Исследование устойчивости дифференциальных включений методом усреднения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Балабаева, Наталья Петровна

• Балабаева, Наталья Петровна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Балабаева, Наталья Петровна

Введение

Глава 1 Устойчивость систем дифференциальных неравенств и включений на асимптотически большом отрезке

1.1 Основные понятия и классы отображений.

1.2 Аппроксимация дифференциальных включений.

1.3 Задача Чаплыгина для дифференциальных неравенств и условие Важевского.

1.4 Постановка задачи и основные предположения.

1.5 Основная теорема.

1.6 Примеры исследования устойчивости систем дифференциальных неравенств и включений.

1.7 Теоремы о неустойчивости.

Глава 2 Устойчивость систем дифференциальных включений

2.1 Постановка задачи об устойчивости систем дифференциальных неравенств и включений на бесконечном промежутке.

2.2 Устойчивость систем дифференциальных неравенств и включений

2.3 Равномерная экспоненциальная устойчивость дифференциальных уравнений с управлением и липшицевой правой частью.

2.4 Равномерная экспоненциальная устойчивость нелипшицевых дифференциальных уравнений с управлением

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование устойчивости дифференциальных включений методом усреднения»

Вопросы устойчивости имеют огромное теоретическое и практическое значение. Основы теории устойчивости были заложены в конце XIX века A.M. Ляпуновым в его знаменитой диссертации "Общая задача об устойчивости движения" [48].

Дальнейшему развитию теории устойчивости были посвящены известные монографии А.И. Лурье [47], Н.Г. Четаева [87], И.Г. Малкина [49], Н.Н. Красовского [45], В.И. Зубова [40], Н.П. Еругина [37, 38].

Основными методами теории устойчивости являются первый и второй методы Ляпунова. Первый метод делает заключение об асимптотической устойчивости или неустойчивости на основе изучения системы линейного приближения с постоянными коэффициентами. Обзор работ по применению первого метода Ляпунова дан в [31, 39].

Второй (прямой) метод предполагает известной функцию Ляпунова — функцию координат, имеющую смысл обобщенного расстояния до стационарного состояния. В этом случае заключение об устойчивости, асимптотической устойчивости или неустойчивости делается по свойствам производной, вычисленной в силу уравнений системы. Второй метод Ляпунова, в том числе метод вектор-функций Ляпунова, получил развитие в работах В.М. Матросова [50, 51, 52], М.М. Хапаева [81, 82, 83], А.А. Воронова [30, 32], Б.В. Воскресенского [33, 34, 35], О.В.Анашкина

3, 4, 5] и др.

Начиная с середины сороковых годов XX века стали появляться работы, посвященные задачам об асимптотической устойчивости, когда область начальных возмущений нельзя считать малой. В значительной степени эти исследования были вызваны задачами, возникшими в теории автоматического регулирования. Эта теория была развита в разных направлениях многими авторами [2, 22, 30, 32, 44, 45, 49, 57, 59].

В начале шестидесятых годов возникла идея объединить методы дифференциальных неравенств С.А. Чаплыгина [86] с возможностью использования совокупности нескольких функций Ляпунова. В работе [50] на основе объединения этих концепций были разработаны методы определения условий устойчивости на базе векторных функций Ляпунова и развит принцип сравнения. Эти обобщения основаны на работе Т.Важевс-кого [92] о дифференциальных неравенствах. Наиболее полное математическое обоснование принципа дано в [52]. Метод конкретизирован для систем с распределенными параметрами [42, 65], а также для динамики систем процессов и динамики абстрактных систем [54], где используется принцип сравнения с несколькими векторными функциями Ляпунова и системами сравнения. Обзор результатов, полученных при помощи метода сравнения, дан в серии статей В.М. Матросова [53].

В это же время интенсивное развитие получила задача об устойчивости движения по отношению к части переменных. Такая задача возникает прежде всего в прикладных проблемах, когда для нормального функционирования объекта достаточно обеспечить его устойчивость лишь по части переменных. Исследования в этой области отражены в работах [8, 63, 81] и наиболее полно систематизированы в работе [62].

В настоящее время основные теоремы теории устойчивости перенесены на дифференциальные включения.

Важные результаты по существованию и свойствам решений дифференциальных уравнений с многозначной правой частью (дифференциальных включений) были представлены в работах А.Ф. Филиппова [77, 78, 80], где также была установлена связь дифференциальных включений с задачами оптимального управления. Исследование дифференциальных включений потребовало изучения свойств многозначных функций. Достаточно обширная библиография таких работ содержится в [25, 27, 76]. Используемый в данной работе математический аппарат (теория опорных функций, элементы выпуклого анализа и теории многозначных отображений) изложен в [23, 24, 27, 69].

Характерной чертой описания многих реальных динамических систем является разномасштабность скоростей изменения различных групп фазовых переменных. Эффективное средство исследования подобных систем (систем с раделяющимися движениями) — метод усреднения. Вопросы обоснования и развития метода усреднения изучались в работах Н.М. Крылова, Н.Н. Боголюбова, Ю.А. Митропольского [26, 46, 55]. Обширная библиография по вопросам усреднения содержится в [56].

Первые результаты по усреднению дифференциальных включений были получены В.А. Плотниковым [60, 61]. Для дифференциальных включений с быстрыми и медленными переменными основные теоремы об аппроксимации по медленным переменным доказаны в работах О.П. Филатова и М.М. Хапаева [72, 73, 74, 75].

Задача устойчивости систем дифференциальных включений решалась различными методами [2, 9, 36, 66, 84, 85]. Также как и для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, весьма эффективным средством исследования устойчивости дифференциальных включений является метод усреднения. Это направление получило развитие в работах [67, 68, 70, 71,76, 80, 81,83, 91,90].

В работе М.М. Хапаева [83] предложено обобщение второго метода Ляпунова, ориентированное на многочастотные системы, содержащие резонансные гармоники. Для таких систем строится обобщенная функция Ляпунова. Правые части исследуемых систем периодические по быстрым переменным и удовлетворяют условиям существования и единственности решения. Для оценки резонансных частот предложен метод, основанный на учете свойств частот в окрестности точки, исследуемой на устойчивость (в частности, требуется равномерное увеличение резонансной частоты по абсолютной величине при удалении от точки резонанса). В этой работе представлен ряд теорем об устойчивости на бесконечном промежутке времени. Для многочастотных систем устойчивость точки резонанса достигается за счет асимптотической устойчивости в этой точке усредненной системы. Теоремы об устойчивости на асимптотически большом отрезке T(fi) = [0,1///] (ц — малый параметр, 0 < // <С 1) доказаны при значительном ослаблении накладываемых условий. В частности, рассмотрен случай, когда точка резонанса xq является устойчивым положением равновесия усредненной системы, то есть когда нет асимптотической устойчивости. Устойчивость обеспечивается существованием положительно определенной функции Ляпунова vq(x), производная которой в силу усредненной системы неположительна. При таких предположениях определяется длина отрезка времени Т(/г), на котором решение исходной системы по переменной х не выйдет из ^-окрестности точки, исследуемой на устойчивость. Введенное здесь понятие устойчивости по части переменных и параметру — (х, fi)-устойчивости, — использовалось в работах [8, 70].

В работах О.В. Анашкина и М.М. Хапаева [6] для исследования устойчивости системы дифференциальных уравнений с малым параметром // в случае, когда система без возмущений имеет неасимптотически устойчивое нулевое решение, был разработан аппарат вспомогательных функций, сочетающий идеи второго метода Ляпунова и асимптотического метода усреднения [26]. В работах О.В. Анашкина [3, 4] для получения теорем об устойчивости решений функционально-дифференциальных уравнений используется подход, основанный на оценке поведения функции Ляпунова с помощью усреднения ее полной производной вдоль решения некоторой достаточно простой системы, которая хорошо аппроксимирует изучаемую систему. Этот метод впервые был предложен М.М. Ха-паевым в [82] и применялся в [7, 8] для исследования на //-устойчивость в системах обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром fi (0 < /i < 1), возникающих в теории нелинейных колебаний. Этот метод оказался очень эффективным средством при изучении устойчивости решений нелинейных систем обыкновеннных дифференциальных уравнений также и в смысле классических определений А.М.Ляпунова [5]. В работах М.И. Каменского [10, 41] метод усреднения используется для исследования устойчивости периодических решений дифференциальных уравнений нейтрального типа и систем квазилинейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.

При исследовании устойчивости систем дифференциальных уравне4 ний или включений с использованием теорем сравнения [50] возникает задача о качественном поведении решений системы дифференциальных неравенств относительно координат векторной функции Ляпунова, предполагаемых неотрицательными. Таким образом появилась необходимость исследования вопроса об устойчивости неотрицательных решений системы дифференциальных неравенств. Основные результаты в этом направлении получены для систем, удовлетворяющих условию квазимонотонности Важевского. Исследованию систем дифференциальных неравенств посвящены работы А.И. Перова [58], Н.В. Азбелева[1], А.А.Воронова [30] и др. В статье О.П.Филатова [70] установлена связь устойчивости неотрицательных решений системы дифференциальных неравенств с малым параметром /г (0 < /( < 1) н системы дифференциальных уравнений, полученной методом усреднения, доказаны соответствующие теоремы об устойчивости на асимптотически большом и на бесконечном промежутке времени. В настоящей работе рассматривается вопрос об устойчивости системы дифференциальных неравенств более общего вида, когда быстрые переменные определяются уже не дифференциальным уравнением, а удовлетворяют включению, причем условие квазимонотонности на правые части системы не накладывается. Медленные переменные, по которым проводится исследование на устойчивость, в настоящей работе, как и в [70], предполагаются неотрицательными.

В 2001 году была опубликована статья Г. Граммеля (G.Grammel) [90], где расматривался вопрос о связи равномерной экспоненциальной устойчивости системы дифференциальных уравнений с управлением и равномерной экспоненциальной устойчивости автономного дифференциального включения, полученного методом усреднения. При этом правая

часть исходной системы предполагалась периодической по быстрой переменной. В статье [91], опубликованной в 2004 году, тот же вопрос рассмотрен для систем с липшицевой правой частью. В работе О.П.Филатова [71] приводится критерий равномерной экспоненциальной устойчивости дифференциальных включений с медленными переменными на основании дифференциального включения сравнения, которое, в частности, может быть получено при помощи частичного усреднения исходной задачи. В настоящей работе, в отличие от [90, 91], для дифференциальных уравнений с управлением в качестве системы сравнения выбирается в общем случае неавтономное дифференциальное включение, полученное с помощью частичного усреднения. Кроме того, ослабляются требования на правые части исходной и усредненной систем. В частности, рассматривается равномерная экспоненциальная устойчивость дифференциальных уравнений (с шумом) с нелипшицсвой правой частью, при условии, что дифференциальное включение, определяющее систему сравнения, односторонне липшицево (OSL). При доказательстве теоремы о равномерной экспоненциальной устойчивости нелипшицевых дифференциальных уравнений с управлением существенно используется критерий устойчивости дифференциальных включений О.П. Филатова [71].

Содержание диссертационной работы.

Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Балабаева, Наталья Петровна

Заключение

Усреднение — эффективный метод исследования устойчивости систем дифференциальных включений с быстрыми и медленными переменными. При выполнении определенных условий об устойчивости по медленным переменным таких систем можно судить по свойствам усредненной системы, содержащей только медленные переменные.

В данной работе приведены достаточные условия устойчивости системы дифференциальных неравенств и включений с быстрыми и медленными переменными.

Переменные, по которым проводится исследование на устойчивость, неотрицательные. Такие ситуации встречаются при моделировании эволюционных задач в экологии, экономике. Кроме того, подобные задачи встречаются при использовании векторных функций Ляпунова.

Условие, которое накладывается на знак переменных, наличие малого параметра в системе, позволяет воспользоваться методом усреднения при доказательстве основного результата — теоремы об устойчивости неотрицательных решений системы дифференциальных неравенств и включений на асимптотически большом отрезке (теорема 1.6).

Представленная теорема устанавливает связь между устойчивостью усредненной системы и устойчивостью по медленным переменным исходной системы на асимптотически большом отрезке [to, to + /г-1] , to G —> 0. Приведены примеры, показывающие, что теорема 1.6 не обобщается ни на случай сильной связи быстрых и медленных переменных, ни на бесконечный промежуток времени.

Теорема об устойчивости по медленным переменным системы дифференциальных неравенств и включений на бесконечном промежутке (теорема 2.1) доказана при предположении существования функций Ляпунова с определенными свойствами. В этом случае вывод об устойчивости по части переменных получен для неотрицательных решений благодаря сведению исходной системы к более простой, в которой дифференциальные неравенства заменяются на дифференциальные уравнения.

В данной работе также рассмотрен вопрос о связи равномерной экспоненциальной устойчивости системы дифференциальных уравнений с управлением и равномерной экспоненциальной устойчивости дифференциального включения сравнения. Доказаны теоремы о равномерной экспоненциальной устойчивости системы дифференциальных уравнений с управлением в случаях липшицевой и нелипшицевой правой части (теоремы 2.3 и 2.4), где в качестве системы сравнения выбирается неавтономное дифференциальное включение, полученное методом усреднения. Приведен пример, показывающий, что полученный в теоремах 2.3 и 2.4 результат нельзя обобщить на задачу об асимптотической устойчивости системы дифференциальных уравнений с управлением.

Основными результатами диссертации являются:

1. Теорема об устойчивости по медленным переменным при постоянно действующих возмущениях неотрицательных решений системы дифференциальных неравенств и включений на асимптотически большом отрезке (теорема 1.6).

2. Теорема об устойчивости по медленным переменным при постоянно действующих возмущениях неотрицательных решений системы дифференциальных неравенств и включений (теорема 2.1).

3. Теорема о равномерной экспоненциальной устойчивости нелипши-цевых дифференциальных уравнений с управлением (теорема 2.4).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Балабаева, Наталья Петровна, 2005 год

1. Азбелев Н.В. О приближенном решении обыкновенных дифференциальных уравнений п-го порядка на основе метода С.А. Чаплыгина // ДАН СССР. — 1952. — Т.83. — С. 517-519.

2. Алимов Ю.И. О применении прямого метода Ляпунова к дифференциальным уравнениям с неоднозначными правыми частями // Автоматика и телемеханика. — 1961. — Т.22. №7. — С. 817-830.

3. Анашкин О.В. Достаточные условия устойчивости и неустойчивости для одного класса нелинейных функционально-дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. — 1998. — Т.34. т. — С.867-875.

4. Анашкин О.В. Метод усреднения в теории устойчивости функционально- дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. — 1997. — Т.ЗЗ. №4. — С. 448-457.

5. Анашкин О.В. Об асимптотической устойчивости в нелинейных системах // Дифференциальные уравнения. — 1978. — Т.14. №8. — С.1490-1493.

6. Анашкин О.В., Хапаев М.М. Метод сравнения и исследование на устойчивость систем обыкновенных дифференциальных уравнений,содержащих возмущения I-II // Дифференциальные уравнения. — 1986. — Т.22. №9. — С. 1604-1606; — 1989. — Т.25. №2. — С. 187-192.

7. Анашкин О.В., Хапаев М.М. Об устойчивости нелинейных систем с малым параметром // Дифференциальные уравнения. — 1993. — Т.29. №8. — С. 1301-1307.

8. Анашкин О.В., Хапаев М.М. О частичной устойчивости нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром // Дифференциальные уравнения. — 1995. — Т.31. №3. — С. 371-381.

9. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. — 2-е изд. — М.: Наука, 1981. — 568с.

10. Ахмеров P.P., Каменский М.И., Потапов А.С., Родкина А.Е., Садовский Б.Н. Меры некомпактности и уплотняющие операторы. —- Новосибирск: Наука, 1986. — 265с.

11. Балабаева П.П. Устойчивость систем дифференциальных неравенств и включений // Научные доклады ежегодной межвузовской 55-ой научной конференции СамГПУ. — Самара, 2001. —- С. 7-13.

12. Балабаева Н.П. Устойчивость системы дифференциальных неравенств и включений с сильной связью быстрых и медленных переменных // Научные доклады ежегодной межвузовской 56-ой научной конференции СамГПУ. — Самара, 2002. — С. 3-6.

13. Балабаева Н.П. Устойчивость систем дифференциальных неравенств и включений // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2004. — Т.11, вып.4. — С. 752-753.

14. Балабаева Н.П. О неустойчивости систем дифференциальных неравенств и включений // Научные доклады ежегодной межвузовской 58-ой научной конференции СамГПУ. — Самара, 2004. — С. 3-7.

15. Балабаева Н.П. Устойчивость систем дифференциальных неравенств и включений на бесконечном промежутке // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конференции. — Воронеж, 2005. — С. 24-25.

16. Балабаева Н.П. Устойчивость нелипшицевых дифференциальных уравнений с управлением // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. — 2005. — С. 65-70.

17. Балабаева Н.П. Устойчивость нелипшицевых дифференциальных уравнений с управлением // Современные методы теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения—XVI". — Воронеж, 2005. — С.23-24.

18. Балабаева Н.П. Устойчивость нелипшицевых дифференциальных уравнений с управлением // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды Второй Всероссийской научной конференции (1-3 июня 2005 г., г.Самара), часть 3. — Самара, 2005. — С. 31-33.

19. Балабаева Н.П. Равномерная экспоненциальная устойчивость не-липшицевых дифференциальных уравнений с управлением // СамДифф-2005: Всероссийская конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения", тезисы докладов. — Самара, 2005. — С. 16-18.

20. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 224 с.

21. Благодатских В.И. Оптимальное управление. — М.: Высшая школа, 2001. — 239 с.

22. Благодатских В.И. Теория дифференциальных включений. 4.1. — М.: Издательство МГУ, 1979. — 89 с.

23. Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Труды Математического института АН СССР. — 1985. — Т.169. —С. 194-252.

24. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — М.: Издательство АН СССР, 1963. — 410 с.

25. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений. — Воронеж: Издательство ВГУ, 1986. — 104 с.

26. Волосов В.М. Усреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи математических наук. — 1962. — Т.17. №6. — С. 66-72.

27. Волосов В.М., Моргунов В. О. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. — М.: Издательство МГУ, 1971. — 508с.

28. Воронов А.А. Введение в динамику сложных управляемых систем.1. М.: Наука, 1985. — 315 с.

29. Воронов А.А. Современное состояние и проблемы теории устойчивости // Автоматика и телемеханика. — 1982. — №5. — С. 5-28.

30. Воронов А.А. Устойчивость. Управляемость. Наблюдаемость. — М.: Наука, 1979. — 335 с.

31. Воскресенский Е.В. Асимптотические методы: теория и приложения. — Саранск: СВМО, 2000. — 300 с.

32. Воскресенский Е.В. Методы сравнения в нелинейном анализе. — Издательство Саратовского ун-та, 1990. — 224 с.

33. Воскресенский Е.В. Об аттракторах обыкновенных дифференциальных уравнений // Известия вузов. Математика. — 2003. — №4 (491).1. С. 17-26.

34. Гайцгори В. Г.Управление системами с быстрыми и медленными движениями. — М.: Наука, 1991. — 223 с.

35. Еругин Н.П. О некоторых вопросах устойчивости движения и качественной теории дифференциальных уравнений в целом // Прикладная математика и механика. — 1950. — Т.14, вып. 5. — С. 459-512.

36. Еругин Н.П. Качественные методы в теории устойчивости // Прикладная математика и механика. — 1955. —Т. 19, вып.5. — С. 599616.

37. Еругин Н.П. Первый метод Ляпунова. — В сб.: Механика в СССР за 50 лет. Т.1. — М.: Наука, 1968. — С. 67-86.

38. Зубов В.И. Методы Ляпунова и их применение. — Л.: Издательство ЛГУ, 1957. — 241 с.

39. Каменский М.И. Об исследовании устойчивости периодических решений для нового класса систем квазилинейных уравнений в банаховом пространстве // Доклады Академии наук. — 1997. — Т.353. № — С. 13-16.

40. Климушев А.И., Красовский Н.Н. Равномерная асимптотическая устойчивость систем дифференциальных уравнений с малыми параметрами при производной // Прикладная математика и механика.1961. — Т. 25. т. — С. 680-694.

41. Красносельский М.А., Крейн С.Г. О принципе усреднения в нелинейной механике // Успехи математических наук. — 1955. — Т.10. №3. — С. 147-152.

42. Красносельский М.А., Покровский А.В. Принцип отсутствия ограниченных решений в проблеме абсолютной устойчивости // ДАН СССР. — 1977. — Т.233. №3. — С. 293-296.

43. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения.

44. М.: Физматгиз, 1959. —211 с.

45. Крылов Н.М., Боголюбов Н.Н. Введение в нелинейную механику. — Киев: Издательство АН УССР, 1937. — 363 с.

46. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. — М.: Гостехиздат, 1951. — 216 с.

47. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. — М.: Гостехиздат, 1950. — 471 с.

48. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. — М.: Наука, 1966. — 532 с.

49. Матросов В.М. К теории устойчивости движения // Прикладная математика и механика. — 1962. — Т.26, вып.6. — С. 992-1002.

50. Матросов В.М. О дифференциальных уравнениях и неравенствах с разрывными правыми частями. I—11 // Дифференциальные уравнения. — 1967. — Т.З. №3. — С. 395-409; — 1967. — Т.З. №5. — С. 839-848.

51. Матросов В.М. Метод сравнения в динамике систем. I—II // Дифференциальные уравнения. — 1974. — Т.10. №9. — С. 1547-1559; — 1975. — Т.Н. т. — С. 403-417.

52. Матросов В.М. . Принцип сравнения с вектор-функцией Ляпунова. I-IV // Дифференциальные уравнения. — 1968. — Т.4. №8. — С. 1374-1386; — 1968. — Т.4. №10. — С. 1739-1752; — 1969. — Т.5. №7.

53. С. 1171-1185; — 1969. — Т.5. №12. — С. 2129-2143.

54. Матросов В.М., Анапольский Л.Ю., Васильев С.Я. Метод сравнения в математической теории систем. — Новосибирск: Наука, 1980.480 с.

55. Митрополъский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. — Киев: Наукова думка, 1971. — 440 с.

56. Митрополъский Ю.А., Хома Г.П. Математическое обоснование асимптотических методов нелинейной механики. — Киев: Наукова думка, 1983. — 215 с.

57. Пакшин П.В. Экспоненциальная устойчивость одного класса нелинейных стохастических систем // Автоматика и телемеханика. — 1980. — №2. — С.65-71.

58. Перов А.И. Несколько замечаний относительно дифференциальных неравенств // Известия вузов. Математика. — 1965. — №4 (47). — С. 104-112.

59. Персидский С. К. К вопросу об абсолютной устойчивости // Автоматика и телемеханика. — 1969. — №12. — С. 5-11.

60. Плотников В.А. Асимптотическое исследование уравнений управляемого движения // Известия АН СССР. Сер. Техническая кибернетика. — 1984. — №4. — С. 30-37.

61. Плотников В.А. Метод усреднения для дифференциальных включений и его приложение к задачам оптимального управления // Дифференциальные уравнения. — 1979. — Т.15. №8. — С. 1427-1433.

62. Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. — М.: Наука, 1987. — 253с.

63. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. Пер. с англ. — М.: Мир, 1980. — 300 с.

64. G4. Соколовская Е.В. Об аппроксимации сверху дифференциальных включений с нелипшицевой правой частью. // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. — 2002. №2. С. 39-47.

65. G5. Сиразетдинов Т.К. Устойчивость систем с распеделенными параметрами. — Новосибирск: Наука, 1987. — 232 с.

66. Смирнов Г.В. Слабая асимптотическая устойчивость дифференциальных включений по первому приближению. — М.: ВЦ АН СССР, 1989. — 44 с.

67. Фалин А.И. Об исследовании на устойчивость слабо неавтономных систем методом усреднения. // Дифференциальные уравнения. — 1980. — Т. 16. т. — С. 252-257.

68. Филатов А.Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро- дифференциальных уравнений. — Ташкент: Фан, 1974. — 216 с.

69. Филатов О.П. Лекции по многозначному анализу и дифференциальным включениям. — Самара: Издательство "Самарский университет", 2000. — 116 с.

70. Филатов О.П. О дифференциальных неравенствах в теории устойчивости.1// Дифференциальные уравнения. — 1990. — Т. 26. №12. — С. 2077-2084.

71. Филатов О.П. Равномерная экспоненциальная устойчивость дифференциальных включений. // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. — 2004. — Второй специальный выпуск. — С. 17-24.

72. Филатов О.П. Усреднение дифференциальных включений с управлением // Дифференциальные уравнения. — 1997. — Т.33. №6. — С. 782-785.

73. Филатов О.П., Хапаев М.М. О взаимной ^-аппроксимации решений системы дифференциальных включений и усредненного включения. // Математические заметки. — 1990. — Т. 47, вып. 5. — С. 127-134.

74. Филатов О.П., Хапаев М.М. Усреднение дифференциальных включений с "быстрыми" и "медленными" переменными. // Математические заметки. — 1990. — Т. 47, вып. б. — С. 102-109.

75. Филатов О.П., Хапаев М.М. Усреднение систем дифференциальных включений. — М.: Издательство МГУ, 1998. — 160 с.

76. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985. — 224 с.

77. Филиппов А.Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью // Вестник МГУ. — 1967. — №3.

78. Филиппов А.Ф. Приложение теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью к нелинейным задачам автоматического регулирования. — М.: Издательство АН СССР, 1965. — 7 с.

79. Филиппов А.Ф. Система дифференциальных уравнений с несколькими разрывными функциями // Математические заметки. — 1980. — Т.27. т. — С.255-266.

80. Филиппов А.Ф. Устойчивость для дифференциальных уравнений с разрывными и многозначными правыми частями // Дифференциальные уравнения. — 1979. — Т.15. №6. — С. 1018-1027.

81. Хапаев М.М. Асимптотические методы и устойчивость в теории нелинейных колебаний. — М.: Высшая школа, 1988. — 183 с.

82. Хапаев М.М. Об одной теореме типа Ляпунова // Доклады АН СССР. — 1967. —Т. 176. №6. — С. 1262-1265.

83. Хапаев М.М. Усреднение в теории устойчивости: Исследование резонансных многочастотных систем. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1986. — 192 с.

84. Цалюк В.З. Возмущения экспоненциально устойчивых дифференциальных включений обобщенными функциями // Математическая физика. Республиканский межведомственный сборник, Киев. — 1980. — Вып.28. — С. 34-40.

85. Цалюк В.З. Об устойчивости по первому приближению дифференциальных включений // Дифференциальные уравнения. — 1980. — Т.16. Ш. — С. 258-263.

86. Чаплыгин С.А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. — М.: Гостехиздат, 1950. — 102 с.

87. Четаев Н.Г. Устойчивость движения: Учебное руководство. — 4-е изд., испр. — М.: Наука, 1990. — 176 с.

88. Donchev Т., Farkhi Е. Stability and Euler approximation of one-sided Lipschitz differential inclusions. // SIAM J. Control OPTIM. — 1998. — V. 36. №. 2. — P. 780-796.

89. Donchev Т., Slavov I. Averaging method for one-sided Lipschitz differential inclusions with generalized solutions // SIAM J. Control OPTIM.1999. — V. 37. №. 5. — P. 1600-1613.

90. Grammel G. Exponential stability via the averaged system // J. Dynamical Control Systems. — 2001. — V. 7. — P. 327-338.

91. Grammel G., Maizurna I. A sufficient condition for the uniform exponential stability of time-varying systems with noise. // Nonlinear Analysis.2004. — V. 56. — P. 951-960.

92. Wazewski T. Systemes des equations et des inegalites differentielles ordi-naires aux deuxiemes membres monotones et leurs applications. // Ann. Polonaise Math. — 1950. — V. 23. — P. 112-166.