Исследование входных характеристик магнитострикционных преобразователей и разработка методов их анализа для целей моделирования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.09.05, кандидат технических наук Бао, Фан

• Бао, Фан
• кандидат технических наук
• 1994

Оглавление диссертации кандидат технических наук Бао, Фан

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МОДЕЛЬ РАБОТЫ МАГНИТОСТРИКЦИОННОГО

ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ

1.1- Основные уравнения, описывающие поведение магнитострикционного тела в области звуковых и ультразвуковых частот.

1.2- Линеаризованная модель магнитоупругих колебаний магнитострикционного тела.

1.3. Система электромеханических аналогий. Эквивалентная электрическая схема преобразователя.

1.4. Входное сопротивление магнитострикционного преобразователя.

1.3. Схема измерения экспериментальных характеристик магнитострикционного преобразователя.

Выводы.

ГЛАВА 2. КВАЗИСТАТИЧЕСКОЕ МАГНИТНОЕ ' ПОЛЕ СЕРДЕЧНИКА ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ ПРИ ОТСУТСТВИИ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ.

2.1 Комплексная магнитная проницаемость. Динамическое входное сопротивление катушки с ферромагнитным сердечником.

2.2. Комплексная магнитная проницаемость при релаксационном характере изменения намагниченности.

Выводы.

ГЛАВА 3. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ

СТЕРЖНЕЙ.

3.1- Состояние проблемы

3.2- Вариационный прицип решения задачи расчета собственных колебаний упругих тел конечных размеров.

3.3. Ортогональная система пробных функций.

3-4. Эквивалентная масса стержня прмоугольного сечения.

Выводы.

ГЛАВА 4. ВХОДНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ УПРУГИМИ КОЛЕБАНИЯМИ ПРИ ОТСУТСТВИИ ТОКОВ В

ВОЗБУЖДАЮЩЕЙ ОБМОТКЕ.

4-1. Входное сопротивление преобразователя, связанное с упругими колебаниями.

4-2- Коэффициент полезного действия преобразователя.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование входных характеристик магнитострикционных преобразователей и разработка методов их анализа для целей моделирования»

В настоящее время внимание исследователей вновь привлекают вопросы применения новых магнитострикционных материалов в качестве сердечников преобразователей для возбуждения механических колебаний большой интенсивности в области звуковых и ультразвуковых частот. До последнего времени в качестве элементов сонаров для генерации звука в морской воде использовались пьезокерамические преобразователи. Учитывая, что условия распространения звука с понижением частоты улучшаются, наметилась тенденция снижения рабочей частоты преобразователей и главным препятствием на пути использования пьезокерамических устройств стали их размеры.

Были сделаны попытки применения изгибных колебаний для снижения рабочей частоты, однако технические вопросы, такие как старение не были решены- Тем не менее для очень низких частот преобразователи все еще были слишком массивны.

Другое направление исследований оставалось в рамках принятой концепции проектирования акустических излучателей и сосредоточило усилия на поиске новых материалов, которые удовлетворяли бы поставленной цели- Решение лежало на пути применения в качестве сердечников преобразователей редкоземельных металлических соединений, таких как соединение тербий-диспрозий-железо, известное в научной литературе как терфенол-Д. Это соединение обладает высокой магнитострикцией, низким модулем ЮНга и хорошим магнито-механическим коэффициентом связи. Применение этого материала вместо пьезокерамики уже привело к значительному снижению рабочей частоты, компактности устройства при мощности порядка 1,6 кВт.

Поэтому вопросы моделирования магнитострикционных преобразователей с целью конструирования более современных устройств, не утратили своей актуальности.

Целью диссертационной работы является изучение динамических характеристик магнитострикционных преобразователей и разработка методики определения параметров эквивалентной электрической схемы замещения, учитывающей зависимость значений элементов от частоты.

В первой главе рассмотрены уравнения электромагнитного поля и уравнения движения, описывающие динамическое поведение магнитострикционных тел в области звуковых и ультразвуковых частот, а также уравнения связи, содержащие как магнитные, так и упругие члены. Уравнения дополнены соответствующими граничными условиями. Аналитическое решение уравнений, содержащих частные производные второго порядка, даже для тел, представляющих правильные геометрические формы, не представляется возможным.

При построении модели работы магнитострикционного преобразователя приняты допущения, что магнитоупругий гистерезис отсутствует, поликристаллический материал сердечника изотропен по упругим и анизотропен по магнитоупругим свойствам, а скорость распространения электромагнитных волн значительно превосходит скорость распространения упругих колебаний, что позволяет считать, что структура упругих деформаций определяется геометрией сердечника, механическими свойствами его материала и в первом приближении не зависит от возбуждающего магнитного поля

Таким образом, с учетом принятых допущений в рамках линейной теории общая задача расчета магнитоупругих колебаний разделена на три самостоятельные задачи=

Первая из них предполагает расчет собственных мод колебаний сердечника конечных размеров при отсутствии механических напряжений на граничных поверхностях и представляет собой динамическую задачу теории упругости»

Вторая связана с расчетом магнитных характеристик сердечника, представляющим собой динамическую индуктивность при отсутствии в сердечнике упругих деформаций

Третья задача связана с определением динамических параметров сердечника преобразователя, обусловленных колебаниями вектора намагниченности, вызванными упругими деформациями в сердечнике при отсутствии возбуждающих токов в обмотке

Проведенный анализ показал, что для моделирования работы магнитострикционного преобразователя удобно использовать систему электромеханических анологий по подвижности, при которой скорость эквивалентна электрическому напряжению. Это приводит к тому, что дифференциальные уравнения имеют один и тот же вид, механические поперечные переменные С скорость 3 соответствуют электрическим поперечным переменным С напряжению сквозные продольные механические Ссила) - сквозным электрическим Стоку), топологии схем одинаковы, а магнитострикционный эффект моделируется идеальным трансформатором вместо необратимого гиратора при другой системе аналогий

Показаны трудности, встречающиеся при определении параметров преобразователей по экспериментально снятым кривым, и проанализированы причины их появления.

Во второй главе рассмотрены вопросы, связанные с возбуждением магнитного поля в сердечнике преобразователя при отсутствии упругих колебаний в нем- При описании магнитного состояния сердечника следует различать магнитную проницаемость для постоянной составляющей поля подмагничивания и магнитную проницаемость для переменной составляющей при несимметричном частном цикле перемагничивания, под которой понимается среднее значение, определяемое как отношение средней индукции по сечению сердечника к напряженности поля на поверхности ферромагнетика, умноженной на Т.к. среднее значение индукции не совпадает по фазе с напряженностью поля на поверхности, то средняя проницаемость является комплексной величиной, мнимая часть которой соответствует процессам, связанным с рассеянием энергии.

По вещественной и мнимой экспериментально измеренным составляющим входного сопротивления заторможенного преобразователя рассчитаны зависимости вещественной и мнимой составляющих средней магнитной проницаемости от частоты

Для моделирования режима заторможенного сердечника, при котором магнитоупругими колебаниями можно пренебречь, измерения входного сопротивления проводились в области нижних и верних частот, существенно отличающихся от частоты механического резонанса, когда магнитоупругая связь практически отсутствует

По рассчитанным зависимостям составляющих магнитной проницаемости от частоты в двух диапазонах частот восстановлены значения магнитных проницаемостей и входного сопротивления во всем рассматриваемом частотном диапазоне, что позволило получить параметры схемы замещения заторможенного преобразователя

Третья глава посвящена вопросам исследования свободных упругих колебаний прямоугольных пластин и стержней конечных размеров. Точное решение задачи известно только в ограниченном числе случаев. Однако имеются приближенные решения, при получении которых следует отметить три основных подхода- Первый заключается в том, что к решениям, являющимся точными для некоторых граничных поверхностей, добавляются решения, которые, кроме того, удовлетворяют условиям, накладываемым на напряжения на дополнительных поверхностях. При втором подходом точные решения используются при тех размерах и частотах, когда необходимые добавочные условия удовлетворяются автоматически либо точно, либо приближенно. Третий подход предполагает разложение всех смещений в соответствующие ряды и подбор коэффициентов ряда, когда граничные условия удовлетворяются приближенно.

В качестве приближенного подхода решения задачи расчета собственных колебаний стержней и пластин рассмотрен вариационный метод, который позволяет свести искомую задачу к задаче отыскания собственных значений и собственных функций. Рассмотрен известный подход представления решения в виде комбинации пробных функций, которые в общем случае не являются ортогональными и образуют некоторый сложный ряд типа Фурье, период членов которого связан с размерами рассматриваемой структуры, и либо компоненты ряда, либо их производные удовлетворяют нулевому значению на граничной поверхности. Условие стационарности Лагранжиана приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов ряда, которые решаются стандартными методами линейной алгебры. Для выбранного набора мод колебаний тонкой прямоугольной пластины рассчитаны первые четыре ветви частотного спектора. Один из недостатков такого подхода заключается в том, что сходимость процесса зависит от того, насколько удачно выбраны пробные функции, которые по своим свойствам должны наиболее точно приближаться к точному решению. Кроме того, если нормальные напряжения удовлетворяют условиям на свободных граничных поверхностях, то касательные напряжения не всюду равны нулю. При таком подходе простое увеличение числа членов ряда не всегда приводит к улушению точности расчета, а неортогональность пробных функций приводит к несимметричным, сильно заполнении матрицам и соответствующим вычислительным трудностям при увеличении порядка получающейся системы алгебраических уравнений.

Предложен способ представления смещений в виде трехмерного ортогонального тригонометрического ряда Фурье, обеспечивающего наименьшую среднюю квадратичную ошибку по сравнению с любым конечным тригонометрическим рядом по синусам и косинусам-Ортогональность членов ряда позволяет сформировать квазидиагональную матрицу в проблеме собственных чисел и формализовать процесс выбора последовательности пробных функций-Проведен расчет нижней ветви спектра частот, показавший удовлетворительное совпадение с экспериментальными данными-Получены многополюсные эквивалентные схемы колеблющегося стержня, позволяющие моделировать работу сердечника преобразователя сложной формы

В четвертой главе рассматриваются вопросы расчета элементов эквивалентной электрической схемы преобразователя, обусловленных упругими колебаниями сердечника при отсутствии токов в возбуждающей обмотке- Предложенный во второй главе подход аппроксимации входного сопротивления заторможенного преобразователя позволил рассчитать значения составляющих этого сопротивления и построить круговую диаграмму, точки пересесения которой с осями координат однозначно определяют координаты центра круговой диаграммы, величину фазового угла коэффициента трансформации идеального электромеханического трансформатора в схеме замещения и величину электрического сопротивления, эквивалентного механическим потерям.

Предложена процедура поворота системы координат, позволившая симметрировать графики зависимости активного и реактивного сопротивлений от частоты, моделирующих упругие колебания, и получить точки их пересечения, соответствующие так называемым квадрантным частотам, по которым легко определяются все оставшиеся элементы схемы замещения, соответствующие механическим колебаниям, а также резонасная частота и механическая добротность.

Получены варажения коэффициента полезного действия при двух режимах возбуждения« от реальных источника напряжения и источника тока. Даны выражения для определения частот, при которых КПД максимален, и само значение максимального КПД. Для некоторых числовых значений рассчитаны и построены графики зависимости КПД преобразователя при его работе на акустическую нагрузку■

Основным итогом диссертационной работы является создание математической модели работы магнитострикционного преобразователя, позволившей сложную задачу математической физики представить в виде совокупности трех более простых задач, а именно, задачи расчета собственных мод колебаний сердечника заданных геометрических размеров, задачи определения параметров катушки возбуждения с ферромагнитным сердечником при отсутствии упругих колебаний и , наконец, расчета параметров схемы замещения, моделирующих электромагнитные процессы, обусловленные упругими деформациями, при отсутствии токов в воздуждающей катушке.

При этом сформулированы и решены следующие задачи: на основе вариационного приципа рассчитаны нижние ветви

- и частотного спектра колебаний стержня прямоугольного сечения конечных размеров, предложен способ представления смещений в виде трехмерного ортогонального тригонометрического ряда Фурье, позволивший обойти проблему удачного выбора пробных функций и сделать процесс выбора формализованным; предложен способ математического описания результатов расчета магнитных проницаемостей, позволивший восстановить значения входного сопротивления заторможенного преобразователя в всем рассматриваемом частотном диапазоне, включая область упругих колебаний, по экспериментально снятым характеристикам, измеренным в частотных диапазонах, лежащих вдали от резонансной частоты, когда магнитоупругим влиянием можно пренебречь; предложена методика расчета параметров схемы замещения преобразователя, моделирующих электромагнитные процессы, обусловленные упругими деформациями; получены выражения коэффициента полезного действия преобразователя с акустической нагрузкой при питании от реальных источника напряжения и тока, даны значения частот, при которых КПД максимален и его выражение на этих частотах; получены многополюсные эквивалентные схемы замещения колеблющегося стержня прямоугольного сечения конечных размеров, позволяющие моделировать работу магнитострикционного сердечника сложной формы, которая может бьггь представлена в виде любой комбинации однородных прямоугольных стержней- Даны рекомендации по расчету эквивалентных масс и гибкостей в любой области поверхности стержня.

Результаты работы использованы при проектировании магнитострикционных преобразователей, предназначенных для работы в качестве исполнительных устройств при ультразвуковой обработке режущей кромки медицинского инструмента. 4 1 А. «

- 13

Заключение диссертации по теме «Теоретическая электротехника», Бао, Фан

Результаты работы были использованы при проектировании магнитострикционных преобразователей, предназначенных для работы в качестве исполнительных устройств при ультразвуковой обработке режущей кромки медицинского инструмента.

- 110 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результатом представленной диссертации является разработка математической модели работы магнитострикционного преобразователя, позволившая в рамках линейной теории разложить общую задачу расчета магнитоупругих колебаний преобразователя на три самостоятельные задачи: задачу расчета собственных частот и собственных мод колебаний сердечника прямоугольного сечения конечных размеров, задачу моделирования катушки с ферромагнитным сердечником при отсутствии упругих колебаний С заторможенный сердечник ) и задачу моделирования электромагнитных процессов в преобразователе, обусловленных упругими колебаниями при отсутствии возбуждающих токов в катушке. На базе разработанной модели рассчитаны значения элементов эквивалентной электрической схемы замещения и показаны возможности использования многополюсных моделей стержневых систем для моделирования сердечников сложной геометрической формы.

Для достижения поставленной в диссертационной работе цели были сформулированы и решены следующие задачи:

1.Обоснован выбор принятых допущений, позволивший разложить сложную задачу расчета магнитоупругих колебаний твердого тела на три самостоятельные задачи- задачу расчета упругих колебаний без учета влияния магнитного поля;

- задачу расчета динамических параметров катушки с ферромагнитным сердечником;

- и задачу расчета параметров элекстрической схемы замещения преобразователя, моделирующих процессы, обусловленные упругими колебаниями при разомкнутой

- Ill -обмотке возбуждения .

2.Предложен способ математического описания результатов расчета магнитных проницаемостей, позволивший восстановить значения входного сопротивления, соответствующие заторможенному преобразователю во всем рассматриваемом диапазоне частот, включая область упругих колебаний, и получить значения элементов схемы замещения заторможенного преобразователя, когда механические колебания отсутствуют.

3-В соответствии с подходом, предложенным в работах [76,77], получено на основе вариационного принципа приближенное решение задачи колебаний тонкой прямоугольной пластины в виде сложного ряда типа Фурье, показавшее, что сходимость решения зависит от того, насколько удачно выбраны составляющие ряда.

4.Предложен способ представления смещений в виде трехмерного ортогонального ряда Фурье, обеспечивающего наименьшую среднюю квадратичную ошибку по сравнению с любым конечным тригонометрическим рядом по синусам и косинусам. Ортогональность членов ряда позволяет при применении вариационного принципа получить квазидиагональную матрицу в проблеме собственных чисел и обойти вопрос удачного выбора последовательности пробных функций, сделав процесс выбора формальным

5.Получены многополюсные эквивалентные схемы замещения колеблющегося стержня прямоугольного сечения конечных размеров, позволяющие моделировать работу магнитострикционного сердечника сложной формы, которая может быть представлена в виде любой комбинации однородных прямоугольных стержней. Даны рекомендации по расчету эквивалентных масс и гибкостей в любой области поверхности стержня■

- 112

6.Представлена методика расчета по экспериментально снятой круговой диаграмме входного сопротивления параметров схемы замещения преобразователя, моделирующих электромагнитные процессы, обусловленные упругими деформациями.

7.Получены выражения коэффициента полезного действия преобразователя при питании от реальных источников напряжения и тока, приведены формулы по расчету частот, при которых КПД максимален, и выражения максимального КПД на этих частотах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Бао, Фан, 1994 год

1.Бозорт Р-М. Ферромагнетизм: Пер. с англ. / Под ред. Е-И-Кондорского и Б.Г.Лившица. М-: Изд. иностр. лит., 1956.

2. Voigt W. Lehzbuch der kristallphysik. Leipzig, 1910.

3. Физическая акустика5 Пер. с англ. / Под ред. У-Мэзона. М-5 Мир, 1966. Т.1, Ч-А 5 Методы и приборы ультразвуковых исследований.

4. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров' Пер. с фран. / Под ред. К-С-Шифрина. М-! Наука, 1964.

5. Trent Н.М. Isomorphisms between oriented linear graphs and lumped physical systems // J. Acoust. Soc. Am. 1955. Vol.27, N3. P.500-527.

6. Trent H. M. On the construction of schematic diagrams for mechanical systems // J. Acoust. Soc. Am. 1958. Vol.30, N8. P.795-800.

7. Woollett R.S. Effective coupling factor of single-degree-of-freedom transducers // J. Acoust. Soc. Am. 1966. Vol.40, N5. P. 1112-1123."

8. Katz H.W. Solid state magnetic and dielectric divices. N.Y., John Wiley, 1959.

9. Skudrzyk E.J. Vibrations of a system with a finite or an infinite number of resonances // J. Acoust. Soc. Am. 1958. Vol.30, N12. P. 1140-1152.

10. Johnson R.A. Electrical circuit models of disk-wire mechanical filters // IEEE Trans. SU-15, 1968. N1. P.4-50.

11. KonnoM., Oyama S., Tomikawa Y. Equivalent electrical networks for transversely vibrating bars and their applications // IEEE Trans. SU-26, 1979. N3. P.191-201.- 114

12. Konno M., Nakamura H. Equivalent electrical network for the transversely vibrating uniform bar // J. Acoust. Soc. Am. 1965. Vol.38, N4. P.614-622.

13. Ленк А. Электромеханические системы* Системы с сосредоточенными параметрами* Пер. с нем./ Под ред. Н-В-Петькина. М-* Мир, 1978.

14. Ленк А- Электромеханические системы* Системы с распределенными параметрами* Пер. с нем. М.*Энергоиздат, 1982

15. Берлинкур Д., Керран Д., Жаффе Г- Пьезоэлектрические и пьезомагнитные материалы и их применение в пьезопреобразователях. // Физическая акустика / Под ред. У.Мазона. М.* Мир, 1966. Т.1, Ч.А, С.204-326.

16. Mason W. P. Electromechanical transducers and wave filters.- 2-nd ed.,New Jersey, 1948

17. Эквивалентная электрическая схема двухобмоточного магнитострикционного преобразователя крутильных колебаний./ И.И.Баранов, В.Н.Замятин, А.Т.Кобяк и др.// Тр. Моек- Энергетич-ин-та. 1979, Вып.437. С.63-66.

18. Баранов И.И., Костенко В-0-, Бурцева Т.В. Машинный метод определения параметров эквивалентной схемы магнитострикционных преобразователей.// Тр. Моск. Энергетич. ин-та. 1980. Вып.481. С.132-135.

19. Баранов И.И., Нуркатов А.А. Магнитострикционный излучатель акустической мощности на радиальных колебаний-//- 115

20. Тезисы докладов научной-технической конференции МЭИ " Новые информационные и электронные технологии в народном хозяйстве и образовании ". 10-12 дек. 1990.

21. Баранов И. И -, Нуркотов А•А. Магнитострикционный вибропреобразователь электромагнитной энергии-// 6th International symposium on theoretical electrical engineering ISTET-91. Cottbus Institute of Techology,Germany. May 22-24, 1991.

22. Харекивич A ■ A ■ Теория преобразователей. M -JI - = Госэнергоиздат, 1948

23. Wilson 0.В. An introduction to the theory and design of sonar transducers. Los Altos , Peninsula Pub. Co., 1989.

24. Meeks S.W., Timme R.W. Acoustic resonance of a rare earth iron magnetostrictive rod in the presence of large eddy currents.// IEEE Trans., SU-27, 1980. N2. P.60-65.

25. Claeyssen F., Boucher D., Faure S. Improvement of a magnetostrictive length-expander transducer by use of a grain-oriented material.// J. Acoust. Soc. Am. 1989. Vol.85, Sup.1., LL5, S90.

26. Claeyssen F., Boucher D., Faure S. Comparative study of piezomagnetic constants.// 2nd Int. Conf. giant magnetostrictive alloys. Oct. 1988.

27. Decarpigny J.N., Debus J.C., Boucher D. In-air analysis of piezoelectric Tonpilz transducers in a wide frequency band using a mixed finite element-plane wave method.// J. Acoust. Soc. Am. 1985. Vol.78. N5. P. 1499-1507.

28. Analysis of magnetostrictive transducers by the ATILA finite element code / F.Claeyssen, D.Boucher, K.Anifrani et al //J. Acoust. Soc. Am. 1989. Vol.85, Sup. 1., LL4, S90.- 116

29. Modelization de transducteurs magnetostrictifs a l'aide du code elements finis ATILA / R. Bossut, J. N. Decarpigny, F.Claeyssen et al Proc. 1st French Conf. on Acoustics. J. Phys.C Paris },FASC.2,1,C2-617-621, 1990.

30. Baranov I.I. The calculation of coupled magnetic and elastic fields in magnetostrictive transducers // Abstracts of Int. Conf. on electromagnetic field: Problems and applications. ICEF-92, HangZhou, China, Oct.14-16, 1992.

31. Основы теории цепей:Учебник для вузов.- 3-е изд.«перераб./ Г-В-Зевеке, П-А-Ионкин, А-В.Нетушил и др. М- •• Энергоатомиздат, 1989

32. Нейман Л-Р., Демирчян К-С- Теоретические основы электротехники^ Учебник для вузов.- 3-е изд.,перераб. и доп. Л. ■■ Энергоиздат, 1981. Т-1.

33. Поливанов Л.М. Ферромагнетики:Основы теории технического применения. М.-Л.= Госэнергоиздат, 1937•

34. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники5 Электрические цепи:Учебник для вузов. 8-е изд., перераб- и доп. М.:Высш. щк., 1984.

35. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей:Линейные цепи:Учебник для вузов. 3-е изд. перераб. и доп. М-: Высш. шк., 1990.

36. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела: Пер- с англ. / Под ред. А.А. Гусева. М.: Наука, 1978.- 117 38■Ферромагнетизм:Сборник статей-/ Под ред. К.П-Белова и Ю-Д> Третьякова. М-: Издат. моек- ун-та., 1975.

37. Акулов Н-С- Ферромагнетизм. М.-Л-:Гос. изд. техн.-теорет. лит., 1939.

38. Вонсовский С-В-,Шур Я-С. Ферромагнетизм. М.-Л.= Гостехиздат, 1948.

39. Вонсовский С.В- Современное учение о магнетизме. М.-Л.= Гос. изд. техн.-теорет. лит., 1952.

40. Дорфман Я-Г- Магнитные свойства и строение вещества. М.: Гостехиздат, 1955.

41. Форсайт Дж-, Малькольм М-, Моулер К. Машинные методы математических вычислений: Пер- с англ-/ Под ред. Х-Д-Икрамова-М-: Мир, 1980

42. Гантмахер Ф-Р- Теория матриц -М-: Наука, 196647. Сигорский В-П- Математический аппарат инженера. Киев: Технгка, 1977

43. Rayleigh L- On the free vibrations of an infinite piate of homogeneous isotropic elastic matter // Proc. London Math. Soc. 1889. Vol.20, P.225-234.

44. Lamb H. On waves in an elastic plate //Proc. Roy. Soc. СLondon), Series A, 1917. Vol.93, P.114-128.

45. Mindlin R. D. Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic elastic plates // J. Appl.- 118

46. Mech., Trans. ASME, 1951. N18, P.31-38.

47. Mindlin R.D., Forray M. Thickness-shear and flexural vibrations of contoured crystal plates // J. Appl. Mech., Trans. ASME, 1954. N25, P.12-20.

48. Mindlin R.D., Deresiewicz H. Thickness-shear and flexural vibrations of a circular disk // J. Appl. Mech., Trans. ASME, 1954. N25, P.1329-1332.

49. Mindlin R.D., Deresiewicz H. Thickness-shear and flexural vibrations of rectangular crystal plate // J. Appl. Mech., Trans. ASME, 1955. N26, P.1435-1442.

50. Mindlin R. D., Schacknow A., Deresiewicz H. Flexural vibrations of rectangular plates // J. Appl. Mech., Trans. ASME, 1956. N23, P.430-436.

51. Mindlin R.D., Kane T.R. High-frequency extensional vibrations of plates // J. Appl. Mech., Trans. ASME, 1956. N23, P.277-283.

52. Mindlin R.D., Medick M. A. Extensional vibrations of elastic plates // J. Appl. Mech., Trans. ASME, 1959. N26, P. 561-569.

53. Mindlin R.D., Mcniven H.D. Axially symmetric waves in elastic rods // J. Appl. Mech., Trans. ASME, 1960. N27, P. 145-151.

54. Mindlin R.D., Fox E.A. Vibrations and wavws in elastic bars of rectangular cross section // J. Appl. Mech., Trans. ASME, 1960. N27, P. 152-158.

55. Mindlin R.D., Pao Y.H. Dispersion of flexural waves in elastic circular cylinder // J. Appl. Mech., Trans. ASME, 1960. N27, P.513-520.

56. Mindlin R.D., Gazis D.C. Extensional vibrations and- 119 waves in a circular disk and a semi-infinite plate // J. Appl. Mech., Trans. ASME, 1960. N27, P.541-545.

57. Mindiin R.D., Опое M., Mcniven H.D. Dispersion of axiallу symmetric waves in elastic rods // J. Appl. Mech., Trans. ASME, 1962. N29, P.729-734.

58. Timoshenko S. P. On the transverse vibrations of bars of uniform cross-section // Philosophical magazine, 1922. Ser.6, Vol.43, P.125-131.

59. Tolstoy I., Usdin E. Wave propagation in elastic plates:low and high mode dispersion // J. Acous. Soc. Am. 1957. Vol.29, P.37-42.

60. Chao С.C. , Pao Y.H. On the flexural motion of plates at the cut-off frequency // J. Appl. Mech., Trans. ASME, 1964. N31, P.22-24.

61. Leissa A. W. The free vibration of rectangular plates // Journal of sound and vibration, 1973. Vol.31, N3, P.257-293.

62. Bhat R.B. Natural frequencies of rectangular plates using characteristic orthogonal polinomials in Rayleigh-Ritz method // Journal of sound and vibration, 1985. Vol.102, N4, P. 493-499.- 120

63. Nisse E.P.E. Variational method for electroelastic vibration analysis // IEEE Trans. 1967. Vol.SU-14, N4, P. 153-160.

64. On the normal modes of free vibration of inhomogeneous and anisotropic elastic objects / W.M.Visscher, A.Migliori, T.M.Bell, R.A.Reinert //J. Acous. Soc. Am. 1991. Vol.90, N4, Pt.l, P. 2154-2162.

65. Морс Ф-М., Фешбах Г. Методы теоретической физики: Пер. с англ./ Под ред. С.П.Аллилуева и др. М- = Изд. иностр. лит., 1958.- 1960. Т-1.

66. Михлин С-Г. Вариационные методы в математической физике-М.* Наука, 1970

67. Курант Р., Гильберт Д- Методы математической физики:Пер. с нем-/ Под ред. Любина 3-Г- и др. М.-Л-* Гос. издат-техн.-теорет- лит-, 1951- Т-1 2

68. Nisse Е. P. Е. Coupled-mode approach to elastic -vibration analysis // J. Acous. Soc. Am. 1966. Vol.40, N3, P.1045-1050.

69. Nisse E.P.E. Variational method for electroelastic vibration analysis // IEEE Trans., 1967. Vol.SU-14, N4, P.153-160.1984.ikfcAfcfcl, 138 8.

70. SO.Medick M. A., Pao Y.H. Extensional vibrations of thin rectangular plates // J. Acous. Soc. Am., 1965. Vol.37, N1, P.59-65.81,Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.- Л.: Физматгиз, 1949- 121

71. Михлин С.Г. Об устойчивости некоторых вычислительных процессов.// ДАН СССР, 1964. Т.157, N2, С.271-274.

72. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов, м.: Наука, 1966

73. Михлин С.Г- Вариационные методы в математической физике. М-= Наука, 1970.

74. Sugawaras S., Konno М., Watanabe Т. The equivalent mechanical network of a bar in flexual derived from Timoshenko's beam theory // Trans. IECE, 1978. 61-A, N9, P.903-909.t