Обтекание крыловых профилей с вихревыми ячейками при больших числах Рейнольдса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Бунякин, Алексей Вадимович

• Бунякин, Алексей Вадимович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бунякин, Алексей Вадимович

СОДЕРЖАНИЕ

Введение.

§ 1. Общая характеристика работы. стр

§2. Предварительные сведения и обзор литературы. стр

Глава первая. Расчет невязкого обтекания крылового профиля с каверной и течения внутри каверны.

§ 1.1.Аппроксимация контура крылового профиля комплексными кубическими сплайнами. стр

§1.2. Расчет внешнего потенциального потока методом граничных элементов

§1.3. Расчет формы каверны и вихрепотенциального течения в целом. стр

Глава вторая. Ламинарный пограничный слой при обтекании крылового профиля с каверной.

§2.1. Численный расчет в случае круговой каверны. стр

§2.2. Асимптотика малого углового размера слоя смешения для круговой каверны. стр

§2.3. Использование точечного вдува на стенке каверны стр.78 Глава третья.Расчет течения внутри вихревой ячейки с использованием эмпирической модели турбулентности. стр.91 Заключение. стр

Список литературы стр

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обтекание крыловых профилей с вихревыми ячейками при больших числах Рейнольдса»

ВВЕДЕНИЕ

§1. Общая характеристика работы

Актуальность темы: Проблема ликвидации отрыва при обтекании крыловых профилей возникла давно и полностью не решена до настоящего времени. Явление отрыва с последующим образованием крупномасштабного нестационарного вихревого следа за профилем является вредным не только потому, что приводит к ухудшению аэродинамических характеристик, но и потому, что нестационарность обтекания вызывает перепады давления и, как следствие, вибрации крыла. Для ликвидации отрыва или уменьшения его нежелательных последствий применяются различные методы, связанные с конструктивным изменением схемы обтекания крыла летательного аппарата. Известно также, что трехмерный поток, обтекающий с отрывом коническое крыло под углом к образующим, существенно отличающимся от прямого, более устойчив, чем двумерный поток, обтекающий с отрывом плоское крыло. Однако, введение "трехмерности" неизбежно приводит к уменьшению аэродинамического качества [1,2,3]. Поэтому крылья малого удлинения, будучи эффективными при сверхзвуковых режимах обтекания, неэффективны при режимах полета со сравнительно малыми числами Маха.

Улучшение аэродинамических характеристик (например, коэффициента подъемной силы) путем изменения формы крылового профиля (именно утолщения) имеет предел, так как наталкивается на проблему отрыва. В принципе, для ликвидации отрыва на участке

неблагоприятного градиента давления поверхности профиля можно применять тангенциальный точечный вдув [4,5], точечный или распределенный отсос [6,7,8], а также другие методы управления пограничным слоем. Среди этих методов особо следует выделить использование элементов обтекаемого объекта, движущихся относительно него [9,10], а также разрезные крылья (профили которых представляют из себя несколько топологически несвязных частей) [11,12]. Однако эти методы не получили практического применения ввиду множества возникающих технических трудностей.

В настоящее время надежды на эффективное управление пограничным слоем связаны с использованием вихревых ячеек для улавливания вихрей в кавернах - выемках, специально расположенных на отрывоопасных участках обтекаемого объекта. Идея такого способа ликвидации отрыва проиллюстрирована на Рис Л. В каверне располагается крупномасштабное вихревое образование, устойчивое к малым возмущениям потока (вихревая ячейка или уловленный вихрь). При этом отрывоопасная часть стенки крылового профиля будет отсутствовать, то есть будет заменена линией, разделяющей внешний поток и течение с замкнутыми линиями тока внутри каверны. На этой линии в пределе больших чисел Рейнольдса, образуется течение со сдвиговыми напряжениями меньшими, чем у жесткой стенки, и оно может преодолеть неблагоприятный градиент давления на отрывоопасном сегменте крылового профиля.

Возможны несколько другие схемы реализации того же принципа. Так, на Рис.2 показана схема летательного аппарата

X

ш=—0.25, В =1.1.

Рис. 1

/ //

Рис. 2

"Экип", созданного и запатентованного группой авторов из России (Российский патент N 2015941, Patent USA N 5,417,391) [13,14]. Вихревые ячейки в аппарате "Экип" содержат центральные тела, а некоторые снабжены еще и каналами для пассивного отсоса пограничного слоя (сравнительный анализ аппарата "Экип" и схемы, описанной в данной работе, будет проведен в конце § 2.2). Крупномасштабная радиоуправляемая модель этого аппарата успешными летными испытаниями доказала осуществимость и перспективность использования вихревых ячеек. Однако теоретические методы исследования оставались до последнего времени неразвитыми, откуда и следует актуальность настоящей работы.

Цель работы: Моделирование ликвидации отрыва пограничного слоя на поверхности заданного крылового профиля, обтекаемого несжимаемой жидкостью при больших числах Рейнольдса, с использованием улавливания вихря в каверне, расположенной на отрывоопасном участке профиля.

Поскольку предшествующие (см. обзор в § 2.) исследования показали, что при наугад заданной форме каверны не будет осуществляться течение заданного типа, то для достижения этой цели приходится решать следующую совокупность задач:

1. Задача о построении семейства невязких течений типа показанного на Рис.1 и обладающего достаточно большим произволом.

2. Задача расчета пограничных слоев для устранения этого произвола и проверки реализуемости желательной схемы течения.

Эту вторую задачу следует решать как . в ламинарной, так и в турбулентной постановке.

Строгая постановка задач приводится в последующих главах. В случае ламинарного течения, совокупность задач, решаемых в настоящей работе, представляет собой процедуру получения первого члена асимптотического разложения стационарного решения двухмерных уравнений Навье-Стокса с неизвестной частью границы (формой контура каверны, определяемой в процессе решения из требований получить желаемую схему течения), в пределе больших чисел Рейнольдса.

Научная новизна: В отличие от ранее известных задач об отрывных течениях для двухмерных уравнений Навье-Стокса, данная постановка требует нахождения части границы (контура каверны), форма которой заранее неизвестна, а взамен этого поставлено условие на форму линии, разделяющей внешний поток и течение внутри каверны (§ 1.3).

Кроме того, в случае ламинарного течения, полученный в работе асимптотический предел представляет собой первый нетривиальный, полностью построенный, пример течения по известной схеме Бэтчелора [15].

Научная и практическая значимость: Результаты, представленные в настоящей работе, интересны по следующим причинам:

Во-первых, нетривиальный пример течения несжимаемой жидкости в пределе больших чисел Рейнольдса, соответствующий схеме Бэтчелора, позволит углубить знания об общем механизме

отрывных течений и, в частности, о свойствах циклических пограничных слоев.

Во-вторых, полученные результаты могут быть использованы при анализе устойчивости стационарных течений такого типа. Однако исследование устойчивости - это отдельная, достаточно непростая задача, которая не рассматривается в данной работе.

В-третьих, перенос этих результатов на случай турбулентных течений, попытка которого предпринята в работе, может привести к созданию эффективных методов расчета, имеющих практическое значение.

ПУБЛИКАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ

1. A.V.Bunyakm, S.I.Chernyshenko and G.Yu.Stepanov, Invisid Batchelor-model flow past an airfoil with a vortex trapped in a cavity // J.Fluid Mech. (1996) V.323, pp.367-376

2. А.В.Бунякин, Ламинарный пограничный слой при обтекании крылового профиля с круговой выемкой // Изв. РАН МЖГ (1998). N2. С. 52-57

3. A.V.Bunyakin, S.I.Chernyshenko and G.Yu.Stepanov, High-Reynolds-number Prandtl-Batchelor-model flow past an aerofoil with a vortex trapped in a cavity // J.Fluid Mech. (1998) V. 358, pp. 283-297

АПРОБАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ

1. Доклад на семинаре НИИ механики при МГУ под руководством академика Черного Г.Г. февраль 1995 года, ноябрь 1998 года.

2. Доклад на научном семинаре кафедры прикладной математики КубГТУ .

ноябрь 1995 года

3. Доклад на научном семинаре кафедры гидравлики и гидравлических машин КубГТУ

сентябрь 1998 года

НА ЗАЩИТУ ВЫНОСИТСЯ

1. Построение формы каверны в вихрепотенциальном течении около крылового профиля с вихревой ячейкой (каверной) ( §1.3).

2. Доказательство существования течений с вихрем, локализованным в вихревой ячейке, путем расчета ламинарного циклического слоя, состоящего из пограничного слоя и слоя смешения на стенке круговой каверны (§2.1) и каверны более сложной формы, при наличии вдува (§2.3), то есть путем построения первого члена асимптотического разложения решения уравнений Навье-Стокса в этих случаях.

3. Асимптотическая формула для завихренности в круговой вихревой ячейке при большой длине набегающего слоя по сравнению с длиной слоя смешения (§ 2.2).

4. Численный расчет турбулентного циклического слоя (глава третья).

§2. Предварительные сведения и обзор литературы

Стационарное течение изображенное на Рис.1 строго говоря неустойчиво. Следует ожидать что, в результате этой неустойчивости вихри, образующиеся в вихревой ячейке, будут срываться периодически или хаотически в след. В результате аэродинамические характеристики будут хуже, чем ожидаемые. Однако, как указано в работах [16,17], неустойчивость, сама по себе, может вызывать только переход к турбулентности, но не обязательно нарушение общей картины течения с уловленным вихрем. Если при этом окажется, что нестационарные течения сосредоточены только в пограничных слоях и слое смешения, то потеря устойчивости не приведет к радикальному ухудшению аэродинамических характеристик. По существу, это вопрос об устойчивости течения с уловленным вихрем по отношению к крупномасштабным возмущениям. Этот вопрос выходит за рамки настоящей работы. Однако, нужно отметить, что авторы [16,17] предполагают, что срыв вихрей в поток можно ликвидировать путем наложения на крыло вибраций специального вида. Тот факт, что вибрации могут стабилизировать глобально неустойчивое течение подтвержден также и теоретически, в рамках идеализированной схемы (см. работу [18]), однако, на пути практического применения этого эффекта есть большие трудности.

В настоящее время ясно, что идея уловленного вихря осуществима. Первый пример ее практического воплощения - это полеты планера с так называемым крылом Каспера. На Рис.3 показана схема обтекания крыла Каспера с вихревыми образованиями между раздвигающимися в процессе полета элементами крыла [16,17]. Подбирая углы взаимного расположения

этих элементов, пилоту удавалось достичь устойчивости вихревых образований. Другим примером являются лабораторные эксперименты [19] (Кениг, Рошко). В эксперименте Кенига и Рошко рассмотрено осесимметричное течение, в котором между двумя телами наблюдалось устойчивое тороидальное вихревое образование.

В Институте механики МГУ также проведены эксперименты по исследованию двухмерного течения в лунке на стенке диффузора, стенка каверны - дуга окружности угловой величины 2л/3. Оказалось, что уловленный вихрь устойчив при всех исследованных режимах (С.В.Гувернюк, М.А.Зубин и [20]). В экспериментах Гувернюка и Зубина отчетливо наблюдался турбулентный пограничный слой у стенок вихревой ячейки и на стенке диффузора около нее.

Наконец, в пользу практической осуществимости идеи улавливания вихрей в ячейках свидетельствуют полеты экспериментального летательного аппарата "Экип", построенного в Саратове под руководством Л.Н.Щукина (Рис.2). Подъемная сила здесь создается при обтекании корпуса, а безотрывный характер течения обеспечен четырьмя вихревыми ячейками. Эти ячейки можно интерпретировать как

Рис. 3

каверны с центральными телами, вокруг которых располагаются уловленные вихри.

Несмотря на эти успехи, в большинстве случаев, реализовать течение такого типа пока не удалось [16,17]. В частности, при продувке в аэродинамической трубе крыла Каспера наблюдался сход крупномасштабных вихрей [21].

Желание разобраться в этом вопросе послужило одним из исходных мотивов настоящей работы.

Заметим, что при стремлении числа Рейнольдса к бесконечности, ламинарное течение, подобное изображенному на Рис.1, должно было бы описываться моделью Бэтчелора. Поэтому, можно попытаться понять физический механизм течений с уловленными вихрями, пользуясь этой моделью.

Модель Бэтчелора [15], предложена изначально, как гипотетическая структура обтекания тела с отрывом при больших числах Рейнольдса. Истинная структура была найдена позже [22] и оказалась сложнее. Согласно этой модели, стационарное вязкое течение при И. е оо стремится к одному из так называемых вихрепотенциальных течений. Вихрепотенциальным течением называется течение невязкой жидкости, потенциальное вне области замкнутых линий тока и с постоянной (в силу теоремы Прандтля -Бэтчелора) завихренностью внутри этой области. Граница этой области может быть тангенциальным разрывом.

При заданной форме обтекаемого тела, существует двухпараметрическое семейство таких течений [23-28]. Этими двумя параметрами могут быть завихренность в отрывной зоне и скачок постоянной Бернулли на линии, разделяющей внешний поток и течение внутри отрывной зоны. То есть, для однозначного определения вихрепотенциалыюго течения необходимо задать

скачок постоянной Бернулли и завихренность. В некоторых случаях вместо скачка постоянной Бернулли удобно использовать в качестве параметра положение точки отрыва.

При анализе асимптотических решений при Я е —»• со важную роль играет распределение давления на стенке. На участке с неблагоприятным градиентом давления пограничный слой может оторваться в точке, не совпадающей с точкой отрыва вихрепотенциального течения. Оказывается, что

вихрепотенциальные течения, в которых выше по потку от точки отрыва нет участка неблагоприятного градиента давления, редки. Если скорость течения внутри области замкнутых линий тока обращается в нуль в точке отрыва (то есть при отрыве от ненулевого угла или от гладкой поверхности, а не так как на Рис.1), то распределение давления возле точки отрыва подобно распределению давления в течении по схеме Кирхгофа, то есть градиент давления обращается в бесконечность при приближении к точке отрыва сверху по потоку. Для течений в кавернах [29] и для обтекания уступа [30] было показано, что этот градиент давления неблагоприятен. Более того, в последней работе показано, что в случае симметричного вихрепотенциального обтекания тела наличие участка с неблагоприятным градиентом давления является скорее правилом, чем исключением.

Необходимо еще следить за тем, чтобы пограничный слой не отрывался внутри каверны. Может показаться, что при подходящей форме каверны на Рис.1, давление будет возрастать только в слое смешения и убывать всюду вдоль стенки каверны, тогда отрыв внутри каверны был бы невозможен. К сожалению, это не так, то есть, внутри каверны всегда должны быть участки с неблагоприятным градиентом давления [31].

Вихрепотенциальное течение, являющееся пределом вязкого при числе Рейнольдса, стремящимся к бесконечности, называется течением по модели Бэтчелора. Таким образом, для определения течения по модели Бэтчелора надо с помощью учета вязких эффектов определить два параметра, задающих

вихрепотенциальное течение, то есть, например, завихренность в отывной зоне и положение точки отрыва.

Положение точки отрыва можно определить из условия Бриллюэна - Билля [32,33] при отрыве от гладкой поверхности, или из условия совпадения точки отрыва с угловой точкой контура тела, если таковая имеется. В общем случае, в невязком течении, в верхней по потоку полуокрестности точки отрыва градиент давления имеет асимптотику:

Здесь - натуральный параметр вдоль стенки обтекаемого тела, возрастающий в направлении потока, ^о - точка отрыва. Если &(5())> 0, то невязкое течение может быть пределом вязкого только в том случае, когда пограничный слой выше по потоку от точки отрыва вообще отсутствует. Этот случай соответствует отрыву при набегании потока на острую кромку [34]. Случай

&(50)< 0 соответствует отрыву от угловой точки [35,36]. И

наконец, если в невязком течении ~ 0, то это соответствует

отрыву от гладкой поверхности [32,33].

Итак, анализ вязких эффектов в окрестности точки отрыва уменьшает число параметров, определяющих вихрепотенциальное

течение, накладывая условие типа ) = 0 . При этом форма

отрывной зоны определяется только одним остающимся параметром, например, завихренностью в отрывной зоне.

Оставшийся параметр определяется из расчета циклического слоя, состоящего из слоя смешения на разделяющей линии тока и пограничного слоя у стенки тела, контактирующей с отрывной зоной. Циклический пограничный слой состоит из слоя смешения и пограничного слоя у стенки обтекаемого тела, контактирующей с зоной замкнутых линий тока. Около точек отрыва и торможения уравнения пограничного слоя могут быть не применимы но течение эффективно невязкое [37,38]. При этом нижняя часть слоя смешения, проходя сквозь окрестность точки присоединения, формирует начальный профиль в пристенном пограничном слое, а этот слой, проходя сквозь окрестность точки отрыва, формирует начальный профиль скорости для слоя смешения.

Точная постановка краевой задачи для циклического слоя будет дана в §2.1 (в §2.3 с учетом точечного тангенциального вдува на участках неблагоприятного градиента давления у стенки внутри каверны, играющей роль отрывной зоны), а здесь будут указаны основные свойства ее решения [39,40,41].

Если потребовать ограниченности значения скорости в циклическом слое, и если решение задачи о циклическом слое при заданном распределении давления существует, то оно единственно. Причем, для внутренней части циклического слоя начальный профиль скорости задавать не надо. В то же время, скорость в слое смешения должна сращиваться со скоростью невязкого течения в отрывной зоне. В общем случае решение краевой задачи о циклическом пограничном слое этому требованию не удовлетворяет. Подбором завихренности в отрывной зоне это требование можно удовлетворить.

Таким образом, если решение задачи о циклическом слое существует, то вихрепотенциальное течение, построенное по схеме Бэтчелора, однозначно определено.

Решение задачи о циклическом слое может не существовать в случае, если имеет место отрыв внутри отрывной зоны (вторичный отрыв) Если имеются точки торможения невязкого потока внутри отрывной зоны, то это явление неизбежно[30].

Если же отрыв происходит у гладкой стенки, на участке неблагоприятного градиента давления, то его можно ликвидировать с помощью например, тангенциального вдува.

Наличие точек торможения невязкого потока внутри отрывной зоны (таковые есть в модели обтекания тела по схеме Бэтчелора) приводит к тому, что решение задачи о циклическом слое не существует. Поэтому модель Бэтчелора не описывает асимптотику обтекания затупленных тел.

Если, однако, учесть все ограничения, о которых шла речь выше, то можно поставить задачу о построении тел такой формы, что предел их обтекания при больших числах Рейнольдса есть вихрепотенциальное течение, то есть течение по схеме Бэтчелора.

Такая схема получается при обтекании крылового профиля с каверной. В частности, если задать крыловой профиль, получить его потенциальное обтекание, определить положение точки отрыва, и заменить участок стенки, на котором происходит отрыв, линией тока, разделяющей внешний поток и течение внутри каверны подходящей формы, то можно получить течение по схеме Бэтчелора.

В некотором смысле, эта задача является обратной по отношению к задаче об обтекании с отрывом тела заданной формы, а именно, течение в каверне (в вихревой ячейке) можно по аналогии считать отрывной зоной, и разделяющая линия тока задана, а

требуется найти ту часть границы, которая соответствует контакту отрывной зоны с поверхностью обтекаемого тела.

В последующих главах работы построено семейство вихрепотенциальных течений такого типа, путем расчета циклического слоя выбрано то из этих течений, которое соответствует пределу вязкого течения, и рассмотрен вопрос о распространении полученной модели на случай турбулентных течений.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Бунякин, Алексей Вадимович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе были получены следующие основные результаты:

1. Впервые рассчитана форма каверны (вихревой ячейки) и вихрепотенциальное обтекание при обтекании крылового профиля с ней ( §1.3).

2. Рассчитан циклический пограничный слой, состоящий из пограничного слоя и слоя смешения на стенке круговой каверны (§2.1) и каверны более сложной формы при наличии вдува (§2.3), то есть для нескольких примеров построен первый член асимптотического разложения решения уравнений Навье- Стокса в этих случаях.

Тем самым доказано существование течений с вихрем, локализованным в вихревой ячейке и устраняющим отрыв пограничного слоя на профиле.

3. С помощью асимптотического анализа получена формула для завихренности в круговой вихревой ячейке при большой длине набегающего слоя по сравнению с длиной слоя смешения (§ 2.2).

4. Показано, что результаты численных расчетов, основанных на замене ламинарного циклического слоя турбулентным, находятся в качественном соответствии с результатами эксперимента.

Общий результат можно сформулировать так: на нескольких примерах, в рамках модели двумерного течения несжимаемой жидкости при больших числах Рейнольдса, смоделирована ликвидация отрыва на поверхности крылового профиля путем размещения на нем вихревой ячейки.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бунякин, Алексей Вадимович, 1998 год

Список литературы

1.Bertz A. History of boundary layer control research in Germany "Boundary layer and flow control" (edit. G.V.Lachmann), V.I, 1 - 20, London 1961

2. Schlichting H. Absaugung in der Aerodynamik WGL Jb. 1956, 19 -29 (1957)

3.Schlichting H. Enigie neuere Ergebnisse über

Grenzschichtbeeinflussung. Advances in Aerodynamical Sciences, V.II, Proc.Internat.Congr. in the Aeronautical Sciences in Madrid 1958. London 1959, 563 - 586

4.Poisson - Quinton Ph. Recherches théoriques et experementales surle contrôle de circulation parsouflage applique aux ailes d'avions. ONER A Publication Note Techique N 37 (1956)

5. Fox H., Libby P.A. Helium injection into the boundary layer at an axisymmetric stagnation point. JASS 29, 921 (1962)

6.Ackeret J., Ras M., Pfenninger W. Verhinderung des Turbulent -werdens einer Reibungsschicht durch Absaugung. Naturwissenschaften, 622 (1941) Helv.phys.Acta. 14, 323 (1941)

7.Schrenk O. Tragflügel mit Grezschichtabsaugung Luftfahrtforschung 2, 49 (1928); ZFM 22, 259 (1931); 12, 10 (1935); Luftwissen 7, 409; NAC A TM 974 (1941)

8. Willams J. A brief review of British research of boundary layer control for high lift V.I (edit. Lachmann G.V.) 74 - 103, London 1961

9. Favre A. Contribution a l'etude experemintale des mouvement hydrodynamiques a deux dimensions. These Universite de Paris 1938, 1 -192

lO.Truckenbrodt E. Die laminare Rebungssehicht an einer teilweise mitbewegten langsangestromten ebenen Platte. Abhldlg. Braunschweig Wiss. Ges. 4, 181 - 195

11 .Bertz A. Die Wirkungsweise von unterteilten Flugelprofilen. Berichte und Abhandlungen der Wiss. Geselsch. F. Luftfahrt. N 6 (1922) NAC A TM 100

12. Flügel G. Jb. d. Schiffbautechn. Geselchaft. 31, 87 (1930)

13.Способ управления пограничным слоем на аэродинамической поверхности летательного аппарата (14 октября 1991 года) Патент Российской Федерации N 2015941 А.И.Савицкий, Л.Н.Щукин, В.Г.Карелин и др.

14.Panent USA N 5,417,391 Method for control of the boundary layer on the aerodynamic surface of an aircraft, and the aircraft provided with the boundary layer control system (May 23, 1995) Состав авторов соответствует Российскому патент.

15.Batchelor G.K. A proposal concerning laminar wakes behind bluff bodies at large Reynolds number 1956, J.Fluid Mech. 1,

pp.388-398

16. Wu J.Z., Vakili A.D., Wu J.M. Review of the physics of enhancing vortex lift by unsteady excitation 1991 Progr. Aerosp. Sei. 28,73

17. Wu J.M. & Wu J.Z. Vortex lift at a very high angle of attack with massively separated unsteady flow 1992 In: Fluid Dynamic of High Angle of Attack. IUTAM Sumposium Tokyo, Japan, September 1317, 1992 (ed. R.Kawamura & Y.Aihara), p.34, September

18. Chernyshenko S.l. Stabilization of trapped vortices by alternating blowing-suction 1995, Phys. Fluids 7(4), pp.802-807

19.Koenig K. & Roshko A. An experimental study of geometrical effects on the drag and flow field of two bluff bodies separated by a gap 1985 J.Fluid Mech. 156, p. 167

20. С.В.Гувернюк, Г.Ю.Степанов, М.А.Зубин Экспериментальная установка для моделирования вихревых течений при движении турбулентного потока вблизи плоскости с цилиндрической лункой // Отчет НИИ механики при МГУ N 4462 за 1996 год.

21. Kruppa Е. W. A wmd tunnel investigation of the Kasper vortex concept 1977, AJAA Pap. 77-310

22. Чернышенко С.И. Асимптотическая форма стационарной отрывной зоны за обтекаемым телом при больших числах Рейнольдса 1988, ПММ, т.52(6), стр. 958-966

23. Moore D.W., Saffman P.G., Tanveer S. The calculation of some Batchelor flows: The Sadovskii vortex and rotational corner flow // Phys.Fluids 1988, 31, 978-990

24. Turfus C. Prandtl-Batchelor flow past a flat plate at normal incidence in a channel - inviscid analysis // J.Fluid Mech. 1993, 249, 59-72

25. Chernushenko S.I., Castro I.P. High - Reynolds - number asymptotics of the steady flow through a row of bluff bodies // J.Fluid Mech., 257,

pp. 421 -449

26. Шабат А.Б. On two sewmg problems // Док. Акад. Наук СССР 150(6), 1242 - 1245

27. Садовский B.C. Вихревая зона в потенциальном течении со скачком постоянной Бернулли на границе // Прикл. Матем. и Мех. 35(5), стр. 773 - 779

28. Гольдштик М .А. Вихревые течения 1981 // Новосибирск «Наука»

29. Herwig Н. Die Anwendung der asymptotichen Theorie auf lammare Stromungen mit endlichen Ablosegebieter// Z . Flugwiss. 1982, Weltzaumforsh. B46, (4), 266 - 279

ЗО.Чернышенко С И. Отрывное обтекание уступа, высота которого много больше толщины нижнего подслоя области взаимодействия 1991, Изв. АН СССР МЖГ, No.4, стр.25-30

31 .Bunyakin А. V., Chernyshenko S.I., Stepanov G. Yu. High - Reynolds -number Batchelor - model asymptotics of a flow past an aerofoil with a vortex trapped m a cavity // J.Fluid Mech. 1998, V. 358, pp. 283 - 297

32. Smith F.T. The laminar separation of an incompressible fluid streaming past a smooth surface 1977, Proc. R. Soc. Lond. A 356, No. 1687, 443-463

33.СычевВ.В. Ламинарный отрыв 1972, Изв. АН СССР МЖГ, No.3, стр.47-59

34. Сычев В.В. Отрыв пограничного слоя с плоской поверхности 1978, Уч. Зап. ЦАГИ, 9, No.3, стр.20-29

25. Рубан А.И. Ламинарный отрыв с угловой точки на жесткой поверхности'1974, Уч. Зап. ЦАГИ 5, No.2, стр.44-45

36. Рубан А.И. Теория ламинарного отрыва с угловой точки на жесткой поверхности 1976, Уч. Зап. ЦАГИ 7, No.4, стр.444-451

37. Матвеева Н.С., Нейланд В.Я. Ламинарный пограничный слой вблизи угловой точки поверхности тела 1967, Изв. АН СССР МЖГ, No.4, стр.64-70

38. Нейланд В.Я., Сычев В.В. Асимптоточеское решение уравнений Навье-Стокса в области с большими локальными возмущениями 1966, Изв. АН СССР МЖГ. No.4, стр.43-49

39. Чернышенко С.И. Приближенный метод определения завихренности в отрывной зоне при вязкости, стремящейся к нулю 1982, Изв. АН СССР МЖГ, No.l, стр. 10-15

40. Чернышенко С.И. Расчет течений маловязкой жидкости с разделяющей линией тока по модели Бэтчелора 1984, Изв. АН СССР МЖГ, No.2, стр, 40-45

41. Колосов Б.В., Шифрин Е.Г. Проблема граничных значений при изучении замкнутой стационарной отрывной зоны в несжимаемой жидкости 1975, ПММ, т.39, No.5, стр.773-779

42. Kuethe A.M., Chow C.Y. Foundations of Aerodynamics. Bases of Aerodynamic Design. 1986, John Willey & Sons, New York

43. Тихонов A.H., Гончарский A.B., Степанов В.В., Ягода А.Г. Численные методы для плохообусловленных задач М. "Наука"

44. Абрашкин A.A., Якубович Е.И. О стационарных течениях с постоянной завихренностью 1986, ИПФ АН СССР, Препринт

No.1282.

45. Абрашкин A.A., Якубович Е.И. Обтекание неоднородностей плоской поверхности с образованием присоединенного вихря ЖПМТФ 1988, т.5, стр. 81-84

46. Squire H.B. Note on the motion inside a region of recirculation (cavity flow) 1956, J. Roy. Aeron. Soc. 60, 20336.

47. Prandtl L. Uber ein neues Formelsystem fur die ausgebildete Turbulenz, Nachrichten der Akad. Wiss. Gottingen Mathphys., 1945, S. 6 -19, Van den Loech and Ruprecht, Gottingen

48. Prandtl L. Bemerkungen zur Theorie der freien Turbulenz, ZAMM, 1942,22, S. 241 -243

49. Prandtl L. Berich über Untersuchunger zur ausgebildeten Turbulenz, ZAMM, 1925, 5, S. 136

50. Патанкар С.В., Сполдинг Д.Б. Тепло - и массоперенос в пограничных слоях М.,"Энергия" 1971

51. Van - Driest E.R. Investigation of laminar boundary layer in compressible fluids using the Crocco method 1952, NACA TH 2597

52. Van - Driest E.R. On turbulent flow near wall J.Aeronaut.Sei. 1956, 23, p. 1007