Исследование устойчивости экстремалей функционала типа площади тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Полубоярова, Наталья Михайловна

• Полубоярова, Наталья Михайловна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Полубоярова, Наталья Михайловна

Введение

1 Формулы первой и второй вариации

1.1 Предварительные сведения, обозначения и терминология

1.2 Первая и вторая вариация функционала.

1.3 Выражение первой и второй вариаций в локальных координатах

2 Признаки устойчивости и неустойчивости экстремальных поверхностей

2.1 Емкостный признак неустойчивости.

2.2 Гауссово отображение экстремальных поверхностей

2.3 Признаки неустойчивости трубчатых поверхностей.

3 Исследование устойчивости поверхностей вращения

3.1 Первая и вторая вариация п-мерной поверхности вращения

3.2 Уравнение экстремалей для поверхностей вращения, заданных графиком функции.

3.3 Интегральный признак устойчивости поверхности вращения

3.4 О р-минимальных поверхностях вращения.

3.5 в-емкость для исследования поверхности вращения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование устойчивости экстремалей функционала типа площади»

Настоящая работа посвящена исследованию устойчивости экстремалей функционала типа площади IФ (§6М (1) м и имеет прикладное значение. В процессе развития теории капилярных поверхностей появились функционалы с нелинейной функцией, зависящей от единичной нормали к поверхности, которые отличаются от функционалов объема, и потребовали дополнительного исследования для получения признаков устойчивости и неустойчивости. В частности, в монографии Р. Финна [46] рассматриваются вопросы устойчивости капилярных поверхностей, а в работе В. А. Саранина [42] изучается устойчивость так называемых магнитных жидкостей, которые приводят к рассмотрению функционалов вида

Г(М) = I Ф(х,£)<Ш, (2) М где Ф : Мп+1 х К"4"1 —> К - С2 - гладкая функция, в качестве потенциальной энергии соответствующей физической системы.

Подобные вопросы также тесно связаны и с физическими задачами о равновесии различных систем и описании их устойчивых и неустойчивых состояний. В большинстве случаев решение сводится к исследованию положительной определенности второй вариации специального функционала, связанного с потенциальной энергией системы. Примерами такого функционала являются функционалы, являющиеся линейной комбинацией функционала площади и функционала объема, что приводит к исследованию поверхностей постоянной средней кривизны, которые моделируют, например, равновесные состояния двух жидких сред.

В настоящее время достаточно полно подобные исследования проведены для одномерных функционалов и для функционала площади. Имеется широкий спектр работ, посвященных задаче об устойчивости минимальных поверхностей в евклидовом и псевдоевклидовом пространствах, в частности, A.A. Тужилина, Ю.А. Аминова, А.Т. Фоменко, В.М. Миклюко-ва, В.А. Клячина, В.Г. Ткачева, A.B. Погорелова, М. до Кармо, Ч.К. Пенга, Ш. Яу, Р. Финна, Дж. Саймонса и др.

В данной работе были объединены несколько подходов для получения наиболее полного и подробного исследования изучаемых поверхностей. Остановимся на этом немного подробнее. В диссертационной работе проведено исследование на устойчивость экстремальных поверхностей для более широкого класса функционалов, чем функционалы площади. Так как в постановке задачи интеграл с нелинейной весовой функцией, зависящей от единичной нормали к поверхности. Для изучения устойчивости экстремальных поверхностей применены различные методы, например, емкостная техника, оценки площади образа гауссова отображения и прочие. Можно сказать, что в данной работе задачи, подобные тем, что решались в геометрии и вариационном исчислении (см., например, [2]), были решены методами теории функций комплексного переменного. Это позволило получить качественные и количественные характеристики устойчивых поверхностей, являющихся экстремалями функционала типа площади.

Пусть М - n-мерное, связное, некомпактное, ориентируемое многообразие класса С3 без края. Рассмотрим гиперповерхность A4 = (М,и), полученную С3 - вложением и : М —> R71"1"1, и С2 -гладкую функцию Ф(£) : Mn+1 —> R, Ф(—£) = Ф(£)- Если обозначить через £ поле единичных нормалей к поверхности A4, то для любой С2-гладкой поверхности Л4 определена величина (1), которая не зависит от выбора нормали

Основным объектом диссертации являются поверхности, являющиеся экстремалями функционала (1). Отметим, что для некоторых функций Ф(£) следует рассматривать задачу на минимум функционала Е(Л4), а для некоторых - на максимум. Как окажется ниже, это зависит от того положительно или отрицательно определена матрица д2Ф

О = {<^7=1' Сц = ощ + МФ - 0), (3) дФ дФ дФ \ ^ где ОФ = ——, ——,. —- , с - единичная нормаль к поверхности

М,

- символ Кронекера.

В данной работе будем рассматривать только такие функции Ф(£), для которых матрица знакоопределена.

В частности, если Ф(£) = 1, то экстремалями функционала (1) являются минимальные поверхности и соответствующая вариационная задача ставится на минимум. Если же положить Ф(£) = — 1, то экстремалями функционала (1) являются максимальные поверхности [16] в пространстве-времени Минковского для которых вариационная задача ставится на максимум. В том случае, когда матрица (3) не является знакоопределенной, экстремали соответствуют седловым точкам функционала и задача не ставится ни на минимум, ни на максимум. Примером является функционал, построенный по функции Ф(£) = -у/1 — Экстремали этого функционала являются времениподобными поверхностями нулевой средней кривизны в пространстве-времени Минковского.

Известно, что важной задачей теории минимальных поверхностей является определение условий устойчивости. Под устойчивостью понимается знакоопределенность второй вариации функционала (1) относительно любых бесконечно малых деформациях поверхности Л4. Из работ, посвященных этой тематике отметим, например [2], [13], [37], [42]- [44], [46], [47], [49]-[52].

В данной работе для функционалов указанного вида найден емкостный признак неустойчивости экстремалей и дано описание областей устойчивости. Полученные результаты дают возможность исследовать свойства устойчивых поверхностей. В частности, в работе доказана теорема, являющаяся обобщением емкостного варианта известной теоремы до Кармо и Пенга [49].

Все результаты диссертации являются новыми. Выделим основные из них.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Полубоярова, Наталья Михайловна, 2010 год

1. Авхадиев Ф. Г. Новые изопериметрические неравенства для моментов областей и жесткости кручения / Ф. Г. Авхадиев // Изв. вузов. Матем.- 2004. №7(506). - С. 3-11.

2. Аминов Ю. А. Минимальные поверхности. Цикл лекций / Ю. А. Аминов // Харьков: Ротапринт, ХГУ, 1978. 126 с.

3. Бессе А. Многообразия Эйнштейна / А. Бессе // М.: Мир, 1990. Т.1.- 318 с.

4. Бураго Ю. Д. Геометрические неравенства / Ю. Д. Бураго, В. А. За-лгаллер // Л.: Наука, 1980. 288 с.

5. ВеденяпинА. Д. Внешние размеры трубчатых минимальных гиперповерхностей / А. Д. Веденяпин, В. М. Миклюков // Мат. сб. 1986 - Т. 131.- С. 240-250.

6. Гелъфанд И. М. Лекции по линейной алгебре / И. М. Гельфанд // М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит. 1971. - 271 с.

7. Гольдштейн В. М. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения / В. М. Гольдштейн, Ю. Г. Решетняк // М.: Наука, 1983. 284 с.

8. Дубровин Б. А. Современная геометрия: Методы и приложения / Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко // М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит. 1986. - 760 с.

9. Кесельман В.М. О поведении в целом неограниченной гиперповерхности с квазиконформным гауссовым отображением / В. М. Кесельман,В. М. Миклюков // Печати. Деп. Сибирск. матем. журн. 1984. — Т. 25. №6. - 0,1 п/л.

10. Кеселъман В. М. О полных гиперповерхностях с квазиконформным гауссовым отображением / В. М. Кесельман, В. М. Миклюков // ВИНИТИ РАН. 1984. - № 3254-84 Деп. - 0,4п/л.

11. Клячин В. А. Максимальные гиперповерхности трубчатого типа в пространстве Минковского / В. А. Клячин, В. М. Миклюков // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1991. - Т. 55. Вып. 1. - С. 206-217.

12. Клячин В. А. Максимальные трубчатые поверхности произвольной коразмерности в пространстве Минковского / В. А. Клячин // Изв. РАН. Сер. мат. 1993. - Т. 157. №4. - С. 118-131.

13. Клячин В. А. Об одном емкостном признаке неустойчивости минимальных гиперповерхностей / В. А. Клячин, В. М. Миклюков // Докл. РАН. 1993. - Т.ЗЗО. Ш. - С. 424 - 426.

14. Клячин В. А. О строении гауссова образа максимальных поверхностей в пространстве Минковского / В. А. Клячин // Геометрический анализ. Волгоград: ВолГУ, 1999. - С. 189-203.

15. Клячин В. А. Признаки неустойчивости поверхностей нулевой средней кривизны в искривленных лоренцевых произведениях / В. А. Клячин, В. М. Миклюков // Матем. сб. 1996.- Т. 187. №11. - С. 67-88.

16. Кобаяси Ш. Основы дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси, К. Номидзу // М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит. 1981. - Т. 1. - 175 с.

17. Кобаяси Ш. Основы дифференциальной геометрии / Ш. Кобаяси, К. Номидзу // М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит. 1981. - Т. 2. - 212 с.

18. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин // М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит. 1972. - 543 с.

19. Медведева Н. М. Емкостный признак неустойчивости для экстремалей функционала весовой площади / Н. М. Медведева // Материалы международной школы-конференции «Лобачевские чтения 2002». -Казань: Казан, мат. об-во, 2002. - Т. 18. - С. 59-60.

20. Медведева Н. М. Емкостный признак неустойчивости / Н. М. Медведева // VII Межвузовская конференция студентов и молодых ученых г. Волгограда и Волгоградской области. Вып.4: Физика и математика: Тезисы докладов. Волгоград: ВолГУ, 2003. - С. 51-52.

21. Медведева Н. М. Исследование устойчивости экстремальной поверхности вращения / Н. М. Медведева // Геометрический анализ и его приложения: Тезисы докладов международной школы-конференции. -Волгоград: ВолГУ, 2004. С. 128-129.

22. Медведева Н. М. Исследование устойчивости экстремальных поверхностей вращения / Н. М. Медведева // Известия Саратовского университета. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2007.- Т. 7. Вып. 2. - С. 25 - 32.

23. Медведева Н. М. Квазиконформность гауссова отображения экстремальных поверхностей / Н. М. Медведева // Материалы международной школы-конференции «Лобачевские чтения 2003». - Казань: Казан, мат. об-во, 2003. - Т. 21. - С. 163-164.

24. Медведева Н. М. Об устойчивости экстремальной поверхности вращения / Н. М. Медведева // Материалы Седьмой международной научной школы-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы». Казань: Казан, мат. об-во, 2005. - Т. 30. - С. 106-107.

25. Медведева Н. М. Оценка емкости конденсатора / Н. М. Медведева // IX Межвузовская конференция студентов и молодых ученых г. Волгограда и Волгоградской области. Вып.4. Физика и математика: тез. докл. Волгоград: ВолГУ, 2005. - С. 65-66.

26. Медведева Н. М. Параболичность и устойчивость экстремальной поверхности / Н. М. Медведева // Вестник Волгоградск. гос. ун-та. Серия 1: Математика. 2005. - Вып. 9. - С. 48-53.

27. Медведева Н. М. Признак неустойчивости экстремальной поверхности из Нп / Н. М. Медведева // Материалы международной научной конференции «Алгебра и анализ 2004». Казань: Казан, мат. об-во, 2004. - Т. 23. - С. 100-101.

28. Медведева Н. М. Пример нахождения областей устойчивости р минимальных поверхностей / Н. М. Медведева // Современные проблемы теории функций и их приложения: тезисы докладов 13-ой Саратовской зимней школы. - Саратов: Научная книга, 2006. - С. 115-116.

29. Medvedeva N. М. The research of stability of extremal surfaces of rotation / N. M. Medvedeva // Научное издание. 12-ая Международная конференция ассоциации европейских женщин-математиков. Тезисы докладов.- Волгоград: ВолГУ, 2005. С. 69-70.

30. Миклюков В.М. Об асимптотических свойствах субрешений квазилинейных уравнений эллиптического типа и отображений с ограниченным искажением / В. М. Миклюков // Геометрический анализ. Волгоград: ВолГУ, 1999 - С. 52-86.

31. Миклюков В. М. Некоторые свойства трубчатых минимальных поверхностей произвольной коразмености /В.М. Миклюков, В. Г. Ткачев // Мат. сб. 1989. - Т. 180. №9. - С. 1278-1295.

32. Погорелое А. В. Об устойчивости минимальных поверхностей / А. В. Погорелов // ДАН СССР. 1981. - Т. 260. №. - С. 293-295.

33. Позняк Э. Г. Дифференциальная геометрия: первое знакомство / Э. Г. Позняк, Е. В. Шикин // М.: МГУ, 1990. 384 с.

34. Полубоярова Н. М. Исследование устойчивости n-мерных экстремальных поверхностей вращения / Н. М. Полубоярова // Материалы Девятой молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения- 2010». Казань: Казан, матем. об-во, 2010. - Т. 40. - С. 274-278.

35. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением / Ю. Г. Решетняк // Новосибирск: «Наука» Сиб. отд. 1982.- 279 с.

36. Саранин В. А. Равновесие жидкостей и его устойчивость / В. А. Са-ранин // М.: Институт компьютерных исследований, 2002. 144 с.

37. Тужилин А. А. Индексы типа Морса двумерных минимальных поверхностей в R3 и Н3 / А. А. Тужилин // Изв. АН СССР. Сер. матем.- 1991. Т.55. №2. - С. 581-607.

38. Тужилин А. А. Элементы геометрии и топологии минимальных поверхностей / А. А. Тужилин, А. Т. Фоменко // М.: Наука, 1991. 174 с.

39. Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли / Ф. Уо-рнер // М.: Мир, 1987. 304 с.

40. Финн Р. Равновесные капиллярные поверхности / Р. Финн // Математическая теория, М.: Мир, 1989. 312 с.

41. Фоменко А. Т. О скорости роста и наименьших объемах глобально минимальных поверхностей в кобордизмах / А. Т. Фоменко // Труды семинара по вект. и тенз. анализу, Вып. 21. М.:МГУ, 1985. - С.3-12.

42. Finn R. On the volume infimum for liquid bridges / R. Finn, T. I. Vogel // Z. Anal. Anwendungen. 1992. - №11. - P. 3-23.

43. Hoffman D. The area of generalized gaussian image and the stability of minimal surfaces in Sn and Rn j D. Hoffman, R. Osserman // Math. Ann. 1982. - №260. - P. 437-452.

44. Langbein D. Stability of liquid bridges between parallel plates / D. Langbein I j Microgravity Sei. Techn. 1992- №5. - P. 2-11.

45. Simons J. Minimal varieties in riemannian manifolds / J. Simons // Ann. of Math. 1968. - V.88. №1. - P.62-105.

46. Vladimir G. Tkachev. External geometry of p-minimal surfaces / Vladimir G. Tkachev // Geometry from the Pacific Rim, de Gruyter, Berlin, 1997. P. 363-375.