Проблема продолжения функций при ограничениях на градиент тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Клячин, Алексей Александрович

• Клячин, Алексей Александрович
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Клячин, Алексей Александрович

Введение

Глава I. Подготовительные результаты

1.1 Псевдометрические пространства

1.2 Лоренцевы искривленные произведения

1.3 Уравнение максимальных поверхностей

Глава II. Продолжение функций при ограничениях на градиент 66 ^ 2.1 Продолжение липшицевых функций в псевдометрических пространствах

2.2 Финслерова метрика

2.3 Сравнение с евклидовой границей

Глава III. Изотропные гиперповерхности и минимальные продолжения липшицевых функций 102 3.1 Изотропные поверхности в искривленных лоренцевых произведениях 102 ^ 3.2 Существование и единственность изотропного продолжения

3.3 Множество единственности и изотропные поверхности

Глава IV. Решения с особенностями уравнения максимальных поверхностей

4.1 Постановка задачи

4.2 Поведение двумерных максимальных поверностей на бесконечности

4.3 Теоремы единственности

4.4 Существование максимальных поверхностей с заданным вектором потока

Глава V. Существование решений с особенностями уравнения поверхностей заданной средней кривизны в пространстве Минковского

5.1 Постановка задачи

5.2 Множество 0{ф,А)

5.2 Граничные точки можества 0((р,А)

5.3 Предварительные утверждения

5.4 Единственность и устойчивость

5.5 Гомеоморфность отображения (i

5.6 Основная теорема

Глава VI. Асимптотическое поведение решений уравнения поверхностей заданной средней кривизны

6.1 Оценки скорости стабилизации ограниченных решений

6.2 Поведение решений на бесконечности 170 • Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Проблема продолжения функций при ограничениях на градиент»

А. Общая характеристика работы.

Диссертационная работа выполнена в русле геометрического анализа — активно развивающегося: в последние десятилетия направления, включающего в себя, в частности, ряд крупных проблем анализа на многообразиях. Основным объектом исследования в работе являются псевдометрические пространства и функции, экстремальные для функционала площади в пространстве Минковского. Круг рассматриваемых задач связан с проблемой продолжения функций с ограничением на градиент и приложениями полученных результатов к проблемам качественного анализа экстремалей функционала площади.

Актуальность темы. Задачи, относящиеся к вопросам существования и единственности, устойчивости и асимптотического поведения, геометрического и топологического строения минимальных поверхностей и максимальных поверхностей в пространстве Минковского рассматривались в работах многих отечественных и зарубежных математиков: Ю.А. Аминова, Р. Бартника, С.Н. Бернштейна, Э. Джусти, А.О. Иванова, В.А. Клячина, В.М. Миклюкова, Й.С.С. Ниче, Р. Ос-сермана, Ю.Г. Решетняка, И.Х. Сабитова, JI. Саймона, В.Г. Ткачева, А.А. Тужилина, Р. Финна, А.Т. Фоменко, С. Ченга, Е.М. Чирки, Е.В. Шикина, С. Яу и др.

Исследование решений ряда нелинейных уравнений с частными производными приводит к изучению функций с различного рода условиями на градиент. Например, для многих вариационных задач и краевых задач для квазилинейных уравнений с частными производными ключевой является задача описания класса допустимых функций. Так, задача Дирихле для уравнения максимальных поверхностей в пространстве

Минковского div ( . V/ \ = 0 (0.1)

W1 - iwi2/ приводит к исследованию задачи о продолжении граничной функции <р : dQ —> R до функции / : Г2 —» R, график которой является пространственно подобной поверхностью в пространстве Минковского (см. работы Ф. Флаерти [52], Р. Бартника и JI. Саймона [41]), что равносильно требованию |\7/(ж)| < 1.

Подобная же задача возникает при исследовании вопросов существования решений с особенностями уравнения максимальных поверхностей, как в ограниченных, так и в неограниченных областях. Стоит также сказать, что даже частичное решение задачи о существовании пространственно подобных продолжений позволило исследовать вопросы устранения особенностей решений уравнения максимальных поверхностей в произвольных областях (см. работу В.М. Миклюкова [29]).

Еще одним примером является уравнение газовой динамики (см. [24, с. 314]). Интересно, что возникающие при этом ограничения на градиент интерпретируются как дозвуковое и сверхзвуковое течение газа.

Отметим, что с точки зрения вариационных задач для описания множества допустимых функций для функционала площади \Jl — |V/(;r)|2 dx о достаточно ограничиться изучением локально липшицевых функций. В этом случае требование пространственно подобности можно заменить условием ess sup |V/(:c)| < 1 для любого компакта К С £1. хек

В случае выпуклых областей Q, С Rn решение данной проблемы непосредственно следует из классической теоремы Кирсбрауна о продолжении липшицевых функций (см. теорему 2.10.43 в книге Г. Федерера [39] и новейшие результаты в работах В.А. Милмана [58], [59]).

С другой стороны, многие работы посвящены изучению решений уравнения

Аоо и = О и их связям с функциями, имеющими постоянный по модулю градиент. В свою очередь, такие функции описываются в терминах минимальных и абсолютно минимальных липшицевых продолжений. Задачам, связанным с минимальными липшицевыми продолжениями, посвящены работы Г. Аронсона [40], Р. Иенсена [54], М.Г. Крандолла, JI.C. Эван-са, Р.Ф. Гарипи [50], П. Юутинена [55] и др. Геометрически условие равенства единице модуля градиента функции означает изотропность ее графика в пространстве Минковского. До настоящего времени задача существования изотропных поверхностей с заданным краем не была исследована.

Большой интерес представляют поверхности нулевой средней кривизны в пространстве Минковского, имеющие особые точки. Это обусловлено тем, что решения уравнения максимальных поверхностей допускают наличие изолированных особенностей. Сказанное мотивирует изучение вопросов существования, единственности таких решений и их поведение в окрестности особых точек.

Строение решений уравнения максимальных поверхностей в окрестности конечной особой точки и асимптотические свойства максимальных трубок и лент достаточно полно изучены в работах В.М. Мик-люкова и В.А. Клячина [18], [19], [20], [26]. В этих работах было дано разложение решения в окрестности особенности в степенной ряд, доказаны теоремы типа Фрагмена-Линделефа для гауссова отображения максимальной поверхности, получен аналог теоремы И.С.С. Ниче [31] о единственности решения для уравнения типа максимальных поверхностей. Следует также отметить результаты О. Кобаяси [56], К. Экера [51], В.А. Клячина и В.М. Миклюкова [18], [30] о световом характере изолированных особенностей. Исследование задачи Дирихле для этого уравнения было начато в работах Ф. Флаерти [52], Р. Бартника и JL Саймона [41]. Позже вопросы существования и единственности решений с особенностями уравнения (0.1) в ограниченных и неограниченных областях рассматривались в работах А.А. Клячина и В.М. Миклюкова [10], [11].

Среди работ, посвященных изучению целых решений уравнения максимальных поверхностей следует отметить, в первую очередь, работы Е. Калаби [45], С. Ченга и С. Яу [46] . Ими было установлено, в частности, что графиком решения уравнения (0.1), определенного всюду в Rn, является гиперплоскость (аналог теоремы С.Н. Бернштейна [1] для уравнения минимальных поверхностей). Решения с одной изолированной особенностью изучались О. Кобаяси [56] и К. Экера [51]. Ими было показано, что графиком решения уравнения максимальных поверхностей, определенного всюду за исключением одной точки является поверхностью вращения в R"+1 вокруг некоторой времени подобной прямой. Однако, более общая задача описания множества решений уравнения (0.1) с несколькими особенностями оставалась не исследованной. Главной трудностью при решении данной задачи было отыскание геометрических характеристик решения, посредством которых такое решение определялось бы однозначно.

Поверхности заданной средней кривизны в пространстве Минков-ского обладают также рядом отличительных свойств. В первую очередь нужно отметить, что множество целых решений данного уравнения, определенных в Rn, не исчерпывается поверхностями вращения.

Вопросам существования таких решений посвящены работы X. Чоя и А. Трайбергса [47], [48], [49], [62]. Ими так же исследовалась задача определения конформного типа двумерных поверхностей заданной средней кривизны. Наиболее полно признаки параболичности и гиперболичности типа таких поверхностей были изучены В.М. Миклюковым в работе [28].

Определяющую роль при исследовании многих глобальных свойств решений уравнения поверхностей заданной средней кривизны играют теоремы существования и единственности решений задачи Дирихле для данного уравнения, полученные в работах Р. Бартника и Л. Саймона [41], [42], [43]. Однако остались незатронутыми вопросы разрешимости задачи Дирихле с особенностями и вопросы асимптотического поведения поверхности в зависимости от поведения средней кривизны поверхности на бесконечности.

Целью нашей работы является исследование пространственно подобных графиков функций, являющихся экстремалями функционала площади в пространстве Минковского. В связи с этим, нас будут интересовать вопросы относящиеся к проблемам продолжения функций при ограничениях на градиент.

Методика исследований базируется на теоретико-функциональных подходах и изучении поведения липшицевых функций в псевдометрических пространствах.

Научная новизна и практическая значимость. В настоящей работе получила дальнейшее развитие техника использования методов теории функций и математического анализа в совокупности с методами теории квазилинейных уравнений эллиптического типа для исследования вопросов существования продолжения функций с ограничениями на градиент. Дано применение полученных результатов для описания условий разрешимости и единственности различного рода краевых задач для уравнения максимальных поверхностей.

Опираясь на указанные методы, автором получены следующие результаты.

• Найдены необходимые и достаточные условия существования функций с заданными граничными значениями при определенных ограничениях на градиент. Даны условия продолжимости липшицевых функций в метрическом и псевдометрическом пространствах.

• Выявлены функциональные условия существования пространственно подобных гиперповерхностей с заданным краем в лоренце-вых искривленных произведениях.

• Указаны геометрические характеристики особенностей решений уравнения максимальных поверхностей и в терминах этих характеристик описаны все такие решения.

• Описаны условия на граничную функцию, обеспечивающие существование и единственность решения уравнения заданной средней кривизны.

• Получены оценки асимпотического поведения на бесконечности поверхностей ненулевой средней кривизны в пространстве Минковского.

Структура диссертации. Диссертация содержит 179 страниц и состоит из введения, шести глав и библиографического списка.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Клячин, Алексей Александрович, 2004 год

1. Бернштейн С.Н. Об одной геометрической теореме и ее приложениях к уравнениям в частных производных эллиптического типа// Собр. соч. Т. 3. М: Изд-во АН СССР. 1.60. С. 251-258.

2. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высш. школа, 1991. 303 С.

3. Бим Дж., Эрлих П., Глобальная лоренцева геометрия, М.: Мир, 1990.

4. Гилбарг Д., Трудингер М. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.

5. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука. 1979.

6. Grigoryeva Е., Klyachin A. and Miklyukov V., Problem of Functional Extension and Space-Like Surfaces in Minkowski Space, ZAA, 2002. V.21. N 3, p. 719-752.

7. Клячин A.A., Миклюков В.М. Пространственноподобные гиперповерхности и здача о продолжении функций с ограничениями на градиент// ДАН СССР. 1991. Т. 320. N 4. С. 781-784.

8. Клячин А.А., Миклюков В.М. Следы функций с пространственно-подобными графиками и задача о продолжении при ограничениях на градиент, Матем. сб., 1992, т. 183, N 7, С. 49—64.

9. Клячин А.А., Миклюков В.М., Существование решений с особенностями уравнения максимальных поверхностей в пространстве Минковского// Матем. сб., 1993, т. 184, N. 9. С. 103-124.

10. Клячин А.А. Разрешимость задачи Дирихле для уравнения максимальных поверхностей с особенностями в неограниченных областях // Докл. РАН. 1995. Т. 342. С. 161—164.

11. Клячин А.А. Описание множества целых решений с особенностями уравнения максимальных поверхностей // Сборник научных трудов "Геометрический анализ и его приложения". Волгоград: Изд-во Волгоградского государственного университета, 1999. С. 166 188.

12. Клячин А.А. Некоторые оценки решений уравнения поверхностей заданной средней кривизны в пространстве Минковского// "Вестник ВолГУ. Математика. Физика". 2000. С. 28—33.

13. Клячин А.А. Теорема существования и единственности целых решений уравнения максимальных поверхностей с особенностями// Тезисы докладов международной конференции-школы по геометрии и анализу, посвященной памяти А.Д.Александрова, Новосибирск. 2002. С.49.

14. Клячин А.А. Асимптотическое поведение решений уравнения заданной средней кривизны в пространстве Минковского// Труды кафедры математического анализа и теории функций. Изд-во Волгоградского госуниверситета. 2002. С. 47-55.

15. Клячин А.А., Миклюков В.М. Изотропные гиперповерхности и минимальные продолжения липшицевых функций// Тезисы докладов конференции "Колмогоров и современная математика". Изд-во МГУ. 2003. С.889.

16. Клячин А.А. Описание множества решений с особенностями уравнения максимальных поверхностей// Мат. сб. 2003. Т. 194. N 7. С.83-104.

17. Клячин В.А., Миклюков В.М. Максимальные гиперповерхности трубчатого типа в пространстве Минковского //Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1991. Т.55. N1. С.206-217.

18. Клячин В. А. Об асимптотических свойствах максимальных трубок и лент в окрестности изолированной особенности в пространстве Минковского // Сиб. мат. ж. 2002. Т. 43. N 1. С. 76 89.

19. Klyachin V.A. and Miklyukov V.M.// Annales Academiae Scientiarum Fennicae Mathematica. 2003. V. 28. P.239-270.

20. Кобаяси HI., Номидзу К., Основы дифференциальной геометрии. Т.2. М.: Наука, 1981.

21. Кондратов А.Н. Об одном признаке параболичности римано-вой метрики на плоскости. Вестник ВолГУ. Серия 1: Математи-ка.Физика. 1999. Выпуск 4. С. 13-19.

22. Кондратов А.Н. Двумерные минимальные поверхности в псевдоевклидовом пространстве// ДАН России. 1999ю Т. 365. N 3. С. 319-321.

23. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. Москва "Наука",'1987. С. 688.

24. Лосева Н.В. Некоторые свойства трубок заданной средней кривизны/ / "Геометрический анализ и его приложения". Волгоград: Изд-во Волгоградского государственного университета, 1999. С. 288 -305.

25. Миклюков В.М. Максимальные трубки и ленты в пространстве Минковского //Матем. сб. 1992. Т. 183. N12. С. 45-76.

26. Миклюков В.М. Об одном новом подходе к теореме Бернштейна и близким вопросам уравнений типа минимальных поверхностей. Матем. сб. 1979. Т. 108. N 2. С. 263-289.

27. Миклюков В.М. Некоторые признаки параболичности и гиперболичности граничных множеств поверхностей. Известия РАН. Сер. мат. 1996. Т. 60. N 4. С. 111-158.

28. Миклюков В.М. Множества особенностей решений уравнения максимальных поверхностей в пространстве Минковского// Сиб. мат. журн. 1992. Т. 131. N 6. С. 131-140.

29. Миклюков В.М. Об одной лоренц-инвариантной характеристике максимальных трубок в пространстве Минковского// Докл. АН СССР. 1992. Т.322. С. 781-784.

30. Ниче И. С. О новых результатах в теории минимальных поверхностей// Математика. 1967. Т. 11. N 3. С. 37-100.

31. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.

32. Рунд X. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств. М.: Наука, 1981.

33. Суворов Г.Д. Обобщенный "принцип длины и площади" в теории отображений. Киев: Наук, думка, 1985.

34. Ткачев В.Г. Некоторые оценки средней кривизны графиков над областями в Rn// ДАН СССР. 1990. Т. 314. N 1.

35. Ткачев В.Г. Некоторые оценки средней кривизны непараметрических поверхностей, заданных над областями в Rn// Укр. геом. сб. 1992. Т. 35. С. 135-150.

36. Ткачев В.Г., Решетникова И.М. О гауссовом образе минимальных трубок с ненулевым углом вектора-потока// Вестник ВолГУ. Серия "Математика. Физика". 1996. Т. 1. С. 35-40.

37. Tkachev V.G., Ushakov A.N., Fuglede theorem in Finsler space, Tez. dokl. shkoly-seminara "Potential theory", Kiev, 1991.

38. Федерер Г., Геометрическая теория меры, М.: Наука, 1987.

39. Aronsson G., Extension of functions' satisfying Lipschitz conditions, Arkiv for matematik, 1967, Band 6, n. 28, p. 551-561.

40. Bartnik R., Simon L., Spacelike Hypersurfaces with Prescribed Boundary Values and Mean Curvature, Commun. Math. Phys., 1982/83, 87, p. 131-152.

41. Bartnik R. Existence of maximal surfaces in asymptotically flat spacetimes// Commun. Math. Phys. 1984. V.94. P.155-175.

42. Bartnik R. Regularity of variational maximalk surfaces// Acta mathematica. 1988. V. 161. P.143-181.

43. Bers L. Nonlinear elliptic equation without nonlinear entire solutions. J. Rat. Mech. 1954. V. 3. P. 767-787.

44. Calabi E. Examples of Bernstein problems for some nonlinear equations, Proc. Sys. Pure Math., 1970. V. 15. P. 223-230.

45. Cheng S.Y., Yau S.T. Maximal spacelike surfaces in Minkowski space // Ann. Math. 1976. V. 104. P. 407—419.

46. Choi H.I., Treibergs A. Gauss maps of spacelike constant mean curvature hypersurfaces of Minkowski space // J. Differential Geometry. 1990. N 32. P. 775 817.

47. Choi H.I., Treibergs A. Constructing Harmonic Maps into the Hyperbolic Space// Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. 1993. V.54. P.101-109.

48. Crandall M.G., Evans L.C., Gariepy R.F., Optimal Lipschitz extensions and the infinity laplasian, Calc. Var., 2001, v. 13, p. 123139.

49. Ecker K. Area maximizing hypersurfaces in Minkowski space having an isolated singularity // Manuscr. Math. 1986. V. 56. N 4. P. 375—397.

50. Flaherty F.J. The boundary value problem for maximal hypersurfaces, Proc. Not. Acad. Sci. USA, 1979, v.76, N 10, p. 4765-4767.

51. Jenkins H. On quasilinear elliptic equations which arise from variational problems. J. Rat. Mech. 1956. V. 10. P. 705-728.

52. Jensen R., Uniqueness of Lipschitz extension: minimizing the sup norm of the gradient, Arch. Rational Mech. Anal., 1993, v. 123, p. 51-74.

53. Juutinen P., Absolutely minimizing Lipschitz extensions on a metric space, Annales Academiae Scientiarum Fennicae. Mathematica, 2002, v. 27, p. 57-67.

54. Kobayashi О. Maximal surfaces in the 3-dimensional Minkowski space L3. // Tokyo J. Math. 1983. v. 6. p. 297 309.

55. McShane E.J., Extension of range of functions, Bull. Amer. Math. Soc., 1934, 40, p. 837-842.

56. Milman V.A., Extension with minimal Lipschitz coefficient, Institute of Engineering cybernetics, Minsk, Preprint N4, 1997.

57. Milman V.A., Absolutely minimizing extensions of real functions on metric spaces, Institute of Engineering cybernetics, Minsk, Preprint N6, 1997.

58. Moser J. On Harnack's theorem for elliptic differential equations // Communications on pure and applied mathematics. 1961. V. 14. P. 577—591.

59. Tkachev V.G., Reshetnikova I.M. On the Gauss map of embedded minimal tubes // Note di Matematica 19 (1999). N 1. P. 7-17 (2000) (MR 2001k:53122).

60. Treibergs A. Entire Spacelike Hypersurfaces of constant mean curvature in Minkowsky Space // Invent. Math. 1982. V. 66. P. 3956.

61. Vuorinen M., Conformal geometry and quasiregular mappings.// Lectures Notes in Math., 1319, Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1988.

62. Whitney H., Analytic extensions of differentiable functions defined in closed sets, Trans. Amer. Math. Soc., 1934, 36, p. 63-89.