Исследование свойств гамильтоновых систем и функций цены в динамических моделях роста тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Усова, Анастасия Александровна

• Усова, Анастасия Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Усова, Анастасия Александровна

Содержание

Введение

1 Асимптотическое поведение оптимальных решений и функций цены

§1 Односекторная модель экономического роста и постановка

задач оптимального управления

1.1 Построение модели

1.2 Задачи оптимального управления

§2 Необходимые и достаточные условия оптимальности

§3 Качественный анализ гамильтоновых систем

§4 Построение оптимальных решений в задачах оптимального

управления

§5 Функции цены в задачах управления

2 Нелинейные регуляторы в задачах управления на бесконечности

§6 Описание модели экономического роста и постановка задачи

управления

6.1 Построение модели

6.2 Функция полезности

6.3 Задача оптимального управления

§7 Исследование задачи оптимального управления

7.1 Гамильтониан задачи управления в рамках принципа максимума Л.С. Понтрягина

7.2 Условия существования оптимального решения. Необходимые условия оптимальности

7.3 Анализ свойств гамильтониана

7.4 Свойства максимизированного гамильтониана. Достаточные условия оптимальности

8 Качественный анализ гамильтоновых систем

8.1 Область нулевого управления

8.2 Гамильтонова динамика в области Б\2

8.3 Гамильтонова динамика в области

8.4 Гамильтонова динамика в области Д21

8.5 Гамильтонова динамика в области переменного управления

8.6 Гамильтонова динамика в области 1^23

8.7 Гамильтонова динамика в области 1)31

8.8 Гамильтонова динамика в области

8.9 Гамильтонова динамика в области насыщенного управления

8.10 Исследование установившегося состояния

§9 Регулятор гамильтоновой системы

9.1 Свойства нелинейного стабилизатора

9.2 Исключение сопряженных переменных из гамильтоновой системы

9.3 Сохранение стационарной точки

9.4 Стабилизация гамильтоновой динамики в окрестности стационарной точки

§10 Вычислительные эксперименты

3 Алгоритм построения оптимальных решений в задачах

управления с бесконечным горизонтом

§11 Алгоритм построения оптимальных траекторий

§12 Оценка точности алгоритма

§13 Вычислительные эксперименты

§14 Сравнение оптимальных траекторий односекторной и двух-

секторной моделей

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование свойств гамильтоновых систем и функций цены в динамических моделях роста»

Введение

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Представленная диссертация посвящена исследованию свойств гамиль-тоновых систем, возникающих в принципе максимума Л.С. Понтрягина для задач на бесконечном промежутке времени. Задачи оптимального управления с бесконечным горизонтом приобретают все более значимый прикладной характер. Они позволяют исследовать модели экономического роста, составленные для анализа и прогнозирования экономического развития регионов и стран. Особое внимание в диссертации уделено исследова,-нию свойств гамильтонианов и гамильтоновых систем в многомерных задачах оптимального управления. Основные результаты диссертации связаны с изучением качественного поведения гамильтоновых систем для случая, когда они обладают единственной стационарной точкой седлового типа. В этой ситуации удается построить нелинейный регулятор для гамильтоно-вой динамики, позволяющий стабилизировать гамильтонову систему вблизи положения равновесия. По поведению стабилизированных траекторий можно оценить характер оптимальных решений вблизи стационарного положения, что, в конечном счете, позволяет оптимизировать схемы построения оптимальных стратегий в задачах оптимального управления на бесконечном промежутке времени. В диссертационной работе приводится алгоритм построения оптимальных траекторий, который учитывает особенности стабилизированных решений и использует эти данные для построения оптимальных стратегий, строится оценка точности работы алгоритма по функционалу качества задачи управления. Указанный алгоритм реализован в компьютерных программах, которые были использованы при моделировании процессов экономического роста. Вычислительные эксперименты проведены на реальных эконометрических данных. Важное место в работе

уделено исследованию асимптотического поведения оптимальных решений и функций цены при изменении параметров моделей экономического роста, на основе которых формулируются задачи управления с бесконечным горизонтом.

Актуальность темы. В настоящее время резко возросла востребованность таких разделов современной математики как теория управления и теория дифференциальных игр. Это объясняется тем, что спектр дисциплин, обращающихся к методам математического моделирования, значительно расширился. Аппарат теории оптимального управления и дифференциальных игр активно используется для исследования математических моделей в таких областях как аэрокосмические науки, экономика, инженерные и технические науки, науки об окружающей среде, финансовая математика, гибридные системы, медицинские науки и науки о здравоохранении, вычислительные и компьютерные науки, океанографические, физические, общественные и математические науки. Интерес к теории оптимального управления и ее приложениям со стороны российских, немецких, французских, американских, японских математиков, экономистов и специалистов по проблемам окружающей среды, а также международных научных организаций существенно вырос, и это подтверждается значительным увеличением количества работ в российских и зарубежных издательствах.

Фундаментальным в теории оптимального управления является принцип максимума JI.C. Понтрягина [88], который находит широкое применение в работах российских и зарубежных математиков, что приводит к его активному развитию и обобщению на новые классы задач. В рамках теории дифференциальных игр рассматриваются задачи управления в условиях неопределенности. В этом направлении основополагающую роль играет принцип экстремального прицеливания H.H. Красовского, развитию которого уделяется все большее внимание, в частности, для построения оптимальных стратегий в сеточных схемах и для обобщения понятия стабильности. Развитие строгой теории задач конфликтного управления следует отнести к работам H.H. Красовского и А.И. Субботина [59].

В аспекте развития теории оптимального управления и теории диф-

ференциальных игр существенными являются работы Р.В. Гамкрелид-зе, A.B. Кряжимского, A.B. Куржанского, Е.Ф. Мищенко, Ю.С. Осипо-ва, В.Н. Пшеничного, Ф.Л. Черноусько, J.P. Aubin, Т. Basar, R. Bellman, Р. Bernhard, L. Berkovitz, A. Friedman, Ho You-Chi, R. Isaacs, R.E. Kaiman, V. Lakshmikantham, G. Leitman, P.L. Lions, P. Varaiya (см. [3,16,20,27,46, 54-58,64-66,70,75,81,89,93,94,116,117,127,135,137,146,149,153,154,167,172, 173,177-179,184,199]).

Значительный вклад в развитие методов теории оптимального управления и дифференциальных игр внесли Э.Г. Альбрехт, A.B. Арутюнов, С.М. Асеев, В.Д. Батухин, Ю.И. Бердышев, В.И. Благодатских, В.Г. Болтянский, С.А. Брыкалов, Ф.П. Васильев, Р.Ф. Габасов, H.J1. Григоренко, М.И. Гусев, A.B. Дмитрук, В.И. Жуковский, С.Т. Завалищин, М.И. Зели-кин, А.Д. Иоффе, Ф.М. Кириллова, A.B. Ким, А.Ф. Клейменов, И.Н. Кан-доба, А.Н. Красовский, Ю.С. Ледяев, Н.Ю. Лукоянов, В.И. Максимов,

A.A. Меликян, A.A. Милютин, М.С. Никольский, О.И. Никонов, B.C. Пац-ко, H.H. Петров, Л.А. Петросян, В.Г. Пименов, А.Н. Сесекин, H.H. Субботина, A.M. Тарасьев, В.М. Тихомиров, Е.Л. Тонков, В.Е. Третьяков,

B.И. Ухоботов, В.Н. Ушаков, Т.Ф. Филиппова, А.Г. Ченцов, A.A. Чикрий, А.Ф. Шориков, M. Bardi, E.N. Barron, I.С. Dolcetta, L. Cesari, M. Falcone, R. Jensen, M. Ishii, P.V. Kokotovic, G.J. Olsder, E. Roxin, P.E. Souganidis, F.E. Udwadia, J. Warga и многие другие ученые (см. книги и обзоры [1,4-10,12-15,17-19,21-23,25,26,28-37,40-45,47,53,60-62,67-69,71-74,76, 77,83-86,95-100,105-107,112,113,115,120,130,131,133,136,139,143-145,160, 165,174,189,198,200,204,205,207,210] и библиографию к ним). Огромный спектр приложений теории оптимального управления требует расширения основополагающих конструкций принципа максимума Л.С. Понтрягина, в частности, для задач управления на бесконечном промежутке времени. Такие постановки характерны для моделей экономического роста и задач финансовой математики. В связи с этим важно отметить работы С.М. Асеева и A.B. Кряжимского [13] по обобщениям принципа максимума для задач с бесконечным горизонтом, работы Г. Маурера [180] по задачам оптимального управления с фазовыми ограничениями и их приложениям к задачам оптимизации инвестиционных процессов. Циклические управляемые про-

цессы с целевыми функционалами, определяемыми как предельные значения усредненных по времени интегралов качества, рассматривались в работах В.И. Арнольда и его учеников (см. [11,124]).

Большое внимание уделяется исследованию достаточных условий оптимальности для управляемых систем с вогнутыми гамильтонианами. Изучаются свойства, в частности, асимптотические свойства, решений гамиль-тоновых систем. Отметим здесь работы Т. Базара, Дж. Лейтмана, Т. Рока-феллара (см. [135,139,189]) в приложении к исследованию динамических игр, в том числе, описывающих конкурентную рыночную среду.

Развивается теория уравнений Гамильтона-Якоби в аспекте анализа и решения задач управления с нерегулярностями, сингулярно возмущенных задач с малым параметром, исследование минимаксных решений, аппарат которых ввел А.И. Субботин [94].

Теория оптимального управления и теория позиционных дифференциальных игр сближения-уклонения тесно связаны с теорией выживаемости, задачами построения и оценки множеств достижимости управляемых систем и дифференциальных включений. В связи с этим отметим исследования А.Б. Куржанского, М.С. Никольского, Ф.Л. Черноусько и их сотрудников (см. [66,77,116]).

Теория выживаемости была развита в работах зарубежных математиков Ж.-П. Обэна, X. Франковской, Г. Хаддада и других авторов (см. [127,139,160]). Эти работы посвящены задачам выживаемости управляемых систем на бесконечном промежутке времени при наличии стационарных фазовых ограничений. Существенные результаты по разработке ап-проксимационных схем, направленных на приближенное вычисление ядер выживаемости и множеств достижимости, получены немецким математиком Ф. Колониусом [145].

Моделирование экономических процессов, финансовое планирование являются одной из наиболее широких областей применения теорий оптимального управления и дифференциальных игр. Среди наиболее известных работ в этом направлении следует отметить труды лауреатов Нобелевской премии нескольких лет К. Эрроу, Л.В. Канторовича, Т. Шеллинга (см. [125,168,194]). Методы, разработанные этими авторами, получили

особое значение при построении моделей экономического роста. Одними из первых в этом направлении были работы Т. Купманса, Ф. Рамсея, Р. Солоу, К. Шелла (см. [169,188,196,197]). Последние монографии известных американских экономистов Р. Барро, Дж. Гроссмана, И. Хелпмана, П. Кругмана, Ч. Джонса, П. Нордхауса и Д. Ромера (см. [132,159,163,182,190]) по эндогенной теории роста поддерживают важность теории оптимального управления для адекватного описания сбалансированных пропорций экономического развития. Кроме того, прикладными моделями теории дифференциальных игр и робастного управления занимаются такие известные американские специалисты по оптимальному управлению как Дж. Лейтман [70], Ф. Удвадиа [207] в сотрудничестве с сильными экономистами из западноевропейских университетов Л. Ламбертини, К. Дейссенбергом, Дж. До-зи (см. [142,147,148]). Разработке моделей технологического развития и их эконометрическому анализу посвящены работы группы экономистов из Токийского института технологий, возглавляемой Ч. Ватанабе [157]. Модели макроэкономического развития и эндогенного экономического роста получили развитие в трудах группы экономистов под руководством Р. Ай-реса [126] из международной бизнес-школы (INSEAD) в Фонтенбло (Франция). Модели экономического роста в рамках проблематики устойчивого развития народонаселения и окружающей среды разрабатываются финским экономистом Т. Палокангасом [185]. Исследованию демографических процессов и их моделированию посвящены работы У. Сандерсона [191,192]. Приложениями игровых задач управления в экономических, экологических моделях и финансовой математике занимаются Дж. Касти [141] из Международного института прикладного и системного анализа (IIASA, Австрия) Р. Авенхаус [128], С. Пикель [187] из Университета Бундесвера в Мюнхене, Г. Пеш [138] из университета Байрута, а также Г. Фейхтингер, Р. Хартл, Ф. Вирл, Р. Нек (см. [151,161,181]) из университета Австрии, Л.А. Петро-сян из Санкт-Петербургского государственного университета и Дж. Зак-кур [186] из международной бизнес-школы (НЕС) в Монреале (Канада).

Результаты исследований в области теории оптимального управления, дифференциальных игр и соответствующих уравнений Гамильтона-Якоби используются при решении ряда важнейших прикладных задач в области

оптимизации экономического роста, инвестиционных процессов и устойчивого развития окружающей среды.

Цель работы. Цель работы предполагает: исследование свойств кусочно-определенных гамильтонианов, а также гамильтоновых систем; поиск условий для построения нелинейного регулятора, стабилизирующего гамильто-нову систему в установившемся состоянии; разработку алгоритма построения оптимальных траекторий, использующего информацию о стабилизированной динамике; исследование чувствительности оптимальных решений и функции цены к изменениям параметров моделей экономического роста, которые служат основой для задач управления на бесконечном промежутке времени; приложение разработанных алгоритмов в эконометрическом моделировании.

Методы исследования. В основе работы лежат модификации принципа максимума Л.С. Понтрягина для задач управления на бесконечном промежутке времени, методы теории позиционных дифференциальных игр, элементы качественной теории дифференциальных уравнений, конструкции негладкого анализа. При калибровке моделей используются методы статистики и эконометрики.

Научная новизна. Изучены свойства гамильтонианов, обеспечивающие достаточность необходимых условий оптимальности в рамках принципа максимума Л.С. Понтрягина для задач на бесконечном промежутке времени. Сформулированы условия, при которых оказывается возможным построение нелинейного регулятора, стабилизирующего гамильтонову динамику в окрестности положения равновесия гиперболического типа. Исследованы свойства стабилизированных траекторий, необходимые для анализа поведения и построения оптимальных решений в задаче управления с бесконечным горизонтом. Разработан алгоритм построения оптимальных решений в задаче управления на бесконечном промежутке времени, использующий информацию о стабилизированных траекториях для локализации поиска начальной точки при интегрировании гамильтоновой системы в об-

ратном времени. Построена оценка точности алгоритма по функционалу качества задачи оптимального управления, связывающая параметры модели с точностью приближения начальной позиции для интегрирования системы в обратном времени. Изучены свойства чувствительности оптимальных решений и функции цены по отношению к изменениям параметров моделей роста.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в работе теоретические результаты направлены на исследование задач на бесконечном промежутке времени. Прежде всего, они ориентированы на анализ качественного поведения оптимальных решений вблизи положения равновесия динамической системы. Приведенные в работе конструкции нелинейного стабилизатора позволяют, базируясь на его свойствах, реализовывать алгоритмы построения оптимальных траекторий в задачах управления с бесконечным горизонтом, а также оценивать их точность. Кроме этого, исследование вопросов чувствительности оптимальных решений и функций цены к изменениям параметров производственных функций представляет особый интерес в виду того, что калибровка моделей производится эконометриче-скими методами, которые не могут гарантировать получения точных оценок параметров моделей. Практическую ценность представляют результаты, связанные с численными алгоритмами построения оптимальных траекторий в задачах оптимального управления с бесконечным горизонтом. Полученные алгоритмы могут быть использованы для эконометрического моделирования, результатом которых служит качественный анализ синтезированных модельных траекторий, который может быть использован при моделировании инвестиционных процессов. Более того, предложенные алгоритмы обладают свойством инвариантности к размерности и могут быть использованы для анализа многофакторных моделей экономического роста. В частности, в работе проведено исследование двухфакторной модели экономического роста.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на всероссийских конференциях: 40-я всероссийская молодежная конфе-

ренция "Проблемы теоретической и прикладной математики" (УрО РАН, Свердловская обл., 26-30 января 2009 г.), 41-я всероссийская молодежная конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики" (УрО РАН, Свердловская обл., 01-05 февраля 2010 г.), 42-я всероссийская молодежная школа-конференция "Современные проблемы математики" (УрО РАН, Свердловская обл., 30 января - 06 февраля 2011 г.); на семинаре "Проблемы динамического управления" кафедры оптимального управления факультета ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова, г. Москва, 12-15 октября 2010 г., на семинарах отдела динамических систем ИММ УрО РАН; на международных конгрессах и конференциях: 8-ой международный симпозиум по нелинейным управляемым системам международной федерацией по автоматическому управлению (8th IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems, NOLCOS, Bologna, Italy, 01-03 сентября 2010 г.), 25-ая конференция 7-го технического комитета "Системное моделирование и оптимизация" международной федерации по информационным процессам (25th IFIP ТС 7 Conference 2011, Berlin, Germany, 12-16 сентября 2011 г.), 18-ый всемирный конгресс международной организации по автоматическому управлению (18th IFAC World Congress, Milan, Italy, 28 августа - 02 сентября 2011 г.).

Публикации. Основные материалы диссертации опубликованы в 10 работах. Из них 3 публикации из списков ВАК [101,103,203], 1 публикация в рецензируемых российских сборниках [102], 3 публикации в трудах международных конференций [193,201,202] и 3 тезиса докладов. В совместных работах [101-103,201-203] научному руководителю A.M. Тарасьеву принадлежит постановка задачи. В работе [193] в соавторстве научному руководителю A.M. Тарасьеву принадлежит постановка задачи, W. Sanderson'y принадлежит используемая при построении многофакторной модели экономического роста SEDIM модель.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы. Нумерация глав, параграфов и утверждений сквозная. Объем работы составляет 180 стра-

ниц текста. Библиография содержит 212 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава диссертации посвящена исследованию оптимальных решений и функций цены задач управления на бесконечном промежутке времени в аспекте их чувствительности к изменениям параметров производственных функций, используемых в моделях экономического роста. Глава состоит из пяти параграфов.

В первом параграфе описывается односекторная модель экономического роста. Обсуждается вариант модели Солоу-Шелла оптимального инвестирования. Описываются основные переменные, включая управляющие параметры модели. Формулируется общая задача оптимального управления, основанная на модели экономического роста. Обсуждаются свойства производственных функций. Рассматриваются два вида производственных функций: Кобба-Дугласа и линейная. Линейная функция в данном случае является предельным вариантом экспоненциальной функции Кобба-Дугласа, когда ее параметр эластичности достигает своего наибольшего возможного значения, равного единице. В предельной ситуации производственная функция теряет свойство строгой вогнутости. Для обоих случаев формулируются задачи оптимального управления.

Второй параграф посвящен исследованию необходимых и достаточных условий оптимальности. Исследуются свойства гамильтоновых функций, строятся оптимальные управления. Доказывается, что в линейной задаче управления с бесконечным горизонтом оптимальное управление является постоянной величиной, определяемой параметрами модели. Проверяются свойства гладкости и строгой вогнутости максимизированных гамильтонианов.

В третьем параграфе проводится качественный анализ задач управления. Исследуется вопрос наличия стационарных точек гамильтоновых динамик. Доказывается, что линейная задача управления не обладает установившимся состоянием, в то время, как нелинейная задача имеет единственную стационарную точку седлового типа. Также показывается, что фазовая координата стационарной точки, при достижении параметром эластично-

сти производственной функции Кобба-Дугласа единицы, стремится либо к нулю, либо к бесконечности.

Четвертый параграф посвящен построению оптимальных траекторий в обеих задачах оптимального управления. В линейной задаче оптимальные решения имеют аналитическое представление и могут быть выписаны в явном виде. Для нелинейной задачи в явном виде выписать оптимальные решения удается лишь в областях с постоянным управлением. В области переменного управления решение строится численно. Также в этом параграфе обосновывается непрерывная зависимость оптимального решения от параметра эластичности производственной функции и начальных данных. Доказывается сходимость оптимального решения нелинейной задачи к оптимальным траекториям линейной задачи управления. Приводятся результаты численных экспериментов, демонстрирующих указанную сходимость.

Пятый параграф посвящен исследованию функций цены в обеих задачах управления. Для линейной задачи управления функция цены строится в явном виде. Доказывается поточечная сходимость функции цены нелинейной задачи к функции цены линейной задачи управления. Для функции цены нелинейной задачи управления вычисляется ее значение в стационарной точке. Приводятся результаты численных экспериментов, иллюстрирующих поточечную сходимость.

Вторая глава диссертации освещает вопросы, связанные с исследованием качественного поведения оптимальных траекторий вблизи положения равновесия. В этой главе рассматривается многофакторная модель экономического роста, на основании которой формулируется задача оптимального управления. Проводится исследование задачи управления, и указываются условия для построения нелинейного регулятора гамильтоновой динамики, с помощью которого удается провести анализ поведения оптимальных траекторий в окрестности положения равновесия. Вторая глава состоит из пяти параграфов.

Первый параграф посвящен построению многофакторной модели экономического роста, описанию основных переменных модели, в том числе и управляющих параметров. Рассматриваемая модель оперирует тремя производственными факторами: основной капитал, квалифицированная рабо-

чая сила и полезная работа. Эти производственные факторы используются для описания однородного выпуска внутреннего валового продукта (ВВП) и являются фазовыми переменными управляемой системы. Инвестиции в основной капитал и в образование как фактор, повышающий эффективность труда, рассматриваются в качестве управляющих параметров модели. Функция полезности определяется как интегральный индекс потребления логарифмического типа, дисконтированный на бесконечном промежутке времени. На основании модели формулируется задача оптимального управления инвестициями в производственные факторы.

Второй параграф ориентирован на исследование поставленной задачи оптимального управления. Здесь приводятся необходимые условия принципа максимума JI.C. Понтрягина для задач на бесконечном промежутке времени, развитые в работах С.М. Асеева и A.B. Кряжимского. Исследуются свойства гамильтонианов, отвечающих различным управляющим режимам. Доказываются свойства гладкости и строгой вогнутости максимизированного гамильтониана в рамках дополнительных условий на производственную функцию. Описываются области, отвечающие различным оптимальным режимам управления. Проверяются достаточные условия оптимальности.

В третьем параграфе проводится качественный анализ гамильтоновых систем, составленных для каждого режима оптимального управления. Исследуется вопрос о существовании стационарных точек, их единственности. Проводится анализ установившегося состояния.

В четвертом параграфе обсуждается алгоритм построения нелинейного регулятора, основанного на принципе обратной связи [173], который переводит систему из любого начального положения в положение, соответствующее стационарной точке. Алгоритм состоит из нескольких шагов

• построение плоскости, содержащей стационарную точку, по собственным векторам, отвечающим отрицательным собственным значениям матрицы Якоби, вычисленной в стационарной точке;

• выражение сопряженных координат из уравнений плоскости;

• построение нелинейного стабилизатора путем подстановки в выраже-

ния для оптимального управления, соответствующего области установившегося состояния, сопряженных переменных, которые были получены из уравнения плоскости.

• построение стабилизированной динамики путем подстановки в первые два уравнения гамильтоновой системы, определенной для области установившегося состояния, сопряженных переменных, выраженных из уравнения плоскости.

Доказывается, что полученная система сохраняет стационарную точку и стабилизирует гамильтонову динамику в установившемся состоянии за счет того, что сохраняет отрицательные собственные значения исходного якобиана.

В пятом параграфе приводятся результаты численного решения стабилизированной в окрестности положения равновесия гамильтоновой системы.

Третья глава посвящена алгоритму построения оптимальных траекторий в задачах с бесконечным горизонтом. Алгоритм основан на использовании конструкции нелинейного регулятора, порождающего стабилизированную систему, поведение решений которой близко к поведению оптимальных траекторий в окрестности стационарной точки. Используя данную информацию, удается локализовать поиск начальной точки для интегрирования гамильтоновой динамики в обратном времени. Третья глава состоит из четырех параграфов.

В первом параграфе рассматривается алгоритм построения оптимальных траекторий, который заключается в следующих шагах:

• вычисление координат стационарной точки гамильтоновой системы методом последовательных приближений;

• линеаризация гамильтоновой системы в окрестности установившегося состояния;

• вычисление собственных чисел и собственных векторов линеаризованной системы; проверка их соответствия условиям, в рамках которых возможна конструкция нелинейного стабилизатора;

• построение нелинейного регулятора и стабилизированной системы дифференциальных уравнений;

• поиск решения стабилизированной системы;

• локализация поиска начальных условий для интегрирования гамиль-тоновой системы в обратном времени за счет точек, полученных с решения стабилизированной системы;

• интегрирование гамильтоновой системы в обратном времени из выбранного начального положения, лежащего в окрестности точки, взятой с решения стабилизированной системы, с учетом возможного переключения управляющих режимов вплоть до исходного начального положения системы;

• развертка интегрированной траектории в прямом времени и масштабирование временной шкалы.

Второй параграф посвящен построению оценки точности алгоритма. Полученные оценки устанавливают связь между параметрами точности в фазовом пространстве и параметрами точности функциональных показателей.

В третьем параграфе приводится иллюстрация работы алгоритма на примере построения оптимальных траекторий в задаче управления, исследованной во второй главе диссертации. Как будет показано на графиках, полученные аппроксимационные решения достаточно неплохо соответствуют реальным статистическим данным. Также из построенных решений видно, что они гладко проходят точки смены управляющих режимов. Каждая из траекторий роста имеет уровень насыщения, соответствующий стационарному положению гамильтоновой динамики. Проводится сравнительный анализ траекторий, полученных из решения стабилизированной системы, и оптимальных стратегий. В окрестности положения равновесия эти траектории оказываются близкими друг к другу.

В четвертом параграфе проводится сравнительный анализ односектор-ной и двухсекторной моделей экономического роста. На основании предложенного алгоритма для соответствующих задач управления строятся оптимальные решения, и проводится их сравнение как друг с другом, так

и с реальными данными. Как будет показано на графиках, включение в модель дополнительного фактора несколько приблизило синтезированную траекторию к реальным данным.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Исследованы вопросы чувствительности оптимальных решений и функций цены к изменениям параметров производственных функций. Показано, что оптимальные решения непрерывно зависят от параметров производственной функции, а функция цены нелинейной задачи поточечно сходится к функции цены линейной задачи, когда параметр эластичности производственной функции растет вплоть до своего предельного значения, равного единице. Стационарные точки гамильто-новых систем при этом вырождаются и стремятся к бесконечности или нулю в зависимости от параметров модели.

2. Для гамильтоновой системы, возникающей вследствие применения принципа максимума Л.С. Понтрягина, сформулированы условия, при которых для нее можно построить нелинейный регулятор, порождающий динамическую систему, решение которой обладает поведением, схожим с поведением решений исходной системы.

3. Разработан алгоритм построения оптимальных траекторий в задачах управления на бесконечном промежутке времени, который использует конструкцию нелинейного стабилизатора для локализации поиска начальной точки при интегрировании гамильтоновой системы в обратном времени.

4. Получены оценки точности алгоритма построения оптимальных траекторий, которые устанавливают связь между параметрами точности в фазовом пространстве и параметрами точности функциональных показателей.

Работа поддержана грантами Российского фонда фундаментальных исследований, 08—01—00587а, 11-01-00427-а, 11-01-12088-офи-м-2011, 11-01-12112-офи-м-2011; грантом Российского гуманитарного научного фонда, 08-02-00315а; грантом поддержки ведущих научных школ, НШ-2640.2008.1, НШ-64508.2010.1; программой Президиума Российской Академии Наук № 29 "Математическая теория управления"; (программа УрО РАН № 09-П-1-1015); Программа фундаментальных исследований Президиума РАН "Динамические системы и теория управления"; Международным институтом прикладного системного анализа (ПАЗА).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Усова, Анастасия Александровна, 2012 год

Литература

[1] Адиатулина P.A., Тарасьев A.M., Дифференциальная игра неограниченной продолжительности // Прикладная математика и механика. 1987. Т. 51, Вып. 4. С. 531-537.

[2] Айвазян С.А., Мхитарян B.C., Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ, 1998. 1022 с.

[3] Айзеке. Р., Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967. 479 с.

[4] Алексеев В.М., Тихомиров В.М, Фомин С. В., Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. 430 с.

[5] Альбрехт Э.Г., Об управлении движением нелинейных систем // Дифференциальные уравнения, 1966. Вып. 3. № 2. С. 324-334.

[6] Альбрехт Э.Г., Об оптимальном управлении движением квазилинейных систем // Дифференциальные уравнения, 1969. Вып. 3. № 5. С. 430-442.

[7] Альбрехт Э.Г., Построение приближенных решений некоторых квазилинейных дифференциальных игр // Труды Института математики и механики УрО РАН, 2000. Т. 6. № 1. С. 27-38.

[8] Альбрехт Э.Г., Богатырев JI.JI., Бочегов A.B., Калина A.B. и др., Моделирование состояния и прогнозирование развития региональных экономических и энергетических систем // Экономика, 2004.

[10] Альбрехт Э.Г., Элементы математической теории управления и вариационного исчисления. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2007. 126 с.

[11] Арнольд В.И., Оптимизация в среднем и фазовые переходы в управляемых динамических системах // Функциональный анализ и его приложения, 2002. Т. 26. С. 1-11.

[12] Арутюнов A.B., Асеев С.М., Благодатских В.И./'Необходимые условия первого порядка в задаче оптимального управления дифференциальным включением с фазовыми ограничениями" // Ма-тем. сб., 2002. Т. 26. С. 1-11.

[13] Асеев С.М., Кряжимский A.B., Принцип максимума Понтрягина и задачи оптимального экономического роста / / Труды МИ АН, 2007. Т. 257 С. 5-271.

[14] Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П., Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984. 352 с.

[15] Батухтин В.Д., Майборода JI.A., Оптимизация разрывных функций. М.: Наука, 1984. 208 с.

[16] Беллман Р., Динамическое программирование. М.: Изд-во иностр. лит., 1960. 400 с.

[17] Бердышев Ю.И., Качественный анализ областей достижимости // Космические исследования, 1996. Т. 34. № 2. С. 141-144.

[18] Благодатских В.И., Введение в оптимальное управление. М.: Высшая школа, 2001. 239 с.

[19] Болтянский В.Г., Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1966. 308 с.

[20] Брайсон А., Хо Ю-Ши., Прикладная теория оптимального управле ния. М.: Мир, 1972. 544 с.

[22] Варга Дж., Оптимальное управление дифференциальными и функ циональными уравнениями. М.: Наука, 1977. 624 с.

[23] Васильев Ф.П., Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. 824 с.

[24] Ватанабе Ч., Решмин С.А., Тарасъев A.M., Динамическая модель процесса инвестиций в научно-технические разработки // Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65. Вып. 3. С. 408-425.

[25] Волътерра В., Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976. 286 с.

[26] Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М., Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971. 508 с.

[27] Гамкрелидзе Р.В., Основы оптимального управления. Тбилиси: Изд-во Тбилисского университета, 1975. 256 с.

[28] Григоренко Н.Л., Киселев Ю.Н., Лагунов Н.В., Силин Д.В., Тринь-ко Н.Г., Методы решения дифференциальных игр. Математическое моделирование. М.: Изд-во Московского университета, 1993. 332 с.

[29] Григорьева C.B., Тарасьев A.M., Успенский A.A., Ушаков В.Н., Конструкции теории дифференциальных игр при решении уравнений Гамильтона—Якоби // Тр. Института математики и механики УрО РАН, 2000. Т. 6. № 2. С. 320-336.

[30] Гусев М.И., О структуре оптимальных минимаксных оценок в задачах гарантированного оценивания // Доклады РАН, 1992. Т. 322. № 5. С. 832-835.

[31] Гусейнов Х.Г., Субботин А.И., Ушаков В.Н., Производные многозначных отображений и их применение в игровых задачах управления // Проблемы управления и теории информации, 1985. Т. 14. N2 3. С. 1-14.

Жуковский В.И., Чикрий A.A., Линейно-квадратичнь^ дифференциальные игры. Киев: Наукова думка, 1994. 320 с.

Завалищин С. Т., Сесекин А.Н., Импулсные процессы: модели и приложения. М.: Наука, 1991. 256 с.

Зеликин М.И., Оптимальное управление и вариационное исчисление. Изд. 2. М.: УРСС, 2004. 160 с.

Зеликина Л.Ф., Универсальные многообразия и теоремы о магистрали для некоторых классов задач оптимального управления // Доклады АН СССР, 1975. Т. 224. № 1. С. 31-34.

Зубов В.И., Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 496 с.

Ильин В.А., Садовничний В.А., Сендов Вл.Х., Математический анализ. Начальный курс.—2-е изд., М.: Изд-во МГУ, 1985. 662 с.

Интрилигатор М., Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: АЙРИС ПРЕСС, 2002. 566 с.

Иоффе А.Д., Тихомиров В.М., Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 с.

Камнева Л.В., Достаточные условия стабильности для функции цены дифференциальной игры в терминах сингулярных точек // Прикладная математика и механика, 2003. Т. 67. Вып. 3. С. 366-383.

Кандоба И.Н., Формирование финансовой политики фирмы на краткосрочную перспективу // Изв. Урал. гос. экон. ун-та, 2006. № 1.

Кандоба И.Н., Сетевые модели динамики потребительского спроса на товарном рынке // Информ.-мат. технологии в экономике, технике и образов.: сб. материалов 2-й Междунар. науч. конф.: УГТУ-УПИ, 2008. Вып. 4. С. 87-93.

[45] Ким A.B., Пименов В.Г., г-Гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений. Ижевск: Изд-во PXD R&C Dynamics, 2004. 256 с.

[46] Кларк Ф., Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988. 280 с.

[47] Клейменов А.Ф., Неантагонистические позиционные дифференциальные игры. Екатеринбург: Наука, 1993. 185 с.

[48] Колмогоров А.Н., Фомин C.B., Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. 496 с.

[49] Коетрикин А.П., Введение в аглебру. Часть II. Линейная алгебра. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. 368 с.

[50] Красовский A.A., Тарасъев A.M., Динамические модели и экономет-рический анализ в бизнес-планировании // Вестник Гуманитарного университета, 2005. Т. 1(6). С. 35-73.

[51] Красовский A.A., Тарасъев A.M., Моделирование оптимального экономического роста // Тезисы докладов научного семинара "Математическая теория оптимального управления и теория дифференциальных включений", Москва: МИРАН-МГУ, 2006. С. 26.

[52] Красовский A.A., Тарасъев A.M., Свойства гамильтоновых систем в принципе максимума Понтрягина для задач экономического роста // Тр. МИАН, 2008. Т. 262. С. 127-145.

[53] Красовский А.Н., Управление на минимакс интегрального функционала // Доклады АН СССР, 1991. Т. 320. № 4. С. 785-788.

[54] Красовский H.H., Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 475 с.

[55] Красовский H.H., Игровые задачи о встрече движений. М.: Наука, 1970. 420 с.

[57] Красовский H.H., Управление динамической системой. М.: Наука, 1985. 518 с.

[58] Красовский H.H., Осипов Ю.С., Линейные дифференциальнораз-ностные игры // Доклады АН СССР, 1971. Т. 197. № 4. С. 777-780.

[59] Красовский H.H., Субботин А.И., Позиционные дифференциальные игры. М: Наука, 1974. 456 с.

[60] Красовский H.H., Третьяков В.Е., Стохастический программный синтез для позиционной дифференциальной игры // Докл. АН СССР, 1981. Т. 259, № 1. С. 24-27.

[61] Кротов В.Ф., Гурман В.И., Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973. 448 с.

[62] Кружков С.Н., Обобщенные решения нелинейных уравнений первого порядка со многими независимыми переменными // Матем. сборник, 1966. Т. 70. № 3. С. 394-415.

[63] Крушвиц Л., Финансирование и инвестиции. С.Пб.: ПИТЕР, 2000. 400 с.

[64] Кряжимский A.B., Осипов Ю.С., О эволюционно-дифференциальных играх // Труды МИРАН им. В.А. Стеклова, 1995. Т. 211. С. 257-287.

[65] Кряжимский A.B., Осипов Ю.С., О позиционном моделировании управления в динамических системах // Изв. АН СССР: Техн. кибернетика, 1983. № 2. С. 51-60.

[66] Куржанский A.B., Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. 392 с.

[68] Лахтин A.C., Субботин А.И., Многозначные решения уравнений с частными производными первого порядка // Матем. сборник, 1998. Т. 189. № 6. С. 33-58.

[69] Ледяев Ю.С., Мищенко Е.Ф., Экстремальные задачи в теории дифференциальных игр // Тр. МИАН им. В.А. Стеклова, 1988. Т. 85. С. 147-170.

[70] Лейтман Дж., Введение в теорию оптимального управления. М.: Наука, 1968. 190 с.

[71] Лукоянов Н.Ю., К вопросу вычисления цены дифференциальной игры для позиционного функционала // Прикладная математика и механика, 1998. Т. 62. Вып. 2. С. 188-198.

[72] Максимов В.И., О существовании седловой точки в дифференциально-разностной игре сближения-уклонения // Прикладная математика и механика, 1978. Т. 42. Вып. 1.

[73] Меликян A.A., Уравнения распространения слабого разрыва решения вариационной задачи //Тр. Института математики и механики УрО РАН, 2000. Т. 6. № 2. С. 446-459.

[74] Милютин A.A., Дмитрук A.B., Осмоловский Н.П., Принцип максимума в оптимальном управлении. Мехмат МГУ, Москва, 2004. 168 с.

[75] Мищенко Е.Ф., Задачи преследования и уклонения от встречи в теории дифференциальных игр // Изв. АН СССР: Техн. кибернетика, 1971. № 5. С. 3-9.

[76] Мордухович Б.Ш., Методы аппроксимации в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1988. 360 с.

[78] Никольский M. С. О локальной липшицевости функции Беллмана в одной оптимизационной задаче // Оптимальное управление и дифференциальные игры. Тр. ИММ, 2004. Т. 10. № 2. С. 106-115.

[79] Никонов О.И., О программном и позиционном равновесии в многокритериальных игровых задачах управления в условиях неопределенности // Дифференц. уравнения, 1981. Т. 17, № 4. С. 629-637.

[80] Никонов О.И., Медведев А.Н., Медведева М.А., Степанов C.B., Система поддержки принятия решений по управлению рисками экологически негативных событий, аварий и катастроф техногенного характера // Зап. Горного ин-та.,2003. Т. 154. С. 273-275.

[81] Осипов Ю.С., Альтернатива в дифференциально-разностной игре // Доклады АН СССР, 1971. Т. 197. № 5. С. 1022-1025.

[82] Роббинс Г., Сигмунд Д., Чао И., Теория оптимальных правил остановки. Перев. с англ. М.: Наука, 1977. 168 с.

[83] Пацко B.C., Поверхности переключения в линейных дифференциальных играх // Современная математика и ее приложения, Тбилиси, 2005, Т. 23, С. 79-122.

[84] Петросян Л.А., Захаров В.В., Математические модели в экологии. Санкт-Петербург: Изд-во Санкт-Петербургского госуниверситета, 1997. 254 с.

[85] Пименов В.Г., Функционально-дифференциальные уравнения: численные методы. Екатеринбург: Изд-во Уральского госуниверситета, 1998. 80 с.

[86] Поляк Б. Т., Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983. 384 с.

[87] Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974. 331 с.

[89] Пшеничный Б.Н., Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М: Наука, 1980. 319 с.

[90] Рокафеллар Р. Т., Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. 469 с.

[91] Самарский A.A., Гулич A.B., Численные методы: Учеб. пособие для вузов. М: Наука, 1989, 432 с.

[92] Самарский A.A., Михайлов А.П., Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М: ФИЗМАТЛИТ, 2005, 320 с. (2-е изд., испр.).

[93] Субботин А.И., Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона—Якоби. М.: Наука, 1991. 216 с.

[94] Субботин А.И., Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации. Москва-Ижевск: Институт компьют. исслед. 2003. 336 с.

[95] Субботин А.И., Субботина H.H., Необходимые и достаточные условия для кусочно-гладкой цены дифференциальной игры // Доклады АН СССР, 1978. Т. 243. № 4. С. 862-865.

[96] Субботин А.И., Ченцов А.Г., Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981. 288 с.

[97] Субботин А.И., Тарасьев A.M., Сопряженные производные функции цены дифференциальной игры // Доклады АН СССР, 1985. Т. 283. № 3. С. 559-564.

[98] Субботина H.H., Метод динамического программирования для класса локально-липшицевых функций // Доклады РАН, 2003. Т. 389. № 2. С. 1-4.

[99] Субботина H.H., Метод характеристик для уравнений Гамильтона-Якоби и его приложения в динамической оптимизации / / Современная математика и ее приложения. Серия: Дифференциальные уравнения. Тбилиси: Издательство института кибернетики Академии наук Грузии, 2004. 132 с.

[100] Тарасъев A.M., Аппроксимационные схемы построения минимаксных решений уравнений Гамильтона-Якоби // Прикладная математика и механика, 1994. Т. 58. Вып. 2. С. 22-36.

[101] Тарасъев A.M., Усова A.A., Построение регулятора для гамильтоно-вой системы двухсекторной модели экономического роста. // Труды Математического института им. В.А. Стеклова, 2010. Т. 271, С. 278298.

[102] Тарасъев A.M., Усова A.A., Исследование асимптотического поведения оптимальных траекторий и функций цены в односекторных моделях экономического роста при изменении коэффициента эластичности производственной функции // Сборник научных трудов: Проблемы динамического управления, ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, 2010. Вып. 5 С. 251-270.

[103] Тарасъев A.M., Усова A.A., Влияние параметров производственных функций на равновесное решение и функцию цены задачи оптимального управления // Математическая теория игр и приложения (МТИП), 2011. Т. 3, Вып. 3, С. 85-115.

[104] Тарасъев A.M., Успенский A.A., Ушаков В.Н., Аппроксимационные схемы и конечно-разностные операторы для построения обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби // Изв. РАН: Техн. кибернетика, 1994. № 3. С. 173-185.

[105] Тонкое E.JI., Динамические задачи выживания // Вестник Пермского гос. тех. ун-та. Функцион.-дифференц. уравнения (спец.вып.), 1997. № 4. С. 138-148.

[106] Третьяков В.Е., К теории стохастических дифференциальных игр // Доклады АН СССР, 1983. Т. 269. № 3. С. 1049-1053.

[108] Усова A.A., Функция цены в задаче управления с линейной динамикой и логарифмическим функционалом качества // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 40-й Всероссийской молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2009. С. 260-265

[109] Усова A.A., Построение регулятора для гамильтоновой системы двух-секторной модели экономического роста // Проблемы теоретической

. и прикладной математики: Тезисы 41-й Всероссийской молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2010. С. 372-378.

[110] Усова A.A., Влияние изменений параметров производственных функций в моделях экономического роста на поведение решений задач управления на бесконечном горизонте // Современные проблемы математики: тезисы 42-й Всероссийской молодежной школы-конференции. Екатеринбург: Институт математики и механики УрО РАН, 2011. С. 54-56.

[111] Ушаков В.Н., Матвийчук А.Р., Лебедев П.Д., Дефект стабильности в игровой задачи о сближении в момент // Вестник Удмуртского университета, 2010. Вып. 3. С. 87-103.

[112] Ушаков В.Н., К задаче построения стабильных мостов в дифференциальной игре сближения-уклонения // Изв. АН СССР: Технич. кибернетика, 1980. № 4. С. 29-36.

[113] Филиппов А.Ф., Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 225 с.

[114] Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 720 с.

[115] Ченцов А.Г., О структуре одной игровой задачи сближения // Доклады АН СССР, 1975. Т. 224. № 6. С. 1272-1275.

[116] Черноусъко Ф.Л., Меликян A.A., Игровые задачи управления и поиска. М.:Наука, 1978. 270 с.

[118] Четыркин Е.М., Финансовая математика. М.: Дело, 2003.

[119] Ширяев А.Н., Основы стохастической финансовой математики. М.: ФАЗИС. 2004. 1056 с.

[120] Шориков Л.Ф., Минимаксное оценивание и управление в дискретных динамических системах. Екатеринбург: Изд-во Уральского гос. университета, 1997. 248 с.

[121] Alcamo, J., Shaw, R., Hordijk, L.J., The RAINS model of acidification, science and strategies for Europe, Kluwer Academic Press, Dordrecht, 1990.

[122] Ane, B.K., Tarasyev, A.M., Watanabe, C., Construction of Nonlinear Stabilizer for Trajectories of Economic Growth // Journal of Optimization Theory and Applications, 2007. Vol. 134, No. 2 P. 303-320.

[123] Ane, B.K., Tarasyev, A.M., Watanabe, C., Impact of Technology Assimilation on Investment Policy: Dynamic Optimization and Econometric Identification // Journal of Optimization Theory and Applications, 2007. Vol. 134, No. 2 P. 321-338.

[124] Arnold, V.I., Davydov A.A., Vassiliev V.A., Zakalyukin V.M., Mathematical Models of Catastrophes. Control of Catastrophic Processes // HAS A Reprint RP-06-007, from Encyclopedia of Life Support Systems (EOLSS), EOLSS Publishers, Oxford, UK, 2006. 46 P.

[125] Arrow, K.J., Application of Control Theory to Economic Growth // Mathematics of the Decision Sciences, 1968. No 2. P. 85-119.

[126] Ayres, R. U., Warr, В., Accounting for Growth: the Role of Physical Work // Structural Change and Economic Dynamics, 2005. Vol. 16. No. 2. P. 181-209.

[127] Aubin, J.P., Viability Theory. Boston: Birkh auser, 1991.

129] Balder, E.J., An existence result for optimal economic growth problems 11 J. Math. Anal. Appl., 1983. Vol. 95. P. 195-213.

1301 Bardi, M., Dolcetta, I.C., Optimal Control and Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman Equations. Boston: Birkh auser, 1997. 596 P.

1311 Bardi, M., Evans, L.C., On Hopfs formulas for solutions of Hamilton-Jacobi equations // Nonlinear Anal., Theory, Meth., Appl., 1984. Vol. 8. No. 11. P. 1373-1381.

1321 Barro, R.J., Sala-i-Martin, X., Economic Growth. McGraw Hill, New York, 1995.

1331 Barron, E.N., Jensen, R., The Pontryagin maximum principle from dynamic programming and viscosity solutions to first-order partial differential equations // Trans. Amer. Math. Society, 1986. Vol. 298. No. 2. P. 635-641.

1341 Barzel, Y., Optimal Timing of Innovations // The Review of Economics and Statistics, 1968. Vol. 50. No. 3. P. 348-355

1351 Basar, T., Olsder, G.J., Dynamic Non-cooperative Game Theory. SIAM Series in Classics in Applied Mathematics, Philadelphia, 1999. (Revised, updated version of the 1995 Academic Press book with the same title.)

1361 Bensoussan, A., Perturbation Methods in Optimal Control. New York, Chichester: Wiley-Gautier, 1988. 574 P.

1371 Berkovitz, L.D., Optimal feedback control // SIAM J. Contr. Optim., 1989. Vol. 27. No. 5. P. 991-1006.

138] Breitner, M.H., Koslik, B., von Stryk, 0., Pesch, H.J., Iterative design of economic models via simulation, optimization and modeling // Mathematics and Computers in Simulation, 1995. Vol. 39, No. 5-6. P. 527-532.

[140] Capuzzo Dolcetta I. On a discrete approximation of the Hamilton-Jacobi of dynamic programming // Applied Mathematics and Optimization 1983. Vol. 4. P. 367-377

[141] Casti, J., Alternate Realities: Mathematical Models of Nature and Man. New York: Wiley-Interscience, 1989. 493 P.

[142] Cellini, R., Lambertini, L., and Leitmann, G., Degenerate Feedback and Time Consistency in Di erential Games // Modeling and Control of Autonomous Decision Support Based Systems, Shaker Verlag, Aachen, (eds. E. Hofer, and E. Reithmeier), 2005. P. 185-192.

[143] Cesari, L., Optimization Theory and Applications. Problems with Ordinary Differential Equations. Springer, New York, 1983.

[144] Clarke, F.H., Ledyaev, Yu.S., Stern, R.J., Wolenski, P.R., Non-smooth Analysis and Control Theory. New York: Springer-Verlag, 1998. 278 P.

[145] Colonius, F., Optimal Periodic Control. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1313. Berlin: Springer-Verlag, 1988.

[146] Crandall, M.G., Lions P.L., Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations // Trans. Amer. Math. Society, 1983. Vol. 277, No. 1. P. 142.

[147] Deissenberg, Ch., and Hartl, R., eds., Optimal Control and Dynamic Games: Applications in Finance, Management Science, and Economics, Springer, 2005.

[148] Do si, G., Ermoliev, Y.M., Kaniovski Y.M., Generalized urn schemes and technological dynamics // Journal of Mathematical Economics, 1994. No. 23. P. 1-19.

Falcone M. A numerical approach to the infinite horizon problem of deterministic control theory // Applied Mathematics and Optimization, 1987. Vol. 15, P. 1-13.

Feichtenger, G., Wirl, F., Intrafamiliar consumption and saving under altruism and wealth considerations // Economica, 2002. Vol. 69, P. 93111.

Feichtinger G., Veliov V On a distributed control problem arising in dynamic optimization of a fixed-size population. // SIAM J. Optim., 2007. Vol. 18(3), P. 980-1003.

Fleming, W.H., Soner H.M., Controlled Markov Processes and Viscosity Solutions. New York: Springer-Verlag, 1993.

Friedman, A., Differential Games. New York: Wiley Interscience, 1971.

Grass D., Caulkins J., Feichtinger G., Tragler G., Behrens D. Optimal Control of Nonlinear Processes. Springer-Verlag, Berlin, 2008.

Greene, W.H., Econometric Analysis, 3rd Edition, Prentice-Hall, 1997.

Griffy-Brown, C.,Nagamatsu, A., Watanabe, C., Zhu, B., Technology spillovers and economic vitality: An analysis of institutional flexibility in Japan with comparisons to the USA // International Journal of Technology Management, 2002. Vol. 23, No. 7-8. P. 746-768.

Griliches, Z., R&D, Patents and Productivity. The University of Chicago Press, Chicago, London, 1984.

Grossman, G.M., Helpman, E., Innovation and Growth in the Global Economy. MIT Press, Cambridge, MA, 1991.

Haddad, G., Monotone trajectories of differential inclusions and functional differential inclusions with memory // Israel J. Math., 1981. Vol. 39. P. 83100.

[162] Haurie, A., Zaccour, G., Differential game models of global environment management // Annals of the International Society of Dynamic Games, 1995. Vol. 2. P. 3-24.

[163] Helpman, E., Krugman, P., Market Structure and Foreign Trade: Increasing Returns, Imperfect Competition, and the International Economy, Cambrige, MA: MIT Press, 1985.

[164] Inada, K., On a Two-Sector Model of Economic Growth: Comments and a Generalization // Rev. Econ. Stud., 1963. Vol. 30, No. 2, P. 119-127

[165] Isidori, A., Nonlinear Control Systems. New York: Springer-Verlag, 1995. (3rd edition).

[166] Jones, C.I., Introduction to Economic Growth, W.W. Norton k Company Ltd., New York, N.Y., 1997.

[167] Kalman, R.E., Contribution to the theory of optimal control // Bullet. Soc. Math. Mech., 1960. Vol. 5. P. 102-119.

[168] Kantorovich, L.V., Makarov, V.L., Growth Models and their Application to Long-term Planning and Forecasting // In: Long-term Planning and Forecasting, Proc. Conf. Macmillan Press, 1976.

[169] Koopmans, T.C., Objectives, Constraints, and Outcomes in Optimal Growth Models // Econometrica, 1967. Vol. 35. No. 1. P. 1-15.

[170] Krasovskii, A.A., Assessment of the Impact of Aggregated Economic Factors on Optimal Consumption in Models of Economic Growth // IIASA Working Paper IR-06-050, Laxenburg: IIASA, 2006. 46 P.

[171] Krasovskii, A., Kryazhimskiy, A., Tarasyev, A., Optimal Control Design in Models of Economic Growth // Programme and Abstracts of the 7th International EUROGEN'2007 Conference "Evolutionary and Deterministic Methods for Design, Optimization and Control with Applications to Industrial and Societal Problems", University of Jyvaskyla, 2007. P. 16-17

[172] Krasovskii, A.N., Krasovskii, N.N., Control under Lack of Information. Birkhauser, Boston, Massachusetts, 1995. 322 P.

[173] Krasovskii, N.N., Subbotin A.I., Game-Theoretical Control Problems. New York: Springer-Verlag, 1988. 518 P.

[174] Krstic, M., Kokotovic, P.V., Canellakoupoulos, /., Nonlinear and Adaptive Control Design, John Wiley & Sons, New York, 1995. 576 P.

[175] Kryazhimskii, A., Nentjes, A., Shibayev, S., Tarasyev, A., Modeling market equilibrium for transboundary environmental problem // Nonlinear Analysis, 2001. Vol. 47. P. 991-1002.

[176] Kryazhimskii, A.V., Watanabe, C., Optimization of Technological Growth, GENDAITOSHO, Kanagawa, 2004.

[177] Kurzhanski, A.B., Valyi, I., Ellipsoidal Calculus for Estimation and Control. Boston (ser. SCFA): Birkhauser, 1996.

[178] Lakshmikantham, V., Leela, S., Differential and Integral Inequalities. V. 2. New York: Academic Press, 1969.

[179] Lions, P.L., Generalized Solutions of Hamilton-Jacobi Equations. Research Notes in Mathematics, Vol. 69. Boston: Pitman, 1982. 318 P.

[180] Maurer, H., Pesch, H.J., Solution differentiability for parametric nonlinear control problems with control-state constraints // Journal of Optimization Theory and Applications, 1995. Vol. 86, No. 2. P. 285-309.

[181] Neck, R., Schneider, F., The Political Economy of Fiscal Policies // Public Choice, 2001. Vol. 109. P. 217-220.

[182] Nordhaus, W.D., Managing the Global Commons. The Economics of Climate Change. MIT Press, Cambridge, MA, 1994.

[184] Osipov, Yu.S., Kryazhimskii A.V., Inverse Problems of Ordinary Differential Equations: Dynamical Solutions. Amsterdam: Gordon and Breach, 1995. 625 P.

[185] Palokangas, T., Labour Unions, Public Policy and Economic Growth. Cambridge: Cambridge University Press, 2000. 238 P.

[186] Petrosjan, L., Zaccour, G., Time-consistent Shapley value allocation of pollution cost reduction // Journal of Economic Dynamics and Control, 2003. Vol. 27. P. 381-398.

[187] Krabs, W., Pickl, S.W., Pickl, S., Analysis, Controllability and Optimization of Time-Discrete Systems and Dynamical Games, New York: Springer-Verlag Inc., 2003. 186 P.

[188] Ramsey, F.P., A Mathematical Theory of Saving // The Economic Journal, 1928. Vol. 38. No. 152. P. 543-559.

[189] Rockafellar, R.T., Wets, R.J-B., Variational Analysis. Berlin: SpringerVerlag, 1998. 735 P.

[190] Romer, P.M., Advanced Macroeconomics, 3rd Edition. McGraw-Hill, New York, N.Y., 2006.

[191] Sanderson W.C., The SEDIM Model: Version 0.1. IIASA Interim Report IR-04-041, 2004. 42 P.

[192] Sanderson W.C., Striessnig, E., Demography, Education, and the Future of Total Factor Productivity Growth. IIASA Interim Report IR-09-002, 2009. 55 P.

[193] Sanderson W.C., Tarasyev A.M., Usova A.A., Capital vs. Education: Assessment of Economic Growth from Two Perspectives // Proceedings of the 8th IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems, 2010. P. 1110— 1115.

[195] Sehumpeter, J., The Theory of Economic Development: An Inquiry into Profits, Capital, Credit, Interest, and the Business Cycle, 1983.

[196] Shell K., Applications of Pontryagins Maximum Principle to Economics // Mathematical Systems Theory and Economics, 1969. Vol. 1. P. 241292.

[197] Solow R.M., Growth Theory: An Exposition. New York: Oxford University Press, 1970.

[198] Souganidis, P.E., Approximation schemes for viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations //J. Differen. Equat. 1985. Vol. 59. P. 1-43.

[199] Subbotin, A.I., Generalized Solutions for First-Order PDE, Birkhauser, Boston, Massachusetts, 1995.

[200] Subbotin, A.I., Tarasyev A.M., Ushakov V.N., Generalized characteristics of Hamilton-Jacobi equations //J. Comput. Systems Sei. Intern., 1994. Vol. 32. No. 2. P. 157-163.

[201] Tarasyev A.M., Usova A.A., The Value Function as a Solution of Hamiltonian Systems in Linear Optimal Control Problems with Infinite Horizon // IFAC PapersOnLine, Proceedings of the 18th IFAC World Congress, Milan, 2011. Vol. 18, Part 1. (identifier: 10.3182/20110828-6-IT-1002.00835. Edited by S. Bittanti S., Cenedese A., Zampieri S.)

[202] Tarasyev A.M., Usova A.A., An Iterative Direct-Backward Procedure for Construction of Optimal Trajectories in Control Problems with Infinite Horizon // IFAC PapersOnLine, Proceedings of the 18th IFAC World Congress, Milan, 2011. Vol. 18, Part 1. (identifier: 10.3182/20110828-6-IT-1002.01836. Edited by S. Bittanti, A. Cenedese, S. Zampieri)

[203] A. Tarasyev, A. Usova., Nonlinear stabilizer constructing for two-sector economic growth model // Trudy Instituta Matematiki I Mekhaniki, 2010. Vol. 16, No. 5, P. 297-307.

[205] Tarasyev, A.M., Watanabe, C., Dynamic Optimality Principles and Sensitivity Analysis in Models of Economic Growth // Nonlinear Analysis, 2001. Vol. 47, No. 4, P. 2309-2320.

[206] Ushakov V.N., Latushkin Ya.A., The stability defect of sets in game control problems// Proceedings of the Institute of Mathematics and Mechanics. Control, stability, and inverse problems of dynamics. 2006. Vol. 12. № 2. P. 178-194.

[207] Udwadia, F. E., Boundary Control, Quiet Boundaries, Super-stability and Super-instability // Applied Mathematics and Computation, 2005. Vol. 164, P. 327-349.

[208] Verkama, M., Ehtamo, H., Hamalainen, R.P., Distributed computation of Pareto solutions in n -player games // Systems analysis laboratory Research report A53, Helsinki University of Technology, 1994.

[209] Verhulst, P.F., Notice sur la loi que la population pursuit dans son accroissement // Correspondance mathematique et physique, 1838. Vol. 10. P. 113-121.

[210] Vinter, R., Optimal Control. Boston: Birkhauser, 2000. 507 P.

[211] Walras, L., Elements of Pure Economics. Allen and Unwin, 1954. English translation by William Jaffe, originally published in 1874.

[212] Zaitsev V.A., Popova S.N., Tonkov E.L., Exponential stabilization of nonlinear control systems // Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komput. Nauki,2010. No. 3, P. 25-29.