кардинальным образом зависит от тождества сверхтонкого расщепления в водороде и антиводороде. При этом эффекты сильного взаимодействия обнаруживаются на молекулярном уровне (т.е. на масштабах в несколько атомных боровских радиусов г в) благодаря кулоновскому притяжению между нуклонами. Явление сдвига атомного уровня под действием сильного взаимодействия хорошо известно и находиться в центре внимания физики экзотических атомов (рр, рд, рп- и другие [14, 15]). Спектроскопия таких атомов дает ценную информацию о «сильных» длинах рассеяния в заданных квантовых состояниях. В молекулярной системе НН влияние сильного взаимодействия на молекулярные уровни и сечения реакций дополняется симметрией взаимодействующей системы относительно зарядово-

го сопряжения. При этом всякое нарушение С — и СР — симметрий проявляет себя на молекулярном уровне как качественное изменение порогового поведения сечений реакций. Точное теоретическое описание такой системы представляет несомненный интерес с точки зрения поиска новых способов исследования фундаментальных симметрий.

Уникальной особенностью физики взаимодействия атомов антиводорода с атомами вещества является притягивательное кулоновское взаимодействие между нуклоном и антинуклоном, что приводит к существованию большого числа открытых неупругих каналов с перестройкой типа Н + Н ^ рр + ее даже в пределе нулевых энергий столкновения атомов и антиатомов. Это, с одной стороны, усложняет детальный расчет процессов с перестройкой, а с другой стороны позволяет построить модели с эффективным интегральным учетом неупругих процессов, пригодных для описания полных сечений. Впервые анализ системы, состоящей из тяжелого отрицательного нуклона (д-мезона) и атома водорода был произведен в работах [16,17]. Важной особенностью подобных систем является наличие так называемого критического радиуса, т.е. такого расстояния между разноименными кулоновскими центрами, при котором исчезает связанное состояние лептонов в поле двух центров. Для системы из водорода и антиводорода такое расстояние оказывается приблизительно равным 0.8гв- При сближении на такое расстояние система НН претерпевает перестройку. Полуклассический подход, развитый для рассмотрения системы НН в работах [18,20], и для более общего случая адиабатической ионизации [19,21], состоит в том, что движение нуклонов предполагается классическим, а леп-тонная подсистема описывается волновой функцией, зависящей от межнук-лонного расстояния как от параметра. Ионизация ( или перестройка ) в таком подходе сводится к выяснению вопроса, достигается ли в процессе движения нуклонов критическое расстояние, при котором начинается перестройка. В случае, если такое расстояние достигается, вероятность пере-

стройки принимается равной единице, в противном случае перестройки не происходит. Потенциал, в котором движутся нуклоны, определяется, вплоть до критической точки, в рамках адиабатического подхода. Обоснование такого подхода хорошо известно и сводится , с одной стороны, к "медленно-сти"движения нуклонов, по сравнению с лентой и ым движением в широкой области межнуклонных расстояний (вплоть до критического расстояния), и, с другой стороны , к применимости квазиклассического приближения к движению нуклонов в указанной области. Однако при сверхнизких энергиях существенным оказывается квантовый характер движения нуклонов как в области, где применимо адиабатическое приближение, так и на расстояниях порядка и меньше критического, где происходит процесс перестройки. Квантовый характер движения нуклонов приводит к появлению дискретного спектра конечных состояний протония (водородоподобного атома из протона и антипротона). Как будет показано в дальнейшем, в случае столкновений водорода и антиводорода в пределе нулевых энергий лишь несколько состояний протония образуются с заметной вероятностью. Соответственно и спектр вылетающих лептонов будет дискретным. Это означает, что картина полного распада лептонного состояния, локализованного вблизи нуклонов в процессе их классического сближения на малые расстояния должна быть скорректирована с учетом квантовых эффектов в движении нуклонов. Важным является выяснение вопроса о вероятности обратных переходов из конечных каналов Рп + Рв в исходный канал Н + Н. Квантовый характер движения нуклонов оказывается важным и при больших межнуклонных расстояниях, когда движение нуклонов происходит в адиабатическом потенциале, имеющим ван-дер-ваальсовскую асимптотику. Дело в том, что при ультранизких энергиях столкновения существенную роль играют вблизипороговые состояния системы НН. Они отвечают вблизипо-роговым особенностям (метастабильные связанные , виртуальные состояния и резонансы) Б -матрицы, которые возникают в притягивательном адиабати-

ческом потенциале. Вероятность неупругой реакции существенным образом зависит от положения таких особенностей. Это означает, что при рассмотрении столкновений при ультранизких энергиях квантовый характер движения нуклонов должен быть корректно учтен как в области применимости адиабатического приближения (расстояния больше критического), так и при описании процесса перестройки. Попытки такого учета делались при различных упрощающих предположениях [22,23,26-29,31,32,34,35,38-40], однако для целей прецизионного исследования фундаментальных симмет-рий требуется подход, позволяющий выяснить роль различных физических эффектов и исчерпывающим образом учесть их при расчете сечений упругих и неупругих процессов, уровней и ширин метастабильных состояний НН молекулы.

Квантовые свойства движения ультрахолодного антиводорода проявляют себя нетривиальным образом в другом классе задач: при взаимодействии антиатома с материальной поверхностью. Оказывается, ЧТО -В 1,1,р(З^Л^СЗ ле нулевых энергий атом антиводорода с единичной вероятностью отражается от материальной поверхности. Причина этого явления состоит в квантовом эффекте надбарьерного отражения медленного атома (с большой де-бройлевской длиной волны) от сравнительно быстро убывающего потенци ^л сЬ Ван-дер-Ваальса-Казимира-Полдера между атомом и поверхностью (в асимптотике как четвертая степень расстояния между поверхностью и атомом). Эффект квантового или надбарьерного отражения хорошо [44,45], его наблюдение дл я обычных атомов мож^ет осложняться интерференцией двух эффектов- собственно квантового отражения, которое происходит на расстояниях в десятки нанометров от поверхности и контактного отражения при взаимодействия атома с поверхностью на малых расстояниях (порядка боровского). Особенностью квантового отражения для антиатомов является отсутствие такой интерференции в силу полного поглощения той части волны, которая попадает внутрь материальной

поверхности. Это обстоятельство позволяет исключить из рассмотрения детали взаимодействия антиводорода с поверхностью на малых расстояниях и заменить его граничным условием полного поглощения. При этом коэффициент отражения определяется только взаимодействием ван-дер-Ваальса-Казимира-Полдера [46,47]. Расчет такого взаимодействия представляет отдельную физическую проблема с хорошо разработанными методическими подходами, позволяющими получить надежные результаты для взаимодействия атома (анти) водорода с различными поверхностями [48-52]. Это означает, что свойства антиатома вблизи материальной поверхности могут быть предсказаны с прецизионной точностью.

С эффектом квантового отражения связано интересное явление - существование долгоживущих квантовых состояний антиводорода вблизи поверхности в гравитационном поле Земли [53]. Речь идет о квантовых состояниях, локализованных внутри потенциала, созданного суперпозицией гравитационного потенциала и потенциала ван-дер-Ваальса-Казимира-Полдера. Важным оказывается то обстоятельство, ЧТО ХЕрЕКТбрНсШ бройлевская длина волны антиводорода в гравитационном поле оказывается существенно больше, чем длина рассеяния на потенциале ван-дер-Ваальса-Казимира-Полдера, ЧТО И ЯВЛЯ6ТСЯ необходимым условием квантового отражения. Время жизни антиводорода в нижних гравитационных состояниях оказывается порядка долей секунды (оно различно для поверхностей с различным потенциалом ван-дер-Ваальса-Казимира-Полдера).

Хотя существование квантовых состояний частиц в гравитационном поле вблизи материальной поверхности не вызывало особых сомнений, в течении длительного времени эта проблема казалась чисто академической; наблюдение такого экзотического явления представлялось невозможным в силу слабости гравитационного взаимодействия по сравнению с другими взаимодействиями, порождающими неустранимые ложные эффекты. Впервые квантовые состояния движения ультра-холодных нейтронов в гравитацион-

ном поле Земли над отражающей нейтроны поверхностью были открыты в эксперименте В.В. Несвижевского и соавторов в институте Лауэ-Ланжевена (ILL) в Гренобле [58]. Этот эксперимент породил целое направление исследований, связанных с приповерхностными квантовыми свойствами движения ультрахолодных нейтронов в гравитационном поле [57,59,62,63]. Интерес к таким исследованиям связан в том числе с новыми возможностями изучения фундаментальных взаимодействий [64]. Оказалось, что большое число результатов и принципиальных подходов к решению возникающих при исследовании нейтронов в гравитационном поле сопутствующих задач может быть перенесено на аналогичные явления с ультрахолодными атомами антиводорода. Это важное обстоятельство объясняется близостью масс нейтрона и антиводорода с одной стороны, и малостью отношения длины рассеяния на потенциале атом(нейтрон)-поверхность к характерному размеру состояний в гравитационном поле, с другой стороны. Такое сходство позволяет использовать результаты нейтронных экспериментов для прототипирования затратных экспериментов с ульрахолодным антиводородом.

Гравитационные состояния атомов антиводорода могут быть важным инструментом для прецизионного исследования гравитационных свойств антиводорода. Такое утверждение является, на первый взгляд, контринтуитивным, поскольку влияние поверхности на гравитационные состояния могло бы приводить к плохо контролируемым систематическим погрешностям. На самом деле оказывается, что малый сдвиг гравитационных уровней за счет взаимодействия с поверхностью одинаков для всех уровней в первом порядке теории возмущений по длине рассеяния. Это означает, что при измерении частот переходов эффекты, связанные с влиянием поверхности исчезают (в первом порядке). С другой стороны, как было указано выше, сдвиг уровней определяется хорошо известной асимптотической частью потенциала ван-дер- Ваальса-Казимира-Полдера, поэтому даже остаточный малый

эффект второго порядка в сдвиге частот переходов может быть учтен с высокой точностью.

Измерение частоты переходов между гравитационными уровнями антиводорода позволит извлечь значение гравитационной массы антиводорода и провести лабораторный тест принципа эквивалентности в секторе антиматерии. Такое измерение возможно методом возбуждения резонансных переходов между гравитационными уровнями внешним неоднородным переменным магнитным полем. Переходы между гравитационными состояниями атома антиводорода под действием переменного магнитного поля представляет собой точно решаемую задачу (решение может быть получено в виде быстро СХОДЯТЦ6ГОСЯ ^З-Я-^Л^сЬ «| для коэффициентов которого можно получить замкнутые аналитические выражения). Привлекательность такого подхода связана с тем, что точность спектроскопических экспериментов, основанных на измерении частоты перехода между квантовыми состояниями существенно превосходит (при оптимальной постановке эксперимента) точность классических баллистических методов по измерению ускорения свободного падения антиатомов.

Другим важным эффектом, связанным с явлением квантового отражения ультрахолодного антиводорода от материальной поверхности, оказывается эффект шепчущей галереи при движении антиатомов вдоль искривленной (цилиндрической или сферической) поверхности. Этот эффект состоит в локализации антиводорода в квантовых состояниях, отвечающих радиальному движению атома вблизи искрив ленной поверхности. Такая локализация оказывается возможной благодаря появлению эффективной ямы в суперпозиции центробежного потенциала и^ х 10тен т т^^иа; л а; вa^н дер -Ваальса-Казимира-Полдера. Поскольку размер таких квантовых состояний много меньше радиуса кривизны поверхности, то хорошим приближением является линейное разложение центробежного потен т щ ала вблизи поверхности. Таким образом задача о состояниях шепчущей галереи оказывается в значи-

тельной мере эквивалентна задаче о гравитационных состояниях у поверхности, с той разницей, что вместо линейного гравитационного потенциала выступает линейный (вблизи поверхности) центробежный потенциал. Эффект шепчущей галереи антиводорода открывает возможности для создания особых инструментов для прецизионных измерений- резонаторов шепчущей галереи для антиатомов, представляющих собой по сути ловушки в виде замкнутой цилиндрической или сферической поверхности ( открытый с торцов цилиндр или часть сферы, в виде полосы, вырезанной вблизи экватора). Атомы антиводорода, помещенные в такие резонаторы, оказываются локализованными в долгоживущих состояниях шепчущей галереи. Детальная информация о таких состояниях может быть получена по аннигиля-ционному сигналу, временная зависимость которого связана с частотами переходов между уровнями благодаря интерференции состояний при аннигиляции. Такой метод исследования состояний позволяет, наряду с описанным выше спектроскопическим методом, определить энергетический спектр приповерхностных состояний антиводорода и их ширину, а следовательно, извлечь гравитационную массу антиводорода. Важным достоинством такого подхода является возможность хранения антиводорода в течении макроскопических времен в компактном резонаторе-ловушке в заданном квантовом состоянии или их суперпозиции.

Впервые эффект тттв! 1 ч^у^т^бР! г^лбрби для нейтронов был обнаружен в эксперименте В.В. Несвижевского и соавторов [65], в котором наблюдалось интерференция состояний шепчущей галереи нейтронов и впервые успешно был опробован метод исследования свойств взаимодействия нейтронов с материей на основе интерференции этих состояний. Как уже было указано, сходство квантовых свойств ультрахолодного антиводорода и нейтронов позволяет использовать результаты этих экспериментов для развития экспериментальных методик с атомарным антиводородом.

Таким образом, проблема взаимодействия ультрахолодного антиводорода с веществом порождает целый класс физически нетривиальных задач, решение которых важно как для развития новых методов тестирования фундаментальных симметрий, так и представляют самостоятельный интерес.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Физика взаимодействия ультрахолодного антиводорода с веществом»

Цель работы

Цель работы состоит в 1) разработке и обосновании метода расчета упругих и неупругих сечений столкновений антиводорода и водорода при энергиях меньше 10 5вУ; 2) вычислении энергий и ширин вблизипопрого-вых состояний НН; 3) расчете величин и анализ энергетического хода сечения передачи спина в столкновениях НН при энергиях меньше 10"5 еУ; 4) учете эффектов сильного взаимодействия при столкновениях ультрахолодных водорода и антиводорода; 5) определении коэффициента отражения ультрахолодного антиводорода от различных поверхностей (включая тонкие пленки и пористые структуры); 6) вычислении энергий и ширин вбли-зиповерхностных гравитационных состояний антиводорода; 7) расчете вероятности индуцированного резонансного перехода между гравитационными состояниями под действием переменного неоднородного магнитного поля и анализе точности измерения гравитационной массы антиводорода указанным методом; 8) анализе временного распределения событий падения антиатомов на детектор с заданной высоты из заданного квантового состояния и измерении гравитационной массы и ускорения свободного 11 адения a^г[TI/IB() дорода по указанному распределению; 9) вычислении амплитуды рассеяния атомов антиводорода на цилиндрической поверхности, анализе особенностей амплитуды рассеяния в плоскости комплексного углового момента; 10) вычислении энергий и ширин состояний шепчущей галереи антиводорода; 11) расчете эффектов интерференции состояний шепчущей галереи и анализе интерференционного метода измерения коэффициента отражения ан-

тиводорода от поверхности, гравитационной массы антиводорода 12) расчет замкнутого резонатора шепчущей галереи для антиатомов.

Новые научные результаты, выносимые на защиту

1) расчет величин упругого и неупругого сечения ультрахолодного антиводорода на водороде при энергиях столкновений менее 10"5 еУ, расчет комплексной длины рассеяния НН: положение вблизипороговых особенностей Б-матрицы и вычисление энергий и ширин метастабильных состояний НН; расчет сечений передачи спина в столкновениях поляризованного атомарного антиводорода на атомарном водороде припри энергиях столкновений менее 10"5 еУ; выяснение роли сильных взаимодействий во взаимодействии ультрахолодного антиводорода и водорода;

2) расчет коэффициента отражения ультрахолодного антиводорода от материальных поверхностей, включая тонкие пленки и пористые структуры;

3) предсказание существования нового явления- локализации антиводорода в долгоживущих вблизиповерхностных состояниях в гравитационном поле Земли; расчет энергетического спектра и ширин гравитационных состояний антиводорода; разработка спектроскопического метода измерения гравитационной массы антиводорода, включающая расчет вероятностей переходов между гравитационными состояниями под действием периодического неоднородного магнитного поля, расчет сдвига уровней в следствии динамического Штарк-эффекта, оценка точности измерения гравитационной массы; разработка квантового баллистического метода измерения гравитационной массы антиводорода, включающая расчет вероятности временных событий падений антиатомов из заданного квантового состояния и определение по этим данным гравитационной массы антиводорода;

4) метод расчета рассеяния ультрахолодного антиводорода на искривленной поверхности, расчет энергий и ширин состояний шепчущей галереи антиводорода, исследование эффекта интерференции состояний шепчущей

галереи и использование этого метода для выяснения измерения гравитационной массы антиводорода; расчет замкнутого резонатора шепчущей галереи для ультрахолодного антиводорода.

Апробация.

Основные результаты работы докладывались на многочисленных международных конференциях, включая:Hydrogen II workshop, 2000 ( Castiglione della Pescaia, Italy); Low Energy Antiproton PHysics -LEAP 2003 (Yokohama, Japan); LEAP 2005 (Bonn, Germany); LEAP 2011 (Vancouver, Canada); LEAP 2013 (Uppsala, Sweden); Muon, positron and antiproton interactions with atoms and molecules (Posmol) 2009 (Toronto, Canada); Gravitational Ultracold Neutron Physics Workshop GRANIT 2010, GRANIT 2014 ( Les Houches, France); 2 International Workshop on Antimatter and Gravity, 2013 (Bern, Switzerland); International Conference on Exotic Atoms, EXA2014 (Vienna, Austria) Международная сессия-конференция Секции ядерной физики ОФН РАН «Физика фундаментальных взаимодействий» 2013,( Москва, Россия) Черенковские чтения, ФИАН, Москва, Россия 2015; International Seminar on Interactions of neutrons and nuclei, ISINN 23- 2015 (Дубна, Россия). Результаты неоднократно обсуждались на регулярных семинарах в Физическом Институте РАН, на семинарах в ИТЭФ.

Пуликации и личный вклад автора

Основные ЬТЭ/ГЫ ^ДИССбрТЭ)!ЩИ 11 рбдст^влбны в 42 работах, которые опубликованы в международных научных журналах, входящих в список ВАК. Вклад автора в полученные теоретические результаты является определяющим.

Структура и содержание диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, пяти приложений, списка литературы.

В Главе 1 рассматривается проблема взаимодействия ультрахолодного атомарного антиводорода с водородом, включая расчет сечений реакции

образования протония и позитрония в различных состояниях, упругого сечения, сечения передачи спина при столкновении поляризованных атомов и антиатомов, положение и ширины квазисвязанных и виртуальных состояний молекулярной системы НН.

В параграфе 1.1 рассматривается кинематика основных каналов неупругой реакции НН —> Рп + Рв. Выяснены энергетические пороги каналов с образованием протония и позитрония в различных состояниях, характерные энергетические и временные параметры реакции перестройки.

В параграфе 1.2 рассматриваются характерные пространственные размеры, играющие ключевую роль при построении модели неупругого взаимодействия ультрахолодного водорода и антиводорода. В частности выяснены размер области межнуклонных расстояний, в которой происходят неупругие переходы, критический радиус, при котором исчезает связанное состояние лептонов в поле неподвижного протона и антипротона, область применимости квазиклассического приближения к движению нуклонов в адиабатическом потенциале, характерный радиус ван-дер-ваальсовского взаимодействия между водородом и антиводородом.

В параграфе 1.3 обсуждается качественная квантовомеханическая модель неупругого рассеяния водорода на антиводороде, выясняется вопрос чувствительности модели к точному виду взаимодействия (в частности, к учету дополнительных закрытых каналов). Показано, что параметром, определяющим чувствительность всякого модельного расчета к погрешностям модельного описания, является величина неупругости, описываемая мнимой частью фазового сдвига в НН. Физической причиной высо-

кой чувствительности сечений упругого и неупругого рассеяния ультрахолодного водорода и антиводорода к деталям взаимодействия является существование богатого спектра вблизипороговых состояний НН., порожденных адиабатическим взаимодействием с ван-дер-ваальсовской асимптотикой на больших расстояниях. Сравниваются результаты различных моделей расче-

та. С целью проведения сравнения детали неупругого перехода описываются на едином языке комплексной фазы, генерируемой в области межнуклонных расстояний менее боровского радиуса. Получены положения и ширины вб-лизипороговых состояний молекулярной системы НН: положения и траектории соответствующих полюсов Б-матрицы как функции модельных параметров взаимодействия НН на расстояниях, существенных для неупругих переходов (меньше боровского радиуса). Изучается вопрос об учете сильного взаимодействия между протоном и антипротоном на неупругое и упругое сечение.

В параграфе 1.4 описывается модель связанных каналов, позволяющая в полной мере учесть квантовый характер движения нуклонов и динамику неупругой перестройки.

В параграфе 1.5 рассматривается реакция передачи спина при столкновении поляризованного антиводорода на водороде, выяснен вбли-зипороговый характер поведения сечений реакций перехода между различными спиновыми состояниями. Показано, что эффект передачи спина определяется в основном сильным взаимодействием, а взаимодействие лептонов вносит пренебрежимо малый вклад. Этот механизм качественно отличается от механизма передачи спина между обычными атомами, где ключевую роль играет взаимодействие между электронами. Атомные величины сечений передачи спина в случае взаимодействия водород-антиводород объясняются фокусирующим действием адиабатического потенциала с асимптотикой ван-дер-ваальсовского типа. Наличие вблизипороговых состояний в таком потенциале объясняет усиление интенсивности реакции передачи спина на девять порядков по сравнению с сечением прямой ядерной реакции передачи спина. Вблизипороговая зависимость сечений от энергии существенным образом зависит от факта тождества сверхтонкой структуры водорода и антиводорода, в частности при гипотетическом нарушении СРТ

симметрии кардинально меняется вблизипороговый ход реакций передачи спина.

Глава 2 посвящена проблеме взаимодействия ультрахолодного антиводорода с материальной поверхностью, обусловленному эффектом квантового отражения.

В параграфе 2.1 приводится анализ потенциала взаимодействия между атомом антиводорода и идеально проводящей поверхностью, выясняется характерная область асимптотик ван-дер-ваальсовского типа и асимптотика Казимира-Полдера. Выясняются области применимости квазиклассического приближения. Приводится обоснование возможности замены решения на малых расстояниях (мене боровского радиуса) условием полного поглощения антиводорода на границе материальной поверхности.

В параграфе 2.2 приводится анализ эффекта надбарьерного квантового отражения, выясняются особенности генерации отраженной волны при столкновении ультрахолодного антиводорода с проводящей поверхностью методом фазовых функций. Получено КйЧбСТВбННЫб приближенные значения и точное численное значение комплексной длины рассеяния антиводорода на потенциале антиводород-проводящая поверхность.

В параграфе 2.3 рассмотрен вопрос вблизипороговых ( надбарьер-ных) состояний в потенциале ван-дер-Ваальса-Казимира-Полдера. Рассматривается вопрос о спектре состояний атома антиводорода в материальном прямоугольном и цилиндрическом волноводе (в отсутствии гравитации) и коэффициент прохождения через волновод в зависимости от его длины и поперечных размеров.

В параграфе 2.4 рассмотрен вопрос об отражении антиводорода от тонких пленок и пористых структур.

Глава 3 посвящена исследованию гравитационных состояний антиводорода вблизи материальной поверхности в гравитационном поле Земли и методам измерения гравитационной массы антиводорода.

В параграфе 3.1 рассматривается вопрос об уровнях и ширине состояний антиводорода в потенциале, образованном суперпозицией гравитационного потенциала Земли И потенТЩйЛсЬ ВсЬН Дбр Ваальса-Казимира-Полдера. Выяснены характерные пространственные и энергетические масштабы при движении атома антиводорода в гравитационном поле. Показано, что сдвиг и ширина нижних гравитационных уровней антиводорода (по отношению к уровням в гравитационном потенциале над идеально отражающей поверхностью) одинаков и определяется отношением длины рассеяния В потенци9)Л6 Ваальса-Казимира-Полдера к характерной длине вол-

ны де Бройля в гравитационном потенциале. Установлено, что время жизни нижних гравитационных состояний антиводорода над идеально проводящей поверхностью составляет 0.1 с. Выяснен вопрос о поправках второго порядка малости к сдвигу и ширине уровней, учитывающих эффективный радиус потенциала взаимодействия антиводорода с поверхностью.

В параграфе 3.2 рассматривается вопрос об интерференции суперпозиции нескольких гравитационных состояний, проявляющейся в осцил-ляциях количества аннигиляционных событий как функции времени. Показана, что такая зависимость содержит определяется частотами переходов между гравитационными уровнями и в простейшем случае двух состояний представляет собой гармоническую зависимость от частоты перехода между уровнями.

В параграфе 3.3 рассматривается вопрос об измерении частоты перехода между уровнями методом резонансных индуцированных переходов. Установлены выражения для вероятности перехода под действием переменного неоднородного магнитного поля и в результате вибраций поверхности. Получены выражения для сдвига уровней в результате динамического Штарк-эффекта. Получены оценки для точности измерения гравитационной массы антиводорода методом резонансных переходов.

В параграфе 3.4 рассматривается вопрос об измерении гравитационной массы антиводорода квантовым баллистическим методом, т.е. измерением распределения времен падения с заданной высоты приготовленного состояния атома антиводорода. Установлен вид такого временного распределения; показано, что оно определяется импульсным распределением исходного состояния. Рассмотрены способы измерения гравитационной массы антиводорода по временному распределению аннигиляционных событий, соответствующих моментам падения антиатомов на детектор.

Глава 4 посвящена исследованию эффекта шепчущей галереи при отражении ультрахолодного антиводорода от искривленной поверхности.

В параграфе 4.1 решение уравнения Шредингера для атомов, локализованных в состояниях с высоким угловым моментом вблизи искривленной поверхности, представлено в в виде суперпозиции метастабильных состояний в центробежном потенциале с граничным условием на поверхности, отвечающему надбарьерному отражению от потенциала ван-дер-Ваальса-Казимира-Полдера. Установлены положения уровней и ширин таких состояний как функции касательной скорости антиатомов и радиуса кривизны поверхности. В параграфе 4.2 рассмотрен вопрос об интерференции состояний шепчущей галереи.

В параграфе 4.3 В Ы Я С Н 6 Н Ы особенности Б-матрицы рассеяния антиводорода на цилиндрической поверхности в комплексной плоскости углового момента (полюса Редже), выяснена их связь с долгоживущими состояниями шепчущей галереи, получено выражение для амплитуды рассеяния.

В Заключении сформулированы основные полученные результаты диссертации •

Глава 1. Взаимодействие водорода и антиводорода при ультра низких энергиях

Проблема взаимодействия водорода и антиводорода при ультра низких энергиях (в дальнейшем мы будем рассматривать энергии столкновений в системе центра масс Е < 10"5 еУ; как будет показано таким энергиям соответствует предельный квантовый характер движения нуклонов) отличается от типичных задач атомных столкновений наличием притягиватель-ного взаимодействия между нуклонами во всем диапазоне межнуклонных расстояний. Этот факт определяет специфику взаимодействия с участием антипротонов- возможность реакций перестройки с образованием связанных (метастабильных по отношению к аннигиляции) состояний из протона и антипротона даже в переделе нулевых энергий столкновений. С другой стороны, в пределе низких энергий существенны квантовые эффекты в движении нуклонов. К числу таких эффектов относится эффект надба-рьерного отражения, состоящий в отражении квантовой частицы с большой де-Бройлевской длинои волны от быстро меняющегося притягивательного потенци ал сь • Проявлением такого эффекта оказывается наличие вблизипо-роговых узких состояний системы НН , оказывающих существенное влияние на вблизипороговый ход сечений реакций. Положение соответствующих полюсов Б-матрицы в комплексной плоскости импульса оказываются чувствительны к деталям взаимодействия на всех межнуклонных расстояния. Это объясняет, в частности, тот факт, что сильные взаимодействия, происходящие на расстояниях порядка 10"5гв (гв-боровского радиуса атома водорода), тем не менее заметным образом проявляются на атомных мае-

указ ан н ых

особенностей системы НН возможен в рамках последовательного квантового формализма рассеяния НН —> Рп + Рв7 развитию которого посвящена настоящая глава.

1.1. Кинематика реакции Н + Н ^ Рп + Рв

Среди возможных каналов реакции взаимодействия НН нас будут в первую очередь интересовать упругий канал:

Н + Н Н + Н, (1.1)

а также каналы с образованием протония и позитрония

Н + Н —> Рп + Рв. (1.2)

Разумно предположить, что эти реакции имеют наибольшее сечение и дают определяющий вклад в общее сечение упругих и неупругих процессов, поскольку должны иметь атомный порядок сечений. Дополнительными к этим каналам могут быть каналы прямой аннигиляции протона и антипротона и/или электрон-позитронной пары «налету». Анализ сечений таких реакции был х 1 роввдвн в работах [27,35], где было показано, что они имеют существенно меньшую величину.

Рассмотрим энергетические соотношения, определяющие образование связанных состояний протония и позитрония при столкновении атомарного водорода и антиводорода.

к2

-2е + Ес = -Еп - ек - — е + Тпк (1.3)

Здесь е - энергия основного состояния атома водорода, Ес- энергия столкновения Н и Н в системе центра масс, Тпк кинетическая энергия разлета Рп и Рв} Еп = П2~Е е-энергия связанного состояния протония с главным квантовым числом п, Мр- масса протона, т-масса электрона, е^-энергия

к2 7

позитрония, в случае связанного состояния ек = уе, к- главное квантовое число позитрония.

Для дальнейшего важную роль будут играть квантовые числа открытых каналов. Ес = 0

оказывается птах = 24, при этом позитроний находится в основном состоянии, а кинетическая энергия разлета Т24д = 1.28 еУ. Квантовое число прото-ния, соответствующее возможности образования возбужденного состояния позитрония в состоянии с к = 2 оказывается п = 22; энергия разлета в этом канале Т22;2 = 0.30 еУ. Этот канал выделяется минимальной энергией раздета фрагментов. В канале с п = 21 энергетически возможно как об-

к

в+в-.

Т.о. энергетически разрешены состояния протония с главным квантовым числом п < 24. Средний радиус состояния протония гп = 3те/ Мрп2гв (здесь г в- Боровский радиус атома водо рода) при п = 24 оказывается равным 0.94гв- Это означает, что область взаимодействия нуклонов, в которой происходит перестройка имеет радиус порядка пространственного размера состояния протония с максимальным энергетически допустимым квантовым числом п = 24, т.е. величину близ кую к г в-

Для качественного рассмотрения будут важны характерные временные параметры задачи. В частности, важным временным масштабом является классический период движения в протонии с п = 24. Этот масштаб задает время сближения и расхождения нуклонов внутри области, где происходит перестройка и оказывается равным тп ~ 3 х 10-16 е. Это время следует сравнивать с характерным временем распада лептонного состояния. Простейшая нижняя оценка такого времени может быть получено как время пролета позитрония в пренебрежении взаимодействием с протоном и антипротоном расстояния порядка боровского радиуса с энергией вылета, характерной для каналов с главным квантовым числом протония п = 24, т.е. т ~ гв^Т^. Несложно убедиться, что оцененное таким образом время распада лептонного состояния оказывается близким к времени пролета нуклонами области взаимодействия.

1.2. Качественная модель взаимодействия НН и характерные

пространственные масштабы

Гамильтониан, описывающий динамику системы НН имеет следую-

Н = Тр + Тр + Те + Тё - 1/тер - 1/тёр - 1/Ярр + 1/тер + 1/тёр + 1/Тее (1.4)

Здесь Т -оператор кинетической энергии каждой из частиц (протона, антипротона, электрона и позитрона), тар- расстояние между соответствующими частицами, где а, в обозначают одну из указанных частиц.

Соответствующее уравнение Шредингера для 4-частичного волнового вектора |Ф >:

(Н - Ес) |Ф >=0 (1.5)

Указанное уравнение может быть записано в координатной форме в различных Якобиевских системах координат, позволяющих отделить движение центра масс.

Для описания асимптотики в упругом канале НН удобно использовать систему координат:

Ух = Г ер X Гёр х ~кнй (1-6)

Здесь Ух- 9-мерный вектор, составленный из векторов относительного положения частиц в парах ер ер и центров масс НН:

т ер те - т р (1.7)

т ер те - ^ т р (1.8)

Янй = (те Ге +М Гр)/(те + Мр) - (те Ге +МР гр)/(тё + Мр)(1.9)

Описание асимптотики в каналах с образованием протония и позитрония удобно производить в системе координат:

У2=Ярр X ~г-её X ~Р (1.10)

26

Здесь Y2- 9-мерный вектор, составленный из векторов относительного положения частиц в парах рр, ее и центров масс Рп и Рэ:

Я Г рр Я Г ' р Я Г ' р (1.11)

Я г её Я г ё - Я - г ё (1.12)

Я Р = (Я ё + Яе)/2 - (Гр + Яр)/2 (1.13)

Целью дальнейшего рассмотрения является определение характерных пространственных масштабов задачи. Прежде всего нас будут интересовать возможность ввести расстояние между центрами масс Н и Н, на котором начинаются процессы перестройки и образования Рп и Рв.

Для этого мы рассмотрим следующую модель взаимодействия НН: применимость которой мы обоснуем -В ДйЛЬНбйШбМ • Волновая функция системы НН будет представлена в виде двух компонент, каждая из которых корректно описывает соответствующую асимптотику в упругом и неупругом каналах. Кроме того, пользуясь малостью отношения массы электрона к массе протона мы не будем различать координату относительного движения центров масс Н и Н и вектор относительного положения р и р, т.е.

я —Я

Пии ~ г рр=Я'

ф = + ф2 (1.14)

Гер, Гёр) = х(В)Ф(гер, г ер, Я) (1.15)

Ф2(й, Яее, ~Р ) = Е ¡а (Й)ф9 (Я её)^ (Р ) (1.16)

Каждая из компонент волновой функции описывается в «своих» яко-биевских координатах. При этом компонента Ф1 ищется в виде произведения лептонной волновой функции Ф, зависящей от межнуклонного расстояния как от параметра, и волновой функции нуклонного движения х которая

содержит амплитуду рассеяния в упругом канале. При низких энергиях, которые нас интересуют вклад будет давать только Б-волна, поэтому мы ограничимся случаем полного углового момента равного нулю. Указанное прбдст^влбниб Ф1 соответствует адиабатическому приближению. Компонента Ф2 представляет собой суперпозицию произведений волновых функций протония /а с набором квантовых чисел а, волновых функций позитрония Фв с набором квантовых чисел в и волновых функций относительного движения центров масс протония и позитрония ga,в^ содержащих амплитуды перехода в соответствующие каналы.

Для целей качественного рассмотрения ограничим главное число протония сверху значением п = 24, т.е. рассмотрим только открытые каналы. Из структуры компоненты волновой функции Ф2 ясно, что

ЩЯ, Гее, ~Р) ^ 0, ПРИ 1Щ > тв

Это означает, что перестройка происходит в области межнуклонных расстояний, определяемой размером конечных состояний протония, т.е.

тв

С другой стороны, анализ применимости адиабатического приближения для описания системы НН показывает [33], что адиабатическое прибли-

Я > тв

образом наруттт йбтся вблизи Яс = 0.8тв- Такое ПОВ6Д6НИ6 объясняется наличием так называемого критического радиуса, т.е. такого расстояния сближения разноименных кулоновских центров, при котором пропадает связанное состояние лептонов в поле неподвижных протона и антипротона. На Рис. 1.1 показано поведение лептонного терма, т.е. энергии связи электрона и позитрона в поле протона и антипротноа как функция расстояния между ними, вблизи критической точки. Таким образом, нарушение адиабатического приближения связано с выходом терма в сплошной спектр при Я < тв-

Таким образом, при межнуклонных расстояниях Я > г в отлична от нуля лишь компонента волновой функции Ф15 а взаимодействие между центрами масс Н и Н описывается адиабатическом потенциалом Уа^(Я). При Я < г в происходит перестройка. Это означает, что для выяснения вопроса об амплитуде упругого рассеяния( и, следовательно, о сечении упругого и неупругого рассеяния) достаточно решить одноканальное уравнение Шре-дингера с адиабатическим потенциалом Уаа(Я) для функции х(Я) с граничным условием на логарифмическую производную, заданном на расстоянии Я = г в- Такое граничное условие, должно, конечно же, быть установлено

Я < Гв

результате вычисления компоненты волновой функции Ф2. Указанное граничное условие удобно

Здесь 5 = 5е + 181 - комплексная фаза, мнимая часть которой харак-

классический импульс для движения нуклонов в адиабатическом потенциале Уа^(Я). Заметим, что в граничном условии можно пренебречь зависимостью от энергии столкновения ЕС7 поскольку величина взаимодействия между нуклонами, а также характерные энергии разлета фрагментов во всех открытых каналах существенно превышают энергии столкновений в рассматриваемом нами диапазоне ЕС < 10-4 еУ.

В рассматриваемой задаче возникают характерные масштабы расстояний, связанные с асимптотическими свойствами адиабатического потенциала.

Асимптотически адиабатический потенциал переходит в так называе мый поляризационный потенциал :

= р(гв) 0С^5)

(1.17)

теризует интенсивность перехода в неупругие каналы, р(Я) = ^МУа^(Я)

Уал(Я) я-а/Я6 - а8/Я8 + ...

a_u

-аш |

-Q04 J

-Q06 J

-aoe }

-am :

-Q12 | -Q14 J

Рис. 1.1. Потенциал взаимодействия H — Ив упругом канале как функция межатомного расстояния.

Значение констант при обратных степенях R для атомов водорода и антиводорода в основном состоянии хорошо известно, так C6 = 6.499027, C8 = 124.399 Ведущий член в разложении, отвечающий ван-дер-Ваальсовскому взаимодействию между нейтральными атомами —C6/R6, дает, как будет показано ниже, порядок величины длины рассеяния на потенциале с указанной асимптотикой :

Rvdw = У2MC6 ~ 10.5 а.и. (1.18)

Другой масштаб длины дается расстоянием Raj начиная с которого адиабатический потенциал выходит на асимптотику —C6/R6; оценкой для такого расстояния может служить следующее выражение:

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Воронин Алексей Юрьевич, 2016 год

/ - •

15- •

/

10

5 • - •

"-I-!-'-1-'-1-!-'-!-'-'-'--'-■-'-'-'-'-'--- Р1е(ц-и„){—)^

-20 -10 10 №

Рис. 4.10. Положение полюсов Рсджс для притягивэ/гельного нотенци^лЭ)» Показаны полюса, отвечающие вблизипороговым состояниям. 1- узкие состояния ^ ше 11, чущг&лерея^ ^ 2- поверхностные волны, 3- узкие надбарьер-ные резонансы.

В окрестности полюса хп Б-матрицу можно вписать в пвременной х следуютцим образом:

5 (х) и г+Шх) ^

Функция Т в приведенном выше выражении: Т±(х) = к\(-по -х) (Ы'(-х) ± г А!) -кИ(-щ -х) (Б1(-х) ± г М(-х)) (4.122) Таким образом вычет имеет вид:

Иез 5 (хп) = Ш (4.123)

Т (хп)

Указанное выражение может быть далее упрощено с учетом того, что хп - корень уравнения Т +(хп) = 0. Для числителя (4.123) получим выражение:

^ / ч 2г А1(— п0 — хп)

Т-(хп) =--—-\ 'У—- (4.124

К ' п Б1(-хп) + г А1(-хп) 1 ;

174

20

25

15

10

-30

-20

-10

10

Рис. 4.11. Положение полюсов Рсджс .Я ОТТ^ЛКИВ^ТбЛЬНОГО 11РТ6НЦИЭ|Л» Показаны полюса, отвечающие вблизипороговым состояниям. 2- поверхностные волны, 3- узкие надбарьерные резонансы

В выводе этого уравнения мы учли, что Вронскиан Л1/(—х) Б1(—х) — БГ(—х) Л1(—х) = 1/п.

Для знаменателя (4.123) получим :

Для получения указанного выражения следует использовать уравнение для функций Эйри: Л1//(—х) = х Л1(—х).

Собирая вместе полученные результаты, получим уравнение для вычетов:

Т+ (хп) = —ио Л[(—щ — хп) (Б1(—хп) + ? Л1(—хп)) (4.125)

Иев Б (хп)

2?

(4.126)

пио (Б1(—хп) + ? Л1(—хп))

2

4.4.5. Физический смысл полюсов Редже

Для В Ы Я С Н 6 н и я физического смысла полюсов Редже мы воспользуемся ранее выведенными уравнениями для приповерхностных состояний, используя линеаризацию центробежного ПОТ6НЦИ сЬЛсЬ вблизи поверхности £ = р — Я ^ Я. В первом порядке по £/Я получим следующее выражение:.

JÜ^ + и0е(—) + "2 -1/4 (i ^

2Md£2

2MR2

I1 - R - E

ХМ) = 0. (4.127)

Вводя новую переменную:

2,,2

s, = e - h

2[2 - 1/4 _ (MvR)2 - h2 i 2MR2 ~ 2MR2

(4.128)

получим радиальное уравнение:

h2 д2 ттгл/ ^, Mv2^

--ъ + u0e(-o -^í - s,

2Md£2

Х,(£) = 0

(4.129)

Уравнение (4.129) описывает движение в эффективном иоле a = -v2/R и потенциале взаимодействия с поверхностью U0e(-£). Эскиз потенциала показан на Рис. 4.12. Величина s, играет роль радиальной энергии при условии |[ - [0\ ^ ц0.

Указанное уравнение (4.129) в единицах /0 и s0 имеет вид:

д2

дх2

+ u0e(-x) - х - X,

Х,(х) = 0

Здесь х = í/¡0, X, = s,/s0 и U0 = U0/S0.

Регулярное решение (4.130) дается функцией Эйри Ai(£):

(4.130)

Х,(х)

Ai(-x - X,) if х > 0 Ai(u0 - х - X,) if х < 0

(4.131)

Сшивая внешнее решение (налетающая и рассеянная волна при £ > 0) и внутренне решение ( £ < 0 в точке £ = 0 получим уравнение (4.100).

rsj

и

и л

\

Л-р

\

Рис. 4.12. Эскиз потенциала (притяжение- левый, отталкивание- правый). Скачок потенциала при £ = 0 равен и0 Наклон при £ = Оопределяется центробежным ускорением а = V /Я. Области, О'х'-ВСЗ'х*ственн30) образование различных типов резонансов: 1 - долгоживущие квазисвязанные состояния, 2 - поверхностные волны, 3 - узкие надбарьерные резонансы.

Для притягивательного потенциала это квази-связанные состояния внутри эффективного потенциала. Они определяются уравнением (4.105). Квазистационарный характер таких состояний определяется вероятностью туннелирования через барьер(Р1§.4.12) , высота которого и0 зависит от тангенциальной скорости:

Другой тип состояний, определяемых (4.110), представляют сосбой узкие надбрьерные резонансы. Причина их существования была детально вы яснена ранее и состоит в надбарьерном отражении медленных атомов от резкого края потенциала [53,107].

Наконец, резонансы, описываемые уравнением (4.118) относятся к типу поверхностных волн. Они могут быть объяснены как эффект проникновения под барьер и отражения от резкого края потенциала под барьером.

(4.132)

Настоящая работа посвящена исследованию вопросов физики взаимодействия ультрахолодного антиводорода с веществом, в которых ключевую роль играет учет квантовых свойств движения антиатомов. Основные ре-3 уЛ ЬТ 9)Т Ы работы заключаются в следующем.

1. Развит последовательный квантовый формализм расчета сечений взаимодействия ультрахолодного антиводорода и водорода, включая упругое сечение, сечение перестройки, сечения передачи спина, проведен численный расчет соответствующих сечений и длин рассеяния; выяснены физические особенности процесса взаимодействия ультрахолодного антиводорода и водорода. Важнейшей такой особенностью оказывается высокая степень упругости реакции ехр(—52) = 0.75. Это обстоятельство, наряду с эффектом поляризационного взаимодействия с асимптотикой —6.5/г6 приводит к существованию богатого спектра вблизипороговых состояний системы НН; вычислены положения полюсов Б-матрицы в плоскости комплексного импульса вблизи порога, выяснена их динамика при изменении параметров задачи. Выяснена роль сильного взаимодействия, произведен расчет сечений и уровней вблизипороговых состояний с учетом сильного взаимодействия. Показано, что роль сильного взаимодействия является определяющей в процессе передачи спина при столкновениях НН. Показано, что наличие вблизипороговых состояний системы НН приводит к резкому увеличению сечений реакции передачи спина ( на 9 порядков по сравнению с прямой ядерной реакцией).Показано, что энергетический ход реакций передачи спина определяется тождественностью сверхтонкой структуры водорода и антиводорода.

2. Предсказан эффект отражения ультрахолодного антиводорода от материальной поверхности, вычислены коэффициенты отражения при

различных энергиях для идеально проводящей поверхности, кремния, силики и тонких пленок из этих веществ. Показана возможность длительного существования ультрахолодного антиводорода в контакте с материальными поверхностями. Исследованы состояния антиводорода в волноводах, рассмотрена проблема транспорта через волновод и использование такого рода экспериментов для определения коэффициента отражения антиводорода от поверхностей.

3. Предсказано существование долгоживущих квантовых состояний антиводорода в гравитационном поле Земли вблизи материальной поверхности; получен спектр и время жизни таких состояний. Предложен метод резонансной спектроскопии гравитационных состояний для прецизионного измерения гравитационной массы антиводорода; получены выражения для вероятности резонансных переходов и динамического сдвига. Предложен метод исследования интерференции гравитационных состояний по временной зависимости аннигиляционных состояний. Установлена связь между импульсным распределением начального состояния и временным распределением событий в баллистическом эксперименте, предложен метод прецизионного измерения такого распределения.

4. Предсказан эффект шепчущей галереи для антиводорода; рассчитаны энергии и времена жизни состояний шепчущей галереи, установлена их связь с гравитационными состояниями. Рассмотрен эффект интерференции состояний шепчущей галереи, показана возможность прецизионных измерений коэффициента отражения антиводорода от поверхности на основе интерференционного метода Рассмотрен новый тип устройств - резонатор шепчущей галереи для антиатомов, рассчитан спектр мод шепчущей галереи в таком резонаторе, показана возможность использования таких устройств для измерения гравитационных свойств антиатомов.

Благодарности Автор выражает признательность О.Д. Далькарову за ценные замечания и неоценимую помощь при подготовке диссертации, В.В. Несвижевскому за многочисленные плодотворные обсуждения.

1. G. Gabrielse et al, Phys. Rev. Lett. 65 (1990) 1317

2. G. Baur, Phys. Lett. B 31 I ( 1993) 343

3. H. Poth et al., Hyper fine Interactions 44 (1988) 259

4. Baur, G. et al (1996). Phys. Lett. B 368, p. 251

5. G. Budker and A.N. Skrinsky, Sov. Phys. Usp. 21 ( 1978) 227;

6. H. Amoretti et al. Nature (London), 419:456, 2002.

7. G. Gabrielse et al. Phys. Rev. Lett., 89:213401, 2002.

8. The ALPHA Collaboration and A. E. Charman. Description and first application of a new technique to measure the gravitational mass of antihydrogen. Nature Communications, 4:1785, April 2013.

9. Parthey, C. G., Matveev, A., Alnis, J., Bernhardt, B., Beyer, A., Holzwarth, R., Maistrou, A., Pohl, R., Predehl, K., Udem, Th., Wilken, T., Kolachevsky, N., Abgrall, M., Rovera, D., Salomon, C., Laurent, P. and Hansch, T. W. Improved Measurement of the Hydrogen 1S-2S Transition Frequency. Phys. Rev. Lett., 107:203001, 2011.

10. P. Perez and Y. Sacquin. The GBAR experiment: gravitational behaviour of antihydrogen at rest. Classical and Quantum Gravity, 29(18), September 2012.

11. D. P. van der Werf. The GBAR experiment. International Lournal of Modern Physics: Conference Series, 30:1460263, January 2014.

12. A. Kellerbauer, M. Amoretti, A.S. Belov, G. Bonomi, I. Boscolo, R.S. Brusa, M. Biichner, V.M. Byakov, L. Cabaret, C. Canali, C. Carraro,

F. Castelli, S. Cialdi, M. de Combarieu, D. Comparat, G. Consolati, N. Djourelov, M. Doser, G. Drobychev, A. Dupasquier, G. Ferrari, P. Forget, L. Formaro, A. Gervasini, M.G. Giammarchi, S.N. Gninenko,

G. Gribakin, S.D. Hogan, M. Jacquey, V. Lagomarsino, G. Manuzio,

S. Mariazzi, V.A. Matveev, J.O. Meier, F. Merkt, P. Nedelec, M.K. Oberthaler, P. Pari, M. Prevedelli, F. Quasso, A. Rotondi, D. Sillou, S.V. Stepanov, H.H. Stroke, G. Testera, G.M. Tino, G. Trenec, A. Vairo, J. Vigue, H. Walters, U. Warring, S. Zavatarelli, and D.S. Zvezhinskij. Proposed antimatter gravity measurement with an antihydrogen beam. Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section B: Beam Interactions with Materials and Atoms, 266(3):351 356, February 2008.

13. AEGIS Collaboration and Marco G. Giammarchi. AEGIS at CERN: Measuring Antihydrogen Fall. Few-Body Systems, 54(5-6):779—782, May 2012.

14. C.J. Batty (Rutherford) ExoticAtoms: A Review Sov.J.Part.Nucl 13 (1982) 71

15. B.Kerbikov Pisma Zh.Eksp.Teor.Fiz. 37, 118 (1983); JETP Lett.(USSR) 37, 146 (1983)

16. E.Fermi, E.Teller. The capture of negative mesotrons in matter Phys.Rev. 72, p.399, 1947.

17. A.S. Wightman. Phys. 77 (1950) 521.

18. D. L. Morgan, Jr. and V. W. Hughes. Phys. Rev. D 2, 1389,(1970).

19. J.S. Briggs, P.T. Greenland and E.A. Solovev The capture of slow antiprotons in helium, neon and argon Hyperfine Interactions 119 (1999) 235.

20. W. Kolos, D.L. Morgan, D.M. Schrader, and L. Wolniewicz. Phys. Rev. A, 11:1792, 1975.

21. E.A. Soloviev Nonadiabatic transitions in atomic collisions UFN 157 (3), 437 (1989).

22. E.L. Surkov G.V. Shlyapnikov, J.T.M. Walraven. Hyperfine Interactions, 76:31, 1993.

23. P.A. Sinha and A.S. Ghosh. Europhys. Lett., 49:558, 2000.

24. P.K. Siiilia. P. Chaudhuri, and A.S. Ghosh. J. Phys. D. 67:052509, 2003.

25. A. Voronin and J. Carbonell. Hyperfine Interactions, 115:143, 1998.

26. E. Armour and C.W. Chamberlain. Few-Body Systems, 31:101, 2002.

27. P. Froelich. Quantum Chemistry of Antimatter. Adv. Qunt. Chem., 41:185, 2002 and the references therein.

28. S. Jonsell, A. Saenz, P. Froelich, A. Dalgarno, and B. Zygelman. Phys. Rev. A, 64:052712, 2001.

29. A. Voronin and J. Carbonell. Phys. Rev. A, 57:4335, 1998.

30. A. Voronin and J. Carbonell. Nucl. Phys. A, 689:529, 2001.

31. A. Voronin and J. Carbonell. Nucl. Instr. and Methods B} 214:139, 2004.

32. E.A.G. Armour, C.W. Chamberlain, Y. Liu, and G.D.R. Martin. Nucl. Instr. Meth. B. 221:1, 2004.

33. K. Strasburger. J. Phys. B:, 37:4483, 2004.

34. P. Froelich. Adv. Qunt. Chem.} 41:185, 2002.

35. P. Froelich, B. Zygelman, A. Saenz, S. Jonsell, S. Eriksson, and

A. Dalgarno. Few-Body Systems, 34:63, 2004.

36. S. Jonsell, A. Saenz, P. Froelich, B. Zygelman, and A. Dalgarno. J. Phys.

B, 37:1195, 2004.

37. B. Zygelman, A. Saenz, P. Froelich, and S. Jonsell. Phys. Rev. A, 69:042715, 2004.

38. A. Voronin and J. Carbonell. Nucl. Phys. A, 689:529, 2001.

39. Y Liu E A G Armour and A Vigier. J.Phys. B: At. Mol. Opt. Phys., 38, 2005.

40. K. Strasburger. J. Phys. B. 35, 2002.

41. B.Kerbikov, A.Stavinsky, V.Fedotov

Model-independent view on the low-mass proton-antiproton enhancement. Phys. Rev. C 69, 055205 (2004)

42. Rubtsova O.A., Kukiilin V.l., Pomerantsev V.N. Wave-packet continuum discretization for quantum scattering Annals of Physics, v.360, p. 613

43. Y. Kino, M. Kamimura Non-adiabatic calculation ofmuonic atom-nucleus collisions. Hyperfine Interactions 82 (1993) 4544. J.E. Lennard-Jones. Trans. Faraday Soc.} 28:333, 1932.

45. H. Friedrich, G. Jacoby, and G.G. Meister. Phys. Rev. A, 65:032902, 2002.

46. H.B. Casimir and D.Polder. Phys. Rev., 73:360, 1948.

47. I.E.Dzyaloshinskii, E.M. Lifshitz, and L.P. Pitaevskii. Adv. Phys., 10:165, 1960.

48. J.F. Babb, G.L. Klimchitskaya, and V.M. Mostepanenko. Phys. Rev. A, 70:042901, 2004.

49. A. Lambrecht, P. A. Maia Neto, and S. Reynaud New J. Phys. 8, 243 (2006)

50. T. Emig, N. Graham, R. L. Ja He. and M. Kardar Phys. Rev. Lett. 99, 170403 (2007)

51. G. Dufour, A. Gerardin, R. Guerout, A. Lambrecht, V. V. Nesvizhevsky, S. Reynaud, and A. Yu. Voronin Phys. Rev. A 87, 012901 (2013)

52. G. Dufour, R. GuYroul. A. Lambrecht, V. V. Nesvizhevsky, S. Reynaud, and A. Yu. Voronin. Phys. Rev. A, 87:022506, 20013.

53. A.Yu. Voronin, P.Froelich, and V.V. Nesvizhevsky. Phys. Rev. A, 83:032903, 2011.

54. A. Lambrecht, I. Pirozhenko, L. Duraffourg, and P. Andreucci Europhys. Lett. 77, 44006 (2007).

55. R. Messina, D. A. R. Dalvit, P. A. Maia Neto, A. Lambrecht, and S. Reynaud. Phys. Rev. A 80, 022119 (2009).

56. C. Koughia, S. Kasap, and P. Capper Springer Handbook of Electronic and Photonic Materials, Springer Handbook Series (Springer, Berlin, 2006).

57. V.V Nesvizhevsky, H Bonier. A.M Gagarski, G.A Petrov, A.K Petukhov, H Abele, S BaBler, T Stoferle, and S.M Soloviev. Search for quantum states of the neutron in a gravitational field: gravitational levels. Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment, 440(3):754-759, February 2000.

58. V.V. Nesvizhevsky H.G. Boerner A.K. Petoukhov H. Abele S. BaeBler F.J. RueB Th. Stoeferle A. Westphal A.M. Gagarski G.A. Petrov and A.V. Strelkov. Nature, 415:297, 2002.

59. V.V. Nesvizhevsky et al. Phys.Rev.D, 67:102002, 2003.

60. V. V. Nesvizhevsky, A. K. Petukhov, H. G. Borner, T. A. Baranova, A. M. Gagarski, G. A. Petrov, K. V. Protasov, A. Y. Voronin, S. Baessler, H. Abele, A. Westphal, and L. Lucovac. Study of the neutron quantum states in the gravity field. European Physical Journal C} 40(4):479-491, April 2005. W()S:000231122900004.

B

K. V. Protasov, and A. Westphal. Quantum motion of a neutron in a waveguide in the gravitational field. Physical Review D, 73(4):044029, February 2006.

62. A.Yu. Voronin et al. Phys. Rev. D. 73:044029, 2006.

63. Tobias Jenkea, David Stadlerb, Hartmut Abelea, Peter Geltenbort. Q-BOUNCEExperiments with quantum bouncing ultracold neutrons. NIM A, 611, 318 (2009).

64. S. Baessler, V.V. Nesvizhevsky, G.Pignol, K.V. Protasov, and A.Yu. Voronin. Nucl. Instr. Meth. A, 611:149, 2009.

65. Valery V. Nesvizhevsky, Alexei Yu. Voronin, Robert Cubitt, Konstantin V. Protasov Neutron whispering gallery Nature Physics 6, 114 ~ (2010)

66. G.N. Watson. A treatise on the theory of Bessel functions. Cambridge University Press, 1922.

67. B. Zygelman, A. Saenz, P. Froelich, and S. Jonsell. Phys. Rev. A, 69:042715, 2004.

68. P. Froelich, S. Jonsell, A. Saenz, B. Zygelman, and A. Dalgarno. Phys. Rev. Lett., 84:4577, 2000.

69. A. Yu. Voronin and P. Froelich. Phys. Rev. A, 77:022505, 2008.

70. M. Abramowitz and I.E. Stegun. Handbook of mathematical Functions. Dover Publ., New York, 1965.

71. V.V. Flambaum G.F.Gribakin. Phys. Rev. A, 48:546, 1993.

72. Bo Gao. J.Phys. B: At. Mol. Opt. Phys., 37:4273, 2004.

73. G. Gabrielse et al. Phys. Rev. Lett., 89:233401, 2002.

74. T.L. Trueman. Nucl. Phys., 26:57, 1961.

75. J. Carbonell, J.-M. Richard, and S. Wycech. Z. Phys. A -Hadrons and Nuclei, 343:325, 1998.

76. M. Kohno and W. Weise. Nucl. Phys. A, 454:429, 1986.

77. I.A. Yu, J.M. Doyle, J.G. Sandberg, G.L. Cesar, D. Kleppner, and T.J. Greytak. Phys. Rev. Lett., 71:1589, 1993.

78. V.B. Berestetskii and L.P. Pitaevskii and E.M. Lifshitz. Quantum Electrodynamics: Landau and Lifshitz Course of Theoretical Physics v 4-Butterworth-Heinemann, 1982.

79. H.T.C. Stoof, J.M.V.A. Koelman, and B.J. Verhaar. Phys. Rev. B, 38:4688, 1988.

80. B. Zygelman, A. Dalgarno, M. J. Jamieson, and P. C. Stancil. Phys. Rev. A, 67:042715, 2003.

81. Yu.N. Demkov and V.N. Ostrovskii. Zero-Range Potentials and Their Applications in Atomic Physics.

82. R.G. Newton. Scattering Theory of Waves and Particles. Springer-Verlag, New York, 1982.

83. O.D. Dalkarov and K.V. Protasov. Phys. Lett., page 117, 1992.

84. M. Marinescu and L. You. Phys. Rev. Lett., 81:4596, 1998.

85. E. Tiesinga, B.J. Verhaar, and H.T.C. Stoof. Phys. Rev. A, 47:4114, 1993

86. Rabi, I. I., Millman, S.. Kisch, P., and Zacharias, J. R. The molecular beam resonance method for measuring nuclear magnetic-Moments. The magnetic moments of Li-3(6), Li-3(7) and F-9(19) Phys. Rev. 55, p. 0526,(1939).

87. F. Shimizo. Phys. Rev. Lett., 86:987, 2001.

88. J.H. Shirley, Phys. Rev. 138, 979 (1965).

89. G. Dufour, P. Debu, A. Lambrecht, V. V. Nesvizhevsky, S. Reynaud, and A. Yu Voronin. Shaping the distribution of vertical velocities of antihydrogen in GBAR. European Physical Journal C, 74(1):2731, January 2014.

90. T. A. Pasquini, Y. Shin, C. Sanner, M. Saba, A. Schirotzek, D. E. Pritchard, and W. Ketterle. Phys.Rev.Lett, 93:160406, 2004.

91. M. Bordag, U. Mohideen, and V.M. Mostepanenko. Phys. Rep., 353:1, 2001.

92. A. Landragin et al. Phys. Rev. Lett., 77:1464, 1996.

93. C.I. Sukenik et al. Phys. Rev. Lett., 70:560, 1993.

94. A.Shih and V.A. Parsegian. Phys. Rev. A, 12:835, 1975.

95. H. Friedrich and J. Trost. Physics Reports, 397:359, 2004.

96. A. Jurisch and h. Friedrich. Phys. Rev. A, 70:032711, 2004.

97. H. Friedrich and A. Jurisch. Phys. Rev. Letters, 92:103202.

98. M.Marinescu, A. Dalgarno, and J.F. Babb. Phys. Rev. A, 55:1530, 1997.

99. A. Yu. Voronin. Phys. Rev. A, 67:062706, 2003.

100. V. V. Babikov. The method of phase functions in quantum mechanics. Moscow: Nauka (in Russian), 1967.

101. F. Calogero. Phase Approach to Potential Scattering. New-York: Academic, 1967.

102. S. K. Savvinykh V. L. Prokovskii and F. K. Ulinich. Sov.Phys. JETP, 34:879, 1958.

103. S. K. Savvinykh V. L. Prokovskii and F. K. Ulinich. Sov.Phys. JETP 34, 34:1119, 1958.

104. T. Berggren. Nucl. Phys., page 265, 1968.

105. M. Abramowitz and I.A. Stegun (eds.). Handbook of Mathematical Functions, 10th edition. Dover Publications, New York, 1972.

106. V.V. Nesvizhevsky et al. Nature, 415:297, 2002.

107. A.Yu. Voronin, P. Froelich, and B. Zygelman. Phys. Rev. A, 72:062903, 2005.

108. P.A. Macri and R.O. Barrachina. Phys. Rev. A, 65:062718, 2002.

109. V. V. Nesvizhevsky, G. Pignol, and K. V. Protasov. Phys. Rev. D. 77:034020, 2008.

110. R.W. Robinett. Phys. Rep., 392:1, 2004.

111. M.Kreuz et.al. Nucl.Instr.Meth A, 611:326, 2009.

112. A. Voronin et al. Phys.Rev. D. 73:044029, 2006.

113. V.V. Nesvizhevsky et al. Eur. Phys. J C. 40:479, 2005.

114. C.L. Cesar et al. AIP Conf. Proc.. 770:33, 2005.

115. G. Gabrielse et al. CERN-SPSC-2010-006 / SPSC-SR-057.

116. R. Adhari et al. Phys. Rev. A, 75:063613, 2007.

117. A.Westphal et al. Europ.Phys. J. C, 51:367, 2007.

118. V.V. Nesvizhevsky. Physics-Uspekhi, 53:645, 2010.

119. V.V. Nesvizhevsky, A.Yu. Voronin, R. Cubitt, and K.V. Protasov. Nature Physics, 6:114, 2010.

120. R. Cubitt V.V.Nesvizhevsky K.V.Protasov and A.Yu. Voronin. New J. Phys., 12:113050, 2010.

121. J.W. Strutt Baron Rayleigh. The Theory of Sound, v.2. Macmillan, London, 1878.

122. G. Mie. Ann. Physik, 25:371, 1908.

123. P. Debye. Ann. Physik, 30:57, 1909.

124. A.N. Oraevsky. Quant. Electron., 32:377, 2002.

125. K.J. Vahala. Nature, 424:839, 2003.

126. D. Meschede, H.Walther, and G. Müller. Phys. Rev. Lett., 54:551, 1985.

127. H. Wallis, J.Dalibard, and C. Cohen-Tannoudji. Appl. Phys.B, 54:407, 1992.

128. G.G. Aminoff et.al. Phys. Rev. Lett., 71:3083, 1993.

129. H. Mabichi and H.J. Kimble. Optics Letters, 19:749, 1994.

130. D. W. Vernooy and H.J. Kimble. Phys. Rev. A, 55:1239, 1997.

131. R.P. Bertram et.al. Phys. Rev. A, 63:053405, 2001.

132. M.P. Klembovsky, M.L. Gorodetsky, and Th. Becker. Phys. Lett. A, 372:5246, 2008.

133. D. J. Alton, N. P. Stern, Takao Aoki, E. Ostby H. Lee, K. J. Vahala, and H. J. Kimble. Nature Physics, 7:159, 2011.

134. V.V. Nesvizhevsky, A.K.Petukhov, K.V.Protasov, and A.Yu.Voronin. Phys.Rev.A, 78:033616, 2008.

135. R. Cubitt et.al. Nucl.Instr. Meth. A, 611:322, 2009.

136. V.V.Nesvizhevsky and A.Yu. Voronin. Comptes Rendus Physique, 12:791, 2011.

137. V.V. Nesvizhevsky, A.Yu. Voronin, R.Cubitt, and K.V. Protasov. J. Phys. Conf. Ser, 340:012020, 2012.

138. A.Yu. Voronin and P. Froelich. J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys., 38:L 301, 2005.

139. Antoine Gerardin, Romain Guerout, Astrid Lambrecht, Serge Reynaud, V.V. Nesvizhevsky, and A.Yu. Voronin. for Gbar Collaboration project, unpublished.

140. V.V. Nesvizhevsky, R. Cubitt, K.V. Protasov, and A.Yu. Voronin. New J. Phys., 12:113050, 2010.

141. H.M. Nussenzweig. Diffraction Effects in Semiclassical Scattering. Cambridge University Press, 1992.

142. L.D. Landau and E.M. Lifshitz. Quantum Mechanics. Nonrelativistic Theory. Pergamon, London, 1965.

143. De Alfaro V. and Regge T. Potential scattering. North-Holland, 1965.

144. H. M. Nussenzweig. Causality and Dispersion Relations. Academic New York, 1972.

145. Yves Decanini Antoine Folacci. Phys. Rev.A, 67:042704, 2003.

146. M. Abramowitz and I.E. Stegun. Handbook of mathematical Functions. Dover Publ., New York, 1965.

147. E. Hiyama, Y. Kino, and M. Kamimura. Prog. Part. Nucl. Phys., 51:223, 2003.

148. V.A. Karmanov, K.V. Protasov, and A. Yu. Voronin. Eur. Phys. J., 8:A 429, 2000.

149. G.B. Andresen et.al. Nature, 468:673, 2010.

150. Alpha Collaboration and A. E. Charman. Nature Communications, 4:1785, 2013.

151. P. Perez et al. Proposal to measure the gravitational behaviour of antihydrogen at rest gbar. 2011. http:// cdsweb. cern. ch/record/1386684/files/SPS C-P-342.pdf.

152. G. Gabrielse et al CERN-SPSC-2010-006 / SPSC-SR-057.

А.1. Построение базиса

Рассмотрим построение базиса ДЛЯ ДИЭ;ГОНЭ;ЛИЗЭ)Тщи Гамильтониана 4 тел в области перестройки [147]) с использованием гауссовых функций.

Волновая функция 4 тел с заданным значением полно го момента 3 и его проекции М представлена в виде суммы членов, описывающих различные асимптотические каналы с = 1,2 в соответствующих координатах Якоби:

J = Е ACJ (Гс, Rc, Pc) (A.l)

с,а

здесь а набор канальных квантовых чисел n, l Мы ограничимся рассмотрением случая полного момента J = 0, поэтому:

h+h l l фас(гс, Rc,Pc)= Е ЕЕ (hmi,l2m2\Xß)(Xß,lm\00) М МФ^2 Ы^ (rt

x=\l1-l2\Mmmim2

(А.2)

здесь (lim\,l2m2\Xß)(Xß,lm\00) - коэффициент Клебша-Гордана. Функция (rci) раскладывается по Гауссовым функциям:

gnlm(г; v) = Ni(v)rle-vr2Ylm(r), (A.3)

здесь v - комплексный параметр, а нормировочная констанота N дается выраженим :

vn

1 (r . \ 2(n-1)/(nm-1)

±11 m.i.n. \

Re v =

/г . \ 2(n-1)/(nm-1) - ^ (А-5)

in \' max /

2

min max

П ( rmin \2(n-1)/(nm-1)

Im v =

(r . \ 2(n-1)/(nm-1)

- ^ (A.6)

in rmax

2

min max

ЗдеСЬ T'min у rmax

- свободные параметры, определяющие набор базисных Гауссовых функций, nmax- число базисных функций.

Коэффициенты разложения Ac,a находятся из уравнения на собственные значения•

H фjm = E фjm

Таблица А.1

Набор базисных функций

Channel Га rß г7 la Iß fY1 na fY1 nß fY1 nY

HH Гер Гере THH 0 0 0 8 8 120

HH Гее Грр YPnPs 1 1 0 8 8 120

Pn - Ps Гер Гере rHH 0 0 0 8 8 120

Таблица А.2

Параметры базисных функций.

Координата Угловой момент rmin a.U. rmax a.u. n^m max Ymjb a.u.

Гер j Гер 0 0.13 7.2 8 5.99

Гер? Гер 1 0.8 14.0 8 11.66

Гёе 0 0.35 20.0 8 16.65

Грр 0 0.00003 1.7 120 1.42

YPnPs 0 1.0000 6.6 8 5.49

В приведенной выше таблице введен дополнительный параметр ^Т/2Х'> имеющей смысл полуширины при половине максимума наиболее широкого из Гауссианов в наборе базисных функций.

А.2. Симметрии волновой функции

4

рядового сопряжения (С), а волновая функция- симметричной или антисимметричной.

Поскольку мы будем интересоваться лишь полным угловым моентом раным 0, нас будут интересовать симметричные волновые функции.

В канале Н-Н С-сопряжение приводит к инверсии координаты И, описывающей относительное положение центров масс атомов, а остальные координаты (г! и г2) меняются местами.

И Д -И , Г! Д Г2 , Г2 Д Г! ,

В соответствии с этим симметричный базис имеет вид:

(А.7)

^оЫ&ЫфкО^ ) ЙЫ^ЫфкО^ ) ЙЫ^оЫфкДК )

ФпоЫФтЛ^фк!^

Ф^О^Ф^ОЫ + ^оЫ^юЫ] фк0(И)

Ф^ЫФ^Ы + Ф^ЫФЙМ фко(И)

фп! (г!)ФшО(г2) - ФшО(г!)Фп!(г2) фк!(И) Фп0(г!)Фт! (г2) - фк!(И) ,

(А.8)

>

>

>

>

второй индекс здесь отвечает парному угловому моменту (0 или 1).

Четность нуклонной функции фкь связана с угловым моментом Ь:

фко(-И) = +фко(И); Фк!(-И) = -фк!(И) • (А.9)

С угловым моментом нуклонов поэтому связана симметрия или антисимметрия лептонных волновых функций (А.2).

В канале Рп-Рэ координата р не меняется при зарядовом сопряжении, сь двб другие координаты (г и К) инвертируются:

р Д р, г Д -г , И Д -И (А.10)

193

Четность позитрония и протония зависит от их угловых моментов, поэтому симметричный базис имеет вид:

^(г)ОК)Пто(р) , Фк! . (А.11)

Аналогично получаем антисимметричные базисные функции:

ФйМ&Ы - фко(Н)

Фп1 (г1)Фш1 (^2) - Ф^ЫФ^Ы] фкО(Н) ФН1(г1)ФЙо(Г2) + Фто(г1)Ф?1 Ы] фк1(Н) !ФЙ)(Г1)ФЙ1 (Г2) + Фт1(г1)Ф?оЫ] фк1(Н)

(А.12)

и в канале Рп Рк:

ФРо(г)Фрп(Н)Пт1(р) , ФР!(т)ФРк^(Н)1т1(р). (А.13)

А.З. Преобразования координат

В дальнейшем нам понадобится выражать волновую функцию в разЛИЧНЫХ якобиевских координатах. Переход между этими координатами за-формулами:

Г1 = 2 г - 2 И + р

Г 2 = -1Г + 2 И + р 1

Н = т_ г + т И ,

тн тн '

(А.14)

здесь тр и тн массы протона и водорода.

Преобразования базисных функций при переходе от одних координат к другим осуществляются согласно следующим формулам:

где

—ar\-l3R2-Yrl _ ^-ar2 -bR2 -cp2 -2frR-2gr p-2hRp

(А.15)

a _

4 а +

в + 17

b _ 4 а +

в + 17 c _ а + 7

2

1

m

p

H

f _ -4а + mpe - 17

g _ 2а - 2 7

h _ - 2 а + 17

(A.16)

Базисные функции в канале Рп-Рв могут быть записаны в аналогичной форме ( (А.15)), но с / = д = Н = 0. Используя выражения для гауссова интеграла

I -.ч^у _ лл 1/2 ехр / (АЛ7)

.V expl Iy

приходим к выражению

Sij(R) _ / ^drdp _ (acg)3/2 exp(-nR2), (A.18)

где

abc + 2fgh - ah2 - bg2 - cf2

n _-—-Ô—--— (A-19

ac - g2

и a _ a* + a j, b _ b* + bj,

фк _ e-akr2-bkR2-ckp2-2fkrR-2gkrp-2hkRp

Приведем также значения якобиана для перехода между различными якобиевскими системами координат:

drepdrepdrxH _ 8drepdr,PnP.sdrHH (A.20)

drepdrëpdrH h _ 8drëpdr pnp sdr h h (A.21)

( mH \3

dreedrppdrpnPs _ ( m ) drëëdrpnPsdrRH (A.22)

Таблица А.З

Вклад различных конфигураций в первые три 4-тельные собственные функции, отвечающие дискретизированному континууму , с энергиями е = Е - 2Еи, П т, и к числа базисных функций, Вптк - коэффициент разложения.

£-1 = 0.000005645066!7! £2 = 0.0000!9842055!7 = 0.000040095026!7

п т к сЬаппе1 Вптк п т к сЬаппе1 Вптк п т к сЬаппе1 Вптк

1 1 30 НН -0.96487 1 1 31 НН -0.91271 1 1 32 НН -0.86830

1 1 29 нн 0.23669 1 1 29 НН -0.32924 1 1 29 НН -0.34442

1 1 31 НН 0.09645 1 1 30 НН -0.18195 1 1 31 НН 0.28920

1 1 32 нн 0.04591 1 1 32 НН -0.13361 1 1 33 НН -0.15192

1 1 33 НН 0.02742 1 1 33 НН -0.06492 1 1 30 НН -0.10414

1 1 34 НН -0.01764 1 1 34 НН 0.03844 1 1 34 НН 0.07299

1 1 28 нн 0.01696 1 1 28 НН -0.02969 1 1 35 НН -0.04277

1 1 35 НН -0.02477 1 1 35 НН -0.02477 1 1 28 н^ -0.04036

1 1 36 НН 0.01604 1 1 36 н^ 0.01604 1 1 36 н^ 0.02622

1 1 37 НН 0.01029 1 1 37 н^ 0.01029 1 1 37 н^ 0.01628

А.4. Вклад различных конфигураций в базисные функции

Собственные функции полного гамильтониана, полученные в результате диагонализации, содержат вклад различных конфигураций. Конфигурации, связанные с упругим каналом имеют вид:

Ф(гь Г2, И) = 1в(г!)1в(г2)х(Й) , (А.23)

где х(И) линейная комбинация базисных функций фк(И)-

А.5. Уравнения для амплитуд рассеяния

Проведем преобразования системы (1.62) для получения удобных для численных вычислений уравнений. Прежде всего спроецируем указанную

систему на канальные состояния, положив при этом R0 = р0 = те'-

£ < KH ) ^> > < ^|,-(R.) >= 0 (А.24)

a Ea — E URhh

Е < Ф„\(Н — Е)\ф0(8,Т) > < ^ I и> =0

а Еа — Е йр

(А.26)

Здесь Ф^(ер, гёр,тв)- лептонная волновая функция при фиксированном межнуклонном расстоянии гв7 /в(гРр)- волновая функция Протония с набором квантовых чисел в, ф^(ге§)- волновая функция позитрония с набором квантовых чисел 7.

Действие выражения Н — Е на функцию-анзац Ф0 сводится к невязке этой функции и точного решения. Нас будет интересовать только области межнуклонных расстояний Я < г в- Действие гамильтониана на функцию x(R)Фad(rep, гер, гв) легко определить, учитывая что

(Те + Тё — 1/гер — 1/Гёё + 1/гер + 1/Гёр — 1/Геё) Фad = Vad(гв)Фad

(Я Е E) Ф0 = (ТНЙ + Д V) x(R>&ad(rep, Гёр, Гв> +

+Wfn1 (Грр>фк,1' (ree)gnkll' (rpnPs> (А.27)

Здесь ДУ = V(Гер, Гер, Rhh> — Vad(Гв> V = 1/Тре + 1/тер — 1/теё, W = 1/Тре + 1/Тер — 1/Тре — 1/тре.

Для вычисления амплитуды упругого рассеяния S и амплитуд переходов Tn,kii в каналы с главным квантовым числом Протония 21 < n < 24, главным квантовым числом позитрония 1 < k < 2 и канальными угловыми моментами l,l' = 0,1, дающих основной вклад, получим систему 17 связанных уравнений для 17 неизвестных.