Исследование влияния неоднородностей на ферромагнитный и спин-волновой резонансы методом когерентного потенциала тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Фельк, Владимир Александрович

• Фельк, Владимир Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Фельк, Владимир Александрович

Введение

Глава 1 Учет влияния неоднородностей на спектр и затухание спиновых волн. Методы и результаты.

1.1 Законы дисперсии и затухания спиновых волн.

1.2 Учет влияния многократного рассеяния волн на неоднородно-стях. Приближение когерентного потенциала.

Глава 2 Обменное сужение линий ферромагнитного и спин-волнового резонансов в ферромагнетиках с неоднородной анизотропией.

2.1 Введение.

2.2 Модель и метод.

2.3 Анализ решений уравнений CPA.

2.4 Форма и ширина резонансной линии.

2.5 Сравнение используемого самосогласованного метода со стандартным методом CPA.

2.6 Выводы.

Глава 3 Развитие метода когерентного потенциала для коррелированных длинноволновых неоднородностей нелокальных параметров гамильтониана. Расчет влияния неоднородностей обмена на волновой спектр.

3.1 Введение.

3.2 Модели и метод.

3.3 Вывод уравнения CPA.

3.4 Спиновые волны в среде с 1Б неоднородностями константы обмена

3.5 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование влияния неоднородностей на ферромагнитный и спин-волновой резонансы методом когерентного потенциала»

Аморфные и нанокристаллические магнитные сплавы обладают рядом преимуществ (низкой коэрцитивной силой, высокой восприимчивостью, узкой линией магнитного резонанса и т. д.) перед поликристаллическими средами наряду с простой технологией их получения по сравнению с монокристаллами. Это открывает широкий спектр возможностей для использования их при разработке целого ряда устройств магнитной записи информации и высокочастотной техники.

С точки зрения теории аморфные и нанокристаллические магнитные сплавы характеризуются двумя основными свойствами: а) неоднородностью всех параметров спинового гамильтониана (параметров обмена, магнитной анизотропии и т.д.) и б) протяженными корреляциями этих неоднородностей, корреляционный радиус которых может меняться в широких пределах (десятки и сотни межатомных расстояний). Наличие длинных корреляционных радиусов делает невозможным использование хорошо развитых теоретических методов, учитывающих влияние некоррелированных (6 - коррелированных) неоднородностей для расчета ряда эффектов в этих материалах.

Влияние неоднородностей с произвольными радиусами корреляций на спектр и затухание спиновых волн в модели сплошной среды было учтено в работах В. А. Игнатченко и Р. С. Исхакова [1,2] в первом неисчезающем приближении теории возмущений. Затем, в этом же приближении влияние коррелированных неоднородностей на спектр спиновых волн было учтено в решеточной модели ферромагнетика [8,9]. Главный результат теории [1,2] заключается в том, что в окрестности корреляционного волнового числа кс = г"1, где гс - радиус корреляции неоднородностей, должна наблюдаться модификация законов дисперсии и'(к) и затухания ш"(к) и эта модификация имеет различную форму для неоднородностей разных физических параметров. На основе этой теории был развит экспериментальный метод корреляционной спин-волновой спектроскопии, с помощью которого были измерены корреляционные радиусы неоднородностей для многих аморфных и нанокристаллических сплавов [25]. При этом было установлено, что между теоретически предсказанной и экспериментально наблюдаемой модификацией закона дисперсии си'(к) наблюдается хорошее согласие. Однако, между теоретически предсказанной модификацией закона затухания со"(к) и экспериментально наблюдаемой шириной линии спин-волнового резонанса АН(к) имеется резкое расхождение. Это расхождение обусловлено тем, что в ширину резонансной линии в неоднородных средах вносят вклад как процессы релаксации магнитного момента, так и стохастический разброс резонансных частот, и во многих случаях последний механизм является преобладающим. Корректный учет влияния обоих этих механизмов может быть проведен только в рамках теории, учитывающей многократные процессы рассеяния волн на неоднородностях. Построение теории ширины линии магнитных резонансов, обусловленной неоднородностями, является актуальной задачей, так как ширины резонансных линий являются основными эксплуатационными характеристиками магнитных материалов при их использовании в технике высоких частот. Наиболее адекватным для такой теории является аппарат усредненных функций Грина, в рамках которого каким-либо приближенным методом проводится частичное суммирование диаграмм всех порядков по параметру среднеквадратичной флуктуации неоднородности. Наиболее хорошо обоснованным и широко используемым методом такого приближенного суммирования является приближение когерентного потенциала (CPA). Однако метод CPA в своей классической форме применим только к некоррелированным неоднородностям параметров диагональных (локальных) членов гамильтониана, таких как магнитная анизотропия для спиновых волн или плотность вещества для упругих волн. Различные обобщения этого метода [28,29] на случай коррелированных неоднородностей локальных членов гамильтониана и на случай неоднородностей параметров недиагональных (нелокальных) членов (таких как параметр обмена для спиновых волн и силовые константы для упругих волн) не являются достаточно хорошо обоснованными и не рассматриваются в настоящее время как вполне удовлетворительные [32,33].

В связи с этим в диссертации поставлены следующие задачи: а) обобщение и обоснование метода CPA для случая длинноволновых коррелированных неоднородностей параметров как локальных, так и нелокальных членов гамильтониана и б) применение полученных обобщений метода CPA к построению теории ширины линии ферромагнитного и спин-волновых резонансов в ферромагнетике с неоднородностями параметров магнитной анизотропии и обмена, обладающими произвольными радиусами корреляций.

Диссертация состоит их введения, трех глав и заключения.

В Главе 1 приводится обзор теоретических работ, посвященных влиянию неоднородностей спинового гамильтониана, обладающих конечным радиусом корреляции, на законы дисперсии и затухания спиновых волн. Проводится сравнение полученных в этих работах результатов с результатами экспериментальных исследований спин-волновых резонансов в аморфных и нанокристал-лических сплавах. Обсуждается возможность учета процессов многократного рассеяния волн на неоднородностях в рамках метода CPA.

В Главе 2 развивается теория ширины линии ферромагнитного и спин-волнового резонансов в ферромагнетике с коррелированными неоднородностями магнитной анизотропии. Проводится последовательный вывод одного из вариантов метода CPA для случая коррелированных неоднородностей локальных параметров гамильтониана. Ширины резонансных линий рассчитываются этим методом для всего диапазона изменения радиуса корреляции неоднородностей анизотропии и сопоставляются с результатами экспериментов.

В Главе 3 проводится обобщение аппарата функций Грина на случай систем с длинноволновыми неоднородностями нелокальных параметров гамильтониана. Выводится аналог уравнения Дайсона для такой ситуации, что позволяет обобщить один из вариантов метода CPA на этот случай. На основе выведенного уравнения обобщенного CPA проводится расчет резонансных характеристик ферромагнетика с одномерными неоднородностями параметра обмена.

На защиту выносится:

1. Исследование влияния одно- и трехмерных неоднородностей магнитной анизотропии на ферромагнитный и спин-волновой резонанс в рамках приближенного варианта метода когерентного потенциала, учитывающего корреляции неоднородностей. Обоснование этого варианта метода когерентного потенциала.

2. Развитие метода когерентного потенциала для случая длинноволновых неоднородностей нелокальных параметров гамильтониана: константы обмена и упругой силовой константы.

3. Приложение полученного в диссертации обобщенного уравнения CPA к исследованию влияния одномерных неоднородностей параметра обмена на волновой спектр ферромагнетика.

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Фельк, Владимир Александрович

3.5 Выводы.

1. Развивается формализм функции Грина и выводится интегральное уравнение CPA для случая длинноволновых неоднородностей нелокальных характеристик сплошной среды, таких как константа обмена в ферромагнетике или силовая константа в упругой среде. Для выделения принципиальных сторон этой проблемы мы рассматриваем простейшие модели спиновых и упругих волн для которых волновые уравнения имеют идентичную форму, отличаясь только переобозначением параметров. Поэтому уравнение для функции Грина С(х, Хо) имеет один и тот же вид для обеих рассматриваемых ситуаций. Отметим принципиальные отличительные особенности этого уравнения и последующих выражений для усредненной функции Грина С(х, Хо) от соответствующих выражений, описывающих неоднородности локальных характеристик.

2. Уравнение для функции Грина С(х, х0), вместо члена с произведением случайной функции р и функции Грина С, содержит два члена с производными этих функций: p{d2G/dxf) и (дp/dxi)(dG/dxi). Представление усредненной функции Грина G в виде ряда по корреляторам, вместо произведений исходных функций Грина Со, содержит произведения их производных, которые суммируются по дважды повторяющемуся индексу. Аналог уравнения Дайсона содержит производные функций Со и С и матрицу массовых операторов Qiiju(pd, х"). В работе вводятся диаграммные обозначения, которые позволяют представить разложение функции G, компоненты массового оператора Qi'ji и аналога уравнения Дайсона в графической форме.

3. Методом, предложенным нами в Главе 1, выводится самосогласованное интегральное уравнение CPA для случая нелокальных характеристик среды. Это уравнение учитывает как диагональный, так и недиагональный беспорядок, так как полный скалярный потенциал взаимодействия Тк представляет собой сумму всех компонент матрицы к1'У Qvy. Таким образом, для нахождения Тк и соответственно усредненной функции Грина методом CPA знание компонент матрицы Qvji не требуется.

4. В параграфе 3 настоящей главы мы прилагаем общее уравнение, полученное в параграфе 2, к исследованию влияния ID неоднородностей параметра обмена на спектр спиновых волн в ферромагнетике. При численном решении уравнения CPA методом последовательных приближений для нахождения первого приближения мы использовали два метода: стандартный метод, когда мы полагаем Т^ = 0 и метод алгебраических уравнений, предложенный в Главе 1. Метод алгебраических уравнений обладает очень быстрой сходимостью. Однако при его использовании в некоторых областях параметров возникают трудности со сшивкой корней алгебраического уравнения. В этих случаях использовался стандартный метод нахождения первого приближения, который приводит к более медленной сходимости итерационного процесса.

5. На расчитанных кривых зависимости резонансной частоты vm мнимой части функции функции Грина G'j.(v) от к2 имеются изгибы при (к/кс)2 = 0.25 и 2.7. Положение первого изгиба совпадает с точкой изгиба на зависимости собственной частоты v' от /г2, который был впервые найден в работе [1] в рамках теории возмущений и описывается формулой (123). Следует отметить, что с того времени, когда этот эффект был найден, он играет важную роль в экспериментальном исследовании аморфных и нанокристаллических магнитных сплавов. Дело в том, что, как было показано в работе [1], на кривой и'(к2) в окрестности точки (к/кс)2 = 0.25 должна наблюдаться особенность при неод-нородностях любых параметров ферромагнетика: обмена, анизотропии, намагниченности и т. д. Форма этой особенности зависит от физической природы и размерности неоднородностей. Так, Ю неоднородности обмена должны приводить к изгибу дисперсионной кривой и'{к2) вверх, 31) неоднородности обмена приводят к изгибу дисперсионной кривой р'(к2) вниз, ЗИ неоднородности намагниченности - к перегибу этой кривой. Эти эффекты были впоследствии обнаружены экспериментально методом спин-волнового резонанса на тонких пленках аморфных сплавов. На основе сравнения теории с экспериментом [1] был развит метод корреляционной спин-волновой спектроскопии, позволивший установить физическую природу неоднородных параметров и измерить корреляционные радиусы их флуктуаций. Этим методом были измерены корреляционные радиусы целого ряда аморфных и нанокристаллических сплавов, исследованы их температурные и концентрационные зависимости (см. обзор [25] и ссылки в нем). Теоретические результаты полученные в работе [1] были неоднократно подтверждены в последующих теоретических статьях также в рамках теории возмущений [8,10]. Во всех этих работах на кривой и'{к2) обнаруживалась одна особенность в точке (к/кс)2 = 0.25. Вторая особенность в точке (к/кс)2 = 2.7 получена в диссертации впервые.

6. На рассчитанной зависимости ширины резонансной линии Ау от к2 также имеются два изгиба в окрестностях тех же точек (к/кс)2 = 0.25 и 2.7. Точка первого изгиба совпадает с аналогичной точкой на кривой у"(к2) рассчитанной ранее [1] в первом порядке теории возмущений (см. (124)); второй изгиб найден в диссертации впервые. Особый интерес представляет закон Ау ос к2, полученный в диссертации как в интервалах между точками изгибов, так и при к кс. Затухание у", расчитанное ранее [1] для неоднородностей параметра обмена или модуля намагниченности, описывается законом у" ос к3 для (к/кс)2 > 0.25 (штриховая кривая на Рис. 12Ь). Экспериментальные исследования ширины линии спин-волнового резонанса дали для зависимости Аи(к) закон Аи ос кр, где степень р « 1 для аморфных и р « 2 для нанокристаллических сплавов. Полученная в данной работе зависимость Аи ос к2 может объяснить экспериментальные результаты для нанокристаллических сплавов тем, что в ширине линии этих сплавов преобладает вклад не затухания, а стохастического распределения резонансных частот, который учитывается развитой здесь теорией. Экспериментальная зависимость Аи ос к для аморфных сплавов не может быть объяснена в рамках данной теории.

Следует подчеркнуть, что сравнение результатов этой главы с существующими экспериментальными данными может носить только качественный характер, так как экспериментально исследовались ЗИ неоднородности.

Заключение.

В работе исследованы магнитоупорядоченные системы с длинноволновыми неоднородностями как локальных (магнитная анизотропия), так и нелокальных (обмен и упругая константа) параметров среды.

Получены следующие основные результаты:

1. Развита теория обменного сужения линий ферромагнитного и спин-волнового резонансов в ферромагнетике со случайно-неоднородной магнитной анизотропией. Расчет проведен методом усредненных функций Грина в рамках варианта приближения когерентного потенциала (CPA), учитывающего корреляции неоднородностей. Предложено обоснование этого варианта CPA, обсуждены его достоинства и налагаемые им ограничения.

2. Эффект обменного сужения линий для одно- и трехмерных неоднородностей рассчитан во всей области изменения корреляционного волнового числа кс. Показано, что при кс = 0 рассчитанная ширина линии максимальна и совпадает с хорошо известным результатом Шлемана, а в противоположном пределе сильно взаимодействующих зерен (больших кс) соответствует закономерностям, полученным для этого предела из скейлинговых соображений. Сильное сужение ширин линий ФМР и спин-волновых резонансов с ростом кс является теоретическим обоснованием основного преимущества нанокристал-лических и аморфных материалов над поликристаллами с той же величиной локальной магнитной анизотропии при использовании их на высоких частотах.

3. Предложен метод численного решения интегрального уравнения CPA, при котором 1-е приближение получается в результате решения соответствующего алгебраического уравнения (4-ой степени для 3D неоднородностей и 5-ой степени для 1D неоднородностей). Метод обладает более быстрой сходимостью по сравнению со стандартным методом.

4. Развит формализм усредненных функций Грина в сплошной среде с неодно-родностями нелокальных параметров классического гамильтониана (константы обмена и упругих силовых констант). Выведен аналог уравнения Дайсо-на для таких ситуаций. От классического интегрального уравнения Дайсона это уравнение отличается тем, что оно является интегро-дифференциальным и содержит матричный массовый оператор, компонентами которого являются интегральные ряды, состоящие не из произведений функций Грина, а из произведений их вторых производных. На основе этого уравнения выведено интегральное уравнение CPA для нелокальных параметров гамильтониана. В отличие от стандартного уравнения CPA, выведенное уравнение учитывает в длинноволновом приближении взаимодействие с окружением, а также диагональный и недиагональный беспорядок в системе.

5. Выведенное уравнение CPA для нелокальных параметров среды использовано для расчета функции Грина и исследования влияния одномерных неоднородностей константы обмена на спектр спиновых волн в ферромагнетике. Показано что на кривых зависимостей частоты и ширины линии спин-волнового резонанса от квадрата волнового вектора должны наблюдаться два характерных излома, положения которых определяется корреляционным волновым числом неоднородностей. Один из этих изломов был найден ранее в рамках теории возмущений, второй обнаружен в диссертации впервые.

Материалы диссертации опубликованы в работах [58-61] и доложены на Евро-Азиатском симпозиуме "Magnetism on a Nanoscale'1 (Казань. 2007). Международном симпозиуме "Spin waves 2007" (Санкт Петербург. 2007). ЕвроАзиатском симпозиуме "Trends in magnetism" (Красноярск. 2004). Московском Международном симпозиуме по Магнетизму (Москва, 2002), Девятой Всероссийской научной конференции стз'дентов-физиков и молодых ученых (Красноярск, 2003).

В заключении автор выражает безмерную благодарность своему научи ному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Вальтеру Алексеевичу Игнатченко за помощь и понимание на про 1яжопии вегго процесса научной деятельности.

Автор благодарен сотрудникам лаборатории теоретической физики Института физики им. Л. В. Киренского СО РАН за ценные дискуссии на семинарах теоротдела.

Отдельные этапы работы выполнялись при поддержке РФФИ (гранчы N. 04-02-16174, 04-04-16174), фонда некоммерческих программ "Династия". ККФН (грант 12F0013C). Президента Российской Федерации (грант SS-6612.2006.3).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Фельк, Владимир Александрович, 2008 год

1. В. А. Игиатченко, Р. С. Исхаков. Спиновые волны в случайно-неоднородной анизотропной среде// ЖЭТФ. 1977. - Т. 72, No 3. - С. 1005-1017.

2. В. А. Игнатченко, Р. С. Исхаков. Спиновые волны в аморфных и мелкодисперсных ферромагнетиках с учетом диполь-дипольного взаимодействия// ЖЭТФ. 1978. - Т. 74, No 4. - С. 1386-1393.

3. В. А. Игнатченко, Р. С. Исхаков, J1. А. Чеканова, Н. С. Чистяков. Изучение дисперсионного закона для спиновых волн в аморфных пленках методом СВР// ЖЭТФ. 1978. - Т. 75, No 8. - С. 653-657.

4. В. А. Игнатченко, Р. С. Исхаков. Дисперсионное соотношение и спин-волновая спектроскопия аморфных ферромагнетиков// ЖЭТФ. 1978. -Т. 75, No 10. - С. 1438-1443.

5. В. А. Игнатченко, Р. С. Исхаков. Стохастическая магнитная структура и спиновые волны в аморфных ферромагнетиках// Изв. АН СССР. Сер. физ. 1980. - Т. 44, No 7. - С. 1434-1437.

6. S. F. Edwards, R. С. Jones. Green function theory of spin waves in randomly disordered magnetic systems. I. The ferromagnet //J- Phys. C: Solid Stat. Phys. 1971.- Vol. 4. - P. 2109 - 2126.

7. I. Ya. Korenblit, E. F. Shender. Spin waves in amorphous ferromagnets with random anisotropy axes //J. Phys. F: Metal Phys. 1979 - Vol. 9. - P. 2245.

8. M. В. Медведев. // ФТТ 1980.- Vol. 22. - P. 1944.

9. M. В. Медведев, M. В. Садовский. // ФТТ 1981.- Vol. 23. - P. 1943.

10. К. Handrich and R. Óttking. // Phys. stat. sol. (b) 1999.- Vol. 216. - P. 1073.

11. В. А. Игнатченко, Ю. И. Маньков, Ф. В. Рахманов. Плазменные волны в случайно-неоднородном металле // ЖЭТФ. 1981. - Т. 81, No 5(11). - С. 1771-1780.

12. В. А. Игнатченко, Ю. И. Маньков, Ф. В. Рахманов. Плазменные волны в неоднородном полупроводнике // ФТТ.-1982-Т. 24, No 8.-С. 2292-2295.

13. В. А. Игнатченко, Ю. И. Маньков, Ф. В. Рахманов. Электромагнитные волны в случайно-неоднородном металле // ЖЭТФ.-1984.-Т. 87, No 7-С. 228-233.

14. JI. И. Дейч, В. А. Игнатченко. Упругие волны в локально-изотропной аморфной среде // ФТТ.-1985.-Т. 27, No 6.-С. 1883-1885.

15. JI. И. Дейч, В. А. Игнатченко. Упругие и спиновые волны в неоднородно-деформированной среде // ФТТ.-1987.-Т. 29, No З.-С. 825-831.

16. Л. И. Дейч, Е. В. Марчук. Колебания сплошной двухкомпонентной неупорядоченной среды.-Красноярск, 1987.-10 с.-(Препринт/АН СССР. Сиб. отделение, ИФ; No 431Ф).

17. Р. С. Исхаков, Г. И. Фиш, Р. Г. Хлебопрос. Температурная зависимость флуктуаций обменного взаимодействия в аморфных Со-Р сплавах // ФТТ,- 1983.-^г. 25, No 2.-С. 568-571.

18. Б. П. Хрусталев, А. Д. Балаев, В. Г. Поздняков, JI. И. Вершинина. Обменное взаимодействие в ферромагнитных пленках с кластерной структурой // ФТТ,- 1985-т. 27, No 11-С. 3222-3229.

19. Р. С. Исхаков, М. М. Бруштунов, А. С. Чеканов. Ферромагнитный и спин-волновой резонанс в пленках кристаллических и аморфных сплавов Со-Zr. Исследование неоднородностей структуры // ФТТ.-1987.-Т. 29, No 9.-С.2699 2704.

20. L. J. Maksymowicz, D. Sendorek-Temple, R. Zuberek. Inhomogeneities of exchange interaction in thin amorphous films experimental results // J. Magn. Magn. Mater.-1986.-Vol. 58, N 3-4.-P. 303-308.

21. L. J. Maksymowicz, D. Sendorek-Temple, R. Zuberek. Linewidths of spin wave modes in thin magnetic amorphous films //J. Magn. Magn. Mater.-1986.-Vol. 62, N 2-3.-P. 305-311.

22. P. С. Исхаков, А. С. Чеканов, Jl. А. Чеканова. Особенности релаксационных характеристик спектров СВР в пленках аморфных и микрокристаллических ферромагнитных сплавов // ФТТ.-1988.-Т. 30, No 4.-С. 970-978.

23. В. А. Игнатченко, Р. С. Исхаков. Стохастическая магнитная структура и спиновые волны в аморфном ферромагнетике// Физика магнитных материалов. Новосибирск: Наука, 1983. - С. 3-32.

24. P. Soven. Contribution to the theory of disordered alloys // Phys. Rev. В -1967.- Vol. 156. P. 809.

25. D. W. Taylor. Vibrational properties of imperfect crystals with large defect concentrations // Phys. Rev. В 1967.- Vol. 156. - P. 1017.

26. R. J. Elliott, J. A. Krumhansl, P. L. Leath. // Rev. Mod. Phys. 1974.- Vol. 46. - P. 465.

27. F. Yonezawa and K. Morigaki. // Supp. Prog. Theor. Phys. 1973 - Vol. 53. - P. 1017.

28. С. M. Рытов, Ю. А. Кравцов, В. И. Татарский. Введение в статистическую радиофизику (часть II: Случайные поля). М.: Наука, 1978.

29. И. М. Лифшиц, С. А. Гредескул, Л. А. Пастур. Введение в теорию неупорядоченных систем. М.: Наука, 1982.

30. Дж. Займан. Модели беспорядка. М.: Мир, 1982.

31. Е. N. Economou. Green's functions in quantum physics. Springer Verlag, 1982.

32. E. Schlomann. // J. Phys. Chem. Solids 1958,- Vol. 6. - P. 257.

33. E. Schlomann, J. R. Zeender. // J. Appl. Phys. 1958,- Vol. 29. - P. 341.

34. А. Г. Гуревич, Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагиети-ках, Наука, Москва (1973).

35. R. Kubo, К. J. Tomita. //J. Phys. Soc. Japan 1954.- Vol. 9. - P. 888; R. Kubo. // J. Phys. Soc. Japan - 1954,- Vol. 9. - P. 935.

36. A. Abragam. The principles of nuclear magnetism. Oxford, Clarendon Press, 1961.

37. С. А. Альтшулер, Б. M. Козырев, Электронный парамагнитный резонанс соединений элементов промежуточных групп, Наука, Москва (1972).

38. S. Geschwind and A.M. Clogston. Narrowing effect of dipole forces on inhomogeneously broadened lines// Phys. Rev. 1957. - V. 108. N1. - P. 49 53.

39. D. L. Griscom. // J. Non-Cryst. Solids 1981,- Vol. 67. - P. 81.

40. M. Rubistein, V. G. Harris, P. Lubitz. Ferromagnetic resonance in nanocrystalline Fe-j^CuNb^Siiz.hB^ (Finemet) //J. Magn. Magn. Mat. -2001.- Vol. 234. P. 306-312.

41. R. Alben, J. J. Becker, M. C. Chi. // J. Appl. Phys. 1978.- Vol. 49. - P. 1653.

42. G. Herzer. // IEEE Trans. Magn. 1989.- Vol. 25. - P. 3327.

43. R. Skomski. // J. Phys. Condens. Matter 2003.- Vol. 15. - P. R841.

44. E. C. Stoner and E. P. Wohlfart. // Phil. Trans. R. Soc. A 1948.- Vol. 240.- P. 599.

45. В. А. Игнатченко. // ЖЭТФ 1968. - Т. 54. - С. 303.

46. В. Vclicky. S. Kirkpatrick, and Н. Ehrenreich. Single-site approximations in the electronic theory of simple binary alloys. // Phys. Rev. В 1968.- Vol. 175. - P. 745.

47. G. Brown, V. Celli, M. Haller, A. Maradudin, A. Marvin. // Phys. Rev. В -1985.- Vol. 31. P. 4993.

48. R. C. Bourret. // Nuovo Cimento 1962- Vol. 26. - P. 1.

49. В. А. Игнатченко, В. А. Фельк. Расчет функции Грина спиновых волн в ферромагнетике с неоднородной магнитной анизотропией// Тезисы докладов научной конференции студентов-физиков, Красноярск, 4 апреля 2001, С. 36.

50. V. A. Ignatchenko, V. A. Felk. Spin waves in a ferromagnet with inhomogeneities of the magnetic anisotropy// Book of Abstracts of the Moscow International Symposium on Magnetism, Moscow, June 20-24 2002, P. 307.

51. V. A. Ignatchenko, V. A. Felk. Exchange narrowing of the FMR linewidth in ferromagnetic nanocrystals// Abstract Book of the Euro-Asian Symposium "Trends in magnetism", Krasnoyarsk, Russia, August 24-27 2004, P. 210.

52. V. A. Ignatchenko, Yu. I. Mankov, V. A. Felk. Waves and magnetic resonances in randomized superlattices and nanocrystals // Abstract Book of the Euro

53. В. А. Игнатченко, В. А. Фельк. Расчет функции Грина спиновых волн в ферромагнетике с неоднородной магнитной анизотропией// Вестник КрасГУ. Физико-математические науки. 2002. - N1. - С. 39.

54. V. A. Ignatchenko and V. A. Felk. Exchange narrowing of the FMR linewidth in ferromagnetic nanocrystals// The Physics of Metals and Metallography. -2005. V. 100. Suppl. 1. - P. S63-S65.

55. V. A. Ignatchenko and V. A. Felk. Exchange narrowing of magnetic resonance linewidths in inhomogeneous ferromagnets// Phys. Rev. B. 2005. - V. 71. N9. - P. 094417-1-094417-12.

56. V. A. Ignatchenko and V. A. Felk. Effects of long-wave inhomogeneities of the echange and elastic force constants in the framework of the coherent potential approximation// Phys. Rev. B. 2006. - V. 74. N17. - P. 174415-1-174415-9.