Усреднение дифференциальных включений с нелипшицевой правой частью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Соколовская, Елена Валериевна

• Соколовская, Елена Валериевна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Соколовская, Елена Валериевна

Введение

Основные обозначения

Глава 1. Аппроксимация сверху дифференциальных включений с нелипшицевой правой частью

§1.1 Аппроксимация сверху дифференциальных включений с медленными переменными.

§1.2 Аппроксимация сверху системы дифференциальных включений с медленными и быстрыми переменными

§1.3 Теоремы об аппроксимации сверху для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Глава 2. Аппроксимация снизу дифференциальных включений с нелипшицевой правой частью

§2.1 Аппроксимация снизу дифференциальных включений с медленными переменными.

§2.2 Аппроксимация снизу системы дифференциальных включений с медленными и быстрыми переменными.

§2.3 Теоремы об аппроксимации снизу систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Глава 3. Взаимная аппроксимация дифференциальных включений с нелипшицевой правой частью

§3.1 Взаимная аппроксимация дифференциальных включений с медленными переменными.

§3.2 Взаимная аппроксимация системы дифференциальных включений с медленными и быстрыми переменными.

§3.3 Пример на применение взаимной аппроксимации дифференциальных включений в задаче о минимизации терминального функционала

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Усреднение дифференциальных включений с нелипшицевой правой частью»

Дифференциальные включения (или, как их еще называют, дифференциальные уравнения с многозначной правой частью) — сравнительно новая область математики, интенсивно развиваемая в последние десятилетия как за рубежом, так и отечественными математиками. Это объясняется, в частности, тем, что, как оказалось, дифференциальные включения, наряду со стохастическими дифференциальными уравнениями, являются удобным и общим средством для описания недетерминированных процессов, в которых локальные характеристики нельзя определить однозначно. Далеко не полное представление о публикациях, вышедших за этот период по этой теме дает список литературы [1]—[49], [61]—[72]. Бурному развитию теории дифференциальных включений способствовало также установление связи дифференциальных включений с задачами оптимального управления, в частности, с задачей о минимизации терминального функционала. Кроме того, так как дифференциальные включения являются естественным обобщением дифференциальных уравнений, аппарат дифференциальных включений позволяет установить и новые свойства решений дифференциальных уравнений.

Известно, какое большое значение в асимптотических методах имеет принцип усреднения Крылова - Боголюбова. Напомним [31], что согласно этому принципу при рассмотрении задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром или, что то же самое, для обыкновенного дифференциального уравнения в!" с малым параметром, исходная задача = х(Ъ) = х0 (0.0.1) на асимптотически большом промежутке [0,1/ц] заменяется на так называемую усредненную задачу й = /х/о (и), «(0) = ®о, (°-0-2) в которой правая часть /о(гл) строится как следующий предел: д оМ = дНгп /(*,«) Л. о

Основанием для такой замены является доказанное при некоторых предположениях Н. Н. Боголюбовым [31] утверждение о близости решений задач (0.0.1) и (0.0.2) соответственно в следующем смысле:

А) для любого е > 0 существует > 0 такое, что для всех ¡л £ (0, //о] выполняется неравенство \\х^) — || < £ V £ € [0,1//х].

При этом от функций / и /о требовалась липшицевость по ж и и соответственно. Позже принцип усреднения обобщался в различных направлениях. Обзор многочисленных результатов, связанных с усреднением обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем можно найти в [43]. Отметим лишь некоторые из них.

М. М. Хапаевым [67] принцип усреднения был обоснован для обыкновенных дифференциальных уравнений в случае нелипшицевой правой части вида /о(£, х) + /(¿, х) исходной задачи (функция /о предполагается липши-цевой по х).

В. М. Волосовым [35],[36] этот принцип был обобщен на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром, включающих наряду с медленными переменными (х) быстрые переменные (у) : х = х, у, /х), яг(0) = я?0, ^ 0 ^ у = д^,х,у,ц), 2/(0) = 2/0-Подобно задаче (0.0.1) эта задача также заменяется на усредненную задачу й = р/0(и), «(0) = х0. (0.0.4)

В. М. Волосовым было доказано, что при выполнении ряда условий, обеспечивающих липшицевость по совокупности ',у) функций у,0) и д(1,х,у,ц) с независящей от ¡1 константой Липшица, а также липшицевость по и функции /о, для "медленной" составляющей Хц{£) решения {х^), Уц{р)) задачи (0.0.3) и решения и^) задачи (0.0.4) на асимптотически большом отрезке [0,1///] имеет место близость в смысле утверждения (А). Это означает, что усредненная задача (0.0.4) достаточно адекватно отражает основные свойства медленных переменных (х) задачи (0.0.3).

М. М. Хапаевым и О. П. Филатовым [68] принцип усреднения для системы (0.0.3) был обоснован при отсутствии липшицевости правых частей /и д исходной задачи (в предположении липшицевости правой части /о усредненной задачи (0.0.4)).

Вопрос об аппроксимации медленных переменных системы х = ц/(х,у,и), У = 9(х, у, и) при наличии управления м(£) рассматривался также В. Г. Гайцгори [37]. Заметим, что одним из условий доказанной им теоремы также является липшицевость по (х,у) функций /(х,у,и),д(х,у,и) с не зависящей от и константой Липшица.

Для некоторых других уравнений при других условиях принцип усреднения был обоснован в [27]. Одна модификация принципа усреднения для дифференциальных уравнений некоторого вида была предложена М. И. Каменским [39].

При переходе от дифференциальных уравнений к дифференциальным включениям условие х = /(¿, х) на искомую функцию #(£) заменяется на условие х £ х), в котором — множество в Мп, зависящее от вещественной переменной £ и го-мерной переменной х. Задача Коши (0.0.1) заменяется на задачу Кошн для дифференциального включения xenF(t,x), х(0) = х0. (0.0.5)

Развитие теории дифференциальных включений, как обобщения обыкновенных дифференциальных уравнений, потребовало и обобщения принципа усреднения на этот случай. При таком обобщении задача (0.0.5) также заменяется на усредненную задачу й Е aíFo(u), ti(0) = х0. (0.0.6)

Первые результаты в этом направлении были получены В. А. Плотниковым в начале 70-х годов XX века [49]. При построении усредненной задачи (0.0.6) в качестве правой части Fq он берет среднее: д

F0(u) = lim 4- f F(t, и) dt; (0.0.7)

Д-»оо Q здесь интеграл от многозначного отображения понимается в смысле Аума-на, а сходимость — в смысле метрики Хаусдорфа. От правой части F(t, х) исходной задачи (0.0.5) требуется липшицевость по ж с константой Липшица, не зависящей от t (за расстояние между множествами F(t,x') и F(t, х") берется отклонение по Хаусдорфу множества F(t, х') от множества F(t,x")). При некоторых дополнительных условиях В. А. Плотниковым доказано, что для любого е > 0 существует ¡iо > 0 такое, что для любого ß Е (0,//о] справедливы утверждения: для любого решения x^t) задачи (0.0.5) найдется решение u^{t) задачи (0.0.6) такое, что — е V t Е [0,1///], и наоборот, для любого решения u^it) задачи (0.0.6) найдется решение x^t) задачи (0.0.5), для которого выполняется \\x„{t) - Utí(t)\\ < £ У t Е [0,1//л]. Теорема усреднения краевой задачи для дифференциального включения х Е fiF(t,x), ж(0) = х(ш) (t Е [0,w] ) при других предположениях доказана В. JI. Хацкевичем [70].

На случай систем дифференциальных включений, содержащих как медленные, так и быстрые переменные принцип усреднения был обобщен О. П. Филатовым и М. М. Ханаевым. В работе [63] в качестве усредненной задачи берется задача (0.0.6) с определенным образом построенной правой частью (размерность фазового пространства усредненной задачи равна размерности вектора медленных переменных исходной задачи (0.0.8)). В этой работе также в предположении липшицевости отображений Р и С? по совокупности (х, у) и линшицевости по и отображения .Ро при ряде дополнительных условий доказана справедливость следующих двух утверждений:

А1) для любого е > 0 существует //о > 0 такое, что для любого д 6 (0, До] и для любого решения (£),?/„(£)) задачи (0.0.8) найдется решение иц{Ь) задачи (0.0.6), для которого выполняется неравенство ||жм(£) —

А2) для любого г > 0 существует > 0 такое, что для любого д 6 (0,/¿о] и для любого решения и(1({) задачи (0.0.6) найдется решение (хц({), ум{1)) задачи (0.0.8) такое, что — < £ V £ е [0,1/д].

Более общий случай, когда усредненная задача для исходной задачи (0.0.8) является неавтономной: рассмотрен О. П. Филатовым и М. М. Хапаевым в работе [66]. От отображений Р и Ро здесь требуется близость в определенном смысле средних этих отображений. При этом вопрос об условиях, обеспечивающих выполнение для исходной задачи (0.0.8) и усредненной задачи (0.0.9) утверждений (А1) и (А2), разделяется на три отдельные задачи: задачу об аппроксимации х в цР(г,х,у,ц), х(0) = х0, у <Е 2/(0) = у о

0.0.8)

ОН < е V I е [0,1/д]; б^о (£,«), и(0) = х0,

0.0.9) сверху, задачу об аппроксимации снизу и задачу о взаимной аппроксимации.

Определение 1 [66, с. 25]. Задача (0.0.9) называется аппроксимирующей сверху задачу (0.0.8), если выполняется утверждение (А1).

Определение 2 [66, с. 25]. Задача (0.0.9) называется аппроксимирующей снизу задачу (0.0.8), если выполняется утверждение (А2).

Определение 3 [66, с. 25]. Задача (0.0.9) называется аппроксимирующей взаимно задачу (0.0.8), если выполняются одновременно утверждения

Задачи об односторонней аппроксимации (т. е. об аппроксимации сверху или снизу) являются, конечно, более слабыми, чем задача о взаимной аппроксимации, но они требуют выполнения и менее ограничительных условий. Кроме того, для приложений иногда бывает достаточно решить одну из задач односторонней аппроксимации, чтобы получить полезную информацию о свойствах исходной системы.

Теоремы, касающиеся этих трех задач, получили название теорем усреднения для дифференциальных включений.

Во всех перечисленных выше теоремах усреднения для дифференциальных включений одним из основных условий, как отмечалось выше, является липшицевость правых частей.

Целью настоящей работы является получение теорем усреднения в случае, когда правая часть включений исходной задачи — нелипшицево отображение. В качестве исходной задачи рассматривается как задача

А1) и (А2). х £ fiF(t, х, ц), ж(0) = xq,

0.0.10) т. е. задача, не содержащая быстрых переменных, так и задача х е nF(t,x,y,tj), x(Q) = x0i у Е G(t,x,y,/J,), 2/(0) = 2/0,

0.0.11) т. е. задача, содержащая наряду с медленными переменными (х) быстрые переменные (у). В качестве усредненной задачи берется задача вида й G fiF0(t, и), «(0) = а?0> (0.0.12) в которой правая часть Fq связана с F так называемым условием близости средних.

Задача о взаимной аппроксимации в несколько иной постановке без предположения липшицевости правой части исходной задачи рассматривалась болгарскими математиками Ц. Дончевым и И. Славовым [8]. Именно, они рассмотрели на [0,1] систему дифференциальных включений x(t) G F(t, х, у, u(t)), ®(0) = ®0> о

M(t) G G(x, у, «(*)), у(0) = ?/о, содержащую управление u(t); в качестве усредненной берется задача т е Fo(t, 0, е(0) = (t G [0,1] ), (0.0.14) в которой правая часть Fq строится определенным образом. Ими доказано, что при ряде предположений имеет место утверждение: существует функция a(fi) —0 при ц —У 0 такая, что для любого решения (хц(£), Уц{Ь)) задачи (0.0.13) существует решение £(£) задачи (0.0.14) такое, что \\xß(t) — £(£) || < а{ц) V t G [0,1], и наоборот, для любого решения £(t) задачи (0.0.14) существует решение (x^t), y^(t)) задачи (0.0.13), для которого ||xfl(t) — £(i)|| < cx(fj,) V t G [0,1]. При этом одним из основных требований к F и G является следующее: существуют константы А > 0, В > 0, С > 0, D > 0 такие, что V i 6 [0,1], V xhx2 G Rm, V yhy2 G Mn, V v G F(t,xhyhu) 3 w G F(t,x2,y2,u) : xx -x2,v-w)< - z2||2 + В\\У1 - y21|2 (0.0.15)

•, •) — скалярное произведение в Mm) и

V t G [0,1], V xi,x2 G Rm, V yuy2 G IT, V v G G(zb</i,u) 3 it; E

G(x2,y2,u) : fei -У2,v-w)< С\\Х! - хъ\\2 - D\\vi - mW2 (°-ОЛ6)

•, •) — скалярное произведение в Жп).

Заметим, что условие (0.0.15) является ослаблением условия липшицево-сти отображения F по совокупности переменных (ж, у) (если отображение F — липшицево по (х, у) с независящей от t константой Липшица, то для него выполняется условие (0.0.15); обратное утверждение, вообще говоря, не верно). В отличие от условия (0.0.15), условие (0.0.16) и условие липши-цевости — независящие друг от друга условия.

В настоящей работе при получении теорем усреднения для задач (0.0.10) и (0.0.11) условие липшицевости правых частей дифференциальных включений этих задач по ж и по (х, у) соответственно заменяется на существенно более слабое — так называемое условие односторонней липшицевости (OSL) этих правых частей.

Условие односторонней липшицевости для однозначных функций впервые появилось, по-видимому, в 50 - е годы XX века в работе М. А. Красносельского и С. Г. Крейна в связи с вопросом о единственности решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений [41]. Для многозначного отображения F(t,x) (t G [0,1]) условие односторонней липшицевости впервые появляется в работе болгарских математиков Ц. Дончева и Э. Фархи в конце 90-х годов XX века [9] в связи с обобщением теоремы А. Ф. Филиппова о непрерывной зависимости от исходных данных решения задачи Коши для дифференциального включения на случай нелипшицевой правой части. Оно формулируется так: существует интегрируемая по Лебегу на [0,1] функция L : [0,1] —> [0, +оо) такая, что V х, у £ Rm, V t G [0,1], V v в F(t, х) 3 w G F(t, у) : (x - у, v - w) < L{t)\\x-yf.

Аналогично формулируется условие односторонней липшицевости для отображения х) в случае, когда t € [0, +оо) : существует локально интегрируемая на [0, +оо) функция Ь со значениями в [0, +оо) такая, что V х, у е мт, V г е [0,+оо), V у е з ™ е для которою х — у,у — ги) < Ь(Ь)\\х — у||2. Именно это условие и используется в настоящей работе вместо липшицевости.

В главе 1 рассматривается задача об аппроксимации сверху задачи (0.0.10) задачей (0.0.12) (§1.1), задачи (0.0.11) задачей (0.0.12) (§1.2). В §1.3 приводятся новые теоремы усреднения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с нелипшицевой правой частью, получающиеся как частный случай установленных в §1.1, §1.2 теорем усреднения для дифференциальных включений.

В главе 2 рассматривается вопрос об аппроксимации снизу задачи (0.0.10) и задачи х Е ж(0) = аг0, (0 0 17) у € + х, у,р), 2/(0) = г/о (С?о — выпуклый компакт из М") задачей (0.0.12) (§2.1, §2.2). §2.3 этой главы посвящен частному случаю: случаю системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

В главе 3 изучается вопрос о взаимной аппроксимации дифференциальных включений с нелипшицевой правой частью: в §3.1 - о взаимной аппроксимации задач (0.0.10) и (0.0.12), в §3.2 - о взаимной аппроксимации задач (0.0.17) и (0.0.12). В §3.3 приводится пример на применение взаимной аппроксимации дифференциальных включений в одной из задач оптимального управления — задаче о минимизации терминального функционала (задаче Майера).

Доказанные в этих главах новые теоремы усреднения значительно расширяют, на наш взгляд, границы применимости принципа усреднения для дифференциальных включений и их частного случая — дифференциальных уравнений.

Полученные в работе результаты докладывались на международной конференции "Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики. (ОПУ-2003)" (11-16 мая 2003 г., Тамбов); Воронежской зимней математической школе (2004 г.); XXVI Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова (2004 г.); Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XV"(3-9 мая 2004 г.); Воронежской зимней математической школе (2005 г.). Основные результаты диссертации опубликованы в работах [50]—[60].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Филатову Олегу Павловичу за постановку задачи и обсуждение результатов.

Основные обозначения

V — квантор общности;

3 — квантор существования;

Ж — множество вещественных чисел;

R+ = [0, +оо) — множество неотрицательных вещественных чисел;

W1 — п - мерное евклидово пространство;

•, •) — скалярное произведение в Rn; • || — евклидова норма в R";

Ах В — декартово произведение множеств А и В;

А + В — алгебраическая сумма множеств А, В С Кп;

Л|| = sup ||а|| — модуль множества А С Rn; оеЛ р(а, В) = inf ||а — 6|| — расстояние от точки а Е Мп до множества В С Rn; ЬеВ

В) = sup р(а, В) — полуотклонение по Хаусдорфу множества А С Мп аеА от множества В Cl"; а(А,В) = тах{(3(А, В),/3(В,А)} — отклонение по Хаусдорфу множества А С Шп от множества 5с1";

К(Ш.п) — множество всех непустых компактных множеств из Мп; Kv(MP) — множество всех непустых компактных выпуклых множеств из пространства Ж"; соА — выпуклая оболочка множества А;

Т(ц) = [0,1 //х] — асимптотически большой при /i —> 0 промежуток; uf(S) = sup a(F(xi), F(x2)) — модуль непрерывности отобраxi,X2eA:\\xi-X2\\<S жения F : А С R" K(Rn);

Lt4(BL|) — класс локально интегрируемых (по Лебегу) функций Л : R+ —>■ R+, для которых найдутся константы с\ и Дд такие, что при всех А > А\ для каждого ¿о £ выполняется неравенство

0 + Д I А(*)<Й<Са. к

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Соколовская, Елена Валериевна

Заключение

Основными результатами работы являются новые теоремы усреднения для систем дифференциальных включений с медленными и быстрыми переменными и нелипшицевой правой частью, а также систем дифференциальных включений только с медленными переменными и нелипшицевой правой частью:

1) теоремы об аппроксимации сверху;

2) теоремы об аппроксимации снизу;

3) теоремы о взаимной аппроксимации.

Как частный случай, получены новые теоремы усреднения для систем дифференциальных уравнений с нелипшицевой правой частью.

Полученные результаты расширяют границы применимости теорем усреднения для дифференциальных включений и их частного случая — дифференциальных уравнений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Соколовская, Елена Валериевна, 2005 год

1. AubinJ.-P. Smallest Lyapunov functions of differential inclusions. // Diff. and Integral Eqs. 1990. №2. PP. 333-343.

2. Colombo G., Fonda A., Ornelas A. Lower semicontinuous perturbations of maximal monotone differential inclusions. // Israel J. Math. 1988. №61. PP. 211-218.

3. Cornet B. Existence of slow solutions for a class of differential inclusions. // J. Math. Anal. Appl. 1983.№96. PP. 130-147.

4. DeimlingK. Extremal solutionsof multivalued differential equations. // Result in Math. 1988. №14. PP. 38-47.

5. DeimlingK. Multivalued differenyial equations with use right-hand side. // Ohio Univ. Press. Athens. 1989. V. 1. PP. 217-222.

6. DeimlingK., RaoM. R. M. On solution sets of multivalued differential equations. // Applicable Analysis. 1988. №30. PP. 129-135.

7. DeimlingK. Multivalued differential equations. De Gruyter, Berlin, New York. 1992. P. 257.

8. DonchevT., Slavovl. Averaging method for one sided Lipschitz differential inclusions with generalized solutions.// SIAM J. Control OPTIM. 1999. V. 37. №. 5. PP. 1600-1613.

9. DonchevT., FarkhiE. Stability and Euler approximation of one-sided Lipschitz differential inclusions 11 SIAM J. Control OPTIM. 1998. V. 36. №. 2. PP. 780-796.

10. Falcone M., Saint-Pierre P. Slow and quasi-slow solutions of differential inclusions. // Nonlinear Analysis. 1987. №11. PP. 367-377.

11. Fryszkowski A. Existence of solutions of functional-differential inclusions in nonconvex case.//Ann. Polon.Math.l989.№45. PP.121-124.

12. Gaines R. E., Peterson J. K. Periodic solutions to differential inclusions.// Nonlinear Analysis. 1981. №5. PP. 1109-1131.

13. HaddadG. Monotone trajectories of differential inclusions and functional differential inclusions with memory.//Israel. J. Math. 1981. №39. PP. 83100.

14. Hartl R. F., SethiS. P. Optimal control problems with differential inclusions: sufficiency conditions and an application to a production-inventory model.//Opt. Control Appl. Meth. 1984. №5. PP. 289-307.

15. IoffeA. D. Single-valued represetation of set-valued mappings II; Application to differential inclusions.//SIAM J. Control. 1983.№21. PP.641651.

16. KamenskiiM., Obukhovskii V., ZeccaP. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential inclusions in Banach Spaces. Walter De Gruyter. Berlin. New York. 2001. P. 231.

17. Kisielewicz M. Multivalued differential equations in separable Banach spaces.// J. Opt. Theory Appl. 1982.№37. PP. 231-249.

18. Kloeden P. E. The funnel boundary of multivalued dynamical systems.//J. Austral.Math.Soc. 1979.№27. PP. 108-124.

19. Krbec P. Weak stability of multivalued differential equations.//Czech. Math. J.1976. №26.PP. 470-476.

20. Laborde P. A nonmonotone differential inclusions.// Nonlinear Analysis. 1987. №11. PP. 757-776.

21. Marino G. Nonlinear boundary value problems for multivalued differential equations in Banach spaces.//Nonlinear Analysis. 1990.№14. PP.545-558.

22. Mitidieri E., Vrabie I. Differential inclusions governed by non convex perturbations of m—accretive operators.//Diff. and Integral Eqs. 1989. №2. PP.525-531.

23. Pianigiani G. On the fundamental theory of multivalued differential equations.// J. Diff. Eqs. 1977.№25.PP. 30-38.

24. Tallos P. Viability problems for nonautonomous differential inclusions.// SIAM J. Control. 1991. №29. PP. 253-263.107

25. Wenzel G. On a class of implicit differential inclusions.//J. Diff.Eqs. 1986. №63. PP.162-182.

26. Wenzel G. Existence of solutions for a class of implicit differential inclusions : a constructive proof.//Arch. Math. 1986. №47. PP.121-128.

27. Ахмеров P. P., Каменский M. И., Родкина A. E., Потапов А. С., Садовский Б. H. Меры некомпактности и уплотняющие операторы. Новосибирск: Наука. 1986.

28. Благодатских В. И. Теория дифференциальных включений. 4.1. М.: Изд-во МГУ,1979.

29. Благодатских В. И. Принцип максимума для дифференциальных включений// Труды МИАН СССР. 1984. Т. 166. С. 23-43.

30. Благодатских В. И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление// Труды МИАН СССР. 1985. Т. 169. С. 194252.

31. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М., Гостехиздат. 1955.

32. Борисович Ю. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В. Многозначные отображения/ Итоги науки и техники ВИНИТИ. Мат. анализ. 1982. Т. 19. С. 127-130.

33. Булгаков А. И. Усреднение функционально—дифференциальных включений// Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26.ДО10. С. 1678-1690.

34. Васильев А. Б. О непрерывной зависимости по параметру решений дифференциальных включений// Укр. мат. журн. 1983. Т. 35.№5. С. 607-611.

35. Волосов В. М. Усреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравнений// УМН. 1962. Т.17. № 6. С. 3-126.

36. Волосов В. М., Моргунов В. О. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М.: Изд-во МГУ, 1971. 507 с.

37. Гайцгори В. Г. Управление системами с быстрыми и медленными движениями. М.: Наука, 1991.

38. Гудович А. Н., Каменский М. И., Нистри П. Об аналоге теоремы А. Н. Тихонова для абстрактных параболических дифференциальных включений в банаховых пространствах//Математика.Комп.Образ.-2001.№8.4.2.С.307-310.

39. Каменский М. И. Об одной модификации принципа усреднения для вырожденных уравнений // Доклады РАН. 1996. Т. 347. №2. С. 151153.

40. Каменский М. И., Макаренков О. Ю. О принципе усреднения для некоторых интегральных уравнений//"Понтрягинские чтения-11"на Воронежской весен.матем.шк."Современные методы в теории краевых задач". Тез. докл.2000.С.76.

41. Красносельский М.А., КрейнС.Г. Нелокальные теоремы существования и теоремы единственности для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // ДАН СССР. 1955. Т. 102, №1. С. 13-16.

42. Комаров В. А., Певчих К. Э. Об одном методе аппроксимации множеств достижимости дифференциальных включений с заданной точностью// Математические заметки. 1991. Т. 45. №1. С. 153-157.

43. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. Киев: Наукова думка. 1971.

44. Никольский М. С. Аппроксимация множества достижимости дифференциальных включений// Вестник МГУ, сер. Вычисл. матем. и киберн. 1987. №4. С. 31-34.

45. Панасюк А. И. О динамике множеств, определяемых дифференциальными включениями// Сиб. мат. журн. 1986. Т. 27.№5. С. 155-166.

46. Плотников В. А. Метод усреднения для дифференциальных включений и его приложение к задачам оптимального управления// Дифференциальные уравнения. 1979.№8. С.1427-1433.

47. Плотников В. А. Усреднение дифференциальных включений//Укр. мат. жур. 1979. Т. 31.№5. С. 573-576.

48. Плотников В. А. Метод усреднения в задачах управления. Киев-Одесса: Лыбедь, 1992!

49. Плотников В.А., Плотников A.B., ВитюкА.Н. Дифференциальные уравнения с многозначной правой частью. Асимптотические методы. Одесса: Астропринт, 1999. 356 с.

50. Соколовская Е. В. Об аппроксимации сверху дифференциальных включений с нелипшицевой правой частью// Вестник Самарского государственного университета.]^ 2(24).2002.С.39 47.

51. Соколовская Е. В. Об аппроксимации сверху систем дифференциальных включений с медленными и быстрыми переменными и нелипшицевой правой частью// Вестник Самарского государственного университета. Специальный выпуск.2003.С.51 65.

52. Соколовская Е. В. Об аппроксимации снизу дифференциальных включений с нелипшицевой правой частью// Вестник Самарского государственного университета. Специальный выпуск. 2004.С.50-63.

53. Соколовская Е. В. Обобщение принципа усреднения Крылова Боголюбова на случай дифференциальных включений с нелипшицевой правой частью// Вестник Самарского государственного университета. Второй специальный выпуск.2004.С.36-51.

54. Соколовская Е. В. Усреднение дифференциальных включений с нелип-шицевой правой частью// Вестник Тамбовского государственного уни-верситета.Т. 8, вып. 3. 2003.С.455 456.

55. Соколовская Е. В. Усреднение системы дифференциальных включений с медленными и быстрыми переменными и нелипшицевой правой частью// Воронежская зимняя математическая школа 2004.Воронеж: ВГУ. 2004.С.101 - 103.

56. Соколовская Е. В. Новые достаточные условия в задаче о взаимной аппроксимации дифференциальных включений// Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения -XV" .Воронеж.ВГУ.2004.С.209 210.

57. Соколовская Е. В. Аппроксимация снизу дифференциальных включений// Труды Средневолжского математического общества. Т. 6. №1.2004. С.322 324.

58. Соколовская Е. В. Об одном обобщении принципа усреднения Крылова Боголюбова// Труды Всеросийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи". Самара. 2004. С. 198-200.

59. Соколовская Е. В. Новые достаточные условия аппроксимации снизу дифференциальных включений с нелипшицевой правой частью// Воронежская зимняя математическая школа 2005.Воронеж: ВГУ.2005.С.216 217.

60. Толстоногов А. А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. Новосибирск: Наука. 1986. 296 с.

61. Филатов О.П., ХапаевМ.М. Усреднение дифференциальных включений с быстрыми и медленными переменными // Мат. заметки. 1990. Т. 47. Вып. 2. С. 102-109.

62. Филатов О.П., ХапаевМ.М. О взаимной е — аппроксимации решений системы дифференциальных включений и усредненного включения // Мат. заметки. 1990. Т. 47. Вып. 5. С. 127-134.

63. Филатов О.П. О существовании усредненного дифференциального включения// Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25.№12. С. 21182127.

64. Филатов О.П. Об оценках опорных функций усредненных дифференциальных включений// Мат заметки. 1991. Т. 50, вып. 3. С. 135-142.

65. ФилатовО.П., ХапаевМ.М. Усреднение систем дифференциальных включений. М.: Изд-во МГУ, 1998. 160 с.

66. Хапаев М. М. О методе усреднения и некоторых задачах, связанных с усреднением. Дифференц. уравнения. 1966. Т. II. № 5. С. 600-608.

67. Хапаев М. М., Филатов О. П. О принципе усреднения для систем с "быстрыми"и "медленными"переменными// Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19, № 9. С. 1640-1643.

68. Хапаев М. М., Филатов О. П. Об устойчивости дифференциальных включений с многозначными возмущениями// Мат заметки. 1988. Т. 43, вып. 3. С. 346-355.

69. Хацкевич В. Л. Усреднение диссипативных дифференциальных включений// Вести. СПбГУ. Сер. 1. 1992. Вып. 4, №22. С. 61-67.

70. Хоанг Зыонг Туан. Некоторые вопросы обоснования метода усреднения для дифференциальных включений. Одесса: ОГУ. 1990. 33 с.

71. Хоанг Зыонг Туан. Теорема об усреднении дифференциальных включений с медленными и быстрыми переменными в банаховом пространстве// Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28. №2. С. 360-363.